理论力学动量定理b

以上结论，称为质心运动守恒定律。
例1 质量为M 的大三角块放在光滑水平面上, 其斜面上放一和它相似的小三角块, 其质量为 m。尺寸如图。试求小三角块由图示位置滑到 底时大三角块的位移。 y a 解: 取系统分析，受力 如图，建立如图坐标。
mg
Mg
FN b
x
由于SFix(e)＝0 , 且初始系统静止， 所以
a Cx
d 2 xC r 2 2 dt m1 m 2
m1 m 2 cos t 2
应用质心运动定理，解得
m 1 m 2 a Cx F x F
m 1 m 2 a C x
2
Fx F
m1 Fx F r m 2 cos t 2
(e) d vC m Fi dt
(e) maC Fi
质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用在 质点系外力的矢量和(外力的主矢)。
8.3.1 质心运动定理
(e) maC Fi
ma F
形式上，质心运动定理与牛顿第二定律完 全相似，因此质心运动定理也可叙述如下: 质点系质心的运动，可以看成一个质点的 运动，设想此质点集中了整个质点系的质 量及其所受的外力。 由质心运动定理可知，质点系的内力不影 响质心的运动，只有外力才能改变质心的 运动。
(3)若电机没有螺栓固定, 各处摩擦不 计，初始时电机静止， 求转子以匀 角速度转动时电动机外壳的运动。 以系统为研究对象, 受力如图。
y

O1
q
O2
由于SFix(e)＝0 , v1＝0 ，所 以质心水平位置不变，即
m 1 g m2 g
x
Fy S 在图示坐标下，假设初始时xC1＝a(此时O1O2在垂 直位置), 当转子转过q, 定子向右移动距离S, 则 m1 (a S ) m2 (a S e sin q )
xC1 xC 2
M 1b m 2 a 3 3 xC1 M m
y
a mg
设大三角块向左产生的位移 为S，则
xC 2 M ( 1 b S ) m 2 a (b a) S 3 3 M m
Mg
b
x
FN
y
解得
m(b a ) S M m
a
O2
m1g m 2g
x
Fy
S
由此可见, 电动机在水平面上作往复运动。此时
Fy min (m1 m2 ) g m22e
若
螺栓固定，它将会跳起来。
Fy m22e cos t (m1 m2 ) g
(m1 m2 ) g m2 e
, 则 Fy min 0 。因此如电动机无
[练习] 图示系统，重物A和B的质量分别为m1、 m2 。若A下降的加速度为a，滑轮质量不计。 求支座O处的约束力。 FOy 解: 设A下降的速度为vA, B上升的速度为vB, 则由运 动学关系得 v v / 2
B A
O
A vA
O
FOx x A
以整个系统为研究对象 , 受力如图, 建立如图坐标。 系统的动量在坐标轴上的 投影为

O1
y
qO
e
x
2
mi yi m2e cos t yC mi m1 m2
(2) 求基础对电机总的水平和铅垂反力 maCx Fix(e) , maCy Fiy (e) 得 由质心运动定理 y (m1 m2 ) C Fx x
(m1 m2 ) C Fy m1g m2 g y
vB B
a
y mg 1 B m2g
px 0
1 p y m1v A m2vB (m1 m2 )v A 2
px 0
1 p y m1v A m2vB (m1 m2 )v A 2
O A vA
FOy
O
FOx x
由质点系的动量定理
A
y mg B 1 m2g
0 FOx
公式回顾
源自文库
(e) dp Fi p mvC dt d px (e) Fix dt
d (mv ) F dt
8.3 质心运动定理 8.3.1 质心运动定理
(e) d 由动量定理的微分形式 ( mvC ) Fi dt 对质量不变的质点系(比如刚体), 上式可改写为
a
xC1 xC 2
m1 m2 m1 (a S ) m2 (a S e sin q ) 即 a m1 m2
xC 2
m1 (a S ) m2 (a S e sin q ) a m1 m2
y

O1
q
解得
m2e m2e S sin q sin t m1 m2 m1 m2
vB
B
a
d 1 (m1 2 m2 )vA m1 g m2 g FOy dt
注意到
dv A a dt
可得
FOx 0
1 FOy m1 g m2 g (m1 m2 )a 2
• 课堂习题分析 8-11
m2e 2 x sin t 因 C m1 m2 m2e 2 C y cos t m1 m2

m1g q O2
O1
e
x
m2g Fx
M Fy
故 Fx m2 2e sin t
Fy m22e cos t (m1 m2 ) g
m2e sin t xC m1 m2 m2e cos t yC m1 m2
x S
例2 均质曲柄AB长为r，质量为m1，假设受 力偶作用以不变的角速度ω转动，并带动滑 槽连杆以及与它固连的活塞D，如图所示。 滑槽、连杆、活塞总质量为m2，质心在点C， 在活塞上作用一恒力F 。不计摩擦及滑块B 的质量，求作用在曲柄轴A处的最大水平约 束力Fx。
解: 水平方向受力如图所示
1 r xC m1 cos m 2 r cos b 2 m1 m 2
8.3.1 质心运动定理
质心运动定理直角坐标投影式
maCx Fix
(e)
maCy Fiy
(e)
maCz Fiz
(e)
8.3.1 质心运动定理
自然轴上的投影式
d vC (e) m Fi t dt
m
vC
2

Fi n
(e)
(e)
0 Fi b
8.3.2
质心运动守恒定律
(e) maC Fi
1 如果作用于质点系外力的矢量和恒等于 零，则质心作匀速直线运动; 若系统开始静止，则质心位置始终保持 不变。
8.3.2
质心运动守恒定律
maCx Fix
(e)
2 如果作用于质点系的所有外力在某轴上 投影的代数和恒等于零，则质心速度在 该轴上的投影保持不变; 若开始时速度投影等于零，则质心沿该 轴的坐标保持不变。
解: (1) 建立如图坐标, 任一瞬 时， q＝t， 即有

O1
x1 0 y1 0
x2 e sin t
qO
e
x
2
y2 e cos t
x1 0, y1 0 x2 e sin t , y2 e cos t
故质心运动方程为
mi xi m2e sin t xC mi m1 m2
显然，最大水平约束力为
Fmax
m1 F r m 2 2
2
例3 如图所示, 电动机外壳固定在水平基础上。 设定子质心位于转轴中心O1，转子质心O2 到O1 的距离为e，定子、转子的质量分别为m1 、m2 ， 已知转子以匀角速度 转动。求: (1) 质心运动 方程；(2) 基础对电机总的水平和铅垂反力； (3) 若电动机没有螺栓固定，各处摩擦不计，初始 时电机静止，求转子以匀角速度 转动时电动 y 机外壳的运动。