高数复习题 11-12上 (含答案)
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《高等数学》复习题(2011——2012(1))一.计算题1.)1)1ln(1(lim 0x x x -+→ )1)1ln(1(lim 0x x x -+→ 2122x 0x 0x 0x ln(1+x)-x ln(1+x)-x 1+x lim lim lim xln(1+x)x x →→→===== 2. nn n n b a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→2lim )0,0(>>b alim 1→∞⎧⎛⎪=+ ⎨ ⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭n nn211lim lim lim 222→∞→∞→∞⋅=⋅+⋅n n n n n n 其中1111ln ln ln ln 1111ln lim(1)lim(1)lim lim 22222lim 2→∞→∞→∞→∞→∞=-⋅+-⋅=⋅+⋅==⎛∴= ⎝⎭a b a b n nn n n n n n nn ab e n e n n n3. nn n x nx -∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++22221lim ()lim lim 222222222222221122+-⋅⋅-+-→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nx x nn nx xn x n n nx x nx x e n n4. 若212lim1x x ax b x →-++=+,求a 、b lim lim ;,221122031→-→-++=⇒++=+⇒==由x x x ax b x ax x a b5.求22132x y x x -=-+的间断点,并判别间断点的类型。
()()x x y x x -+=--11, x=1是跳跃间断点,x=2是无穷间断点.6 .并在可导处求出的可导性 ,,试讨论)(,00)1ln()(sin x f x e x x k x f x '⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=011sinxsinx k+ln(1+x), x 0f(x)=e , x 0k =1f(x), x 01+x f (x)=x =0cosx e , x 0x ≥⎧⎨<⎩=⎧>⎪⎪'⎨⎪<⎪⎩当时,在连续。
复习题(一)一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续;B 、不连续;C 、为第一类间断点;D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f =',则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ;B 、n x f n )]([;C 、1][+n f(x)n!;D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =,则dy=( )A 、x d e 22sin ;B 、x d e x sin sin ;C 、x d e x sin 2sin ;D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 ( )A 、充分条件;B 、必要条件;C 、充要条件;D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的( )A 、充分非必要条件;B 、必要非充分条件;C 、充分必要条件;D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时,下列无穷小中,( )是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ;B 、1cos x -与 22x ;C 、1xe -与 2x ;D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+,则0x =是()f x 的( )A 、可去间断点;B 、跳跃间断点;C 、无穷间断点;D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导,则()f x 在0x 处( )A 、一定不连续;B 、一定无界;C 、不一定连续;D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩,则曲线在2t π=处的切线方程是( )A 、x y π-=;B 、4x y π+=-;C 、x y π+=;D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+,则y '=( )A 、1sec 2x +;B 、2sec 2x +; C 、2sec x ;D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时,→都是无穷小,且))(o()(x x βα=,)(x β~)(x γ,则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续,且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ,则=)a (f ; 4、过曲线xxy -+=66上点(2,2)处的切线方程为 ; 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ,则=dy x d ln 。
兰州大学2011~2012学年第 一 学期考试试卷(卷)课程名称: 高等数学(物理类) 任课教师: 学院: 专业: 年级:姓名: 校园卡号:一 计算题(共50分):1. 计算极限60lim 2xx x e →+=3/(1)。
(5分)2.计算极限sin tan 000limtan sin 1x xx tdttdt →+=⎰⎰。
(5分)3.计算极限11lim cos sin xx e x x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
(5分)4.计算导数cos ()(sin )x f x x =。
(5分)2cos cos ()(sin )sin ln sin sin x x f x x x x x ⎛⎫'=-⋅+/ ⎪⎝⎭5.设y x x y =,计算导数(ln )(ln )dy y x y y dx x y x x -=-。
(6分)6.设2221cos 1cos cos 2t x ty t t udu u ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰,计算导数dy t dx =。
(6分) 7.计算积分cos 2sin xdx x C x=+⎰。
(6分) 8.计算积分2arccos arccos 1xdx x x x C =--+⎰。
(6分)9.计算积分325311sin cos cos cos 53x xdx x x C =-+⎰。
(6分)二(10分)试证变量代换cos (0)x t t π=<<可将微分方程222(1)0d y dyx xy dx dx--+= 化简为220d yy dt+=。
222223221sin 1cos sin sin 0dy dydy dx dt dt dx t dt d y d y t dyd dy dx dt dx dt dx t dt t dt d yy dt==-⎛⎫==- ⎪⎝⎭+= 三(10分)求心脏线(1cos )(0)r a a θ=+>所围图形的面积。
222013((1cos ))22S a dx a πθπ=+=⎰ 四(10分)一几何体以椭圆面22221105x y +≤为底,且垂直于x 轴的截面都为等边三角形,试计算该几何体的体积。
高等数学(一)复习参考参考书目:《高等数学》第六版上册同济大学数学系编高教出版社考试涉及范围:第一章函数与极限极限的计算(包括两个重要极限的运用);无穷小的比较;连续性的判断、间断点的类型;利用零点定理或介值定理证明方程存在根.第二章导数与微分导数:求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数(求一阶导数和二阶导数);微分.第三章微分中值定理与导数的应用中值定理证明等式或不等式;洛必达法则求极限;函数的单调性与单调区间;利用单调性证明不等式;曲线的凹凸性与拐点;函数的极值与最值.第四章不定积分不定积分的计算:换元积分、分部积分;第五章定积分定积分的性质;定积分的计算:换元积分、分部积分;无穷限反常积分与敛散型.第六章定积分的应用平面图形的面积与体积.第七章微分方程特解与通解的概念及求解:可分离变量的微分方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;二阶常系数齐次微分方程.考试题型:一、选择题(每小题3分,共5小题,共15分)二、填空题(每小题3分,共6小题,共18分)三、计算题(每小题7分,共5小题,共35分)考点:求极限;隐函数与参数方程求导;不定积分计算;定积分计算;微分方程.四、应用题(第一小题11分,第二小题7分,共18分)考点:面积;体积;最值.五、证明题(每小题7分,共2小题,共14分)考点:证明不等式;证明等式.注意:以下内容不考:泰勒公式;曲率;函数图形的描绘;方程的近似解;反常积分的审敛法;极坐标的问题;弧长的计算;定积分在物理上的应用;二阶常系数非齐次微分方程.《祝考试顺利!》高等数学(一)复习题目参考一、选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为( ) A .)1,0(∪]4,1( B .]4,0( C .)4,0( D .)1,0(∪)4,1( 2.下列函数中表示相同函数的是( ) A .2)1ln()(x x x x f -=与||)1ln()(x x x g -= B .2ln )(x x f =与||ln 2)(x x g =C .)]1(ln[)(-=x x x f 与x x x g ln )1ln()(+-=D .)1()(-=x x x f 与1)(-=x x x g3.下列函数中是有界函数的是( )A .x x y sin =B .x e y =C .)32sin(2+-=x x y D .11ln2+=x y 4.21+=-x e y 的反函数是( )A .)1ln(-=x yB .)2ln(-=x yC .2)1ln(+-=x yD .1)2ln(+-=x y 5.下列函数中是奇函数的是( )A.sin y x x =⋅B.2x x e e y -+=C .2ln(1)y x =+D.ln(y x = 6.xx e 10lim →=A.0B.∞+ C .∞- D .不存在 7.下列等式中,正确的是( ) A.∞=∞→xx em i l B .e x m i l xx =-→10)1(C .11=∞→x ni s x m i l x D .)()(a f x f m i l ax =→ 8.下列各极限正确的是( )A.e x x x =-∞→)11(limB.111sinlim 0=→xx x C .e x x x =--∞→1)11(lim D .0sin sin tan lim 30=-→xx x x9.已知2lim e x a x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→,则a =( )A.2B.1 C .2- D .1-10.20lim 13xx x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.∞ B.1 C .6e - D .23e-11.当0→x 时,若112-+x 与ax 是同阶无穷小,则a =( )A.21B.1 C .2 D .3 12.当0→x 时,下列无穷小量中与x 等价的是( )A.2100x x + B.22x x - C .x x sin 22+ D .x 13.当0→x 时,)1ln(x x +-是2x 的( )A. 低阶无穷小 B .高阶无穷小 C .等价无穷小 D .同阶但非等价无穷小 14.当0→x 时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )A. 2x B .x cos 1- C .112--x D .x x tan -15.设xxx f sin )(=,则函数)(x f ( ) A.在0=x 处左极限不存在 B .有跳跃间断点0=x C .在0=x 处右极限不存在 D .有可去间断点0=x16.函数 设11)(11+-=xxe e xf ,则0=x 是)(x f 的( )A.可去间断点B.跳跃间断点 C .第二类间断点 D .连续点17.1=x 是函数221()32x f x x x -=-+的( )A.可去间断点B.跳跃间断点 C .无穷间断点 D .振荡间断点18.函数)1(2-=x x x y 在),(∞+-∞上的间断点情形是( )A.有一个间断点B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C .没有间断点 D .有两个不可去间断点19.函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处可微的( )条件;函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 处可导的( )条件;函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处连续的( )条件.A .充分 B.必要 C .充要 D .既不充分也不必要20.设函数)(x f y =在x 处成立关系式 ,)(x o y d y ∆=-∆下列结论中错误的是( ) A .)(x f y =在x 处可微 B.)(x f y =在x 处可导 C .)(x f y =在x 处连续 D .以上都不对21.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ,()f x 在0=x 处( )A.不连续; B .连续但不可导;C .可导,但导数在该点不连续;D .导函数在该点连续22.若函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x b ax x x x f 在1=x 处连续且可导,则( )A .1,2-==b a B.0,1==b a C .3,2=-=b a D .2,1=-=b a 23.曲线x x y 22-=上切线平行于x 轴的点是( ) A .)1,1(- B.)1,1( C .)0,2( D .)2,0(24.曲线262y x x =-+在点(1,3)-处的切线与y 轴交点的坐标是( ) A .(0,1) B.(0,2) C .(0,3)- D .(0,1)- 25.设1232)(610-+-=x x xx f ,则=-)1()10(f ( )A .!10 B.!20 C .!102⋅- D .!102⋅ 26.设x x f sin )(=,则=')]([x f f ( )A .)sin(sin x B.)cos(sin x C .)sin(cos x D .)cos(sin cos x x ⋅ 27.=++)3ln 3(3x d x ( ) A .3133ln 32++x xB.dx x x )3133ln 3(2++ C .233ln 3x x+ D .dx x x )33ln 3(2+28.函数 在给定区间上满足罗尔定理条件.A .⎪⎩⎪⎨⎧=<≤---=131211)(3x x x x x f ]1,2[- B. ⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x x x f ]1,1[-C .321)(x x f -= ]1,1[-D .x x f cos )(= ],0[π 29.在[0,+∞)内,若,0)(,0)(<''>'x f x f 则 曲线)(x f y =在[0,+∞)内是( ) A .单调下降,凸的 B. 单调上升,凸的 C .单调上升,凹的 D .单调下降,凹的30.在开区间),(b a 内恒有0)(<'x f ,0)(>''x f ,则在),(b a 内曲线)(x f y =是( ) A .单调上升,凹的 B. 单调下降,凹的 C .单调上升,凸的 D .单调下降,凸的31.设R x x f x f ∈-=,)()(,在]0,(-∞内,0)(,0)(<''>'x f x f 则在[0,+∞)内曲线)(x f y =是( )A .单调上升,凸的 B. 单调下降,凸的 C .单调上升,凹的 D .单调下降,凹的32.设)(x f 在0x 点连续但不可导,则0x ( )A .必是最大值点 B. 必是最小值点 C .必是极值点 D .可能是极值点 33.函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处都取得极大值,则a =( )A .3- B. 3 C .2- D .2 34.已知()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且21()(1)lim2(1)x f x f x →-=-,则(1)f 必是( )A .()f x 的最小值 B.()f x 的最大值 C .()f x 的极小值 D .()f x 的极大值 35.在区间),(b a 内,如果)()(x g x f '=',则必有( ) A .)()(x g x f = B. 为任意常数)C Cx g x f ()()(+= C .⎰⎰=dx x g dxddx x f dx d )()( D .⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()( 36.下列等式,正确的是( ) A .⎰⎰=-C x d x f x d x f )()( B.⎰=x at f t d t f xd d)()(C .⎰=)()(x f x f d D .⎰=)()(x f x d x f d37.有关不定积分⎰xdx x cos sin 的计算结果,不正确的是( )A .C x +-2cos 21 B. C x +2sin 21 C .C x +-2cos 41 D .C x +-2cos 2138.曲线sin y x =与x 轴在[]0,2π上围成的图形面积为( ) A .0 B. 2 C .4 D .639.4202cos xdx π=⎰( )A .316π B.38π C .34π D .4π40.2b txd e dt dx-=⎰( ) A .2x e - B.2b xe e --- C .22x xe -- D .22x xe -41.若⎰⎰=201)2()(dx x xf k dx x xf ,则=k ( )A .1 B.2 C .3 D .4 42.下列各式中正确的是( ) A .⎰⎰≤13102dx x dx x B. ⎰⎰≤213212dx x dx xC .⎰⎰≥+11)1ln(dx x dx x D .⎰⎰+≤101)1(dx x dx e x43.下列说法,错误的是( ) A .定积分⎰b ax d x f )(在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形的面积;B.一物体以速度)(t v 作直线运动,它在[]21,t t 这段时间内通过的路程可用定积分⎰21)(t t t d t v 来表示;C .如果某国人口增长的速率为,)(t u 那么,定积分⎰21)(T T t d t u 表示在[]21,T T 这段时间内该国人口增加的数量; D .定积分⎰b ax d x f )(2π在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.44.微分方程25)1(12+=+-y y x dy dx 是( )A .可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C .一阶线性微分方程 D .贝努利方程 45.微分方程0)(22=-+xydy dx y x 是( )A .可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C .一阶线性微分方程 D .贝努利方程 46.微分方程0=+''y y 的通解是( )A .x C y cos = B. x C y sin =C .x C x C y sin cos 21+=D .)sin cos (21x C x C e y x += 47.微分方程02'"=-+y y y 的通解是( )A .x x e e y 2-+= B. xxe c e c y 221-+=C .x xe c ec y 221+=- D .x n i s c x s o c c y 221+=二、填空题 1.21arcsin3-=x y 的定义域是 2.极限3323lim (1)x x x x →+∞-+-= ,=++-∞→301515)12()1()14(limx x x x3.极限()=+→xx x 1sin 31lim ,=+→xx x csc 30)sin 21(lim4.极限⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→x x x x x 2sin 2sin lim = 5.=-→xx x 20sin 12cos lim6.0tan 3sin limx x xx →-=7.已知函数⎩⎨⎧≥+=00)(x x a x e x f x 在),(∞+∞-内连续,则 =a8.函数3321()22x f x x x x -=+--的可去间断点是 9.设)(x f 在0x 点可导,且4)(0='x f ,则=∆∆--∆+→∆x x x f x x f x )2()3(lim00010.设)(x f 在0=x 处可导,且0)0(=f ,则=-→xx f tx f x )()(lim11.2ln arctan )(22-+=-x e x f x,则=')(x f12.设22sin3x xy e-=,则y '=13.曲线13+=x y 上点()9,2处的切线方程是 14.设6)10()(+=x x f ,则=''')0(f 15.设()x f 二阶可导,)(ln x f y =,则=''y16.已知方程3329(1)100y x x y -+-⋅+=确定了()y y x =,则1x dydx==17.已知x y sin ln =,则=dy18.已知)ln(22x a x y ++=,则=dy 19.已知32cos 1ln x y +=,则=dy 20.设x x y )sin 1(+=,则==0x dy21.设函数)(x y y =由方程y x xy +=2确定,则==0x dy22.设x x x f -=3)(在]3,0[上满足罗尔定理的条件,则由此确定的中值=ξ23.对函数2y px qx r =++在[1,3]-上应用拉格朗日中值定理时所得的中值ξ= 24.函数arctan y x x =-的单调递增区间是25.函数3()(1)(1)f x x x =-+的单调递增区间是 ,单调减少区间是 ,凹区间是26.曲线123223++=x x y 的拐点是 ,曲线x xe y -=的拐点为 27.函数7186223---=x x x y 在[]4,1上的最大值=M28.函数1933+-=x x y 的极大值是29.222sec 1x dx x ⎛⎫-= +⎝⎰30.22tan x x dx ⎛⎫-= ⎝⎰31.dx xx x )1112(22--+⎰= 32.dx e e x x12+⎰=33.①由定积分的几何可得,=⎰-3329dx x -②由奇偶性知,=-⎰-3324cos dx xx x34.=⎰12dx e x x35.若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=111211)(2x x x x x f ,则⎰20)(dx x f =36.设2101()11x x f x x xe x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪>⎩,则31(1)f x dx -+=⎰37.=+⎰dt t dx d x x 3241138.dx x ⎰∞+141= 39.曲线21x y =+与直线x y +=1所围平面图形的面积为=40.由曲线)(()(x f x f y =>)0,直线b x a x ==,及1-=y 所围平面图形绕直线1-=y 旋转一周所得旋转体的体积是41.微分方程032=-'-''y y y 的通解是 42.微分方程0ln =-xyy dx dy x的通解是 43.微分方程0)1(=++-y d y n i s e x d y os c x满足初始条件4)0(π=y 的特解是三、计算题 1.求极限:①⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∞→x x x x x sin 32sin lim ; ②23lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭; ③3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x x④)1112(lim 21---→x x x ; ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ; ⑥111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭;⑦2tan)1(lim 1xx x π-→; ⑧4)sin (tan limxduu u x x ⎰-→; 0412(sin )limxx t t dtx→-⎰;⑨323(sin )limxx x t t t dtt dt→-⎰⎰;⑩0sin 0tan limarcsin xxx tdttdt→⎰⎰;⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d em i l 02222.2.已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ,求常数a ,b 的值. 3.求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点,并判断间断点的类型. 4.3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x,求y '5.x x y )ln 1(+=,求y '6.设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=2221)(2x b ax x x x f ,且)2(f '存在,求a,b 的值.7.设曲线方程为32=--y x e xy ,求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程.8.设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ,讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性.9.设0=+--xy ee xy确定了)(x y y =,求dxdy. 10.设32tan arctan ln 333xx x y e-=+-,求dy.11.x e x y tan arctan +=,求dy .12.求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dx yd .13.由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty t x arctan 1ln 2确定了)(x y y =,求dx dy .14.已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e t t x y 求0=t dx dy .15.求642+-=x x y 在]10,3[-上的最大值与最小值16.求4282y x x =-+在[3,3]-上的最大、最小值. 17.求函数32()26187f x x x x =---在[]4,2-上的最大值、最小值以及拐点.18.设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-,①试确定系数b a ,的值; ②求出)(x f y =的所有极值点和拐点. 19.计算不定积分 ①⎰-++-dx x x x x)23122(22; ②221tan (1)x dx x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰; ③ dx ⎰;④⎰x d x n l x 2; ⑤33tan sec x xdx ⋅⎰; ⑥dx x ⎰arctan.20.计算定积分: ①12121x dx x -++⎰; ②1-⎰; ③dx x x ⎰---112491; ④1-⎰⑤221ln x x dx ⎰;⑥⎰-2228y d y .21.计算无穷限积分⎰∞+++02)1()1(1x d x x .22.求微分方程x e y dxdy-=+满足初始条件20-==x y 的特解. 23.求微分方程xx x y dx dy sin =+满足初始条件1==πx y 的特解. 24.求微分方程232++=+'x x y y x 的通解.四、应用题 1.设⎰⎰+-=122)(2)()(dx x f dx x f xx x f ,求)(x f .2.求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围平面图形的面积.3.求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p ,2处的法线所围成的图形的面积. 4.求曲线ln y x =及其在点(,1)e 处的切线与x 轴所围平面图形的面积,并求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.5.设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W .(1) 求W 的面积;(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积. 6.平面图形D 是由x 轴、y 轴、1x =以及xy e =围成,求: (1) D 的面积; (2) 由D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积.7.过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ,设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ.(1) 求切线AB l 的方程; (2) 求平面图形Γ的面积S ; (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.8.从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗,问留下的扇形的中心角α取多大时,做成的漏斗的容积最大?9.一边靠墙用篱笆围成一矩形场地,现有36米长的篱笆,问能围成的最大场地面积是多少? 10.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费,试问房租定为多少时可获得最大收入?11.装饮料的易拉罐是用铝合金制造的,罐身(侧面和底部)用整块材料拉制而成,顶盖是另装上去的,为了安全,顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍,假设要制造的易拉罐的容积为V ,问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省?12.某厂为了销售一新款收音机x 台,每台的价格(单位:元)为:x p -=800.而生产x 台的总成本可以表示成x x C 102000)(+=,为使利润最大化,工厂必须生产并销售多少台?五、证明题1.证明:①2cot arctan π=+x arc x ;②当||x ≤1时,恒有arcsin arccos 2x x π+=成立. 2.证明:若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则x e x f =)(.3.证明方程015=-+x x 只有一个正根. 4.证明不等式:①当1>x 时,x e e x⋅>; ②当,20π<<x 时,x x π2sin >;③当x >0时,22)1(ln )1(-≥-x x x ; ④当0>x 时,xxx +>+1arctan )1ln(;⑤当e <a <b <2e 时,a n l b n l 22->)(42a b e -. 5.设)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且e f f ==)0(,1)1(,试证至少存在一点)1,0(∈ξ,使)()(ξξf f -='.6.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(上可导,且1)0(=f ,0)1(=f ,求证在)1,0(内至少有一点ξ,使ξξξ)()('f f -=.7.设函数()f x 在[0,1]上可导,且1202()(1)xf x dx f =⎰,证明在(0,1)内必有一点c ,使1()()f c f c c'=-. 8.设)(x f 在],[b a 上可导,证明在),(b a 内必存在一点ξ,使)()()()(ξξξf f ba b bf a af '+=--.9.若()x f 在[]1,0上连续,证明⎰⎰=2020)(cos )(sin ππdx x f dx x f .10.已知)(x f 是连续函数,证明:()[]dx x a b a f a b dx x f b a ⎰⎰-+-=1)()(.参考答案(此答案仅供参考,不保证100%的正确性)一、选择题1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.C 12.A 13.D 14.D 15.D 16.B 17.A 18.B 19.C BA 20.D 21.B 22.A 23.A 24.A 25.D 26.D 27.D 28.A 29.B 30.B 31.B 32.D 33.D 34.C 35.B 36.A 37.C 38.C 39.B 40.C 41.D 42.B 43.A 44.C 45.B 46.C 47.B二、填空题1.[]3,1- 2.2 1 3.3e 6e 4.2 5.2- 6.2 7.1 8.1=x 9.20 10.()()01f t '- 11.42122x x ex++-- 12.3sin 422x xe x --3cos 3122x e x -+ 13.1512-=x y14.120000 15.()()3ln ln xx f x x f '-'' 16.-1 17.xdx cot 18.dx xa 221+ 19.()dx x x x 22cos 13sin 2+ 20.0 21.1-ln2 22.2 23.1 24.()+∞∞-, 25.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, ()1,-∞-()+∞⋃,026.⎪⎭⎫⎝⎛225,21-()22,2-e 27.29- 28.7 29.C x x x ++-arcsin 3arctan 2tan 30.C xx x x +++-2arcsin 3tan 2ln 2 31.()C x x +-+arcsin 1ln 2 32.C e x +arctan 33.π29 0 34.2-e 35.34ln321+ 36.4341e +π 37.81221213xx x x +-+ 38.31 39.29 40.()[]⎰+b a 21x f dx π 41.xx e C e C y 321+=-42.1ln +=Cx x y ; 43.()22sec 1=+y e x或 ()2ln 23cos ln 1ln +=+y e x三、计算题 1.求极限: ①2; ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分;③原题目有误:将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x (型∞1)311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee; 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x (型∞1)313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =;④)1112(lim 21---→x x x ;(P193 1(13) 略) ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ; ⑥21;212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解:原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim31ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=-+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2;⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解:原式;412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=; (P242 例8 或 P242 9类似 略)⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xxx →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x x x x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解:⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202x x x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=. 2.已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ,求常数a ,b 的值. 解:当1→x 时,()02ln 2→-x,故02→++b ax x(否则极限不等于21-),有 01=++b a ①于是,)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ,得2=a ,因此由①得, 3-=b .3.求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点,并判断间断点的类型.(P65 3(1)类似 略)答案:1=x 是第一类间断点中的可去间断点,3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点. 4.3sinarctan )13cos(sin π++-=x x ey x,求y '。
浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷(A )卷承诺人签名: 学号: 班级: (本试卷共四页)一、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分) 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为( )A .极大值为8B .极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续;②两个偏导数连续;③可微;④两个偏导数都存在,那么下面关系正确的是( )A .③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y -+=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I ( )A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=,则222dSx y z ∑++⎰⎰=( ) A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)n n n a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处( ). A. 条件收敛 B. 绝对收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定二、填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ,则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=,则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序,有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L:13422=+y x 的周长为l,则⎰=+Lds y x 2)23( ;5. 设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题(本题共6小题,每小题6分,满分36分)1.求过点M (4,-3,1)且与两直线:326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程.2. 设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2,z zx x y∂∂∂∂∂.3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数,并求收敛域.4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ,其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰,其中L 是沿曲线1y =0,1)到点(2,1)的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题(本题共2小题,每小题8分,满分16分)1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题(4分)设∑∞=12n n a 收敛,证明级数1nn a n ∞=∑绝对收敛.一、选择题(本题共6小题, 每小题4分,满分24分)1.A; 2.D ; 3.A; 4.C; 5.B ; 6.B 二、填空题(本题共5小题, 每小题4分,满分20分)1. (-1,2,-2);2. ;3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题(本题共6小题,每小题6分,满分36分)1. 1(6,2,3)s =-,2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214i jkn s s =⨯=-=-----………2分所以平面方程为:11(4)30(3)(1)0x y z --++--=,即1130135x y z -+-=…2分2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.x f xyf f f y y''''''=+-- .………4分3.解:)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分因为∑∞=+=-011)1(n n n xx ,)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ,即60<<x . ……………3分 当0=x 时,级数为∑∞=031n 发散;当6=x 时,级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ,)6,0(∈x . ………1分 4. 解:如图,选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分 5. 解:令22P x y =-,2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B (2,1)到A (0,1),则由格林公式得原式2(2L Bx y+=-⎰⎰………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰22(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解:补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题(每题1分,共5分)1. 下列函数中,哪个函数是奇函数?A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换,积分值不变B. 被积函数乘以常数,积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中,哪个是正确的?A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中,哪个是收敛的?A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题(每题1分,共5分)1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。
()2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。
()3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。
()4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
()5. 偏导数连续必可微。
()三、填空题(每题1分,共5分)1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。
2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。
3. 若f(x, y) = x^2 + y^2,则f_x(1, 2) =______。
4. 设A为矩阵,若|A| = 0,则A为______矩阵。
5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。
四、简答题(每题2分,共10分)1. 简述罗尔定理的内容。
2. 解释复合函数求导法则。
3. 举例说明什么是隐函数。
一。
微分方程 1. 一阶微分方程(2).求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。
(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解 (4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =,()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 (6) 求微分方程212y x y'=-的通解 (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解.(8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解,求此微分方程的通(9)求微分方程 ()()2223360.64x xy dx x y y dy ++=+的通解2. 高阶微分方程 (10)* 21.2y y y'''+-求微分方程=0的通解 (11)* 求如下初值问题的解()()()2111,10yy y y y ⎧'''=+⎪⎨'==⎪⎩ 14). 微分方程430y y y '''-+=的通解为:312x x y C e C e =+(16). 求解初值问题()()2001y y xy y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩(17). 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时,应设特解的形式y =( )A 、2axB 、2ax bx c ++C 、()2x ax bx c ++D 、()22x ax bx c ++二。
空间解析几何与向量代数(1).设有向量{}1,2,2a =- ,{}2,1,2b =-,则数量积()()a b a b -⋅+= 0。
(2).过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是: 。
(3).已知三点()1,1,1,(2,2,1),(2,1,2)A B C ,则向量AB与AC 的夹角θ是A .4πB .3πC .6πD .2π(4)* 曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为(5)*. 在曲面22122z x y =+上求出切平面,使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一.填空题(规范分值3分)11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ,在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y),用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =;y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ;y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下,物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(,其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续,且[][]0)()(22≠'+'t y t x ,又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续,则有:[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(,那么αcos =;βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段,则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内,从点(c,a )到点(c,b )的一线段,则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分:。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
1.求极限: ①2; ②6-e26363lim 13lim 145xx x x x x e →∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分;③原题目有误:将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x (型∞1)311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x x x x313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==e ee; 3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x (型∞1)313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x 31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x x x e31e =;④)1112(lim 21---→x x x ;(P193 1(13) 略) ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0x x e x ; ⑥21;212lim 21lim 1lim )1(1lim00200==-=--=---=→→→→x x xe x x e e x xe x x x x x x x x 解:原式1111111lim ln 11ln lim 1(1)ln 11lim3ln 1limln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x xx x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim 21ππx x =→2sin lim 221x x πππ2;⑧81421.lim 4)cos 1(tan lim4sin tan lim3203030==-=-=→→→x x x x x x x x x x x x 解:原式;412(sin )limxx t t dtx →-⎰21=; (P242 例8 或 P242 9类似 略)⑨32322030200(sin )lim(sin )lim33sin lim31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x x xx x →→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分 ⑩020tan lim 3cos (arcsin sin )sin lim 4cos 15x x xx x x x x →→=⋅=⋅= 原式分分分 解:⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx t d et t d emi l 02222222202xx x t x ex e t d e mi l ⎰⋅=→222x x t x ex td e mi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x e x e e mi l e mi l x x x x x x 22122222002=. 2.已知极限21)2ln(lim 221-=++-→b ax x x x ,求常数a ,b 的值. 解:当1→x 时,()02ln 2→-x,故02→++b ax x(否则极限不等于21-),有 01=++b a ①于是,)00()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ,得 2=a ,因此由①得, 3-=b .3.求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点,并判断间断点的类型.(P65 3(1)类似 略)答案:1=x 是第一类间断点中的可去间断点,3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点. 4.3sinarctan )13cos(sin π++-=x x e y x ,求y '。
广州大学2011-2012学年第一学期考试卷高等数学Ⅰ1(90学时)参考解答与评分标准一.填空题(每空2分,本大题满分30分) 1.曲线1cos 1x y x x=+有水平渐近线y =1和铅直渐近线x =1-.2.设1()(12)xf x x =+,则0lim ()x f x →=2e ,lim ()xf x →+∞=1.3.设2y x x =-,当2x =,0.01x ∆=时,y ∆=0.0301,d y =0.03.4.设sin sin cos x ty t t t =⎧⎨=+⎩,则d d y t =cos t t,d d yx=t.5.若点(1,2)为曲线326y ax x b =-+的拐点,则常数a =2,b =6.6.设22,0()1sin ,0x e bx a x f x x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在点0x =处连续且可导,则常数a =1-,b =2-.7.设31()sin d xf x t t -=⎰,则(1)f =0,()f x '=3sin x ,(10)(0)f =9!6-.二.解答下列各题(每小题8分,本大题满分24分)1.求函数y=.解:y''=。
(2分)321(4)xx=-=。
(5分)y''=4=。
(8分)2.求曲线33(1)9y x y x+-+=在点1x=处的切线方程.解:将1x=代入曲线方程,得2y=,切点为(1,2). 。
(1分)曲线方程两边对x求导,得22d d3(1)30d dy yy y x xx x++-+=。
(5分)将1x=,2y=代入上式,得切线斜率1,2d5d12x yykx====-,。
(6分)切线方程为52(1)12y x-=--,即512290x y+-=. 。
(8分)3.求函数()cosxf x e x=的极大值和极小值.解:()cos sinx xf x e x e x'=-,。
(完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案(完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望((完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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(完整)高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准(A 卷)考试(考查):考试 时间:200 年 月 日 本试卷共7页,满分100 分; 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一.选择题(本大题共8个小题,每小题3分,共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1.在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A .零多项式 B .零次多项式 C .本原多项式 D .不可约多项式2.设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式,则=k 【 C 】A .4B .3C .2D .13.A ,B 是n 阶方阵,则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C .0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4.设n 阶矩阵A 满足220A A I --=,则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C .A I -D .A5.设A 为3阶方阵,且1)(=A r ,则 【 A 】 A 。
高数复习题一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1,2]上的最大值是:A. 0B. 3C. 5D. 72. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是:A. 0B. 1C. 2D. ∞3. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是:A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点是________。
5. 已知函数f(x)=2x-1,求f(3)的值是________。
6. 函数y=x^2的导数是________。
三、简答题7. 请简述导数的几何意义。
8. 请解释什么是不定积分,并给出一个简单的例子。
9. 请说明如何使用微分中值定理来解决实际问题。
四、计算题10. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的定积分。
11. 求函数f(x)=x^2+3x+2的不定积分。
12. 利用泰勒公式展开函数f(x)=e^x在x=0处的前三项。
五、证明题13. 证明:对于任意实数x,有e^x > 1+x。
14. 证明:函数f(x)=x^3在R上的导数是f'(x)=3x^2。
15. 证明:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续且f(a)f(b)<0,则根据介值定理,函数f(x)在(a,b)内至少有一个零点。
六、应用题16. 某工厂生产的产品数量随时间变化的函数为P(t)=100t^2-t^3,其中t为时间(单位:小时)。
求该工厂在前3小时内生产的总产品数量。
17. 某物体在t=0时刻的速度为v0,加速度为a。
求该物体在t秒后的位置函数。
18. 某投资者在t=0时刻投资了一笔钱,并以连续复利的方式增长。
如果年利率为5%,求该投资在5年后的总价值。
七、论述题19. 论述微积分在现代科技中的应用。
20. 分析并讨论牛顿-莱布尼茨公式的重要性及其在数学分析中的作用。
八、附加题21. 假设你有一个函数f(x),它在区间[a,b]上连续,并且f(a)=f(b)=0。
《高等数学12》理工类试题一一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,请将答案填在题中的横线上) 1、已知函数(,)y f x y xe -=,它在点(1,0)P 处的梯度等于 . 2、过Z 轴和点0(2,3,4)M -的平面方程为 .3、空间曲线211x t t y t z t=+⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪=⎩在点1t =处的切线方程为 .4、周期为2π的函数()f x 在[,)ππ-上的表达式为1,0(),0x x f x x x ππ+≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩,则它展开成傅里叶级数时的系数0a = .5、函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4D x y x y =+≤上的最大值为 . 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) 1、设正项级数1n n u ∞=∑收敛,则下列级数一定收敛的是( ).(A )11(1)n n n u ∞+=-∑; (B )1n n u ∞=∑;(C )11n nu ∞=∑ (D )1()(0)n n u a a ∞=+>∑2、设直线l 为102x y z==-,则直线l ( ). (A )过原点且垂直于x 轴; (B )过原点且垂直于y 轴; (C )过原点且垂直于z 轴; (D )不过原点也不垂直于坐标轴.3、求244x y y y xe '''-+=的特解时,应设( ). (A) *2()x y Ax B e =+; (B) *22x y Ax e =; (C) *2()x y x Ax B e =+; (D) *22()x y x Ax B e =+.4、设(,)f x y 为连续函数,则二次积分420d (,)d x xx f x y y =⎰⎰( )(A )2414d (,)d y y y f x y x ⎰⎰; (B) 21440d (,)d y y y f x y x -⎰⎰; (C )41104d (,)d y f x y x ⎰⎰; (D )20144d (,)d y y y f x y x ⎰⎰.5、比较321I ()d ()d DDx y x y σσ=+=+⎰⎰⎰⎰2与I 的大小,其中积分区域D 是由圆周22(2)(1)1x y -+-=所围成,则( )(A) 12I I =; (B) 12I I ≥;(C) 12I I ≤; (D) 1I 和2I 不能比较大小.三、计算题(本题共5小题,1题6分,2、3、4题每题8分,5题10分,满分40分) 1、求向量{1,1,2}a →=--与{1,2,1}b →=-的夹角θ;2、设(,)z f x y =由方程222z x z y e -=所确定,求d z ;3、设2(2,)y z xf x x =,f 具有二阶连续偏导数,求2zx y∂∂∂.4、计算二重积分2()d d Dy x x y -⎰⎰, 其中D 由曲线2y x =和 1y =所围成的平面闭区域;5、已知立体Ω是由圆柱面221x y +=内部、平面4z =下方和抛物面221z x y =--上方部分围成,求22d x y V Ω+⎰⎰⎰.四、判断题(本题8分) 判定级数11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛?五、综合题(本题共3小题,1题8分, 2、3题每题7分,满分22分)1、将函数2()4xf x x =+展开成x 的麦克劳林级数,并讨论级数的收敛域.2、求微分方程ln 2(ln 1)xy x y x x '+=+的通解.3、求微分方程(1)xxe yy e '+=满足初始条件00x y==的特解.《高等数学12》理工类试题一答案一、填空题(每题3分,共15分)1、_____i j →→-或{1,1}-_____. 2、______320x y +=______.3、_____221112x y z ---==-_____. 4、 ______1______. 5、___8或8f =最大 或(0,2)8f ±=最大______.二、选择题(每小题 3分,共 15分)1、A.2、B.3、D.4、A.5、C.三、 (本题共5小题,1题6分,2、3、4题每题8分,5题每题10分,共40分) 1、解:(6分)cos a b a b θ→→→→⋅=⋅………2分1221cos 266a ba bθ→→→→⋅-++===⋅………3分3πθ=………1分.2、解:(8分)222z z z x zy x x e ∂∂-=∂∂, z z xx z ye∂=∂+ ………3分 222z z z z z y y y e e ∂∂-=+∂∂, z zz e y z ye ∂-=∂+ ………3分 d z z x dx z ye =+zze dy z ye-++ ………2分. 3、解:(8分)令f 对2x 的偏导数记为1f ',对2yx的偏导数记为2f ',1f '对2y x 的偏导数记为12f '',2f '对2y x 的偏导数记为22f '', ………1分2212122[2()]2z y y f x f f f xf f x x x∂''''=++-=+-∂ ………4分2221222222222[][]z y y y y yf x f f f x y x x x x x∂''''''=⋅+⋅--⋅∂∂ 31222224y yf f x''''=-. ………3分. 4、解:(8分)如图所示,211221()d d ()xDy x x y dx y x dy --=-⎰⎰⎰⎰ ………4分221121241111[][]222x y x y dx x x dx --=-=-+⎰⎰351111[]2310x x x -=-+ ……2分 815=. ……2分5、解:(10分)如图所示 , ……2分221422201d r x y V d r dr dz πθ-Ω+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰……3分1223510012(3)2[]5r r dr r r ππ=+=+⎰ ………3分 125π=………2分 四、(本题8分)解:(8分)考察111(1)1sinsin 22n nnn n nnππππ-∞∞==-=∑∑,因为11sin 2nnn πππ≤(1)n ≥ ………4分 而11q π=<,所以几何级数11nn π∞=∑是收敛的,故11(1)sin2n nn nππ-∞=-∑绝对收敛,原级数收敛.………4分五、(本题共3小题,1题8分, 2、3题每题7分,满分22分)1、解:(8分)因为,21()414x f x x =⋅+,又因为01(1),(11)1n n n x x x ∞==--<<+∑, ………2分所以,()f x =221100(1)()(1)444n n n n n n n x x x +∞∞+==-=-∑∑. ………3分 222321121lim (1)/(1)lim 4444n n n n n n n n x x x x ρ+++++→∞→∞=--==. 当214xρ=<,即22x -<<时,级数绝对收敛;当2x =-时,级数111000(2)441(1)(1)(1)4242n n nn n n n n n n ∞∞∞+++===-⋅-=-=-⋅∑∑∑发散, 当2x =时,级数100241(1)(1)42n nn n n n ∞∞+==⋅-=-∑∑发散,级数收敛域为(22)x -<<.所以,()f x 2110(1)4n nn n x +∞+==-∑,(22)x -<< ………3分2、解:(7分)因为112(1)ln ln dy y dx x x x+=+是一阶线性微分方程,所以由 ()()[()]P x dxP x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ ………2分11ln ln 1[2(1)]ln dx dx x x x xy e e dx C x-⎰⎰=++⎰ln(ln )[(2ln 2)]x e x dx C -=++⎰ ……3分11[2ln 2][2(ln )2]ln ln xdx dx C x x x x C x x=++=-++⎰⎰ 2ln C x x =+.所以,通解为2ln Cy x x=+ ………2分 3、解:因为1xxe ydy dx e =+是变量可分离微分方程,所以由 1xx e ydy dx e =+⎰⎰ ………2分21ln(1)2x y e C =++ 22ln(1)x y e C =++ (其中12C C =) ……3分由00x y==,得002ln(1)e C =++2ln 2C =-特解为: 22ln(1)2ln 2xy e =+-. ……2分。
高等数学复习题及答案【篇一:大学高等数学上考试题库(附答案)】>一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分).1.下列各组函数中,是相同的函数的是().(a)f?x??lnx 和 g?x??2lnx (b)f?x??|x| 和 g?x??2(c)f?x??x 和 g?x??2(d)f?x??|x|x和 g?x??122.函数f?x???ln?1?x??a?x?0x?0在x?0处连续,则a?().(a)0 (b)14(c)1 (d)23.曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程为().(a)y?x?1 (b)y??(x?1)(c)y??lnx?1??x?1?(d)y?x 4.设函数f?x??|x|,则函数在点x?0处().(a)连续且可导(b)连续且可微(c)连续不可导(d)不连续不可微5.点x?0是函数y?x4的().(a)驻点但非极值点(b)拐点(c)驻点且是拐点(d)驻点且是极值点6.曲线y?1|x|的渐近线情况是().(a)只有水平渐近线(b)只有垂直渐近线(c)既有水平渐近线又有垂直渐近线(d)既无水平渐近线又无垂直渐近线 7.?f???2dx的结果是(). ?x?x??1??1??1(b)(c)?c?f??cf????x??x??x?x(a)f??8.?dxe?ex??1(d)?c?f????x???c ?的结果是().x?x(a)arctane?c (b)arctane?c (c)e?e x?x?c (d)ln(e?ex?x)?c9.下列定积分为零的是().?(a)?4?arctanx1?x2??4dx (b)?4??4xarcsinxdx (c)?11?1e?e2x?x1?1?x2?x?sinxdx10.设f?x?为连续函数,则?f??2x?dx等于().(a)f?2??f?0? (b)12??f?11??f?0???(c)12??f?2??f?0???(d)f?1??f?0?二.填空题(每题4分,共20分)?e?2x?1?1.设函数f?x???x?a?x?0x?056在x?0处连续,则a?.2.已知曲线y?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为?,则f??2??3.y?4.?xx?12.的垂直渐近线有条.dxx?1?lnx?2?.?5.?2??xsinx?cosx?dx?4?2.三.计算(每小题5分,共30分) 1.求极限①lim x??2x?1?x????x?②limx?0x?sinxxe?x2?1?2.求曲线y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?. x3.求不定积分①?四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数y?x?3x的图像. 232dx?x?1??x?3?②??a?0? ③?xe?xdx2.求曲线y?2x和直线y?x?4所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一.选择题1.b 2.b 3.a 4.c 5.d 6.c 7.d 8.a 9.a 10.c 二.填空题 1.?22.?三.计算题1①e2 ②11633.24.arctanlnx?c 5.22.y??x1x?y?13. ①ln|2x?1x?3|?c②ln|x|?c③?e?x?x?1??c四.应用题1.略2.s?18《高数》试卷2(上)一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ). (a) f?x??x和g?x??(b) f?x??22x?1x?122和y?x?1(c) f?x??x和g?x??x(sinx?cosx)(d) f?x??lnx和g?x??2lnx ?sin2?x?1??x?1??2.设函数f?x???2?2x?1???x?1x?1 ,则limfx?1?x??().x?1(a) 0 (b) 1(c)2(d) 不存在3.设函数y?f?x?在点x0处可导,且f??x?0, 曲线则y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的倾斜角为{}. (a) 0 (b)?2(c)锐角(d) 钝角4.曲线y?lnx上某点的切线平行于直线y?2x?3,则该点坐标是( ). ??1?1??(b) 2,?ln??? 2?2??2?x(a) ?2,ln (c)??1??1?,ln2? (d) ?,?ln2? ?2??2?5.函数y?xe及图象在?1,2?内是( ).(a)单调减少且是凸的 (b)单调增加且是凸的 (c)单调减少且是凹的 (d)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(a) 若x0为函数y?f?x?的驻点,则x0必为函数y?f?x?的极值点. (b) 函数y?f?x?导数不存在的点,一定不是函数y?f?x?的极值点. (c) 若函数y?f?x?在x0处取得极值,且f??x0?存在,则必有f??x0?=0. (d) 若函数y?f?x?在x0处连续,则f??x0?一定存在.17.设函数y?f?x?的一个原函数为xex,则f?x?=( ).21111(a) ?2x?1?ex (b)2x?ex(c)?2x?1?ex(d) 2xex 8.若?f?x?dx?f?x??c,则?sinxf?cosx?dx?( ).(a) f?sinx??c (b) ?f?sinx??c (c) f?cosx??c (d) ?f?cosx??c 9.设f?x?为连续函数,则?f??1?x??dx=( ). ?2???1??(a) f?1??f?0? (b)2??f?1??f?0??? (c) 2??f?2??f?0??? (d)2?f?2??f?0??????10.定积分?dx?a?b?在几何上的表示( ).ab(a) 线段长b?a (b) 线段长a?b (c) 矩形面积?a?b??1 (d) 矩形面积?b?a??1 二.填空题(每题4分,共20分) ?ln?1?x2??1.设 f?x???1?cosx?a?x?0x?0, 在x?0连续,则a=________.2.设y?sin2x, 则dy?_________________dsinx.3.函数y?xx?12?1的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分?xlnxdx?______________________.5. 定积分?1?1xsinx?11?x22?___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:?①lim?1?2x?x ②limx?01?arctanx1xx???2.求由方程y?1?xe所确定的隐函数的导数y?x.3.求下列不定积分:①?tanxsec3xdx②?ya?0?③?xedx2x四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数y?13x?x的图象.(要求列出表格)3【篇二:高等数学试题及答案】>一、单项选择题(本大题共5小题,每小题2分,共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
安徽大学2011—2012学年第一学期 《高等数学A (一)、B(一)》(A 卷)考试试题参考答案及评分标准一、填空题(每小题2分,共10分)1.;2.62()xf x ;3. 2−;4. ;5.。
321x +二、单项选择题(每小题2分,共10分)6.D ; 7.C ; 8.D ; 9.C ; 10.B 。
三、计算题(每小题7分,共56分)11.≤≤,又1x x ==,故利用夹逼准则得到1x =。
12.解:01)arcsin limcos 1x x x →−−=0sin arcsin lim cos 1x x xx →−=220lim 22x x x →=−−。
13. 解:2ln sin sin xdx x∫=ln sin (cot )xd x −∫ =2 cotln sin cot x x x −+dx ∫ =2 cotln sin (csc 1)x x x −+dx −∫ = cotln sin cot x x x x −−−C +。
14. 解:由题意2222sin (sin )12sin 1sin x f x x x ′=−+−,故1()21f u u u′=−−。
于是1()(2)1f u u du c +u=−−∫=2ln 1u u C ,−−−+这样,当01x ≤<时,2()ln 1f x x x C =−−−+。
15.解:0,1x x ==均为瑕点,故1∫=12 0∫+ 1∫=12 0lim a a +→∫+ c 1lim c −→=0lim 2arcsin a +→1lim 2arcsin c −→=2arcsin1π=。
16.解: 0π∫=20cos π∫2cos ππ−∫x=2(sin )(sin )x x ππ−∫sin t x==1−∫∫t=21+∫==ln(1+。
17. 解:方程对应的齐次微分方程为32y y y 0′′′−+=,其特征方程为:232λλ−+=0,解得特征根为121, 2λλ==。
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧,则()Lx y dx +=⎰43;(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解:L 的方程为2,x y y =从-1变到1,而2dx ydy =,于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意:定积分的积分区间关于原点对称,考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向,则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解:计算封闭曲线积分,一般考虑用格林公式,这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意:221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰,则a =__2___.解:依题意,有Q P x y∂∂=∂∂,这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分,则a =__1__. 解:依题意,有Q P x y∂∂=∂∂,这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +=展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解:当1x <时,()()11x x f x x x =+--=为首项是x 公比为x -的等比级数,所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13,收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.解:n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径,收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭,,而当13x =-时,级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数;当13x =时,级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.7.下列级数发散的是( A ).A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑; C. 115n n ∞=∑; D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解:A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,取1n v n =,由lim 1n n nu v →∞=,而调和级数11n n ∞=∑发散,故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数,21p =>,故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数,由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数,而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数,故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是( C ). A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑;D. n ∞=解:A 选项1sin n u n =,取1n v n =,由lim 1n n nu v →∞=,而调和级数11n n ∞=∑发散,故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==,由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数,由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数,115p =<,故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解:已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+,则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂,所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径,此时0,y x =从0 到4,0dy =,于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解: 已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+,则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式,添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥,且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为:0,y x =从0到2,此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+(注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积)11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=,求原函数),(y x u . 解法一:已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+, 而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂,所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB :(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为:0,y x =从0到x ,此时0dy =;直线段AB 方程为:,x x y =从0到y ,此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二:已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂,两式子分别对,x y 两边积分,有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰,22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而,有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+, 比较上式两边,有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三:依题意,知2232u x xy y x ∂=-+∂(1), 22(23)ux xy y y∂=--+∂(2).(1)式两边对x 积分,得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰(3)(3)式两边对y 求偏导,得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ (4). 比较(2)、(4)式,得 2()3y y ϕ'=-,两边对y 积分,得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性:(1)12sin 3nn n π∞=∑;(2)2121n n n n ∞=+-∑;(3)13!n nn n n ∞=⋅∑;(4)121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解:(1)()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭,取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭,又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知 级数2sin3n nπ∑收敛.(2)221n n u n n =+-,取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-,又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知 级数221nn n +-∑发散.(3)13!n nn n n∞=⋅∑ 解:3!n n n n u n ⋅=,因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 所以根据正项级数的比值判别法知 级数3!n nn n ⋅∑发散.(4)21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解:21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭,因为1lim 1212n n n n →∞==<+, 所以根据正项级数的根值判别法知 级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数:(1)111n n x n -∞=+∑;(2)11n n nx ∞-=∑. 解:(1)此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ,则11()1n n x s x n -∞==+∑ (1x <), 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导,得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分,得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时,有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而 和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的,当1x =-时,级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.(2)此幂级数的收敛半径为1,收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ,则11()n n s x nx∞-==∑ (1x <).对上式从0到x 逐项积分,得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导,得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭,1x <.。
高考数学试题123题及答案一、选择题(每题3分,共36分)1. 下列函数中,哪一个不是一次函数?A. y = 2x + 3B. y = x^2 + 1C. y = 1/xD. y = -3x答案:B2. 已知集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},则集合A和B的交集A∩B是什么?A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案:B3. 不等式 |x - 3| < 2 的解集为:A. (1, 5)B. (-1, 5)C. (-2, 4)D. (1, 4)答案:C4. 函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的最大值是:A. 1B. πC. 1/2D. -1答案:A5. 已知数列 3, 6, 9, ..., 27,这个数列的第10项是多少?A. 30B. 33C. 36D. 39答案:B6. 一个长方体的长、宽、高分别是8cm、6cm和5cm,其体积是多少立方厘米?A. 240B. 180C. 120D. 100答案:A7. 已知复数 z = 2 + 3i,那么 |z| 的值为:A. √13B. √14C. 5D. 13答案:A8. 下列哪个选项是正确的数学归纳法步骤?A. 验证n=1时命题成立B. 假设n=k时命题成立C. 证明n=k+1时命题成立D. 以上都是答案:D9. 一个圆的半径是5cm,那么它的周长是多少厘米?A. 10πB. 15πC. 20πD. 25π答案:D10. 一个等差数列的前三项分别是2, 5, 8,那么它的第4项是多少?A. 11B. 12C. 13D. 14答案:A11. 已知三角形ABC中,∠BAC = 90°,AB = 3cm,AC = 4cm,那么BC的长是多少?A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm答案:A12. 一个物体从静止开始做匀加速直线运动,加速度为2m/s²,那么在第3秒末的速度是多少?A. 4m/sB. 6m/sC. 8m/sD. 10m/s答案:A二、填空题(每题4分,共24分)13. 一个数的60%是120,那么这个数是_________。
浙江省 2012年高三调研 理科数学测试卷选择题部分(共50分) 参考公式:如果事件A ,B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A ,B 相互独立,那么P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k次的概率P n (k )=C k n p k (1-p )n -k(k =0,1,2,…,n ) 台体的体积公式V =)(312211S S S S h ++其中S 1,S 2分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式Sh V =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式Sh V 31=,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高球的表面积公式S =4πR 2球的体积公式3π34R V =,其中R 表示球的半径一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设P ={y |y =-x 2+1,x ∈R },Q ={y |y =2x ,x ∈R },则 A .P ⊆Q B .Q ⊆P C .R P ⊆Q D .Q ⊆R P2.已知i 是虚数单位,则12i1i++=A .3i 2-B .3+i 2C .3-iD .3+i 3.若某程序框图如图所示,则输出的p 的值是 A .21 B .26 C .30 D .55 4.若a ,b 都是实数,则“a -b >0”是“a 2-b 2>0”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知直线l ∥平面α,P ∈α,那么过点P 且平行于直线l 的直线A .只有一条,不在平面α内B .有无数条,不一定在平面α内C .只有一条,且在平面α内D .有无数条,一定在平面α内6.若实数x ,y 满足不等式组240,230,0,x y x y x y +-≥--≥-≥⎧⎪⎨⎪⎩则x +y 的最小值是A .43B .3C .4D .67.若(1+2x )5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则a 0+a 1+a 3+a 5= A .122 B .123 C .243 D .2448.袋中共有8个球,其中3个红球、2个白球、3个黑球.若从袋中任取3个球,则所取3个球中至多有1个红球的概率是A .914B .3756C .3956D .579.如图,在圆O 中,若弦AB =3,弦AC =5,则AO ·BC 的值是A .-8B .-1C .1D .810.如图,有6个半径都为1的圆,其圆心分别为O 1(0,0),O 2(2,0),O 3(4,0),O 4(0,2),O 5(2,2),O 6(4,2).记集合M ={⊙O i |i =1,2,3,4,5,6}.若A ,B 为M 的非空子集,且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点,则称(A ,B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时,(A ,B )和(B ,A )为不同的有序集合对),那么M 中“有序集合对”(A ,B )的个数是 A .50 B .54 C .58 D .60 非选择题部分 (共100分)二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分. 11.若函数f (x )=21x -,则f (x )的定义域是________. 12.若sin α+cos α=12,则sin2α=________.13.若某几何体的三视图(单位:cm )如图所示,则此几何体的体积是________cm 3.14.设随机变量X 的分布列如下:X 0 5 10 20 P 0.1 α β0.2若数学期望E (X )=10,则方差D (X )=________.15.设S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 1=1,a n =-S n ⋅S n -1(n ≥2),则S n =______.16.若点P在曲线C1:221169x y-=上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是________.17.已知圆心角为120°的扇形AOB半径为1,C为AB中点.点D,E分别在半径OA,OB上.若CD2+CE2+DE2=52,则OD+OE的取值范围是________.三、解答题:本大题共5小题,共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(本题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知tan(A+B)=2.(Ⅰ)求sin C的值;(Ⅱ)当a=1,c =5时,求b的值.19.(本题满分14分)设等差数列{a n}的首项a1为a,前n项和为S n.(Ⅰ)若S1,S2,S4成等比数列,求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明:∀n∈N*,S n,S n+1,S n+2不构成等比数列.20.(本题满分15分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点,且满足PFPB=CGCE=λ∈(0,1).(Ⅰ)求证:FG∥平面PDC;(Ⅱ)求λ的值,使得二面角F-CD-G 的平面角的正切值为23.21.(本题满分15分)如图,椭圆C :x 2+3y 2=3b 2(b >0).(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)若b =1,A ,B 是椭圆C 上两点,且|AB |=3,求△AOB 面积的最大值.22.(本题满分14分)设函数f (x )=ln x +1a x -在(0,1e)内有极值.(Ⅰ)求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若x 1∈(0,1),x 2∈(1,+∞).求证:f (x 2)-f (x 1)>e +2-1e.注:e 是自然对数的底数.理科数学测试卷参考答案说明:一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.五、未在规定区域内答题,每错一个区域扣卷面总分1分.一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分50分.1.C 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.D 10.B 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分28分.11.(-∞,-1]∪[1,+∞)12.3 4 -13.40 14.3515.1 nSn=16.1017.15214 [,] 45++三、解答题:本大题共5小题,共72分.18.本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.满分14分.解:(Ⅰ)由题设得tan C=-2,从而sin C=255.…………6分(Ⅱ)由正弦定理及sin C=255得sin A=25,sin B=sin (A+C)=sin A cos C+sin C cos A=252521 ()5555⋅-+⋅=25(211)25-,再由正弦定理b=sinsinBcC⋅=10555-.…………14分19.本题主要考查等差数列、等比数列的概念、等差数列的通项公式及前n项和的公式,同时考查反证法与推理论证能力.满分14分.解:(Ⅰ)设等差数列{a n}的公差为d,则S n=na+(1)2n nd-,S1=a,S2=2a+d,S4=4a+6d.由于S1,S2,S4成等比数列,因此22S=S1⋅S4,即得d(2a-d)=0.所以,d=0或2a.(1)当d=0时,a n=a;(2)当d =2a 时,a n =(2n -1)a . …………6分(Ⅱ)证明:采用反证法.不失一般性,不妨设对某个m ∈N *,S m ,S m +1,S m +2构成等比数列,即212m m m S S S ++=⋅.因此a 2+mad +12m (m +1)d 2=0, ① (1)当d =0时,则a =0,此时S m =S m +1=S m +2=0,与等比数列的定义矛盾; (2)当d ≠0时,要使数列{a n }的首项a 存在,必有①中的Δ≥0. 然而Δ=(md )2-2m (m +1)d 2=-(2m +m 2)d 2<0,矛盾.综上所述,对任意正整数n ,S n ,S n +1,S n +2都不构成等比数列. …14分20.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,空间向量的应用,同时考查空间想象能力和运算求解能力.满分15分. 方法一: (Ⅰ)证明:如图以点A 为原点建立空间直角坐标系A -xyz ,其中K 为BC 的中点,不妨设PA =2,则(0,0,0)A ,(0,0,2)P ,(3,1,0)B -,(3,1,0)C ,(0,2,0)E ,(0,4,0)D .由PF CGPB CEλ==,得 (3,,22)F λλλ--, (33,1,0)G λλ-+,(233,12,22)FG λλλ=-++-+,设平面PCD 的法向量0n =(x ,y ,z ),则00n PC ⋅=,00n PD ⋅=,得320,0420,x y z x y z ⎧+-=⎪⎨⋅+-=⎪⎩可取0n =(3,1,2),于是0n 0FG ⋅=,故0n FG ⊥,又因为FG ⊄平面PDC ,即FG //平面PDC .…………6分(Ⅱ)(33,1,22)FC λλλ=-+-+,(3,3,0)CD =-,设平面FCD 的法向量1111(,,)n x y z =,则10n FC ⋅=,10n CD ⋅=, 可取1(3(1),1,2)n λλλ=---,又2(0,0,1)n =为平面GCD 的法向量. 由1212|||cos |||||n n n n θ⋅=⋅,因为tan θ=23,cos θ=313,所以281450λλ-+=,解得12λ=或54λ=(舍去), 故12λ=. …………15分 方法二: (Ⅰ)证明:延长BG 交CD 于Q ,连PQ ,BE . 得平行四边形BEDC ,则BE //CQ ,所以::CG GE QG GB =.又::PF FB CG GE =, 则::QG GB PF FB =, 所以FG //PQ .因为FG ⊄平面PCD ,PQ ⊂平面PCD ,所以FG //平面PCD . …………6分 (Ⅱ)解:作FM ⊥AB 于M ,作MN CD ⊥于N ,连FN .则FN CD ⊥,FNM ∠为二面角F CD G --的平面角.1FM FBPA PBλ==-,不妨设2PA =,则2(1)FM BM λ=-=,2MN λ=-, 由tan FM FNM MN ∠= 得 22(1)32λλ-=-,即 12λ=. …………15分21.本题主要考查椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.满分15分. (Ⅰ)解:由x 2+3y 2=3b 2得 222213x y b b+=,所以e =ca =22233b b b-=23=63. …………5分(Ⅱ)解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),△ABO 的面积为S . 如果AB ⊥x 轴,由对称性不妨记A 的坐标为(32,32), 此时S =13322⋅⋅=34; 如果AB 不垂直于x 轴,设直线AB 的方程为y =kx +m ,由22,33,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得x 2+3(kx +m )2=3, 即(1+3k 2)x 2+6kmx +3m 2-3=0,又Δ=36k 2m 2-4(1+3k 2) (3m 2-3)>0,所以x 1+x 2=-2613kmk +,x 1 x 2=223313m k -+,(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4 x 1 x 2=222212(13)(13)k m k +-+, ①由|AB |=2212(1)()k x x +-及|AB |=3得 (x 1-x 2)2=231k+, ② 结合①,②得m 2=(1+3k 2)-222(13)4(1)k k ++.又原点O 到直线AB 的距离为2||1m k+,所以S =12⋅2||31m k⋅+,因此S 2=34⋅221m k +=34⋅[22131k k ++-2222(13)4(1)k k ++]=34⋅[-14(22131k k ++-2)2+1] =-316⋅(22131k k++-2)2+34≤34, 故S ≤32.当且仅当22131k k ++=2,即k =±1时上式取等号.又32>34,故S max =32. …………15分22.本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查推理论证能力、抽象概括等综合解题能力和创新意识.满分14分. (Ⅰ)解:01x <<或1x >时,222221(1)(2)1()(1)(1)(1)a x ax x a x f x x x x x x x ---++'=-==---. 由()0f x '=在1(0,)e内有解.令2()(2)1()()g x x a x x x αβ=-++=--, 不妨设10e α<<,则e β>,所以 (0)10g =>,2112()10e e ea g +=-+<, 解得1e 2ea >+-. …………6分 (Ⅱ)解:由()00f x x α'>⇔<<或x β>,由()01,f x x α'<⇔<<,或1x β<<, 得()f x 在(0,)α内递增,在(,1)α内递减,在(1,)β内递减,在(,)β+∞递增.由1(0,1)x ∈,得1()()ln 1af x f ααα≤=+-, 由2(1,)x ∈+∞得2()()ln 1af x f βββ≥=+-,所以21()()()()f x f x f f βα-≥-, 因为1αβ⋅=,2a αβ+=+, 所以 ()()f f βα-111ln ln()11a βββα=-+---2ln (1)(1)a αβββα-=+⋅-- 112ln 2ln 2(2)a a ββββββ-=+⋅=+--+,记1()2ln h ββββ=+-,(e β>),则221()10h βββ'=++>,()h β在(0,+∞)上单调递增,所以21()()f x f x -1()(e)2e eh h β≥>=+-. …………14分。
高中数学学习材料(灿若寒星精心整理制作)慈溪市2011学年度第一学期高二年级期末考试 数学(文科)参考答案及评分标准(考试时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.) 二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分.)11.若两条直线互相垂直,则这两条直线的斜率互为负倒数;假 [各2分]12.552; 13.20; 14.02=-+y x ; 15.16π; 16.①,②,④[若出现③,则本题不给分;每少一个扣1分]; 17.212.三、解答题(本大题共5小题,共72分.)18.(本小题满分14分)解.(1)在图2中,过D 作,AC DG ⊥垂足为G ……………………2分平面ACD ⊥平面ABC ,且平面ACD 平面ABC=AC ,DG ⊂平面ACD ABC 平面⊥∴DG ………………… 4分 ABC BC 平面又⊂ DG BC BC DG ⊥⊥∴即………………… 5分 AC BC ACB ⊥=∠即090ACD ,平面、且⊂=DG AC G DG ACADC BC 平面⊥∴ ……………………7分(2)连结BG ,ABC DG 平面⊥DBG ∠∴为直线BD 与平面ABC 所成的角,且DG BG ⊥………………9分 在Rt ACD ∆中,2,2==AG DG在Rt ABC ∆中,AB=4,222024510BG AG AB AG AB cos =+-⋅⋅=,10=BG……………………10分在Rt DGB ∆中,55tan ==∠BG DG DBG ……………………11分 (3)ABC ABC D S DG Sh V ∆-⋅==3131 ……………………12分 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A B C A C D B D423= ……………………14分 19.(本小题满分14分)解.(1)设圆N 的圆心N (a,b ),则N (a,b )和点M (2,2)--关于直线02=++y x 对称222022212a b b a --⎧++=⎪⎪∴⎨+⎪=⎪+⎩解得0,0a b == ……………………4分 ∴圆N 的方程为222r y x =+圆N 过点P (1,1)∴由P (1,1)代入圆N 方程得2,22==λλ ……………………6分 ∴圆N 的方程为222=+y x ……………………7分(2)设Q (x,y ), M (2,2)--),1,1(--=∴y x PQ )2,2(++=y x MQ4)2)(1()2)(1(22-+++=+-++-=⋅∴y x y x y y x x MQ PQ …10分 又 Q 点在圆N 上,222=+∴y x 2-+=⋅∴y x MQ PQ ……11分 222)2(2y x y x +≥+ 当且仅当x=y 时取“=” 22≤+≤-∴y x ……………………13分 故MQ PQ ⋅的最小值为-4(此时x=y=-1)[不写“此时x=y=-1”不扣分了!] ……………………14分20.(本小题满分14分)解.(1)由条件可知P 即:圆心(0,0)到直线0=-+m y x 的距离大于半径122m 12||:-<>>-∴m m P 或即 ……………………3分q 即:3423)(2'+++=m mx x x f =0在),(+∞-∞上有实数根140)34(12)2(:2-<>>+-=∆∴m m m m q 或即 ……………………6分 ∴使P 正确且q 正确的m 满足:2-241m m m m ⎧><⎪⎨><-⎪⎩或或 即24-<>m m 或 ∴使P 正确且q 正确的m 的取值范围为24-<>m m 或 ……………8分(2)11:+≤≤-t m t r∴﹃r :11-<+>t m t m 或又﹃q :41≤≤-m ……………………11分 ﹃r 是﹃q 的必要不充分条件∴﹃r ≠>﹃q 且﹃q ⇒﹃r 1141-<+>-∴t t 或即25-<>t t 或∴所求t 的取值范围为25-<>t t 或 ……………………14分21.(本小题满分15分)解.(1)可设抛物线为px y 22=16,482==∴p p x y 322=∴ ……………………3分(2)可知F (8,0), M 为AB 中点且F 为PAB ∆的重心 FM PF 2=∴ ……………………5分 设M (00,y x ) )8,6()80,28(-=--=∴PF ,),8(00y x FM -=,2)2,162(00y x FM -= ……………………7分 00216628x y -=⎧∴⎨=-⎩ 即110=x ,40-=y ∴所求点M 的坐标为M(11,-4) ……………………9分(3) AB 的中点M 不在x 轴上 ∴AB 不垂直于x 轴,AB 的斜率存在且不为0……………………10分可设AB :)0()11(4≠-=+k x k y ……………………11分 由24(11)32y k x y x+=-⎧⎨=⎩⇒0)411(32322=+--k y ky (*)……………12分 ky y 3221=+∴ ……………………13分 M 为AB 的中点 0212y y y =+∴ 即4,4232-=-=k k……………14分此时对(*),有0>∆∴直线AB 的方程为)11(44--=+x y 即0404=-+y x ………15分[∆不验证不扣分了!]22.(本小题满分15分)解.(1)22'23)(a ax x x f -+= ……………………2分(2)))(3(23)(22'a x a x a ax x x f +-=-+= ……………………3分 0a > ∴当3a x a x >-<或时,,0)('>x f 当3a x a <<-时, 0)('<x f )(x f ∴的增区间为:),3(),,(+∞--∞a a ,减区间为:)3,(a a - ……7分 (3)a a x a x ax x g 11)1(12)(22-+-=+-= ,对称轴为ax 1= (ⅰ)当0>a 时,)递减递增,(在+∞-∞,1)1,()(aa x g ∴由(1)知:当0>a 时,可得:031a a a a a ⎧⎪>⎪⎪≥⎨⎪⎪≥⎪⎩解得:1≥a ………10分 (ⅱ)当0<a 时,递减递增,在),1()1,()(+∞-∞a a x g又由(1)同理可得:),(),3,()(+∞--∞a ax f 在递增,),3(a a -递减 ∴当0a <时,可得:02312a a a a a ⎧⎪<⎪⎪+≤⎨⎪⎪+≤⎪⎩解得:3-≤a ………………14分 故综上所知,所求a 的取值范围为),1[]3,(+∞⋃--∞ …………15分[文科考试范围: 必修②:1、空间几何体;2、点、直线、平面之间的位置关系;3、直线与方程;4、圆与方程.选修1-1:1、常用逻辑用语;2、圆锥曲线与方程;3、导数及其应用.]。
高等数学(一)复习参考参考书目:《高等数学》第六版上册同济大学数学系编高教出版社考试涉及范围:第一章函数与极限极限的计算(包括两个重要极限的运用);无穷小的比较;连续性的判断、间断点的类型;利用零点定理或介值定理证明方程存在根.第二章导数与微分导数:求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数(求一阶导数和二阶导数);微分.第三章微分中值定理与导数的应用中值定理证明等式或不等式;洛必达法则求极限;函数的单调性与单调区间;利用单调性证明不等式;曲线的凹凸性与拐点;函数的极值与最值.第四章不定积分不定积分的计算:换元积分、分部积分;第五章定积分定积分的性质;定积分的计算:换元积分、分部积分;无穷限反常积分与敛散型.第六章定积分的应用平面图形的面积与体积.第七章微分方程特解与通解的概念及求解:可分离变量的微分方程;齐次方程;一阶线性微分方程;可降阶的高阶微分方程;二阶常系数齐次微分方程.考试题型:一、选择题(每小题3分,共5小题,共15分)二、填空题(每小题3分,共6小题,共18分)三、计算题(每小题7分,共5小题,共35分)考点:求极限;隐函数与参数方程求导;不定积分计算;定积分计算;微分方程.四、应用题(第一小题11分,第二小题7分,共18分)考点:面积;体积;最值.五、证明题(每小题7分,共2小题,共14分)考点:证明不等式;证明等式.注意:以下内容不考:泰勒公式;曲率;函数图形的描绘;方程的近似解;反常积分的审敛法;极坐标的问题;弧长的计算;定积分在物理上的应用;二阶常系数非齐次微分方程.《祝考试顺利!》高等数学(一)复习题目参考一、选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为( )A .)1,0(∪]4,1(B .]4,0(C .)4,0(D .)1,0(∪)4,1( 2.下列函数中表示相同函数的是( ) A .2)1ln()(xx x x f -=与||)1ln()(x x x g -=B .2ln )(x x f =与||ln 2)(x x g =C .)]1(ln[)(-=x x x f 与x x x g ln )1ln()(+-=D .)1()(-=x x x f 与1)(-=x xx g3.下列函数中是有界函数的是( )A .x x y sin =B .x e y =C .)32sin(2+-=x x yD .11ln 2+=x y4.21+=-x e y 的反函数是( )A .)1ln(-=x yB .)2ln(-=x yC .2)1ln(+-=x yD .1)2ln(+-=x y 5.下列函数中是奇函数的是( ) A.sin y x x =⋅ B.2xxee y -+=C .2ln(1)y x =+D.ln(y x =+6.x x e 1lim →=A.0B.∞+ C .∞- D .不存在 7.下列等式中,正确的是( )A.∞=∞→xx em i l B .e x m i l xx =-→1)1(C .11=∞→xni s x m i l x D .)()(a f x f m i l ax =→8.下列各极限正确的是( )A.e xxx =-∞→)11(lim B.111sinlim=→xxx C .e xxx =--∞→1)11(lim D .0sinsin tan lim3=-→xx x x9.已知2lim e x a x xx =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→,则a =( )A.2B.1 C .2- D .1-10.20lim 13x x x →⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ) A.∞ B.1 C .6e - D .23e-11.当0→x 时,若112-+x 与ax 是同阶无穷小,则a =( )A.21 B.1 C .2 D .312.当0→x 时,下列无穷小量中与x 等价的是( ) A.2100x x + B.22x x - C .x x sin 22+ D .x 13.当0→x 时,)1ln(x x +-是2x 的( )A. 低阶无穷小 B .高阶无穷小 C .等价无穷小 D .同阶但非等价无穷小 14.当0→x 时,下列四个无穷小量中,哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量?( )A. 2x B .x cos 1- C .112--x D .x x tan -15.设xx x f sin )(=,则函数)(x f ( )A.在0=x 处左极限不存在 B .有跳跃间断点0=x C .在0=x 处右极限不存在 D .有可去间断点0=x16.函数 设11)(11+-=x x e e x f ,则0=x 是)(x f 的( )A.可去间断点B.跳跃间断点 C .第二类间断点 D .连续点 17.1=x 是函数221()32x f x x x -=-+的( )A.可去间断点B.跳跃间断点 C .无穷间断点 D .振荡间断点 18.函数)1(2-=x x xy 在),(∞+-∞上的间断点情形是( )A.有一个间断点B. 有一个可去间断点和一个不可去间断点 C .没有间断点 D .有两个不可去间断点19.函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处可微的( )条件;函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 处可导的( )条件;函数)(x f 在点0x 可导是)(x f 在点0x 处连续的( )条件.A .充分 B.必要 C .充要 D .既不充分也不必要20.设函数)(x f y =在x 处成立关系式 ,)(x o y d y ∆=-∆下列结论中错误的是( ) A .)(x f y =在x 处可微 B.)(x f y =在x 处可导 C .)(x f y =在x 处连续 D .以上都不对21.函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(x x xx x f ,()f x 在0=x 处( )A.不连续; B .连续但不可导;C .可导,但导数在该点不连续;D .导函数在该点连续 22.若函数⎩⎨⎧>+≤=11)(2x bax x x x f 在1=x 处连续且可导,则( )A .1,2-==b a B.0,1==b a C .3,2=-=b a D .2,1=-=b a 23.曲线x x y 22-=上切线平行于x 轴的点是( ) A .)1,1(- B.)1,1( C .)0,2( D .)2,0(24.曲线262y x x =-+在点(1,3)-处的切线与y 轴交点的坐标是( ) A .(0,1) B.(0,2) C .(0,3)- D .(0,1)- 25.设1232)(610-+-=x x xx f ,则=-)1()10(f( )A .!10 B.!20 C .!102⋅- D .!102⋅ 26.设x x f sin )(=,则=')]([x f f ( )A .)sin(sin x B.)cos(sin x C .)sin(cos x D .)cos(sin cos x x ⋅ 27.=++)3ln 3(3x d x ( ) A .3133ln 32++x xB.dx x x )3133ln 3(2++C .233ln 3x x+ D .dx x x)33ln 3(2+ 28.函数 在给定区间上满足罗尔定理条件.A .⎪⎩⎪⎨⎧=<≤---=131211)(3x x x x x f ]1,2[- B. ⎩⎨⎧=-<≤-=1111)(x x xx f ]1,1[-C .321)(x x f -= ]1,1[-D .x x f cos )(= ],0[π 29.在[0,+∞)内,若,0)(,0)(<''>'x f x f 则 曲线)(x f y =在[0,+∞)内是( ) A .单调下降,凸的 B. 单调上升,凸的 C .单调上升,凹的 D .单调下降,凹的30.在开区间),(b a 内恒有0)(<'x f ,0)(>''x f ,则在),(b a 内曲线)(x f y =是( ) A .单调上升,凹的 B. 单调下降,凹的 C .单调上升,凸的 D .单调下降,凸的31.设R x x f x f ∈-=,)()(,在]0,(-∞内,0)(,0)(<''>'x f x f 则在[0,+∞)内曲线)(x f y =是( )A .单调上升,凸的 B. 单调下降,凸的 C .单调上升,凹的 D .单调下降,凹的32.设)(x f 在0x 点连续但不可导,则0x ( )A .必是最大值点 B. 必是最小值点 C .必是极值点 D .可能是极值点 33.函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处都取得极大值,则a =( )A .3- B. 3 C .2- D .234.已知()f x 在(,)-∞+∞上有定义,且21()(1)lim2(1)x f x f x →-=-,则(1)f 必是( )A .()f x 的最小值 B.()f x 的最大值 C .()f x 的极小值 D .()f x 的极大值 35.在区间),(b a 内,如果)()(x g x f '=',则必有( ) A .)()(x g x f = B. 为任意常数)C C x g x f ()()(+=C .⎰⎰=dx x g dxd dx x f dxd )()( D .⎰⎰=b ab adx x g dx x f )()(36.下列等式,正确的是( ) A .⎰⎰=-C x d x f x d x f )()( B.⎰=x at f t d t f xd d )()(C .⎰=)()(x f x f dD .⎰=)()(x f x d x f d37.有关不定积分⎰xdx x cos sin 的计算结果,不正确的是( )A .C x +-2cos 21 B.C x +2sin21 C .C x +-2cos 41 D .C x +-2cos2138.曲线sin y x =与x 轴在[]0,2π上围成的图形面积为( ) A .0 B. 2 C .4 D .639.422cos xdx π=⎰( )A .316πB.38π C .34π D .4π40.2b txde dt dx -=⎰( ) A .2xe- B.2bxee--- C .22xxe-- D .22xxe-41.若⎰⎰=21)2()(dx x xf k dx x xf ,则=k ( )A .1 B.2 C .3 D .442.下列各式中正确的是( ) A .⎰⎰≤13102dx x dx x B. ⎰⎰≤213212dx x dx xC .⎰⎰≥+110)1ln(dx x dx x D .⎰⎰+≤11)1(dx x dx e x43.下列说法,错误的是( ) A .定积分⎰b ax d x f )(在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围平面图形的面积;B.一物体以速度)(t v 作直线运动,它在[]21,t t 这段时间内通过的路程可用定积分⎰21)(t t t d t v 来表示;C .如果某国人口增长的速率为,)(t u 那么,定积分⎰21)(T T t d t u 表示在[]21,T T 这段时间内该国人口增加的数量; D .定积分⎰ba x d x f)(2π在几何上表示由曲线,)(x f y =直线b x a x ==,及x 轴所围的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 44.微分方程25)1(12+=+-y y x dydx 是( )A .可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C .一阶线性微分方程 D .贝努利方程 45.微分方程0)(22=-+xydy dx y x 是( )A .可分离变量的微分方程 B.齐次方程 C .一阶线性微分方程 D .贝努利方程 46.微分方程0=+''y y 的通解是( )A .x C y cos = B. x C y sin =C .x C x C y sin cos 21+=D .)sin cos (21x C x C e y x += 47.微分方程02'"=-+y y y 的通解是( ) A .xxeey 2-+= B. xx ec e c y 221-+=C .xxe c e c y 221+=- D .x n i s c x s o c c y 221+=二、填空题 1.21arcsin3-=x y 的定义域是2.极限3323lim(1)x x x x →+∞-+-= ,=++-∞→301515)12()1()14(lim x x x x3.极限()=+→x x x 1sin 31lim ,=+→xx x csc 30)sin 21(lim4.极限⎪⎭⎫⎝⎛-∞→x x xx x 2sin 2sinlim = 5.=-→xx x 2sin12cos lim6.tan 3sin limx x xx→-=7.已知函数⎩⎨⎧≥+=00)(x xa x e x f x在),(∞+∞-内连续,则 =a8.函数3321()22x f x x x x -=+--的可去间断点是9.设)(x f 在0x 点可导,且4)(0='x f ,则=∆∆--∆+→∆xx x f x x f x )2()3(lim00010.设)(x f 在0=x 处可导,且0)0(=f ,则=-→xx f tx f x )()(lim 011.2ln arctan )(22-+=-x e x f x,则=')(x f12.设22sin3xx y e-=,则y '=13.曲线13+=x y 上点()9,2处的切线方程是 14.设6)10()(+=x x f ,则=''')0(f 15.设()x f 二阶可导,)(ln x f y =,则=''y 16.已知方程3329(1)100y x x y -+-⋅+=确定了()y y x =,则1x dydx==17.已知x y sin ln =,则=dy 18.已知)ln(22x a x y ++=,则=dy19.已知32cos 1lnx y +=,则=dy20.设x x y )sin 1(+=,则==0x dy21.设函数)(x y y =由方程y x xy +=2确定,则==0x dy22.设x x x f -=3)(在]3,0[上满足罗尔定理的条件,则由此确定的中值=ξ 23.对函数2y px qx r=++在[1,3]-上应用拉格朗日中值定理时所得的中值ξ=24.函数arctan y x x =-的单调递增区间是25.函数3()(1)(1)f x x x =-+的单调递增区间是 ,单调减少区间是 ,凹区间是26.曲线123223++=x x y 的拐点是 ,曲线x xe y -=的拐点为 27.函数7186223---=x x x y 在[]4,1上的最大值=M28.函数1933+-=x x y 的极大值是 29.222sec 1x dx x⎛⎫-+=+⎝⎰ 30.22tan xx dx ⎛⎫-+= ⎝⎰ 31.dx xxx )1112(22--+⎰=32.dx ee xx12+⎰=33.①由定积分的几何可得,=⎰-3329dx x -②由奇偶性知,=-⎰-3324cos dx xx x34.=⎰12dx e x x35.若⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=111211)(2x x x xx f ,则⎰2)(dx x f =36.设2101()11x x f x x xe x ⎧≤≤⎪=+⎨⎪>⎩,则31(1)f x dx -+=⎰37.=+⎰dt tdxd x x3241138.dx x⎰∞+141=39.曲线21x y =+与直线x y +=1所围平面图形的面积为=40.由曲线)(()(x f x f y =>)0,直线b x a x ==,及1-=y 所围平面图形绕直线1-=y 旋转一周所得旋转体的体积是41.微分方程032=-'-''y y y 的通解是 42.微分方程0ln=-xy y dxdy x的通解是43.微分方程0)1(=++-y d y n i s e x d y os c x满足初始条件4)0(π=y 的特解是三、计算题 1.求极限:①⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∞→x x x x x sin 32sin lim ; ②23lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭;③3132lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x④)1112(lim 21---→x xx ; ⑤⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x ; ⑥111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭;⑦2tan)1(lim 1xx x π-→; ⑧4)sin (tan limxduu u x x ⎰-→; 0412(sin )limxx t t dtx →-⎰;⑨3230(sin )limx x x t t t dtt dt→-⎰⎰;⑩0sin 0tan lim arcsin xx x tdttdt→⎰⎰;⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d emi l 02222.2.已知极限21)2ln(lim221-=++-→bax x x x ,求常数a ,b 的值.3.求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点,并判断间断点的类型.4.3sin arctan )13cos(sin π++-=x x ey x,求y '5.x x y )ln 1(+=,求y '6.设⎪⎩⎪⎨⎧>+≤=2221)(2x bax x xx f ,且)2(f '存在,求a ,b 的值.7.设曲线方程为32=--y x e xy ,求此曲线在纵坐标为0=y 的点处的切线方程与法线方程.8.设⎩⎨⎧<<--+≤<-+=10,1101),1ln()(x x x x x x f ,讨论)(x f 在0=x 处的连续性和可导性.9.设0=+--xy ee xy 确定了)(x y y =,求dxdy .10.设32tanarctanln 333xx xy e-=+-,求dy .11.xex y tan arctan+=,求dy .12.求由方程yxe y +=1所确定的隐函数的二阶导数22dxy d .13.由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=ty tx arctan 1ln 2确定了)(x y y =,求dx dy .14.已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=01sin 232y t e tt x y 求=t dx dy .15.求642+-=x x y 在]10,3[-上的最大值与最小值16.求4282y x x =-+在[3,3]-上的最大、最小值.17.求函数32()26187f x x x x =---在[]4,2-上的最大值、最小值以及拐点.18.设函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-,①试确定系数b a ,的值; ②求出)(x f y =的所有极值点和拐点. 19.计算不定积分 ①⎰-++-dx x x x x)23122(22; ②221tan (1)x dx x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭⎰; ③ x ⎰;④⎰x d x n l x 2; ⑤33tan sec x xdx ⋅⎰; ⑥dx x ⎰arctan.20.计算定积分: ①12121x dx x-++⎰; ②1-⎰;③dxxx ⎰---112491;④1-⎰⑤221ln x x dx ⎰;⑥⎰-2228y d y .21.计算无穷限积分⎰∞+++02)1()1(1x d xx .22.求微分方程xe y dx dy -=+满足初始条件20-==x y的特解. 23.求微分方程xx x y dxdy sin =+满足初始条件1==πx y的特解.24.求微分方程232++=+'x x y y x 的通解.四、应用题1.设⎰⎰+-=122)(2)()(dx x f dx x f x x x f ,求)(x f .2.求由曲线x y =2与直线2-=x y 所围平面图形的面积.3.求抛物线x p y 22=及其在点⎪⎭⎫⎝⎛p p,2处的法线所围成的图形的面积. 4.求曲线ln y x =及其在点(,1)e 处的切线与x 轴所围平面图形的面积,并求由此图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.5.设直线23y x =+和抛物线2y x =所围成的平面图形为W .(1) 求W 的面积;(2) 求W 绕y 轴旋转一周所成旋转体的体积. 6.平面图形D 是由x 轴、y 轴、1x =以及x y e =围成,求: (1) D 的面积; (2) 由D 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积.7.过曲线3)(x x f =上的点)1,1(A 作切线AB l 交x 轴于点B ,设该曲线与切线AB l 及x 轴所围成的平面图形为Γ.(1) 求切线AB l 的方程; (2) 求平面图形Γ的面积S ; (3) 求Γ绕x 轴旋转一周的旋转体的体积.8.从一块半径为R 的圆铁片上上挖去一个扇形做成一个漏斗,问留下的扇形的中心角α取多大时,做成的漏斗的容积最大?9.一边靠墙用篱笆围成一矩形场地,现有36米长的篱笆,问能围成的最大场地面积是多少? 10.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租定为1000元时,公寓会全部租出去.当月租金每增加50元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花费100元的维修费,试问房租定为多少时可获得最大收入?11.装饮料的易拉罐是用铝合金制造的,罐身(侧面和底部)用整块材料拉制而成,顶盖是另装上去的,为了安全,顶盖的厚度是罐身的厚度的三倍,假设要制造的易拉罐的容积为V ,问如何确定易拉罐的底面半径和高才能使得用料的体积最省?12.某厂为了销售一新款收音机x 台,每台的价格(单位:元)为:x p -=800.而生产x 台的总成本可以表示成x x C 102000)(+=,为使利润最大化,工厂必须生产并销售多少台?五、证明题1.证明:①2cot arctan π=+x arc x ;②当||x ≤1时,恒有arcsin arccos 2x x π+=成立. 2.证明:若函数)(x f 在),(∞+∞-内满足关系式,)()('x f x f =且,1)0(=f 则xe xf =)(.3.证明方程015=-+x x 只有一个正根. 4.证明不等式:①当1>x 时,x e e x⋅>; ②当,20π<<x 时,x x π2sin >;③当x >1时,22)1(ln )1(-≥-x x x ; ④当0>x 时,xx x +>+1arctan )1ln(;⑤当e <a <b <2e 时,a n l b n l 22->)(42a b e-.5.设)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且e f f ==)0(,1)1(,试证至少存在一点)1,0(∈ξ,使)()(ξξf f -='.6.设)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(上可导,且1)0(=f ,0)1(=f ,求证在)1,0(内至少有一点ξ,使ξξξ)()('f f -=.7.设函数()f x 在[0,1]上可导,且1202()(1)xf x dx f =⎰,证明在(0,1)内必有一点c ,使1()()f c f c c'=-.8.设)(x f 在],[b a 上可导,证明在),(b a 内必存在一点ξ,使)()()()(ξξξf f ba b bf a af '+=--.9.若()x f 在[]1,0上连续,证明⎰⎰=220)(cos )(sin ππdx x f dx x f .10.已知)(x f 是连续函数,证明:()[]dx x a b a f a b dx x f b a⎰⎰-+-=1)()(.参考答案(此答案仅供参考,不保证100%的正确性)一、选择题1.A 2.B 3.C 4.D 5.D 6.D 7.C 8.C 9.C 10.D 11.C 12.A 13.D 14.D 15.D 16.B 17.A 18.B 19.C BA 20.D 21.B 22.A 23.A 24.A 25.D 26.D 27.D 28.A 29.B 30.B 31.B 32.D 33.D 34.C 35.B 36.A 37.C 38.C 39.B 40.C 41.D 42.B 43.A 44.C 45.B 46.C 47.B二、填空题1.[]3,1- 2.2 1 3.3e 6e 4.2 5.2- 6.2 7.1 8.1=x 9.20 10.()()01f t '- 11.42122xx ex++-- 12.3sin422xxex--3cos3122x ex-+13.1512-=x y14.120000 15.()()3ln ln xx f x x f '-'' 16.-1 17.xdx cot18.dx xa 221+ 19.()dx xxx 22cos 13sin 2+ 20.0 21.1-ln222.2 23.1 24.()+∞∞-, 25.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21, ()1,-∞-()+∞⋃,026.⎪⎭⎫ ⎝⎛225,21-()22,2-e 27.29- 28.7 29.C x x x ++-arcsin 3arctan 2tan 30.C x x x x+++-2arcsin 3tan 2ln 2 31.()C x x+-+arcsin1ln 232.C e x+arctan33.π290 34.2-e 35.34ln321+36.4341e +π 37.81221213xx xx+-+38.31 39.29 40.()[]⎰+ba21x f dx π 41.xxe C eC y 321+=-42.1ln +=Cx xy ; 43.()22sec 1=+yex或 ()2ln 23cosln 1ln +=+y ex三、计算题 1.求极限: ①2; ②6-e26363lim 13lim 145xx xx x x e→∞--→∞-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 分分;③原题目有误:将底数中分子分母之间的符号该为相同的“+”或“-”3132lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x (型∞1)311312lim +∞→⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=x x x x 313131lim 21lim +∞→+∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x 3132-==eee ;3132lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛--x x x x (型∞1)313133lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--x x x x x31311lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛--+x x x 3131lim+⋅--∞→=x xx e31e =;④)1112(lim 21---→x xx ;(P193 1(13) 略) ⑤⎪⎭⎫⎝⎛--→111lim 0xx e x; ⑥21;212lim21lim 1lim )1(1lim20==-=--=---=→→→→xx x e xxe e x x e x xx xx xxx 解:原式1111111lim ln 11ln lim1(1)ln 11lim31ln 1lim ln 11lim 4ln 11152x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x →→→→→⎛⎫- ⎪-⎝⎭--=--=-+-=+-=++= 分分分分⑦=-→2tan)1(lim 1xx x π=⎪⎭⎫⎝⎛-→型002cot 1lim1x x x π=⋅--→22csc 1lim21ππx x =→2sin lim 221xx πππ2;⑧81421.lim4)cos 1(tan lim4sin tan lim3233==-=-=→→→xxx xx x x xx x x x 解:原式;412(sin )limxx t t dtx→-⎰21=;(P242 例8 或 P242 9类似 略)⑨323022302(sin )lim(sin )lim33sin lim 31cos lim 59sin lim 6181718x x x x x x x t t t dtt dtx x x x x x x x xx x x→→→→→--=⋅-=-===⎰⎰分分分分⑩02tan lim3cos (arcsin sin )sin lim4cos 15x x x x x x x x→→=⋅=⋅= 原式分分分解:⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx tx td et t d emi l 02222222202xx xtx e x et d emi l ⎰⋅=→222xx tx ex td emi l ⎰→=xtd e mi l x tx ⎰→=022⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+==→→x ex e em i l e mi l xxxx xx 22122222002=. 2.已知极限21)2ln(lim221-=++-→bax x x x ,求常数a ,b 的值.解:当1→x 时,()02ln 2→-x ,故02→++b ax x (否则极限不等于21-),有01=++b a ①于是,)0()2ln(lim 221型b ax x x x ++-→a x x xx +--=→222lim 2121222lim x a x x x --⋅+=→21212-=+-=a ,得 2=a ,因此由①得, 3-=b . 3.求3222)(223-+-+-=x x x x x x f 的间断点,并判断间断点的类型.(P65 3(1)类似 略)答案:1=x 是第一类间断点中的可去间断点,3-=x 是第二类间断点中的无穷间断点.4.3sin arctan )13cos(sin π++-=x x e y x ,求y '。