静力学第3章_力矩_平面力偶系

§3-4 平面力偶系的合成与平衡

§3-1 力对点之矩

§3-2 力偶与力偶矩

§3-3 力偶的等效

【本章重点内容】

力矩和力偶的概念;

力偶的性质;

平面力偶系的合成与平衡.

§3-1 力对点之矩

§3-1 力对点之矩

一、平面力对点之矩（力矩）

力矩作用面，O 称为矩心，O 到力的作用线的垂直距离h 称为力臂.两个要素

1.大小：力F 与力臂的乘积

2.方向：转动方向

力对点之矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积，它的正负：力使物体绕矩心逆时针转向时为正，反之为负. 常用单位N ·m 或kN ·m .

()()O

O M F h M =±⋅=×r r r r F F r

F

（3）力的作用线通过矩心时，力

矩等于零；

（4）互成平衡的二力对同一点之

矩的代数和等于零.§3-1 力对点之矩

r F

（2）力对任一点之矩，不会因

该力沿其作用线移动而改变，因为

此时力和力臂的大小均未改变；

r F （1）力对O 点之矩不仅取决于力的大小，同时

还与矩心的位置有关；

r F r F

解：根据力对点之矩的定义()3

sin 20010N 0.4m 0.866

69.2 N m O M F h Fl α

=⋅==×××=⋅r F 正号表示扳手绕O 点作逆时针方向转动. 应该注意，力臂是OD ，而不是OA .

例3-1 扳手所受力如图，已知F =200kN ，l =0.4m ，

α=120°，试求力对O 点之矩.

r F

例3-2 齿轮啮合传动，已知大齿轮节圆半径r 2、直径

D 2，小齿轮作用在大齿轮上的压力为，压力角为α0. 试求压力对大齿轮传动中心O 2点之矩.r F r F 解：根据力对点之矩定义

()2O M F h

=−⋅r F

()2O M F h

=−⋅r F 从图中的几何关系得2200cos cos 2

D h r αα==()220cos 2O D M F α=−⋅r F 故负号表示力使大齿轮绕O 2点作顺时针方向转动.

r F

第三章力矩平面力偶系§3-2 力偶与力偶矩

一、力偶

由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的力系称为力偶，记作()

,′r r F

F

两个要素

1.大小：力与力偶臂乘积

2.方向：转动方向力偶矩

ABC S d F d F M ∆±=⋅⋅⋅±=⋅±=22

12力偶中两力所在平面称为力偶作用面

力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂

二、力偶矩

三、力偶与力偶矩的性质

（1）力偶在任意坐标轴上的投影等于零；

（2）力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡；

（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变.

()()()

()11111,O O O M M M F d x F x Fd

′′=+=⋅+−⋅=r r r r F F F F ()

()222,O M F d x F x F d Fd

′′=⋅+−⋅′==r r F F 力矩的符号力偶矩的符号M

()O M r

F M F d

=⋅

第三章力矩平面力偶系§3-3 力偶的等效

一、平面力偶的等效定理

在同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩大小相等、转动方向相同，则两力偶必等效. 这就是平面力偶的等效定理.

(P , P ′）可以沿着其作用线移动到l 1, l 2上任何一点.

C 二、平面力偶等效定理证明

在力偶( F , F ′)作用面上，任取

两点A 和B ，分别过A 、B 两点作平行

线l 1, l 2与F , F ′，二力作用线分别交

于C 点和D 点；

则(P , P ′）作用结果等效于( F , F ′)所以力偶可在作用面内任意移动，它是自由矢量，与作用点无关.

联结C 、D 两点，在CD 连线方

向上加平衡力Q ,Q ′，则P= F+Q ，

P ′= F ′+Q ′,F ′Q

=

力偶的等效

自由矢量，与作用点无关

==

=

三、力偶的两个推论

1.力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的作用效应；

2.在保持力偶矩大小和转向不改变的条件下，可以任意改变力偶臂的大小、力的大小而不影响它对物体的作用.

第三章力矩平面力偶系

§3-4 平面力偶系的合成与平衡

已知

;,,21n M M M L 任选一段距离d 11F d

M

=d F M 11=22

F d M

=d

F M n n −=n n F d M

=d F M 22==

一、平面力偶系的合成

=

R 12n F F F F =++−L R

12n F F F F ′′′′=++−L 合成后，得到合力偶M

=

=

=

R M F d =12n F d F d F d =++−L 12n M M M =++L 1

n

i i

i M M M ===∑∑平面力偶系平衡的充要条件M = 0

i M =∑平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩的代数和等于零.

二、平面力偶系的平衡

平衡方程合力偶M 的表达式