四川省绵阳南山中学2020届高三9月月考数学试数学数学试题(文)(扫描版)

2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}3．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形4．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2 019）等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．985．（5分）函数y=sin（2x+）的图象可看成是把函数y=sin2x的图象作以下平移得到（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移6．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）7．（5分）等差数列{an }中的a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2 B．3 C．4 D．58．（5分）若sin（﹣α）=，则cos（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．9．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b10．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f （b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）二．填空题（每题5分，共4题）13．（5分）若alog34=1，则2a+2﹣a═．14．（5分）设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= ．15．（5分）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．16．（5分）已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为．三、解答题（共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．18．（12分）等比数列{an }的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．19．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；（2）若函数g（x）=f′（x）﹣存在唯一零点，求m的范围．20．（12分）设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，y=f（x）（1）求函数f（x）的最值；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（），当a=2时，求b+c的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|，g（x）=|x﹣1|+3．（1）解为等式|g（x）|＜8；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的）1．（5分）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2，且b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．2．（5分）函数f（x）=+的定义域为（）A．{x|x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|x＞1}【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，得0＜x＜1，即函数的定义域为{x|0＜x＜1}，故选：B【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．3．（5分）平面四边形ABCD中，，则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形【分析】根据，得线段AB、CD平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形．再由，得对角线AC、BD互相垂直，即可得到四边形ABCD是菱形．【解答】解：∵，∴即，可得线段AB、CD平行且相等∴四边形ABCD是平行四边形又∵，∴⊥，即⊥，四边形ABCD的对角线互相垂直因此四边形ABCD是菱形故选：B【点评】本题给出向量条件，判断四边形ABCD的形状，着重考查了平面向量的线性运算、数量积运算及其性质，考查了菱形的判定方法，属于中档题．4．（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2 019）等于（）A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98【分析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可．【解答】解：f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），可得函数的周期为：4，f（2 019）=f（2016+3）=f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）．当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，f（2 019）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2．故选：A．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．5．（5分）函数y=sin（2x+）的图象可看成是把函数y=sin2x的图象作以下平移得到（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【分析】把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，由此得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故把函数y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin（2x+）的图象，故选D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．6．（5分）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是（）A．（0，] B．[，π）C．（0，] D．[，π）【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA 的范围，进而求得A的范围．【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，∵sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，∴a2≤b2+c2﹣bc，∴bc≤b2+c2﹣a2∴cosA=≥∴A≤∵A＞0∴A的取值范围是（0，]故选C【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．作为解三角形中常用的两个定理，考生应能熟练记忆．7．（5分）等差数列{an }中的a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】利用导数即可得出函数的极值点，再利用等差数列的性质及其对数的运算法则即可得出．【解答】解：f′（x）=x2﹣8x+6，∵a1、a4025是函数f（x）=x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，∴a1、a4025是方程x2﹣8x+6=0的两实数根，则a1+a4025=8．而{an}为等差数列，∴a1+a4025=2a2013，即a2013=4，从而==2．故选A．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．8．（5分）若sin（﹣α）=，则cos（+2α）=（）A．B．﹣C．﹣D．【分析】直接利用诱导公式以及二倍角的余弦函数化简求解即可．【解答】解：sin（﹣α）=，sin（﹣α）=cos（+α）=cos（），cos（+2α）=2cos2（）﹣1=2×=．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，二倍角的余弦函数的应用，基本知识的考查．9．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）•f（30.3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=（log3）•f（log3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】构造辅助函数F（x）=xf（x），由导函数判断出其在（﹣∞，0）上的单调性，而函数F（x）为实数集上的偶函数，则有在（0，+∞）上的单调性，再分析出，30.3，logπ3的大小，即可得到答案．【解答】解：令F（x）=xf（x），则F′（x）=f（x）+xf′（x）．因为f（x）+xf′（x）＜0，所以函数F（x）在x∈（﹣∞，0）上为减函数．因为函数y=x与y=f（x）都是定义在R上的奇函数，所以函数F（x）为定义在实数上的偶函数．所以函数F（x）在x∈（0，+∞）上为增函数．又30.3＞30=1，0=logπ1＜logπ3＜logππ=1，．则F（||）＞F（30.3）＞F（logπ3）．所以（log3）•f（log3）＞（30.3）•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即c＞a＞b．故选C．【点评】本题考查了导数的运算，考查了函数的单调性与奇偶性，考查了不等式的大小比较，解答此题的关键是构造出函数F（x），同时运用了偶函数中有f（x）=f（|x|），此题是中档题．10．（5分）若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】设||=1，则|+|+|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形．设向量与的夹角为θ，则由cosθ==求得θ的值．【解答】解：设||=1，则|+|=|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形，且||=．设向量与的夹角为θ，则cosθ==，∴θ=，故选B．【点评】本题主要考查两个向量的加减法及其几何意义，直角三角形中的边角关系，求两个向量的夹角，属于中档题．11．（5分）已知函数f（x）=log2（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．（﹣4，4] D．（﹣4，2]（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，则x2﹣ax+3a＞0且f（2）【分析】若函数f（x）=log2＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a的不等式，解不等式即可得到a的取值范围．（x2﹣ax+3a）在[2，+∞）上是增函数，【解答】解：若函数f（x）=log2则当x∈[2，+∞）时，x2﹣ax+3a＞0且函数f（x）=x2﹣ax+3a为增函数即，f（2）=4+a＞0解得﹣4＜a≤4故选C【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键．12．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f （b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0，则abcd的取值范围是（）A．（16，21）B．（16，24）C．（17，21）D．（18，24）【分析】根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，通过图象运动可以判断1×1×4×6=24，=16，直线越往上走abcd 的积越小，越往下abcd的积越大，即可求出答案．【解答】解：若存在实数a、b、c、d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），其中d＞c＞b＞a＞0根据图象可判断：＜a＜1，1＜b＜2，2＜c＜4，6＜d＜8，当直线y=t，0＜t＜4，可以有4个交点，把直线向上平移，向下平移，可判断：直线越往上走abcd的积越小，越往下abcd的积越大，当t=0时1×1×4×6=24，当t=4时，=16，abcd的取值范围是（16，24），故选：B．【点评】本题综合考查了函数图象的运用，求解两个图象的交点问题，运用动的观点解决，理解好题意是解题关键．二．填空题（每题5分，共4题）13．（5分）若alog34=1，则2a+2﹣a═．【分析】先求出a=log43，从而2a+2﹣a═+，由此利用对数恒等式及换底公式能求出结果．【解答】解：∵alog34=1，∴a=log43，∴2a+2﹣a═+==．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数恒等式及换底公式的合理运用．14．（5分）设Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an= 3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，Sn 为等比数列{an}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴an=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，基本知识的考查．15．（5分）若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是0＜b＜2 ．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜2【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．16．（5分）已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为﹣1 ．【分析】求出的夹角，建立平面直角坐标系，设=（2，0），则=（1，），根据数量积的几何意义得出C的轨迹，利用点到圆的最短距离求出|2﹣|的最小值．【解答】解：∵||=||=•=2，∴cos＜＞==，∴＜＞=60°．设=（2，0），==（1，），，∵（﹣）•（﹣）=0，∴，∴C的轨迹为以AB为直径的圆M．其中M（，），半径r=1．延长OB到D，则D（2，2）．连结DM，交圆M于C点，则CD为|2﹣|的最小值．DM==．∴CD=．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的几何意义，属于中档题．三、解答题（共6题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=8，BC=3，CD=5，∠A=，cos∠ADB=．（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求△BCD的面积．【分析】（Ⅰ）由已知可求sin∠ADB的值，根据正弦定理即可解得BD的值．（Ⅱ）根据已知及余弦定理可求cos∠C=﹣，结合范围∠C∈（0，π）可求∠C，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD中，因为cos∠ADB=，∠ADB∈（0，π），所以sin∠ADB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）根据正弦定理，有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）代入AB=8，∠A=．解得BD=7．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）在△BCD中，根据余弦定理cos∠C=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）代入BC=3，CD=5，得cos∠C=﹣，∠C∈（0，π）所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）所以=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．18．（12分）等比数列{an }的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =log3a1+log3a2+…+log3an，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an }的通项公式代入设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．由条件可知各项均为正数，故q=．由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．故数列{an }的通项式为an=．（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，故=﹣=﹣2（﹣）则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，所以数列{}的前n项和为﹣．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．19．（12分）设函数f（x）=lnx+，m∈R（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，f（x）的极小值；（2）若函数g（x）=f′（x）﹣存在唯一零点，求m的范围．【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出f（x）的极小值即可；（2）令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0），设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），根据函数的单调性画出函数φ（x）的草图，求出m的范围即可．【解答】解（1）由题设，当m=e时，f（x）=ln x+，则f′（x）=，由f′（x）=0，得x=e．∴当x∈（0，e），f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减，当x∈（e，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增，∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=ln e+=2，∴f（x）的极小值为2…（4分）（2）由题设g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0）．设φ（x）=﹣x3+x（x≥0），则φ′=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点．∴φ（x）的最大值为φ（1）=．又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图），可知当m=时，函数g（x）有且只有一个零点；当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点．所以，当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，转化思想，是一道中档题．20．（12分）设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，y=f（x）（1）求函数f（x）的最值；（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（x）的最大值恰好是f（），当a=2时，求b+c的取值范围．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示，结合二倍角公式和辅助角公式，化简可得f（x），再由正弦函数的最值，即可得到所求最值；（2）运用正弦定理，可得b，c，再由三角函数的和差公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围．【解答】解：（1）设=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，﹣y）满足•=0，即有（2cosx+2sinx）cosx﹣y=0，则y=f（x）=（2cosx+2sinx）cosx=2cos2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1，则当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z时，sin（2x+）取得最大值1；当2x+=2kπ﹣，k∈Z，即x=kπ﹣，k∈Z时，sin（2x+）取得最小值﹣1；则函数f（x）的最小值为﹣1，最大值为3；（2）当a=2，由正弦定理===2R，得：b=2RsinB=sinB，c=2RsinC=sinC，则b+c=（sinB+sinC）=（sinB+sin（﹣B））=（sinB+cosB）=4sin（B+），又B∈（0，），得：B+∈（，），可得sin（B+）∈（，1]，即4sin（B+）∈（2，4]．则b+c∈（2，4]．【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及正弦函数的最值，考查解三角形的正弦定理和辅助角公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x）＞g（x），则ax＞2lnx，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x）＞g（x），则ax0＞2lnx，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【点评】本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，将曲线C1：（α为参数）上所有点横坐标变为原来的2倍得到曲线C2，将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程及曲线C3的极坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C2上任意一点，点Q是曲线C3上任意一点，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，代入即可得出曲线C2的参数方程，消去参数可得普通方程．同理可得：将曲线C3的参数方向与普通方程．利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出曲线C3的极坐标方程．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），利用两点之间的距离公式可得：|PC|2=+，再利用二次函数与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设曲线C2上的任意一点（x，y），则在曲线C1：（α为参数）上，∴，即为曲线C2的参数方程，可得普通方程：=1．同理可得：将曲线C1向上平移一个单位得到曲线C3：，化为普通方程：x2+（y﹣1）2=1．可得曲线C3的极坐标方程为：ρ2﹣2ρsinθ=0，化为ρ=2sinθ．（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），C（0，1），则|PC|2=（2cosθ）2+（sinθ﹣1）2=4cos2θ+sin2θ﹣2sinθ+1=+，∴当sin时，=．∴PQ的最大值为+1．【点评】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、坐标变换、参数方程化为普通方程及其应用、二次函数的单调性、三角函数的单调性与值域、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|，g（x）=|x﹣1|+3．（1）解为等式|g（x）|＜8；（2）若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由||x﹣1|+3|＜8，转化为﹣11＜|x﹣1|＜5，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+3|＜8，得﹣8＜|x﹣1|+3＜8∴﹣11＜|x﹣1|＜5，∴﹣4＜x＜6∴不等式的解集为{x|﹣4＜x＜6}…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣5a|+|2x+1|≥|（2x﹣5a）﹣（2x+1）|=|5a+1|，g（x）=|x﹣1|+3≥3，所以|5a+1|≥3，解得a≥0.4或a≤﹣0.8，所以实数a的取值范围为a≥0.4或a≤﹣0.8．…（10分）【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．。

2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知cos（π+α）=﹣，则cosα=（）A． B．﹣C．﹣D．2．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R3．（5分）已知数列{an }的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A．1 B．C．D．4．（5分）如果等差数列{an }中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（）A．21 B．30 C．35 D．405．（5分）如果，，那么“∥”是“k=﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx7．（5分）在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．8．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．109．（5分）若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]10．（5分）为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若tanα=3，则f（2015sin2α）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．201612．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{an }中，已知a5=10，a12=31，则公差d= ．14．（5分）在▱ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则= （用a，b表示）．15．（5分）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．16．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必做题（第17-21题为必做题，每小题12分，共计60分）17．（12分）已知公差大于零的等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+1}的前n项和．18．（12分）已知向量=（1，﹣sin），=（sinx，2sin）．函数f（x）=•+，（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在区间[0，]的最小值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．20．（12分）设函数f（x）=4lnx+ax2+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．21．（12分）已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a＞0，b＞0，且a2+3b2=3，若a+b≤m恒成立．（1）求m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，求实数x的取值范围．2020-2021学年四川省绵阳市南山中学高三（上）9月月考数学（文科）试题参考答案一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知cos（π+α）=﹣，则cosα=（）A． B．﹣C．﹣D．【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得cosα的值．【解答】解：∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣，∴cosα=，故选：D．【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．2．（5分）若集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则集合A可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R【分析】集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，则故A⊆B，进而可得答案．【解答】解：∵集合B={x|x≥0}，且A∩B=A，故A⊆B，故A答案中{1，2}满足要求，故选：A【点评】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，难度不大，属于基础题．3．（5分）已知数列{an }的首项为a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第4项是（）A．1 B．C．D．【分析】利用递推关系即可得出．【解答】解：∵a1=1，且满足an+1=an+，则=1，同理可得：a3=，a4=．故选：B．【点评】本题考查了数列递推关系与通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）如果等差数列{an }中，a5+a6+a7=15，那么a3+a4+…+a9等于（）A．21 B．30 C．35 D．40【分析】由性质可得a5+a6+a7=3a6=15，解之可得a6．所以a3+a4+…+a9=7a6，代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a5+a6+a7=3a6=15，解得a6=5．所以a3+a4+…+a9=7a6=35，故选C．【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．5．（5分）如果，，那么“∥”是“k=﹣2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由∥可得k2=4，解可得k的值，即可利用充要条件的判断方法判断得答案．【解答】解：根据题意，∥．，，可得k2=4，k=2或k=﹣2，所以，，那么“∥”是“k=﹣2”的必要不充分条件．故选B．【点评】本题考查向量平行的坐标表示，解题时注意向量的表示方法，充要条件的判断方法．6．（5分）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+）B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，诱导公式的应用，属于基础题．7．（5分）在△ABC中，，则最小角为（）A．B．C．D．【分析】比较三条边的大小，可得c边最小，得C为最小角．利用余弦定理算出cosC=，结合C为三角形的内角，可得C=，可得本题答案．【解答】解：∵在△ABC中，，∴c为最小边，可得C为最小角由余弦定理，得cosC===∵C为三角形的内角，可得C∈（0，π），∴C=，即为△ABC的最小角为．故选：B【点评】本题给出三角形的三条边的大小，求它的最小内角．考查了三角形大边对大角和余弦定理等知识，属于基础题．8．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则|+|=（）A．B．C．2D．10【分析】通过向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．【解答】解：因为x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故选B．【点评】本题考查向量的基本运算，模的求法，考查计算能力．9．（5分）若函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，则正实数a的取值范围是（）A．（0，1] B．[0，1] C．（0，2] D．[0，2]【分析】利用已知条件，求出2x的范围，得到不等式求解即可．【解答】解：在（﹣∞，1]上2x∈（0，2]．函数f（x）=2x﹣a2﹣a在（﹣∞，1]上存在零点，可得0＜a2+a≤2，解得a∈（0，1]．故选：A．【点评】本题考查函数的零点，以及不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．10．（5分）为了得到y=cos2x，只需要将y=sin（2x+）作如下变换（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【分析】利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将y=sin（2x+）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=cos2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，若tanα=3，则f（2015sin2α）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2016【分析】根据三角函数的关系，利用弦化切，计算sin2α的值，利用函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．【解答】解：∵tanα=3，∴sin2α=2sinαcosα=2×===，则f（2015sin2α）=f（2015×）=f（3×403），∵f（x）是定义在R上周期为3的奇函数，∴f（3×403）=f（0）=0，则f（2015sin2α）=0，故选：B．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据三角函数的关系求出sin2α的值，结合函数的奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．12．（5分）已知y=f（x）是（0，+∞）上的可导函数，满足（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1）恒成立，f（1）=2，若曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y=g（x），且g（a）=2016，则a等于（）A．﹣500.5 B．﹣501.5 C．﹣502.5 D．﹣503.5【分析】令F（x）=x2f（x），讨论x＞1，0＜x＜1时，F（x）的单调区间和极值点，可得F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，求得f（x）在（1，2）处的切线方程，再由g（a）=2016，解方程可得a的值．【解答】解：令F（x）=x2f（x），由（x﹣1）[2f（x）+xf′（x）]＞0（x≠1），可得x＞1时，2f（x）+xf′（x）＞0即2xf（x）+x2f′（x）＞0，即F（x）递增；当0＜x＜1时，2f（x）+xf′（x）＜0即2xf（x）+x2f′（x）＜0，即F（x）递减．即有x=1处为极值点，即为F′（1）=0，即有2f（1）+f′（1）=0，由f（1）=2，可得f′（1）=﹣4，曲线f（x）在点（1，2）处的切线为y﹣2=﹣4（x﹣1），即有g（x）=6﹣4x，由g（a）=2016，即有6﹣4a=2016，解得a=﹣502.5．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的运算法则的逆用，以及函数的单调区间和极值点，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在等差数列{an }中，已知a5=10，a12=31，则公差d= 3 ．【分析】利用等差数列的通项公式能求出公差．【解答】解：∵等差数列{an }中，a5=10，a12=31，∴公差d====3．故答案为：3．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．14．（5分）在▱ABCD中，=，=，=3，M为BC的中点，则= ﹣+（用a，b表示）．【分析】本题是一个用一组基底表示向量的问题，根据两个向量之间的关系，表示出和两个向量，要求的向量是这两个向量之和，用向量的减法运算得到结果．【解答】解：由=3（+），即=（+），又∵=+，∴=（+）﹣（+）=﹣+．故答案为：﹣+【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，是解题的一个中间过程，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决数学问题．15．（5分）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．16．（5分）函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为（4，2017）．【分析】作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，（d﹣1）=（）a﹣1=t，log2015由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案为：（4，2017）．【点评】本题考查分段函数及运用，考查数形结合的思想方法和运用，注意通过图象观察，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必做题（第17-21题为必做题，每小题12分，共计60分）17．（12分）已知公差大于零的等差数列{an }的前n项和为Sn，且满足a3•a4=117，a2+a5=22．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an+1}的前n项和．【分析】（1）利用等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系即可得出．（2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解（1）设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，由等差数列的性质，得a2+a5=a3+a4=22，所以a3，a4是关于x 的方程x2﹣22x+117=0的解，所以a3=9，a4=13，易知a1=1，d=4，故通项为an=1+（n﹣1）×4=4n﹣3．…（6分）（2）∵an =4n﹣3，∴an+1=4n﹣2．∴数列{an+1}是以2为首项，4为公差的等差数列，其前n项和=2n+=2n2．【点评】本题考查了等差数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）已知向量=（1，﹣sin），=（sinx，2sin）．函数f（x）=•+，（1）求f（x）的单调增区间；（2）求f（x）在区间[0，]的最小值．【分析】（1）利用平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换可得f（x）=2sin （x+），再利用正弦函数的单调性，由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）即可求f（x）的单调增区间；（2）x∈[0，]⇒≤x+≤π，利用正弦函数的单调性即可求得（x）在区间[0，]的最小值．【解答】解：（1）f（x）=sinx﹣2sin2+=sinx+cosx=2sin（x+），由2kπ﹣≤x+≤2kπ+（k∈Z）得：f（x）的单调增区间为[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）…（6分）（2）∵x∈[0，]，∵≤x+≤π，∴0≤sin（x+）≤1，∴f（x）在[0，]上的最小值为0…（12分）【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算及三角函数中的恒等变换应用，突出考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列，（1）若a=1，b=，求sinC；（2）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．【分析】（1）由三角形内角和定理结合A，B，C成等差数列求得B，再由正弦定理求出A，则C可求，答案可求；（2）由a，b，c成等差数列，可得a，b，c的关系式，再结合余弦定理可得a=c，则可判断△ABC的形状．【解答】解：（1）由A+B+C=π，2B=A+C，得B=．由，得，得sinA=，又0＜A＜B，∴A=，则C=．∴sinC=1；（2）证明：由2b=a+c，得4b2=a2+2ac+c2，又b2=a2+c2﹣ac，得4a2+4c2﹣4ac=a2+2ac+c2，得3（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=C，又A+C=，∴A=C=B=，∴△ABC是等边三角形．【点评】本题考查解三角形，关键是对A，B，C成等差数列的应用，是中档题．20．（12分）设函数f（x）=4lnx+ax2+bx（a，b∈R），f′（x）是 f（x）的导函数，且1和4分别是f（x）的两个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调减区间；（Ⅱ）若对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，求实数λ的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到关于a，b的方程，解出a，b的值，从而求出f（x）的解析式，求出函数的递减区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性问题转化为“∃x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“∃x2∈[1，e]，使λ＜成立”，求出λ的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=+2ax+b=（x＞0），∵1和4别是f（x）的两个极值点，∴1和4别是f′（x）=0的两根，∴1+4=﹣，1×4=，解得a=，b=﹣5，∴f（x）=4lnx+x2﹣5x．…（3分）由上得f′（x）=+x﹣5=（x＞0））由f′（x）＜0，解得1＜x＜4．故f（x）的单调递减区间为（1，4）…（4分）（Ⅱ）对于∀x1∈[1，e]，∃x2∈[1，e]，使得f（x1）+λ[f′（x2）+5]＜0成立，⇔等价于“∃x2∈[1，e]，使得λ[f′（x2）+5]＜[﹣f（x1）]min，x1∈[1，e]．由上可得：x1∈[1，e]，f（x1）单调递减，故﹣f（x1）单调递增，∴[﹣f（x1）]min=﹣f（1）=；…（6分）又x2∈[1，e]，时，f′（x2）+5=+x2＞0且在[1，2]上递减，在[2，e]递增，∴[f′（x2）]min=f′（2）=4，…（8分）从而问题转化为“∃x2∈[1，e]，使λ（x+）＜”，即“∃x2∈[1，e]，使λ＜成立”，故λ＜==，∴λ∈（﹣∞，）．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道综合题．21．（12分）已知f（x）=x2﹣alnx，a∈R．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；（3）设g（x）=f（x）﹣2x，若g（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：g（x1）+g（x2）＞﹣．【分析】（1）求出f（x）的导数，对a讨论，导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；（2）由（1）可得f（x）的最小值为﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，求出导数，单调区间和最值，即可得到a=2；（3）求出g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．求得导数g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，运用判别式大于0和韦达定理，求出g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2，化简整理可得m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，求得导数和单调性，即可得证．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣alnx的导数为f′（x）=2x﹣=，x＞0，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增；当a＞0时，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减；（2）当a＞0时，由（1）可得x=处f（x）取得极小值，也为最小值，且为﹣ln，由题意可得﹣ln=1，令h（x）=x﹣xlnx，h′（x）=1﹣（1+lnx）=﹣lnx，当x＞1时，h′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜1时，h′（x）＞0，g（x）递增．即有x=1处h（x）取得极大值，且为最大值1，则﹣ln=1的解为a=2；（3）证明：g（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x﹣alnx，x＞0．g′（x）=2x﹣2﹣=，由题意可得x1，x2（x1＜x2）为2x2﹣2x﹣a=0的两根，即有△=4+8a＞0，解得﹣＜a＜0，x 1+x2=1，x1x2=﹣，g（x1）+g（x2）=x12﹣2x1﹣alnx1+x22﹣2x2﹣alnx2=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）﹣aln（x1x2）=1+a﹣2﹣aln（﹣）=a﹣aln（﹣）﹣1，令m（a）=a﹣aln（﹣）﹣1，﹣＜a＜0，可得m′（a）=1﹣（ln（﹣）+1）=﹣ln（﹣）＞0，即有m（a）在（﹣，0）递增，可得m（a）＞m（﹣），由m（﹣）=﹣+ln﹣1=﹣﹣ln2＞﹣﹣1=﹣．则有g（x1）+g（x2）＞﹣．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和构造函数的思想，同时考查二次方程的韦达定理的运用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．（II）射线OT：θ=（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（II）联立，化为：ρ2﹣ρ﹣2=0，ρ＞0，解得ρ=2．射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点．联立，解得ρ=6，射线OT：θ=（ρ＞0）与直线l交于B，∴线段AB的长=6﹣2=4．【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直参数方程化为普通方程、曲线与射线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a＞0，b＞0，且a2+3b2=3，若a+b≤m恒成立．（1）求m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，求实数x的取值范围．【分析】（1）使用柯西不等式求出a+b的最大值极为m的最小值；（2）根据（1）的结果可知2|x﹣1|+|x|≥4，去绝对值符号解不等式即可．【解答】解：（1）∵a＞0，b＞0，（a2+3b2）（5+）≥（a+b）2，∴a+b≤==4．∴m的最小值为4．（2）∵2|x﹣1|+|x|≥a+b对a＞0，b＞0恒成立，+b的最大值为4，∴2|x﹣1|+|x|≥4．∴或或，解得x≤﹣或x≥2．【点评】本题考查了柯西不等式的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．。

四川省绵阳南山中学2020届高三9月月考数学(文史类)一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个遗项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A ＝{}{}223,50x x B x z x x -<<=∈-<，则A∩B ＝( )A. {}1,2B.{2,3}C.{4,2,3}D.{2,3,4}2.已知命题P: 2,10R x x ∀∈-+>，则⌝p 为( )A. 2,10x R x x ∀∉-+>B. 2000,0x R x x ∃∉-+≤C. 2,10x R x x ∀∈-+≤D. 2000,10x R x x ∃∈-+≤ 3.设命题p:2x ＜2，命题q:x 2＜1，则P 是q 成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知角α的终边过点P(-8m ，-6sin30°)，且cos 45α=-，则m 的值为( )A. 12±B. 12-C. 12D. 25.要得到函数sin 22()x x x R ∈的图象，可将y ＝2sin2x 的图象向左平移( )A. 6π个单位B. 3π个单位C. 4π个单位 D. 12π个单位 6.若函数()log 2(01)x f x x a a -=->≠且的两个零点是m ，n ，则( )A, mn =1 B. mn > 1 C. 0<mn<l D. 以上都不对7.函数2ln x xy x =图象大致是( )8.已知函数()sin()cos()f x a x b x παπβ=+++，且f (4)＝3，则f (2019)的值为( ) A,-1 B.1 C.3 D.-39.三次函数323()212f x ax x x =-++的图象在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行，则f (x )在区间(1，3)上的最小值是( )A. 83B. 116C. 113D. 5310.已知2sin cos 2sin ,sin 22sin θθαθβ+==，则( )A. cos 2cos αβ=B. 22cos 2cos βα=C. cos 22cos 2βα= D, cos 22cos 20βα+= 11.已知函数f (x )的定义域为R ，且21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-≤=⎨-≥⎩，若方程()f x x a =+有两个不同实根，则实数a 的取值范围为( )A.(-c∞，1)B. (,1)-∞C.(0,1)D. (,)-∞+∞12.若函数432()441f x x x ax x =++-+的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是( )A,(2,+ ∞) B. (1,)+∞ C. 1,)2+∞ D. 1,)2+∞ 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.曲线cos 2x y x =-在点(0，1)处的切线方程为___________。

2020届四川省绵阳市涪城区南山中学高三上学期9月月考试题数学（理）一、单选题1．已知全集{}{},12,0U R A x x B x x ==-<<=≥，则()U A B ⋃=ð( ) A ．{|02}x x ≤< B ．{|0}x x ≥ C ．{|1}x x -≤ D ．{|1}x x >-【答案】C【解析】由已知，得{}=1A B x x ⋃>-，又因U =R ，进而可求()U A B U ð. 【详解】由{}{}12,0A x x B x x =-<<=≥，可得{}=1A B x x ⋃>- 又由U =R ，可得()U A B ⋃=ð{}1x x ≤- 故选：C 【点睛】本题考查了集合的并集和补集运算，属于基础题. 2．“2x >”是“24x >”的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：由题可知，解得，因此当2x >时，可推出24x >，当24x >时，无法推出2x >，即“2x >”是“24x >”的充分非必要条件； 【考点】必要条件、充分条件以及冲要条件的判断 3．下列四个命题中，假命题为（ ） A ．x R ∀∈，20x > B ．x R ∀∈，2310x x ++> C ．x R ∃∈，lg 0x > D ．x R ∃∈，122x = 【答案】B【解析】试题分析：由题可知，对于选项A ，指数函数的值域为，对任意均成立，对于选项C ，当时，lg 0x >，对于选项D ，当时，122x =，于是选B【考点】命题的判断4．已知全集{|2}x M x y ==,集合2{|lg(2)}N x y x x ==-,则M N =I （ ） A 、(0,2) B 、(2,)+? C 、[0,)+? D 、(,0)(2,)-??U 【答案】A 【解析】略5．已知下列命题：①,122x R x x ∀∈-++>；②函数21()lg3f x x x=+-的零点有2个；③2x >是2320x x -+>的充分不必要条件；④命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，其中真命题有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】由绝对值不等式，得()()12123x x x x -++≥--+=，故①正确；由图象可知lg y x =和23y x =-在()0,+?上有两个交点，故②正确；由2320xx -+>，得2x >或1x <，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“≤”改为“>”，故④正确. 【详解】Q ()()12123x x x x -++≥--+=，∴ ,122x R x x ∀∈-++>，①正确；函数21()lg 3f x x x=+-定义域为()0,+?，由21()lg30f x x x=+-=， 得2lg 30x x -+-=即2lg 3x x =-，由图可知lg y x =的图象和23y x =-在()0,+?上有两个交点，所以方程2lg 3x x =-有两个解， 即21()lg3f x x x=+-有2个零点，②正确； 由2320x x -+>，解得2x >或1x <，所以2x >是2320x x -+>的充分不必要条件，③正确；命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，④正确. 故选：D 【点睛】本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.6．若函数()()f x g x 、分别是R 上的奇函数、偶函数,且满足()()f x g x -=e x ,则有 A ．()()()230f f g << B ．()()()023g f f << C ．()()()203f g f << D ．()()()032g f f <<【答案】B【解析】因为函数()()f x g x 、分别是R 上的奇函数、偶函数,且满足()()f x g x -=e x , 所以()()f x g x --=e x -,所以()()e e e e ,22x x x x f x g x ---+==-,且()e e 2x xf x --=为增函数. ()()()0102?3g f f =-<<<.故选B.点睛：本题主要考查函数解析式的求法，函数奇偶性的应用，单调性的应用. 通过函数的奇偶性构建.()()f x g x 、的方程组，进而求解方程组得函数解析式.通过函数的单调性的性质，由增函数减去减函数为增函数易知函数为增函数，即可比较大小.7．已知a b c d ,,,是实数，且c d >.则a b >是a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由已知，得()()()()0ac bd bc ad a b c d +-+=-->，又由c d >，得a b >，问题得解. 【详解】由已知得：()()()()ac bd bc ad ac bc ad bd +-+=---()()()()c 0a b d a b a b c d =---=-->c d >Q ，0c d ∴->因而0a b ->，即a b >所以a b >是a c b d b c a d ⋅+⋅>⋅+⋅的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查了充分条件与必要条件的判断，考查了计算能力，属于基础题. 8．设集合A ={1，2}，则满足{}1,2,3A B ⋃=的集合B 的个数是 A ．1 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】试题分析：因为{}123A B ⋃=，，，{}12A =，，所以,,,,故选C.【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用点评：此题考查了并集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．9．设函数sin cos y x x x =+的图象上的点()00,x y 处的切线的斜率为k ，记()0k g x =，则函数()k g x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【详解】 因为故选D10．若命题:[1,3]p a ∃∈，使2(2)20ax a x +-->为真命题，则实数x 的取值范围( )A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．()2,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】把2(2)2ax a x +--看成关于a 的一次函数即()2()22f a x x a x =+--，则由题意可得()10f >或()30f >即可. 【详解】令()22(2)2()22f a ax a x x x a x =+--=+--当0x =或1x =-时，不符合题意， 所以()f a 是关于a 的一次函数， 由题意得：()2120f x x =-->或()23320f x x =+->，解得1x <-或23x > 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数思想解决不等式问题，体现了转化思想，关键点是准确把握自变量和函数类型，避免陷入思考误区，属于中档题.11．已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( ) A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】D【解析】由1[1,2]x ∈-，得[]1()1,3f x ∈-，由[]21,2x ∈-，得[]2()2,22g x a a ∈-++，再由题意，得[][]1,32,22a a -⊆-++，问题得解. 【详解】由()22()211f x x x x =-=--，知 当1[1,2]x ∈-时，[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>，知当[]21,2x ∈-时，[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得：[][]1,32,22a a -⊆-++，即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩，解得3a ≥ 综上，3a ≥. 故选：D 【点睛】本题是常考题型，总结如下：对任意的1x I ∈，都存在2x I ∈，使得12()()f x g x =，则使()f x 的值域是()g x 值域的子集即可. 12．我们用以下方法求形如()()(()0)g x y f x f x =>的导数：先在两边同时取自然对数可得：ln ()ln ()y g x f x =，再在两边同时求导数可得：11()ln ()()()()y g x f x g x f x y f x '''⋅=+()()()()ln ()()()g x g x y f x g x f x f x f x ⎡⎤'''⇒=+⎢⎥⎣⎦,用此方法求得1x y x =的一个单调增区间是( ) A ．(0,4) B ．(3,6) C ．(0,)e D ．(2,3)【答案】C【解析】由已知求导，得121ln xxy x x-'=⋅，由0y '>，得1ln 0x ->，解之即可. 【详解】对1xy x =两边同时取自然对数可得：11ln ln ln xy x x x==对上式两边同时求导数可得：21ln 1ln x x y y x x '-⎛⎫'⋅== ⎪⎝⎭， 即()1221ln 1ln ,0x x x y y x x x x--'=⋅=⋅> 令0y '>，得1ln 0x ->∴0x e <<∴原函数的单调递增区间为()0,e故选：C 【点睛】本题属于信息题，题目提示做题方法，考查理解应用能力，以书本中复合函数求导为基础，但又超越课本内容，是新题型的重要命题方向，属于中档题.二、填空题13．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________. 【答案】12【解析】由已知，得11()ln 022g =<，进而1ln 211ln 22g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【详解】Q102> 11()ln 022g ∴=<1ln 2111()ln 222g g g e ⎡⎤⎛⎫∴=== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭【点睛】本题考查了分段函数求值和对数恒等式，考查了计算能力，属于基础题.14．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，只要保证()f x 在R 上不单调即可. 【详解】函数2y x ax =-+的对称轴为=2ax ， 当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意； 当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意. 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题以命题的形式考查了分段函数单调性，考查了转化的思想，属于中档题.15．设S 为非空数集，若,x y S ∀∈，都有,,x y x y xy S +-∈，则称S 为封闭集．下列命题 ①实数集是封闭集；②全体虚数组成的集合是封闭集； ③封闭集一定是无限集；④若S 为封闭集，则一定有0S ∈；⑤若,S T 为封闭集，且满足S U T ⊆⊆，则集合U 也是封闭集，其中真命题是 ． 【答案】①④【解析】试题分析：任意两个实数的和、差、积仍是实数，因此①正确；i 是虚数，但0i i -=是实数，②错误；集合{}0是封闭集也是有限集，③错误； 【考点】16．若函数()f x '是函数()f x 的导函数，且满足(0)1,3()()3f f x f x '==-，则不等式4()()f x f x '>的解集为____________.【答案】1ln 23(,)+∞【解析】由题意可设()bxf x ae c =+，由(0)1,3()()3f f x f x '==-，可得3,1,2b c a ==-=，由此求出()f x 的解析式，不等式可解.【详解】Q 3()()3f x f x '=-，()3()3f x f x '∴=+可设()bxf x ae c =+ 由(0)1f =，得1a c +=又3()()3f x f x '=-，即333bx bx ae c abe +=-333a ab c =⎧∴⎨=-⎩，解得3,1,2b c a ==-=3()21,x f x e x R ∴=-∈又4()()f x f x '>33846x x e e ∴->即32x e >解得1ln 23x >故答案为：1ln 23(,)+∞ 【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼3()()3f x f x '=-可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造x e 型函数，属于难题.三、解答题17．（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，a 2=4， S 5=35．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】解：（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．则∴，………………5分∴．∴前项和．……………7分（Ⅱ）∵，∴，且b1=e．………………8分当n≥2时，为定值，………………10分∴数列构成首项为e，公比为e3的等比数列．……………11分∴．………………13分数列的前n项的和是．【解析】l试题分析：（Ⅰ）由题可知，根据等差数列的通项公式以及前n项和公式，可解得，所以前n项和为；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，当时，，可知其是首项为e，公比为e3的等比数列，故；试题解析：（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．则∴，所以．故前项和．（Ⅱ）由于，故，且b1=e．当n≥2时，为定值，所以数列构成首项为e，公比为e3的等比数列．故．数列的前n项的和是．【考点】 等差数列、等比数列的性质 数列的证明18．（本小题共13分）已知函数的最小正周期为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间及其图象的对称轴方程．【答案】解：（Ⅰ）………………………2分, …………………………3分因为最小正周期为,所以，解得,………………………4分所以, …………………… 5分所以. …………………………6分（Ⅱ）分别由，可得，………8分所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为………………………10分由得.所以，图象的对称轴方程为. ………………………13分【解析】试题分析：（Ⅰ）,因为最小正周期为,可得, 可得,即可求出．（Ⅱ）分别由，即可求出单调区间；再根据，可得图象的对称轴方程．试题解析：解：（Ⅰ）,因为最小正周期为,所以，解得,所以,所以．（Ⅱ）分别由，可得，所以,函数的单调增区间为；的单调减区间为由得．所以，图象的对称轴方程为．【考点】1．三角函数的图象与性质；2．三角恒等变换．19．在中，分别为角所对的三边，已知222+c b a bc -=．（Ⅰ）求角的值；（Ⅱ）若3a =，3cos C =，求c 的长． 【答案】（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）．【解析】【试题分析】（1）依据余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-及题设222b c a bc +-=可求得1cos 2A =，进而求出A 的值；（2）先借助题设条件3cos C =，求出6sinC =，再运用正弦定理求出c 的长：(1)222222b +c -a 1πb +c -a =bc,cosA==,? 0<A<π,A=2bc 23∴(2) π36ABC A=a 3,cosC sinC 3==∴=n 中，， asinC c sinA ∴=由正弦定理有2620．已知函数()2ln 2(0)f x a x a x=+->. （1）若曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（2）若对于任意()0,x ∈+∞都有()()21f x a >-成立，试求a 的取值范围；（3）记()()()g x f x x b b R =+-∈.当1a =时，函数()g x 在区间1,e e -⎡⎤⎣⎦上有两个零点，求实数b 的取值范围。

2022年9月绵阳南山中学2020级高三上期九月月考数学试题(理工类)命题人：刘盟审题人：青树国（时间：120分钟分数：150分）本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共4页．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上，并把对应的准考证号用2B 铅笔涂黑．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试题卷上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}{}0,1,2,3,4,5,1,3,5,2U A B ===，则()U A B =ð∪（）A ．{}2B ．{}1,2,3,5C ．{}0,2,4D ．∅2．已知命题:,sin 1p x R x ∃∈<﹔命题||:,e 1x q x R ∀∈≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假3．在ABC 中，“sin 2sin 2A B =”是“A B =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若4sin ,052πθθ=--<<，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．17B ．17-C ．7D ．7-5．基本再生数0R 与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0R =3.07，T =6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2≈0.69)（）A ．1.5天B ．2天C ．2.5天D ．3.5天6．函数()()2sin e ex x x f x π-=+在区间[]22-,上的图象为（）A．B．C ．D．7．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22xf x =-，则的值为（）A ．2-B ．1C ．1-D ．8．若要得到函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度9．已知090α︒≤<︒，且()2sin 361sin 22cos 18cos 2αα︒+=︒，则α=（）A ．18︒B ．27︒C ．54︒D ．63︒10．已知函数1()ln f x m x x=+的最小值为m -，则m =（）A ．21e B ．1eC ．eD ．2e 11．若函数()2f x +为偶函数，对任意的[)12,2,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则（）A ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()233log 6log 122f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．()()323log 12log 62f f f ⎛⎫>> ⎪⎝⎭12．设0.02a =，()2ln sin 0.01cos 0.01b =+， 1.2ln1.02c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．b c a<<D ．b a c<<()()()122023f f f ++⋅⋅⋅+0第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如果tan 2α=，那么2sin cos 4sin 3cos αααα+=-___________.14．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为y x =，则函数()y f x =的单调增区间为__________．15．设函数21,0()lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()220f x af x -+=恰有6个不同的实数解，则实数a 的取值范围为___________．16．设函数()sin sin (0)3f x x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]0,π上有且仅有2023个极值点，则ω的取值范围是___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第1页共4页一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共48分。

1.下列关系中，正确的是()A．0∈N +B．32∈Z C．π∉Q D．0∉N2.设集合A={2，1-a ，a 2-a +2}，若4∈A ，则a =（）A.-3或-1或2B.-3或-1C.-1或2D.-3或23.已知函数()xx f 1-=则函数()x f y =在[]42，上的最大值与最小值分别为（）21,41.A 4121.B --，2141.--，C 41,21.D 4.已知集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧><=<-=0,311,31x x x B x x A ,求=⋂A B C R )(（）A.{}32<<-x x B.{}32≤<-x x C.{}3≤x x D.{}3<x x 5.集合A={a ，b }，B={-1，0，1}，从A 到B 的映射f 满足f （a ）+f （b ）=0，那么这样的映射f 的个数有（）A.2个B.3个C.5个D.8个6.函数31)(++-=x x x f 的定义域为（）(]0,3.-A (]1,3.-B ()(]0,33,.-⋃-∞-C ()(]1,33,.-⋃-∞-D 7.函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A3a ≤-B3a ≥-C5a ≤D 3a ≥8.已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时，1)(2-+=x x x f ，那么0x <时，()f x =（）()1.2--=x x x f A ()1.2-+=x x x f B ()1.2+--=x x x f C ()1.2++-=x x x f D 9.已知()()的范围上的增函数，求是定义在a R x x x a x a x f ⎩⎨⎧≥+<+-=1,21,32（）223.≤<x A 23.>x B 223.≤≤x C 23.≥x D 10.在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系的图象可表示为()11.设,M P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集{|,}M P x x M x P -=∈∉且，则()M M P --等于()A．PB．MC．M PD．M P12.函数()()()b ax x x f +-=1为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f （3﹣x ）＜0的解集为（）()4,2.A ()()+∞⋃∞-,42,.B ()1,1.-C ()()+∞⋃-∞-,11,.D 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。

2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。

四川省绵阳南山中学2020届高三数学仿真模拟试题（一）文（含解析）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间为120分钟． 考生作答时，须将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数z 对应的点为(1,1)，则1zi =-（ ） A. 1-B. 1C. 2【答案】B 【解析】 【分析】1z i =+，代入计算得到答案.【详解】复数z对应的点为(1,1)，则1z i=+，()()()2112111112z ii i i i i i i --++====-=-----. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法，复数的模，复数对应坐标，意在考查学生的计算能力和转化能力.2. 已知集合2{2,1,0},10A B xx ⎧⎫=--=+<⎨⎬⎩⎭∣，则A B =（ ）A. (2,0)-B. [2,0]-C. {2,1,0}xx x x ≤-=-=∣或或D. {}1-【答案】B 【解析】 【分析】先求集合B ，再求A B ，即可得答案.【详解】由210x+<，解得20x -<<，则{20}B x x =-<< 所以{}20A B x x ⋃=-≤≤=[2,0]- 故选：B .【点睛】本题考查集合的并集运算，考查分式不等式的解法，属基础题.3. 已知5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 0.12c =，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.a cb >>【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，555log 32log 3log 9111422b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5555101log log log 0.1lo 10g 122212c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，由5log y x =在定义域内单调递增，则555log 10log 9log 3>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以555log 10log 9log 3111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选：A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.4. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）A. 3B. 11C. 38D. 123【答案】D 【解析】 【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；再将第三次循环的结果写出，输出结果． 【详解】解；经过第一次循环得到2123a =+=， 经过第二次循环得到23211a =+=， 经过第三次循环得到2112123a =+=， 不满足判断框的条件，执行输出123. 故选:D【点睛】本题考查程序框图中的循环结构，考查输出结果问题，属于基础题． 5. 若48,6(0)P m m Q m m =++=+≥，则P ，Q 的大小关系是（ ）A. P Q >B. P Q =C. P Q <D. 由m 的取值确定 【答案】C 【解析】 【分析】平方作差即可比较出大小关系．【详解】解：()224242122(4)(8)Q P m m m m ⎡=+-++++⎣-2122(4)(8)m m m =+-++()284m m =+-+，0m ≥，所以84m m +>+，即840m m +-+>22Q P ∴>，又P ，0Q >，P Q ∴<．故选：C ．【点睛】本题考查了数的大小比较方法、平方作差法、根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 函数2121x y =+-的部分图象大致为（ ） A.B.C .D.【答案】D 【解析】 【分析】计算函数在()0,∞+的值域即可判断结果.【详解】当()0,x ∈+∞时，21,>x所以210x ->，则2021>-x所以21121+>-x，故函数在()0,∞+的值域为()1,+∞ 故D 正确 故选：D【点睛】本题考查根据函数的解析式判断大致图像，对这种题型一般从定义域、奇偶性、单调性、特殊值、值域入手，属基础题.7. 甲、乙等3名同学打算参加社会公益活动，现有“环境保护”和“知识传播”两项公益活动，每个同学只参加一项活动，每项公益活动至少有一名同学参加，则甲、乙两人参加同一项公益活动的概率为（）A. 1 3B.115C.320D.120【答案】A【解析】【分析】利用捆绑法计算概率得到答案.【详解】根据捆绑法：一共有2232C A⋅种排法，甲、乙两人参加同一项公益活动有2222C A⋅种排法，故2222223213C ApC A⋅==⋅.故选：A.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.8. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D-中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，异面直线1B C与EF所成角最小时，其余弦值为（）A. 0B.1210D.1116【答案】C【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1B C 与EF 的夹角的余弦值，根据夹角最小即可求得结果．【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 在正方体1111ABCD A B C D -中, 点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2， 则1(0,0,0),(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ，1(2,0,2)B C =--,设(),0,0F m ()02m ≤≤，(2,1,0)EF m =--，设异面直线1B C 与EF 的夹角为θ，则1212||cos ||||122(2)121(2)EF B C EF B C m m θ⋅===⋅⋅-+⋅+-异面直线1B C 与EF 所成角最小时，则cos θ最大，即0m =时，10cos 5110214θ===⋅+. 故选：C.【点睛】本题考查异面直线及其所成的角的余弦值，解题方法是建立空间直角坐标系，用空间向量法表示距离、求角，属于中档题.9. 已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 321sin 2ααα=-，则cos α=（ ）A. 45 25 C. 355【答案】C【分析】化简式子，可得2sin cos22αα=，由平方关系求出2cos2α，最后利用二倍角的余弦公式，可得结果.cos2α【详解】由2221sin cos 2sin cos sin cos sin 222222ααααααα⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0,24απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos sin 22αα>cos sin22αα=-，又22cos cossin cos sin cos sin 222222ααααααα⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以cos sin cos sin cos 2222cos cos sin 222ααααααααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭则cos sincos 3222cos2ααααα+==化简可得：2222542sincos,sin cos cos 1,cos 22224225αααααα=+===， 所以23cos 2cos 125αα=-= 故选：C【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式的应用，本题关键在于根式里使用平方关系以及二倍角的正弦公式化简，考查计算能力，属中档题.10. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，交y 轴于点C ，||3AF =，则||:|BC AC =∣（ ）A.14B.12C.13D.15【答案】A 【解析】如图所示：根据相似得到3CF AF ==，32BF =，32CB =，得到比例关系. 【详解】\如图所示：312AP AM MP =-=-=，1OF =，故3CF AF ==，易知BC BQ AC AP =，即62BC BQ =，3BC BQ =，即()331BF BF -=-，解得32BF =， 故33322CB =-=，1:4BC AC =. 故选：A.【点睛】本题考查了抛物线中线段的比例关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 11. 若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤，则(a b c ⋅+)的取值范围为（ ） A. [0,1] B. 2] C. 2]D. 22⎡⎢⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】由0a b ⋅=得2a b +=，根据向量数量积的运算性质可得()1a b c +⋅≥，再结合()a b c a b c ⋅≤⋅++即可得结果.【详解】∵,,a b c 均为单位向量，0a b ⋅=，∴2a b +=，∴()()()20a c b c c a b c -⋅-=-+⋅≤，即()1a b c +⋅≥，且()2a b c a b c ⋅≤⋅=++，∴()a b c +⋅的取值范围为，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，属于中档题.12. 函数()cos(1)xf x e ax x x =+--，当0x >时，()0f x >恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. ()0,∞+ B. ()1,e -+∞C. (),e -∞D. (),e +∞【答案】B 【解析】 【分析】先令1x =可得1a e >-.又原不等式等价于()cos 10xe a x x +-->在()0,∞+上恒成立. 令()(),0,xe s x x x =∈+∞，利用导数可得()s x e ≥恒成立，再利用三角函数的性质结合放缩法可证明当1a e >-时()cos 10xe a x x+-->是恒成立的.【详解】取1x =，则有1(1)11cos(11)0f e a =+⨯-⨯->，故1a e >-.又0x >时，()0f x >恒成立等价于()cos 10xe a x x +-->在()0,∞+上恒成立.令()(),0,xe s x x x =∈+∞，()()21x e x s x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0s x '<，()1,x ∈+∞时，()0s x '>， 所以()s x 在()0,1上减函数，在()1,+∞为增函数，所以()s x e ≥，故当1a e >-时，有()cos 110xe a x e a x+--≥+->，综上，1a e >-. 故选：B.【点睛】本题考查含参数的不等式的恒成立，可通过赋值法缩小参数的范围，再将复杂不等式等价转化为简单不等式，利用导数或函数的性质证明不等式恒成立，本题属于难题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线22:14y C x -=，则其共轭双曲线离心率为__________．【解析】 【分析】本题首先可以求出双曲线C 的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率ce a=即可得出结果. 【详解】因为双曲线C 的解析式为2214y x -=，所以2a =，双曲线C 的实轴长为4，1b =，双曲线C 的虚轴长为2， 因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线， 所以双曲线C 的共轭双曲线实轴长为2，虚轴长为4， 此时1a =，2b =，故c ==55c e a ，【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.14. 已知圆22:20(0)A x y ax a +-=>被直线20x y +-=，则圆A 与圆22:4450B x y x y +++-=的位置关系是_______． 【答案】相交 【解析】 【分析】根据弦长公式计算得到1a =，再计算圆心距得到答案.【详解】圆22:20(0)A x y ax a +-=>，即()222x a y a -+=，圆心(),0a 到直线20x y +-=的距离为222222a d a ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得1a =或5a =-（舍去），1r =，圆22:4450B x y x y +++-=，即()()222213x y +++=，13R =，()22112213R r d R r -<=++=<+，故两圆相交.故答案为：相交.【点睛】本题考查了直线和圆，圆和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15. 2020年5月27日中国珠穆朗玛峰测高工程队顺利登顶，将在峰顶竖立觇标，安装GNSS （全球卫星导航系统），将对这座世界最高峰的高度进行最新测量，如在水平面上的A 处测得峰顶H 的仰角是45°，然后在另一点B 处测得峰顶H 的仰角是60°，若H 在水平面的射影为O （如图），且150,AOB AB a ︒∠==，则珠穆朗玛峰的最新高度OH =_________．【答案】217【解析】 【分析】假设OH h =，依据题意可得,AO BO ，然后使用余弦定理2222cos AB AO BO AO BO AOB =+-⋅⋅∠，简单计算即可得结果.【详解】设OH h =由题可知：45,60∠=∠=OAH OBH ，则3,3==AO h BO h ，在AOB 中，有2222cos AB AO BO AO BO AOB =+-⋅⋅∠又AB a ，所以22232cos1503=+-⋅⋅h ha h h则223217=⇒=a h h a故答案为：217a 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题.16. 如图，在三棱锥A BCD -，,AB AD BC ⊥⊥平面ABD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD 、BD 上，且EF AD ⊥．则下列结论中：正确结论的序号是________．①EF //平面ABC ； ②AD AC ⊥； ③EF //CD ；④直线AC 与EF 的距离等于直线BC 与EF 的距离． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线面平行，线面垂直的判定定理，以及线面距，简单判断可得结果. 【详解】由,AB AD EF AD ⊥⊥，所以EF //AB ， 由EF ⊄平面ABC ，AB平面ABC所以EF //平面ABC ，故①正确BC ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD又AD AB ⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABCAC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥，故②正确若EF //CD ，则EF //平面ACD ，又EF 与平面ACD 相交，故③错 由EF //平面ABC ，且,AC BC ⊂平面ABC所以直线AC 与EF 的距离等于直线BC 与EF 的距离， 即为EF 与平面ABC 的距离，故④正确 故答案为：①②④【点睛】本题考查线线、线面之间的位置关系，掌握线线、线面、面面的位置关系以及平行、垂直的判定定理和性质定理，审清题意，属基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,21(2)n n a S S n -==+≥．（1）证明{}n a 为等比数列；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和．【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21nn -⋅+. 【解析】 【分析】（1）由121n n S S -=+得()*12213,n n S S n n N--=+≥∈，两式做差，可得()*123,nn a n n N a -=≥∈，当2n =时，代回原式，解得22a =，所以212a a =，满足()*122,nn a n n N a -=≥∈，即可得证； （2）根据错位相减法求数列12n n b n -=⋅的前n 项和即可.【详解】解：（1）由121n n S S -=+得()*12213,n n S S n n N --=+≥∈，则()1122n n n n S S S S ----=-， 即12n n a a -=，即()*123,nn a n n N a -=≥∈， 当2n =时，2121S S =+，解得22a =，故212a a =．()*122,n n a n n N a -=≥∈， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得12n na ，则12n nb n -=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅①12121222(1)22n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅②①-②：2112222(1)21n n n n T n n --=++++-⋅=--故(1)21nn T n =-⋅+．【点睛】本题考查利用定义证明等比数列，错位相减求和法，解题时，需根据题干所给关系，对n 进行合理赋值，再运用等比数列的定义即可得证，考查计算化简的能力，属中档题. 18. 2020年新型冠状病毒肺炎（简称“新冠肺炎”）成为威胁全球的公共卫生问题，中医药在本次新冠肺炎的治疗中发挥了重要作用．研究人员对66例普通型新冠肺炎恢复期患者进行了中医临床特征分析，发现主要证型有气阴两虚证与肺脾气虚证，同时可能兼夹湿证．为研究这两种主要证型在兼夹湿证的难易上是否有差异，研究人员将湿证症状分级量化，将所有肺脾气虚证患者的量化分作成茎叶图．（1）若量化分不低于16分，即可诊断为兼夹湿证，请参考茎叶图，完成下面22⨯列联表．夹湿证 非夹湿证 合计气阴两虚 20 肺脾气虚 合计66（2）根据此资料，能否有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异？ 附：.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）列联表见解析；（2）有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异．. 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为12210-=，从而可完善列联表. （2）根据列联表计算观测值即可判断.【详解】解：（1）由茎叶图可得肺脾气虚证患者为兼夹湿证为12210-=， 列联表如下：（2）因为2266(40340)8.488 6.63554123036K -=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种主要证型在兼夹湿证的难易上有差异．【点睛】本题考查了完善列联表、独立性检验的基本思想，考查了考生的数据处理能力、分析能力，属于基础题.19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12,3AC AB BC AA ====，E 在棱1AA 上，且12AE A E =，F 是边BC 的中点，G 在线段AF 上．（1）求证：11EG B C ⊥； （2）求点F 到平面1BEC 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）31414. 【解析】 【分析】（1）由已知条件可证得BC ⊥平面AEF ，即可得,BC EG ⊥由11//BC B C ，即可证得结论； （2）借助11F BEC E BFC V V --=等体积转化，由已知求得112E BFC V -=，计算求得1142BEC S =，进而可求得点F 到平面1BEC 的距离．【详解】解：（1）如图，因为111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA BC ⊥， 又因为AC AB =，F 是边BC 的中点， 所以BC AF ⊥，又1AA AF A ⋂=，所以BC ⊥平面AEF ，EG ⊂平面AEF ，所以11,//BC EG BC B C ⊥，∴11EG B C ⊥（2）连接1FC ，在三棱锥1F BEC -中，11F BEC E BFC V V --=，因为2,2AC AB BC ===，所以三角形ABC 为直角三角形， 则三棱锥1E BFC -的高1AF ==，132BFC S=，112E BFC V -=， 又在三角形1BEC 中，1113,6,3BC BE EC === 由余弦定理11187cos BEC BEC ∠=∠=， 所以114BEC S=， 设点F 到平面1BEC 的距离为h ， 则由11F BEC E BFC V V --=得：11132BEC Sh =得314h =，故点F 到平面1BEC. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质定理，考查等体积法求点到面的距离，考查逻辑推理能力和计算能力，难度一般.20. 已知函数1()ln (0),()1f x x ax ag x x =->=+． （1）若直线0(0)x y b b ++=<是函数()f x 与()g x 的公切线，求a ，b 的值：（2）函数()4(1)()()h x a g x f x =--，且函数()y h x '=只有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）211a e =+；1b =-；（2）1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）假设公切线与两函数的切点，然后利用函数在某点处的几何意义，可得切点，简单计算即可得a ，b（2）计算()h x '，依据题意可得2(31)10ax a x +-+=在0x >时无解，然后构造函数2()(31)1x ax a x ϕ=+-+，计算3102(0)0a a ϕ-⎧-≤⎪⎨⎪⎩或23102(31)40a aa a -⎧->⎪⎨⎪∆=--<⎩ ,可得结果. 【详解】（1）设公切线与函数(),()y f x y g x ==的切点分别是()()1122,,,x y x y ， 由21()(1)g x x '=-+，所以()22111x -=-+， ∴220,1x y ==代入切线方程得1b =-； 又由1()f x a x '=-，∴111a x -=-，∴111x a =-，11ln 11a y a a =---，代入切线方程得211a e =+（2）因为()ln (0)1h xx ax x x =-+>+， 所以()23222(1)(31)1(21)(32)1()(1)(1)x ax a x ax a x a x h x x x x x -+-++----'==++， 由己知()y h x '=只有一个零点，则()2(1)(31)10x ax a x -+-+=只有一解1x =， 所以2(31)10ax a x +-+=在0x >时无解； 当0a =时，得1x =，不符合题意，故0a ≠ 设2()(31)1x ax a x ϕ=+-+，则3102(0)0a aϕ-⎧-≤⎪⎨⎪⎩或23102(31)40a a a a -⎧->⎪⎨⎪∆=--<⎩ 所以13a ≥或1193a <<， 故实数a 的取值范围为：1,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，熟悉曲线“在”，“过”某点处的切线方程的求法，以及等价转化思想的灵活应用，考验分析能力以及计算能力，属中档题.21. 定义：过椭圆上的一点（不与长轴的端点重合）与椭圆的两个焦点确定的三角形称为椭圆的焦点三角形；已知过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P （不与长轴的端点重合）的焦点三角形12F PF ，且12F PF θ∠=．（1）求证：焦点三角形12F PF 的面积为定值2tan2b θ；（2）已知椭圆:143C +=的一个焦点三角形为12F PF ，12F PF θ∠=；①若06πθ<<，求P 点的横坐标的范围；②若3πθ=，过点P 的直线l 与x 轴交于点M ，且122PF MPF MSS=，记2MPF α∠=，求sin α的值．【答案】（1）证明见解析；（2）①2x <或2x -<<-；②sin α=或12． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义、余弦定理及三角形面积公式推理运算即可；（2）①先设出P 点坐标，根据焦半径公式表示出12,PF PF ，根据余弦定理用点P 的横坐标表示出来，再利用θ的范围求出点P 的横坐标范围；②利用（1）的结论及条件先求出M 点坐标，然后在2PMF 中利用面积公式求出sin α即可.【详解】解：（1）证明：设12,PF m PF n ==，由椭圆定义有122,2m n a F F c +==，在三角形12F PF 中，由余弦定理得：2222cos 4m n mn c θ+-=， 即22442(1cos )a c mn θ-=+，所以12221sin sin tan 21cos 2F PF Smn b b θθθθ===+ . （2）①设(,)P x y，由已知得：12,1,2a b c e ====cos 1θ<<. 在三角形12F PF 中，由焦半径公式得：12122,2,222x xPF PF F F =+=-=， 由余弦定理得：222121212|2cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，代入并化简得：25)x >，故2x <或2x -<<- . ②由（1）可知11222122tan21PF M F PF PMF S F M Sb SMF θ====，可得1,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(3,0)M .（ⅰ）当1,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，设(,)P x y ， 在三角形12F PF 中，12122,2,222x x PF PF F F =+=-=， 由余弦定理得：2221212122cos3F PF PF PF PF F π=+-⋅得0,x y ==则P，所以2||2PM PF ==，所以221||sin 2PMF S PM PF α=⋅，12sin 2α=，所以sin 14α= . （ⅱ）当(3,0)M 时，同理可得1sin 2α=综上所述，sin 14α=或12． 【点睛】本题考查椭圆定义、焦半径公式、余弦定理和三角形面积公式，重点考查椭圆与三角形知识的综合应用，属于压轴题.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程是2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）点A ，B 在曲线C 上，且OA OB ⊥，求2211||||OA OB +的值． 【答案】（1）22123sin ρθ=+；（2）712. 【解析】【分析】（1）先计算出曲线的普通方程，然后根据cos ,sin x y ρθρθ==代入化简即可（2）根据（1）的条件，假设()()1122,,,A B ρθρθ,依据OA OB ⊥，可得212πθθ=+，然后计算221211ρρ+，简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：曲线C的参数方程是2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数） 则曲线C 的普通方程为：22143x y += 又cos ,sin x y ρθρθ== 所以2222cos sin 143ρθρθ+=，则22223cos 4sin 12ρθρθ+= 即22123sin ρθ=+ （2）设()()1122,,,A B ρθρθ,由OA OB ⊥，可得212πθθ=+由（1）可知：221222121212,3sin 3sin ρρθθ=++= 则22221112226sin sin 3sin 3sin 112||||121212πθθθθ⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭+=+=OA OB 2211226sin cos 117||||1212θθ+++==OA OB 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程相互转化，牢记cos ,sin x y ρθρθ==，222x y ρ=+，审清题意，细心计算，属中档题.23. 已知函数()|6|2|2|f x x x =-+-．（1）在直角坐标系中，画出函数()f x 的图像；（2）设()f x 的最小值为m ，若实数0,0,0x y z >>>，且x y z m ++=，求证：11194x y z ++≥． 【答案】（1）图象见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法去掉绝对值，可得函数的解析式，然后分段画出函数图象即可（2）根据图象可知函数的最小值4m =，然后计算1111()4⎛⎫++++⋅ ⎪⎝⎭x y z x y z 并使用基本不等式，可得结果.【详解】（1）310,2()2,26310,6x x f x x x x x -+<⎧⎪=+≤≤⎨⎪->⎩，作出()f x 的图像如下（2）由（1）可得，4,4m x y z =++=．1111111()4x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++⋅ ⎪⎝⎭ 134y z x z x y x x y y z z ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭ 19(3222)44≥+++= 当且仅当43x y z ===时取等 【点睛】本题考查含有多个绝对值函数图象的画法依据基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法，同时掌握绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+，属中档题.。

绵阳南山中学2024年秋高2022级高三上9月月考数学参考答案及评分标准一、单选题题号12345678答案CC BBCDDA二、多选题题号91011答案ACDACABD 三、填空题12、13、0四、解答题15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-==…………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=；……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而43sin 7C =，…………………………………….……..8分若(0,2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==…12分从而8 c =或 …………………………………..13分16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭.…………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16，因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，……………………………………………………...14分所以λ的取值范围为[)7,17.…………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110i i x x =-=∑，…………………………….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53=≈≈……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+．………………………………………….…………..13分当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=，由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分（2）(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a =…………………………………………………….……6分现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心.………………………………………..9分（3）2()666()f x x ax x x a '=-=-，3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点；i)若01a <<，即3()10f a a =->，()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>，x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点；…………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减.………………………….15分而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。

2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|y =lg (x +1)}，B ={x||x|<2}，则A ∩B =( ) A.(−2, 0) B.(0, 2) C.(−1, 2) D.(−2, −1)2. 若向量a →=(4, 2)，b →=(6, k)，若a → // b →，则k =( ) A.−12 B.12 C.−3 D.33. 下列判断正确的是( )A.“sin α=12”是“α=π6”的充分不必要条件 B.命题“若x ≠0，则xy ≠0”的逆否命题为真 C.命题“∀x ∈R ，2x>0”的否定是“∃x 0∈R ，2x 0>0”D.若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧¬q ”为真命题4. 函数y =log 2|x|x的图象大致是( )A.B.C. D.5. 已知奇函数f(x)满足f(x)=f(x +4)，当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x ，则f(log 212)=（ ） A.−43 B.2332C.34D.−386. 方程lg x +x =3的解所在区间为( ) A.(0, 1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3, +∞)7. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2+n +1，则{a n }的通项公式是( ) A.a n =2n B.a n ={3,n =1,2n,n ≥2C.a n =2n +1D.a n =3n8. 已知函数f(x)=x 2−cos x ，则f (35)，f(0)，f (−12)的大小关系是( )A.f(0)<f (35)<f (−12) B.f(0)<f (−12)<f (35) C.f (35)<f (−12)<f(0)D.f (−12)<f(0)<f (35)9. 若sin (α+π6)=13，则sin (2α+5π6)=( )A.79 B.13C.89D.2310. 将函数f (x )=√3sin (2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得到函数g (x )的图象，则g (x )在区间[−π8,π3]上的最小值为( )A.0B.−12C.−√32D.−√311. 函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0, ω>0, |φ|<π2)的部分图象如图所示，为了得到y =sin 2x 的图象，只需将f(x)的图象( )A.向右平移π3个单位 B.向右平移π6个单位 C.向左平移π3个单位D.向左平移π6个单位12. 设锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =1，A =2C ，则△ABC 周长的取值范围为( ) A.(0,2+√2) B.(0,3+√3)C.(2+√2,3+√3)D.(2+√2,3+√3]二、填空题若x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0,x −2y +1≤0,2x −y +2≥0，则z =3x +y 的最大值为________.曲线y =x 2+ln x 在点(1,b )处的切线方程与直线ax −y −1=0垂直，则a +b =________．等差数列{a n }中，a 2+a 7+a 12=24，则S 13=________．如图，一栋建筑物AB 高(30−10√3)m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B ，M ，D 三点共线）测得对楼顶A ，塔顶C 的仰角分别是15∘和60∘，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30∘，则通信塔CD 的高为________m ．三、解答题已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和且S 9=−a 5． (1)若a 3=−4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1<0，求使S n ≤a n 的n 的取值范围．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a cos A −b cos C =c cos B ． (1)求角A ；(2)若a =√3，△ABC 的面积为3√34，求△ABC 的周长．设函数f (x )=−x 3+ax 2+bx +c 的导数f ′(x )满足f ′(−1)=0，f ′(2)=9． (1)求f (x )的单调区间；(2)f(x)在区间[−2,2]上的最大值为20，求c 的值；(3)若函数f (x )的图象与x 轴有三个交点，求c 的范围．已知向量a →=(2cos x,1)，b →=(cos x,√3sin 2x)，函数f (x )=a →⋅b →． (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)当x ∈[0,π6]时，求函数f (x )值域．已知函数f(x)=a(x 2−1)−ln x ．(1)若y =f(x)在x =2处取得极小值，求a 的值；(2)若f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立，求a 的取值范围．已知函数f (x )=|2x −a|+|x −1|,a ∈R .(1)若a =−2，解不等式f (x )≤5；(2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】对数函数的定义域 交集及其运算【解析】求解对数型函数的定义域化简集合A ，然后直接利用交集运算求解． 【解答】解：由x +1>0，得x >−1， ∴ A =(−1, +∞).又B ={x||x|<2}=(−2, 2)， ∴ A ∩B =(−1, 2)． 故选C . 2. 【答案】 D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得若a → // b →，则有4×k ＝2×6＝12，解可得k 的值，即可得答案． 【解答】解：根据题意，向量a →=(4, 2)，b →=(6, k)， 若a → // b →，则有4×k =2×6=12. 解得k =3. 故选D . 3. 【答案】 D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用 命题的否定 四种命题的真假关系 【解析】根据复合命题真假判断的真值表，要判断A 的真假；根据否命题的定义，给出原命题的否命题，可判断B 的真假；根据全称命题的否定方法，给出原命题的否定，可判断C 的真假；根据充要条件的定义及三角函数的定义，可判断D 的真假． 【解答】解：“sin α=12”时，“α=π6”不一定成立，但“α=π6”时，“sin α=12”一定成立，故“sin α=12”是“α=π6”必要不充分条件，故A 错误；“若x ≠0，则xy ≠0”的逆否命题为“若xy =0，则x =0”，可能x ≠0，y =0，命题为假，故B 错误； 命题“∀x ∈R ，2x >0”的否定，既要否定量词，又要否定结论，即“∃x 0∈R ，2x 0≤0”，故C 错误； 命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题¬q 是真命题，则命题“p ∧¬q ”为真命题，故D 正确. 故选D . 4.【答案】 C【考点】函数奇偶性的判断 函数的图象【解析】（1）先考虑函数的奇偶性，可以利用取极限的思想解题. 【解答】解：已知函数f(x)=y =log 2|x|x ，因为f(−x)=log 2|−x|−x=−log 2|x|x=−f(x) ，所以该函数为奇函数，排除选项B ；当x =1时，f(1)=0，当x =12时，f(12)=−112=−2<0，故排除选项A ；又x =4时，f(4)=12，当x =8时，f(8)=38<12，故排除选项D .故选C . 5. 【答案】 A【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数的求值【解析】推导出f(log 4184)＝−f(log 4184−4)＝−(4log 4184−4)，由此能求出结果． 【解答】解：∵ 奇函数f(x)满足f(x)=f(x +4)，当x ∈(0, 1)时，f(x)=2x ， ∴ f(log 212)=−f(−log 212)=−f(4−log 212)=−f(log 243)=−2log 243=−43.故选A . 6.【答案】 C【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】先确定函数为单调函数，再用零点判定定理判断即可得出结论． 【解答】解：构建函数f(x)=x +lg x −3，函数的定义域为(0, +∞)， 可知函数f(x)在(0, +∞)上为单调增函数. ∵ f(2)=lg 2−1<0，f(3)=lg 3>0， ∴ 函数f(x)的零点所在区间为(2,3)， ∴ 方程x +lg x =3的解所在区间是(2, 3). 故选C . 7.【答案】 B【考点】 数列递推式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为S n =n 2+n +1，①当n =1时，S 1=12+1+1=3，即a 1=3， 当n ≥2时，S n−1=(n −1)2+(n −1)+1，②①−②得，a n =n 2+n +1−[(n −1)2+(n −1)+1]=2n ， 所以a n ={3,n =1,2n,n ≥2.故选B . 8. 【答案】 B【考点】利用导数研究函数的单调性 偶函数【解析】求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行比较即可． 【解答】解：∵ 函数f(x)=x 2−cos x 为偶函数，∴ f (−12)=f (12)，f′(x)=2x +sin x . 当0<x <π2时，f′(x)=2x +sin x >0， ∴ 函数f(x)在(0, π2)上递增， ∴ f(0)<f (12)<f (35)， 即f(0)<f (−12)<f (35).故选B .9.【答案】 A【考点】二倍角的余弦公式 诱导公式【解析】本题主要考查三角函数中的角变换，同时考查了三角函数的诱导公式和二倍角公式，属于简单题．首先将sin (2α+5π6)变换为sin (2α+5π6)=sin [π2+2(α+π6)]，再利用诱导公式和二信角公式计算即可． 【解答】 解：sin (2α+5π6)=sin [π2+2(α+π6)]， =cos [2(α+π6)]=1−2sin 2(α+π6)=79.故选A ．10. 【答案】 D【考点】三角函数的最值函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】本题考查三角函数图象的变换以及三角函数图象的性质，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理以及数学运算． 【解答】解：将函数f(x)=√3sin (2x +π4)的图象先向右平移π6个单位长度， 得y =√3sin [2(x −π6)+π4]=√3sin (2x +π12)的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得g(x)=√3sin(4x+π12)的图象．当x∈[−π8,π3]时，4x−π12∈[−7π12,5π4]，因此当4x−π12=−π2，即x=−5π48时，g(x)取得最小值−√3．故选D．11.【答案】B【考点】正弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象正弦函数的图象【解析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f(x)的解析式．再根据函数y= A sin(ωx+φ)的图象的变换规律，可得结论．【解答】解：由函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象可得A=1，T=2πω=43[7π12−(−π6)]=π，∴ω=2．再由五点法作图可得2×(−π6)+φ=0，∴φ=π3．故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)．故把f(x)=sin2(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)=sin2x的图象.故选B．12.【答案】C【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：在锐角△ABC中，由正弦定理得asin A=bsin B=csin C，∵A=2C，∴B=180∘−3C，又∵c=1，∴a=sin Asin C=sin2Csin C=2cos C，b=sin Bsin C=sin(180∘−3C)sin C=sin3Csin C，∵sin3C=sin(C+2C)=sin C cos2C+cos C sin2C =sin C⋅(1−2sin2C)+2sin C cos2C=sin C−2sin3C+2sin C⋅(1−sin2C)=sin C−2sin3C+2sin C−2sin3C=3sin C−4sin3C∴b=sin3Csin C=3−4sin2C，∴a+b+c=2cos C+4−4sin2C=2cos C+4cos2C=4(cos C+14)2−14∵△ABC是锐角三角形，∴{0∘<C<90∘，0∘<2C<90∘，0∘<180∘−3C<90∘，解得30∘<C<45∘，∴√22<cos C<√32，∴2+√2<a+b+c<3+√3，∴△ABC周长的取值范围为(2+√2,3+√3). 故选C.二、填空题【答案】4【考点】求线性目标函数的最值【解析】 此题暂无解析 【解答】解：如图所示，阴影部分表示可行域，平移直线3x +y =0，易知当直线z =3x +y 经过可行域内的点A(1,1)时，目标函数z =3x +y 取得最大值，且z max =3×1+1=4. 故答案为：4. 【答案】23【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】由点在曲线上，即可求出b ，再求出曲线在点(1,b)的切线，根据两直线垂直两直线斜率乘积为−1，求出a ，即可得解． 【解答】解：∵ (1,b)是曲线y =x 2+ln x 上的点， 则b =1，y ′=2x +1x ，显然曲线在点(1,b)处的切线方程的斜率k =3，则切线方程为y =3x −2.∵ 直线y =3x −2与直线y =ax −1垂直， 则3a =−1，解得a =−13，则a +b =1−13=23. 故答案为：23． 【答案】 104【考点】 等差中项等差数列的前n 项和【解析】由题意和等差数列的性质可得a 7的值，由等差数列的求和公式和性质可得S 13＝13a 7，代入计算可得． 【解答】解：∵ 等差数列{a n }中a 2+a 7+a 12=24，∴ 由等差数列的性质可得a 2+a 7+a 12=3a 7=24， 解得a 7=8， ∴ S 13=13(a 1+a 13)2=13×2a 72=13a 7=104.故答案为：104. 【答案】 60【考点】两角和与差的正弦公式 解三角形【解析】设AE ⊥CD ，垂足为E ，在△AMC 中，利用正弦定理，求出AC ，即可得出结论． 【解答】解：作AE ⊥CD ，垂足为E ，如图，sin 15∘=sin (45∘−30∘)=√2(√3−1)4， sin105∘=sin (60∘+45∘)=√2(√3+1)4. 在△AMB 中，AM =AB sin 15∘=20√6.∵ ∠AMC =180∘−15∘−60∘=105∘， ∴ ∠ACM =180∘−105∘−45∘=30∘， ∴ 由正弦定理得，ACsin 105∘=20√6sin 30∘，∴ AC =60+20√3，∴ CE =AC sin 30∘=30+10√3，∴ CD =AB +CE =30−10√3+30+10√3=60(m). 故答案为：60. 三、解答题【答案】解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为S 9=−a 5，故可得9a5=−a5，即a5=a1+4d=0.①又因为a3=a1+2d=−4，②联立①②式，解得a1=−8，d=2，故a n=2n−10．(2)S n≤a n，即d2n2+(a1−d2)n≤dn+a1−d.又由(1)中的①可知d=−14a1，代入上式可得：18a1n2−118a1n+54a1≥0.因为a1<0，则上式等价于18n2−118n+54≤0，解得1≤n≤10，故n的取值范围为n∈[1,10]且n∈N+．【考点】数列与不等式的综合等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】（1）根据题意，用等差数列的基本量表示通项和前n项和，列出方程组，求解即可．本题考查等差数列通项公式和前n项和基本量的计算．属综合基础题．（2）根据a1和公差之间的关系，将S n≤a n转化为关a1和n的不等式．结合a1<0，即可求得n的取值范围．【解答】解：(1)设数列{a n}的公差为d，因为S9=−a5，故可得9a5=−a5，即a5=a1+4d=0.①又因为a3=a1+2d=−4，②联立①②式，解得a1=−8，d=2，故a n=2n−10．(2)S n≤a n，即d2n2+(a1−d2)n≤dn+a1−d.又由(1)中的①可知d=−14a1，代入上式可得：18a1n2−118a1n+54a1≥0.因为a1<0，则上式等价于18n2−118n+54≤0，解得1≤n≤10，故n的取值范围为n∈[1,10]且n∈N+．【答案】解：(1)∵ 2a cos A−b cos C=c cos B，∴ 2sin A cos A−sin B cos C=sin C cos B，∴2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B，∴ 2sin A cos A=sin A.∵sin A≠0，可得cos A=12，∴ A=π3．(2)S=12bc sin A=3√34，∴ bc=3.∵a2=b2+c2−2bc cos A，∴b2+c2=6，∴(b+c)2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴ b+c=2√3，∴ △ABC的周长为a+b+c=3√3．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】(1)先由正弦定理，将2a cos A−b cos C=c cos B化为2sin A cos A−sin B cos C=sin C cos B，再化简整理，即可得出结果；(2)先由三角形面积公式，根据题意求出bc=3，再由余弦定理求出b2+c2=6，进而可求出b+c，即可得出结果．【解答】解：(1)∵ 2a cos A−b cos C=c cos B，∴ 2sin A cos A−sin B cos C=sin C cos B，∴2sin A cos A=sin B cos C+sin C cos B，∴ 2sin A cos A=sin A.∵sin A≠0，可得cos A=12，∴ A=π3．(2)S=12bc sin A=3√34，∴ bc=3.∵a2=b2+c2−2bc cos A，∴b2+c2=6，∴(b+c)2=b2+c2+2bc=6+6=12，∴ b+c=2√3，∴ △ABC的周长为a+b+c=3√3．【答案】解：(1)函数f(x)=−x3+ax2+bx+c，则导函数f′(x)=−3x2+2ax+b，f ′(x )满足f ′(−1)=0，f ′(2)=9， ∴ {−3−2a +b =0,−12+4a +b =9,得a =3，b =9，则f (x )=−x 3+3x 2+9x +c ，f ′(x )=−3x 2+6x +9=−3(x 2−2x −3)， 令f ′(x )=0，解得x =−1，x =3，由f ′(x )>0得−3(x 2−2x −3)>0，得x 2−2x −3<0，解得−1<x <3， 此时函数单调递增，即递增区间为(−1,3)，由f ′(x )<0得−3(x 2−2x −3)<0，得x 2−2x −3>0，解得x <−1或x >3， 此时函数单调递减，即递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)；综上所述，f(x)的递增区间为(−1,3)，f(x)的递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)． (2)由(1)知，当x =−1时，函数取得极小值f (−1)=1+3−9+c =c −5， f (−2)=8+12−18+c =2+c ，f (2)=−8+12+18+c =22+c ， 则f(x)在区间[−2,2]上的最大值为f (2)=22+c =20， 则c =−2．(3)由(1)知当x =−1时，函数取得极小值f (−1)=1+3−9+c =c −5， 当x =3时，函数取得极大值f (3)=−27+27+27+c =27+c ， 若函数f(x)的图象与x 轴有三个交点， 则{f (−1)=c −5<0，f (3)=27+c >0，得{c <5，c >−27， 得−27<c <5，即c 的范围是(−27,5)．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究函数的最值 利用导数研究函数的单调性【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)函数f(x)=−x 3+ax 2+bx +c ，则导函数f ′(x )=−3x 2+2ax +b ， f ′(x )满足f ′(−1)=0，f ′(2)=9， ∴ {−3−2a +b =0,−12+4a +b =9,得a =3，b =9，则f (x )=−x 3+3x 2+9x +c ，f ′(x )=−3x 2+6x +9=−3(x 2−2x −3)， 令f ′(x )=0，解得x =−1，x =3，由f ′(x )>0得−3(x 2−2x −3)>0，得x 2−2x −3<0，解得−1<x <3， 此时函数单调递增，即递增区间为(−1,3)，由f ′(x )<0得−3(x 2−2x −3)<0，得x 2−2x −3>0，解得x <−1或x >3， 此时函数单调递减，即递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)；综上所述，f(x)的递增区间为(−1,3)，f(x)的递减区间为(−∞,−1)，(3,+∞)． (2)由(1)知，当x =−1时，函数取得极小值f (−1)=1+3−9+c =c −5，f (−2)=8+12−18+c =2+c ，f (2)=−8+12+18+c =22+c ， 则f(x)在区间[−2,2]上的最大值为f (2)=22+c =20， 则c =−2．(3)由(1)知当x =−1时，函数取得极小值f (−1)=1+3−9+c =c −5，当x =3时，函数取得极大值f (3)=−27+27+27+c =27+c ， 若函数f(x)的图象与x 轴有三个交点， 则{f (−1)=c −5<0，f (3)=27+c >0，得{c <5，c >−27， 得−27<c <5， 即c 的范围是(−27,5)． 【答案】解：(1)f(x)=a →⋅b →=2cos 2x +√3sin 2x =√3sin 2x +cos 2x +1 =2sin (2x +π6)+1，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)．故f(x)的单调增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)． (2)由(1)知f(x)在[0,π6]上单调递增， ∴ 当x =π6时，f(x)max =3； 当x =0时，f(x)min =2.综上，函数f(x)的值域为[2,3]． 【考点】二倍角的余弦公式 数量积的坐标表达式三角函数的化简求值 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=a →⋅b →=2cos 2x +√3sin 2x =√3sin 2x +cos 2x +1 =2sin (2x +π6)+1，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2(k ∈Z)， 得kπ−π3≤x ≤kπ+π6(k ∈Z)．故f(x)的单调增区间是[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)． (2)由(1)知f(x)在[0,π6]上单调递增， ∴ 当x =π6时，f(x)max =3； 当x =0时，f(x)min =2.综上，函数f(x)的值域为[2,3]． 【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ， 因为y =f(x)在x =2处取得极小值，所以f ′(2)=4a −12=0，所以a =18.当a =18时，f(x)=18(x 2−1)−ln x ，令f ′(x)=14x −1x >0，x >2，f(x)单调递增； 令f ′(x)=14x −1x <0，0<x <2，f(x)单调递减， 即y =f(x)在x =2处取得极小值. 所以a 的值为18.(2)因为f ′(x)=2ax −1x .①当a ≤0时，f ′(x)<0，所以f(x)在[1, +∞)上单调递减，所以当x >1时，f(x)<f(1)=0，与题意矛盾； ②当a >0时，f ′(x)=2ax 2−1x，令f ′(x)>0，得x >√2a；令f ′(x)<0，得0<x <√2a ，(i)当2a>1，即0<a <12，当x ∈2a)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)<f(1)=0，与题意矛盾． (ii)当√2a≤1，即a ≥12，当x ∈[1, +∞)时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(1)=0，满足题意． 综上，a ≥12．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的极值【解析】（1）函数在极值点处导数为0，即可求实数a 的值；（2）若f(x)≥0在[1, +∞)上恒成立，分类讨论，求导数，利用函数的单调性，即可求实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ， 因为y =f(x)在x =2处取得极小值，所以f ′(2)=4a −12=0， 所以a =18.当a =18时，f(x)=18(x 2−1)−ln x ，令f ′(x)=14x −1x >0，x >2，f(x)单调递增；令f ′(x)=14x −1x<0，0<x <2，f(x)单调递减，即y =f(x)在x =2处取得极小值. 所以a 的值为18.(2)因为f ′(x)=2ax −1x .①当a ≤0时，f ′(x)<0，所以f(x)在[1, +∞)上单调递减， 所以当x >1时，f(x)<f(1)=0，与题意矛盾； ②当a >0时，f ′(x)=2ax 2−1x ，令f ′(x)>0，得x >√2a；令f ′(x)<0，得0<x <√2a ，(i)当2a>1，即0<a <12，当x ∈2a)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)<f(1)=0，与题意矛盾． (ii)当√2a≤1，即a ≥12，当x ∈[1, +∞)时，f ′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)≥f(1)=0，满足题意． 综上，a ≥12．【答案】解：(1)a =−2时，不等式为|2x +2|+|x −1|≤5．①当x ≤−1时，不等式化为−2x −2−x +1≤5，x ≥−2，此时−2≤x ≤−1； ②当−1<x <1时，不等式化为2x +2−x +1≤5，x ≤2，此时−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式化为2x +2+x −1≤5，x ≤43，此时1≤x ≤43． 综上所述，不等式的解集为{x |−2≤x ≤43}． (2)f(x)=|2x −a|+|x −1|=|x −a 2|+|x −a2|+|x −1|≥|x −a2|+|x −1|≥|(x −a)−(x −1)|=|a2−1|，所以f(x)min =|a2−1|=3， 又a <2， 所以a =−4．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析【解答】解：(1)a =−2时，不等式为|2x +2|+|x −1|≤5．①当x ≤−1时，不等式化为−2x −2−x +1≤5，x ≥−2，此时−2≤x ≤−1； ②当−1<x <1时，不等式化为2x +2−x +1≤5，x ≤2，此时−1<x <1； ③当x ≥1时，不等式化为2x +2+x −1≤5，x ≤43，此时1≤x ≤43． 综上所述，不等式的解集为{x |−2≤x ≤43}．(2)f(x)=|2x −a|+|x −1|=|x −a 2|+|x −a2|+|x −1|≥|x −a2|+|x −1|≥|(x −a2)−(x −1)|=|a2−1|，所以f(x)min =|a2−1|=3， 又a <2， 所以a =−4．。

秘密★启用前【考试时间：2022年9月26日15：00——17：00】绵阳南山中学2022年秋季高2020级9月月考数学试题（文科）【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题卡内，第Ⅱ卷的答案或解答写在答题卷上．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．)1．已知集合{3,1,2}{0,1,2,3}A B =-=，，则A B = （）A ．{1,2}B ．{3,0,1,2}-C ．{3,1,23}-，D ．{3,0,1,2,3}-2．已知2i z=+的共轭复数为z ，则()i z z -=（）A ．62i +B ．42i-C ．62i -D ．42i +3．已知向量(1,2),(sin ,cos )a b αα=-= ，若//a b，则tan α=（）A ．12-B ．2-C ．12D ．24．若曲线22y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则切线l 的方程为（）A ．430x y ++=B ．490x y +-=C ．430x y -+=D ．420x y --=5．函数sin 2()ln ||xf x x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．6．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（）A ．该人第五天走的路程为14里B ．该人第三天走的路程为42里C ．该人前三天共走的路程为330里D ．该人最后三天共走的路程为42里7．已知函数()2cos(2),(0)2f x x πϕϕ=+<<的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π8．下列说法中，正确的个数为（）（1）若a ，b 是非零向量，则“0a b ⋅> ”是“a 与b的夹角为锐角”的充要条件；（2）命题“在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆否命题为真命题；（3）已知命题p ：0x R ∃∈，20020x x ++≤，则它的否定是p ⌝：x R ∀∉，220x x ++>；（4）若“p 且q ”与“p ⌝或q ”均为假命题，则p 真q 假．A ．1B ．2C ．3D ．49．设0ω>，若函数π()2cos()2f x x ω=-在ππ[,]42-上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．1(0,2B ．3(1,]2C ．3[0,2D ．(0,1]10．在△ABC 中，4AB ACB π=∠=，O 是△ABC 外接圆圆心，是OC AB CA CB ⋅+⋅ 的最大值为（）A ．0B ．1C ．3D ．511．已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A ．1B ．1-C ．2D ．3-12．已知0.2653log 7log 6a b c ===，，，则（）A ．a b c>>B ．b c a>>C ．a c b>>D ．c a b >>第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，3965a a a +=+，则11S =_________．14．已知在ABC ∆中，点D 满足34BD BC =，点E 在线段AD (不含端点A ，D )上移动，若AE AB AC λμ=+ ，其中,R λμ∈，则μλ=_________．15．已知2cos(2)7sin(36ππαα+=+，则cos()3πα-=_________．16．已知函数ln ()x f x x =，关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等的实根，则实数m 的取值范围是_____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）已知向量cos ),(cos cos )a x,x b x,x == ，函数()f x a b =⋅．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及()f x 图象的对称轴方程；（Ⅱ）若[,44x ππ∈-，求()f x 的值域．18．（本小题满分12分）已知函数321()232a f x x x xb =+++存在极值，并且()f x 在1x =时取得极大值116．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 各项均为正数，n S 是{}n a 的前n 项的和，对任意的*n N ∈都有2232n n n S a a =+-．数列{}n b 各项都是正整数，121,4b b ==，且数列123,,,,n b b b b a a a a 是等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项的和n T ．20．（本小题满分12分）在①2sin tan a C c A =；②2cos 2a B c b =-；③22coscos 212B CA +=+；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知______________．（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若ABC ∆5，求a 的值．21．（本小题满分12分）已知函数()1ln 1=+++f x a x bx x．（Ⅰ）若24a b +=，当2a >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若1b =，3()()F x f x x=-，且当a ≥-()1F x ≥在区间[]1,2上有解，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为252,555x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是24cos +5ρρθ=．（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，点(2,0)P -，求11||||PA PB +的值．23．(本小题满分10分)[选修4-5：不等式选讲]已知函数()|||4|f x x a x a =+++．（Ⅰ）若1a =，求不等式()7f x ≤的解集；（Ⅱ）对于任意的正实数,m n ，且31m n +=，若()2mnf x m n≥+恒成立，求实数a 的取值范围．绵阳南山中学2022年秋季高2020级9月月考数学（文科）参考答案题号123456789101112答案D CA DA DCBDCBC13.5514.315.1416.1e em <-12.【详解】解：256lg 6lg 7lg 6lg5lg 7log 6log 7lg5lg 6lg5lg 6-⋅-=-=⋅因为2222lg 5lg 71lg 5lg 7lg 35lg lg 622+⎛⎫⎛⎫⋅<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2lg 6lg 5lg 70-⋅>，所以56log 6log 70->，即c b >，又0.20.23e >，令()e 1xg x x =--，则()e 1xg x '=-，所以当0x >时()0g x '>，当0x <时()0g x '<，所以()()min 00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5x f x x =-，则()11ln 555ln 55ln 5x f x x x-'=-=⋅，所以当5ln 5x >时()0f x '>，所以()f x 在5(,)ln 5+∞上单调递增，显然55ln 5>，又()50f =，即()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以0.20.256g 3e lo 65>>>，即a c b >>.16．()21ln -'=x f x x，可知函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，()210g t t mt =--=有两个不等的实根，则1210t t =-<，又关于x 的方程1()()f x m f x -=有三个不等的实根，所以1210e t t <<<，则211()10e e emg ==-->，解得1e e m <-．17.【详解】（1）23()2cos 2f x x x =+ 31cos 2sin 222x x +=+1sin(262x π++=，()f x ∴的最小正周期22T ππ==，令262x k πππ+=+，k Z ∈，可得612x k ππ=+，即()f x 图象的对称轴方程为612x k ππ=+，k Z ∈．（2）[4x π∈- ，4π，2[63x ππ∴+∈-，2]3π，3sin(2)[62x π∴+∈-，1]，可得113()sin(2)[622f x x π=++∈，3]2．18.解：解：(1)因为f (x )＝13x 3＋a2x 2＋2x ＋b ，所以f ′(x )＝x 2＋ax ＋2，1)＝13×13＋a 2×12＋2×1＋b ＝116，(1)＝12＋a ＋2＝0，＝－3，＝1，故f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋1，经检验f (x )在x ＝1时取得极大值，故符合题意，所以f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋1．(2)由(1)知f ′(x )＝x 2－3x ＋2，令f ′(x )＝x 2－3x ＋2＝0，解得x ＝1或x ＝2，所以x ∈[1,2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；x ∈(2,3]时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，则f (1)＝13－32＋2＋1＝116，f (2)＝13×23－32×22＋2×2＋1＝53，f (3)＝13×33－32×32＋2×3＋1＝52，所以f (x )min ＝53，f (x )max ＝52．19【解析】解：（1）当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，由10a >得11a =；当2n 时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-，所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以1113()()n n n n n n a a a a a a ----+=+，由0n a >知10n n a a -+>，所以113n n a a --=，所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列．于是，1121(1)333n a n n =+-=+.（2）由12141,2b b a a a a ====，所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b a -=，又1233n b n a b =+，所以112233n n b n a b -=+=，即1322n n b -=⨯-．于是，3223n n T n =⨯--20.【详解】解：（1）选①时，2a sin C ＝c tan A ；利用正弦定理得：2sin A sin C ＝sin C sin cos AA⋅，整理得：cos A ＝12，由于0＜A ＜π，所以A ＝3π．（2）由于1sin 244ABC S bc A bc ===△，解得bc ＝1．由于a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝5﹣（b ＋c ），利用余弦定理：22222222cos (5)(5)3a b c bc A b c b c bc a =+-=--=+-=--，解得a ＝115．选②时，2a cos B ＝2c ﹣b ；利用余弦定理：222222a c b a c b ac+-⋅=-，整理得222+2b c a bc bccosA -==，化简得：cos A ＝12，由于0＜A ＜π，所以A ＝3π．（2）由于1sin 244ABC S bc A bc ===△，解得bc ＝1．由于a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝5﹣（b ＋c ），利用余弦定理：22222222cos (5)(5)3a b c bc A b c b c bc a =+-=--=+-=--，解得a ＝115．选③时，22coscos 212B CA +=+，整理得：2cos()12cos 11BC A ++=-+，所以22cos cos 10A A +-=，解得1cos 2A =或－1（舍去），由于0＜A ＜π，所以A ＝3π．（2）由于1sin 244ABC S bc A bc ===△，解得bc ＝1．由于a ＋b ＋c ＝5，所以a ＝5﹣（b ＋c ），利用余弦定理：22222222cos (5)(5)3a b c bc A b c b c bc a =+-=--=+-=--，解得a ＝115．21.【解析】（1）因为()1ln 1=+++f x a x bx x，所以函数()f x 的定义域为(0)+∞，.由24a b +=，得1()ln (42)1f x a x a x x=++-+，则2[(2)1](21)()a x x f x x -+-'=，当4a =时，()0f x '≤，函数()f x 在(0)+∞，上单调递减；当24a <<时，1()002f x x '<⇒<<或12>-x a ，11()022f x x a '>⇒<<-，所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，12a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭，上单调递减，在1122，⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上单调递增；当4a >时，1()002f x x a '<⇒<<-或12x >，11()022f x x a '>⇒<<-，所以()f x 在102a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1122，⎛⎫ ⎪-⎝⎭a 上单调递增.（2）当1b =时，2()ln 1F x a x x x=-++，[12]x ∈，，则22222222224()1a a x a x ax F x x x x x ⎛⎫++- ⎪++⎝⎭'=++==.①当2204a -≥，即a -≤≤()0F x '≥，所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =.②当2204a -<，即a >时，设2220(80)x ax a ++=∆=->的两根分别为1x ，2x ，则12x x a +=-，122x x =，∴10x <，20x <，所以在区间[12]，上，222()0x ax F x x++'=>，所以()F x 在[12]，上单调递增，所以max ()(2)F x F =.综上，当a ≥-时，()F x 在区间[12]，上的最大值为(2)ln 221F a =+≥，∴1ln 2a -≥，所以实数a 的取值范围是1ln 2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22.解:(1)由2,555x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数),得220x y -+=,故直线l 的直角坐标方程为220x y -+=，由24cos +5ρρθ=,得22(2)9x y -+=,故曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=.(2)将直线l 的参数方程代人曲线C的普通方程并整理得25350t -+=,设,A B 对应的参数分别是12,t t ,则1212165,75t t t t +==,故1212121211165||||35t t t t PA PB t t t t +++===.23.【详解】解：（Ⅰ）原不等式为 |1||4|7x x +++≤，当4x ≤-时，得147x x ----≤，得6x ≥-，所以64x -≤≤-．当41x -<≤-时，得147x x --++≤成立，所以41x -<≤-，当1x >-时，147x x +++≤，所以11x -<≤．综上得不等式的解集为 61{|}x x -≤≤．（Ⅱ）因为,m n 为正实数，并且213m n m m m nmn n m n m++=+=+335m n n m =++≥+=，当m nn m=时取等号，当41m n ==时等号成立，所以2mn m n+的最大值15．又因为()()|4||3|f x x a x a a ≥+-+=，当x a =-时取到等号，要使()2mn f x m n ≥+恒成立，只需 |31|5a ≥．所以115a ≤-或151a ≥．附：双向细目表题号考点1集合的运算2复数的运算3向量平行、同角三角函数基本关系4切线方程5函数图像6数学文化、等比数列7三角函数的图象与性质8命题、充要条件9三角函数的图象与性质10向量运算、正弦定理11函数性质（奇偶性、周期性、对称性）12比较大小13等差数列14向量分解15三角恒等变换16函数与方程17三角函数的图象与性质18函数的极值与最值19数列的通项与求和20解三角形21函数的单调性与有解问题22极坐标与参数方程23不等式选讲。

2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）试卷一、选择题1. 已知A ={x ∈N ∗|x ≤3}，B ={x|x 2−4x ≤0}，则A ∩B =( ) A.{1,2,3} B.{1,2} C.(0,3] D.(3,4]2. 已知向量a →=(3−m,m )，b →=(1,2)，若a →//b →，则实数m 的值为( ) A.−2 B.2 C.−3 D.33. 下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A.y =−2x +1 B.y =x 3C.y =lg xD.y =1x4. “m ≥0”是“x 2+2x +m ≥0对任意x ∈R 恒成立”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )=x 2−2，则f(f (1))=( ) A.−1 B.−2C.1D.26. 已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f(1)的值为( )A.−√3B.−1C.1D.√37. 函数f(x)=(x +1x )ln |x|图象的大致形状为（ ）A. B.C. D.8. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=( ) A.34AB →−14AC →B.14AB →−34AC →C.34AB →+14AC →D.14AB →+34AC →9. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，且a 3，12a 5，a 4成等差数列，则a 3+a5a 4+a 6的值是( ) A.√5−12B.√5+12C.3−√52D.3+√5210. 已知α∈R ，sin α+2cos α=√102，则tan 2α=( )A.43B.34C.−34D.−4311. 已知函数f (x )=cos x −12x 2，记a =f (−log 215)，b =f (−2−0.3)，c =f(2log 2√3)，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.a <c <b D.b <c <a12. 已知偶函数f (x )的定义域为(−π2,π2)，其导函数为f ′(x )，当0<x <π2时，有f ′(x )cos x +f (x )sin x <0成立，则关于x 的不等式f (x )<2f (π3)cos x 的解集为( ) A.(0,π3)B.(π3,π2) C.(−π3,0)∪(0,π3) D.(−π2,−π3)∪(π3,π2)二、填空题设x ，y 满足约束条件 {x −2y ≥−2,3x −2y ≤3,x +y ≥1, 则x −y 的最大值为________.已知△ABC 的面积为S ，若4S =AB →⋅AC →，则sin A 的值为________.若两个正实数x ，y 满足2x +1y =2，且x +2y >m 2+2m 恒成立，则m 的取值范围是________.已知函数f (x )=(x −2)e x +e +1，g (x )=ax +x ln x ，对任意的m ∈[1e ,3]，总存在n ∈[1e ,3]使得g (m )≥f (n )成立，则a 的取值范围为________.三、解答题函数f (x )=sin 4x +2√3sin x cos x −cos 4x . (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)将y =f (x )的图象先向左平移π6个单位，再将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y =g (x )的图象．当x ∈[0,π4]时，求g (x )的值域．已知等比数列{a n }的首项为2，等差数列{b n }的前n 项和为S n ，且a 1+a 2=6，2b 1+a 3=b 4，S 3=3a 2.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n =a n −b n ，求数列{c n }的前n 项和．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin B =35 ，a cos B +(b −√2c)cos A =0. (1)求sin C 的值；(2)若a =15，D 为边AB 上的一点，且2AD =BD ，求CD 的长．已知函数f(x)=13x 3+ax 2+bx +a 2．(1)当a =−2，b =3时，若方程f(x)−m =0有1个实根，求m 的值；(2)当b =4时，若f(x)在(0, +∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)=ae x −sin x ，其中a ∈R .(1)当a =1时，证明：对∀x ∈[0, +∞)，f(x)≥1；(2)若函数f(x)在(0, π2)上存在极值，求实数a 的取值范围．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3t,y =−√3t (t 为参数)，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2sin θ (θ为参数)，以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ． (1)分别求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)设直线l 交曲线C 1于O ，A 两点，交曲线C 2于O ，B 两点，求|AB|的长．已知函数g (x )=|x +b|+|x −a|，a ∈R ，b ∈R 且b +a >0. (1)若函数g (x )的最小值为2，试证明点(a,b )在定直线上；(2)若b =3， x ∈[0,1]时，不等式g (x )≤|x +5|恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年四川省绵阳市某校高三（上）9月月考数学（文）试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】 交集及其运算 【解析】【解答】解：∵ A ={x ∈N ∗|x ≤3}={1,2,3}， B ={x|x 2−4x ≤0}={x|0≤x ≤4}， ∴ A ∩B ={1,2,3}. 故选A ． 2.【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】根据向量平行的性质，结合已知的向量坐标可以求解未知数m . 【解答】解：∵ 向量a →=(3−m,m )，b →=(1,2)，且a →//b →， ∴3−m 1=m2，解得：m =2. 故选B . 3. 【答案】 D【考点】函数单调性的判断与证明 【解析】【解答】解：A ，∵ y =−2x +1，则y ′=−2<0，∴ 函数y =−2x +1在定义域R 上单调递减，故A 不符合题意； B ，∵ y =x 3，则y ′=3x 2≥0，∴ 函数y =x 3在定义域R 上单调递增，故B 不符合题意；C ，由对数函数的性质可知，函数y =lg x 在定义域(0,+∞)上单调递增，故C 不符合题意；D，∵y=1x ，则y′=−1x2<0，∴函数y=1x在(−∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，但在定义域上不是单调函数，故D符合题意；故选D．4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根根据不等式恒成立可得△≤0得到m≥1，结合充要条件的定义进而求出答案．【解答】解：x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立⇔Δ≤0⇔m≥1.∵m≥0推不出m≥1，而m≥1可以推出m≥0，∴ “m≥0”是x2+2x+m≥0对任意x∈R恒成立”的必要不充分条件.故选A．5.【答案】C【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】【解答】解：∵当x>0时，f(x)=x2−2，∴f(1)=1−2=−1，∵函数f(x)为奇函数，∴f(−1)=−f(1)=1，∴f(f(1))=1.故选C.6.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】根据函数的部分图象求出函数解析式f(x)=2sin(πx+5π6)，即可求解f(1)=2sin(π+5π6)=−1．【解答】解：由图可知，A=2，12T=23−(−13)=1，∴ T =2，ω=2π2=π,∴ f (23)=2sin (π×23+φ)=−2.∵ 0<φ<π， ∴ φ=5π6，∴ f (x )=2sin (πx +5π6)，∴ f (1)=2sin (π+5π6)=−1.故选B ． 7.【答案】 D【考点】 函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ f(−x)=(−x +1−x )ln |−x|=−(x +1x )ln |x|=−f(x)， ∴ f(x)是奇函数，关于原点对称，排除A ，B ； 当x =2时，f(2)=52ln 2>0，排除C .故选D . 8.【答案】 A【考点】向量在几何中的应用 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意得，EB →=AB →−AE →=AB →−12AD →=AB →−12×12(AB →+AC →)=34AB →−14AC →. 故选A ． 9. 【答案】 A【考点】 等差中项等比数列的通项公式【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0，由题意和等差中项的性质列出方程，由等比数列的通项公式化简后求出q ，由等比数列的通项公式化简所求的式子，化简后即可求值． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，且q >0. ∵ a 3，12a 5，a 4成等差数列，∴ 2×12a 5=a 3+a 4，则a 3q 2=a 3+a 3q ， 化简得，q 2−q −1=0， 解得：q =1+√52或q =1−√52(舍),则q =√5+12， ∴ a 3+a5a 4+a 6=a 3+a 5a3q+a 5q=1q =√5+1=√5−12. 故选A .10.【答案】 C【考点】二倍角的正切公式同角三角函数间的基本关系【解析】根据同角三角函数关系式和万能公式化简后求出tan α，利用二倍角公式求出tan 2α的值． 【解答】解：∵ sin α+2cos α=√102， ∴ (sin α+2cos α)2=52，即sin 2α+4sin αcos α+4cos 2α=52， 整理得，tan 2α+4tan α+4tan 2α+1=52，解得，tan α=3或−13． ∴ tan 2α=2tan α1−tan 2α=−34． 故选C .11. 【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较奇偶性与单调性的综合【解析】利用导数求出函数的单调性，再结合函数为偶函数即可求解．【解答】解：因为f(x)的定义域为R，且f(−x)=cos(−x)−12(−x)2=cos x−12x2=f(x)，所以f(x)是偶函数．因为f′(x)=−sin x−x，f″(x)=−cos x−1≤0，所以f′(x)是减函数．因为f′(0)=0，所以当x≥0时，f′(x)≤0，所以f(x)在[0,+∞）上单调递减．因为−log215=log25>2，0<2−0.3<1，1<2log2√3=log23<2，所以−log215>2log2√3>2−0.3.又因为f(−2−0.3)=f(2−0.3)，且f(x)在[0,+∞）上单调递减，所以f(−log215)<f(2log2√3)<f(−2−0.3)，即a<c<b.故选C.12.【答案】D【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究不等式恒成立问题函数奇偶性的性质【解析】通过构造函数讨论单调性可求解. 【解答】解：令g(x)=f(x)cos x，∵ f(x)为定义在(−π2,π2)的偶函数，∴ g(x)为定义在(−π2,π2)的偶函数.又∵当0<x<π2时，有f′(x)cos x+f(x)sin x<0成立，∴g′(x)=f′(x)cos x+f(x)sin xcos2x <0在(0,π2)上恒成立，即g(x)=f(x)cos x 在(0,π2)上单调递减.将f (x )<2f (π3)cos x 化为 f(x)cos x <f(π3)cos π3，即g(x)<g(π3)，∴ |x |>π3，即x >π3或x <−π3. ∵ f (x )的定义域为(−π2,π2)，∴ 不等式的解集为(−π2,−π3)∪(π3,π2). 故选D.二、填空题【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】画出可行域，利用目标函数变形为y =x −z ，当直线y =x −z 在y 的截距最小得到z 的最大值． 【解答】解：画出约束条件表示的平面区域，如下图阴影所示，令z =x −y ，则z =x −y 变形为y =x −z ，当直线y =x −z 经过点A 时，在y 轴的截距最小， 此时z 最大.由{x +y =1,3x −2y =3,求得：A (1,0)， 所以x +y 的最大值为1−0=1. 故答案为：1. 【答案】√55【考点】 正弦定理平面向量数量积的运算【解析】利用三角形面积公式以及数量积运算得到cos A =2sin A ，结合同角基本关系即可得到答案.【解答】解：由题知4S =AB →⋅AC →，即4×12AB ⋅AC ⋅sin A =|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，整理得：cos A =2sin A . ∵ cos 2A +sin 2A =1， ∴ 5sin 2A =1， ∴ sin A =√55. 故答案为：√55. 【答案】−√5−1<m <√5−1 【考点】函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用【解析】x +2y >m 2+2m 恒成立，即m 2+2m <x +2y 恒成立，只需求得x +2y 的最小值即可． 【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x+1y =2，∴ x +2y =12(x +2y)(2x+1y)=12(2+4y x+xy+2)≥12×(4+4)=4（当且仅当x =4，y =2时取到等号）． ∴ (x +2y)min =4．∵ x +2y >m 2+2m 恒成立， ∴ m 2+2m <(x +2y)min =4，解得：−√5−1<m <√5−1． 故答案为：−√5−1<m <√5−1． 【答案】 [1,+∞） 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 【解析】恒成立问题转化为函数最值问题，构造函数，利用导数求出函数的最值，问题即可得到解决. 【解答】解：根据题干对任意的m ∈[1e ,3]，总存在n ∈[1e ,3]， 使得g (m )≥f (n )成立，可得g(x)≥f(x)min 恒成立. ∵ f (x )=(x −2)e x +e +1， ∴ f ′(x )=(x −1)e x ，当x <1时，f ′(x)<0，当x >1时，f ′(x)>0，∴ f (x )在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增， ∴ f (x )min =f (1)=1，即对任意的x∈[1e,3]，g(x)≥1，即a≥(x−x2ln x)，在x∈[1e,3)恒成立.设ℎ(x)=x−x2ln x，x∈[1e,3），则ℎ′(x)=1−x−2x ln x，∴ℎ′′在[1e,3）上单调递减，∴ℎ′′(x)≤ℎ′′(1e)=−1，∴ℎ′(x)在[1e,3）单调递减.又∵ℎ′(1)=0，∴ℎ(x)在[1e,1)单调递增，在(1,3)上单调递减，∴a≥ℎ(x)max=ℎ(1)=1，即实数a的取值范围为[1,+∞). 故答案为：[1,+∞).三、解答题【答案】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x+(sin2x+cos2x)(sin2x−cos2x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+32π，解得：kπ+π3≤x≤kπ+5π6，∴函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z．(2)根据平移规律，将y=f(x)的图象向左平移π6个单位，得到：y=2sin(2x+π6)，将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到：g(x)=2sin(4x+π6).∵x∈[0,π4]，∴4x+π6∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(4x+π6)≤1，∴−1≤2sin(4x+π6)≤2，故当x∈[0,π4]时，g(x)的值域为[−1,2]．【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 正弦函数的单调性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2√3sin x cos x +(sin 2x +cos 2x)(sin 2x −cos 2x) =√3sin 2x −cos 2x =2sin (2x −π6)，令2kπ+π2≤2x −π6≤2kπ+32π，解得：kπ+π3≤x ≤kπ+5π6，∴ 函数f(x)的单调减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k ∈Z ．(2)根据平移规律，将y =f (x )的图象向左平移π6个单位， 得到：y =2sin (2x +π6)，将横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)， 得到：g(x)=2sin (4x +π6). ∵ x ∈[0,π4]， ∴ 4x +π6∈[π6,7π6]，∴ −12≤sin (4x +π6)≤1，∴ −1≤2sin (4x +π6)≤2，故当x ∈[0,π4]时，g(x)的值域为[−1,2]．【答案】解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由a 1=2，a 1+a 2=6，得a 2=4， ∴ q =2，∴ a n =a 1q n−1=2n .由{2b 1+a 3=b 4,S 3=3a 2,得{2b 1+8=b 1+3d,3b 1+3d =12,解得：{b 1=1,d =3,∴ b n =b 1+(n −1)d =3n −2． (2)由(1)知a n =2n ，b n =3n −2， ∴ c n =a n −b n =2n −(3n −2)，∴ 数列{c n }的前n 项和T n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+a n −(b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n ) =2×(1−2n )1−2−(n +n(n −1)×32)=2n+1−2−n(3n−1)2，n ∈N ∗．【考点】 数列的求和等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式 【解析】【解答】解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由a 1=2，a 1+a 2=6，得a 2=4， ∴ q =2，∴ a n =a 1q n−1=2n .由{2b 1+a 3=b 4,S 3=3a 2,得{2b 1+8=b 1+3d,3b 1+3d =12,解得：{b 1=1,d =3,∴ b n =b 1+(n −1)d =3n −2． (2)由(1)知a n =2n ，b n =3n −2， ∴ c n =a n −b n =2n −(3n −2)，∴ 数列{c n }的前n 项和T n =a 1+a 2+a 3+⋯+a n−1+a n −(b 1+b 2+b 3+⋯+b n−1+b n ) =2×(1−2n )1−2−(n +n(n −1)×32)=2n+1−2−n(3n−1)2，n ∈N ∗．【答案】解：(1)已知a cos B +(b −√2c)cos A =0， 由正弦定理得：sin A cos B +(sin B −√2sin C)cos A =0， 即sin A cos B +cos A sin B =√2cos A sin C ⇒sin (A +B )=√2cos A sin C ⇒sin C =√2cos A sin C .∵ A，B，C是△ABC的内角，∴sin C≠0，∴cos A=√22.又0<A<π，∴A=π4.∵sin B=35<sin A，∴cos B=45，∴sin C=sin(B+π4)=√22(sin B+cos B)=7√210．(2)由正弦定理得：15 sinπ4=7√210，解得：c=21，∴ BD=23c=14.在△BCD中，由余弦定理可得：CD2=152+142−2×15×14×45=85，∴ CD=√85．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理【解析】【解答】解：(1)已知a cos B+(b−√2c)cos A=0，由正弦定理得：sin A cos B+(sin B−√2sin C)cos A=0，即sin A cos B+cos A sin B=√2cos A sin C⇒sin(A+B)=√2cos A sin C⇒sin C=√2cos A sin C.∵ A，B，C是△ABC的内角，∴sin C≠0，∴cos A=√22.又0<A<π，∴A=π4.∵sin B=35<sin A，∴cos B=45，∴sin C=sin(B+π4)=√22(sin B+cos B)=7√210．(2)由正弦定理得：15 sinπ4=7√210，解得：c=21，∴ BD=23c=14.在△BCD中，由余弦定理可得：CD2=152+142−2×15×14×45=85，∴ CD=√85．【答案】解：(1)∵f(x)=13x3−2x2+3x+4，∴f′(x)=x2−4x+3，∴当x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减.∵f(x)=m有1个实根，且f(1)=163，f(3)=4，∴m<4或m>163.(2)当b=4时，f(x)=13x3+ax2+4x+a2，∴f′(x)=x2+2ax+4.∵f(x)在(0, +∞)上为增函数，∴x2+2ax+4≥0在(0,+∞)上恒成立，∴当x>0时，−2a≤x+4x恒成立，而x+4x ≥2√x⋅4x=4，∴−2a≤4，∴a≥−2，故a的取值范围是[−2, +∞)．【考点】已知函数的单调性求参数问题利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性基本不等式在最值问题中的应用【解析】（1）先求导，利用导数判断函数的单调性，再根据f(x)＝m有1个实根即可求出．（2）根据导数和函数单调性的关系即可求出．【解答】解：(1)∵f(x)=13x3−2x2+3x+4，∴f′(x)=x2−4x+3，∴当x∈(−∞,1)∪(3,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(1,3)时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)，(3,+∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减.∵f(x)=m有1个实根，且f(1)=163，f(3)=4，∴m<4或m>163.(2)当b=4时，f(x)=13x3+ax2+4x+a2，∴f′(x)=x2+2ax+4.∵f(x)在(0, +∞)上为增函数，∴x2+2ax+4≥0在(0,+∞)上恒成立，∴当x>0时，−2a≤x+4x恒成立，而x+4x ≥2√x⋅4x=4，∴−2a≤4，∴a≥−2，故a的取值范围是[−2, +∞)．【答案】(1)证明：当a=1时，f(x)=e x−sin x，则f′(x)=e x−cos x.∵x∈[0, +∞)，∴e x≥1，而cos x≤1，故f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立，∴f(x)在[0, +∞)单调递增，故f(x)≥f(0)=1，∴对∀x∈[0, +∞)，f(x)≥1.(2)解：若函数f(x)在(0, π2)上存在极值，则f′(x)=ae x−cos x在(0, π2)上存在零点，则方程a=cos xe x有解，令ℎ(x)=cos xe x ，则ℎ′(x)=−(sin x+cos x)e x<0，x∈(0, π2)，故ℎ(x)在(0, π2)单调递减，而x→0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1，x→π2时，ℎ(x)→ℎ(π2)=0，故ℎ(x)∈(0, 1)，故当实数a∈(0,1)时，函数f′(x)在(0, π2)上存在零点.下面证明当a∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π2)上存在极值，当a∈(0,1)时，f′(x)=ae x−cos x为(0,π2)上的增函数，f′(0)=a−1<0，f′(π2)=aeπ2>0，∴存在唯一实数x0∈(0,π2)，使得f′(x0)=0成立，∴当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)在(0,x0)上单调递减，当x∈(x0,π2)时，f′(x)>0，f(x)在(x0,π2)上单调递增，即x0为f(x)在(0,π2)的极小值点，综上所示，当a∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π2)上存在极值，a的取值范围是(0,1).【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)代入a的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；(Ⅱ)求出函数的导数，问题转化为方程a=cos xe x 有解，令ℎ(x)=cos xe x，根据函数的单调性求出ℎ(x)的范围，从而求出a的范围．【解答】(1)证明：当a=1时，f(x)=e x−sin x，则f′(x)=e x−cos x.∵x∈[0, +∞)，∴e x≥1，而cos x≤1，故f′(x)≥0在[0,+∞)恒成立，∴f(x)在[0, +∞)单调递增，故f(x)≥f(0)=1，∴对∀x∈[0, +∞)，f(x)≥1.(2)解：若函数f(x)在(0, π2)上存在极值，则f′(x)=ae x−cos x在(0, π2)上存在零点，则方程a=cos xe x有解，令ℎ(x)=cos xe x ，则ℎ′(x)=−(sin x+cos x)e x<0，x∈(0, π2)，故ℎ(x)在(0, π2)单调递减，而x →0时，ℎ(x)→ℎ(0)=1， x →π2时，ℎ(x)→ℎ(π2)=0，故ℎ(x)∈(0, 1)，故当实数a ∈(0,1)时，函数f ′(x)在(0, π2)上存在零点.下面证明当a ∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π2)上存在极值， 当a ∈(0,1)时，f ′(x)=ae x −cos x 为(0,π2)上的增函数，f ′(0)=a −1<0，f ′(π2)=ae π2>0，∴ 存在唯一实数x 0∈(0,π2)，使得f ′(x 0)=0成立， ∴ 当x ∈(0,x 0)时，f ′(x)<0，f(x)在(0,x 0)上单调递减， 当x ∈(x 0,π2)时，f ′(x)>0，f(x)在(x 0,π2)上单调递增， 即x 0为f(x)在(0,π2)的极小值点，综上所示，当a ∈(0,1)时，函数f(x)在(0,π2)上存在极值， a 的取值范围是(0,1). 【答案】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2sin θ (θ为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4， 将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入整理可得： 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cos θ.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ，所以转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得，(x −√3)2+(y +1)2=4.(2)直线l 的参数方程为{x =3t,y =−√3t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6，所以θ=5π6.直线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 联立{θ=5π6,ρ=4cos θ,解得，A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点，联立{θ=5π6,ρ=2√3cos θ−2sin θ,解得，B(−4, 5π6)，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3． 【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 两点间的距离公式【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用极径的应用求出结果． 【解答】解：(1)曲线C 1的参数方程为{x =2+2cos θ,y =2sin θ (θ为参数)，转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4， 将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入整理可得： 曲线C 1的极坐标方程为：ρ=4cos θ.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ=2√3cos θ−2sin θ，所以转换为直角坐标的方程为：x 2+y 2=2√3x −2y ， 整理得，(x −√3)2+(y +1)2=4.(2)直线l 的参数方程为{x =3t,y =−√3t (t 为参数)，转换为直角坐标方程为：yx =−√33， 所以直线的倾斜角为5π6，所以θ=5π6.直线l 交曲线C 1于O ，A 两点， 联立{θ=5π6,ρ=4cos θ,解得，A(−2√3, 5π6)， 直线θ=5π6和曲线C 2于O ，B 两点， 联立{θ=5π6,ρ=2√3cos θ−2sin θ,解得，B(−4, 5π6)，所以|AB|=|ρ1−ρ2|=4−2√3．试卷第21页，总21页 【答案】解：(1)由绝对值三角不等式可得，g (x )=|x +b|+|x −a|=|x +b|+|a −x| ≥|x +b +a −x|=|b +a|，当且仅当(x +b )(a −x )≥0时，取等号.∵ 函数g (x )的最小值为2，且b +a >0， ∴ |b +a|=b +a =2，即点(a,b )在定直线x +y −2=0上．(2)∵ b =3，∴ g (x )=|x +3|+|x −a|.当x ∈[0,1]时，不等式g (x )≤|x +5|可化为x +3+|x −a|≤x +5， 整理得：|x −a|≤2，解得：a −2≤x ≤a +2，由题意，可得： [0,1]⊆[a −2,a +2]，则{a −2≤0，a +2≥1，解得：−1≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[−1,2]．【考点】不等式恒成立问题绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】【解答】解：(1)由绝对值三角不等式可得，g (x )=|x +b|+|x −a|=|x +b|+|a −x| ≥|x +b +a −x|=|b +a|，当且仅当(x +b )(a −x )≥0时，取等号.∵ 函数g (x )的最小值为2，且b +a >0， ∴ |b +a|=b +a =2，即点(a,b )在定直线x +y −2=0上．(2)∵ b =3，∴ g (x )=|x +3|+|x −a|.当x ∈[0,1]时，不等式g (x )≤|x +5|可化为x +3+|x −a|≤x +5， 整理得：|x −a|≤2，解得：a −2≤x ≤a +2，由题意，可得： [0,1]⊆[a −2,a +2]，则{a −2≤0，a +2≥1，解得：−1≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[−1,2].。