东北三省三校2014届高三第二次联合模拟考试 数学文

2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 设复数z =(1−i)2（i 是虚数单位），则z ¯的虚部是（ ） A 2i B −2i C 2 D −22. 已知cosα=−13，α是第三象限角，则tanα=( )A 2√2B −2√2C √24 D −√243. 已知条件p:a <0，条件q:a 2>a ，则￢p 是￢q 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S6S 3=9，则公比q =( )A 12B ±12C 2D ±25. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)离心率为3，直线y =2与双曲线C 的两个交点间的距离为√6，则双曲线C 的方程是（ ） A 2x 2−y 2=1 B x 2−y 28=1 Cx 25−y 210=1 D4x 25−y 210=16. 王明早晨在6:30∼7:00之间离开家去上学，送奶员在早上6:45∼7:15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（ ） A 18B 14C 78D 587. 如图是“二分法”解方程的流程图．在①∼④处应填写的内容分别是（ ）A f(a)f(m)<0；a =m ；是；否B f(b)f(m)<0；b =m ；是；否 C f(b)f(m)<0；m =b ；是；否 D f(b)f(m)<0；b =m ；否；是8. 设x ，y ∈R ，a >0，且|x|+|y|≤a ，2x +y +1最大值小于2，则实数a 的取值范围为（ ）A (0, 1)B (0, 12) C [12, 1) D (0, 1]9. 已知△ABC 中，BC =2，∠A =π3，则|AB →+AC →|的最大值（ ） A√213 B 2√213C 2√3D 4√3 10.Rt △ABC 中CA =CB =√2，M 为AB 的中点，将△ABC 沿CM 折叠，使A ，B 之间的距离为1，则三棱锥M −ABC 外接球的表面积为( ) A16π3B 4πC 3πD 7π311. 已知A ，B 是抛物线y 2=4x 上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定值−4，△AOF ，△BOF 的面积为S 1，S 2，则S 12+S 22的最小值为（ ） A 8 B 6 C 4 D 212. 函数f(x)={2x 3+3x 2，x ≤0axex，x >0在[−2, 2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是（ ） A [0, +∞) B [0, e] C (−∞, 0] D (−∞, e]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13. 过点P(3, 4)作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为________．14. 某几何体的三视图如图所示(x =1)，则该几何体的体积为________．15. 利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：________①相关系数r 满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；②可以用R 2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R 2越小，模型的拟合效果越好； ③如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值． 16. 数列{a n }的通项为a n =(−1)n (2n −1)⋅cosnπ2+1前n 项和为S n ，则S 60=________．三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量n →=(√3sin x4, −1)，n →=(cos x4, cos 2x4)，记f(x)=m →⋅n →，（1）求f(x)的值域和单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，若f(A)=−12，a=2，求△ABC的面积．18. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF // DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为√22．（1）求证：直线AC // 平面EFB；（2）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．19. 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩，统计后获得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：（1）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；（2）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分的概率；（3）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，求两个都是“优秀客观卷”的概率．20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C方程为x2a2+y2b2=1，椭圆上的点到焦点距离最大值为3，离心率e=12．（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆上的点，△AOB面积为√3，求证：|OA|2+|OB|2为定值．21. 已知f(x)=axe kx−1，g(x)=lnx+kx．（1）求g(x)的单调区间；（2）当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ； （2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6 （1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；（2）设A(−1, 2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．【选修4-5：不等式选讲】 24. 设函数f(x)=|x −a|．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥4−|x −1|；（2）若f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}，1m +12n =a(m >0, n >0)．求证：m +2n ≥4．2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. C2. A3. B4. C5. B6. A7. B8. B9. C 10. D 11. D 12. D 13. 3 14. 1615. ①③④ 16. 12017. 解：（1）由题意可得f(x)=m →⋅n →=√3sin x4cos x4−cos 2x4=√32sin x 2−1+cos x22=sin(x2−π6)−12， 故函数的值域为[−32, 12]．令 2kπ−π2≤x 2−π6≤2kπ+π2，k ∈z ，求得 4kπ−2π3≤x ≤4kπ+4π3，k ∈z ，故函数的单调递增区间为[4kπ−2π3, 4kπ+4π3]，k ∈z ．（2）在△ABC 中，∵ (2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理可得 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ，即 2sinAcosB =sinA ，∴ cosB =12，B =π3．∵ f(A)=sin(A 2−π6)−12=−12，∴ sin(A 2−π6)=0，∴ A 2−π6=0，∴ A =π3，∴ C =π−A −B =π3，∴ A =B =C ，∴ △ABC 为等边三角形，再根据a =2，可得△ABC 的面积S =12×2×2sin π3=√3． 18. （1）证明：设AC ，BD 交于O ，取EB 中点M ，连结FM ，MO ， 在△BDE 中，OM = // 12DE ，FA = // 12DE ，∴ OM = // FA ，∴ 四边形FAOM 是平行四边形，∴ FG // AO ，又AO 不包含平面EFB ，FG ⊂平面EFB ， ∴ 直线AC // 平面EFB ．（2）解：∵ ED ⊥平面ABCD ， ∴ BD 是BE 在面ABCD 上的射影，∴ ∠EBD 是直线BE 与平面BCD 所成的角，tan∠EBD =EDBD =ED 2√2=√22，解得ED =2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题意知A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， B(2, 2, 0)，E(0, 0, 2)，∴ AC →=(−2,2,0)，AB →=(0,2,0)，AE →=(−2,0,2)， 设平面ABE 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅AE →=−2x +2z =0˙，取x =1，得n →=(1,0,1)， 设直线AC 与平面ABE 所成角为θ， sinθ=|cos <AC →，n →>|=√8×√2=12． ∴ 直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为12．19. 解：（1）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，甲班的客观题平均成绩更好．（2）设从甲班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件A ， 从乙班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件B ， 则P(A)=210=15，P(B)=110，则从这两组数据中分别抽取一个数据，至少有一个是满分的概率是P(AB)=15⋅110=150．（3）设从甲班数据中任取2个数据，两个都是优秀客观卷为事件C甲班10个数据中任意抽取两个有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种情况 甲班10个数据中任意抽取两个都是优秀客观卷有5+4+3+2+1=15种情况 则P(C)=1545=13． 20. 解：（1）由题意可得{a +c =3c a=12，解得{a =2c =1， ∴ b 2=3，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，①当直线AB 斜率不存在时，S △AOB =√3=|x 1y 1|⇒x 12y 12=3⇒y 123=1x 12，代入x 124+y 123=1，得x 12=2，则y 12=32，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=2(x 12+y 12)=7； ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，与x 24+y 23=1联立得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=48(4k 2−m 2+3)>0，由韦达定理得，{x 1+x 2=−8km4k 2+3x 1x 2=4m 2−124k 2+3， 原点O 到直线AB 的距离d =√1+k 2，|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(−8km 4k 2+3)2−4⋅4m 2−124k 2+3=4k 2+3˙，则S △AOB =√3=12√1+k 2|x 1−x 2|√1+k2，代入整理得14=(4k 2+3)−m 2(4k 2+3)2⋅m 2，化简得2m 2=3+4k 2，∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(3−34x 12)+x 22+(3−34x 22)=14(x 12+x 22)+6=14[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+6=14[(−8km 4k 2+3)2−2⋅4m 2−124k 2+3]+6 =2⋅4k 2m 2−3m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6=2⋅(4k 2−3)⋅4k 2+32+12k 2+9(4k 2+3)2+6=7．综上，|OA|2+|OB|2=7（定值）． 21. 解：（1）∵ g(x)=lnx +kx ， ∴ g′(x)=1x +k…当k ≥0时，g ′(x)>0在(0, +∞)恒成立，则 (0, +∞)是g(x)的增区间 … 当k <0时，由g′(x)>0⇒1x >−k ⇒0<x <−1k ， 则 (0,−1k )是g(x)的单调递增区间； 由g′(x)<0⇒1x<−k ⇒x >−1k，则(−1k，+∞)是g(x)的单调递减区间 …（2）若f(x)≥g(x)恒成立，即axe x −1≥lnx +x ，则a ≥lnx+x+1xe x恒成立 …设ℎ(x)=lnx+x+1xe x，ℎ′(x)=(1+x)e x −(xe x +e x )(lnx+x+1)(xe x )2=(1+x)e x (−lnx−x)(xe x )2…令ℎ′(x)>0，则−lnx −x >0，令u(x)=−lnx −x ，则u′(x)=−1x −1<0，即u(x)=−lnx −x 在(0, +∞)为减函数，且u(1)=−1<0，u(1e)=1−1e>0，故∃t ∈(0, 1)使u(t)=−lnt −t =0，…8分∴ 当x ∈(0, t)时，u(x)>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, t)上递增， 当x ∈(t, +∞)时，u(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(t, +∞)上递减， ∴ 当x =t 时，ℎ(x)取最大值ℎ(t)=lnt+t+1te t=1te t =1t⋅1t=1，…10分∴ a ≥1...12分22. 证明：连接AC ，AD ，AE ，AF ，则∵ ADEB 是圆内接四边形， ∴ ∠AEC =∠D ， 同理∠C =∠AFD ，从而∠DAF =∠CAF(1)∵ ∠DBA =∠CBA ， ∴ AD =AE ，AF =AC ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ DF =CE ；（2）∵ DF =CE ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ AD =AE ，∴ ∠DBA =∠CBA ．23. 解：（1）直线l 的参数方程为{x =−1+ty =2+t （t 为参数），消去t 可得x −y +3=0；圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴ x 2+y 2=4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2； （2）易知A 在直线l 上，|PA|+|AQ|=|PQ| 圆心C 到直线l 的距离d =√2=√2，圆C 半径R =√2，∴ (12|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6…24. （1）解：当a =2时，不等式f(x)≥4−|x −1|即为|x −2|≥4−|x −1|， ①当x ≤1时，原不等式化为2−x ≥4+(x −1)， 得x ≤−12， 故x ≤−12；②当1<x <2时，原不等式化为2−x ≥4−(x −1)， 得2≥5，故1<x <2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，原不等式化为x −2≥4−(x −1)， 得x ≥72， 故x ≥72．综合①②③知，原不等式的解集为(−∞,−12]∪[72,+∞)． （2）证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1， 从而−1+a ≤x ≤1+a ．∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ {−1+a =0，1+a =2，得a =1，∴ 1m +12n =a =1． 又m >0，n >0， ∴ m +2n =(m +2n)(1m +12n)=2+(2n m +m 2n) ≥2+2√2nm ⋅m2n =4， 当且仅当2n m=m 2n，即m =2n ，等号成立． 此时，联立1m +12n =1， 得{m =2，n =1，则m +2n =4，故m +2n ≥4，得证．。

二模文科数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112答案 A D C B B A D B A DC C13．22333(1)124n n n +++⋅⋅⋅+= 14．3π 15．3 16．①②④17．（Ⅰ）解：当1=n 时，111151,4=+∴=-a S a ………2分又1151,51++=+=+ n n n n a S a S115,n n n a a a ++∴-= ………4分114n na a +=-即∴数列{}n a 是首项为114=-a ，公比为14=-q 的等比数列，∴1(4=-n n a ………6分 （Ⅱ）n b nn -=-=)41(log 4， ………8分所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++ ………10分 11111(1)()()22311n n T n n n ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥++⎣⎦………12分18．（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3；第四组的频率是0.100×2=0.2；第五组的频率是0.050×2=0.1 ………3分 （Ⅱ）设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件A ，由题意可知，分别抽取3个，2个，1个。

………6分 不妨设第三组抽到的是123,,A A A ；第四组抽到的是12,B B ；第五组抽到的是1C ，所含基本事件总数为：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111211212221313231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A C A B A B A C A B A B A C {}{}{}121121,,,,,B B B C B C………10分所以31()155P A == ………12分 19．（Ⅰ）证明:连结MO1111////A M MA MO AC AO OC MO BMD A C BMD AC BMD =⎫⎫⇒⎬⎪=⎭⎪⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎪⎪⎭平面平面平面 ………4分（Ⅱ）设过1C 作1C H ⊥平面11BDD B 于H ，11BD AA BD AC BD A AC ⊥⊥⊥,得面于是1BD A O ⊥1111116022cos 60ABCDBAD AO AC AB AA AO AC AO ABCD A AC AO BD ⎫⎫⎫⎪⎪∠=⇒==⎬⎪⎪⎪⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⇒⊥⎬⎪⇒⊥⎬⎪∠=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⊥⎪⎭ 平面 ………8分又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ，所以点B 到平面1111A B C D 的距离等于点1A 到平面ABCD 的距离13AO = ………10分111111111111132232322B BCD C BB D V V A O C H C H --=⇔⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯⇒= ………12分20．（Ⅰ）设(,)P x y2(1)18y x y =++⇒= ………4分（Ⅱ）设直线AB ：y kx b =+，1122(,),(,)A x y B x y将直线AB 代入到28x y =中得2880x kx b --=，所以12128,8x x k x x b +==-………6分 又因为2221212121281664x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=- 4b ⇒= (1)0分 所以恒过定点(0,4) ………12分21． （Ⅰ）''(),()21b f x g x ax x==- 则''(1)(1)01(1)(1)1g f a g f b ===⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩………3分 （Ⅱ）设()2()()()ln 0u x g x f x x x x x =-=-->()()'211()x x u x x+-=………4分 令'()01u x x =⇒=x()0,11()1,+∞'()u x-+()u x极小所以，()()10u x u ≥= 即()()g x f x ≥ ………7分 (Ⅲ)设()2()()()ln (1,)bh x f x g x x b x xx e =--=-∈，2'2()b x h x x -=，令'()0h x x =⇒=>分所以，原问题()ln 1022b b h x h ⎛⎫==-> ⎪⎝⎭极大 ………10分又因为()()()()11,bbbh h eb e b e =-=-+设()xt x e x =-（()2,x e ∈+∞）'()10x t x e =->所以()t x 在()2,e +∞上单调递增，()()(2)00xbt x t e e x h e>>∴>∴<所以有两个交点 ………12分22． （Ⅰ）2//AB CD PAB AQCAQC ACB ACB CQAPA O PAB ACB AQ O QAC CBA AC ABAC AB CQ CQ AC⇒∠=∠⎫⎫⇒∠=∠⎬⎪⇒⇒∠=∠⎬⎭⎪⇒∠=∠⎭⇒=⇒=⋅ 为切线为切线 ………5分（Ⅱ）//113622,AB CD BP AP AB AP PC PQ QC QC PC AQ BP AB ⎫⎫⎪⎪⇒===⎬⎪=⇒==⎬⎪⎭⎪⎪==⎭AP 为O切线212AP PB PC QA ⇒=⋅=⇒=又因为AQ 为O切线2AQ QC QD QD ⇒=⋅⇒= ………10分 23．（Ⅰ）221:22C x y +=，:4l x += ………5分（Ⅱ）设),sin Qθθ，则点Q 到直线l的距离d ==≥ ………8分当且仅当242k ππθπ+=+，即24k πθπ=+（k Z ∈）时取等 ………10分24．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，2222222()(111)()3a b c a b c ++≤++++=∴a b c ≤++≤所以a b c ++的取值范围是[ ………5分（Ⅱ）同理，2222222()[111]()3a b c a b c -+≤+-+++=（） ………7分 若不等式2|1|1()x x a b c -++≥-+对一切实数,,a b c 恒成立， 则311≥++-x x ，解集为33(,][,)22-∞-⋃+∞………10分。

2014年黑龙江省齐齐哈尔市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知全集U=Z，A={-1，0，1，2}，B={x|x2=x}，则A∩∁U B为（）A.{-1，2}B.{-1，0}C.{0，1}D.{1，2}【答案】A【解析】解：由题设解得B={0，1}，C U B={x∈Z|x≠0且x≠1}，∴A∩C U B={-1，2}，故选AB为二次方程的解集，首先解出，再根据交集、补集意义直接求解．本题考查集合的基本运算，属容易题．2.设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】解：由i2=-1，得i3=i2•i=-i，从而=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为，，此点位于第四象限，故选D．可先利用i2计算i3，再将分式的分子、分母分别乘以1+i，使分母“实数化”，除法问题通过乘法来解决，复数便化为代数形式，可知其对应的点所在象限．1．高考对复数的考查内容包括复数的概念与计算，要求不高，一般是容易题．2．记住以下常用结论可以加快计算速度：（1）i2=-1，i3=-i，i4=1；（2）设z=a+bi（a，b∈R），则（a+bi）（a-bi）=a2+b2．3.若=（-1，3），=（x+1，-4），且（+）∥，则实数x为（）A.3B.C.-3D.-【答案】B【解析】解：∵=（-1，3），=（x+1，-4），∴，，，，由（+）∥，得-4x-（-1）×（x+1）=0，解得：．故选：B．由向量的坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解x平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0．是基础题．4.在等差数列{a n}中，a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，则此数列前20项的和等于（）A.160B.180C.200D.320【答案】D【解析】解：等差数列{a n}中，∵a1+a2+a3=18，a18+a19+a20=78，∴a1+a2+a3+a18+a19+a20=3（a1+a20）=18+78=96，∴a1+a20=32，∴此数列前20项的和S20=（a1+a20）=10×32=320．故选D．由已知条件利用等差数列的通项公式推导出a1+a20=32，由此能求出此数列前20项的和．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的基本性质的灵活运用．5.如果执行所示的程序框图，那么输出的S为（）A.96B.768C.1536D.768【答案】B【解析】解：当i=2时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=4，i=4；当i=4时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=16，i=6；当i=6时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=96，i=8；当i=8时，满足继续循环的条件，执行完循环体后，S=768，i=10；当i=10时，不满足继续循环的条件，故输出的S值为768．故选：B由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方6.已知a，b，l表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，有下列命题：①若α∩β=a，β∩γ=b，且a∥b，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α；④若a在α内，b在α内，l⊥a，l⊥b，则l⊥α．其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【解析】解：①如图，若平面ABCD∩平面ABFE=AB，平面ABFE∩平面CDEF=EF，AB∥EF，但平面ABCD与平面CDEF不平行．所以①错误．②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，则a，b所在的平面γ满足γ∥α，γ∥β，所以必有α∥β成立，所以②正确．③根据面面垂直的性质定理可知，若α⊥β，α∩β=a，b在β内，a⊥b，则b⊥α，所以③正确．④根据线面垂直的判定定理可知，直线a，b必须是相交直线时，结论才成立，所以④错误．故正确的是②③，故选C．①利用面面平行的判定定理进行判断．②利用面面平行的判定定理判断．③利用面面垂直和线面垂直的定义判断．④利用线面垂直判定定理判断．本题主要考查空间直线和平面，平面和平面平行或垂直的性质和判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理即可．7.在等比数列{a n}中，a1=2，前n项和为S n，若数列{a n+1}也是等比数列，则S n等于（）A.2n+1-2B.3nC.2nD.3n-1【答案】C【解析】解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n-1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2-2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选C．根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．8.一动圆过点A（0，1），圆心在抛物线y=x2上，且恒与定直线相切，则直线l的方程为（）A.x=1B.x=C.y=-D.y=-1【答案】D【解析】解：根据抛物线方程可知抛物线焦点为（0，1），∴定点A为抛物线的焦点，要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线，准线方程为y=-1故答案为：y=-1．要使圆过点A（0，1）且与定直线l相切，需圆心到定点的距离与定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，定直线正是抛物线的准线．本题考查抛物线的定义，考查抛物线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】C【解析】解：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABA1和平面BCC1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②．若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④．其它几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C本题可把正方体沿着某条棱展开到一个平面成为一个矩形，连接此时的对角线AC1即为所求最短路线．本题考查空间几何体的展开图与三视图，是一道基础题．10.函数f（x）=cos2x+sinx，那么下列命题中假命题的是（）A.f（x）在[-π，0]上恰有一个零点B.f（x）既不是奇函数也不是偶函数C.f（x）是周期函数D.f（x）在区间（，）上是增函数【答案】A【解析】解：∵由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0，得sinx=，∴f（x）在[-π，0]上恰有2个零点，即A是假命题；∵f（x）=cos2x+sinx，∴f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，即B是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）是周期函数，即C是真命题；∵f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，∴f（x）在（，）上是增函数，即D是真命题．故选：A．由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=0得f（x）在[-π，0]上恰有2个零点；由f（x）=cos2x+sinx，得f（-x）=cos2x-sinx，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，由f（x）=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-（sinx-）2+，得f（x）是周期函数，f（x）在（，）上是增函数．本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要注意三角函数性质的灵活运用．11.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且a2-c2=2b，=3，则b等于（）A.3B.4C.6D.7【答案】B【解析】解：===3，即sin A cos C=3cos A sin C，利用正弦定理化简得：a•cos C=3c•cos A，即a•=3c•，整理得：4a2-4c2=2b2，即a2-c2=b2，代入已知等式a2-c2=2b得：2b=b2，解得：b=4或b=0（舍去），则b=4．故选：B．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后利用正弦、余弦定理化简，得到a2-c2=b2，代入第一个等式即可求出b的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．12.对实数a和b，定义运算“*”：a*b=，，＞，设函数f（x）=（x2+1）*（x+2），若函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是（）A.（2，4）∪（5，+∞） B.（1，2]∪（4，5]C.（-∞，1）∪（4，5]D.[1，2]【答案】B【解析】解：当（x2+1）-（x+2）≤1时，f（x）=x2+1，（-1≤x≤2），当（x2+1）-（x+2）＞1时，f（x）=x+2，（x＞2或x＜-1），函数y=f（x）＞或＜的图象如图所示：由图象得：1＜c≤2，4＜c≤5时，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，即函数y=f（x）-c的图象与x轴恰有两个公共点；故答案选：B．化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=C的图象有2个交点，结合图象求得结果．本题主要考查根据函数的解析式作出函数的图象，体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于基础题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.幂函数y=f（x）的图象经过点（-2，），则满足f（x）=27的x的值是______ ．【答案】【解析】解：设幂函数y=f（x）=xα，∵过点，，∴=（-2）α，解得α=-3，∴f（x）=x-3，∴f（x）=27=x-3，解得x=．故答案为：．先设出幂函数的解析式，把点，代入求出α的值，再把27代入解析式求出x的值．本题考查了幂函数的解析式的求法，即利用待定系数法进行求解，属于基础题．14.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为______ ．【答案】x+2y-5=0【解析】解：C点满足=α+β且α+β=1，由共线向量定理可知，A、B、C三点共线．∴C点的轨迹是直线AB又A（3，1）、B（-1，3），∴直线AB的方程为：整理得x+2y-5=0故C点的轨迹方程为x+2y-5=0故答案为x+2y-5=0．通过点C满足=α+β，其中α、β∈R，且α+β=1，知点C在直线AB上，利用两点式方程，求出直线AB的方程即求出点C的轨迹方程．考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．15.双曲线-=1（a＞0，b＞0），双曲线l的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，则双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：∵抛物线y2=8x的准线方程为x=-2，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y2=8x的准线的一个交点纵坐标为-1，∴点（-2，-1）在上，∴a=2b，∴，∴，故答案为：．分别求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，由已知条件推导出b=2a，由此能求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线和双曲线的简单性质．16.在区间[0，1]上任意取两个实数a，b，则函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点的概率为______ ．【答案】【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，∵a∈[0，1]，∴f'（x）=1.5x2+a≥0，∴f（x）是增函数若在[-1，1]有且仅有一个零点，则f（-1）•f（1）≤0∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0a看作自变量x，b看作函数y，由线性规划内容知全部事件的面积为1×1=1，满足条件的面积为∴概率为=，故答案为：由题意知本题是一个几何概型，根据所给的条件很容易做出试验发生包含的事件对应的面积，而满足条件的事件是函数f（x）=x3+ax-b在区间[-1，1]上有且仅有一个零点，求出导函数，看出函数是一个增函数，有零点等价于在自变量区间的两个端点处函数值符号相反，得到条件，做出面积，根据几何概型概率公式得到结果．本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．三、解答题(本大题共8小题，共70.0分)17.已知f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）（Ⅰ）求f（x）的最大值及取到最大值时相应的x的集合；（Ⅱ）若函数y=f（x）-m在区间[0，]上恰好有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x-）cos（x-）+2cos2（x-）=sin（2x-）+cos（2x-）+=2sin（2x-）+∴函数的最大值为2+，当2x-=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时取最大值，∴取到最大值时相应的x的集合为{x|x=kπ+，（k∈Z）}（Ⅱ）依（Ⅰ）知f（x）=2sin（2x-）+当x∈[0，]时，2x-∈[-，]，要使函数y=f（x）-m有两个零点即直线与函数的图象有两个交点，依草图可知f（）≤m＜f（x）max即-1≤m＜+2．【解析】（Ⅰ）先对函数解析式进行化简，进而根据三角函数的性质求得函数的最大值及此时x 的范围．（Ⅱ）根据x的范围，画出f（x）的图象，利用数形结合方法求得答案．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．注意对数形结合思想的灵活运用．18.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE=BE，平面ABCD⊥平面ABE，动点F在CE上，无论点F运动到何处时，总有BF⊥AE．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BCE；（Ⅱ）求三校锥的D-ACE体积．【答案】（I）证明：∵点F运动到何处时，总有BF⊥AE，∴AE⊥平面BCE，∵AE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，∵BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE，∵AE=BE，∴EG⊥AB，EG=AB=1∵平面ABCD⊥平面ABE，EG⊂平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴GE⊥平面ABCD，∴V D-ACE=V E-ADC=•AE•S△ADC=×1××2×2=．【解析】（I）根据点F运动到何处时，总有BF⊥AE，推断出AE⊥平面BCE，进而根据面面垂直的判定定理推断出平面ADE⊥平面BCE；（II）作AB的中点G，连结EG，由（I）知AE⊥平面BCE，根据线面垂直的性质可知AE⊥BE，AE=BE，进而根据EG⊥AB，求得EG，根据面面垂直的性质可推断出GE⊥平面ABCD最后根据V D-ACE=V E-ADC求得三校锥的D-ACE体积．本题主要考查了线面垂直，面面垂直的判定定理的应用．判断面面垂直的重要一步就是先判断出线面垂直．19.某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以X（单位：盒，100≤X≤200）表示这个开学季内的市场需求量，Y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（Ⅰ）根据直方图估计这个丌学季内市场需求量X的平均数和众数；（Ⅱ）将Y表示为X的函数；（Ⅲ）根据直方图估计利润不少于4800元的概率．【答案】解：（Ⅰ）由频率直方图得到：需求量为110的频率=0.005×20=0.1，需求量为130的频率=0.01×20=0.2，需求量为150的频率=0.015×20=0.3，需求量为170的频率=0.0125×20=0.25，需求量为190的频率=0.0075×20=0.15，∴这个丌学季内市场需求量X的众数是150，这个丌学季内市场需求量X的平均数：=110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153．（Ⅱ）∵每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元，∴当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，∴y=．（Ⅲ）∵利润不少于4800元，∴80x-4800≥4800，解得x≥120，∴由（Ⅰ）知利润不少于4800元的概率p=1-0.1=0.9．【解析】（Ⅰ）由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量X 的众数和平均数．（Ⅱ）由已知条件推导出当100≤x≤160时，y=50x-（160-x）•30=80x-4800，当160＜x≤200时，y=160×50=8000，由此能将Y表示为X的函数．（Ⅲ）利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率．本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方图的合理运用．20.平面直角坐标系x O y中，椭圆C：+=1（a＞b＞0），椭圆上、下顶点分别为B1，B2．椭圆上异于于B1，B2两点的任一点P满足直线PB1，PB2的斜率之积等于-，且椭圆的焦距为2，直线y=kx+2与椭圆交于不同两点S，T．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求证：直线B1S与直线B2T的交点在一条定直线上，并求出这条定直线．【答案】解：（I）由已知B1（0，b），B2（0，-b），∵椭圆的焦距为2，∴椭圆方程可化为：设P（x，y），则，∵直线PB1，PB2的斜率之积等于-，∴=-，∴椭圆方程为…（4分）（II），可得（1+4k2）x2+16kx+12=0，△＞0，可得k2＞．设S（x1，y1），T（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=．取直线y=x+2与椭圆交于两点S（-，），T（-2，0）直线B1S：y=x+1，直线B2T：y=-x-1，两条直线的交点为Q1（-3，）取直线y=-x+2与椭圆交于两点S（，），T（2，0）直线B1S：y=-x+1，直线B2T：y=x-1，两条直线的交点为Q2（3，）若交点在一条直线上则此直线只能为l：y=．设直线直线B1S与直线l：y=交点为Q0（x0，y0），直线B2T与直线l：y=交点为Q0′（x0′，y0′），直线B1S：y=+1，B2T：y=-1，分别令y=，可得Q0（•，），Q0′（•，），∴x0-x0′=••-•=0∴点Q0（x0，y0）与Q0′（x0′，y0′）重合，∴交点在直线l：y=上…（12分）【解析】（Ⅰ）椭圆方程可化为：，设P（x，y），则，利用直线PB1，PB2的斜率之积等于-，可得=-，即可求C的方程；（Ⅱ）直线y=kx+2代入椭圆方程，取特殊直线，猜想出定直线，再证明结论即可．本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21.己知函数f（x）=（nx-n+2）•e x（其中n∈N*）（Ⅰ）求f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）若函数g（x）=（nx+2）（nx-15）（n∈N*），求n所能取到的最大正整数，使对任意x＞0，都有2f′（x）＞g（x）恒成立．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f′（x）=（nx+2）e x=n（x+）e x，f（x）在（-，+∞）上递增，∴f（x）在[0，2]上是增函数，此时f（x）max=f（2）=（n+2）•e2；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），f′（x）=（nx+2）•e x，当x＞0时，若2f′（x）＞g（x）恒成立，即2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），∴2e x＞（nx-15），设p（x）=2e x-（nx-15），当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，∵p′（x）=2e x-n，故p（x）在（0，ln）上递减，在（ln，+∞）递增，故（*）⇔p（x）min=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，则h′（x）=-ln，故h（x）在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，而h（2e2）=15=15-2e2＞0，且h（15）=15（lne2-ln）＜0，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h（x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，又∵h（1）=16-ln＞0，14＜2e2＜15，故所求的最大正整数n=14．【解析】（Ⅰ）先求出f′（x）=（nx+2）e x，n＞0时，f（x）在[0，2]上是增函数，从而综合得出f（x）在[0，2]上的最大值；（Ⅱ）由题设：函数g（x）=n2x2-13nx-30=（nx+2）（nx-15），（n＞1，n∈N*），得2（nx+2）•e x＞（nx+2）（nx-15），得当x＞0时，p（x）＞0（*）恒成立，从而p（x）=p（ln）=（n-nln+15）＞0，设h（x）=x-x（lnx-ln2）+15，故h（x）在（0，2）min递增，在（2，+∞）递减，故存在x0∈（2e2，15）使h（x0）=0，且x∈[2，x0]时h （x）＞0，x∈（x0，+∞）时h（x）＜0，故所求的最大正整数n=14．本题考查函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．22.如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【答案】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB（2分）又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB（4分）由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE（10分）【解析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．本题考查圆的切线，考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23.在极坐标系中，O x为极点，点A（2，），B（2，）．（Ⅰ）求经过O，A，B的圆C的极坐标方程；（Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆D的参数方程为（θ是参数，a为半径），若圆C与圆D相切，求半径a的值．【答案】解：（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，∴点O（0，0），A（0，2），B（2，2）；过O，A，B三点的圆C的普通方程是（x-1）2+（y-1）2=2，即x2-2x+y2-2y=0；化为极坐标方程是ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，即ρ=2cos（θ-）；（II）圆D的参数方程化为普通方程是（x+1）2+（y+1）2=a2；当圆C与圆D相切时，+a=2，或a-=2，∴a=，或a=3．【解析】（I）以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求出过三点O，A，B的圆的普通方程，再化为极坐标方程；（II）把圆D的参数方程化为普通方程，求出圆心距|CD|，当圆C与圆D相切（内切或外切）时，求出a的值．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程和极坐标方程化为普通方程，再来解答问题，是基础题．24.已知函数f（x）=|x-a|．（1）若f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a，m的值．（2）当a=2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．【答案】解：（1）∵f（x）≤m，∴|x-a|≤m，即a-m≤x≤a+m，∵f（x）≤m的解集为{x|-1≤x≤5}，∴，解得a=2，m=3．（2）当a=2时，函数f（x）=|x-2|，则不等式f（x）+t≥f（x+2）等价为|x-2|+t≥|x|．当x≥2时，x-2+t≥x，即t≥2与条件0≤t＜2矛盾．当0≤x＜2时，2-x+t≥x，即0，成立．当x＜0时，2-x+t≥-x，即t≥-2恒成立．综上不等式的解集为（-∞，]．【解析】（1）根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求实数a，m的值．（2）根据绝对值的解法，进行分段讨论即可得到不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，要求熟练掌握绝对值的化简技巧．。

2014年东北三省三校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣2x≤0}，B={x|﹣4≤x≤0}，则A∩∁R B=（）A．R B．{x∈R|X≠0}C．{x|0＜x≤2}D．∅2．（5分）若复数z满足iz=2+4i，则复数z=（）A．2+4i B．2﹣4i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥04．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=12，则S7的值是（）A．21B．24C．28D．75．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x）=sinx，②f（x）=cosx，③f（x）=，④f（x）=x2，则输出的函数是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=cosx C．f（x）=D．f（x）=x2 6．（5分）变量x，y满足约束条件，则x+3y最大值是（）A．2B．3C．4D．57．（5分）直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α；则其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=x﹣的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 9．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），以原点为圆心，c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为A，若此圆在A点处切线的斜率为，则双曲线C的离心率为（）A ．+1B ．C．2D ．12．（5分）已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若cos （）﹣sinα=，则sin （）=．14．（5分）正方形ABCD的边长为2，=2，=（），则=．15．（5分）正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=|cosx|•sinx给出下列五个说法：①f （）=﹣；②若|f（x1）|=|f（x2）|，则x1=x2+kπ（k∈Z）；③f（x）在区间[﹣，]上单调递增；④函数f（x）的周期为π；⑤f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．其中正确说法的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）三角形ABC中，内角A，B，C所对边a，b，c成公比小于1的等比数列，且sinB+sin（A﹣C）=2sin2C．（1）求内角B的余弦值；（2）若b=，求△ABC的面积．18．（12分）某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知全集=N ，集合P ={}，6，4，3，2，1Q={}1,2,3,5,9则()P C Q =A ．{}3,2,1B ．{}6,4C ．{}9,5D {}6,4,3,2,12．如果映射f ：A →B 满足集合B 中的任意一个元素在A 中都有原象，则称为“满射”．若集合A 中有3个元素，集合B 中有2个元素，则从A 到B 的不同满射的个数为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．83．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f = A ．－2 B ．2 C ．5D ． 264．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为AC5．如果一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A、96 D 、806．已知命题p ：抛物线22x y =的准线方程为；命题q ：平面内两条直线的斜率相等是两条直线平行的充分不必要条件；则下列命题是真命题的是 A 、q p ∧ B 、()q p ⌝∧ C 、()()q p ⌝∧⌝ D 、q p ∨7．8．已知)(x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f < 对于任意R x ∈恒成立，则A. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>B. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<C. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>D. )0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<9．已知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有A. 2个B. 6个C. 8个D. 16个10．抛物线px y 22=与直线04=-+y ax 交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是A.7C. 6D. 511．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =()cos2xg x π=，则集合{}|()()x f x g x =等于 A ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1|2,2x x k k z ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．1|4,2x x k k z ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭D ．{}|21,x x k k z =+∈12. 已知点)1,0(-A ，点B 在圆C ：2222=-+y y x 上运动，则直线AB 斜率的取值范围是 A.]33,33[-B. ),33[]33,(+∞⋃--∞ C. ]3,3[- D. ),3[]3,(+∞⋃--∞二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111634a a a +=-，则11S =。

哈尔滨市2014年第三中学第二次高考模拟考试数学（文）试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第1I 卷（非选择题）两部分，满分1 50分，考试时间120分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证弓‘码填。

与清楚； （2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，小得折替、小要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题EI 要求的．）1．已知全集U=Z ，集合A={一1，0，1，2}，B={x|x 2=x}，则A C U B 为A ．{一1，2）B ．{一1，0}C ．{0，1）D ．{1，2）2．设i 为虚数单位，则复数31i z i=-在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第_象限C ．第三象限D ．第四象限3．若a=（一1，3），b=（x+1，一4），且（a+b ）//b ，则实数x 为A ．3B ．13C ．一3D ．一134．在等差数列{n a }中，12318192018,78,a a a a a a ++=++=则此数列前20项的和等于A ．160B ．180C ．200D ．2205．如果执行右面的程序框图，那么输出的S 为 A ．96 B ．768C ．1 536D ．7686．已知a ，b ，l ，表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，有下列四个命题：A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④7．等比数列{}n a 中，12a =，前n 项和为S n ，且若数列{1}n a +也是等比数列，则S n 等于A ．122n +-B ．3nC ．2nD ．3n —18．一动圆过点A （0，1），圆心在抛物线214y x =上，且恒与定直线，相切，则直线l 的方程为A ．x=1B ．132x =C ．132y =- D ．1y =-9．一只蚂蚁从正方体ABCD —A 1B 2C 1D 1的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C 。

2014年某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合P ={3, 4, 5}，Q ={6, 7}，定义P ∗Q ={(a, b)|a ∈P, b ∈Q}，则P ∗Q 的子集个数为（ ）A 7B 12C 32D 64 2. 已知复数a−2i i=b +i （a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则a −2b =( )A 1B 2C 3D 43. “p 或q 为真命题”是“p 且q 为真命题”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 6B 8C 10D 12 5. 已知数阵[a 11a 12a 13a 21a 22a 23a 31a 32a 33]中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数也依次成等差数列，若a 22=8，则这9个数的和为（ ） A 16 B 32 C 36 D 726. 如图所示的程序框图，它的输出结果是（ ）A 3B 4C 5D 67. 已知三个实数2，m ，8构成一个等比数列，则圆锥曲线x 2m +y 22=1的离心率为（ ）A √22 B √3 C √22或√3 D √22或√628. 若a ≥0，b ≥0，且当{x ≥0y ≥0x +y ≤1时，恒有ax +by ≤1，则以a ，b 为坐标的点P(a, b)所形成的平面区域的面积是（ ） A 12B π4C 1D π29. 在平行四边形ABCD 中，AD =1，∠BAD =60∘，E 为CD 的中点．若AD →⋅BE →=12，则AB的长为（ ）A 12B 1C 32D 210. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →=λFB →(λ>1)，则λ的值为（ ） A 5 B 4 C 43 D 5211. 已知函数f(x)对定义域R 内的任意x 都有f(x)＝f(4−x)，且当x ≠2时其导函数f′(x)满足xf′(x)>2f′(x)，若2<a <4则（ ）A f(2a )<f(3)<f(log 2a)B f(3)<f(log 2a)<f(2a )C f(log 2a)<f(3)<f(2a )D f(log 2a)<f(2a )<f(3)12. 函数f(x)={1−|x −1|,x ∈[0,2]12f(x −2)，x ∈(2,+∞)，则下列说法中正确命题的个数是（ ）①函数y =f(x)−ln(x +1)有3个零点；②若x >0时，函数f(x)≤kx 恒成立，则实数k 的取值范围是[32, +∞)；③函数f(x)的极大值中一定存在最小值；④f(x)=2k f(x +2k)，(k ∈N)，对于一切x ∈[0, +∞)恒成立． A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸的相应位置． 13. 若非零向量a →、b →，满足|a →|=|b →|，且(2a →+b →)⋅b →=0，则a →与b →的夹角大小为________． 14. 函数f(x)=sinx +cosx ，在各项均为正数的数列{a n }中对任意的n ∈N ∗都有f(a n +x)=f(a n −x)成立，则数列{a n }的通项公式可以为（写一个你认为正确的）________． 15. 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax +by =0与圆(x −2)2+y 2=2有公共点的概率为________．16. 已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AA 1=2，底面ABCD 的边长均大于2，且∠DAB =45∘，点P 在底面ABCD 内运动且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥P −D 1MN 体积的最大值为________．三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤 17. 在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，直l 1:ax +y +1=0与直线l 2：(b 2+c 2−bc)x +ay +4=0互相平行（其中a ≠4） （1）求角A 的值，（2）若B ∈[π2，2π3)，求sin 2A+C 2+cos2B 的取值范围．18. 从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155, 160)，第二组[160, 165)，…，第八组[190, 195]，右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人． （1）求第七组的频率；（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm 以上（含180cm ）的人数； （3）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为x ，y ，事件E ={|x −y|≤5}，事件F ={|x −y|>15}，求P(E ∪F)．19. 如图，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD // BC ，AD =6，BC =4，AB =2，E 、F 分别在BC 、AD 上，EF // AB ．现将四边形ABEF 沿EF 折起，使得平面ABEF ⊥平面EFDC ．（1）当BE =1，是否在折叠后的AD 上存在一点P ，且AP →=λPD →，使得CP // 平面ABEF ？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；（2）设BE =x ，问当x 为何值时，三棱锥A −CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值． 20. 已知函数f(x)=e x ，若函数g(x)满足f(x)≥g(x)恒成立，则称g(x)为函数f(x)的下界函数．（1）若函数g(x)=kx 是f(x)的下界函数，求实数k 的取值范围；（2）证明：对任意的m ≤2，函数ℎ(x)=m +lnx 都是f(x)的下界函数．21. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，O 为坐标原点，点P(−1, √22)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →+F 2M →=0→.(1)求椭圆的标准方程；(2)圆O 是以F 1F 2为直径的圆，一直线l:y =kx +m 与圆O 相切，并与椭圆交于不同的两点A 、B ，当OA →⋅OB →=λ且满足23≤λ≤34时，求△OAB 的面积S 的取值范围．四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22. 选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC // OD．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）如果AD=AB=2，求EB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为{5x=1−4t5y=18+3t（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程以及曲线C2的普通方程；（2）设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，求这两条切线所成角余弦的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 设函数f(x)＝|2x+1|−|x−4|．（1）求不等式f(x)>2的解集；（2）求函数f(x)的最小值．2014年某校高考数学二模试卷（文科）答案1. D2. C3. B4. D5. D6. C7. C8. C9. D10. B11. C12. B13. 120∘14. a n=(n−34)π(n∈Z)15. 71216. 13(√2−1)17. 解：（1）l1 // l2，得a2=b2+c2−bc(a≠4)即b2+c2−a2=bc…∴ cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12∵ A∈(0, π)，∴ A=π3．…（2）sin2A+C2+cos2B=cos2B2+2cos2B−1=cosB+12+2cos2B−1=2cos2B+12cosB−1 2=2(cosB+18)2−1732…∵ B∈[π2，2π3), ∴ cosB∈(−12，0]…∴ 2(cosB+18)2−1732∈[−1732,−14)…即sin2A+C2+cos2B的取值范围为[−1732，−14)…18. 解：（1）第六组的频率为450=0.08，所以第七组的频率为1−0.08−5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06；（2）身高在第一组[155, 160)的频率为0.008×5=0.04，身高在第二组[160, 165)的频率为0.016×5=0.08，身高在第三组[165, 170)的频率为0.04×5=0.2，身高在第四组[170, 175)的频率为0.04×5=0.2，由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5，0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，则170<m<175由0.04+0.08+0.2+(m−170)×0.04=0.5得m=174.5所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18，所以身高在180cm以上（含180cm）的人数为0.18×800=144人．（3）第六组[180, 185)的人数为4人，设为a，b，c，d，第八组[190, 195]的人数为2人，设为A，B，则有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB共15种情况，因事件E={|x−y|≤5}发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况，故P(E)=715．由于|x−y|max=195−180=15，所以事件F={|x−y|>15}是不可能事件，P(F)=0由于事件E和事件F是互斥事件，所以P(E∪F)=P(E)+P(F)=715．19. CP // 平面ABEF成立．（2）∵ 平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，∴ AF⊥平面EFDC，∵ BE=x，∴ AF=x，(0<x<4)，FD=6−x，故三棱锥A−CDF的体积V=13×12×2×(6−x)x=13[−(x−3)2+9]=−13(x−3)2+3，∴ x =3时，三棱锥A −CDF 的体积V 有最大值，最大值为3． 20. 解：（1）若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，易知k <0不成立，而k =0必然成立． 当k >0时，若g(x)=kx 为f(x)=e x 的下界函数，则f(x)≥g(x)恒成立， 即e x −kx ≥0恒成立．令ϕ(x)=e x −kx ，则ϕ′(x)=e x −k ．易知函数ϕ(x)在(−∞, lnk)单调递减，在(lnk, +∞)上单调递增．由ϕ(x)≥0恒成立得ϕ(x)min =ϕ(lnk)=k −klnk ≥0，解得0<k ≤e ． 综上知0≤k ≤e ．（2）由（1）知函数G(x)=ex 是f(x)=e x 的下界函数，即f(x)≥G(x)恒成立． 由于 m ≤2，构造函数F(x)=ex −lnx −m(x >0)， 则 F′(x)=e −1x =ex−1x，易知F(x)min =F(1e )=2−m ≥0，即ℎ(x)=m +lnx 是G(x)=ex 的下界函数， 即G(x)≥ℎ(x)恒成立．所以f(x)≥G(x)≥ℎ(x)恒成立，即m ≤2时，ℎ(x)=m +lnx 是f(x)=e x 的下界函数． 21. 解：(1)∵ PM →+F 2M →=0→， ∴ 点M 是线段PF 2的中点， ∴ OM 是△PF 1F 2的中位线， 又OM ⊥F 1F 2， ∴ PF 1⊥F 1F 2，∴ {c =11a 2+12b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2=2，b 2=1，c 2=1， ∴ 椭圆的标准方程为x 22+y 2=1． (2)∵ 圆O 与直线l 相切， ∴√k 2+1=1，即m 2=k 2+1，由{x 22+y 2=1y =kx +m，消去y ， 得：(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 与椭圆交于两个不同点， ∴ Δ>0，∴ k 2>0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−21+2k 2，y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m) =k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =m 2−2k 21+2k 2，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=1+k 21+2k 2=λ，∵ 23≤λ≤34，∴ 23≤1+k 21+2k 2≤34，解得：12≤k 2≤1， S =S △AOB =12|AB|⋅1=12√1+k 2√(−4km 1+2k 2)2−42m 2−21+2k 2 =√2(k 4+k 2)4(k 4+k 2)+1，设μ=k 4+k 2，则34≤μ≤2，S =√2μ4μ+1=√24+1μ，μ∈[34，2]，∴ S 关于μ在[34,2]上单调递增， S(34)=√64，S(2)=23．∴√64≤S ≤23．22. （1）证：连接AC ，AB 是直径，则BC ⊥AC由BC // OD ⇒OD ⊥AC则OD 是AC 的中垂线⇒∠OCA =∠OAC ，∠DCA =∠DAC ，⇒∠OCD =∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO =90∘． ⇒OC ⊥DE ，所以DE 是圆O 的切线．（2） BC // OD ⇒∠CBA =∠DOA ，∠BCA =∠DAO ⇒△ABC ∽△AOD ⇒BC OA =AB OD ⇒BC =OA ⋅AB OD =1×2√5=2√55⇒BC OD =25⇒BE OE =25⇒BE OB =23 ⇒BE =2323. 解：（1）对于曲线C 1的方程为ρ2−2ρ(cosθ−2sinθ)+4=0，可化为直角坐标方程x 2+y 2−2x +4y +4=0，即(x −1)2+(y +2)2=1； 对于曲线C 2的参数方程为{5x =1−4t5y =18+3t（t 为参数），可化为普通方程3x +4y −15=0．（2）过圆心(1, −2)点作直线3x +4y −15=0的垂线，此时两切线成角θ最大，即余弦值最小．则由点到直线的距离公式可知，d =√32+42=4，则sin θ2=14，因此，cosθ=1−2sin 2θ2=78，因此两条切线所成角的余弦值的最小值是78．24. ①由{−x −5>2x <−12 ，解得x <−7； ②{3x −3>2−12≤x ≤4 ，解得53<x ≤4；③{x +5>2x >4，解得x >4；综上可知不等式的解集为{x|x <−7或x >53}．如图可知f(x)min =−92．。

2014年大连市高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1．C ；2．C ；3．B ；4．D ；5．C ；6．A ；7．C ；8．A ；9．B ；10．A ；11．D ；12．B二．填空题13． 4； 14．6； 15． 0.6； 16． 262-； 三．解答题 17题：32cos )Ⅰ(=A ,35sin =∴A ， 又A A C B C B 2sin 2sin 2)(2sin 2cos 222-=+++ ……………………………2分 954332352321cos sin 2cos 1-=⨯⨯--=--=A A A …………………6分 )Ⅱ(由A bc c b a cos 2222-+=,得：32342322322bc bc bc bc c b =⨯-≥⨯-+=，29≤∴bc ………..10分 4533549)32(129212=⨯=-⨯⨯≤∴∆ABC S ABC ∆∴面积最大值为453 …………12分 18．解： 设5件产品中，两件一等品为21a a 、，两件二等品为21b b 、，三等品为c .(Ⅰ)若取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间1Ω，则{}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21212221212111211c b c b b b c a b a b a c a b a b a a a =Ω………3分 共10个基本事件.设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A ，则事件A={}),)(,)(,)(,)(,)(,(2221212111c a b a b a c a b a b a 含有6个基本事件， 所以53106)(==A P …………..6分 (Ⅱ) 若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间2Ω,则{),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221222121211121112a b a b c a b a b a a a a a c a b a b a a a a a =Ω }),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(212122212221212111c c b c b c a c a c c b b b b b a b a b c b b b b b共25个基本事件 ……………….. 8分设取出的两件产品属于不同等次为事件B ，则事件B={),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221212111a b a b c a b a b a c a b a b a}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(2121222121b c b c a c a c c b a b a b c b 共16个基本事件.所以2516)(=B P … …………………12分 19题：（Ⅰ）证明：因为E 是AD 的中点，FD FA =，所以AD FE ⊥因为侧面ABCD 是菱形， 60=∠BAD ，所以BD AB =，又因为E 是AD 的中点，所以AD BE ⊥，因为E BE FE =⋂，所以⊥AD 平面EFB …… ……………..4分（Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连结OQ .O 是AC 中点，Q 是FC 的中点， ∴OQ 为FAC ∆的中位线，∴ //OQ FA ⊄FA 平面BDQ ，BDQ 平面⊂OQ 所以FA BDQ 平面//… ………….8分（Ⅲ）设四棱锥BCDE F -,ABCD Q -的高分别为21,h h ，所以 =-BCDE F V 131h S BCDE ，231h S V ABCD ABCD Q =- 因为ABCD Q BCD E F V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43= 所以3821=h h ，因为CQCF h h =21，所以38=CQ CF …… ……………………12分 20．解：（Ⅰ）∵24b =，∴2b =.∵e =28a =，∴221:184y x C +=。

2014年数学二模答案（文科）1. D2. B3. D4. D5. A6. A7.C8. A9. B 10. A 11.C 12.B13. 2π13. -2 13.576 16. 3-617. 解：（Ⅰ）由题意21=-+n n a a ， 1 分所以数列{}n a 为等差数列，n n na n n na S n -+=⨯-+=21122)1( ………2分729,306,124191614+=+=+=a S a S a S所以)729)(124()306(1121++=+a a a ………3分 解得11=a 4 分所以12-=n a n ， 2n S n = 6 分（Ⅱ）nn n n n n n b 3)111(3)1(1++-=++=8 分分分12 2111321 2)13(3111 10 31)31(3111413131212111 -+-⋅=-++-=--++-++-+-+-=∴+n n n n T n n n n18. （1）设代表队共有n 人，则n 50165=，160=∴n …………1分 则季军队的男运动员人数为()203020303030160=++++-. …………2分 （2）设男生为1a ，2a ，3a ，女生为1b ，2b ，试验： 随机抽取2人，包括的基本事件有：1a 2a ，1a 3a ，1a 1b ，1a 2b ，2a 3a ， 2a 1b ，2a 2b ，3a 1b ，3a 2b ，1b 2b 共10个 …………4分随机事件A ：有女生上台领奖，包括的基本事件有：1a 1b ，1a 2b ，2a 1b ，2a 2b 3a 1b ，3a 2b ，1b 2b共7个，…………6分()107=∴A P ， …………7分则有女生上台领奖的概率为107.（3）试验的全部结果所构成的区域为()}{40,40,≤≤≤≤=Ωy x y x ，面积为1644=⨯=ΩS ， …………9分 事件A 表示运动员获得奖品，所构成的区域为(){}40,40,084,≤≤≤≤≤--=y x y x y x A ，即图中的阴影部分， …………10分面积为()1043221=⨯+=A S ，这是一个几何概型， …………11分所以()85==ΩS S A P A . …………12分19.（1）证明：菱形ABCD 对角线互相垂直，AC BD ⊥∴，AO BD ⊥∴. AC EF ⊥ ，EF PO ⊥∴. ……………2分 EF ABFED PEF ABFED PEF =⊥平面平面平面平面 ,，且PEF PO 平面⊂ABFED PO 平面⊥∴ ……………4分又ABFED BD 平面⊂ BD PO ⊥∴.O PO AO =POA BD 平面⊥∴. ……………6分（2）设H BD AO = ，60=∠DAB 为等边三角形BDC ∆∴32,2,4===∴HC HB BD设x OH x PO -==32,则，x OA -=34 连接,,,BD OH OB PH ⊥由得()222232+-=x OB …………8分又由（1）知BFED PO 平面⊥， 则OB PO ⊥.()22222232x x OP OB PB ++-=+=∴()10322+-=x . …………10分 当103min ==PB x 时，， …………11分此时OH PO ==3，PO S V BDEF BDEFP ⨯⨯=∴-梯形四棱锥31332434433122=⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯=.…………12分20.解：（Ⅰ）20.解：（Ⅰ）如图，设221122(2)(2)A x x B x x ，，，，把22+=x y 代入22y x =得012=--x x ． ……………1分由韦达定理得121=+x x ． ……………2分∴21=M x ， ……………3分N 点的坐标为)21,21(． ……………5分（Ⅱ）假设存在以为AB直径的圆过点N ．则有0=⋅ABE把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=．由韦达定理得121212kx x x x +==-， ． ……………6分∴1224N M x x k x x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……………7分 22221122224848k k k k NA x x NB x x ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则)82)(82()4)(4(22222121k x k x k x k x --+--=⋅222212124441616k k k k x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=)]4)(4(41)[4)(4(2121k x k x k x k x +++-- 22313164k k ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0 ……………8分 21016k --<，23304k ∴-+=，解得2=k ． ……………9分则圆心M 点的坐标为（3,21） ……………10分 2122124)(1||x x x x k AB -++==555=⋅=R 2…所以圆的方程为425)3()21(22=-+-y x ……………12分21. 解（1）x ax a x x f -=-='11)(（0>x ） ......1分①当0≤a 时，0)(>'x f ，增区间是),0(+∞； ......3分②当0>a 时，增区间是)1,0(a ，减区间是),1(+∞a ； ......5分（2）设)(x g 的切点),(11y x ，)(x f 的切点),(22y x ，⎪⎩⎪⎨⎧==='111111)(x x e y x y e x g 解得⎪⎩⎪⎨⎧===e k e y x 111， ......7分所以⎪⎩⎪⎨⎧--===-=')1(ln 11)(2222222x a x y x y e a x x f ，∴2222)1(ln 1x x a x a x --=-，∴a x -=1ln 2，∴ae x -=12代入e a x 112=-得01=--ae e a ，令1)(--=ae e a p a e e a p a -=')(，)(a p 在)1,(-∞递减，在),1(+∞上递增 ......9分当)1,(-∞∈a 时，因为0)0(=p ，所以0=a ......10分当),1(+∞∈a 时，01)1(<-=p ，012)2(2>--=e e p ，所以21<<a ， 综上0=a 或21<<a ......12分 22.AC 是切线∴EACB ∠=∠又 DC 是ACB ∠的平分线，DCB ACD ∠=∠，AFD ADF ACD EAC DCB B ∠=∠∴∠+∠=∠+∠, ......3分BE 是圆O 的直径，︒=∠∴90BAE︒=∠45ADF ......5分（2）EAC ACB B AC AB ∠=∠=∠∴=,由（1）得︒=∠=∠+∠+∠=∠+∠∴︒=∠903,90B EAC ACE B AEB B BAE︒=∠∴30B......7分ACE ACB ACB EAC B ∆∴∠=∠∠=∠,,∽BCA ∆， ......9分3330tan =︒==AB AE BC AC ......10分23. （1）曲线C 的直角坐标方程为1422=+y x ......2分 所以参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x ，（α为参数） ......5分（2）2121ρρ=∆AOB S ，)cos 4sin )(sin 4cos (122222221θθθθρρ++= ......7分 4cos sin 16sin cos 174422θθθθ++=4sin cos 2)cos (sin 16sin cos 172222222θθθθθθ-++==]6425,41[41642sin 92∈+θ， ......9分 当且仅当12sin =θ时即4πθ=时，最小54的最小值为AOB S ∆ ......10分24. 解：（Ⅰ）由题意0)3(416≥-+-a a43≤-+∴a a 1 分当3≥a 时，43≤-+a a ，解得273≤≤a当30<<a 时，43≤-+a a ，解得30<<a当0≤a 时，43≤-+-a a ，解得021≤≤-a 4 分综上：}2721|{≤≤-=a a A 5 分第 11 页 共 11 页 （Ⅱ）由题意⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈27,21a 令0122)(2<-+-=t a t a g 恒成立 6 分 )(a g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈27,21a 单调递减)21(<-∴g8 分 0122<-+∴t t33<<-∴t10 分。

吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测数学（文科）试题解析【试卷综析】本试卷依据遵循考试大纲和考试说明要求，在考查基础知识的同时，注重了对数学思想方法的考查，强化了对数学理性思维的能力要求，兼顾试题的基础性、综合性，具有良好的考查效果。

转化思想充盈着试卷。

转化思想的考查在整个试卷中随处可见，如16题通过坐标运算转化为三角函数的最值问题，一气呵成，浑然一体。

第21题的转化方法更是“技高一筹”.数形结合思想也作了重点考查，如11，13，15题等.问题的设问方式上突破了常规的“存在”模式，为不同层次的考生提供了自我思考的机会，如第20题。

总之该试卷有效地考查了运算求解能力、数据处理能力、空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力以和创新意识等，凸显了能力考查.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2,4A =，{}2,3,4B =，则()U C A B =A. {}2,4B. ∅C. {}1,2,3,4D. {}1,3【知识点】集合的交集、补集的运算 【答案解析】D {}2,4A B =，所以(){}1,3.U C A B =【思路点拨】先求出AB ，再求关于U 的补集.2．已知i 为虚数单位，则复数 A ．i - B ．i C ．1i + D ．1i -【知识点】复数的除法运算【答案解析】B 【思路点拨】先分母实数化，再利用21i =-简化运算. 3．若R y ,x ∈，则1≤y ,x 是122≤+y x 成立的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分必要条件的判断【答案解析】A 122≤+y x 推得1≤y ,x ，所以1≤y ,x 是122≤+y x 成立的必要而不充分条件.【思路点拨】 考虑1≤y ,x 条件下取负数和122≤+y x 表示的区域即可. 4．下列函数中，在定义域内既是奇函数又为增函数的是 A.1()2xy = B.sin y x = C.3y x = D.12log y x =【知识点】函数的单调性和奇偶性的判断【答案解析】C 由奇函数条件排除A,D ，而sin y x =单调性周期性变化，排除B. 【思路点拨】四个函数均为熟悉的函数，记住图象就能迅速判断.5．已知1||=a ，2||=b ，向量a 与b 的夹角为60，则=+||b aA B C ．1 D ．2 【知识点】向量的夹角、向量的模的运算 【答案解析】B ()2|52cos 607.a b a ba b ︒+=+=+=【思路点拨】利用2a a =和数量积运算公式可得.6A B ．3 CD 【知识点】双曲线方程及其离心率的运算【答案解析】Cc e a ==== 【思路点拨】根据焦点坐标的位置确定相应的,,.a b c注意c e a ===运算方式的选择.7．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为A ．3B ．2C ．1D ．12【知识点】导数的意义与切线 【答案解析】 B00x >0 2.x =【思路点拨】函数23ln 4x y x =-求导后代入切点横坐标即为过该点切线的斜率.8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 【知识点】等差数列的性质【答案解析】D 2236,2,02 2.a a d ===-=- 【思路点拨】1322a a a +=这一性质使解答更为快捷. 9．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是 A ．－3 B ．－12 C ． 13 D ． 2【知识点】程序框图的识别与判断【答案解析】B 研究数对(),i S 的规律，不难发现运算结果如下：()()()111,32,3,4,25,3...23⎛⎫⎛⎫-→-→→→-→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然由201450342=⨯+得最终输出的结果为12-. 【思路点拨】由11SS+-这一结构可以联想到周期性运算，从而通过判断周期解决. 10．若函数()()()()2,12log 1aa a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩在(),-∞+∞上单调递增，则实数a 的取值范 围是 A ．()1,2B ．4(1,]3 C ．4[,2)3D ．()0,1【知识点】对数函数的性质，分段函数的单调性判断【答案解析】C 易知20,a ->且1a >.又直线()22a y a x =--过定点1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以对于直线()22a y a x =--，满足()2102a a -⨯-≤即可，所以43a ≥. 综上可知，a 的取值范围是4[,2)3.【思路点拨】分段函数整体递增，则在每段上必递增，这样确定了参数a 的大致范围，然后寻找两段函数的“结合点”，利用数形结合思想来确定.11．若不等式1a -≥2x y +，对满足225x y +=的一切实数,x y 恒成立，则实数a 的取值范围是A ．44a -≤≤B ．46a -≤≤C ．6a ≥或4a ≤-D ．6a ≥或6a ≤- 【知识点】可转化为线性规划的不等式恒成立问题【答案解析】C 由1a -≥2x y +对满足225x y +=的一切实数,x y 恒成立这一条件可知求出2x y +的最大值，让1a -大于或等于该最大值即可.设2z x y =+，得5z =，所以()max 25x y +=，解不等式15a -≥得6a ≥或 4.a ≤-【思路点拨】研究2x y +的最大值是解决问题的关键，这一目标需结合线性规划、与圆有关的数形结合知识来解决.12A ． 1B ． 0 CD【知识点】正切函数的图象和性质【答案解析】C 由图象可得8238ππωϕπωϕπ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得2,,4πωϕ==代入()0,1得1,A =所以()tan(2)4f x x π=+【思路点拨】依据图象特点确定2,,4πωϕ==注意图象中的特殊点的作用。

齐齐哈尔市高三第二次模拟考试数学试卷参考答案(文科)1．B ∵A ＝{}0，1，2，∴A ∪B ＝{0，1，2，3}．2．B z ＝1－ai 1＋i ＝1(1)2a a i --+，则1－a2＝－1，得a ＝3，∴z 的虚部为－2.3．D ∵a 4＋a 8＝14，∴a 6＝7，则S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7（a 2＋a 6）2＝35.4．A 由抛物线y 2＝(a 2－9)x 开口向右可得a 2－9＞0，即得a ＞3或a ＜－3，∴“a ＞3”是“方程y 2＝(a 2－9)x 表示开口向右的抛物线”的充分不必要条件，故应选A.5．A 根据题意可得甲组数据的中位数为21，则可得20＋n ＝21，即n ＝1，所以乙组数据的平均数为22，则可得20＋22＋28＋10＋m 4＝22，解得m ＝8，所以mn＝8.6．A 当x ＝3时，f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9，显然f (3)<g (3)，则h (3)＝9，故h (3)－3＝6.7．C 由三视图可知该几何体为半个圆锥，底面半径为1，高为3，∴表面积S ＝12×2×3＋12×π×12＋12×π×1×2＝3＋32π. 8．C ∵log 83>log 93>log 985，∴c >a >b .9．D 作出不等式组对应的区域为三角形BCD ，直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图象可知要使直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则有直线的斜率k ≥k MC ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)．又k MC ＝2－（－1）1－0＝3，所以k ≥3，即[3，＋∞)．10．A 将f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π6)的图象向左平移m 个单位，得函数g (x )＝2sin(2x ＋2m －π6)的图象，则由题意得2×π6＋2m －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即有m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∵m >π2，∴当k ＝1时，m 取最小值为2π3.11．C 因为关于x 的方程f (x 2＋2x )＝a 有6个不等的实根，所以f (t )＝a 应该有三个实根，且x 2＋2x ＝t 有两个不等的实根因为f (t )＝a 有三个实根，所以t 3＋9＝a ，即a ≤9，因为x 2＋2x －t ＝0有两个不等的实根，所以Δ＝4＋4t >0，即t >－1，因为t 3＋9＝a ，所以t ＝3a －9>－1，所以a －9>－1，所以a >8，故选C.12. A 设点P (x ，y )，Q (x ，－y )，可得 A (－a ，0)，B (a ，0)，由PB →·AQ →＝0得x 2－y 2＝a 2①，又知点P (x ，y )在双曲线C 上，所以有x 2a 2－y 2b2＝1 ②，由①②可解得a ＝b ，因此双曲线C 的离心率e ＝ 2.13．－10 ∵a ∥b ，∴x ＝－4，又∵b ⊥c ，∴2m ＋12＝0，即m ＝－6，∴x ＋m ＝－10.14. 12 若f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋6＝(x －a )2－a 2＋a ＋6没有零点，则－a 2＋a ＋6＞0，解得－2＜a ＜3，则函数y ＝f (x )有零点的概率P ＝1－3－（－2）5－（－5）＝12.15．11356 ∵a 1＝2，a 2＝－13，a 3＝－32，a 4＝2，∴可知数列{a n }是以3为周期的数列，∴S 2014＝a 1＋671×(2－13－32)＝11356.16.433 设球心到平面ABC 的距离为h ，球的半径为R ，则球面上的点到平面ABC 的最大距离为h ＋R ，由题知R ＝3，又因h ＝3－（22·33)2＝33，所以h ＋R ＝433.17．解：(1)∵c ＝2b cos A ，由正弦定理得sin C ＝2sin B ·cos A ，∴sin(A ＋B )＝2sin B ·cos A ，即有sin(A －B )＝0，在△ABC 中，∵0<A <π，0<B <π，∴－π<A －B <π，∴A ＝B .(6分) (2)由(1)知a ＝b .∵cos C ＝45，∴sin C ＝35.∵△ABC 的面积S ＝152，∴S ＝12ab sin C ＝152，a ＝b ＝5，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝10，得c ＝10.(12分)18．解：(1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35. 因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1.从而a ＝0.35－b －c ＝0.1.所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(6分)(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}．设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为：{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P (A )＝410＝0.4.(12分)19．解：(1)取CD 的中点为F ，连结EF ，则EF 为△A 1CD 的中位线．∴EF ∥A 1C .(2分)又EF 平面A 1BC ，∴EF ∥平面A 1BC .(5分)(2)四边形ABCD 为直角梯形且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2，AB ＝BC ＝1，∴AC ＝CD ＝2，∴AD 2＝AC 2＋CD 2即CD ⊥AC .(7分)又AA 1⊥底面ABCD ，CD 底面ABCD ，∴AA 1⊥CD ，又AA 1∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面A 1ACC 1.(9分) 由CD ⊥平面A 1ACC 1，∴CD 为四棱锥D －A 1ACC 1的底面A 1ACC 1上的高，又AA 1⊥底面ABCD ，∴四边形A 1ACC 1为矩形，∴四棱锥D －A 1ACC 1的体积V D －A 1ACC 1＝13S A 1ACC 1·CD ＝13×2×2×2＝43.(12分)20. 解：(1)因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)满足a 2＝b 2＋c 2, c a ＝63，(2分)12×b ×2c ＝523，解得a 2＝5，b 2＝53，则椭圆方程为x 25＋y 253＝1.(4分) (2)将y ＝k (x ＋1)代入x 25＋y 253＝1中得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0，Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0，x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1，x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1，所以MA →·MB →＝(x 1＋73，y 1)(x 2＋73，y 2)＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋y 1y 2＝(x 1＋73)(x 2＋73)＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(73＋k 2)(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋(73＋k 2)(－6k 23k 2＋1)＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝49.(12分)21.解：(1)当a ＝13时，f (x )＝13x 3－3x 2，∴f ′(x )＝x 2－6x ，∴h (x )＝f ′(x )＋6x ＝x 2，令F (x )＝x 2－2eln x (x ＞0)，∴F ′(x )＝2x －2e x ＝2（x －e ）（x ＋e ）x，∵x ∈(0，e]，F ′(x )≤0，x ∈[e ，＋∞)，F ′(x )≥0，∴当x ＝e 时，且F (x )取得极小值，且F (e)为F (x )在(0，＋∞)上的最小值， ∵F (e)＝(e)2－2eln e ＝0，∴F (x )＝x 2－2eln x ≥F (e)＝0，即x 2≥2eln x . （6分） (2)g (x )＝ax 3＋(3a －3)x 2－6x ，x ∈[0，2]， g ′(x )＝3ax 2＋2(3a －3)x －6， (*) 令g ′(x )＝0有Δ＝36a 2＋36＞0， 设方程(*)的两根为x 1，x 2， 则x 1x 2＝－2a＜0，设x 1＜0＜x 2，当0＜x 2＜2时，g (x 2)为极小值，∴g (x )在[0，2]上的最大值只能为g (0)或g (2)； 当x 2≥2时，g (x )在[0，2]上单调递减，最大值为g (0)，∴g (x )在[0，2]上的最大值只能为g (0)或g (2); 又已知g (x )在x ＝0处取得最大值，∴g (0)≥g (2)， 即0≥20a －24，解得a ≤65，∴a ∈(0，65]．（12分）22．解：(1)连结AB ，∵AC 是⊙O 1的切线，∴∠BAC ＝∠D .又∵∠BAC ＝∠E ，∴∠D ＝∠E ，∴AD ∥EC .(4分)(2)∵P A 是⊙O 1的切线，PD 是⊙O 1的割线，∴P A 2＝PB ·PD .∴62＝PB ·(PB ＋9)，∴PB ＝3.在⊙O 2中，由相交弦定理得P A ·PC ＝BP ·PE .∴PE ＝4，∵AD 是⊙O 2的切线，DE 是⊙O 2的割线， ∴AD 2＝BD ·DE ＝9×16，∴AD ＝12.(10分)23．解：(1)将C 转化为普通方程是x 23＋y 2＝1，将l 转化为直角坐标方程是x ＋y －4＝0.(4分)(2)在x 23＋y 2＝1上任取一点A (3cos α，sin α)，则点A 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－4|2＝|2sin （α＋60°）－4|2，它的最大值为3 2.(10分)24．证明：①∵ab ≤(a ＋b 2)2＝14，当且仅当a =b =12时等号成立,∴1ab ≥4.∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a 2＋1b 2≥8.(5分) ②∵1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b +1a ＋1b =2(a ＋b )(1a ＋1b )=4+2(b a ＋ab )≥4+4b a ·a b=8, 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(10分)。

2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{4，8}B．{2，4，6，8}C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i 3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，且S=，则b=（）△ABCA．1B．2C．3D．37．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6B．5C．4D．38．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）B．f（ln2014）=2014f（0）C．f（ln2014）＞2014f（0）D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{4，8}B．{2，4，6，8}C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）={4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，8}={4，8}，故选：A．2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i【解答】解：=，|z|==1，∴+|z|==．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）+a n=0，得2a n+1=﹣a n，【解答】解：由2a n+1则，则数列{a n}是公比q=的等比数列，∵a2=1，∴a1=﹣2，则数列{a n}的前10项和S10==（2﹣10﹣1），故选：C．4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣．sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα）=（1+）=，故选：B．5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，且S=，则b=（）△ABCA．1B．2C．3D．3【解答】解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，由正弦定理化简sinC=3sinB，得c=3b，=bcsinA=3b2•=，∵S△ABC∴b=1．故选：A．7．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵==，=﹣16，∴．∵D为边BC的中点，∴====3．故选：D．8．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数【解答】解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i﹣5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B．9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）【解答】解：当x=7，y=6时，n=1，满足条件n＜5，x=7，y=8，n=2，第二次运行，n=2，满足条件n＜5，x=9，y=10，n=3，第三次运行，n=3，满足条件n＜5，x=11，y=12，n=4，第四次运行，n=4，满足条件n＜5，x=13，y=14，n=5，此时不满足条件n＜5输出x=13，y=14，即输出的实数对为（13，14），故选：A．10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称【解答】解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象的解析式为f（x）=2sin[2（x﹣）+]+2=2sin（2x﹣）+2．∵f（x）+h（﹣x）=2sin（2x﹣）+2+2sin（﹣2x+）=2，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2×1﹣h（2×0﹣x）．则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象关于点（0，1）对称．故选：D．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0【解答】解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C．12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）B．f（ln2014）=2014f（0）C．f（ln2014）＞2014f（0）D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定【解答】令g（x）=，则g′（x）==，因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2014＞0，所以g（ln2014）＞g（0），即，所以f（ln2014）＞2014f（0），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是13+23+33+43+…+n3=（）2，．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2，14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为【解答】解：由三视图得该几何体是三条侧棱互相垂直的三棱锥，长方体的一个角，三条棱长分别为3，4，5，几何体扩展为长方体，三棱锥的外接球与扩展的长方体的外接球相同，对角线的长度就是外接球的直径，设几何体外接球的半径为R，∴2R==5，即R=，故外接球的体积是=．故答案为：．15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为3．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，经过点A（1，0）时直线y=的截距最小，此时z最大．此时z=3×1﹣4×0=3，故答案为：3．16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为②④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图①中，AD1与C1P是共面直线，是相交直线，∴①不正确；对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，PA=PC=，AC=a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，）不正确；对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵==（﹣2，﹣2，2），∴=+（﹣2，﹣2，2）=（1，1，2）．==（﹣2，1，2），=（1，﹣2，2）∴cos∠APC==0，∠APC=90°．若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．正确，故答案为：②④三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…（2分）又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，﹣a n=5a n+1，…（4分）∴a n+1∴，∴数列{a n}是首项为，公比为q=﹣的等比数列，∴．…（6分）（Ⅱ）解：，…（8分）∴==（），…（10分）∴==．…（12分）18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，第四组的频率是0.100×2=0.2，第五组的频率是0.050×2=0.1．…（3分）（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，∴甲乙两产品同时被选中的概率为p==．…（7分）②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==，∴X的分布列为：X01 2P…（10分）EX==．…（12分）19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD …（4分）（Ⅱ）解：设C1H为C1到平面BDD1B1的距离，∵BD⊥A1A，BD⊥AC，A1A∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1O，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴AO=AC=，∵AA1=2，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵AC∩BD=O，∴A1O⊥平面ABCD，…（8分）∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O=3 …（10分）∵A1O••2=•C1H••2•2，∴C1H=…（12分）20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y=﹣1相切，且与定圆M：x2+（y﹣2）2=1外切所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=﹣2的距离相等由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=﹣2为准线的抛物线故所求P的轨迹方程为：x2=8y．…（4分）（Ⅱ）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入到x2=8y中得x2﹣8kx﹣8b=0，所以x1+x2=8k，x1x2=﹣8b…（6分）又因为•=x1x2+y1y2=x1x2+=﹣8b+b2=﹣16，∴b=4，…（10分）∴恒过定点（0，4）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴，g'（x）=2ax﹣1．…（2分）∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得．…（4分）（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0则，…（5分）∴当x＞1时，y＜0；当﹣＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣时，y＞0．∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2，则，由=0，得x=，∵x∈（1，e b）且b＞2e，∴，e b＞，∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，∴G（x）在上单调递增，在上单调递减∴当x=时，，…（10分）∵b＞2e，∴，∴，∴又∵G（1）=﹣1＜0G（e b）=blne b﹣e2b=b2﹣e2b=（b+e b）（b﹣e b）＜0，∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内有两个实根．…（12分）第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．【解答】（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，所以△ACB∽△CQA，所以，所以AC2=CQ•AB…（5分）（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，由AB=，BP=2得，PC=6，AP为圆O的切线又因为AQ为圆O的切线…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实欢迎关注微信公众号（QQ群）：兰老师高中数学研究会557619246 数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c ≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）第1页（共1页）。

辽宁省大连市2014届高三数学第二次模拟试题文（扫描版）2014年大连市高三第二次模拟考试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．C ；2．C ；3．B ；4．D ；5．C ；6．A ；7．C ；8．A ；9．B ；10．A ；11．D ；12．B 二．填空题13． 4； 14．6； 15． 0.6； 16． 262-； 三．解答题 17题：32cos )Ⅰ(=A Θ,35sin =∴A ，又A AC B C B 2sin 2sin 2)(2sin 2cos222-=+++Θ……………………………2分 954332352321cos sin 2cos 1-=⨯⨯--=--=A A A …………………6分)Ⅱ(由A bc c b a cos 2222-+=,得：32342322322bc bc bc bc c b =⨯-≥⨯-+=，29≤∴bc ………..10分 4533549)32(129212=⨯=-⨯⨯≤∴∆ABC SABC ∆∴面积最大值为453 …………12分 18．解： 设5件产品中，两件一等品为21a a 、，两件二等品为21b b 、，三等品为c . (Ⅰ)若取出后不放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间1Ω，则{}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21212221212111211c b c b b b c a b a b a c a b a b a a a =Ω………3分 共10个基本事件.设取出的两件产品中恰有一件一等品为事件A ，则事件A={}),)(,)(,)(,)(,)(,(2221212111c a b a b a c a b a b a 含有6个基本事件， 所以53106)(==A P …………..6分 (Ⅱ) 若取出后放回，连续取两次，所取产品情况构成基本事件空间2Ω,则{),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221222121211121112a b a b c a b a b a a a a a c a b a b a a a a a =Ω}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(212122212221212111c c b c b c a c a c c b b b b b a b a b c b b b b b共25个基本事件 ……………….. 8分 设取出的两件产品属于不同等次为事件B ，则事件B={),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(21112221212111a b a b c a b a b a c a b a b a}),)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,(2121222121b c b c a c a c c b a b a b c b 共16个基本事件.所以2516)(=B P … …………………12分 19题：（Ⅰ）证明：因为E 是AD 的中点，FD FA =，所以AD FE ⊥因为侧面ABCD 是菱形，ο60=∠BAD ，所以BD AB =，又因为E 是AD 的中点，所以AD BE ⊥，因为E BE FE =⋂，所以⊥AD 平面EFB …… ……………..4分 （Ⅱ）证明：连接AC 交BD 于点O ，连结OQ .ΘO 是AC 中点，Q 是FC 的中点， ∴OQ 为FAC ∆的中位线，∴ //OQ FA Θ⊄FA 平面BDQ ，BDQ 平面⊂OQ 所以FA BDQ 平面//… ………….8分 （Ⅲ）设四棱锥BCDE F -,ABCD Q -的高分别为21,h h ，所以 =-BCDE F V 131h S BCDE ，231h S V ABCD ABCD Q =-因为ABCD Q BCDE F V V --=2，且底面积ABCD BCDE S S 43=所以3821=h h ，因为CQ CF h h =21，所以38=CQ CF …… ……………………12分 20．解：（Ⅰ）∵24b =，∴2b =.∵2e =，∴28a =，∴221:184y x C +=。

2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{4，8}B．{2，4，6，8}C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i 3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）A．B．C．D．5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1] 6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，且S=，则b=（）△ABCA．1B．2C．3D．37．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6B．5C．4D．38．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0 12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）B．f（ln2014）=2014f（0）C．f（ln2014）＞2014f（0）D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为．16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．2014年东北三省三校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则（∁U A）∩（∁U B）=（）A．{4，8}B．{2，4，6，8}C．{1，3，5，7}D．{1，2，3，5，6，7}【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，∴（∁U A）∩（∁U B）={4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，8}={4，8}，故选：A．2．（5分）已知复数z=﹣+i，则+|z|=（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．+i D．﹣i【解答】解：=，|z|==1，∴+|z|==．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}满足2a n+1+a n=0，a2=1，则数列{a n}的前10项和S10为（）A．（210﹣1）B．（210+1）C．（2﹣10﹣1）D．（2﹣10+1）+a n=0，得2a n+1=﹣a n，【解答】解：由2a n+1则，则数列{a n}是公比q=的等比数列，∵a2=1，∴a1=﹣2，则数列{a n}的前10项和S10==（2﹣10﹣1），故选：C．4．（5分）已知sinα+cosα=，则sin2（﹣α）=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=，则1+2sinαcosα=，2sinαcosα=﹣．sin2（﹣α）==（1﹣2sinαcosα）=（1+）=，故选：B．5．（5分）已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]【解答】解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．6．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，sinC=3sinB，=，则b=（）且S△ABCA．1B．2C．3D．3【解答】解：∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==，由正弦定理化简sinC=3sinB，得c=3b，=bcsinA=3b2•=，∵S△ABC∴b=1．故选：A．7．（5分）已知△ABC中，=10，=﹣16，D为边BC的中点，则等于（）A．6B．5C．4D．3【解答】解：∵==，=﹣16，∴．∵D为边BC的中点，∴====3．故选：D．8．（5分）在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数【解答】解：设样本A中的数据为x i，则样本B中的数据为y i=x i﹣5，则样本数据B中的众数和平均数以及中位数和A中的众数，平均数，中位数相差5，只有标准差没有发生变化，故选：B．9．（5分）已知某算法的流程图如图所示，若输入x=7，y=6，则输出的有序数对为（）A．（13，14）B．（12，13）C．（14，13）D．（13，12）【解答】解：当x=7，y=6时，n=1，满足条件n＜5，x=7，y=8，n=2，第二次运行，n=2，满足条件n＜5，x=9，y=10，n=3，第三次运行，n=3，满足条件n＜5，x=11，y=12，n=4，第四次运行，n=4，满足条件n＜5，x=13，y=14，n=5，此时不满足条件n＜5输出x=13，y=14，即输出的实数对为（13，14），故选：A．10．（5分）将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象（）A．关于直线x=0对称B．关于直线x=1对称C．关于点（1，0）对称D．关于点（0，1）对称【解答】解：将函数h（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数f（x）的图象的解析式为f（x）=2sin[2（x﹣）+]+2=2sin（2x﹣）+2．∵f（x）+h（﹣x）=2sin（2x﹣）+2+2sin（﹣2x+）=2，∴f（x）=2﹣h（﹣x）=2×1﹣h（2×0﹣x）．则函数f（x）的图象与函数h（x）的图象关于点（0，1）对称．故选：D．11．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞||B．||＜||C．|﹣|=0D．|﹣|＞0【解答】解：取过F2垂直于x轴的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C．12．（5分）设函数f（x）的导函数为f′（x），若对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（）A．f（ln2014）＜2014f（0）B．f（ln2014）=2014f（0）C．f（ln2014）＞2014f（0）D．f（ln2014）与2014f（0）的大小关系不确定【解答】令g（x）=，则g′（x）==，因为对任意x∈R都有f′（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，又ln2014＞0，所以g（ln2014）＞g（0），即，所以f（ln2014）＞2014f（0），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分．）第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答13．（5分）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根据上述规律，得到一般结论是13+23+33+43+…+n3=（）2，．【解答】解：根据题意，分析题干所给的等式可得：13+23=（1+2）2=32，13+23+33=（1+2+3）2 =62，13+23+33+43=（1+2+3+4）2 =102，则13+23+33+43+…+n3=（1+2+3+4+…+n）2 =（）2，故答案为：13+23+33+43+…+n3=（）2，14．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的体积为【解答】解：由三视图得该几何体是三条侧棱互相垂直的三棱锥，长方体的一个角，三条棱长分别为3，4，5，几何体扩展为长方体，三棱锥的外接球与扩展的长方体的外接球相同，对角线的长度就是外接球的直径，设几何体外接球的半径为R，∴2R==5，即R=，故外接球的体积是=．故答案为：．15．（5分）设x，y满足，则z=3x﹣4y的最大值为3．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣4y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=，经过点A（1，0）时直线y=的截距最小，此时z最大．此时z=3×1﹣4×0=3，故答案为：3．16．（5分）P为正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线BD1上的一点，且BP=λBD1（λ∈（0，1）．下面结论：①AD1⊥C1P；②若BD1⊥平面PAC，则λ=；③若△PAC为钝角三角形，则λ∈（0，）；④若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．其中正确的结论为②④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图①中，AD1与C1P是共面直线，是相交直线，∴①不正确；对于②若BD1⊥平面PAC，几何体是正方体，∴P在平面AB1C中，则λ=；②正确；对于③，当P为BD1的中点时，若△PAC为钝角三角形，PA=PC=，AC=a，此时∠APC=120°，∴则λ∈（0，）不正确；对于④，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3），∴=（﹣3，﹣3，3），设P（x，y，z），∵==（﹣2，﹣2，2），∴=+（﹣2，﹣2，2）=（1，1，2）．==（﹣2，1，2），=（1，﹣2，2）∴cos∠APC==0，∠APC=90°．若λ∈（，1），则△PAC为锐角三角形．正确，故答案为：②④三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有a n=5S n+1成立．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log4|a n|，求数列{}前n项和T n．【解答】（Ⅰ）解：当n=1时，a1=5S1+1，解得．…（2分）又∵a n=5S n+1，a n+1=5S n+1+1，﹣a n=5a n+1，…（4分）∴a n+1∴，∴数列{a n}是首项为，公比为q=﹣的等比数列，∴．…（6分）（Ⅱ）解：，…（8分）∴==（），…（10分）∴==．…（12分）18．（12分）某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，第四组的频率是0.100×2=0.2，第五组的频率是0.050×2=0.1．…（3分）（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，∴甲乙两产品同时被选中的概率为p==．…（7分）②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==，∴X的分布列为：…（10分）EX==．…（12分）19．（12分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，AA1=2，BD⊥A1A，∠BAD=∠A1AC=60°，点M是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1C∥平面BMD；（Ⅱ）求点C1到平面BDD1B1的距离．【解答】（Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连结MO，∵A1M=MA，AO=OC，∴MO∥A1C，∵MO⊂平面BMD，A1C不包含于平面BMD，∴A1C∥平面BMD …（4分）（Ⅱ）解：设C1H为C1到平面BDD1B1的距离，∵BD⊥A1A，BD⊥AC，A1A∩AC=A，∴BD⊥平面A1AC，∴BD⊥A1O，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，∴AO=AC=，∵AA1=2，∠A1AC=60°，∴A1O⊥AC，∵AC∩BD=O，∴A1O⊥平面ABCD，…（8分）∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∴点B到平面A1B1C1D1的距离等于点A1到平面ABCD的距离A1O=3 …（10分）∵A1O••2=•C1H••2•2，∴C1H=…（12分）20．（12分）已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，直线l：y=﹣1，动圆P与圆M相外切，且与直线l切，设动圆圆心P的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且•=﹣16，求证：直线AB恒过定点．【解答】（Ⅰ）解：由题意动圆P与直线y=﹣1相切，且与定圆M：x2+（y﹣2）2=1外切所以动点P到M（0，2）的距离与到直线y=﹣2的距离相等由抛物线的定义知，点P的轨迹是以C（0，2）为焦点，直线y=﹣2为准线的抛物线故所求P的轨迹方程为：x2=8y．…（4分）（Ⅱ）证明：设直线AB：y=kx+b，A（x1，y1），B（x2，y2），将直线AB代入到x2=8y中得x2﹣8kx﹣8b=0，所以x1+x2=8k，x1x2=﹣8b…（6分）又因为•=x1x2+y1y2=x1x2+=﹣8b+b2=﹣16，∴b=4，…（10分）∴恒过定点（0，4）．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b 的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内实根的个数（e为自然对数的底数）．【解答】解：（1）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R），∴，g'（x）=2ax﹣1．…（2分）∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，∴，解得．…（4分）（2）设F（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣（x2﹣x），x＞0则，…（5分）∴当x＞1时，y＜0；当﹣＜x＜0时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣时，y＞0．∴F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（7分）∴F（x）最大值为F（1）=ln1﹣（1﹣1）=0．∴F（x）=f（x）﹣g（x）≤0，即f（x）≤g（x）．…（8分）（3）∵f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x，a=1，b＞2e∴f（x）﹣g（x）=x转化为blnx﹣x2=0，令G（x）=blnx﹣x2，则，由=0，得x=，∵x∈（1，e b）且b＞2e，∴，e b＞，∴由G′（x）＞0得1＜x＜，由G′（x）＜0，得，∴G（x）在上单调递增，在上单调递减∴当x=时，，…（10分）∵b＞2e，∴，∴，∴又∵G（1）=﹣1＜0G（e b）=blne b﹣e2b=b2﹣e2b=（b+e b）（b﹣e b）＜0，∴方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，e b）内有两个实根．…（12分）第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）已知PQ与圆O相切于点A，直线PBC交圆于B、C两点，D是圆上一点，且AB∥CD，DC的延长线交PQ于点Q（1）求证：AC2=CQ•AB；（2）若AQ=2AP，AB=，BP=2，求QD．【解答】（1）证明：因为AB∥CD，所以∠PAB=∠AQC，又PQ与圆O相切于点A，所以∠PAB=∠ACB，因为AQ为切线，所以∠QAC=∠CBA，所以△ACB∽△CQA，所以，所以AC2=CQ•AB…（5分）（2）解：因为AB∥CD，AQ=2AP，所以，由AB=，BP=2得，PC=6，AP为圆O的切线又因为AQ为圆O的切线…（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=．（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．【解答】（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ2=，直线l的极坐标方程为ρ=，根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，则C1的直角坐标方程为x2+2y2=2，直线l的直角坐标方程为．（Ⅱ）设Q，则点Q到直线l的距离为=，当且仅当，即（k∈Z）时取等号．∴Q点到直线l距离的最小值为．【选修4-5：不等式选讲】24．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c ≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）第21页（共21页）。

2014年黑龙江省某校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设常数a ∈R ，集合A ={x|(x −1)(x −a)≥0}，B ={x|x ≥a −1}，若A ∪B =R ，则a 的取值范围为( )A (−∞, 2)B (−∞, 2]C (2, +∞)D [2, +∞)2. 已知在复平面内，复数z 对应的点在第一象限，且满足z 2+2z ¯=2，则复数z 的共轭复数z ¯的虚部为（ ）A 1B −iC −1D i3. 已知O 为△ABC 内一点，且OA →+OC →+2OB →=0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是（ ） A 1:2 B 1:3 C 2:3 D 1:1 4. 已知α∈(0, π)，cos(α+π3)=−√22，则tan2α=( )A √33B −√3或−√33 C −√33D −√3 5. 设x ，y 满足{2x +y ≥4x −y ≥−1x −2y ≤2，则z =x −y( )A 有最小值2，无最大值B 有最小值−1，无最大值C 有最大值2，无最小值D 既无最小值，又无最大值6. 若函数f(x)同时满足下列三个性质： ①最小正周期为π； ②图象关于直线x =π3对称； ③在区间[−π6, π3]上是增函数． 则y =f(x)的解析式可以是（ ）A y =sin(2x −π6) B y =sin(x2+π6) C y =cos(2x −π6) D y =cos(2x +π3) 7. 程序框图表示求式子23×53×113×233×473×953的值，则判断框内可以填的条件为（ ）A i ≤90？B i ≤100？C i ≤200？D i ≤300？8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A 12+√3B 10+√3C 10+2√3D 11+√39. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N +，且a 3⋅a 2n−3=4n (n >1)，则当n ≥1时，log 2a 1+log 2a 3+...+log 2a 2n−1=( )A n 2B (n +1)2C n(2n −1)D (n −1)210. 若直线xcosθ+ysinθ+1=0与圆(x +1)2+(y −1)2=1相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是（ ）A 1B −√3C −1D √311. 点P 为双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)和圆C 2:x 2+y 2=a 2+b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2=∠PF 2F 1，其中F 1，F 2为双曲线C 1的两个焦点，则双曲线C 1的离心率为（ ） A √3 B 1+√2 C √3+1 D 212. 定义在R 上的函数f(x)={1|x−2|(x ≠2)1(x =2)，若关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c =0恰有5个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则f(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5)=( ) A 14B 18C 112D 116二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题至24题为选考题，考生根据要求作答13. 已知a 1=1，a n =n(a n+1−a n )(n ∈N ∗)，则数列{a n }的通项公式为________． 14. 有如下四个命题：①甲乙两组数据分别为甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；乙：29，34，35，48，42，46，55，53，55，67，则甲乙的中位数分别为45和44． ②相关系数r =−0.83，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个2×2列联表中的数据计算得K2的观测值k≈4.103，那么有95%的把握认为两个变量有关．④用最小二乘法求出一组数据(x i, y i)，(i=1,…,n)的回归直线方程ŷ=b̂x+â后要进行残差分析，相应于数据(x i, y i)，(i=1,…,n)的残差是指e î=y i−(b̂x i+â)．以上命题“错误”的序号是________．15. 已知函数f(x)的定义域为A，若其值域也为A，则称区间A为f(x)的保值区间．若g(x)=x+m+lnx的保值区间是[e, +∞)，则m的值为________．16. 正三棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为________．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17. 在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos A2=2√55，AB→⋅AC→=3．(Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅱ)若b+c＝6，求a的值．18. 某同学在生物研究性学习中想对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：（1）从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m，n，求事件“m，n均不小于25的概率．（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程y=b x+a；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？（参考公式：b =∑n∑x i2ni=1−nx¯2，a=y¯−bx¯）19. 如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60∘，E、F分别是BC、PC的中点．（1）判定AE与PD是否垂直，并说明理由．（2）设AB=2，若H为PD上的动点，若△AHE面积的最小值为√62，求四棱锥P−ABCD的体积．20. 设F1、F2分别是椭圆x25+y24=1的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求PF 1→⋅PF 2→的最大值和最小值；（2）是否存在过点A(5, 0)的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=13x 3−a2x 2+bx +c ，其中a >0，曲线y =f(x)在点P （0, f(0)）处的切线方程为x 轴.(1)若x =1为f(x)的极值点，求f(x)的解析式；(2)若过点(0, 2)可作曲线y =f(x)的三条不同切线，求a 的取值范围．请考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-1：几何证明选讲】22. 如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD // AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2=EF ⋅EC ． (I)求证：∠P =∠EDF ；(II)求证：CE ⋅EB =EF ⋅EP ．【选修4-4：坐标系与参数方程】23. 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 过点N(4, 0)，倾斜角为α．（1）写出直线l 的参数方程，及当α=π2时，直线l 的极坐标方程l′．（2）已知从极点O 作直线m 与直线l′相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM|⋅|OP|=4，求点P 的极坐标方程，并说明P 的轨迹是什么曲线．【选修4-5：不等式选讲】 24. 设a 、b 、c 均为正实数，求证：12a+12b+12c≥1b+c+1c+a+1a+b．2014年黑龙江省某校高考数学二模试卷（文科）答案1. B2. C3. A4. C5. B6. A7. B8. A9. A 10. C 11. C 12. B13. a n =n 14. ② 15. −116. (√3−1)：3 17. （1）因为cos A2=2√55，∴ cosA =2cos 2A 2−1=35,sinA =45， 又由AB →⋅AC →=3， 得bccosA ＝3，∴ bc ＝5， ∴ S △ABC =12bcsinA =2（2）对于bc ＝5，又b +c ＝6， ∴ b ＝5，c ＝1或b ＝1，c ＝5，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2−2bccosA ＝20，∴ a =2√5 18. 解：（1）用数组(m, n)表示选出2天的发芽情况，m ，n 的所有取值情况有(23, 25)，(23, 30)，(23, 26)，(23, 16)，(25, 30)， (25, 26)，(25, 16)，(30, 26)，(30, 16)，(30, 26)，共有10个 设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有(25, 30)，(25, 26)，(30, 26) 所以P(A)=310，故事件A 的概率为310（2）由数据得x ¯=12，y ¯=27，3x ¯y ¯=972，∑x i 3i=1y i =977，∑x i 23i=1=434，3x ¯2=432 由公式，得b =977−972434−432=52，a=27−52×12=−3所以y 关于x 的线性回归方程为y =52x −3（3）当x =10时，y=22，|22−23|<2，当x =8时，y=17，|17−16|<2所以得到的线性回归方程是可靠的． 19. 解：（1）AE ⊥PD −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC =60∘， ∴ △ABC 为等边三角形． 因为E 是BC 的中点，∴ AE ⊥BC ，结合BC // AD ，得AE ⊥AD −−−−−−−−−−−−−−−−−−− ∵ PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ， ∴ PA ⊥AE −−−−−−−−−PA ∩AD =A ，且PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD∴ AE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面PAD −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∴ AE ⊥PD −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− （2）由（1），EA ⊥平面PAD ，∴ EA ⊥AH ，即△AEH 为直角三角形，----------Rt △EAH 中，AE =√3，当AH 最短时，即AH ⊥PD 时，△AHE 面积的最小----------- 此时，S △EAH =12EA ⋅AH =√62⇒AH =√2．又AD =2，所以∠ADH =45∘，所以PA =2．------------------V P−ABCD =4√33−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 20. 解：（1）由题意知a =√5，b =2，c =1，∴ F 1=(−1,0)，F 2(1,0)， 设P(x, y)，则PF 1→⋅PF 2→=(−1−x,−y)⋅(1−x,−y)=x 2+y 2−1 =x 2+4−45x 2−1=15x 2+3，∵ x ∈[−√5，√5]，∴ 当x =0时，即点P 为椭圆短轴端点时，PF 1→⋅PF 2→有最小值3； 当x =±√5，即点P 为椭圆长轴端点时，PF 1→⋅PF 2→有最大值4．（2）假设存在满足条件的直线l ．由题意知点A(5, 0)在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y =k(x −5) 由方程组{x 25+y 24=1y =k(x −5)，得(5k 2+4)x 2−50k 2x +125k 2−20=0依题意△=20(16−80k2)>0，∴ −√55<k<√55．当−√55<k<√55时，设交点C(x1, y1)，D(x2, y2)，CD的中点为R(x0, y0)，则x1+x2=50k25k2+4，x0=25k25k2+4，∴ y0=k(x0−5)=k(25k25k2+4−5)=−20k5k2+4，又|F2C|=|F2D|⇔F2R⊥l⇔k⋅k F2R =−1，∴ k⋅k F1R=k⋅0−(−20k5k2+4)1−25k25k2+4=20k24−20k2=−1，∴ 20k2=20k2−4，而20k2=20k2−4不成立，所以不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|．21. 解：(1)由f(x)=13x3−a2x2+bx+c得：f(0)=c，f′(x)=x2−ax+b，f′(0)=b．又由曲线y=f(x)在点P（0, f(0)）处的切线方程为x轴，得f(0)=0，f′(0)=0．故b=0，c=0．又f′(1)=0，所以a=1，f(x)=13x3−12x2；(2)f(x)=13x3−a2x2，f′(x)=x2−ax．由于点（t, f(t)）处的切线方程为y−f(t)=f′(t)(x−t)，而点(0, 2)在切线上，所以2−f(t)=f′(t)(−t)，化简得23t3−a2t2+2=0，即t满足的方程为23t3−a2t2+2=0．过点(0, 2)可作y=f(x)的三条不同切线，等价于方程2−f(t)=f′(t)(0−t)有三个相异的实根，即等价于方程23t3−a2t2+2=0有三个相异的实根，设g(t)=23t3−a2t2+2．g′(t)=2t2−at=2t(t−a2)．由于a>0，故有由g(t)的单调性知：要使g(t)=0有三个相异的实根，当且仅当{g(0)>0,g(a2)<0时满足，即{2>0,2−a324<0,解得：a>2√63．∴ a的取值范围是(2√63，+∞).22. 证明：(1)∵ DE2=EF⋅EC，∴ DE:CE =EF:ED ． ∵ ∠DEF 是公共角， ∴ △DEF ∽△CED ． ∴ ∠EDF =∠C ． ∵ CD // AP ， ∴ ∠C =∠P ． ∴ ∠P =∠EDF ．(2)∵ ∠P =∠EDF ，∠DEF =∠PEA ， ∴ △DEF ∽△PEA ． ∴ DE:PE =EF:EA ． 即EF ⋅EP =DE ⋅EA ． ∵ 弦AD 、BC 相交于点E ， ∴ DE ⋅EA =CE ⋅EB ． ∴ CE ⋅EB =EF ⋅EP ． 23. 解：（1）∵ 直线l 过点N(4, 0)，倾斜角为α， ∴ 直线l 的参数方程为{x =4+tcosαy =tcosα（t 为参数），当α=π2时，直线l 的极坐标方程l′:ρ=4cosθ．（2）设M(ρ1, θ)，P(ρ2, θ)，则M 的直角坐标为(ρ1cosθ, ρ1sinθ)，P 的直角坐标为(ρ2cosθ, ρ2sinθ) |OM|⋅|OP|=ρ1ρ2cos 2θ+ρ1ρ2sin 2θ，ρ1cosθ=4， 所以|OM|⋅|OP|=4ρ2cosθ+4cosθρ2sin 2θ=3， 所以ρ2=1cosθ+tanθsinθ=cosθ所以点P 的轨迹是过点(1, 0)，倾斜角为π2的直线． 24. 证明：∵ a 、b 、c 均为正实数， ∴ 12(12a +12b )≥2√ab≥1a+b ，当a =b 时等号成立； 12(12b +12c )≥2√bc ≥1b+c ，当b =c 时等号成立；12(12c+12a )≥2√ca≥1c+a ． 三个不等式相加即得12a +12b +12c ≥1b+c +1c+a +1a+b ， 当且仅当a =b =c 时等号成立．。

哈尔滨市第三中学二模数学（文）参考答案1-12 ADBCB,CCDCA,BB13-1617题（I）………3分最大值为，集合为………6分（II），若有两个零点，则………12分18题（I）无论点运动到何处时，总有，则平面，………6分所以平面平面（II）………12分19题（I）众数150，平均数153 ………4分（II）………8分（III）0.9 ………12分20题（I）椭圆方程为……4分（II）取直线与椭圆交于两点直线，两条直线的交点为取直线与椭圆交于两点直线，两条直线的交点为若交点在一条直线上则此直线只能为验证对任意的，直线与直线的交点都在定直线上，设直线直线与直线交点为，直线与直线交点为，设点直线；所以点与重合，所以交点在直线上……12分21题（I），，……………………3分所以在上恒正，最大值为……………………6分（II）＝所以只需要即可，记，则故在减，增，则记，则故在增，减在上取，有又，故存在使而,所以当时可保证，有恒成立当时，不能有恒成立所以所能取到的最大正整数为14 ………12分22题（I）因为分别是⊙割线，所以①又分别是⊙的切线和割线，所以②由①②得………5分（II）连接，设与相交于点，因为是⊙的直径，所以，所以是⊙的切线，由（1）得，所以，所以………10分23解（I）………5分（II）或．………10分24（I）………5分（II）………10分注：哈三中二模勘误：文科数学第20题：将“椭圆的离心率为”改为“椭圆的焦距为”。