2017届天津市红桥区高三二模数学(理)试题(解析版)

2017年天津市红桥区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）集合{}|0A x x =>，{}2,1,1,2B =--，则()A B =R I ð（ ）．A ．(0,)+∞B ．{}2,1,1,2--C ．{}2,1--D ．{}1,2【答案】C【解答】解：集合{}|0A x x =>，{}2,1,1,2B =--，则{}|0A x x =R ð≤，所以{}()2,1A B =--R I ð．故选C ．2．（5分）已知x ，y 满足约束条件222x y x y y ->⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥，则3z x y =+的取值范围为（ ）．A ．[2,10)-B ．(]2,10-C ．[6,10]D ．(6,10]【答案】B 【解答】解：由约束条件222x y x y y ->⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥作出可行域如图，2化目标函数为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，z 取最大值，由22x y y +=⎧⎨=-⎩，得(4,2)A -，此时max 34210z =⨯-=； 当直线3y x z =-+过点B 时，由22x y y -=⎧⎨=-⎩，解得(0,2)B -，故3022z >⨯-=-． 综上，3z x y =+的取值范围为(]2,10-．故选B ．3．（5分）如下图所示的程序框图，输出S 的值是（ ）．A ．30B ．10C ．15D ．21 【答案】 B【解答】解：当1S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后3S =，3t =， 当3S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后6S =，4t =， 当6S =时，满足进入循环的条件，执行循环体后10S =，5t =， 当15S =时，不满足进入循环的条件，故输出的S 值为15．故选C ．4．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的侧面PAB 的面积是（ ）．正视图侧视图俯视图AB ．2C ．1 D【答案】A 【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥，其中底面ABC 为等边三角形，侧棱PC ⊥底面ABC ． 取AB 的中点D ，连接CD ，PD ，则CD AB ⊥，PD AB ⊥，CDPD∴122PAB S ==△ 故选A ．CBA PD5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=I ，l α⊄，l β⊄，则“l m ∥”是“l α∥且l β∥”的（ ）．A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解答】解：充分性：∵m αβ=I ，∴m α⊂，m β⊂，∵l m ∥，l α⊄，l β⊄，∴l α∥，l β∥，必要性：过l 作平面γ交β于直线n ，∵l β∥，∴l n ∥，若n 与m 重合，则l m ∥，若n 与m 不重合，则n α⊄，∵l α∥，∴n α∥，∵n β⊂，m αβ=I ，∴n m ∥，故l m ∥，故“l m ∥”是“l α∥且l β∥”的充要条件，故选C ．6．（5分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点F 与双曲线22145x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A在抛物线上，且|||AK AF ，则A 点的横坐标为（ ）．A． B ．4 C ．3 D．【答案】C 【解答】解：∵双曲线22145x y -=，其右焦点坐标为(3,0)． ∴抛物线2:12C y x =，准线为3x =-，∴(3,0)K -，设00)(,A x y ，过A 点向准线作垂线AB ，则0()3,B y -，∵|||AK AF ，又00(3)3AF AB x x --===+，∴由222BK AK AB -=得22BK AB =，从而2200(3)y x =+，即20012(3)x x =+，解得03x =．故选C ．7．（5分）已知ABC △是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅u u u r u u u r 的值为（ ）．A ．58- B ．14 C ．18 D ．118【答案】C 【解答】解：如图，EC B AD∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且2DE EF =， ∴13()22AF BC AD DF BC BA DE BC ⎛⎫⋅=+⋅=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1324BA AC BC ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r133244BA BC BA BC ⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r 5344BA BC BC ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r25344BA BC BC =-⋅+u u u r u u u r u u u r 253||||cos60144BA BC =-⋅︒+⨯u u u r u u u r 5131114248=-⨯⨯⨯+=． 故选C ．8．（5分）已知函数2017πcos ,[0,π]2()log ,(π,)πx x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪∈+⎪⎩∞，若有三个不同的实数a ，b ，c ，使得()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为（ ）．A ．(2π,2017π)B ．(2π,2018π)C ．3π4035π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(π,2017π)【答案】B【解答】解：当π[]0,x ∈时，π()cos sin 2f x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， ∴()f x 在[0,π]上关于π2x =对称，且max ()1f x =， 又当(π,)x ∈+∞时，2017()log πf x x =是增函数， 作出()y f x =的函数图象如图所示：令2017log 1πx =得2017πx =， ∵()()()f a f b f c ==， ∴πa b +=，(π,2017π)c ∈，∴π(2π,2018π)a b c c ++=+∈．故选B ．二、填空题9．（5分）设i 为虚数单位，则复数34i i-=__________． 【答案】43i -- 【解答】解：34i i(34i)43i i i---==---， 故答案为：43i --．10．（5分）在52125x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为__________． 【答案】825- 【解答】解：∵二项式52125x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式是 25510315511C (2)(1)C 255r r r r r r r r r T x x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=-⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1031r -=，解得3r =； ∴33315321C 25(1)T x +⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭-⋅=； ∴x 的系数是332518C 2525⎛⎫-⋅⋅=- ⎪⎝⎭． 故答案为：825-． 11．（5分）已知ABC △的三内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin A C =，2b ac =，则cos B =__________． 【答案】34【解答】解：在ABC △中，∵sin 2sin A C =，∴由正弦定理得2a c =，由余弦定理得2222cos b a c ac B -=+，将2b ac =及2a c =代入上式解得：2222222423cos 244a cbc c c B ac c +-+-===． 故答案为：34．12．（5分）已知曲C 的极坐标方程2sin ρθ=，设直线L 的参数方程32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数）设直线L 与x 轴的交点M ，N 是曲线C 上一动点，求||MN 的最大值__________．1【解答】解：∵曲线C 的极坐标方程2sin ρθ=，化成普通方程： 2220x y y -+=，即22(1)1x y +-=，∴曲线C 表示以点(0,1)P 为圆心，半径为1的圆，∵直L 的参数方程是：32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直L 的普通方程是：4380x y +-=，∴可得L 与x 轴的交点M 坐标为(2,0)，∴PM由此可得曲C 上一动点N 到M1．1．13．（5分）已知下列命题：①命题：(0,2)x ∀∈，33x x >的否定是：(0,2)x ∃∈，33x x ≤； ②若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-； ③若1()1f x x x =++，则0(0,)x ∃∈+∞，0)(1f x =； ④等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =； ⑤在ABC △中，若A B >，则sin sin A B >．其中真命题是__________．（只填写序号）【答案】①②④⑤【解答】解：对于①，命题：(0,2)x ∀∈，33x x >的否定是：(0,2)x ∃∈，33x x ≤，正确； 对于②，若()22x x f x -=-，则x ∀∈R ，()()f x f x -=-，正确； 对于③，对于函数1()1f x x x =++，当且仅当0x =时，()1f x =，故错； 对于④，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，174477()272122a a a a +=⨯==，故正确； 对于⑤，在ABC △中，若A B >，则2sin 2sin sin sin ab R A R B A B >⇒>⇒>，故正确． 故答案为：①②④⑤．14．（5分）定义在R 上的函数()f x 满足：(2)1f =，且对于任意的x ∈R ，都有1()3f x '<，则不等式22log 1(log )3x f x +>的解集为__________． 【答案】{}|04x x << 【解答】解：设1()()3F x f x x =-，求导1()()03F x f x ''=-<，则()F x 在R 单调递减， 由22log 1(log )3x f x +>，即2211(log )log 33f x x -⋅>，由11(2)233f -⨯=， ∴2(log )(2)F x F >，(0)x >，则2log 2x <，解得：04x <<，∴不等式的解集为：{}|04x x <<，故答案为：{}|04x x <<．三、解答题15．（13分）已知函数()2cos cos )2f x x x x =++． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期与单调递减区间．（Ⅱ）求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 【答案】（Ⅰ）周期πT =． 周期2ππ2T ==． （Ⅱ）最大值和最小值分别为5，2．【解答】解：（Ⅰ）化简可得()2cos cos )2f x x x x =++22sin cos 2cos 2x x x ++2cos212x x +++π2sin 236x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 由ππ3π2π22π262k x k +++≤≤可得π2πππ63k x k ++≤≤， ∴函数的周期2ππ2T ==． （Ⅱ）∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴π2sin 2[1,2]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴π2sin 23[2,5]6x ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭， ∴函数的最大值和最小值分别为5，2．16．（13分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡． （Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率． （Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．【答案】（Ⅰ）3685． （Ⅱ）所以ξ的分布列为131550123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【解析】解：（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件B 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件1A 为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”， 事件2A 为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”． 12())(()P B P A P A =+121119219621363636C C C C C C C =+ 92734170=+3685=． 所以在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是3685． （Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，3339C 1(0)C 84P ξ===， 126339C C 3(1)C 14P ξ===， 216339C C 15(2)C 28P ξ===， 3639C 5(3)C 21P ξ===， 所以ξ的分布列为所以13150123284142821E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．17．（13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA BE ∥，4AB PA ==，2BE =．（Ⅰ）求证：CE ∥平面PAD ．（Ⅱ）求PD 与平面PCE 所成角的正弦值． （Ⅲ）在棱AB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ⊥平面PCE ？如果存在，求AF AB的值；如果不存在，说明理由． EC B A PD【答案】（Ⅰ）见解析．． （Ⅲ）35AF AB =． 【解答】解：（Ⅰ）设PA 中点为G ，连结EG ，DG ． 因为PA BE ∥，且4PA =，2BE =，所以BE AG ∥且BE AG =，所以四边形BEGA 为平行四边形．所以EG AB ∥，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD AB ∥，CD AB =， 所以EG CD ∥，且EG CD =．所以四边形CDGE 为平行四边形．所以CE DG ∥．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ， 所以CE ∥平面PAD ．（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =- ，(4,0,2)PE =- ，(0,4,4)PD =- ．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z = ，所以00m PC m PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩． 令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m = ．设PD 与平面PCE 所成角为α，则sin|cos,|||||m PDm PDPD mα⋅==．所以PD与平面PCE．（Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a，则(4,0,2)FE a=-，(4,4,2)DE=-．设平面DEF的一个法向量为(,,)n x y z=，则0220(4)20n DE x y za x zn FE⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩．令2x=，则224xayz a=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以2,,42an a⎛⎫=-⎪⎝⎭．因为平面DEF⊥平面PCE，所以0m n⋅=，即22802aa++-=，所以1245a=<，点12,0,05F⎛⎫⎪⎝⎭．所以35AFAB=．D PA BC EG18．（13分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）设22log ,(2),n n na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T ． 【答案】（Ⅰ）2n n a =． （Ⅱ）288621994n nn n T n +=+-+⨯． 【解答】解：（I ）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，2222S a =-，342S a =-． ∴3422a a a =-，可得222(2)a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =．∴12222a a a +=-，即121222a a a -==-，解得12a =． ∴2n n a =．（II ）n 为奇数时，22log 21111(2)(2)22n n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭． n 为偶数时，2n n n b =． ∴2242111111242123352121222n n n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦242112421221222n n n ⎛⎫=-++++ ⎪+⎝⎭ 24224221222n n n n =+++++ ． 设242242222n n A =+++ ， 则24622212422222222n n n n A +-=++++ ， ∴242222211132222224142222214n n n n n A ++⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++-=-- ， ∴886994nn A +=-⨯． ∴288621994n nn n T n +=+-+⨯．19．（14分）已知函数()ln a f x x x x =--，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性．（2）若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， ①求a 的取值范围．②证明：22(1)f x x <-．【答案】（1）当0a ≤时，函数()f x在(0,1上单调递减，在(1)+∞上单调递增； 当01a <<时，函数()f x在(0,1上单调递增，在(1上单调递减，在(1)+∞上单调递增．当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增． （2）①01a <<；②见解析【解答】（1）解：函数()2ln a f x x x x =--的定义域为(0,)+∞，22222()1a x x a f x x x x -+'=+-=， 令()0f x '=，得220x x a +=-，其判别式44a ∆=-， ①当0∆≤，即1a ≥时，220x x a +-≥，()0f x '≥，此时，()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0∆>，即1a <时，方程220x x a +=-的两根为11x =211x =， 若0a ≤，则10x ≤，则2)(0,x x ∈时，()0f x '<，2(),x x ∈+∞时，()0f x '>， 此时，()f x 在2(0,)x 上单调递减，在2(),x +∞上单调递增； 若0a >，则10x >，则1)(0,x x ∈时，()0f x '>，12)(,x x x ∈时，()0f x '<，2(),x x ∈+∞时，()0f x '>， 此时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(),x +∞上单调递增． 综上所述，当0a ≤时，函数()f x在(0,1上单调递减，在(1)+∞上单调递增； 当01a <<时，函数()f x在(0,1上单调递增，在(1上单调递减，在(1)+∞上单调递增；当1a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）①解：由（1）可知，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，等价于方程220x x a +=-在(0,)+∞有 两不等实根，故01a <<．②证明：由上述过程得01a <<，21x =，且212x <<，2222a x x =-+．222222222222()12ln 12ln 1x x f x x x x x x x x -+-+=---+=--， 令()2ln 1g t t t =--，12t <<， 则22()1t g t t t-'=-=， 由于12t <<，则()0g t '<，故()g t 在(1,2)上单调递减． 故()(1)12ln110g t g <=--=．∴222(1())0f x x g x -=<+．∴22(1)f x x <-．20．（14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率e，且点⎛ ⎝⎭在椭圆E 上． （Ⅰ）求椭圆E 的方程．（Ⅱ）直线l 与椭圆E 交于A 、B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．求AOB △（O 为坐标原点）面积的最大值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=． （Ⅱ）1．【解答】解：（Ⅰ）由已知，c e a =222a b c -=，∵点⎛ ⎝⎭在椭圆上， ∴221314a b +=，解得2a =，1b =． ∴椭圆方程为2214x y +=． （Ⅱ）设11)(,A x y ，22)(,B x y ，∵AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴AB 的斜率k 存在．当直线AB 的斜率0k =时，12x x =-，12y y =，∴11112||||||2AOB S x y x =⋅⋅=△221114122x x +-⋅=， 当且仅当22114x x =-，取得等号，∴1x =max )(1AOB S =△；当直线AB 的斜率0k ≠时，设:(0)l y kx m m =+≠． 2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得：222)(148440k x kmx m +-++=， 由0∆>可得2241k m +>①，122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+，可得1224214x x km k +=-+， 121222214y y x x m k m k ++=+=+， ∴AB 的中点为224,1414km m k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由直线的垂直关系有2211421414m k k kmk -+⋅=--+，化简得2146k m +=-② 由①②得26m m ->，解得60m -<<， 又(0,0)O 到直线y kx m =+的距离为d =12|||4AB x x -1||42AOB S AB d ==△|m =， ∵60m -<<， ∴3m =-时，max 1()313AOB S =⨯=△． 由3m =-，∴21418k +=，解得k =；即k =max )(1AOB S =△； 综上：max )(1AOB S =△．。

河北区2016-2017学年度高三年级总复习质量检测（二）数 学 （理工类）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|3x R B x ∈≥=，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{1,2,3}B ．{3,4,5}C ．{1,2}D ．{4,5}2.若,x y 满足20,20,0,x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）A ．2B ．-2C ．12 D ．-123.在ABC ∆中，已知1,,3BC B ABC π==∆AC 的长为（ ）A ．3 B．4.执行如图所示的程序框图，如果输入5n =，则输出S 的值为（ ）A ．49 B ．89 C.511 D ．10115.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≤B ．1a ≥ C. 1a ≥- D ．3a ≤-6.已知点(2,3)A 在抛物线2:2C y px =的准线上，记C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为（ ）A ．-2B ．43-C.34- D ．12- 7.若O 为ABC ∆所在平面内任一点，且满足()()20OB OC OB OC OA -⋅+-=，则ABC∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形 C.等腰直角三角形 D ．等边三角形 8.对任意的0x >，总有()lg 0f x a x x =--≤，则a 的取值范围是（ ） A ．()(,lg lg lge ]e -∞- B ．(,1]-∞ C.()1,lg lg lge e -⎡⎤⎣⎦ D ．()lg lg lge ,e -+∞⎡⎤⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）9.i 是虚数单位，复数3223ii+=- ． 10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 ．11.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 ． 12.若()5a x +展开式中2x 的系数为10，则实数a = ．13.在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点，则AB = ．14.设函数()y f x =是定义在R 上以1为周期的函数，若()()2g x f x x =-在区间[2,3]上的值域为[-2,6]，则函数()g x 在[-2017,2017]上的值域为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且()2cos cos tan tan 11A C A C -=. （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若a c b +=ABC ∆的面积16.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲，乙二人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （Ⅰ）求袋中原有白球的个数：（Ⅱ）求取球次数X 的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，//,AB CD AB AD ⊥，222AB AD CD ===，E 是PB 上的一点.（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（Ⅱ）如图（1），若13PE PB =，求证：//PD 平面EAC ；（Ⅲ）如图（2），若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.18.已知等差数列{}n a 满足：()*111,n n a a a n N +=>∈，11a +，21a +，31a +成等比数列，22log 1n n a b +=-.（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率32e a b =+=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，,,A B D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设MN 的斜率为m ，BP 的斜率为n ，试证明：2m n -为定值.20.已知函数()()2ln ,3f x x x g x x ax ==-+-.（Ⅰ）求函数()f x 在[](),20t t t +>上的最小值；（Ⅱ）对一切()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）探讨函数()12lnx x F x e ex=-+是否存在零点？若存在，求出函数()F x 的零点，若不存在，请说明理由.试卷答案一、选择题1-5: CDBCB 6-8: CBA二、填空题9.i ； 10.16； 11.4； 12.1； 13.2； 14. [-4030,4044].三、解答题15.解：（Ⅰ）由()2cos cos tan tan 11A C A C -=， 得sin sin 2cos cos 11cos cos A C A C A C ⎛⎫-=⎪⎝⎭.∴()2sin sin cos cos 1A C A C -=. ∴()1cos 2A C +=-. ∴1cos 2B =. 又0B π<<， ∴3B π=.（Ⅱ）由2222cos b a c ac B =+-，得()223a c ac b +-=，又a c b +== ∴4ac =.∴11sin 4222ABC S ac B ∆==⨯⨯=. 16.解：（Ⅰ）设袋中原有n 个白球，由题意知()()24271112=767672n n n n C C --==⨯⨯，所以()1=6n n -.解得3n = (2n =-，舍去). 即袋中原有3个白球.（Ⅱ）由题意，X 的可能取值为1,2,3,4,5.()317P X ==；()4322767P X ⨯===⨯； ()4336376535P X ⨯⨯===⨯⨯；()432334765435P X ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯；()43213157654335P X ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯.所以，取球次数X 的分布列为.所以()12345277353535E x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 17.（Ⅰ）证明：∵PC ⊥底面ABCD ， ∴PC AC ⊥.∵222AB AD CD ===，//,AB CD AB AD ⊥, ∴AC BC =∴222AC BC AB +=.∴90ACB ∠=︒，即BC AC ⊥. 又AC ⊂平面EAC ， ∴平面EAC ⊥平面PBC .（Ⅱ）证明：连BD 交AC 于点F ，连EF ， ∵//,2AB CD AB CD =，∴12DF CD FB AB ==. ∵13PE PB = ，∴PE DFEB FB=. ∴//EF PD .又EF ⊂平面EAC ，PD ⊄平面EAC ， ∴//PD 平面EAC .（Ⅲ）解：以点C 为原点，建立如图的空间直角坐标系，则000,(1,1,0)(11,0)()C A B -，，,，， 设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴()()111,1,0,0,0,,,,222a CA CP a CE ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. 取()1,1,0m -，则0m CP m CA ⋅=⋅= ，∴m为平面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为平面PAC 的法向量，则0n CE n CA ⋅=⋅= .∴0,0.x y x y az +=⎧⎨-+=⎩取x a =，则,2y a z =-=-, ∴(),,2n a a =--.∵cos ,m n m n m n ⋅<>===， ∴2a =.∴()2,2,2n =--.设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,=3PA n PA n PA nθ⋅=<>=. ∴直线PA 与平面EAC所成角的正弦值为3. 18.解：（Ⅰ）设d 为等差数列{}n a 的公差，11a =， 则231,12a d a d =+=+，∵11a +，21a +，31a +成等比数列， ∴()()22242d d +=+. ∵0d >， ∴2d =. ∴21n a n =-. ∵22log 1n n a b +=-， ∴2log n b n =-. ∴12n n b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知212n n nn a b -⋅=， ∴23135212222n nn T -=++++ ，234111352122222n n n T +-=++++ . ①-②得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=+⨯+++- ⎪⎝⎭ ， 2-111111111211132322211222222212n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+⨯-=+-=--，∴2332n nn T +=-.19.解：（Ⅰ）∵2ce a==，∴,a b ==. 代入3a b +=解得2,1,a b c ==∴椭圆的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）得()2,0B ，因为P 不为椭圆顶点， 则直线BP 的方程为()2y n x =-，10,2n n ⎛⎫≠≠±⎪⎝⎭. 将①代入2214x y +=，解得222824,4141n n P n n ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 直线AD 的方程为112y x =+. ①与②联立解得424,2121n n M n n +⎛⎫⎪--⎝⎭.由()()2228240,1,,,,14104n n P n n D N x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭三点共线得22410141820041nn n x n ---+=---+， 解得42,021n N n -⎛⎫⎪+⎝⎭.∴MN 的斜率为()()()22404212121424242212212121nn n n n m n n n n n n -++-===+-+----+. ∴211222n m n n +-=-=（定值）. 20.解（Ⅰ）()()ln 10f x x x '=+>， 由()0f x <得10x e <<，由()0f x '>得1x e>， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当10t e <≤时，12t e+>， ∴()min 11f x f e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 当1t e>时，()f x 在上[],2t t +单调递增，()()min ln f x f t t t ==， ∴()min11,0,1ln ,.t e e f x t t t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）原问题可化为32ln a x x x≤++， 设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()231x x h x x +-'=， 当01x <<时，()0h x '<，()h x 在（0,1）上单调递减； 当1x >时，()0h x '>，()h x 在()1,+∞上单调递增： ∴()()min 14h x h ==. ∴a 的取值范围为(,4]-∞. （Ⅲ）令()0F x =，得12ln 0x x e ex -+=，即()2ln 0x x x x x e e=->， 由（Ⅰ）知当且仅当1x e=时，()()ln 0f x x x x =>的最小值是11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()()20x x x x e e ϕ=->，则()1xxx eϕ-'=， 易知()x ϕ在（0,1）上单调递增，在(1)+∞，上单调递减， ∴当且仅当1x =时，()x ϕ取最大值，且()11eϕ=-， ∴对()0,x ∈+∞都有，2ln x x x x e e >-，即()12ln 0x F x x e ex=-+>恒成立. ∴函数()F x 无零点.。

高三数学（理）（1702）一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题6分，共30分）9．10．11．6 12．13．14．b>a>c 三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）Ⅰ． (5)所以函数的最小正周期为． (7)Ⅱ．由Ⅰ得．因为，所以， (9)所以，所以，当时，取到最大值；当时，取到最小值 (13)（16）（本小题满分13分）Ⅰ．由已知，且平面，，即． (2)又 且，∴． (4)由已知，所以．，∴． (6)Ⅱ．由（1）可知，，两两垂直．分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知，∴，，，，．为线段的中点，为线段的中点，∴，． (7)易知平面的一个法向量． (8)设平面的一个法向量为，由得取，得． (10)由图可知，二面角的大小为锐角，∴．∴二面角的余弦值为． (13)（17）（本小题满分13分）Ⅰ．设的公差为， (2)所以 (4)解得故，． (8)Ⅱ． ，所以 (10)故 (13)（18）（本小题满分13分）Ⅰ．由得． (2)得．所以 (5)又因为，所以，． (6)所以成公比为的等比数列． (7)Ⅱ．由（1）知，，所以， (10)Ⅲ．假设存在，使得成等差数列，则即，解得．因，所以．所以不存在 中的连续三项使得它们可以构成等差数列． (13)（19）（本小题满分14分）Ⅰ．由题意可知，，，所以． (1)是椭圆 上的点，由椭圆定义得 ． (3)∴的周长为． (4)易得椭圆的离心率 ． (6)Ⅱ．由 得 ．因为直线 与椭圆 有两个交点，并注意到直线 不过点 ，∴解得或 ．设，，则 ，， (10)，．∴=+21k k 2111--x y +2122--x y=)2(22211--+x m x +)2(22222--+x m x =2+)2(21-x m +)2(22-x m=2+）（2)2(2)2()2(2112---+-x x x m x m =2+4)(22222)(212121++--+x x x x m x x m =0 (14)（20）（本小题满分14分） Ⅰ． (1)时，所以当 时，，函数 单调递减；当 时，，函数单调递增．当时，，令，解得．当时，，函数在上单调递增．当时，，时，，函数单调递增；，，函数单调递减；，，函数单调递增．当时，，时，，函数单调递增；当，，函数单调递减；时，，函数单调递增．综上可得：当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，时，函数单调递增，，函数单调递减，，函数单调递增；当时，时，函数单调递增，，函数单调递减，时，函数单调递增．当时，函数在上单调递减；在上单调递增 (8)Ⅱ．对任意，都有． (10)又对任意，存在，使，所以，时有解， (11)，所以存在，使得，即存在，使得．令，，，令，解得．当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以当时，的最大值为．综上可得：实数的取值范围是． (14)。

高三数学（理）试卷第1页（共4页）高三数学（理）试卷第2页（共4页）天津市红桥区2017年高三质量调查试卷（二）数学（理工类）本试卷分为选择题和非选择题两部分，共150分，考试用时120分钟。

一.选择题：在每个小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}1A x x =<，{}20B x x x =- ，则A B =（A ）{}11x x - （B ）{}01x x （C ）{}01x x < （D ）{}01x x < （2）设变量x ，y 满足约束条件20,30,230,x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-⎩ 则目标函数2z x y =+的最大值为（A ）6（B ）32（C ）0（D ）12（3）根据如下图所示的框图，对大于2的整数N ，输出的数列的通项公式是（A ）2n a n =（B ）2(1)n a n =-（C ）2nn a =（D ）12n n a -=（4）某几何体的三视图如下图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中x 的值为（A ）2（B ）3（C ）32（D ）92（5）设p ：{}lg(1)x x y x ∈=-，q ：{}21x x x -∈<，则p 是q 的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）△ABC 中，120ABC ∠=︒，BA =2，BC =3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD BE ⋅的值为（A ）659（B ）119（C ）419（D ）139-（7）将()2sin(2)4f x x π=+的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），所得图象关于直线4x π=对称，则ϕ的最小值为（A ）18π（B ）14π（C ）38π（D ）12π（8）已知函数2log ,02()sin(),210.4x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩， 若存在实数1x ，2x ，3x ，4x 满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，且4321x x x x <<<，则2143)1()1(x x x x ⋅-⋅-的取值范围是（A ）)21,9(（B ）)32,20(（C ）)24,8(（D ）)25,15(二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）设i 为虚数单位，则复数3i 2i=-__________.（10）37(2x 的展开式中常数项是__________.（用数字作答）（11）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1(sin sin )()()sin 2A B a b a c C -+=-，则cos B =__________.（12）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，则曲线C 上的点到直线l：32x y t ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）的最短距离是__________.（13）如图，F 1、F 2是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B 、A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为___________.正视图侧视图俯视图2x114（第题图）高三数学（理）试卷第3页（共4页）高三数学（理）试卷第4页（共4页）（14）已知下列命题：①函数22212)(x x x f +++=有最小值2；②“0542=--x x ”的一个必要不充分条件是“5=x ”；③命题p ：,tan 1x x ∃∈=R ；命题q ：2,10x x x ∀∈-+>R ，则命题“)(q p ⌝∧”是假命题；④函数13)(23+-=x x x f 在点))2(,2(f 处的切线方程为3-=y .其中正确命题的序号是___________.三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin(2)6sin cos 2cos 14f x x x x x π=-++-+，x ∈R .（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.（16）（本小题满分13分）摩拜单车和ofo 小黄车等共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利.某自行车租车点的收费标准是：每车使用1小时内是免费的，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点租车（各租一车一次）.设甲、乙不超过1小时还车的概率分别为14，12；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过3小时.（Ⅰ）设甲乙两人所付的租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ.（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==，E 、F 分别为PC 、BD 的中点.（Ⅰ）求证：EF //平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PDC ；（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点G ，使得二面角C PD G --的余弦值为13？说明理由.（18）（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为63，且过点6(1,)3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设与圆O ：2234x y +=相切的直线l 交椭圆C 与A ，B 两点，求△OAB 面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.（19）（本小题满分14分）设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且2113424n n n S a a =+-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{}n b ，使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-⋅+ 对一切正整数n 都成立？并证明你的结论；（Ⅲ）设11n nc a =+（*n ∈N ），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与16的大小.（20）（本小题满分14分）已知函数()ln b f x x ax x=-+（,a b ∈R ），且对任意0x >，都有1()()0f x f x+=.（Ⅰ）用含a 的表达式表示b ；（Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求出a 的取值范围，并证明2()02a f >；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断()y f x =零点的个数，并说明理由.。

高三物理（1705）Ⅰ卷共8题，每小题分，共48分。

一．1.A 2．B 3．C 4．D 5．B二．6．ACD 7．BD 8．BCⅡ卷共4题，共72分。

9．（18分）（一）（共4分）（二）（共6分）(1) BC（2分）(2) f （2分）(3) 重锤下落过程存在着阻力作用（2分）（三）（共8分）(1) 500（2分） 1000（2分）(2)等于 （2分） ×10Ω （2分）四、计算题（共54分）10．（16分）解 ：（1）假设设小球带正电（带负电时电场力和洛伦兹力也将反向，结论相同）。

刚释放时小球受重力、电场力、弹力、摩擦力作用，向下加速；后又受到洛伦兹力作用，弹力、摩擦力开始减小；当洛伦兹力等于电场力时加速度最大为g 。

（6分） （2）随着v 的增大，洛伦兹力大于电场力，弹力方向变为向右，且不断增大，摩擦力随着增大，加速度减小，当摩擦力和重力大小相等时，小球速度达到最大mg=f （4分） Mg=(qvB=Eq) （4分） 解得BE Bq mg v +=μ。

（2分） 11．（18分）解：（1）加速度逐渐减小的变加速直线运动，最后匀速运动；（4分）（2）当加速度a =0时速度最大，即（2分）, （2分）, （2分） 得 （2分） （3）（6分） 12、(20分[解析] （1）（1）凹槽与墙壁碰撞后，滑块压缩弹簧，滑块速度为零时弹簧弹性势能最大E P = （6分）（2）凹槽与墙壁碰撞后，滑块压缩弹簧，后又返回，当弹簧恢复原长时，凹槽将离开墙壁，此时，小滑块的速度大小为v 0，方向水平向右．设弹簧具有最大弹性势能时共同速度为v ，对凹槽、小滑块、弹簧组成的系统，选取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有 m =(2m+m)v （3分） 根据机械能守恒定律， 有=+(2m+m) （3分） 解得： =m （2分）(3) 第一次碰撞后系统的总动量为零，系统达到共同速度0v '=时，弹簧压缩量最大，以后，弹簧释放弹性势能，根据对称性可知，凹槽将以=的速度再次与墙壁碰撞．（6分） 高三化学（1705）第Ⅰ卷1. D2. A3. C4. A5. D6. B第Ⅱ卷I. （1）（2）Ba2++H2O2+2NH3•H2O=BaO2↓+2NH4+ + 2H2O（3）2MnO4-+5BaO2+16H+=2Mn2++5O2↑+5Ba2++8H2OⅡ. （4）Fe3++3SCN- = Fe(SCN)3(写可逆号不扣分)（5）Al2O3+2NaOH=2NaAlO2+H2O（6）2H2O+2Fe3++SO2=2Fe2++SO42-+4H+（7）FeAlS48.（共18分）（1）苯乙烯（2分）（2）酯基（1分）NaOH水溶液、加热（2分）取代反应（1分）（3）AD （2分）（4）（2分）（5）（各2分，共4分）（6）（每步1分，共4分）9．（共18分）（1）（每空2分，共6分）①分液漏斗锥形瓶②2SO2+2HNO3+H2O=NO+NO2+2H2SO4①增大与石灰乳的接触面积②防止倒吸(或作安全瓶)吸收未反应的氮氧化物（3）①e（2分）②加入过量c1mol·L-1的KI溶液、淀粉浓液，然后滴加稀硫酸，用c2mol·L-1的Na2S2O3溶液滴定至溶液由蓝色恰好变为无色，且半分钟内不变色，读取消耗Na2S2O3溶液的体积，重复以上操作2〜3次。

天津市红桥区2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣1≥0，x∈R}，B={x|0≤x＜3，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3，x∈R}B．{x|1≤x≤3，x∈R}C．{x|1≤x＜3，x∈R}D．{x|0＜x＜3，x∈R}2．若实数x，y满足，则目标函数z=4x+3y的最大值为（）A．0 B．C．12 D．203．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？4．下列结论中，正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的必要条件B．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02≥0”D．“若x2=1，则x=1”的逆否为假5．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c，0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．6．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．7．若函数f（x）=e x﹣3﹣x+2a（a＞0）有且只有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．[0，1]B．（0，1） C．[1，+∞）D．（0，+∞）8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b=．10．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=0运动到x=6，已知F（x）=x2+1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为J（x的单位：m；力的单位：N）．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（l为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点．则线段AB的长为．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD=．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f（x）=sin2x+cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f（x0）=，，求sin2x0的值．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n}是递增等差数列，a1=2，其前n项为S n（n ∈N*）．且a1，a4，S5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=+1，计算{b n}的前n项和T n，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n∈N*，T n＞S n．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值；（Ⅲ）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆O：x2+y2=2的两条切线切点分别为P1，P2，若直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：=1．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f（x）=alnx++x，（a，b∈R）（Ⅰ）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，存在x∈[1，e]，使得f（x）﹣x≤（a+2）（﹣x2+x）成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若h（x）+x=f（x）+（1﹣）x2，求h（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值．2016年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣1≥0，x∈R}，B={x|0≤x＜3，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3，x∈R}B．{x|1≤x≤3，x∈R}C．{x|1≤x＜3，x∈R}D．{x|0＜x＜3，x∈R}【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣1或x≥1，即A={x|x≤﹣1或x≥1，x∈R}，∵B={x|0≤x＜3，x∈R}，∴A∩B={x|1≤x＜3，x∈R}，故选：C．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若实数x，y满足，则目标函数z=4x+3y的最大值为（）A．0 B．C．12 D．20【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由约束条件作出其所确定的平面区域（阴影部分），平移直线z=4x+3y，由图象可知当直线z=4x+3y经过点C时，目标函数z=4x+3y取得最大值，由，解得，即C（，﹣），即z=4×﹣×3=，故z的最大值为．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．要求熟练掌握常见目标函数的几何意义．3．某程序框图如图所示，若输出的S=26，则判断框内应填（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，结合流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由条件框内的语句决定是否结束循环体并输出S，由此给出表格模拟执行程序即可得到本题答案．【解答】解：程序在运行过程中，各变量的值变化如下表：可得，当k=4时，S=26．此时应该结束循环体并输出S的值为26所以判断框应该填入的条件为：k＞3？故选：A【点评】本题给出程序框图，求判断框应该填入的条件，属于基础题．解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，结合表格加以理解，从而使问题得以解决．4．下列结论中，正确的是（）A．“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的必要条件B．已知向量，，则“∥”是“+=”的充要条件C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02≥0”D．“若x2=1，则x=1”的逆否为假【分析】A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B．根据向量共线的等价条件进行判断，C．根据全称的否定是特称进行判断，D．根据逆否的等价性进行判断．【解答】解：A．由x2﹣2x＞0得x＞2或x＜0，则“x＞2”是“x2﹣2x＞0”成立的充分不必要条件，故A错误，B．若∥，则=λ，则+=不一定成立，若+=，则=﹣，则∥成立，即“∥”是“+=”的必要不充分条件，故B错误，C．“p：∀x∈R，x2≥0”的否定形式为“￢p：∃x0∈R，x02＜0”，故C错误，D．∵由x2=1得x=1或x=﹣1，∴“若x2=1，则x=1”为假，则的逆否也为假，故D正确，故选：D【点评】本题主要考查的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，但难度不大．5．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0），以C的右焦点F（c，0）为圆心，以a为半径的圆与C的一条渐近线交于A，B两点，若|AB|=c，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据直线和圆相交时的弦长公式结合双曲线离心率的公式进行转化求解即可．【解答】解：∵双曲线的一个焦点为F（c，0），双曲线的一条渐近线为y=x，即bx﹣ay=0，∴焦点到渐近线的距离d=，∵|AF|=|BF|=a，∴|AD|==，则|AB|=2|AD|=2=c，平方得4（a2﹣b2）=c2，即a2﹣c2+a2=c2，则2a2=c2，则c2=a2，则c=a，即离心率e=，故选：B【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相交的弦长公式建立方程关系是解决本题的关键．6．在钝角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=7，c=5，sinC=，则△ABC的面积等于（）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件和平方关系求出cosC ，由余弦定理列出方程求出b 的值，利用条件和余弦定理确定b 的值，利用三角形面积公式求出△ABC 的面积．【解答】解：在钝角△ABC 中，∵a=7，c=5，sinC=，∴A ＞C ，C 是锐角，且cosC==，由余弦定理得，c 2=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴25=49+，则b 2﹣11b +24=0，解得b=3或8，∵△ABC 是钝角三角形，∴当b=8时，角B 是钝角，∵cosB===0，则b=8舍去，同理验证b=3符合条件，∴△ABC 的面积S===，故选：C ．【点评】本题考查余弦定理，以及利用余弦定理判断是否是钝角的综合应用，考查化简、计算能力，属于中档题．7．若函数f （x ）=e x ﹣3﹣x +2a （a ＞0）有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[1，+∞）D ．（0，+∞）【分析】可求导数f ′（x ）=e x ﹣3﹣1，然后根据导数的符号便可求出函数f （x ）的最小值及函数f （x ）的单调性，根据函数只有两个零点便可得出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围．【解答】解：f ′（x ）=e x ﹣3﹣1；∴x ＜3时，f ′（x ）＜0，x ＞3时，f ′（x ）＞0； ∴x=3时，f （x ）取最小值2a ﹣2；f （x ）在（﹣∞，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增； 又f （x ）有且只有两个零点； ∴2a ﹣2＜0；∴a＜1；∴0＜a＜1．故选B．【点评】考查基本初等函数和复合函数的导数的计算公式，根据导数符号判断函数的单调性及求函数最值的方法和过程，函数零点的定义．8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）=，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．【解答】解：∵f（x+1）=，∴f（x+2）=f（x），∴函数是周期为2的周期函数；∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5）．∵0＜1＜20.5，∴b＜c＜a．故选：B．【点评】考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，1]上，根据单调性去比较函数值大小．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（2+i）（1﹣bi）=a+i，则a+b=2．【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简（2+i）（1﹣bi），再由复数相等的条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：由（2+i）（1﹣bi）=（2+b）+（1﹣2b）i=a+i，则，解得a=2，b=0．则a+b=2．故答案为：2．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数相等的条件，是基础题．10．设变力F（x）作用在质点M上，使M沿x轴正向从x=0运动到x=6，已知F（x）=x2+1且方向和x轴正向相同，则变力F（x）对质点M所做的功为78J（x的单位：m；力的单位：N）．【分析】由功的意义转化为定积分来求即可．【解答】解：=78；故答案为：78．【点评】本题考查了定积分在物理中的应用；关键是利用定积分表示．11．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（l为参数），直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点．则线段AB的长为4．【分析】将直线参数方程代入抛物线方程，求出参数的两根之和与两根之积，根据参数的几何意义求出|AB|．【解答】解：将直线l的参数方程代入抛物线方程得1++=，即t2﹣6t+5=0，∴t1+t2=6，t1t2=5．∴|AB|=|t1﹣t2|===4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题．12．如图，是一个几何体的三视图，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为边长为1的正方形，则该几何体外接球的表面积为3π．【分析】由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，得到其外接球直径，计算表面积．【解答】解：由已知得到几何体是平放的三棱柱，底面是等腰直角三角形，高为1，所以其外接球的直径为，所以表面积为4π×=3π；故答案为：3π．【点评】本题考查了由三视图求具体的外接球的表面积；前提是正确还原几何体，得到其外接球的半径．13．如图，已知圆内接四边形ABCD，边AD延长线交BC延长线于点P，连结AC，BD，若AB=AC=6，PD=9，则AD=3．【分析】利用相似三角形的判定与性质得出△ADC∽△ACP，则可求AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），进而得出答案．【解答】解：∵∠PDC+∠ADC=180°，∠PCA+∠ACB=180°，∠ACB=∠PDC=∠ABC，∴∠ADC=∠PCA，又∵∠CAD=∠PAC，∴△ADC∽△ACP，∴=，∴AC2=AD×AP=AD×（AD+DP），∵AB=AC=6，PD=9，∴36=AD×（AD+9），解得：AD=3或﹣12（舍）．故答案为：3．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及圆周角定理和圆内接四边形的性质等知识，得出△ADC∽△ACP是解题关键，属于中档题．14．已知等腰△ABC，点D为腰AC上一点，满足+=2，且||=3，则△ABC面积的最大值为6．【分析】由已知可得C为AC中点，先在△ABD中利用余弦定理表示出cosA，进而求得sinA 的表达式，然后代入三角形面积公式转化为二次函数求解．【解答】解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，D是AC上一点，满足+=2，故D为等腰三角形ABC腰AC上的中点，又由||=3，故cosA=，△ABC面积S=b2=，故答案为：6．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，主要考查了余弦定理和正弦定理的运用．解题过程中充分利用好等腰三角形这个条件，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（2016红桥区二模）已知f（x）=sin2x+cos2x﹣，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间的最大值；（Ⅱ）若f（x0）=，，求sin2x0的值．【分析】（Ⅰ）借助二倍角公式和辅助角公式化简，得到最小正周期，由x的范围结合正弦函数图象得到f（x）的范围．（Ⅱ）由f （x 0）=，，可以得到cos （2x 0+）=﹣，【解答】解 （Ⅰ）∵f （x ）=sin2x +cos 2x ﹣=sin 2x +﹣=sin 2x +cos2x=sin （2x +），∴f （x ）=sin （2x +），∴函数f （x ）的最小正周期为π，∵x ∈，∴sin （2x +）∈[，1]，所以f （x ）在区间的最大值是1．（Ⅱ）∵f （x ）=sin （2x +），∴f （x 0）=，∴sin （2x 0+）=，又∵，∴2x 0+∈[，π]，∴cos （2x 0+）=﹣，∴sin2x 0=sin （2x 0+﹣）=sin （2x 0+）cos﹣cos （2x 0+）sin=×﹣（﹣）×=．【点评】本题考查三角函数解析式的化简，以及由x 的范围，得到解析式的范围，需结合图象得到．16．（13分）（2016红桥区二模）甲、乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会（每人抢答机会均等），答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．（Ⅰ）若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；（Ⅱ）用ξ表示甲队的总得分，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）求两队得分之和大于4的概率．【分析】（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有种结果，由此能求出从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由P（B）=P（A1）+P（A2），能求出两队得分之和大于4的概率．【解答】解：（Ⅰ）6个选手中抽取两名选手共有=15种结果，抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：=6种结果，用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，求抽到的两名选手在同一个队”P（A）==．故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为．（Ⅱ）由题意知，ξ的可能取值为0，1，2，3，且～B（3，），P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=（）3=．∴ξ的分布列为：ξ的数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=2．（Ⅲ）用B表示事件：两队得分之和大于4包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用A1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．P（A1）=（++）+=，用A2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，则P（A2）==，P（B）=P（A1）+P（A2）==．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式、二项分布性质、互斥事件概率计算公式的合理运用．17．（13分）（2016红桥区二模）已知数列{a n}是递增等差数列，a1=2，其前n项为S n（n ∈N*）．且a1，a4，S5+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n及前n项和S n；（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=+1，计算{b n}的前n项和T n，并用数学归纳法证明：当n ≥5时，n∈N*，T n＞S n．【分析】（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，由a1，a4，S5+2成等比数列．可得=a1（S5+2），即（2+3d）2=2，解出d，再利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（Ⅱ）b n=+1=2n﹣1+1，可得{b n}的前n项和T n=2n+n﹣1．当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．即证明：2n＞n2+1．利用数学归纳法证明即可得出．【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d＞0，∵a1，a4，S5+2成等比数列．∴=a1（S5+2），即（2+3d）2=2，化为：9d2﹣8d﹣20=0，d＞0．解得d=2，∴a n=2+2（n﹣1）=2n．S n==n2+n．（Ⅱ）b n=+1=2n﹣1+1，∴{b n}的前n项和T n=+n=2n+n﹣1．当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．即证明：2n＞n2+1．下面利用数学归纳法证明：当n≥5时，n∈N*，T n＞S n．①当n=5时，25=32＞26=52+1，即n=1时成立．②假设当n=k∈N*（k≥5）时，2k＞k2+1成立，则n=k+1时，2k+1=2×2k＞2k2+2，∵2k2+2﹣[（k+1）2+1]=k2﹣2k=k（k﹣2）＞0，∴2k2+2＞（k+1）2+1，即2k+1＞（k+1）2+1，n=k+1时不等式成立．综上得当n≥5时，T n＞S n，n∈N*．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（13分）（2016红桥区二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，侧面PBC是边长为2的等边三角形，点E是PC的中点，且平面PBC⊥平面ABCD．（Ⅰ）求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）若点F在PC边上移动，是否存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°？若存在，则求出点F坐标，否则说明理由．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出直线对应的向量，利用向量法即可求异面直线PD与AC所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面的法向量，根据平面BFD与平面APC所成的角为90°，建立方程关系进行求解判断即可．【解答】解：（Ⅰ）因为平面PBC⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，故AB=BC=AC=PC=PB=2，取BC中点O，则AO⊥BC，PO⊥BC，PO⊥AO以O为坐标原点，OP为x轴，OC为y轴建立平面直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，），B（0，﹣1，0），C（0，1，0），P（，0，0），D（0，2，），E（，，0），则=（﹣，2，），=（0，1，），则||=，||=2，则=2﹣3=﹣1，设异面直线PD与AC所成角为θ，则cosθ==||=，所以异面直线PD与AC所成角的余弦值为．（Ⅱ）设存在点F，使平面BFD与平面APC所成的角为90°，设F（a，b，0），因为P，C，F三点共线，=（a﹣，b，0），=（﹣，1，0），设=λ，则（a﹣，b，0）=λ（﹣，1，0），所以a=（1﹣λ），b=λ，则F（（1﹣λ），λ，0），设平面BFD的一个法向量为=（x，y，z），则得令y=，则=（，，﹣3），||=，设平面APC的一个法向量为=（x，y，z），则则，令x=1，则=（1，，1），||=，又=（1，，1）（，，﹣3）=，若平面BFD与平面APC所成的角为90°，则cos90°===0，故=0，即λ=﹣1，此时E（2，﹣1，0），点F在CP延长线上，所以，在PC边上不存在点F使平面BFD与平面APC所成的角为90°【点评】本题主要考查异面直线所成的角以及二面角的计算，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．19．（14分）（2016红桥区二模）设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值；（Ⅲ）自椭圆C上异于其顶点的任意一点P，作圆O：x2+y2=2的两条切线切点分别为P1，P2，若直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，证明：=1．【分析】（Ⅰ）将Q的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）求出直线l与x，y轴的交点，代入椭圆方程，运用韦达定理，以及向量共线的坐标表示，可得k的值；（Ⅲ）由切线的性质，结合四点共圆判断可得P，P1，O，P2四点共圆，可得其圆心O'（，），求得圆方程，由两圆方程相减可得相交弦方程，由题意可得P1P2的方程为+=1，求得P的坐标，代入椭圆方程即可得证．【解答】解：（Ⅰ）椭圆过点Q（，1），可得+=1，由题意可得c=，即a2﹣b2=2，解得a=2，b=，即有椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）直线l：y=k（x﹣1）与x轴交点C（1，0），y轴交点D（0，﹣k），联立，消y得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，①设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，=（x2﹣1，y2），=（﹣x1，﹣k﹣y1），由，得：x1+x2==1，解得k=±；（Ⅲ）证明：因为P1，P2为切点，所以OP1⊥PP1，OP2⊥PP2，所以P，P1，O，P2四点共圆，其圆心O'（，），方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，整理得x2+y2﹣xx P﹣yy P=0，P1，P2是圆O与圆O'的交点，联立得xx P+yy P=2，直线P1P2在x轴，y轴上的截距分别为m，n，可得直线P1P2的方程为+=1，得x P =，y P =，因为P （x P ，y P ）在椭圆x 2+2y 2=4上，则（）2+2（）2=4，整理得=1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量相等的条件，同时考查圆方程的求法，以及两圆相交弦的问题，考查运算能力，属于中档题．20．（14分）（2016红桥区二模）已知函数f （x ）=alnx ++x ，（a ，b ∈R ） （Ⅰ）若函数f （x ）在x 1=1，x 2=2处取得极值，求a ，b 的值，并说明分别取得的是极大值还是极小值；（Ⅱ）若函数f （x ）在（1，f （1））处的切线的斜率为1，存在x ∈[1，e ]，使得f （x ）﹣x ≤（a +2）（﹣x 2+x ）成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ） 若h （x ）+x=f （x ）+（1﹣）x 2，求h （x ）在[1，e ]上的最小值及相应的x 值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，计算f ′（1），f ′（2）的值，求出a ，b ，列出表格，求出函数的单调区间，求出极值点；（Ⅱ）求出a=﹣b ，问题转化为a ≥（x ∈[1，e ]），根据函数的单调性求出a 的范围即可；（Ⅲ）求出h （x ）=alnx +x 2，通过讨论a 的范围，求出函数的最小值，从而得到对应的x 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f ′（x ）=+bx +1，f ′（1）=a +b +1=0①，f ′（2）=a +2b +1=0②．由①②解得：a=﹣，b=﹣．此时f （x ）=﹣lnx ﹣x 2+x ，f ′（x ）=，所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值；（Ⅱ）若函数f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率为1，则f′（1）=a+b+1=1，则a=﹣b，故f（x）=alnx﹣x2+x，若f（x）﹣x=alnx﹣x2≤（a+2）（﹣x2+x）成立，则a（x﹣lnx）≥x2﹣2x成立，∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0．因而a≥（x∈[1，e]）．令g（x）=（x∈[1，e]），又g′（x）=，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx＞0，从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在[1，e]上为增函数．故g（x）的最大值为g（e）=，所以实数a的取值范围是[，+∞）．（Ⅲ）h（x）+x=f（x）+（1﹣）x2⇒h（x）=alnx+x2，h′（x）=（x＞0），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]，若a≥﹣2，h′（x）在[，1e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，h′（x）=0），故函数h（x）在[1，e]上是增函数，此时[h（x）]min=f（1）=1，若﹣2e2＜a＜﹣2，当x=时，h′（x）=0；当1≤x＜时，h′（x）＜0，此时h（x）是减函数；当＜x≤e时，h′（x）＞0，此时h（x）是增函数．故[h（x）]min=f（）=ln（﹣）﹣，若a≤﹣2e2，h′（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f′（x）=0），故函数h（x）在[1，e]上是减函数，此时[h（x）]min=h（e）=a+e2，综上可知，当a≥﹣2时，h（x）的最小值为1，相应的x值为1；为；。

天津市红桥区2017届高三上学期期末数学（理科）试卷1．设集合{}0M x x x =≥∈R ，，{}21,N x x x <=∈R ，则M N =（ ）A ．[]0,1B ．()0,1C ．(]0,1D ．[)0,1 2．甲、乙两人射击比赛，两人平的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（ ） A ．25 B ．56 C ．16 D ．133．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A ．13 B ．12 C ．1 D ．324．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线()220y px p =>的准线分别交于O 、A 、B三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，AOB △p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．35．若a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，则直线a ⊥平面α的一个充分不必要条件是（ ）A ．a β∥且αβ⊥B ．a β⊂且αβ⊥C ．a b ⊥且b α∥D ．a β⊥且αβ∥6．已知α，()0,πβ∈，且()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-的值是（ ） A ．π4- B ．3π4- C ．π4- D ．3π47．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD PC ∙的最大值为（ ）A B ．32 C ．2 D 8．设方程()1e 110x m --+=的两根分别为1x ，2x ()12x x <，方程e 10x m --=的两根分别为3x ，4x ()34x x <．若10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()4132x x x x +-+的取值范围为（ ）A ．(),0-∞B ．3,ln 5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3ln ,05⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．i 为虚数单位，复数2i 1i=+_________． 10．直线10ax y ++=被圆2220x y ax a -++=截得的弦长为2，则实数a 的值是_______．11．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为3，则输出的i =__________．12．在ABC △中，已知角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos c a B b A b -=，则sin sin A B =__________．13．已知实数x ，y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函2z x ay =+，仅在点()3,4取得最小值，则a 的取值范围是__________．14．设函数()241,4log ,04x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩若()()f a f b c ==，()0f b '<，则a ，b ，c 的大小关系是_________．15．（13分）设函数()2πsin co sin 4f x x sx x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值． 16．（13分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===，直角梯形11AA CC通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AAC C ⊥平面11AA B B ．点M 为线段BC 的中点，点P 是线段1BB 中点．（Ⅰ）求证：11AC AP ⊥；（Ⅱ）求二面角P AM B --的余弦值．17．（13分）在等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，公比为q ，且2212b S +=，22S q b =（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设数列{}n c 满足1n nc S =，求{}n c 的前n 项和n T ． 18．（13分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，()*2n n S a n n -=∈N ． （1）求证：数列{}1n a +成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）数列{}n a 中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知点)P 和椭圆C ：22142x y +=． （1）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F △的周长及椭圆的离心率；（2）若直线l()200y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：120k k +=．20．（14分）已知函数()()()2212e x f x ax a x a a =++⎡⎤⎣⎦+-∈R ．（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设()22ln bx g x x =，当1a =时，若对任意()10,2x ∈，存在()21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，求实数b 的取值范围．。

高三数学（理）(1705)一、选择题（每小题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DACBABCA二、填空题（每小题5分，共30分） 9．10．1411．4112．1 13．7 14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：(1)f(x)＝2-sin 2x·ππcos 2cos 2sin 44x -⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝π22sin 24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭................................6 所以，f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.......................................7 （Ⅱ）因为f(x)在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，3π228f ⎛⎫=⎪⎝⎭，π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 故函数f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为－2 (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：41,41................................1 甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=41×21+21×41+41×41=165 (4)（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8 (5)P(ξ=0)=21×41=81 P(ξ=2)=41×41+21×21=165 P(ξ=4)=21×41+21×41+41×41=165 P(ξ=6)=21×41+41×41=163 P(ξ=8)=41×41=161 .......................................................10 数学期望Eξ=165×2+165×4+163×6+161×8=27 (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接 ，为正方形， 为中点， 为中点．所以在 中，，且，所以 ． (3)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (4)所以， (5)又，所以是等腰直角三角形，且即 (6)，且所以又，所以． (7)（Ⅲ）如图，取的中点，连接，．因为，所以．因为，所以， (8)而，分别为，的中点，所以，又是正方形，故．因为，所以，．以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， (9)则有，，，．若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接，设．由（Ⅱ）知平面的法向量为．设平面的法向量为． 因为 ，，所以由，可得 ，令，则，， 故，所以， (12)解得，．所以，在线段上存在点，使得二面角的余弦值为． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意可得：22121363a bc a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当k 不存在时，33,22x y =±∴=±， 1333224OAB S ∆∴=⨯⨯= (5)②当k 存在时，设直线为y kx m =+，()()1122,,,,A x y B x y222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................7 212122263313,13km m x x x x k k --+==++ (8)2243(1)d r m k =⇒=+ (9)224222222424612(1)11094||1()3311313169169km m k k k AB kk k k k k k --++=+-=⋅=⋅+++++++224312196k k=⨯+≤++ (11)当且仅当2219,k k = 即33k =±时等号成立 ..........................12 113322222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯⨯=， ∴OAB ∆面积的最大值为32，此时直线方程313y x =±±. (13)（19）（本小题满分14分） （Ⅰ）由得， (1)相减并整理得又由于，则，故{}n a 是等差数列． (3)因为， 所以故．.......................5 （Ⅱ）当， 时，，，可解得，， (7)猜想使成立．........................8 证明：恒成立．令②﹣①得：，故存在等比数列{}n b符合题意． (10)（Ⅲ） (12)则故． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）法一：根据题意：令，可得，所以经验证，可得当时，对任意，都有，所以 (3)法二：因为所以要使上式对任意恒成立，则须有即 (3)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以， (4)令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以解得或无解，所以的取值范围，可得， (7)由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，． (10)（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点．又因为，所以在上递增，即时，恒成立．根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，恰有三个不同的零点． (14)。

数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10个小题,，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{0,1,2,3,4,5}A =，{1,3,6,9}B =，{3,7,8}C =，则()A B C = （ ） A ．{3} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8} D ．{1,3,6,7,8}2.把函数sin y x =()x R ∈的图象上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是（ ） A ．sin(2)6y x π=-，x R ∈ B ．sin()212x y π=+，x R ∈C ．sin(2)3y x π=+，x R ∈ D ．sin(2)6y x π=+，x R ∈ 3.函数()2sin()f x x ωϕ=+（0,22ππωϕ>-<<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（ ） A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π4.设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a <<5.给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③1y x =- ，④12x y +=，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是（ ）A ．①④ B.①② C ．②③ D ．③④ 6.函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,)e D ．(3,4)7.函数lg xy x=的图象大致是（ ）8.如图所示，由抛物线2y x =和直线1x =所围成的图形的面积等于（ ） A ．1 B ．43 C ．23 D ．139.以下说法正确的有（ ） （1）1y x x=+（x R ∈）最小值为2； （2）222a b ab +≥对,a b R ∈恒成立； （3）0a b >>且0c d >>，则必有ac bd >；（4）命题“x R ∃∈，使得210x x ++≥”的否定是“x R ∀∈，使得210x x ++≥”； （5）实数x y >是11x y<成立的充要条件； （6）设,p q 为简单命题，若“p q ∨”为假命题，则“p q ⌝∨⌝”也为假命题. A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个10.已知函数()f x 的定义域为[1,5]-，部分对应值如下表，()f x 的导函数'()y f x =的图象如图所示，下列关于函数()f x 的命题：（1）函数()y f x =是周期函数； （2）函数()f x 在(0,2)上是减函数；（3）如果当[1,]x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么t 的最大值为4； （4）当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点. 其中真命题的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） 11. 213x -≥的解集是___________.12.在ABC ∆中，已知6AB =，030A ∠=，0120B ∠=，则ABC ∆的面积是___________.13.若函数2()23f x ax x =+-在区间(,4)-∞上是单调递增的，则a 的取值范围是___________.14.已知函数3log ,0()1(),03x x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，那么不等式()1f x ≥的解集___________.15.若23()x f x x⎧+=⎨-⎩ 00x x ≥<，则11()f x dx -=⎰___________.16.已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象如图所示，给出如下命题： ①0是函数()y f x =的一个极值点； ②函数()y f x =在12x =-处切线的斜率小于零； ③(1)(0)f f -<；④当20x -<<时，()0f x >.其中正确的命题是___________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知一元二次不等式20x ax b --<的解集是{13}x x <<. （1）求实数,a b 的值； （2）解不等式21x ax b+>+. 18.（本小题满分10分）设命题:p 关于m 的不等式：22430m am a -+<，其中0a <，命题:0q x ∀>，使41x m x+≥-恒成立，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围. 19.（本小题满分10分）设锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且有2sin a b A =. （1）求B 的大小；（2）若5a c ==，求b . 20.（本小题满分13分）已知函数22()cos )2sin cos f x x x x x =-+. （1）求()f x 的最小正周期； （2）设[,]33x ππ∈-，求()f x 的值域和单调递增区间. 21.（本小题满分12分） 已知函数3()1f x x ax =--.（1）若()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使()f x 在(1,1)-上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由.22.（本小题满分15分）已知函数()ln (1)f x x a x =--，其中0a >.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上有极大值0，求a 的值； （提示：当且仅当1x =时，ln 1x x =-）；（2）令()()(1)aF x f x a x x=+-+（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围； （3）讨论并求出函数()f x 在区间1[,]e e上的最大值.高三数学（理）（2016、11）一、选择题（每小题5分，共50分）二、填空题（每小题5分，共30分） 11． 12．13．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,41 14． 15． 16．①③三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题10分）（1） 因为不等式的解集是 ，∴， 是方程的两根．故，，即， (4)（2） 不等式等 ，即为 ．因为．所以，原不等式的解集为 (10)18．（本小题10分）：解得． (3)又因为，所以 (10)19.（本小题10分）（1）由，根据正弦定理得 (2)所以 (3)由于是锐角三角形，所以 (5)（2）根据余弦定理，得 (9)所以． (10)20．（本小题13分）（1）因为 (5)所以的最小正周期为 (7)（2）因为，所以 (8)所以 (9)所以的值域为 (11)由，得．故的递增区间为 (13)21.（本小题12分）（1） (2)由，即，解得因此当在上单调递增时，的取值范围是． (5)（2）若在上单调递减，则对于任意不等式恒成立，即 (8)又，则 (10)因此 .函数在上单调递减，实数的取值范围是 (12)22.（本小题15分）（1）............................................................... ..2当时，，当时，故函数在上单调递增，在上单调递减， (4)因此函数在上有极大值 (5)所以，解得． (7)（2），于是有在上恒成立 (9)所以，当时，取最大值，所以． (12)（3）因为，①若，即，则当时，有，所以函数在上单调递增，则．若，即，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以．若，即，则当时，有，函数在上单调递减，则．综上得，当时，；当时，；当时，． (15)。

高三数学（理）（1703）一、选择题（每小题5分，共40分） 题号12345678答案C B B A C D C B二、填空题（每小题5分，共30分）9．10．25811．4312．51 13．①②④⑤14．(0，4)三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（本小题满分13分）（Ⅰ）......4所以的最小正周期 (6)由，得，所以的单调递减区间为， (8)（Ⅱ）由得故所以，因此，的最大为，最小值是． (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡设事件为"采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人"，事件为"采访该团人中，人持金卡，人持银卡"，事件为"采访该团人中，人持金卡，人持银卡"．由此可知所以在该团中随机采访人，恰有人持金卡且持银卡者少于人的概率是． (6)（Ⅱ）由题知的所有可能取值为，，， (7)所以的分布列为所以 (11) (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）设P A 中点为G ，连结EG ，DG ．因为PA //BE ，且4PA =，2BE =，所以BE //AG 且BE AG =，所以四边形BEGA 为平行四边形．所以EG //AB ，且EG AB =．因为正方形ABCD ，所以CD //AB ，CD AB =，所以EG //CD ，且EG CD =．所以四边形CDGE 为平行四边形．所以CE //DG ．因为DG ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE //平面PAD ． (4)（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则(4,0,0)B ，(4,4,0)C ，(4,0,2)E ，(0,0,4)P ，(0,4,0)D ，所以(4,4,4)PC =- ，(4,0,2)PE =- ，(0,4,4)PD =- ．设平面PCE 的一个法向量为(,,)m x y z = ，所以00200m PC x y z x z m PE ⎧⋅=+-=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩ ．令1x =，则112x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,1,2)m = ．设PD 与平面PCE 所成角为α，则43sin cos ,6642m PD m PD PD m α⋅-=<>===⨯ ．所以PD 与平面PCE 所成角的正弦值是36． (8)（Ⅲ）依题意，可设(,0,0)F a ，则(4,0,2)FE a =- ，(4,4,2)DE =- ．设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则0220(4)200n DE x y z a x z n FE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ ．令2x =，则224x a y z a =⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，所以)4,2,2(-=a a n ．因为平面DEF ⊥平面PCE ，所以0m n ⋅= ，即08222=-++a a，所以4512<=a ，点12(,0,0)5F ．所以35AF AB =． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由已知①，②，①②得，即．又因为，所以．因为，所以，所以，所以，所以． (6)（Ⅱ）由（Ⅰ）知所以设，则，两式相减得，整理得，所以． (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）函数的定义域为． (1) (3)令，得，其判别式．当，即时，，此时，在上单调递增．（2）当，即时，方程的两根为，．若，则，则时，，时，．此时，在上单调递减，在上单调递增．若，则，则时，，时，，时，．此时，上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．综上所述，当时，函数在（0，a 11+）上单调递减，在),11+∞+a （上单调递增；当时，函数)(x f 在（0，a 11）上单调递增，在（a 11，a 11+）上单调递减，在),11+∞+a （上单调递增；当时，函数上单调递增． (7)（Ⅱ）①由（Ⅰ）可知，函数有两个极值点，，等价于方程在有两不等实根，故． (9)②证明：（Ⅰ）得，，且，．令，则．由于，则，故在上单调递减．故．所以所以． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）由已知431222==ab e ，所以224b a =，因为点在椭圆上，所以，解得，．所以所求椭圆方程为． (4)（Ⅱ）设，，因为的垂直平分线过点，所以的斜率存在．当直线的斜率时，所以，，所以12421)4(21)41(22121212121212111=-+≤-=-=⋅=∆x x x x x x y x S AOB ，当且仅当时取""，所以时，， (6)当直线的斜率时，设．所以消去得，由得①所以，，所以，，所以的中点为， (8)由直线的垂直关系有，化简得②由①②得，所以， (10)又到直线的距离为，，，所以时，．由，所以，解得．即时，．综上，． (14)。

2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．93．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．64．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或66．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为，（用数字作答）10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为．13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【解答】解：∵（1+i）2+＝，∴．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．9【解答】解：画出约束条件，表示的可行域，由图可知，由：，解得A（3，1）．当直线z＝x+2y+4，过A（3，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3+2+4＝9．故选：D．3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i＝2，s＝2；经第二次循环得到i＝3，s＝4；经第三次循环得到i＝4，s＝0；不满足判断框的条件，输出0，故选：A．4．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意，x＝9时甲的平均数为＝25.8；乙的平均数为＝25.6＞25.8，所以“x＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的充分条件；而已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数得到x可能比9大，因此已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数的充分不必要条件；故选：A．5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或6【解答】解：圆M的参数方程为（t为参数），化为普通方程：（x ﹣1）2+（y+2）2＝4，可得M（1，﹣2），半径r＝2．直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，展开可得：（sinθ﹣cosθ）＝m，化为：y﹣x﹣m＝0，即x﹣y+m＝0．∴圆心M到直线l的距离d＝＝．∵△MAB的面积为2，∴|AB|×＝2．又|AB|＝2，∴×d＝2，解得d＝．∴＝，解得m＝﹣1或﹣5．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x【解答】解：设圆心M（x0，0），x0＞0，由双曲线的离心率e＝＝＝，则b＝2a，双曲线双曲线﹣＝1渐近线方程：ay±bx＝0，即y±2x＝0，则圆心到渐近线的距离d＝＝＝2，∴x0＝，则抛物线的焦点坐标为（，0），∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1【解答】解：∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，∴m≥1，由因为对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且图象连续，所有m＝1其图象如下：函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点分别为0，1，2，3，…2n，∴所有零点的和等于．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝{0，2}．【解答】解：根据题意，集合A＝{0，1，2，3，4}，则B＝{m|m＝2n，n∈A}＝{0，2，4，6，8}，而M＝{x∈R|x＞2}，则∁R M＝{x|x≤2}，故B∩∁R M＝{0，2}；故答案为：{0，2}．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为15，（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝C6r•（﹣1）r•，令6﹣r＝3，可得r＝2，故展开式中含x3的项的系数为C62＝15，故答案为：15．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．【解答】解：由已知的三视图得到几何体如图：其体积为m3；故答案为：11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为1﹣．【解答】解：由题意，首先B（1，e）在y＝a x的图象上，所以e＝a1，所以a＝e，长方形的面积为1×e＝e，阴影部分的面积为：＝（e x﹣x）＝e﹣，由几何概型的公式得到点P落在阴影部分内的概率为；故答案为：1﹣．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：由f（﹣x）＝f（x），得函数f（x）是偶函数，若对于任意x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，则此时函数f（x）为减函数，若f（﹣）＝，2f（x）＜1，则f（﹣）＝，f（x）＜，即不等式等价为f（x）＜f（﹣），即f（x|）＜f（），则x＞或x＜﹣，得0＜x＜（）＝或x＞（）﹣＝2，即x的取值范围是（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为[，]．【解答】解：由＝，得∠DAC＝60°．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为BA•BM＝，∴BM＝，⇒AM＝，BN＝以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（），D（）根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时＝．当点F在B处时，最大，此时＝．∴则的取值范围为[]故答案为：[]三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1＝sin2x+cos2x+a ＝2+a．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2＝2，解得a＝．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查，基本事件总数n＝，A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，则事件A的概率p＝1﹣＝，（Ⅱ）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，2，4，P（X＝4）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝0）＝＝．∴随机变量X的分布列为：E（X）＝＝．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，又G为EF中点，∴OG∥AE，∵OG⊄面ABE，AE⊂平面ABE，∴OG∥平面ABE．解：（Ⅱ）分别以OD、OA、OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0，0），E（0，1，2），B（﹣，0，0），A（0，1，0），＝（﹣，1，2），＝（），＝（），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（﹣），∴cos＜＞＝＝，∴sin＜＞＝，∴二面角D﹣BE﹣A的正弦值为．（Ⅲ）设F（0，﹣1，a），＝（0，﹣1，a），∵OF与平面BDE所成角为45°，∴＝，解得a＝3，或a＝﹣（舍），∴＝（0，﹣1，3），cos＜＞＝＝，∴异面直线OF与DE所成角的余弦值为．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，a3＝2+d，a7＝2+3d，∵a1，a3，a7成等比数列，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍）．于是a n+2﹣a n＝2．当n＝2k时，a n＝a2k＝a2+（k﹣1）×2＝2k＝n；当n＝2k﹣1时，a n＝a2k＝a1+（k﹣1）×2＝2k＝n+1．﹣1∴；（Ⅱ）b n＝＝，．又c n＝（﹣1）n•b n，∴＝．于是，．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．则F2（b，0），c＝b，则a2＝b2+c2＝2c2，椭圆的离心率e＝＝，∴椭圆C的离心率；（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则＝b，则x0﹣y0﹣3b＝0，或x0﹣y0+b＝0，由，无解，，解得：，由△PF1F2的面积为S＝×2b×b＝．解得：b＝1，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线l：y＝kx+m，则，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，整理得m2＝2k2+1，丨F1M丨＝，丨F2M丨＝，当k≠0时，则丨MN丨＝，则（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝＝＝＝≤4，当且仅当丨m丨＝1时，取等号，而k≠0，则丨m丨≠1，因此（|F1M|+|F2N|）•|MN|＜4，当k＝0时，四边形F1MF2N为矩形，此时（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝（1+1）×2＝4，综上可知：（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值为4．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＜f′（x）＝﹣x2+2ax+b，由已知可得f′（1）＝﹣1+2a+b＝0，且f（1）＝﹣+a+b+ab＝﹣，解得a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝5，当a＝2，b＝﹣3时，f′（x）＝﹣x2+4x﹣3，x＝1是f（x）的极小值点，当a＝﹣2，b＝5时，f′（x）＝﹣x2﹣4x+5，x＝1是f（x）的极大值点，故舍去，∴a＝2，b＝﹣3；（Ⅱ）g（x）＝|f′（x）|＝|﹣x2+2ax+b|＝|﹣（x﹣a）2+b+a2|，∵|a|＞1，∴函数f′（x）的对称轴为x＝a位于区间[﹣1，1]之外，于是g（x）在[﹣1，1]上的最大值在两端点处取得，即g（x）max＝max{g（﹣1），g（1）}，于是2g（x）max≥g（1）+g（﹣1）＝|b﹣1+2a|+|b﹣1﹣2a|≥4|a|＞4，故g（x）max＞2；（Ⅲ）由题设知，f′（x）＝﹣x2+2ax+b＜﹣x2+2ax+2a﹣1＝（x+1﹣2a）（﹣x+1），∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，①m∈（0，1），α＝mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1＝x1α＝mx1+（1﹣m）x2＝x2﹣m（x2﹣x1）x2＜x2，∴α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，∴f（x1）＞f（α）＞f（x2）且f（x1）＞f（β）＞f（x2），从而有|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|符合题意，即m∈（0，1）符合题意，②m≤0时，α＝mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2＝x2β＝（1﹣m）x1+mx2≤（1﹣m）x1+mx1＝x1于是可知f（β）≥f（x1）≤f（x2）≤f（α），∴进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符③m≥1时，同理可得α＝mx1+（1﹣m）x2≤mx1+（1﹣m）x1＝x1，β＝（1﹣m）x1+mx2≥（1﹣m）x2+mx2＝x2，进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符综合①②③可得m∈（0，1）。

2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4} 2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．83．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．64．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．48．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4}【解答】解：全集U＝{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，∵A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，∴∁U（A∩B）＝{0，2，4}，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．8【解答】解：画出变量x，y满足约束条件的平面区域，如图示：，由，解得A（4，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（4，﹣1）时，z最大，z的最大值是7．故选：C．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由框图知：n＝3，k＝0第一次循环n＝3不是偶数，n＝10，k＝1；第二次循环n是偶数，n＝5，k＝2；第三次循环n不是偶数，n＝16，k＝3；第四次循环n是偶数，n＝8，k＝4．满足条件n＝8，跳出循环体，输出k＝4．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得﹣1＜x＜3．由x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°【解答】解：∵a2＝（b+c）2﹣4＝b2+c2+2bc﹣4，∴cos A＝＝＝﹣1∵△ABC的面积为，∴bc sin A＝，∴bc＝，∴cos A＝﹣1＝sin A﹣1，∴sin A＝（cos A+1）∵cos2A+sin2A＝1，∴3（cos A+1）2+cos2A＝1，∴4cos2A+6cos A+2＝0（2cos A+1）（cos A+1）＝0，∵cos A+1≠0∴cos A＝﹣，∴A＝120°，故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得，a＞0，且a≠1，故函数t＝4﹣ax在区间[0，2]上单调递减．再根据y＝log a（4﹣ax）在区间[0，2]上单调递减，可得a＞1，且4﹣a×2＞0，解得1＜a＜2，故选：C．7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：过点F且斜率为﹣的直线方程为y＝﹣（x﹣c），与双曲线的渐近线y＝x，联立，得到A（，），∵△OAF的面积为4ab，∴＝4ab，∴c＝4a，∴双曲线的离心率为e＝＝4，故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝i．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：i．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是【解答】解：该组合体由上面为球，下面为正四棱锥组成，球的半径为1，正四棱锥的底面边长为2，高为2，则该组合体的体积是π•13+•22•2＝．故答案为：．11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．【解答】解：由直线y＝x+3与抛物线x2＝4y，联立解得，x1＝﹣2，x2＝6．6（x+3﹣x2）dx故所求图形的面积为S＝∫﹣26＝，＝（+3x﹣）|﹣2故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为2．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝3，化为直角坐标方程为x2+y2＝9，直线l的参数方程为（t为参数），化为标准形式，代入圆方程可得t′2﹣6t′+17＝0设方程的根为t′1，t′2，∴t′1+t′2＝6，t′1t′2＝17，∴曲线C被直线l截得的弦长为|t′1﹣t′2|＝＝2．故答案为：2．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．【解答】解：根据题意，若x+2y＝4xy，则有+＝4，则x+＝×（x+）（+）＝（++）≥（+2）＝，当且仅当x＝y＝时等号成立；即x+的最小值为；故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）＝，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：设直线y＝ax与y＝﹣lnx相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝e，y0＝﹣1，a＝﹣．∵f（x）﹣ax＝0只有一解，∴y＝f（x）与y＝ax的函数图象只有1个交点，∴a≥1或a＜﹣．故答案为：（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．∵正切函数的定义域满足，x+，可得：x≠，k∈Z∴函数f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}，函数f（x）化简可得：f（x）＝＝2sin（2x+）﹣1∴f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）∵f（x）＝2sin（2x+）﹣1，由2x+，k∈Z得：，∵x∈（0，）上时，令k＝0，可得f（x）在区间（0，]上是单调增区间．由2x+，k∈Z．得：，∵x∈（0，）上，令k＝0，可得f（x）在区间[，）上是单调减区间．∴f（x）在区间（0，）上时，（0，]是单调增区间，[，）上是单调减区间．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，则P（A）＝＝，所以事件A发生的概率为；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，则X的可能取值为0，1，2；则P（X＝0）＝P（A）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；∴随机变量X的分布列为数学期望为EX＝0×+1×+2×＝1．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，∴平面ABD⊥平面BCD，∵∠CBD＝90°，∴BC⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，AD⊂面ABD，∴BC⊥AD，由AB＝AD＝，BD＝2，得BD2＝AB2+AD2，∴AD⊥AB，∵AB∩BC＝B，∴AD⊥平面ABC．解：（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设AC与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．（Ⅲ）＝（2，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，则＝（1，1，1），平面ABE的法向量＝（1，﹣1，1），设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．（a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．【解答】解：（1）f（x）＝ae x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝ae x﹣x﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为ae﹣2，由切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，可得（ae﹣2）•（﹣）＝﹣1，解得a＝1，即f（x）＝e x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝e x﹣x﹣1，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）≥g（0）＝0，即有f′（x）≥0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）解法一、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为h（x）＝ae x﹣x﹣1有两个零点，h′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）不可能有两个零点；当a＞0时，令h′（x）＝0，可得x＝﹣lna，当x＞﹣lna时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜﹣lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x＝﹣lna处h（x）有极小值也为最小值，若函数h（x）有两个零点，则h（﹣lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；解法二、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）＝ae x﹣x﹣1＝0有两个不等的实根，即有a＝有两个不等实根．令h（x）＝，h′（x）＝，当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＜0时，h′（x）＞0，h（x）递增．h（x）在x＝0处取得最大值1，当x＞0时，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，当x≤0时，h（0）＝1，h（﹣2）＝﹣e2＜0，结合h（x）在（﹣∞，0）递增，可得h（x）在（﹣∞，0）只有一个零点；故0＜a＜1．（3）证明：由（1）可得x＞1时，e x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e x lnx＞（x+1）lnx，设φ（x）＝（x+1）lnx﹣x+，φ′（x）＝lnx+﹣1﹣＝lnx+（1﹣）＞0（x＞1），所以φ（x）在（1，+∞）递增，即有φ（x）＞φ（1）＝0，即（x+1）lnx＞x﹣，故当x＞1时，e x lnx＞x．。

高三数学(理)本试卷分为第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时l20分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分． 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么P(A B)=P(A)+P(B)． ·如果事件A ，B 相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)．·棱柱的体积公式V=Sh ．其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高．·锥体的体积公式V=13Sh ．其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．·球的体积公式V=334R ．其中R 表示球的半径．一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．气， (1)复数512ii-= A ．2-i B ．1-2i C ．-l+2i D ．-2+i (2)已知集合A={2|230x x x --<}，集合B={1|21x x +>}，则B A ð= A ．(3，+∞) B ．[3，+∞) C ．(-∞，-1] [3，+∞) D ．(-∞，-1) (3，+∞)(3)在∆ABC 中，“AB BC>0”是“∆ABC 是钝角三角形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 (4)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩， 所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为A ．2B ．13-C ．12- D ．1(5)己知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是A ．108cm 3B ．92cm 3C ．84cm 3D ．100 cm 3(6)函数()|2|ln f x x x =--在定义域内零点可能落在下列哪个区间内 A ．(0，1) B ．(2，3) C ．(3，4) D ．(4，5) (7)以下命题中，真命题有①已知平面α、β和直线m ，若m //α且αβ⊥，则m β⊥．②“若x 2<1，则-1<x <1”的逆否命题是“若x <-1或x >1，则x 2>1”．③已知△ABC ，D 为AB 边上一点，若12,3AD DB CD CA CB λ==+ ，则23λ=．④极坐标系下，直线cos()4πρθ-=ρ=有且只有l 个公共点.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(8)函数()f x 的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数．设函数()f x 在[0，l]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)=0；②1()()32x f f x =；③(1)1()f x f x -=-，则1138f f ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= A ．34B ．45C ．1D ．23第II 卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共12小题，共110分．二．填空题：本大题共6小题。

2017年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最大值为（）A．6B．C．0D．123．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．a n＝2n B．a n＝2（n﹣1）C．a n＝2n D．a n＝2n﹣1 4．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．5．（5分）设p：x∈{x|y＝lg（x﹣1）}，q：x∈{x|2﹣x＜1}，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A．B．C．D．﹣7．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（15，25）B．（20，32）C．（8，24）D．（9，21）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i为虚数单位，则复数＝．10．（5分）（2x3﹣）7的展开式中常数项是．（用数字作答）11．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sin A﹣sin B）（a+b）＝（a﹣c）sin C，则cos B＝．12．（5分）曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，则曲线C上的点到直线l：（t为参数）的最短距离是．13．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．14．（5分）已知下列命题：①函数f（x）＝有最小值2；②“x2﹣4x﹣5＝0”的一个必要不充分条件是“x＝5”；③命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧（¬q）”是假命题；④函数f（x）＝x3﹣3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3．其中正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）摩拜单车和ofo小黄车等各种共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利．某自行车租车点的收费标准是：每车使用1小时之内是免费的，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车（各租一车一次）．设甲乙不超过1小时还车的概率的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面P AD；（Ⅱ）求证：面P AB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．18．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．19．（14分）设S n是正项数列{a n}的前n项和，且S n＝+a n﹣（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{b n}，使a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣1）•2n+1+2对一切正整数n都成立？并证明你的结论．（Ⅲ）设＝（n∈N*），且数列{∁n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．20．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+（a，b∈R），且对任意x＞0，都有f（x）+f（）＝0（Ⅰ）用含a的表达式表示b；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求出a的取值范围，并证明f（）＞0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断y＝f（x）零点的个数，并说明理由．2017年天津市红桥区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜1}，B＝{x|x2﹣x≤0}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0≤x＜1}【解答】解：由A中不等式解得：﹣1＜x＜1，即A＝{x|﹣1＜x＜1}，由B中不等式变形得：x（x﹣1）≤0，解得：0≤x≤1，即B＝{x|0≤x≤1}，则A∩B＝{x|0≤x＜1}，故选：D．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最大值为（）A．6B．C．0D．12【解答】解：作出约束条件的可行域如图，由z＝x+2y知，y＝﹣x+z，所以动直线y＝﹣x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值．由得A（0，3）．结合可行域可知当动直线经过点A（0，3）时，目标函数取得最大值z＝0+2×3＝6．故选：A．3．（5分）根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是（）A．a n＝2n B．a n＝2（n﹣1）C．a n＝2n D．a n＝2n﹣1【解答】解：由程序框图知：a i+1＝2a i，a1＝2，∴数列为公比为2的等比数列，∴a n＝2n．故选：C．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值（）A．2B．3C．D．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2，如图：AD＝1，BC＝2，SB＝x，AD∥BC，SB⊥平面ABCD，AD⊥AB．∴底面的面积S＝×（1+2）×2＝3．该几何体为x，几何体的体积V＝＝1，可得x＝3．故选：B．5．（5分）设p：x∈{x|y＝lg（x﹣1）}，q：x∈{x|2﹣x＜1}，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵p：x∈{x|y＝lg（x﹣1）}，∴p：x＞1，∵q：x∈{x|2﹣x＜1}，∴x＞0，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则•的值为（）A．B．C．D．﹣【解答】解：如图，根据已知条件：＝+＝+＝+（﹣）＝（2+）；同理＝（+2）；∴•＝（22+5•+22）＝（8﹣15+18）＝．故选：B．7．（5分）将函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+）的图象向右平移φ，可得y＝2sin（2x ﹣2φ+），再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的，周期变小，则g（x）＝2sin（4x﹣2φ+），此时g（x）图象关于直线x＝对称，即x＝时，函数g（x）取得最大值或最小值∴π﹣2φ+＝，k∈Z．∵φ＞0，∴当k＝0时，可得φ的最小值为．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围是（）A．（15，25）B．（20，32）C．（8，24）D．（9，21）【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）＝f（x2），∴﹣log2x1＝log2x2，∴log2x1x2＝0，∴x1x2＝1，∵f（x3）＝f（x4），∴x3+x4＝12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，∴＝x3x4﹣（x3+x4）+1＝x3x4﹣11＝x3（12﹣x3）﹣11＝﹣x32+12x3﹣11＝﹣（x3﹣6）2+25，∴的取值范围是（9，21）．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）设i为虚数单位，则复数＝．【解答】解：＝．故答案为：．10．（5分）（2x3﹣）7的展开式中常数项是14．（用数字作答）【解答】解：展开式的通项为＝令得r＝6∴展开式中常数项是T7＝2C76＝14故答案为1411．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sin A﹣sin B）（a+b）＝（a﹣c）sin C，则cos B＝．【解答】解：∵△ABC中，（sin A﹣sin B）（a+b）＝（a﹣c）sin C，∴由正弦定理可得（a﹣b）（a+b）＝（a﹣c）c，整理可得a2+c2﹣b2＝ac，∴由余弦定理可得：cos B＝＝＝．故答案为：．12．（5分）曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，则曲线C上的点到直线l：（t为参数）的最短距离是1．【解答】解：∵曲线C的极坐标方程是ρ＝2sinθ，∴曲线C的直角坐标方程x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，直线l：（t为参数）消去参数t，得直线l的普通方程为x+y﹣5＝0，曲线C是以C（0，1）为圆心以及为半径的圆，∴曲线C上的点到直线l：（t为参数）的最短距离：d min＝﹣1＝1．故答案为：1．13．（5分）如图，F1、F2是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为．【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|＝m﹣2a∴|AF1|＝2m﹣2a∵|AF1|﹣|AF2|＝2a∴2m﹣2a﹣m＝2a∴m＝4a在△AF1F2中，|AF1|＝6a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，∠F1AF2＝60°∴由余弦定理可得4c2＝（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•∴c＝a∴＝故答案为：．14．（5分）已知下列命题：①函数f（x）＝有最小值2；②“x2﹣4x﹣5＝0”的一个必要不充分条件是“x＝5”；③命题p：∃x∈R，tan x＝1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧（¬q）”是假命题；④函数f（x）＝x3﹣3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3．其中正确命题的序号是③④．【解答】解：①令＝t，g（t）＝t+，g′（t）＝1﹣＝＞0，因此函数g（t）单调递增，∴g（t）≥＝＝＞2，∴函数f（x）＝有最小值，大于2，因此不正确；②“x2﹣4x﹣5＝0”的一个充分不必要条件是“x＝5”，因此不正确；③命题p：∃x＝，tan x＝1，因此是真命题；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＝＞0，是真命题．则命题“p∧（¬q）”是假命题，正确；④函数f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，f′（2）＝0，f（2）＝﹣3，∴函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3，正确．其中正确命题的序号是③④．故答案为：③④．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（I）∵sin x cos x＝sin2x，cos2x＝（1+cos2x）∴f（x）＝﹣sin（2x+）+6sin x cos x﹣2cos2x+1＝﹣sin2x﹣cos2x+3sin2x﹣（1+cos2x）+1＝2sin2x﹣2cos2x＝2sin（2x﹣）因此，f（x）的最小正周期T＝＝π；（II）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤∴当x＝0时，sin（2x﹣）取得最小值﹣；当x＝时，sin（2x﹣）取得最大值1由此可得，f（x）在区间上的最大值为f（）＝2；最小值为f（0）＝﹣2．16．（13分）摩拜单车和ofo小黄车等各种共享自行车已经遍布大街小巷，给我们的生活带来了便利．某自行车租车点的收费标准是：每车使用1小时之内是免费的，超过1小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车（各租一车一次）．设甲乙不超过1小时还车的概率的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲乙两人所付的租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）甲租车时间超过1小时的概率为1﹣﹣＝，乙租车时间超过1小时的概率为1﹣﹣＝；则甲乙两人所付的租车费用相同的概率为P＝×+×+×＝；（Ⅱ）甲乙两人所付租车费用之和为随机变量ξ，则ξ的所有取值为0，2，4，6，8；且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝2）＝×+＝，P（ξ＝4）＝×++＝，P（ξ＝6）＝×+×＝，P（ξ＝8）＝×＝；∴ξ的分布列为数学期望为Eξ＝0×+2×+4×+6×+8×＝．17．（13分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝AD，E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面P AD；（Ⅱ）求证：面P AB⊥平面PDC；（Ⅲ）在线段AB上是否存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为？说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC∩BD＝F，ABCD为正方形，F为AC中点，E为PC中点．∴在△CP A中，EF∥P A…（2分）且P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD∴EF∥平面P AD…（4分）（Ⅱ）因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩面ABCD＝ADABCD为正方形，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD所以CD⊥平面P AD．∴CD⊥P A…（6分）又P A＝PD＝AD，所以△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°即P A⊥PDCD∩PD＝D，且CD、PD⊂面PDC∴P A⊥面PDC又P A⊂面P AB，∴面P AB⊥面PDC．…..（9分）（Ⅲ）如图，取AD的中点O，连结OP，OF．∵P A＝PD，∴PO⊥AD．∵侧面P AD⊥底面ABCD，面P AD⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，而O，F分别为AD，BD的中点，∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．∵P A＝PD＝AD，∴P A⊥PD，OP＝OA＝1．以O为原点，直线OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则有A（1，0，0），F（0，1，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，1）．若在AB上存在点G，使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为，连结PG，DG设G（1，a，0）（0≤a≤2）．由（Ⅱ）知平面PDC的法向量为＝（1，0，﹣1）．设平面PGD的法向量为＝（x，y，z）．∵＝（1，0，1），＝（﹣2，﹣a，0），∴由，＝0可得，令x＝1，则y＝﹣，z＝﹣1，故＝（1，﹣，﹣1），∴cos＝＝，解得，a＝．所以，在线段AB上存在点G（1，，0），使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值为．…（14分）18．（13分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）设与圆O：x2+y2＝相切的直线l交椭圆C于A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可得，e＝＝，a2﹣b2＝c2，点（1，）代入椭圆方程，可得+＝1，解得a＝，b＝1，即有椭圆的方程为+y2＝1；（2）①当k不存在时，x＝±时，可得y＝±，S△OAB＝××＝；②当k存在时，设直线为y＝kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），将直线y＝kx+m代入椭圆方程可得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，x1+x2＝﹣，x1x2＝，由直线l与圆O：x2+y2＝相切，可得＝，即有4m2＝3（1+k2），|AB|＝•＝•＝•＝•＝•≤•＝2，当且仅当9k2＝即k＝±时等号成立，＝|AB|•r≤×2×＝，可得S△OAB即有△OAB面积的最大值为，此时直线方程y＝±x±1．19．（14分）设S n是正项数列{a n}的前n项和，且S n＝+a n﹣（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{b n}，使a1b1+a2b2+…+a n b n＝（2n﹣1）•2n+1+2对一切正整数n都成立？并证明你的结论．（Ⅲ）设＝（n∈N*），且数列{∁n}的前n项和为T n，试比较T n与的大小．【解答】解：（1）由S n＝+a n﹣得S n+1＝，相减并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）＝0又由于a n+1+a n＞0，则a n+1＝a n+2，故{a n}是等差数列．∵+a12﹣，所以a1＝3故a n＝2n+1 …4分（2）当n＝1，2时，a1b1＝22（2×1﹣1）+2＝6，a1b1+a2b2＝23（2×2﹣1）+2＝26，可解得b1＝2，b2＝4，猜想b n＝2n，使a1b1+a2b2+…+a n b n＝2n+1（2n﹣1）+2成立．证明：3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n＝2n+1（2n﹣1）+2恒成立．令S＝3•2+5•22+7•23+…+（2n+1）2n①2S＝3•22+5•23+7•24+…+（2n+1）2n+1②②﹣①得：S＝（2n+1）2n+1﹣2•2n+1+2＝（2n﹣1）2n+1+2，故存在等比数列{b n}符合题意…8分（3）∁n＝＜＝（）则T n＝c1+c2+…+∁n（+…+）＝（﹣）＜故…12分20．（14分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+（a，b∈R），且对任意x＞0，都有f（x）+f（）＝0（Ⅰ）用含a的表达式表示b；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求出a的取值范围，并证明f（）＞0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断y＝f（x）零点的个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意：令x＝1，可得f（1）+f（）＝0，∴f（1）＝﹣a+b＝0，经验证，可得当a＝b时，对任意x＞0，都有f（x）+f（）＝0，∴b＝a．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）＝lnx﹣ax+，且x＞0，∴f′（x）＝﹣a﹣＝，令g（x）＝﹣ax2+x﹣a，要使f（x）存在两个极值点x1，x2，则须有y＝g（x）有两个不相等的正数根，∴或，解得0＜a＜或无解，∴a的取值范围0＜a＜，可得0＜＜，由题意知f（）＝ln﹣+＝2lna+﹣﹣ln2，令h（x）＝2lnx+﹣﹣ln2，则h′（x）＝﹣﹣＝，而当x∈（0，）时，﹣3x4+4x﹣4＝﹣3x4﹣4（1﹣x）＜0，即h'（x）＜0，∴h（x）在（0，）上单调递减，∴h（x）＞h（）＝﹣2ln2+4﹣﹣ln2＞﹣3lne＞0，即0＜a＜时，f（）＞0．（Ⅲ）∵f′（x）＝﹣a﹣＝，g（x）＝﹣ax2+x﹣a，令f'（x）＝0得：x1＝，x2＝，由（Ⅱ）知0＜a＜时，y＝g（x）的对称轴x＝∈（1，+∞），△＝1﹣4a2＞0，g（0）＝﹣a＜0，∴x2＞1，又x1x2＝1，可得x1＜1，此时，f（x）在（0，x1）上单调递减，（x1，x2）上单调递增，（x2，+∞）上单调递减，所以y＝f（x）最多只有三个不同的零点，又∵f（1）＝0，∴f（x）在（x1，1）上递增，即x∈[x1，1）时，f（x）＜0恒成立，根据（Ⅱ）可知f （）＞0且0＜＜，所以∉（x1，1），即∈（0，x1）∴∃x0∈（，x1），使得f（x0）＝0，由0＜x0＜x1＜1，得＞1，又f （）＝﹣f（x0）＝0，f（1）＝0，∴f（x）恰有三个不同的零点：x0，1，．综上所述，y＝f（x）恰有三个不同的零点．第21页（共21页）。

2017年天津市红桥区高考数学模拟试卷一、选择题（共25小题，每小题3分，满分75分）1．已知集合M={1，2，3｝，N={1，3，4｝，则M∩N=（) A．｛1，3}B．{1,2,3，4｝C．{2,4}D．｛1，3,4｝2．函数y=cos2x，x∈R的最小正周期为（）A．2 B．πC．2πD．3．若向量=（2,3），=（﹣1,2）,则+的坐标为（）A．（1，5） B．（1，1) C．（3，1） D．（3，5）4．i是虚数单位，复数等于（)A．﹣2﹣2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i5．函数f(x）=的定义域为（）A．（0，+∞) B．（1，+∞）C．[0，+∞) D．[1，+∞）6．执行如图所示的程序框图，当输入x为16时,输出的y=（）A．28 B．10 C．4 D．27．在等差数列｛a n},若a3=16，a9=80，则a6等于()A．13 B．15 C．17 D．488．椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．若双曲线﹣=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=﹣2x，则a的值为（）A．8 B．4 C．2 D．110．若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为(1，0）,则p的值为(）A．1 B．2 C．4 D．811．下列函数在R上是减函数的为(）A．y=0。

5x B．y=x3 C．y=log0x D．y=2x。

512．直线l1：2x﹣y﹣1=0与直线l2：mx+y+1=0互相垂直的充要条件是（）A．m=﹣2 B．m=﹣C．m=D．m=213．已知x＞﹣2，则x+的最小值为(）A．﹣ B．﹣1 C．2 D．014．将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为(）A．y=cos(2x+）B．y=cos（2x+） C．y=cos（2x﹣）D．y=cos（2x ﹣）15．已知sinα=，α∈（,π),则sin2α的值为（)A．B．C．﹣D．﹣16．如图所示，一个简单空间几何体的三视图,其正视图与侧视图是边长为2的正三角形，俯视图为正方形，则此几何体的体积等于（）A．B．C．D．17．将一枚硬币先后抛掷两次，恰好出现一次正面的概率是（）A．B．C．D．18．从甲、乙、丙、丁四名同学中选2人参加普法知识竞赛,则甲被选中的概率为（）A．B．C．D．5，c=0。

参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9． 10．1411． 12．1 13． 14．③④三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（本小题满分13分）（Ⅰ）解：(1)f(x)＝sin 2x·ππcos sin 44x ⋅＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos 2x ＝ (6)所以，f(x)的最小正周期T ＝＝π (7)（Ⅱ）因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．..............9 又f(0)＝－2，，，故函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－2 (13)（16）（本小题满分13分）（Ⅰ）甲乙两人租车时间超过2小时的概率分别为：, (1)甲乙两人所付的租车费用相同的概率p=×+×+×= (4)（Ⅱ）随机变量ξ的所有取值为0，2，4，6，8.....................................................5 P(ξ=0)=×=P(ξ=2)=×+×=P(ξ=4)=×+×+×=P(ξ=6)=×+×=P(ξ=8)=×= (10)数学期望Eξ=×2+×4+×6+×8= (13)（17）（本小题满分13分）（Ⅰ）连接， 为正方形， 为 中点， 为 中点．所以在 中，，且，所以． (3)（Ⅱ）因为，为正方形，，所以． (4)所以， (5)又，所以是等腰直角三角形，且即 (6)，且所以又，所以． (7)（Ⅲ）如图，取的中点，连接，．因为，所以．因为，所以， (8)而，分别为，的中点，所以，又是正方形，故．因为，所以，．以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， (9)则有，，，．若在上存在点，使得二面角的余弦值为，连接，设．由（Ⅱ）知平面的法向量为．设平面的法向量为．因为，，所以由，可得，令，则，，故，所以， (12)解得，．所以，在线段 上存在点，使得二面角的余弦值为． (13)（18）（本小题满分13分）（Ⅰ）由题意可得：221213a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ..........................2 22223,1,13x a b y ==∴+= (4)（Ⅱ）①当不存在时，，1324OAB S ∆∴== ..........................5 ②当存在时，设直线为，222221,(13)63303x y k x km m y kx m ⎧+=⎪+++-=⎨⎪=+⎩....................7 212122263313,13km m x x x x k k --+==++..........................8 2243(1)d r m k =⇒=+ .. (9)||AB ===2=≤...........................11 当且仅当即时等号成立 (12)11222OAB S AB r ∆∴=⨯≤⨯=， ∴面积的最大值为，此时直线方程. (13)（19）（本小题满分14分）（Ⅰ）由得， (1)相减并整理得又由于，则，故是等差数列． (3)因为，所以故． (5)（Ⅱ）当，时，，，可解得，， (7)猜想使成立． (8)证明：恒成立．令②﹣①得：，故存在等比数列符合题意． (10)（Ⅲ） (12)则故． (14)（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）法一：根据题意：令，可得，所以经验证，可得当时，对任意，都有，所以 (3)法二：因为所以要使上式对任意恒成立，则须有即 (3)（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，且，所以， (4)令，要使存在两个极值点，，则须有有两个不相等的正数根，所以解得或无解，所以的取值范围，可得， (7)由题意知，令，则．而当时，，即，所以在上单调递减，所以即时，． (10)（Ⅲ）因为，．令得，．由（Ⅱ）知时，的对称轴，，，所以又，可得，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，所以最多只有三个不同的零点．又因为，所以在上递增，即时，恒成立．根据（2）可知且，所以，即，所以，使得．由，得，又，，所以恰有三个不同的零点：，，．综上所述，恰有三个不同的零点． (14)。