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数值计算方法课件-CH6 逐次逼近法—6.3 非线性方程的迭代解法

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数值分析：非线性方程的数值解法63页PPT

数值分析：非线性方程的数值解法63页PPT

Baidu Nhomakorabea
数值分析：非线性方程的数值解法
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特

6.4非线性方程组的数值解法(共29张PPT)

6.4非线性方程组的数值解法(共29张PPT)
第十五页，共二十九页。
(6.4.8)
第六章非线性方程组的迭代解法
在Newton法实际计算过程中，第k步是先解线性方程组
F ' (x (k) )x (k) F (x (k) )
(6.4.9)
解出x(k)后，再令 x(k1) x k x k ，其中包括了计算向量 F (x(k ) ) 和矩阵 F '(x(k) )
第六章非线性方程组的迭代解法
6.4.2 非线性方程组的Newton法
对于非线性方程组，也可以构造类似于一元方程的Newton迭代
法。设 x*是方程组（6.4.1）的解， x是(k)方程组的一个近似解。用
点 处x的(k一) 阶Taylaor展开式近似每一个分量函数值
，
有 fi(x*) 0
fi ( x* )
y1 ( x2
y2 )(x2
y2 )
1 10
(3.25
x1
y1
4.5 x2
y2
)
0.45
x
y
1
(x) ( y) 1 1 (x) 2 ( y) 2 (x) 2 ( y) 0.75 x y
可见，函数 在上 D0是压缩的。因此，由定理6.8得知 结论成立。
以上讨论了迭代法在 D0的收敛性，下面讨论局部收敛性。
点迭代法（6.4.3）的收敛性，先定义向量值函数的映内性 和压缩性。

6.3迭代法的收敛定理PPT课件

6.3迭代法的收敛定理PPT课件

fJ
a2
2
bn
ann
易求
BJ
max
1in 1jn,ji
aij aii
由严格对角占优定义（定义6.2 ），得 BJ ∞<1,所以, Jacobi 迭代法收敛。
2021/3/10
22
下面证明G-S迭代法的收敛性。对于严格对角占优阵A， 其对角元素 aii ≠ 0 ， i=1,2,,n（定义6.2 ），故
随着k的增加而趋向于零向量是等价的。
由于精确解X *自然满足
X BXf
因此有
X X ( k 1 ) B X X ( k )
或
k1 Bk
再递推出
k Bk0
所以，迭代法收敛性与迭代矩阵的幂B k，随着k的增加 而趋向于零矩阵是等价的。
返回节2021/3/10
4
一、基本收敛定理
由 可推知
但定理6.2只是充分条件，所以即使判断失效， 迭代法仍可能收敛，这时就应该使用定理6.1判断。
例如 设有线性方程组 X=BX+f，其中
0.9 0.0
B
0.3 0.8
1 f
2
考察迭代法 X (k+1)=B X(k)+f 的收敛性。
解：
由于 B 1 .2 ,B 1 .0 ,B 2 1 .1 ,B 1 .5均4 大于
2021/3/10

非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件

非线性方程的数值求法牛顿迭代法和弦截法PPT课件
注. 定理要求 x0 充分接近 (局部收敛)，充分的程度
没有具体的描述，而且若x0 的值没有取好，有可 能得不到收敛的结果。
以下定理，给出了 f x 满足一定的条件时，要使得牛顿
迭代法收敛，x0 应满足什么条件。
定理 设 f x 在区间 a,b 上的二阶导数存在，且满足： ① f (a) f (b) 0; （保证 a, b中至少存在一个根）
7.4 牛顿迭代法
用迭代法可逐步精确方程 f (根x) 的 0近似值，但必 须要找到 的等f (价x)方 程0 ,如果 x 选 得(x)不合适,不(x) 仅影响收敛速度,而且有可能造成迭代格式发散。能否 找到一种迭代方法,既结构简单,收敛速度快,又不存在 发散的问题。这就是本节要介绍的牛顿迭代法 7.4.1 牛顿迭代法的基本思想
牛顿迭代法产生的迭代序列
xn1

xn

f (xn ) , f ( xn )
(n 0,1,)
局部收敛于 ，且为平方收敛。
证明：在牛顿迭代法的迭代格式中，迭代函数为：
(x) x f (x)
f ( x)
∵ f x 在 的邻域内具有二阶连续导数，∴


x


1


f

x
●几何意义
在点 ( x0 , f ( x0 ))处作 f x的切线，切线方程为：

《数值计算》课件

《数值计算》课件

多项式拟合是一种通过已知数据点来构造一个多项式，使得该多项式能够尽可能地逼近真实函数的方法。
多项式拟合的原理是利用最小二乘法或其他优化算法来求解多项式的系数，使得多项式与真实函数的误差最小。
多项式拟合的优点是适应性强、应用广泛，但缺点是当数据点较多时，多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
矩阵分解法是一种将系数矩阵分解为易于处理的形式的方法，常见的有LU分解、QR分解等。
04
插值与拟合
拉格朗日插值的原理是利用已知数据点构造一个插值多项式，然后通过该多项式在未知点的取值来估计该点的数值。
拉格朗日插值法的优点是简单易懂，易于实现，但缺点是当数据点较多时，插值多项式的次数较高，可能导致计算量大、精度降低。
流体力学模拟
有限元分析（FEA）是数值计算在固体模拟中的重要应用，用于分析结构力学、热传导等问题。
固体模拟
对于粒子的运动轨迹和相互作用，数值计算方法如离散元素法（DEM）可以模拟颗粒物质的行为。
粒子模拟
通过蒙特卡洛模拟等数值方法，可以评估投资组合的风险和回报。
风险评估
利用数值方法，如有限差分法（FDM）和有限元素法（FEM），对衍生品进行定价。
VS
迭代法是一种通过不断迭代逼近解的方法，适用于大规模线性方程组求解。
迭代法的基本思想是通过不断迭代更新解向量，逐步逼近真实解。常用的迭代法有雅可比迭代法和SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法等。在每次迭代过程中，根据系数矩阵和已知解向量计算新的解向量，直到达到预设的精度要求或迭代次数。

非线性方程组数值解法课件

非线性方程组数值解法课件

在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
详细描述
拟牛顿法的原理是通过不断更新近似矩阵，使其逼近真实的Hessian矩阵，从而在每次 迭代中能够更准确地计算出搜索方向和步长。主要步骤包括：初始化、近似矩阵更新、
线性方程组求解和更新解向量。
拟牛顿法的收敛性分析
总结词
拟牛顿法具有良好的收敛性，能够保证 在有限次迭代内收敛到方程组的解。
VS
详细描述
改进牛顿法，使用拟牛顿 矩阵代替海森矩阵，提高 算法的收敛速度和稳定性。
非线性方程组解的存在性与唯一性
存在性
对于给定的非线性方程组，在一定条 件下存在解。
唯一性
在某些条件下，非线性方程组存在唯 一解；而在其他条件下，可能存在多 个解或无解。
02
迭代法求解非线性方程组
百度文库
迭代法的原理与步 骤
迭代法的原理
分类
根据方程的类型和特性，非线性 方程组可以分为多种类型，如多 项式方程组、分式方程组、三角 函数方程组等。

数值分析课件--第四章解非线性方程的迭代法

数值分析课件--第四章解非线性方程的迭代法

点函数值符号相反，二分法运算简便、可靠、易于在计算
机上实现。但是，若方程(x)=0在区间[a，b]上根多于1
个时，也只能求出其中的一个根。另外，若方程(x)=0在
区间[a，b]有重根时，也未必满足(a)(b)<0. 而且由于
二分法收敛的速度不是很快,一般不单独使用,而多用于为
其他方法提供一个比较好的初始近似值.
8
定理4.1 若(x)为I上的压缩映射,则(x)在I上连 续. 定理4.2 若(x)为I到自身上的映射,且(x)C1(I),
|(x)| L<1,则(x)为I上的压缩映射.
证 对任意x1,x2I,有 |(x2)-(x1)|=|()||x2-x1| L|x2-x1|
定义4.3 若(x)为I到自身上的映射,且I满足,= (),则称为(x)的不动点.
定理4.3 若(x)为I上的压缩映射, 则(x)在I上存
在唯一的一个不动点,且对任何x0I,由迭代格式
xk+1=(xk) , k=0,1,2,…
产生的序列{xk}收敛于(x)编的辑p不pt 动点.
9
证 不妨设I=[a,b],作函数(x)=(x)-x,由于xI时,
(x)I,则(a)=(a)-a0,(b)=(b)-b0,由(x)的连
而且有根区间[a1,b1]长度是有根区间[a0,b0]长度的一半,
再对有根区间[a1,b1]重复上面运算,

数值计算方法课件-CH6逐次逼近法—6.3非线性方程的迭代解法

数值计算方法课件-CH6逐次逼近法—6.3非线性方程的迭代解法
第六章 逐次逼近法
6.3 解非线性方程的迭代法
本节主要内容
3-1 解非线性方程的简单迭代法
3-2 Newton迭代法及其变形
6.3 非线性方程的迭代法
方程是在科学研究中不可缺少的工具，方程求解是科 学计算中一个重要的研究对象. 设函数方程
f (x) 0
n n 1 若 f ( x ) P ( x ) a x a x a x a ，则称 f ( x ) 0 n n n 1 1 0
求解非线性方程问题转化为求序列极限问题
研究 内容
是否唯一 定理 3.1: ?解的存在与唯一性定理
根的存在与唯一性:方程有没有根？若有根,
迭代格式的收敛性:如何构造收敛的迭代格式？
收敛阶的概念及判定 收敛速度的确定； 定义3.1,定理3.2
3 x ) 2 x x 1 0 例1 用迭代法求 f( 的根.
,x 即迭代法收敛 .另外 k 1
) 0 即 f (1 是方
3 x x 1 0 (2) 由 2 还可得等价方程 :
3 x 2 x 1 ( x )
得迭代格式:
x 2 x 1 ( x ) k 1 k
3 k
0 取 x0 ,代入上式得 :
x1 1, x2 3,

( 2 ) 存在正数 0 L 1 , 对任意 x [ a , b ], 均有

数值计算方法第二章讲义ppt

数值计算方法第二章讲义ppt
再取适当的初值 x0 [a, b]. 利用上述格式可产生一列数：
x0 , x1 , x2 ,..., xk ,...
第三步：取极限 lim xk k
k
一定收敛吗？
若迭代序列{xk }收敛，即若 lim xk ， 则由 xk 1 ( xk ) 可得 ( )，因而 是 ( x)的 不动点，也就是 f ( x) 0的根。
一、二分法 ——算法的优缺点
优点：计算简单且必收敛，是一种可靠的算法； 对函数性质要求低，只要求函数 f ( x ) 连续就 可以了。
缺点：不能求偶数重根及复根；收敛速度非常 缓慢，与以1/2为公比的等比级数相同；没有充 分利用函数值。因此一般不单独使用，往往为 其它快速方法提供初值。
二、迭代法 ——简单迭代
一、二分法 ——算法的收敛性
二分法产生一个含根区间序列： [a, b] [a1 , b1 ] ... [ak , bk ] ...
f ( x)
其中区间[ak , bk ]的长度为：
a1
b1
1 1 x0 b bk ak (bk 1 ak 1 ) ... k (b a). a 2 2 ak bk 因此，当 k 足够大时，我们可以用 xk 作为函数 2 常用来估计k的值 f ( x)的一个根 的近似值。
(2). 若 f ( x0 ) f (a) 0，则令a1 a，b1 x0； 若 f ( x0 ) f (b) 0，则令a1 x0，b1 b.

《非线性方程迭代》课件

《非线性方程迭代》课件

非线性方程的解法
1 近似解法
2 迭代解法
非线性方程一般无解析解，可以使用近似 解法来求解。
迭代法是一种常用的求解非线性方程的方 法，通过逐步逼近解来求得近似解。
迭代解法的优缺点
优点
• 适用于各种类型的非线性方程 • 可用计算机自动化求解 • 能够找到最优解
缺点
• 存在收敛问题 • 可能出现振荡现象 • 需要选择合适的迭代格式
百度文库
平方收敛
迭代误差的平方与迭代步数 成反比。
线性收敛
迭代误差与迭代步数成反比。
迭代格式的选择
1 Newton-Raphson法
适用于解析求导较简单的方程。
2 Broyden法
通过估计雅可比矩阵来近似求解。
3 Levenberg-Marquardt法
适用于非线性最小二乘问题的求解。
非线性方程的应用
1 电力系统中的应用
《非线性方程迭代》PPT 课件
非线性方程是一类无法用一次函数表示的方程。本课件将介绍非线性方程的 解法、迭代解法的优缺点，以及迭代解法的基本思路和常见应用。
什么是非线性方程
1 定义
非线性方程无法被简化为一次函数的方程，其变量与常数乘积或次数超过一。
2 示例
例如，二次方程和三次方程都属于非线性方程。
求解电力系统中的功率 流、潮流等问题。

数值计算课件——第二章非线性方程的数值解法

数值计算课件——第二章非线性方程的数值解法

的长度为 a,b之半。
a
xa01 x*
x1
b1
二分法
对压缩了的有根区间 a1,b又1可施以同样的手续，
即用中点 待求的根 根区间
x1 将12区a1间 b1 分为两半a1,，b1然 后判定
在 的哪一侧x，* 从而x1又确定一个新的有
，其长度为 a2 的, b2一 半。如此反复a1，,b1
即可得出一系列有根区间
二分法
在有根区间 a,b取中点
x0
1 2
a
b，计算函数
值
f a b ，若 2
f a b 0，就得到方程的实根 2
， x* a b 2
否则检查 f x0 与 f a是否同号，如同号，说明待求
的根 在 x* x0 的右侧，这时令 a1 x0 , b1 b ；如 x*在 x0
的左侧，这时令 a1 a,b1 x0，这样新的有根区间 a1,b1
但 f (m) (x* ) 0 ，则称 x*是方程 的 m重根。
② 根的存在性定理：
定理：若 f 在[a, b]上连续，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根；若 f 在[a, b]上连续且单调则 f 在 (a, b) 上有且仅有一根。
2.1.1逐步搜索法
例：求连续函数 f(x) 在有根区间[a,b]上的根。
1 2

《数值计算方法》课件 (2)

《数值计算方法》课件 (2)
《数值计算方法》PPT课件 (2)
数值计算方法的介绍 - 什么是数值计算方法 - 数值计算方法的应用领域 - 数值计算方法的重要性 数值计算方法的基本原理 - 数值计算方法的概念 - 常用的数值计算方法 - 数值计算方法的数学原理
Fra Baidu bibliotek 数值计算方法的算法
1
基本算法
介绍数值计算方法的基本算法，如二分法和牛顿法。
3
工程学
数值计算方法在工程学中的应用广泛，如结构分析和流体力学。
结语
数值计算方法是计算科学和工程学中的基础领域，掌握数值计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
模拟仿真
应用数值计算方法进行仿真和实 验，验证理论和验证结果。
数值计算方法的发展
历史演变
回顾数值计算方法的发展历程和重要里程碑。
未来趋势
展望数值计算方法在人工智能和大数据时代的 应用前景。
数值计算方法与其他学科的关联
1
数学
数值计算方法是数学在计算科学中的具体应用。
2
计算机科学
数值计算方法依赖于计算机科学的算法和数据结构。
2
优化算法
探讨数值计算方法的优化算法，如梯度下降和共轭梯度法。
3
实际应用
展示数值计算方法在实际问题中的应用，如最优化和插值。
数值计算方法的误差分析
1 精度和稳定性

数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根

数值分析课件 非线性方程的迭代解法方程求根

2n
ln 2
①简单;
②对 f (x) 要求不高 (只要连续即可) .
f (a)·f (b) < 0
①无法求复根及偶重根； ②收敛慢。(后面学习)
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图，以确定根的大概
位置，使根区间内只有一个根。
或用逐步搜索法，判断是否多个根，若是，将 [a, b] 分为若 干小区间，对每一个满足 f (ak)·f (bk) < 0 的区间调用二分法 程序，可找出区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)·f (b) < 0。
ak

1 2 (bk1
ak1)


1 2k
(b

a)

0
(k )
所有有根区间的中点x0 , x1 , … , xk , …形成了一个序列，
此序列必以s为极限，即
lim
k
xk

s.
由于 xk1 xk
1 2
bk1 ak1
s xk

1 2
(bk 1
区a间k内1)点的x关k系1
4 1.02754×1010 1.360094190
方法4 1.5
1.367376328 1.364956975 1.365264773
1.365225554

数值计算方法 第6章复习

数值计算方法 第6章复习

第6章 逐次逼近法

一、考核知识点：

向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。

简单迭代法，牛顿迭代法，割线法，收敛性。

二、考核要求：

1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的

定义。

2．了解对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。 3．熟练掌握雅可比迭代法其收敛性的判断。 4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法其收敛性的判断。

5．熟练掌握用牛顿迭代法、割线法求方程近似根的方法。了解其收敛性。 6．掌握用简单迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性。

三、重、难点分析

例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X 的三种常用范数。 解 3max ==∞

i i

x X

，14,

61

22

1

1

==

==∑∑==n

i i

n

i i x

X

x X

例2

证明 ,1∞

∞

≤≤X

n X X

证明 因为 11

max X x x x X

n i i p i i

=<==∑=∞

∞

=≤=≤∑X

n x n x n x i i

p n

i i max 1

所以,1∞

∞

≤≤X

n X X

例3 已知矩阵⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=2212A ，求矩阵A 的三种常用范数。

解 4

max 31

==∑=∞j ij i a A

，∑===n

i ij j

a A 1

14max ， 3

9)9)(4(3613522

8522822122122122===--=+-=--=-⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=λλλλλλ

λλA I A A A A T T

例4 已知方程组

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121212212321x x x a a a （1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式 （2）证明当4>a 时，雅可比迭代法收敛 （3）取5=a ,T

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