2013届高三人教B版理科数学一轮复习课时作业(32)不等关系与不等式

课时作业35 不等关系与不等式一、选择题1．设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( A ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N解析：因为M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，所以M >N ，故选A.2．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( C ) A.1a<bB ．a 2>b 2C.a c 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c |解析：取a ＝1，b ＝－1，排除选项A ；取a ＝0，b ＝－1，排除选项B ；取c ＝0，排除选项D ；显然1c 2＋1>0，则不等式a >b 的两边同时乘1c 2＋1，所得不等式仍成立．故选C. 3．若a <b <0，则下列不等式不能成立的是( A ) A.1a －b >1aB.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b >1a不成立． 4．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －b >0得a >b ≥0，则a 2>b 2⇒a 2－b 2>0；由a 2－b 2>0得a 2>b 2，可得a >b ≥0或a <b ≤0等，所以“a －b >0”是“a2－b 2>0”的充分不必要条件．故选A.5．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( C ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z可得xy >xz .故选C.6．已知a >b ，则下列各式一定正确的是( D ) A ．a lg x >b lg xB ．ax 2>bx 2C ．a 2>b 2D ．a ·2x >b ·2x解析：A 中，当x ＝1时，不成立；B 中，当x ＝0时，不成立；C 中，当a ＝0，b ＝－1时，不成立；D 中，因为2x>0，所以a ·2x>b ·2x成立．故选D.7．已知a ＝14log 23，b ＝12，c ＝12log 53，则( A )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：由题可知a ＝log 243<log 244＝12＝b ，又a ＝14×lg3lg2＝12×lg 3lg2，那么c ＝12log 53＝12×lg3lg5＝12×lg 3lg 5<12×lg 3lg2＝a ，则c <a <b .故选A. 8．若a <b ，d <c ，且(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，则a ，b ，c ，d 的大小关系是( A ) A ．d <a <c <b B ．a <c <b <d C ．a <d <b <c D ．a <d <c <b解析：∵a <b ，(c －a )(c －b )<0，(d －a )(d －b )>0，∴a <c <b ，且d <a 或d >b ，结合d <c ，知d <a <c <b .故选A.二、填空题9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.10．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a <0，则a <2b －b 2a (填“>”“<”或“＝”)．解析：∵a ≠b ，a <0，∴a －⎝⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝a －b 2a <0，∴a <2b －b 2a.11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题 ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是①②③. 解析：∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －adab>0，∴①正确；∵ab >0，又c a －db>0，即bc －adab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b>0，即bc －adab>0，∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确． 12．已知函数f (x )＝ax ＋b,0<f (1)<2，－1<f (－1)<1，则2a －b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52. 解析：由函数的解析式可知0<a ＋b <2，－1<－a ＋b <1，又2a －b ＝12(a ＋b )－32(－a ＋b )，结合不等式的性质可得2a －b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52.13．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是(－∞，－1)．解析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解．综上可得b <－1.14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的不等式的序号是②④.解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，所以a －x ＝b －y ，因此①不成立．因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③也不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．据统计，某超市两种蔬菜A ，B 连续n 天的价格(单位：元)分别为a 1，a 2，a 3，…，a n 和b 1，b 2，b 3，…，b n .令M ＝{m |a m <b m ，m ＝1,2，…，n }，若M 中元素个数大于34n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B ，记作：A ≺B .现有三种蔬菜A ，B ，C ，下列说法正确的是( C )A ．若A ≺B ，B ≺C ，则A ≺CB ．若A ≺B ，B ≺C 同时不成立，则A ≺C 不成立 C ．A ≺B ，B ≺A 可同时不成立D ．A ≺B ，B ≺A 可同时成立解析：特例法：例如蔬菜A 连续10天的价格分别为1,2,3,4，…，10，蔬菜B 连续10天的价格分别为10,9，…，1时，A ≺B ，B ≺A 同时不成立，故选C.16．(2019·杭州质检)若实数a，b，c满足对任意实数x，y有3x＋4y－5≤ax＋by＋c≤3x ＋4y＋5，则( A )A．a＋b－c的最小值为2B．a－b＋c的最小值为－4C．a＋b－c的最小值为4D．a－b＋c的最大值为6解析：当x＝1，y＝－1时，－6≤a－b＋c≤4，所以a－b＋c的最小值为－6，最大值为4，故B，D错误；当x＝－1，y＝－1时，－12≤－a－b＋c≤－2，则2≤a＋b－c≤12，所以a＋b－c的最小值为2，最大值为12，故A正确，C错误．故选A.。

第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。

课时作业(三十二)第32讲不等关系与不等式时间/ 30分钟分值/ 80分基础热身1.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是()A. A≤BB. A≥BC. A<B或A>BD. A>B2.已知a<b<c且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A. a2<b2<c2B. a|b|<c|b|C. ba<caD. ca<cb3.已知a,b∈R,下列说法正确的是()A. 若a>b,则|a|>|b|B. 若a>b,则<C. 若|a|>b,则a2>b2D. 若a>|b|,则a2>b24.若m>2,则m m2m(填“≤”“≥”“<”或“>”).5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙的长度为18 m,要求菜园的面积不小于216 m2,设与墙平行的一边长为x m,其中的不等关系可用不等式(组)表示为.能力提升6.[2017·九江三模]已知a=21.3,b=40.7,c=log38,则a,b,c的大小关系为()A. a<c<bB. b<c<aC. c<a<bD. c<b<a7.[2017·贵州遵义模拟]已知a>b>0,c<0,下列不等式中正确的是()A. ac>bcB. a c>b cC. log a(a-c)>log b(b-c)D. >8.[2017·北京东城区二模]已知x,y∈R,那么“x>y”的充要条件是()A. 2x>2yB. lg x>lg yC. >D. x2>y29.[2017·长春一模]已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A. c≥b>aB. a>c≥bC. c>b>aD. a>c>b10.已知x>y>0,则()A. ->0B. sin x-sin y>0C. -<0D. ln x+ln y>011.[2017·北京大兴区一模]已知x,y∈R,下列不等式不能恒成立的是()A. |x|≥0B. x2-2x-3≥0C. 2x>0D. x2+y2≥2xy12.[2017·扬州模拟]若a1<a2,b1<b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是.13.已知a+b>0,则+与+的大小关系是.14.设a>b>c>0,x=,y=,z=,则x,y,z的大小关系是.(用“>”连接)难点突破15.(5分)若a>b>0,则下列不等式中一定成立的是 ()A. a+>b+B. >C. a->b-D. >16.(5分)[2017·盐城一模]已知-1≤a+b≤3,2≤a-b≤4,若2a+3b的最大值为m,最小值为n,则m+n= .课时作业(三十二)1. B[解析] 因为A-B=a2+3ab-(4ab-b2)=+b2≥0,所以A≥B.2. D[解析] 因为a<b<c且a+b+c=0,所以a<0,c>0,b的符号不定,对于b>a,两边同时乘正数c,不等号方向不变,所以bc>ac.3. D[解析] 当a=1,b=-2时,A,B,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故D正确.4.> [解析] =,因为m>2,所以>1,所以>=1,所以m m>2m.5.[解析] 矩形菜园的另一边长为(30-x)=15-,则矩形菜园的面积为x,且0<x≤18,所以不等关系可用不等式组表示为6. C[解析] ∵c=log38<2<a=21.3<b=40.7=21.4,∴c<a<b.故选C.7. D[解析] 对于D项,-==,∵a>b>0,c<0,∴-c>0,∴a-c>b-c>0,c(b-a)>0,故>.故选D.8. A[解析] 2x>2y⇔x>y,故“x>y”的充要条件是“2x>2y”.故选A.9. A[解析] c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b.将题中两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2.∵1+a2-a=+>0,∴1+a2>a,∴b>a,∴c≥b>a.10.C[解析] x>y>0,则-=<0,故A错误;根据正弦函数的图像和性质,可知sin x与siny的大小关系不确定,故B错误;根据指数函数的性质可得-<0,故C正确;根据对数的运算性质,得ln x+ln y=ln xy,当0<xy≤1时,ln xy≤0,故D错误.故选C.11. B[解析] 根据绝对值的意义,可知A恒成立;对于B,令x=0,该不等式不成立;对于C,根据指数函数的性质,可知C恒成立;对于D,根据完全平方公式,可知D恒成立.故选B.12.a1b1+a2b2>a1b2+a2b1[解析] a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2),因为a1<a2,b1<b2,所以(a1-a2)(b1-b2)>0,即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.13.+≥+[解析] +-=+=(a-b)=,∵a+b>0,(a-b)2≥0,∴≥0,∴+≥+.14.z>y>x [解析] y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x.同理,z>y,∴z>y>x.15. A[解析] 当a=2,b=1时,B,D项不成立,排除B和D.另外,函数f(x)=x-是(0,+∞)上的增函数,但函数g(x)=x+在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以a>b>0时,f(a)>f(b)一定成立,但g(a)>g(b)未必成立,所以a->b-⇔a+>b+.16. 2[解析] 设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),则解得又因为-≤(a+b)≤,-2≤-(a-b)≤-1,所以-≤(a+b)-(a-b)≤,即-≤2a+3b≤,所以m+n=2.。

高考数学一轮复习方案 第33讲 不等关系与不等式课时作业 新人教B 版(时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[教材改编试题] 若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式中成立的是( ) A.1a <1bB ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>b c 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．若x ≠2且y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( )A ．M >NB ．M <NC ．M ＝ND ．M ≥N3．[2012·西安模拟] 若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．[2012·济南二模] 若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是( ) A ．a ＋b <2ab B ．a 12>b 12C ．ln a ＞ln bD ．0.3a <0.3b能力提升5．[2012·威海调研] 已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( )A ．x <x ＋y 2<y <2xy B ．2xy <x <x ＋y 2<y C ．x <x ＋y 2<2xy <y D ．x <2xy <x ＋y 2<y 6．[2012·西城一模] 已知a ，b ∈R ，下列四个条件中，使a >b 成立的必要而不充分的条件是( )A ．a >b －1B ．a >b ＋1C ．|a |>|b |D ．2a >2b7．如果a ∈R ，且a 2＋a <0，那么a ，a 2，－a ，－a 2的大小关系为( )A ．a 2>a >－a 2>－aB ．－a >a 2>－a 2>aC ．－a >a 2>a >－a 2D ．a 2>－a >a >－a 28．已知下列三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作条件余下一个作结论，则可以组成的正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．09．[2012·兰州一中月考] 若0<α<π，则sin2α与2sin α的大小关系是sin2α________2sin α(用“>”“<”“≥”或“≤”填空)．10．给出下列命题：①a >b 与b <a 是同向不等式；②a >b 且b >c 等价于a >c ；③a >b >0，d >c >0，则a c >b d ；④a >b ⇒ac 2>bc 2；⑤a c 2>b c 2⇒a >b .其中真命题的序号是________．11．给出下列三个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③设a ，b 是互不相等的正数，则|a －b |＋1a －b≥2. 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)12．(13分)已知0<α－β<π2，π2<α＋2β<3π2，求α＋β的取值范围．难点突破13．(12分)已知函数f(x)＝|log2(x＋1)|，实数m，n在其定义域内，且m＜n，f(m)＝f(n)．求证：(1)m＋n＞0；(2)f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．课时作业(三十三)【基础热身】1．C [解析] 方法一：用排除法．取a ＝1，b ＝－2，排除A.取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D.故应该选C.方法二：∵c 2＋1>0，a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1.故选C. 2．A [解析] M －N ＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0.3．D [解析] 因为a 可能大于0，也可能小于0，所以“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分又不必要条件．故选D.4．A [解析]根据幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B ，C ，D 中的表达式成立，选项A 中的表达式不成立．故选A.【能力提升】5．D [解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，取特殊值：x ＝14，y ＝34，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y .故选D.6．A [解析] 由a >b ⇒a >b －1，但由a >b －1不能得到a >b ，故a >b －1为a >b 成立的必要而不充分的条件．故答案为A.7．B [解析] 因为a 2＋a <0，即a (a ＋1)<0，所以－1<a <0，因此－a >a 2>0，且0>－a 2>a ，所以－a >a 2>－a 2>a .故选B.此题也可以用特殊值法求解：如取a ＝－12 8．C [解析] 由不等式性质得：⎭⎪⎬⎪⎫ab >0c a >d b ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫ab >0bc －ad ab >0⇒bc >ad ； ⎭⎪⎬⎪⎫ab >0bc >ad ⇒c a >d b ； ⎭⎪⎬⎪⎫c a >d b bc >ad ⇒ ⎭⎪⎬⎪⎫bc －ad ab >0bc －ad >0⇒ab >0.故选C. 9．< [解析] 0<α<π，故sin2α＝2sin αcos α<2sin α.10．③⑤ [解析] ①中两个不等式为异向不等式；②中只能确定⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，b >c ⇒a >c ，不是等价不等式；由a >b >0，d >c >0得ad >bc >0，∴a c >b d ，故③正确；当c ＝0时④不正确；在已知条件下1c 2>0恒成立，∴⑤正确．故填③⑤.11．② [解析] ①作差可得1a －1b ＝b －a ab ，而a >b >0，则b －a ab<0，此式错误；②a >b >0，则1a <1b ，进而可得－1a >－1b ，所以可得a －1a >b －1b正确；③a －b <0时此式不成立，错误． 12．解：设α＋β＝A (α－β)＋B (α＋2β)＝(A ＋B )α＋(2B －A )β，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝1，2B －A ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧B ＝23，A ＝13，∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)．∵α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴13(α－β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6.∵α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴23(α＋2β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π.∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6，即α＋β的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，7π6.【难点突破】13．证明：(1)方法一：由f (m )＝f (n )，得|log 2(m ＋1)|＝|log 2(n ＋1)|，即log 2(m ＋1)＝log 2(n ＋1)，①或log 2(m ＋1)＝－log 2(n ＋1)，②由①得m ＋1＝n ＋1，与m ＜n 矛盾，舍去，由②得m ＋1＝1n ＋1，即(m ＋1)(n ＋1)＝1.③∴m ＋1＜1＜n ＋1，∴m ＜0＜n ，∴mn ＜0，由③得mn ＋m ＋n ＝0，∴m ＋n ＝－mn ＞0.方法二：同方法一得(m ＋1)(n ＋1)＝1.∵0＜m ＋1＜n ＋1，∴（m ＋1）＋（n ＋1）2>（m ＋1）（n ＋1）＝1，∴m ＋n ＋2＞2，∴m ＋n ＞0.(2)当x ＞0时，f (x )＝|log 2(x ＋1)|＝log 2(x ＋1)在(0，＋∞)上为增函数． 由(1)知m 2－(m ＋n )＝m 2＋mn ＝m (m ＋n )，且m ＜0，m ＋n ＞0，∴m (m ＋n )＜0，∴m 2－(m ＋n )＜0，0＜m 2＜m ＋n ，∴f(m2)＜f(m＋n)．同理，(m＋n)－n2＝－mn－n2＝－n(m＋n)＜0，∴0＜m＋n＜n2，∴f(m＋n)＜f(n2)，∴f(m2)＜f(m＋n)＜f(n2)．。

第六章 第一节 不等关系与不等式一、选择题1．设a ，b ∈R ，若b －|a |>0，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．a －b >0 B ．a ＋b >0 C ．a 2－b 2>0D ．a 3＋b 3<0解析：由b >|a |，可得－b <a <b .由a <b ，可得a －b <0，所以选项A 错误．由－b <a ，可得a ＋b >0，所以选项B 正确．由b >|a |，两边平方得b 2>a 2，则a 2－b 2<0，所以选项C 错误．由－b <a ，可得－b 3<a 3，则a 3＋b 3>0，所以选项D 错误．答案：B2．(2011·天津高考)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为x ≥2且y ≥2⇒x 2＋y 2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x ＝y ＝74，满足x 2＋y 2≥4，但不满足x ≥2且y ≥2，所以x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分而不必要条件．答案：A3．若a >b ，则下列不等式正确的是 ( ) A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3为增函数，若a >b ，则a 3>b 3.答案：B4．(2012·枣庄模拟)设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a >0，b >0，a <b ，∴1a >1b ，由不等式的性质a －1a <b －1b.∴由a <b 可得出a －1a <b －1b；当a －1a b －1b 时，可得(a －b )－(1a －1b，即(a －b )(1＋1ab)<0.又∵a >0，b >0，∴a －b <0.∴a <b ，故由a －1a b －1b可得出a <b .∴“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的充要条件．答案：C5．已知0＜a ＜1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＜NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0＜a ＜1b，∴1＋a ＞0,1＋b ＞0,1－ab ＞0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab 1＋a 1＋b 0.答案：A6．若x >y >1，且0<a <1，则①a x <a y ；②log a x >log a y ；③x －a >y －a；④log x a <log y a . 其中不成立的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：∵x >y >1,0<a <1，∴a x <a y ，log a x <log a y ，故①成立，②不成立．x a >y a >0，∴x －a <y －a ，③不成立．又log a x <log a y <0，∴1log a x >1log a y .即log x a >log y a ，∴④也不成立． 答案：C 二、填空题7．已知a ＋b ＞0，则a b2＋b a2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b2＋b a2－(1a ＋1b)＝a －b b2＋b －a a2＝(a －b )(1b 2－1a 2)＝a ＋b a －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴a ＋b a －b 2a 2b 2≥0.∴a b2＋b a2≥1a ＋1b . 答案：a b2＋b a2≥1a ＋1b8．以下四个不等式：①a <0<b ，②b <a <0，③b <0<a ，④0<b <a ，其中是1a <1b成立的充分条件有________．解析：a <0<b ⇒1a <1b ，但1a <1ba <0<b ，故①符合要求；b <a <0⇒1a <1b ，但1a <1b b <a <0，故②符合要求；b <0<a1a <1b ，因此③不是1a <1b成立的充分条件；0<b <a ⇒1a <1b0<b <a ，因此④正确．答案：①②④9．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________；α－β2的取值范围是________．解析：∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2， ∴－π＜α＋β＜π，∴－π2＜α＋β2＜π2. ∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π. ∴－π2≤α－β2＜π2. 又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.答案：(－π2，π2) [－π2，0) 三、解答题10．比较x 3与x 2－x ＋1的大小．解：x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)． ∵x 2＋1>0，∴当x >1时，(x －1)(x 2＋1)>0，即x 3>x 2－x ＋1； 当x ＝1时，(x －1)(x 2＋1)＝0，即x 3＝x 2－x ＋1； 当x <1时，(x －1)(x 2＋1)<0，即x 3<x 2－x ＋1. 11．若a >b >0，c <d <0，e <0， 求证：e a －c 2>e b －d 2.证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1a －c 2<1b －d 2.又∵e <0，∴e a －c 2>e b －d 2.12．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，求x 3y4的最大值．解：法一：由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x －lg y ≤lg9， 令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2， 即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a －b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y4的最大值是27. 法二：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y2≤81，①又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，②由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y4的最大值是27.。

课时作业(三十二) 第32讲 不等关系与不等式时间：35分钟 分值：80分基础热身1．若x ≠2或y ≠－1，M ＝x 2＋y 2－4x ＋2y ，N ＝－5，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M <N C ．M ＝N D ．M ≥N2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b 3．已知ab ≠0，那么ab >1是b a<1的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若0<α<π，则sin2α与2sin α的大小关系是( ) A ．sin2α>2sin α B ．sin2α<2sin α C ．sin2α＝2sin α D ．无法确定 能力提升5．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则( ) A ．xy >yz B ．xz >yzC ．xy >xzD ．x |y |>z |y |6．设a >2，A ＝a ＋1＋a ，B ＝a ＋2＋a －2，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A <B C ．A ≥B D ．A ≤B 7．“α＋β>2，且αβ>1”是“α>1，且β>1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若a <b <0，则下列结论中正确的是( ) A.1a >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 B.1a －b >1a 和1|a |>1|b |均不能成立 C ．不等式1a －b >1a 和⎝⎛⎭⎫a ＋1b 2>⎝⎛⎭⎫b ＋1a 2均不能成立D ．不等式1|a |>1|b |⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2>⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2均不能成立9．给出下列命题：①a >b 与b <a 是同向不等式；②a >b 且b >c 等价于a >c ；③a >b >0，d >c >0，则a c >b d；④a >b ⇒ac 2>bc 2；⑤a c 2>b c2⇒a >b .其中真命题的序号是________．10．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．11．同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高．这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n ， 则________(结论用数学式子表示)．12．(13分)已知a >b >c >1，设M ＝a －c ，N ＝a －b ，P ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b2－ab ，比较M ，N ，P 的大小．难点突破13．(1)(6分)对任意实数a 、b 、c ，在下列命题中，真命题是( ) A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件 B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件 C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件 D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件(2)(6分)设6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( )A ．9<c <30B ．0≤c ≤18C ．0≤c ≤30D ．15<c <30课时作业(三十二)【基础热身】1．A 解析 由x ≠2或y ≠－1，则M －N ＝(x －2)2＋(y ＋1)2>0. 2．C 解析 由a ＋b >0得，a >－b >0，∴－a <b <0，∴选C.3．A 解析 a b >1即a －b b >0，所以a >b >0，或a <b <0，此时b a <1成立；反之b a <1，所以a －ba>0，即a >b ，a >0，或a <0，a <b ，此时不能得出ab>1.4．B 解析 sin2α＝2sin αcos α<2sin α. 【能力提升】5．C 解析 由x ＋y ＋z ＝0知x 、y 、z 中至少有一个小于零有一个大于零，又x >y >z ，所以z <0，x >0. 6．A 解析 A 2＝2a ＋1＋2a 2＋a ，B 2＝2a ＋2a 2－4，显然A 2>B 2.7．B 解析 若α>1，β>1，则α＋β>2，且αβ>1；反之不然，如α＝3，β＝23，故选B.8．B 解析 ∵b <0，∴－b >0，∴a －b >a ，又∵a －b <0，a <0，∴1a －b <1a ，故1a －b >1a不成立；∵a <b <0，∴|a |>|b |，∴1|a |<1|b |，故1|a |>1|b |不成立．由此知选B. 9．③⑤ 解析 ①中两个不等式为异向不等式；②中只能确定⎩⎨⎧a >b ，b >c⇒a >c ，不是等价不等式；由a >b >0，d >c >0得ad >bc >0，∴a c >b d ，故③正确；当c ＝0时，④不正确；在已知条件下1c2>0恒成立，∴⑤正确．10．a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1 解析 (a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0.11.a 1＋a 2＋…＋a m m ≤a 1＋a 2＋…＋a n n(1≤m <n )和a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a n n －m ≥a 1＋a 2＋…＋a nn(1≤m <n )解析 设1≤m <n ，如果去掉a m ＋1，a m ＋2，…，a n ，则a 1＋a 2＋…＋a m m ≤a 1＋a 2＋…＋a nn，反之a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a n n －m ≥a 1＋a 2＋…＋a nn.12．解答 ∵b >c >1，∴b >c ，∴－b <－c ， ∴a －b <a －c ，即N <M .P －N ＝a ＋b －2ab －(a －b )＝b －2ab ＋b＝b (b －2a ＋1)＝b (b －a )＋(1－a )， 由a >b >c >1，b －a <0，且1－a <0，∴P －N <0， 故得P <N <M .【难点突破】13．(1)B (2)A 解析 (1)逐条分析即可；(2)3a <ab <20a ，∴3<b <20，再根据不等式的性质可得，正确选项为A.。

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

高三数学第一轮复习：4－5 第一章 不等式的基本性质（理）人教实验B 版【本讲教育信息】一. 教学内容：4－5 / 第一章 / 不等式的基本性质、基本不等式；不等式的解法二. 教学目的：1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法三. 教学重点、难点基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法四. 知识分析【不等式的基本性质】1、不等式的基本性质：对于任意的实数a ，b ，有000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 【单向性】（1）c a c b ,b a >⇒>>（2）d b c a d c ,b a +>+⇒>> （3）bc ac 0c ,b a >⇒>> （4）bc ac 0c ,b a <⇒<>（5）bd ac 0d c ,0b a >⇒>>>>（6）n n b a R n ,0b a >⇒∈>>+ 【双向性】（1）000a b a b a b a b a b a b ->⇔>⎧⎪-=⇔=⎨⎪-<⇔<⎩（2）a b b a >⇔<（3）a b a c b c >⇔+>+单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如nx a >的高次不等式时，若n 为偶数时要注意讨论． 3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“11,0a b ab a b>>⇒<”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得11a b a b>⇒<，要么是强化了条件，而得110a b a b>>⇒<【基本不等式】定理1 设R b ,a ∈，则ab 2b a 22≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

课时作业33不等关系与不等式[基础达标]一、选择题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是() A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A<B D ．A>B解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B ，故选B.答案：B2．若m<0，n>0且m ＋n<0，则下列不等式中成立的是() A ．－n<m<n<－m B ．－n<m<－m<n C ．m<－n<－m<n D ．m<－n<n<－m解析：解法一(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．解法二m ＋n<0?m<－n?n<－m ，又由于m<0<n ，故m<－n<n<－m 成立．答案：D 3．[2019·湖南衡阳模拟]若a ，b ，c 为实数，且a<b<0，则下列结论正确的是()A ．ac 2<bc 2B.1a <1bC.b a >a bD ．a 2>ab>b 2解析：选项A ，∵c 为实数，∴取c ＝0，得ac 2＝0，bc 2＝0，此时ac 2＝bc 2，故选项A 不正确；选项B ，1a －1b ＝b －aab ，∵a<b<0，∴b －a>0，ab>0，∴b －a ab>0，即1a >1b ，故选项B 不正确；选项C ，∵a<b<0，∴取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝－1－2＝12，a b ＝2，此时b a <a b，故选项C 不正确；选项D ，∵a<b<0，∴a 2－ab ＝a(a －b)>0，∴a 2>ab ，又∵ab －b 2＝b(a －b)>0，∴ab>b 2，故选项D 正确，故选 D.答案：D 4．[2019·河南商丘联考]若a<b<0，则下列不等关系中，不成立的是()A.1a>1b B.1a－b>1aC．a 13<b13D．a2>b2解析：对于A，a<b<0，两边同除以ab可得1a>1b，故A成立；对于B，a<b<0，则a<a－b<0，两边同除以a(a－b)可得1a－b<1a，故B不成立；对于C，根据幂函数的单调性可知C成立；对于D，a<b<0，则a2>b2，故D成立，故选 B.答案：B5．如果a>b，则下列各式正确的是()A．algx>blgx B．ax2>bx2C．a2>b2D．a·2x>b·2x解析：A项，当lgx＝0，即x＝1时不满足；B项，当x2＝0时不满足；C项，当a＝1，b＝－2时不满足；D项，因为2x>0，所以a·2x>b·2x.综上可知选 D.答案：D6．在所给的四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0中，能推出1 a<1b成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：1a<1b成立，即b－aab<0成立，逐个验证可得，①②④满足题意．答案：C7．[2019·哈尔滨模拟]设a，b∈R，若p：a<b，q：1b<1a<0，则p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a<b时，1b<1a<0不一定成立；当1b<1a<0时，a<b<0.综上可得，p是q的必要不充分条件，选 B.答案：B8．[2019·厦门模拟]对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a(1＋a)<log a(1＋1a)；②log a(1＋a)>log a(1＋1a)；③a1＋a<a11+a；④a1＋a>a11+a. 其中正确的是()。

高考真题备选题库第6章 不等式、推理与证明及不等式选讲（选修4-5）第1节 不等关系与不等式考点 不等关系与不等式1．（2013浙江，5分）若α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充要条件的判断、三角函数值等基础知识，意在考查考生的推理论证能力．当α＝0时，sin α＝0，cos α＝1，∴sin α<cos α；而当sin α<cos α时，α＝0或α＝π6，…. 答案：A2．（2013天津，5分）设a ，b ∈R 则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题主要考查充分条件、必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力．若(a －b )·a 2<0，则a ≠0，且a <b ，所以充分性成立；若a <b ，则a －b <0，当a ＝0时，(a －b )·a 2＝0，所以必要性不成立．故“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分而不必要条件．答案：A3．（2011浙江，5分）若a ，b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：对于0＜ab ＜1，如果a ＞0，则b ＞0，a ＜1b 成立，如果a ＜0，则b ＜0，b ＞1a成立，因此“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a ＜1b 或b ＞1a ”成立，但条件0＜ab ＜1不成立，因此“0＜ab ＜1”不是“a ＜1b 或b ＞1a”的必要条件；即“0＜ab ＜1”是“a ＜1b 或b ＞1a”的充分而不必要条件． 答案：A4．（2010浙江，5分）设0<x <π2，则“x sin 2x <1”是“x sin x <1”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当0<x <π2时，0<sin x <1， 故x sin x <1⇒x sin x sin x <sin x <1⇒x sin 2x <1，但x sin 2x <1⇒x sin x <1sin x ，而1sin x>1，故不能保证x sin x <1.答案：B5．（2010江苏，5分）设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y 4的最大值是________． 解析：由题设知，实数x ，y 均为正实数，则条件可化为lg3≤lg x ＋2lg y ≤lg8，lg4≤2lg x－lg y ≤lg9，令lg x ＝a ，lg y ＝b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧lg3≤a ＋2b ≤3lg22lg2≤2a －b ≤2lg3，又设t ＝x 3y 4，则lg t ＝3lg x －4lg y ＝3a －4b ，令3a －4b ＝m (a ＋2b )＋n (2a －b )，解得m ＝－1，n ＝2，即lg t ＝－(a ＋2b )＋2(2a－b )≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴x 3y 4的最大值是27. 另解：将4≤x 2y ≤9两边分别平方得，16≤x 4y 2≤81，① 又由3≤xy 2≤8可得，18≤1xy 2≤13，② 由①×②得，2≤x 3y 4≤27，即x 3y 4的最大值是27. 答案：276．(2011安徽，12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ； (2)设1<a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .解：(1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇒⇐ xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy . 于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ， 其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。

[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 应不少于2.3%，写成不等式组就是__________．2．函数y ＝12＋x －x 2的定义域是__________．3．不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，1)∪(3，＋∞)，则a ∶b ∶c ＝__________.4．已知不等式x 2－2x ＋k 2－1>0对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围为__________．能力提升5．不等式(x －1)(x ＋2)2≥0的解集是________．62x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 27．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________．8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －2x >2，－x 2－x ＋4x ≤2，则不等式f (x )≤2的解集是________．9．不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为________．10．关于x 的不等式2·32x －3x ＋a 2－a －3＞0当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为________．11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________．12．[2010·天津卷] 设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________．13．(8分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0}，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，m ∈R } (1)若A ∩B ＝[2,4]，求实数m 的值；(2)设全集为R ，若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．14．(8分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)． (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．15．(12分)已知函数f (x )＝x2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜k ＋1x －k2－x.16．(12分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0；命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且q ∧p 为真，求实数x 的取值范围；(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．课时作业(三十二)【基础热身】1.⎩⎪⎨⎪⎧f ≤2.5%，p ≥2.3%[解析] 由f 应不多于 2.5%得f ≤2.5%，由p 应不少于 2.3%得p ≥2.3%.2．[－3,4] [解析] 由12＋x －x 2≥0⇒x 2－x －12≤0⇒(x －4)(x ＋3)≤0⇒－3≤x ≤4. 3．1∶(－4)∶3 [解析] 由一元二次不等式和一元二次方程之间的关系可知x 1＝1，x 2＝3即为关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以由根与系数的关系有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝－ba ，1×3＝c a⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，c ＝3a⇒a ∶b ∶c ＝1∶(－4)∶3.4．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [解析] 由题意知Δ＝(－2)2－4(k 2－1)<0⇒k <－2或k > 2.【能力提升】5．{x |x ＝－2或x ≥1} [解析] (x －1)(x ＋2)2≥0⇒x ＋2＝0或x －1≥0⇒x ＝－2或x ≥1.6．(－∞，－2)∪(3，＋∞) [解析] 由表格知函数图象开口方向向上，与x 轴的交点为(－2,0)，(3,0)．7．(－∞，－5] [解析] 令f (x )＝x 2＋mx ＋4，x ∈[1,2]．由于当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立．则⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≤0，f 2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＋4≤0，4＋2m ＋4≤0，解得m ≤－5.8．(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ [解析] 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1x －2≤2，x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ＋4≤2，x ≤2.解得x ∈(－∞，－2]∪[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.9．{x |－3－22<x <－3＋22，且x ＝1}[解析] log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3⇔0<x ＋1x＋6≤8.当x >0时，0<x 2＋1＋6x ≤8x ⇒(x －1)2≤0⇒x ＝1；当x <0时，8x ≤x 2＋1＋6x <0⇒ －3－22<x <－3＋2 2.综上所述，不等式log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋6≤3的解集为{x |－3－22<x <－3＋22，且x ＝1}．10．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [解析] 设t ＝3x ，则t ∈[1,3]，原不等式可化为a 2－a－3＞－2t 2＋t ，t ∈[1,3]．原不等式恒成立等价于a 2－a －3大于f (t )＝－2t 2＋t 在[1,3]上的最大值．令f (t )＝－2t 2＋t ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－12t ＋116＋18＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －14＋18，∴定义域在对称轴t ＝14的右侧，∴f (t )在[1,3]上单调递减，∴f (x )max ＝－1，即a 2－a －3>－1，整理得(a －2)(a ＋1)>0，∴a >2或a <－1.11.⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916 [解析] 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4.不等式的解集为12＋a <x <12－a，由已知14<12＋a <12，由题知解集中整数恰好有3个，所以3<12－a ≤4，解得a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤259，4916.12.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] 由题意知x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32. 13．[解答] (1)∵A ＝[－2,4]，B ＝[m －3，m ]， A ∩B ＝[2,4]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －3＝2，m ≥4，∴m ＝5.(2)∁R B ＝{x |x <m －3，或x >m }，∵A ⊆∁R B ， ∴m <－2，或m －3>4，∴m >7或m <－2.14．[解答] ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， ∴设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0， 因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①(1)由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①得f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a及a <0， 可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得 a <－2－3或－2＋3<a <0，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．15．[解答] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9，164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x <k ＋1x －k 2－x ，可化为x 2－k ＋1x ＋k2－x<0，即(x －2)(x －1)(x －k )>0.①当1＜k ＜2时，解集为x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0， 解集为x ∈(1,2)∪(2，＋∞)；③当k ＞2时，解集为x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．16．[解答] (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0， 又a >0，所以a <x <3a . 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0得2<x ≤3， 即q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3. 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， 所以实数x 的取值范围是2<x <3.(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q ，且綈q ⇒/ 綈p ， 设A ＝{x |綈p }，B ＝{x |綈q }，则A B . 又A ＝{x |綈p }＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， B ＝{x |綈q }＝{x ≤2或x >3}， 则0<a ≤2，且3a >3.所以实数a 的取值范围是1<a ≤2.。

课时作业(三) 相等关系与不等关系一、单项选择题1．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )>g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 的值变化而变化B [f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0⇒f (x )>g (x ).]2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( )A ．－n <m <n <－mB ．－n <m <－m <nC ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－mD [m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立，故选D.]3．设α∈⎝⎛⎭⎫－π6，π2 ，β∈[0，π]，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，2π3 B ．⎝⎛⎭⎫－π3，2π3 C ．⎣⎡⎭⎫－π3，2π3 D ．⎝⎛⎭⎫－2π3，π D [由题设得－π3 <2α<π，0≤β3 ≤π3 ，所以－π3 ≤－β3 ≤0，所以－2π3 <2α－β3<π.] 4．“m >0且n >0”是“mn >0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由m >0且n >0，即m ，n 同正，得mn >0成立，充分性成立；而mn >0时，m >0且n >0或m <0且n <0，必要性不成立．故选A.]5．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( )A ．a －b >0B ．a 3＋b 3>0C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0D [由a ＋|b |<0知a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，所以a ＋b <0恒成立．故选D 项．]6．若a >b >0，c <d <0，则下列结论正确的是( )A ．a c －b d>0 B ．a c －b d <0 C ．a d >b c D ．a d <b cD [因为c <d <0，所以0<－d <－c ，又0<b <a ，所以－bd <－ac ，即bd >ac ，又因为cd >0，所以bd cd >ac cd ，即b c >a d，故选D 项．] 7．(2020·山东德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( )A ．b <ab <a 2bB ．a 2b <ab <bC ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <abD [因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.]8．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cbD [因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不确定．因为b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变，所以ca <cb 恒成立．]二、多项选择题9．已知a ，b ，c 是实数，下列结论中正确的是( )A ．“a 2>b 2”是“a >b ”的充分条件B ．“a 2>b 2”是“a >b ”的必要条件C ．“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件D ．“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件CD [对于A 项，当a ＝－5，b ＝1时，满足a 2>b 2，但是a <b ，所以充分性不成立；对于B 项，当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是a 2<b 2，所以必要性不成立；对于C 项，由ac 2>bc 2得c ≠0，则有a >b 成立，即充分性成立，故正确；对于D 项，当a ＝－5，b ＝1时，|a |>|b |成立，但是a <b ，所以充分性不成立；当a ＝1，b ＝－2时，满足a >b ，但是|a |<|b |，所以必要性也不成立，故“|a |>|b |”是“a >b ”的既不充分也不必要条件．故选CD 项．]10．设b >a >0，c ∈R ，则下列不等式中正确的是( )A ．a 12 <b 12B ．1a －c >1b －cC ．a ＋2b ＋2 >a bD ．ac 2<bc 2ABC [因为y ＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，所以a 12 <b 12 ，故A 项正确；因为y ＝1x－c 在(0，＋∞)上是减函数，所以1a －c >1b －c ，故B 项正确；因为a ＋2b ＋2 －a b ＝2（b －a ）（b ＋2）b >0，所以a ＋2b ＋2 >a b，故C 项正确；当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以D 项不正确．故选ABC 项．]11．若1a <1b<0，则不等式中，正确的是( ) A ．a ＋b <abB ．|a |<|b |C ．a <bD ．b a ＋a b>2 ABD [若1a <1b<0，则a <0，b <0，且a >b ，所以a ＋b <0，ab >0，故A 正确；由a <0，b <0，且a >b ，显然|a |<|b |，故B 正确；显然C 错；由于a <0，b <0，故b a >0，a b >0.则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2(当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时取“＝”).又a >b ，所以b a ＋a b>2.故D 正确．故选ABD.] 12．(2020·浙江温州七校期中)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则 1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1 >b aD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2BC [对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1 >b a，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.]三、填空题13．已知a ，b ∈R ，则不等式a <b 和1a <1b 同时成立的条件是________．解析： 若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得1b >1a ，即1a <1b ；若ab >0，则1a >1b ，所以a <b 和1a<1b同时成立的条件是a <0<b . 答案： a <0<b14．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析： 矩形靠墙的一边长为x m ，则相邻边长为30－x 2m ，即⎝⎛⎭⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216.答案： ⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤18，x ⎝⎛⎭⎫15－x 2≥216 15．已知a ＋b >0，则a b2 ＋b a2 与1a ＋1b的大小关系是________． 解析： a b2 ＋b a2 －(1a ＋1b )＝a －b b2 ＋b －a a2＝(a －b )·(1b2 －1a2 )＝（a ＋b ）（a －b ）2a2b2. ∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a2b2 ≥0.∴a b2 ＋b a2 ≥1a ＋1b. 答案： a b2 ＋b a2 ≥1a ＋1b16．已知12<a <60，15<b <36，则a －b 的取值范围是________，a b的取值范围是________． 解析： 因为15<b <36，所以－36<－b <－15.又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45，所以a －b 的取值范围是(－24，45).因为136 <1b <115 ，所以1236 <a b <6015 ，即13 <a b<4，所以a b的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4 . 答案： (－21，45)；⎝⎛⎭⎫13，4。

2013年高考数学一轮复习课时训练 不等关系与不等式 北师大版A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 “a ＋c ＞b ＋d ”/⇒“a ＞b 且c ＞d ”， ∴“充分性不成立”，“a ＞b 且c ＞d ”⇒“a ＋c ＞b ＋d ”． ∴必要性成立． 答案 A2．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( )． A ．a ＞ab ＞ab 2B ．ab 2＞ab ＞a C ．ab ＞a ＞ab 2D ．ab ＞ab 2＞a解析 由－1＜b ＜0，可得b ＜b 2＜1，又a ＜0，∴ab ＞ab 2＞a . 答案 D3．(2011·全国)下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( )． A ．a ＞b ＋1B ．a ＞b －1C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解析 A 项：若a ＞b ＋1，则必有a ＞b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a ＞b ，但不能推出a ＞b ＋1，故a ＞b ＋1是a ＞b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a ＞b－1，反之，由a ＞b －1不能推出a ＞b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2＞b 2，但a ＞b 不成立；D 项：a ＞b 是a 3＞b 3的充要条件，综上知选A. 答案 A4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0.那么下列选项中一定成立的是( )． A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＜0 C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＞0解析 由a ＞b ＞c 且ac ＜0，得a ＞0，c ＜0，b ∈R .所以可得ab ＞ac . 答案 A5．(2012·福州模拟)若a ＞0，b ＞0，则不等式－b ＜1x＜a 等价于( )．A ．－1b ＜x ＜0或0＜x ＜1aB ．－1a ＜x ＜1bC ．x ＜－1a 或x ＞1bD ．x ＜－1b 或x ＞1a解析 由题意知a ＞0，b ＞0，x ≠0， (1)当x ＞0时，－b ＜1x ＜a ⇔x ＞1a；(2)当x ＜0时，－b ＜1x＜a ⇔x ＜－1b.综上所述，不等式－b ＜1x ＜a ⇔x ＜－1b 或x ＞1a.答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．已知M ＝2(a 2＋b 2)，N ＝2a －4b ＋2ab －7且a ，b ∈R ，则M ，N 的大小关系为________． 解析 M －N ＝2(a 2＋b 2)－(2a －4b ＋2ab －7) ＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋4b ＋4)＋(a 2－2ab ＋b 2)＋2 ＝(a －1)2＋(b ＋2)2＋(a －b )2＋2＞0，∴M ＞N . 答案 M ＞N7．下列四个不等式：①a ＜0＜b ；②b ＜a ＜0；③b ＜0＜a ；④0＜b ＜a ，其中能使1a ＜1b成立的充分条件有________(填序号)．解析 1a ＜1b ⇔b －a ab＜0⇔b －a 与ab 异号，因此①②④能使b －a 与ab 异号．答案 ①②④8．已知－1≤x ＋y ≤4，且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(用区间表示)．解析 ∵z ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )，∴3≤－12(x ＋y )＋52(x －y )≤8，∴z ∈[3,8]． 答案 [3,8] 三、解答题(共23分)9．(11分)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e a －c2＞e b －d2.证明 ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0. 又∵a ＞b ＞0，∴a －c ＞b －d ＞0. ∴(a －c )2＞(b －d )2＞0. ∴0＜1a －c2＜1b －d2.又∵e ＜0，∴e a －c2＞e b －d2.10．(12分)已知f (x )＝ax 2－c 且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝f，4a －c ＝f ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13[f －f ，c ＝－43f＋13f所以f (3)＝9a －c ＝－53f (1)＋83f (2)．因为－4≤f (1)≤－1，所以53≤－53f (1)≤203，因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403.两式相加，得－1≤f (3)≤20， 故f (3)的取值范围是[－1,20]．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知ab ≠0，那么a b ＞1是b a＜1的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析 a b ＞1即a －b b ＞0，所以a ＞b ＞0，或a ＜b ＜0，此时ba ＜1成立； 反之b a＜1，所以a －ba＞0，即a ＞b ，a ＞0或a ＜0，a ＜b ， 此时不能得出a b＞1. 答案 A2．(2011·上海)若a 、b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )． A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2 abC.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥2解析 对A ：当a ＝b ＝1时满足ab ＞0，但a 2＋b 2＝2ab ，所以A 错；对B 、C ：当a ＝b ＝－1时满足ab ＞0，但a ＋b ＜0，1a ＋1b＜0，而2ab ＞0，2ab＞0，显然B 、C 不对；对D ：当ab＞0时，由均值定理b a ＋ab ＝2 b a ·ab＝2. 答案 D二、填空题(每小题4分，共8分)3．若角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则2α－β的取值范围是________．解析 ∵－π2＜α＜β＜π2，∴－π＜2α＜π，－π2＜－β＜π2，∴－3π2＜2α－β＜3π2，又∵2α－β＝α＋(α－β)＜α＜π2，∴－3π2＜2α－β＜π2.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，π24．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)． 解析 ∵log b 1b＝－1.若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ，∴log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以；若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a，∴log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b＜1，∴log a 1b＞0，log a b ＜0，条件③不可以．答案 ②三、解答题(共22分)5．(10分)已知a ∈R ，试比较11－a 与1＋a 的大小．解 11－a －(1＋a )＝a 21－a .①当a ＝0时，a 21－a ＝0，∴11－a＝1＋a . ②当a ＜1且a ≠0时，a 21－a ＞0，∴11－a ＞1＋a .③当a ＞1时，a 21－a ＜0，∴11－a＜1＋a . 综上所述，当a ＝0时，11－a ＝1＋a ；当a ＜1且a ≠0时，11－a ＞1＋a ；当a ＞1时，11－a＜1＋a .6．(12分)(2011·安徽)(1)设x ≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ；(2)设1＜a ≤b ≤c ，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c . 解 (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得[y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1]＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )]＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．。

课堂达标(三十) 不等关系与不等式[A 基础巩固练]1．(2018·贵阳监测考试)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d[解析] (1)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c2<b c2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.[答案] C2．(2018·江西鹰潭二模)若1a ＜1b＜0，则下列结论正确的是( )A ．a 2＞b 2B ．1＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12aC.b a ＋ab＜2D ．ae b ＞be a[解析] 由题意，b ＜a ＜0，则a 2＜b 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，b a ＋ab ＞2，∵b ＜a ＜0，∴e a＞e b ＞0，－b ＞－a ＞0∴－be a ＞－ae b ，∴ae b ＞be a ，故选D.[答案] D3．若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD.2a ＋b a ＋2b >a b[解析] 取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.[答案] A4．(2016·浙江高考)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则( ) A ．(a －1)(b －1)<0 B ．(a －1)(a －b )>0 C ．(b －1)(b －a )<0D ．(b －1)(b －a )>0[解析] ∵a ，b >0且a ≠1，b ≠1，∴当a >1，即a －1>0时，不等式log a b >1可化为log b a >log a a ，即b >a >1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b －1)(b －a )>0.当0<a <1，即a －1<0时，不等式log a b >1可化为log b a <log a a ，即0<b <a <1，∴(a －1)(a －b )<0，(b －1)(a －1)>0，(b－1)(b －a )>0.[答案] D5．若不等式(－2)n a －3n －1－(－3)n <0对任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，74[解析] 当n 为奇数时，2n (1－a )<3n －1， 1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需1－a <13×⎝ ⎛⎭⎪⎫321，∴a >12. 当n为偶数 时，2n (a －1)<3n －1，a －1<13×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 恒成立，只需a －1<13<⎝ ⎛⎭⎪⎫322，∴a <74. 综上，12<a <74，故选D.[答案] D6．(黄冈质检)已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |[解析] 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0,3z <x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，z <0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x >0y >z ，可得xy >xz .[答案] C7．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为__________．[解析] 矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.[答案]⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216.8．已知a ＋b >0，则ab 2＋ba 2与1a ＋1b的大小关系是______．[解析] a b 2＋ba 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －aa 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝a ＋b a －b2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0， ∴a ＋b a －b 2a 2b 2≥0.∴ab 2＋b a 2≥1a ＋1b.[答案]ab 2＋b a 2≥1a ＋1b9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是______． [解析] ∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1此式无解．综上可得实数b 的取值范围(－∞，－1)． [答案] (－∞，－1)10．(1)设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)·(x ＋y )的大小；(2)已知a ，b ，x ，y ∈(0，＋∞)且1a ＞1b，x ＞y ，求证：xx ＋a ＞yy ＋b.[解] (1)法一： (x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[x 2＋y 2－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )， ∵x ＜y ＜0，∴xy ＞0，x －y ＜0， ∴－2xy (x －y )＞0，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．法二：∵x ＜y ＜0，∴x －y ＜0，x 2＞y 2，x ＋y ＜0. ∴(x 2＋y 2)(x －y )＜0，(x 2－y 2)(x ＋y )＜0， ∴0＜x 2＋y 2x －y x 2－y 2x ＋y＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy＜1，∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． (2)证明：xx ＋a －yy ＋b＝bx －ay x ＋ay ＋b.∵1a ＞1b且a ，b ∈(0，＋∞)，∴b ＞a ＞0，又∵x ＞y ＞0，∴bx ＞ay ＞0， ∴bx －ay x ＋ay ＋b＞0，∴xx ＋a ＞yy ＋b.[B 能力提升练]1．(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则ca的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析]由已知及三角形三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加得，0<2×c a<4，∴ca的取值范围为(0,2)．[答案] B2．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4[解析] 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.[答案] A3．设a >b >0，m ≠－a ，则b ＋m a ＋m >b a时，m 满足的条件是______．[解析] 由b ＋m a ＋m >b a得a －b m a a ＋m>0，因为a >b >0，所以mm ＋a >0.即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m ＋a >0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m ＋a <0.∴m >0或m <－a .即m 满足的条件是m >0或m <－a . [答案] m >0或m <－a4．(2018·北京东城区统测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%.若p >q >0，则提价多的方案是______．[解析] 设原价为a ，方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p ＋q 2%2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p %＋1＋q %22 ≥()1＋p %1＋q %2＝(1＋p %)(1＋q %)，又∵p >q >0，∴等号不成立，则提价多的为方案乙． [答案] 乙5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx .所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5.当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．[C 尖子生专练]甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？[解析] 设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1＜v 2.甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s 2v 2＝s v 1＋v 22v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2sv 1＋v 2，∴t 甲t 乙＝s v 1＋v 22v 1v 2×v 1＋v 22s＝v 1＋v 224v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2＞4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲＞0，t 乙＞0， ∴t 甲＞t 乙，即乙先到教室．。

——教学资料参考参考范本——高考数学一轮复习第七章不等式第一节不等关系与不等式课后作业理______年______月______日____________________部门一、选择题1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是( )A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B2．若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．(20xx·包头模拟)若6＜a＜10，≤b≤2a，c＝a＋b，那么 c 的取值范围是( )A．9≤c≤18 B．15＜c＜30C．9≤c≤30 D．9＜c＜304．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|5．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是( )A.< B．log2a>log2bC．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b<<<a二、填空题6．已知a，b，c∈R，有以下命题：①若a>b，则ac2>bc2；②若ac2>bc2，则a>b；③若a>b，则a·2c>b·2c.其中正确命题的序号是__________．7．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．8．若60<x<84,28<y<33，则x－y的取值范围是________，的取值范围是________．三、解答题9．若实数a≠1，比较a＋2与的大小．10．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.[冲击名校]1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，若<<，则a，b，c的大小关系为( )A．c<a<b B．b<c<aC．a<b<c D．c<b<a2．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若a>b>0，且>，则实数m的取值范围是________．4．若－1≤lg ≤2,1≤lg xy≤4，则lg 的取值范围是________．5．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．答案[全盘巩固]一、选择题1．解析：选B 由题意得，B2－A2＝－2≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2．解析：选A 由－>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即a>b≥0或a<b≤0，所以“－>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件．3．解析：选D ∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.∵6＜a＜10，∴9＜c＜30.4．解析：选C 因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，3z<x＋y＋z＝0，所以x>0，z<0.所以由可得xy>xz，故选C.5．解析：选C 选项A中，由a>b>0，可知<成立；选项B中，根据对数函数y＝log2x的递增性质可知，log2a>log2b成立；选项C中，a2＋b2－(2a＋2b－2)＝(a－1)2＋(b－1)2>0，故C不成立；选项D中，根据基本(均值)不等式可知b＝<<<＝a成立．二、填空题6．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知成立．答案：②③7．解析：a ＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b ＝log29－log2＝log23＝a ，c ＝log32<log33＝1.答案：a ＝b>c8．解析：∵－33<－y<－28，∴27<x－y<56. ∵<<， ∴<<3.答案：(27,56) ⎝ ⎛⎭⎪⎫2011，3三、解答题9．解：∵a＋2－＝＝， ∴当a>1时，a ＋2>； 当a<1时，a ＋2<.10．证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. 又∵a>b>0，∴a－c>b －d>0. ∴(a －c)2>(b －d)2>0， ∴0<<.又∵e<0，∴>.[冲击名校]1．解析：选A 因为a ，b ，c∈(0，＋∞)，由<，得cb ＋c2<a2＋ab ，整理得(c －a)(a ＋b ＋c)<0，所以c<a ，同理由<得a<b ，所以c<a<b.2．解析：选C 根据题意，由于a 、b 、c∈R＋，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，如果PQR>0，则说明P 、Q 、R 可能都大于零，或者有两个为负数，一个为正数，假设a＋b－c<0，b＋c－a<0，相加得b<0，与b∈R＋矛盾，故假设不成立，即P、Q、R都大于零，因此“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的充要条件．3．解析：由>，得－>0，整理得>0，可得m(b＋m)<0，得－b<m<0.答案：(－b,0)4．解析：由1≤lg xy≤4，－1≤lg ≤2得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2，而lg ＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，所以－1≤lg ≤5.答案：[－1,5]5．解：设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn， y2＝nx.所以y1－y2＝x＋xn－nx＝x－nx＝x.当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。

第六章不等式、推理与证明本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用．推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．全国高考在这一章的命题上呈现以下特点：1．考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现．2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题．预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值X围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．5．强化不等式的应用．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．第一节 不等关系与不等式基础回顾Ｋ一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”“>”“≤”“≥”“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．二、实数运算性质与大小顺序关系1．a>b ⇔a －b>0；2.a ＝b ⇔a －b ＝0；3.a<b ⇔a －b<0. 它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据． 三、不等式的基本性质 双向性：1．定理1(对称性)：a>b ⇔b<a. 单向性：2．定理2(传递性)：a>b ，b>c ⇒a>c.3．定理3(同加性)：a>b ，c 为整式或实数⇔a ＋c>b ＋c.4.定理3推论(叠加性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>d ⇒a ＋c>b ＋d. 5．定理4(可乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b c>0⇒ac>bc ；⎭⎪⎬⎪⎫a>b c<0⇒ac<bc. 6．定理4推论1(叠乘性)：⎭⎪⎬⎪⎫a>b>0c>d>0⇒ac>bd. 7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0⇒a n>b n(n∈N *且n>1)．8．定理5(可开方性)：a>b>0⇒na ＞nb (n∈N *且n>1)．四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ，不能弱化条件得a ＞b ⇒1a ＜1b.五、正确处理带等号的情况如由a ＞b ，b ≥c 或a≥b，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a≥c，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会有a ＝c.注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．基础自测Ｋ1．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是(C ) A ．a ＞a b ＞a b 2 B.a b 2＞a b ＞aC.a b ＞a b 2＞aD.a b ＞a ＞ab2 解析：特殊值法，取a ＝－1，b ＝－2，验证知a b ＞ab 2＞a 成立．也可用作差比较法．2．若0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列各式中最大的是(B ) A ．－1 B ．log 2bC ．log 2a ＋log 2b ＋1D ．log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)解析：特殊值法．取a ＝13，b ＝23，则log 2b ＝log 223＝1－log 23>1－log 24＝－1；log 2b －(log 2a ＋log 2b ＋1)＝－1－log 213＝－1＋log 23>0；计算可知，b>a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3，∴log 2b>log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)．故选B.3．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是③(填序号)． ①a b ＞1；②a 2＞b 2；③lg(a －b)＞0；④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b . 解析：令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立；令a ＝1，b ＝－2，则a 2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立；当a －b 在区间(0，1)内时，lg(a －b)＜0；f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在R 上是减函数，∵a ＞b ，∴f(a)＜f(b)，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故④正确． 4．a>b>0，m>0，n>0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋n b ＋n 由大到小的顺序是a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >ba．解析：取特殊值．如a ＝2，b ＝1，m ＝n ＝1，则b a ＝12，a b ＝2，b ＋m a ＋m ＝23，a ＋n b ＋n ＝32.∴a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >ba .高考方向1.以选择题或填空题的形式考查不等式的性质及其应用.2.常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题，有时以新型概念（定义）比较两个数的大小，题目难度不大.品味高考1．设a ，b 为实数，则“0<ab<1”是“b<1a”的(D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：当0<ab<1，a<0，b<0时，有b>1a .反过来若b<1a ，当a<0时，则有ab>1，所以“0<ab<1”是“b<1a”的既不充分也不必要条件．故选D.2．(2014·某某卷)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则(C )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a解析：a ＝2－13∈(0，1)，b ＝log 213∈(－∞，0)，c ＝log 1213＝log 23∈(1，＋∞)，所以c＞a ＞b ，故选C.高考测验1．若x ＞0，y ＞0，则x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的(B )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：先看充分性，可取x ＝y ＝23，使x ＋y ＞1成立，而x 2＋y 2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x 2＋y 2＞1，因为x ＞0，y ＞0，所以(x ＋y)2＝x 2＋y 2＋2xy ＞x 2＋y 2＞1， ∴x ＋y ＞1成立，故必要性成立．综上所述，x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的必要不充分条件． 2．(2013·西城期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2；②2a>2b －1；③a －b>a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b.其中一定成立的不等式为①②③(填序号)．解析：由a>b>0可得a 2>b 2，①成立；由a>b>0可得a>b －1，而函数f(x)＝2x 在R 上是增函数；∴f(a)>f(b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a>b>0，∴a>b ，∴(a －b)2－(a －b)2＝2ab －2b ＝2b(a －b)>0， ∴a －b>a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35，2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．课时作业1．下列四个数中最大的是(D )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2 解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.2．设a ，b ，c ，d ∈R ，则“a＋c>b ＋d”是“a>b 且c>d”的(A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：易得a>b 且c>d 时必有a ＋c>b ＋d.若a ＋c>b ＋d 时，则可能有a>d 且c>b ，故选A.3．下列各式中错误的是(C )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 对；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错．4．设a ，b ∈R ，若a －|b|＞0，则下列不等式中正确的是(D )A ．b －a ＞0B ．a 3＋b 3＜0C ．a 2－b 2＜0 D ．b ＋a ＞0 解析：∵a－|b|＞0⇒ ∴a ＞|b|≥－b ， ∴a ＋b ＞0.5．设[x]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13，y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值X 围是(D )A ．(35，39)B ．(49，51)C ．(71，75)D ．(93，94)解析：∵[x－3]＝[x]－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13，y ＝4[x －3]＋5，解得[x]＝20，∴y＝73.∵x 不是整数， ∴20<x<21，∴93<x ＋y<94.故选D.6．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都曾经以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是(A )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地 7．若－1＜a ＜b ＜1，则a －b 的取值X 围是(－2，0)．8．(2013·某某模拟)若x>y ，a>b ，则在①a －x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是②④．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x>y ，a>b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立． 又∵ax＝－6，by ＝－6， ∴ax ＝by ，因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx ，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立．9．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为c ＞b ＞a ． 解析：a ＝2－5＝4－5＜0， ∴b ＞0.c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a.10．已知m∈R，a ＞b ＞1，f(x)＝mxx －1，试比较f(a)与f(b)的大小关系． 解析：∵f(a)－f(b)＝am a －1－bm b －1＝m （b －a ）（a －1）（b －1），∵a ＞b ＞1，∴b －a ＜0，a －1＞0，b －1＞0，∴当m ＜0时，m （b －a ）（a －1）（b －1）＞0，即f(a)＞f(b)；当m ＝0时，f(a)＝f(b)；当m ＞0时，m （b －a ）（a －1）（b －1）＜0，即f(a)＜f(b)．11．设f(x)＝ax 2＋bx 且1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4，求f(－2)的取值X 围． 解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，则 4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)， 即4a －2b ＝(m ＋n)a －(m －n)b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)，又∵1≤f(－1)≤2，2≤f (1)≤4， ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， ∴5≤f(－2)≤10.因此f(－2)的取值X 围是[5，10]．。

课时达标第32讲不等关系与不等［解密考纲］主要考查不等式及其性质,以选择题或填空题的形式出现,位于选择题或填空题的中间位置，难度较易或中等．一、选择题1．设a，b为实数，则“a〈错误!或b〈错误!”是“0<ab<1”的( D）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析可通过举反例说明,当a＝b＝－10时,a＜错误!，b＜错误!，但ab ＝100＞1，所以不是充分条件；反之，当a＝－1，b＝－错误!时，0＜ab＜1，但a＞错误!,b＞错误!，所以不是必要条件．综上可知“a＜错误!或b＜错误!”是“0＜ab＜1”的既不充分也不必要条件．2．若错误!<错误!<0,则下列结论不正确的是（D）A．a2〈b2B．ab<b2C．a＋b<0 D．｜a|＋|b｜>|a＋b｜解析令a＝－1,b＝－2代入选项验证可知D项错误，故选D．3．（2018·浙江富阳模拟)如果a，b，c满足c〈b<a，且ac<0，那么下列选项中不一定成立的是( C）A．ab〉ac B．bc〉acC．cb2〈ab2D．ac（a－c)〈0解析因为c＜b＜a,且ac＜0，所以a＞0，c＜0,所以ab－ac＝a(b－c)＞0，bc－ac＝(b－a）c＞0，ac（a－c）＜0，所以A,B，D项均正确．因为b可能等于0,也可能不等于0，所以cb2＜ab2不一定成立．4．（2016·北京卷）已知x,y∈R，且x＞y＞0,则（C)A．错误!－错误!＞0 B．sin x－sin y＞0C．错误!x－错误!y＜0 D．ln x＋ln y＞0解析函数y＝错误!x在（0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，错误!x 〈错误!y，即错误!x－错误!y<0，故C项正确;函数y＝错误!在（0，＋∞）上为减函数，∴x〉y>0⇒错误!〈错误!⇒错误!－错误!〈0，故A项错误；函数y＝sin x在(0，＋∞)上不单调，当x>y〉0时，不能比较sin x与sin y的大小，故B项错误；x〉y>0⇒xy>1⇔ln(xy)>0⇔ln x＋ln y>0，故D项错误．5．（2016·浙江卷）已知a>0，b〉0且a≠1，b≠1，若log a b>1，则（D)A．(a－1）（b－1)<0 B．（a－1)(a－b)〉0C．(b－1)(b－a）<0 D．(b－1)(b－a）〉0解析讨论a的取值范围，可以利用指数式、对数式的互化将条件转化为a与b的关系，再判断即可．∵a〉0，b>0且a≠1,b≠1，∴当a>1，即a－1〉0时，不等式log a b〉1可化为log a b〉log a a，∴b〉a>1，∴(a－1)(a－b)〈0，（b－1）(a－1)〉0，（b－1)(b－a)〉0。