浙江杭州市西湖高级中学高二下学期数学周练5 word版含答案

高二数学周练（5）
一、选择题
1.抛物线2ax y =的焦点坐标为)8
1,0(-，则a 的值为 ( )
A ．2-
B ．4-
C ．41
D ．8
1 2.“2
1a =”是“直线0=+y x 和直线0x ay -=互相垂直”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.已知正方形ABCD 的顶点,A B 为椭圆焦点，顶点,C D 在椭圆上，则此椭圆的离心率为( )
A 1
B 1 D ．24. 在三棱柱111AB
C A B C -中，底面是正三角形，侧棱1AA ⊥底面
ABC ,点E 是侧面11CC BB 的中心，若13AA AB =,则直线AE 与平面11CC BB 所成角的大小为 ( )
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．90︒
5. 已知点,A B 的坐标分别是(1,0),(1,0)-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 与直线BM 的斜率之差是2，则点M 的轨迹方程是 ( ) A.2(1)x y =-- B.2(1)(1)x y x =--≠± C.21xy x =-
D.2
1(1)xy x x =-≠±
6. 下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的命题，其中为真命题的是 ( ) A ．若//,//l m αα，则//l m B ．若,l m 与α所成的角相等，则//l m C ．若,αββγ⊥⊥，则αγ⊥ D ．若,,,//l m n l α
ββγγαγ===，则//m n
7. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的
右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A ．(1,2)
B ．[2,)+∞
C ．
D ．)+∞
8．若12,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 与椭圆
19
252
2=+y x 的共同焦点，点P 是两曲线的一个交点，且△12PF F 为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是( )
A ．023=±y x
B 30y ±=
C ．073=±y x
D ．037=±y x 二、填空题
9.直线10x y --=与10x y -+=之间的距离是 ．
10.已知(2,1,1),(1,4,2),(,5,1)a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ= ． 11.已知点(2,2),(2,6),(4,2),A B C ----点P 在圆224x y +=上运动，则
222||||||PA PB PC ++的最大值与最小值之和为 ．
12.直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，且与抛物线交于,A B 两点，若线段AB 的中点到y 轴的距离是2，则||AB =__ __.
13.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点(3,4)A -，且法向量为(1,
2)n =-的直线（点法
式）方程为1(3)(2)(4)0x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=. 类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点(3,4,5)A ，且法向量为(2,1,3)n =-的平面(点法式)方程为
(请写出化简后的结果). 三、解答题
14.已知p ：方程
22146x y k k +=--表示双曲线，q ：过点(2,1)M 的直线与椭圆22
15x y k
+=恒有公共点，若p q ∧为真命题，求k 的取值范围．
15．已知直线1l ：43120x y +-=与x 轴和y 轴分别交于,A B 两点，直线2l 经过点3
(0,)
2
C 且与直线1l 垂直，垂足为M ．（Ⅰ）求直线2l 的方程与点M 的坐标；
（Ⅱ）若将四边形OAMC （O 为坐标原点）绕y 轴旋转一周得到一几何体，求该几何体的体积V ．
16．已知经过点(1,3),(0,4)A B -的圆C 与圆222440x y x y +--+=相交，它们的公共弦平行于直线210x y ++=．
（Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若动圆M 经过一定点(3,0)P ，且与圆C 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．
17. 如图所示的多面体中，已知直角梯形ABCD 和矩形CDEF 所在的平面互相垂直，AD DC ⊥,//AB DC ,4AB AD DE ===,8CD =. (Ⅰ)证明：BD ⊥平面BCF ；
(Ⅱ)设二面角E BC F --的平面角为θ，求c o s θ的值；
(Ⅲ)M 为AD 的中点，在DE 上是否存在一点P ，使得MP ∥平面BCE ？若存在，求出DP 的长；若不存
在，请说明理由.
M B F
C C
D A （第17题）
18.已知椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，称圆心在坐标原点O ，
圆为椭圆C 的“伴随圆”，椭圆C 的短轴长为2，
(Ⅰ)求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，与其“伴随圆”交于,C D 两点，
当||CD 时，求△AOB 面积的最大值．
答案及评分标准
一、选择题 ABAABDCD 二、填空题
9.
10. 11； 11．160； 12．8； 13.23170x y z -+-=； 三、解答题
14．解：由p 得：(4)(6)0,46k k k -⋅-<∴<<， ……………………………2分
由q 得：22
211,
55,k
k ⎧+≤⎪⎨⎪≠⎩
5k ∴>． ………………………………4分 又p q ∧为真命题，则56k <<，所以k 的取值范围是(5,6)． ………………6分
15．解：（Ⅰ）设2l 的方程为340x y m -+=，∵点3
(0,)2
C 在直线2l 上，∴6m =．
∴直线2l 的方程为3460x y -+=.………………………………………………2分
由43120,3460,x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得6,
512.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴点M 的坐标为612
(,)55
． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）
(4,0),(0,3),A B
2216554
[34()]3525
V ππ∴=
⋅-⋅=．……………………………………………7分 16．解：（Ⅰ）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，
则两圆的公共弦方程为(2)(4)40D x E y F ++++-=，
由题意得2
2,43100,4160,
D E D E F E F +⎧-=-⎪+⎪-++=⎨⎪++=⎪
⎩
6,0,16.D E F =⎧⎪
∴=⎨⎪=-⎩
∴圆C 的方程为226160x y x ++-=,即 22(3)25x y ++=．………………4分
（Ⅱ）圆C 的圆心为(3,0)C -，半径5r =．
∵动圆M 经过一定点(3,0)P ，且与圆C 外切． ∴||||5||6MC MP PC -=<=．
∴动圆M 圆心的轨迹是以,C P 为焦点，实轴长为5的双曲线的右支．………7分
设双曲线的方程为22
221(0,0)x y a b a b -=>>，
222511
3,,24
c a b c a ==∴=-=，
故动圆圆心M 的轨迹方程是
22
1(0)251144
x y x -=>．………………8分
17．(Ⅰ)证明：以,,DA DC DE 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则
(4,4,0),(0,8,0),(0,0,4),(0,8,4)B C E F ，
∵(4,4,0)(4,4,0)16160BD BC ⋅=--⋅-=-=， (4,4,0)(0,0,4B D C F ⋅=--⋅=，
∴,BD BC BD CF ⊥⊥，且BC 与CF 相交于C , ∴BD ⊥平面BCF ．……………………………3分 (Ⅱ)∵BD ⊥平面BCF , BD 是平面BCF 的一个法向量
1(4,4,0)n =--,
设2(,,)n x y z =平面BCE 的一个法向量,
则22(,,)(4,4,0)0,(,,)(4,4,4)0,n BC x y z n BE x y z ⎧⋅=⋅-=⎪⎨⋅=⋅--=⎪⎩⇒0,0.
x y x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取2n =(1,1,2), 则cos θ
…………………………………6分
(Ⅲ)∵(2,0,0)M ，设(0,0,)(04)P a a ≤≤，P 为DE 上一点,则(2,0,)MP a =-，
∵MP ∥平面BCE ,
∴MP ⊥2n ⇒2(2,0,)(1,1,2)220MP n a a ⋅=-⋅=-+=⇒1a =. ∴当1DP =时，MP ∥平面BCE . …………………………………………9分
18．解：(Ⅰ)由题意得，22222
22
2213
c a b b e a a a -===-=， 又2
1,3b a =∴=，∴椭圆C 的方程为2213
x y +=，…………………………3分 “伴随圆”的方程为22
4x y +=．…………………………………………………4分
（Ⅱ）①当CD x ⊥
轴时，由||CD =
||AB ．
②当CD 与x
轴不垂直时，由||CD O 到CD
设直线CD 的方程为,y kx m =+
2
=
，得2
23(1)4m k =+，
设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
,1,3
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222
(31)6330k x kmx m +++-=． ∴122631km x x k -+=+，212233
31
m x x k -=+．……………………………………6分
当0k ≠时，222
12||(1)()AB k x x =+-
M
=22
222612(1)(1)[()]3131km m k k k --+-++=2222
222
3612(1)(1)[](31)31
k m m k k k -+-++ =22223(1)(91)
(31)k k k +++242221212123334196123696
k k k k k
=+=+≤+=++⨯+++． 当且仅当2
219k k =
，即3
k =±时等号成立，此时||2AB =.
当0k =
时，||AB max ||2AB =，
此时△AOB
的面积取最大值max 1||222
S AB ==
．………………10分。