西北狼联盟2019-2020学年度开学质量检测高2020级数学试题(文科)

2019-2020年高三开学检测数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案写在答卷纸上．） 1．若全集R U =，集合{}02≥-=x x x M ，则集合∁U M = ．2．若复数ii a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为 ．3．某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是 4．在平面直接坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终 边在直线x y 3-=上，且0>x ，则=αsin ．5． 从集合}2,1,1{-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 ．6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为 ．7．“1=a ”是“函数aa x f x x +-=22)(在其定义域上为奇函数”的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8．已知实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，目标函数)(R a ax y z ∈-=，若z 取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数a 的取值范围是 ．9．已知F 是双曲线22:a x C -)0,0122>>=b a by （的左焦点，21B B 是双曲线的虚轴，M 是1OB 的中点，过M F ,的直线交双曲线C 于点A ，且2=，则双曲线C 的离心率是 ．10．若正实数c b a ,,满足023=+-c b a ，则bac的最大值是 ． 11．已知数列}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中31=a ，11=b ，22b a =，353b a =，若存在常数v u ,对任意正整数n 都有v b a n u n +=log 3，则=+v u ． 12．如图，线段EF 的长度为1，端点F E ,在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动，当F E ,沿正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨迹为G ，若G 的周长为l ，其围成的面积为S ，则S l -的最大值为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 .14．记2cos 22sin 2),(22++++=θθθa a a a a F ，对于任意实数θ,a ，),(θa F 的最大值与最小值的和是 .二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)已知函数)(2cos )322cos)(R x x x x f ∈--=π（ （1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若23)2(-=B f ，1=b ，3=c ，且b a >，试求角B 和角C .16. (本小题满分14分) 如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=．（Ⅰ）求证：ED AB ⊥； （Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA的值；若不存在，说明理由．17. (本小题满分14分)如图，现有一个以AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于B A ,的点C ，用渔网沿着弧AC （弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上）、半径OC 和线段CD （其中OA CD //），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若cm OA 1=，3π=∠AOB ，θ=∠AOC .（1）用θ表示CD 的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和）的取值范围.18. (本小题满分16分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F ，2F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值.19. (本小题满分16分)已知：函数b ax ax x g ++-=12)(2)1,0(<≠b a ，在区间]3,2[上有最大值4，最小值1，设函数xx g x f )()(=．（1）求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式；（2）若不等式02)2(≥⋅-xxk f 在]1,1[-∈x 时恒成立，求实数k 的取值范围；（3）如果关于x 的方程0)3124()12(=--⋅+-xx t f 有三个相异的实数根，求实数t 的取值范围．20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，满足21411,()33n n a T p S ==--. （1）求p 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）①问是否存在正整数,,()n m k n m k <<，使得,,n m k a a a 成等差数列？若存在，指出,,n m k 的关系，若不存在，请说明理由.②若12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列，求正整数,x y 的值.数学Ⅱ（附加题）注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。

2020届西北狼联盟高三上学期开学质量检测数学（文）试题一、单选题1．若复数z 满足()112z i i +=+，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】将z 分离出来得到121iz i+=+，然后分子分母同乘以1i -，化简即可得到答案. 【详解】()112z i i +=+()()()()12133111222i i i z i i i +-+∴===++-，则复平面内对应的点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题. 2．已知集合{|ln(1)0}M x x =+>，{|22}N x x =-≤≤，则M N =（ ）A ．(0,2)B ．[0,2)C ．(0,2]D ．[0,2]【答案】C【解析】现根据题意，求出集合M {}x 0x =，再利用交集的定义求出.M N ⋂ 【详解】因为()ln 10x +，解得x>0，所以{}x 0M x =，又因为{|22}N x x =-≤≤ 所以(]0,2M N ⋂= 故选C 【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于简单题.3． 在下列那个区间必有零点（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】利用零点存在定理判断即可． 【详解】，，，，故选C ． 【点睛】一般地，如果在区间上，的图像是连续不间断的且，那么在内至少存在一个零点．进一步地，如果要考虑在上零点的个数，那么还需要考虑函数的单调性．4．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0,0A ω>>，π2<ϕ）的部分图象如图所示，则⋅=ωϕ（ ）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】C【解析】首先根据函数图象得函数的最大值为2，得到2A =，将点()0,1代入结合||2ϕπ<，可得ϕ，将点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭代入可得ω的值，进而可求得结果. 【详解】由函数图象可得2A =，所以()()2sin f x x ωϕ=+，又()01f =，所以1sin 2ϕ=， 结合图象可得()π2π6k k ϕ=+∈Z ，因为π2ϕ<，所以π6ϕ=， 又因为11012f π⎛⎫=⎪⎝⎭，即11sin 0126ππω⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，结合图得112,126k k Z ππωπ⋅+=∈， 又因为21112T ππω=>，所以24011ω<<，故=2ω 所以π3ωϕ⋅=，故选：C. 【点睛】本题给出了函数()sin y A ωx φ=+的部分图象，要确定其解析式，着重考查了三角函数基本概念和函数()sin y A ωx φ=+的图象与性质的知识点，属于中档题． 5．沈老师告知高三文数周考的附加题只有6名同学A ，B ，C ，D ，E ，F 尝试做了，并且这6人中只有1人答对了．同学甲猜测：D 或E 答对了；同学乙猜测：C 不可能答对；同学丙猜测：A ，B ，F 当中必有1人答对了；同学丁猜测：D ，E ，F 都不可能答对．若甲、乙、丙、丁中只有1人猜对，则此人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】D【解析】分别假设甲对、乙对、丙对，丁对，由已知条件进行推理，由此能求出结果． 【详解】若甲猜对，则乙也猜对，与题意不符，故甲猜错； 若乙猜对，则丙猜对，与题意不符，故乙猜错； 若丙猜对，则乙猜对，与题意不符，故丙猜错； ∵甲、乙、丙、丁四人中只有1人猜对， ∴丁猜对． 故选：D ． 【点睛】本题考查推理能力，考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，考查命题的真假判断及应用，是中档题．6．程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S=，则判断框中应填入( )A ．12k ≤B ．11k ≤C ．10k ≤D ．9k ≤【答案】D【解析】按照程序框图执行，直到结果为1320S =，即可确定判断框中的条件. 【详解】初始值k 12S 1==， 执行框图如下：S 112121320k 12111=⨯=≠=-=，；k 不能满足条件，进入循环 S 12111321320k 11110，=⨯=≠=-=；k 不能满足条件，进入循环；S 132101320k 1019=⨯==-=，，此时要输出S ，因此k 要满足条件，所以9k ≤.故选D 【点睛】本题主要考查程序框图，分析清楚框图的作用，即可求解，属于基础题型. 7．下列关于命题的说法错误的是（ ） A.若p q ∧为假命题，则p ,q 均为假命题 B.“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,+?上为增函数”的充分不必要条件；C.命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”；D.若命题()00:,2p x R f x ∃∈≥，则p ⌝：(),2x R f x ∀∈< 【答案】A【解析】由且命题的性质判断A 项，由充分不必要条件的性质判断B 项；由逆否命题和否定的定义判断C,D 项即可. 【详解】对A 项，若p q ∧为假命题，则p ,q 中至少有一个为假命题，故A 错误； 对B 项，2a =⇒函数()log a f x x =在区间()0,+?上为增函数, 函数()logaf x x=在区间()0,+?上为增函数2a ⇒=/,即“2a =”是“函数()log af x x =在区间()0,+?上为增函数”的充分不必要条件，故B 正确；对C 项，由逆否命题的定义可知：命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠” ，故C 正确;对D 项，由否定的性质可知：若命题()00:,2p x R f x ∃∈≥，则p ⌝：() ,2x R f x ∀∈<，故D 正确; 故选:A. 【点睛】本题主要考查了且命题，充分不必要条件的判断，逆否命题以及否定的形式，属于基础题.8．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x 和销售额y 进行统计，得到统计数据如下表（单位：万元）由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yx a =+，据此模型， 预测广告费为10万元时销售额约为（ ） A.118.2万元 B.111.2万元C.108.8万元D.101.2万元【答案】B【解析】分析：平均数公式可求出x 与y 的值,从而可得样本中心点的坐标，代入回归方程求出a ，再将10x =代入回归方程得出结论. 详解：由表格中数据可得，4,50x y ==，50410.2ˆa∴=⨯+，解得9.2a =， ∴回归方程为10.2.2ˆ9yx =+， ∴当10x =时，10.2109.21ˆ11.2y=⨯+=， 即预测广告费为10万元时销售额约为111.2，故选B.点睛：本题考查了线性回归方程的性质与数值估计，属于基础题. 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.9．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C = A.π12B.π6C.π4D.π3【答案】B【解析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA ，∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22，∵a ＞c ， ∴C=π6， 故选：B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 10．已知函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()f x 的图象关于直线3x =对称，则()1.10.3a f =，()0.53b f =，()0c f =的大小关系是（ ）A.a b c >>B.b c a >>C.c b a >>D.b a c >>【答案】D【解析】根据题意得出函数()f x 在(),3-∞上单调递增，比较0.53， 1.10.3，0的大小，结合函数的单调性即可得出,,a b c 的大小关系. 【详解】因为函数()f x 在[)3,+∞上单调递减，且()f x 的图象关于直线3x =对称 所以函数()f x 在(),3-∞上单调递增 又因为0.5 1.1330.30>>>，所以()()()0.51.130.30f f f >>，即b a c >>故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数的对称性的应用以及利用函数单调性比较大小，属于中档题. 11．函数()()πsin 0,2f x x ωφωφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ）A.关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C.关于直线π12x =-对称 D.关于直线7π12x =对称 【答案】C【解析】根据函数()f x 的最小正周期为π，求出ω，向左平移π6个单位后得到的函数为奇函数，求出ϕ，可得出()f x 的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案. 【详解】根据三角函数的图象与性质2||Tπω=，可得||2ω=，因为0>ω，所以2ω= 所以()sin(2)f x x ϕ=+ 设()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的函数为()g x 则()sin 2sin 2263g x x x ϕππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦若()g x 为奇函数，则(0)0g =,故3k πϕπ+=(k Z ∈)，即(),3k k Z πϕπ=-+∈因为||2ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23x k ππ-=,(k Z ∈)解得62k x ππ=+,所以()f x 关于点,062k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,(k Z ∈)对称 A 项，不存在整数k ，使得76212k πππ+=，故A 项错误； B 项，不存在整数k ，使得6212k πππ+=-，故B 项错误； 由232x k πππ-=+(k Z ∈)解得5122k x ππ=+,所以()f x 关于直线5122k x ππ=+(k Z ∈)对称 C 项，当1k =-时，12x π=-，故()f x 关于直线12x π=-对称，故C 项正确；D 项，不存在整数k ，使得5712212k πππ+=，故D 项错误. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.12．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且满足()()20f x f x ---=，()2019f e =-，()()f x f x '>，其中()f x ¢为()f x 的导函数，则不等式()x f x e >的解集为（ ）A.(),e -∞B.(),1-∞C.(),e +∞D.()1,+?【答案】B【解析】由函数的奇偶性得到()()2f x f x -=-，结合周期为4，得到()1f e =，构造函数()()x f x g x e=，求导，根据题意得到()g x 的单调性，将所求不等式化为()()1xf x f e e>，利用单调性，即可得出不等式()xf x e >的解集.【详解】由()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x ---=，得()()2f x f x -=-，故函数()f x 的周期为4，所以()()()()2019331f f f f e ==--=-=-，所以()1f e =，令()()xf xg x e=，由于()()f x f x '>，则()()()0x f x f x g x e '-'=<， 故函数()g x 为R 上的减函数，()xf x e >等价于()()11xf x f e e e e>==， 即()()1xf x f ee>，也即()()1g x g >，所以1x <.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，关键是构造函数利用导数得出函数的单调性,从而得到不等式的解集.二、填空题13．已知α锐角，且cos π2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=_______．【解析】由已知利用诱导公式求得α，进一步得到tan α的值． 【详解】解：由πcos α2⎛⎫-=⎪⎝⎭，得sin α= α是锐角，α60∴=，则tan α=【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题．14．已知函数()24log 1,1()4,1x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若(1)f =a ，则()f a =______．【答案】72【解析】通过()1f a =求出a ，代入解析式求得结果. 【详解】因为()411log 22a f ===所以()1174222f a f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭本题正确结果：72【点睛】本题考查利用分段函数解析式求解函数值的问题，属于基础题. 15．对于下列结论： （1）函数()2x y a x R +=∈的图像可以由函数()01x y a a a =>≠且（且）的图像平移得到；（2）函数2xy =与函数2log y x =的图像关于y 轴对称；（3）方程()()255log 21log 2x x +=-的解集为{}1,3-；（4）函数()()ln 1ln 1y x x =+--为奇函数．其中正确的结论是____________（把你认为正确结论的序号都填上）． 【答案】（1）（4）【解析】【详解】试题分析：（1）中，根据函数的图象变换，可知函数()2x y ax R +=∈的图像可以由函数xy a =的图像平移得到是正确的；（2）中，函数2xy =与函数2log y x =互为反函数，所以图像关于y x =轴对称；（3）中，方程()()255log 21log 2x x +=-满足22210{20212x x x x +>->+=-，解得3x =，所以不正确；（4）中，函数()()ln 1ln 1y x x =+--的定义域中的x 满足11x -<<关于原点对称，且()()()ln 1ln 1f x x x -=--+()()()[ln 1ln 1]x x f x =-+--=-，所以是正确的．【考点】函数性质的应用．16．对于三次函数()()32,,,,0f x ax bx cx d a b c d a =+++∈≠R 有如下定义：设()f x ¢是函数()f x 的导函数，()f x ''是函数()f x ¢的导函数，若方程()0f x ''=有实数解m ，则称点()(),m f m 为函数()y f x =的“拐点”.若点()1,3-是函数()325(,)g x x ax bx a b =-+-∈R 的“拐点”，也是函数()g x 图象上的点，则函数()21sin cos 3h x a x b x =+的最大值是______.【答案】6516【解析】求出函数的导数，二次导函数，通过函数的“拐点”以及点()1,3-是函数()g x 图象上的点，求出a ，b ，化简函数()2sin 4sin 4h x x x =-+为一个角的一个三角函数的形式，利用换元法结合二次函数的性质求解最大值． 【详解】()232g x x ax b =-+'，()62g x x a '-'=，由题意()=01g ''，则3a =，又()13g =-，得4b =，所以()22sin 4cos sin 4sin 4h x x x x x =+=-+，令sin x t =，则[]1,1t ∈-，即求244y t t =-++，[]1,1t ∈-时的最大值， 当18t =时，y 有最大值6516故答案为6516. 【点睛】本题考查函数的导数的运算，三角函数的化简及二次函数的最值问题，考查计算能力，属于简单的综合题．三、解答题 17．已知集合211,1x A x x R x ⎧⎫-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}11,B x x a x R =-≤-≤∈.（1）求集合A ；（2）若R B A B ⋂=ð，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(]1,2A =-；（2）(],2(3,)-∞-⋃+∞.【解析】(1)解分式不等式2111x x -≤+即可得出集合A ； (2)求出集合A 的补集以及集合B ，根据R B A B ⋂=ð得出集合B 是集合A R ð的子集，由包含关系列出不等式，即可求出a 的范围. 【详解】 （1）由2111x x -≤+，得20121x x x -≤⇒-<≤+， ∴(]1,2A =-.（2）()(,1]2,R A =-∞-⋃+∞ð因为11x a -≤-≤，所以11a x a -≤≤+，即[]1,1B a a =-+， 由R B A B ⋂=ð，得R B A ⊆ð， 所以11a ≤-+或12a ->所以a 的范围为(],2(3,)-∞-⋃+∞.18．已知函数()21ln f x x ax x =-++-在1x =处取得极值.（1）求()f x ，并求函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）36ln 22y x =-+-； （2）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）求出导函数()()120f x x a x x=-+->'，利用f （x ）在x=1处取得极值，得到f′（1）=0，得到a=3，求出切点坐标切线的斜率，然后求解函数f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程． （2）由（1）()()1230f x x x x=-+->'，通过导函数的符号，求解函数的单调增区间与函数的单调减区间． 【详解】（1）由题得，()()120.f x x a x x'=-+-> 又函数()f x 在1x =处取得极值，所以()10,f '=解得 3.a = 即()231ln f x x x x =-++-.（3分）因为()()1230f x x x x =-+->'，所以()()32,23ln22f f =-'=-， 所以曲线()f x 在点()()32,26ln22f y x =-+-处的切线方程为.（2）由（1）得，()()1230f x x x x=-+->'，令()110,230,12f x x x x '>-+-><<即解得，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 令()110,230,012f x x x x x <-+-<<'即解得或， 所以()f x 的单调递减区间为()10,,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，()f x 的单调递减区间为()10,1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭和，单调递增区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】19．已知函数()()2cos cos sin (0)f x x x x x ωωωωω=-+>的最小正周期为2π．()1求ω的值； ()2ABC中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()2f B =，a =ABC 面积S =，求b ． 【答案】(1)12(2)3 【解析】（1）化简()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，根据函数的最小正周期2π2π2T ω==即可求出ω的值2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，求得2π3B =，再根据ABC 的面积SS =c =b . 【详解】（1）()22cos cossin f x x x x x ωωωω=-+ cos2x x ωω=-π2sin 26x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭故函数的最小正周期2π2π2T ω==，解得12ω=. （2）由（1）知，()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由()π2sin 26f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得ππ2π62B k -=+（k Z ∈）.所以2π2π3B k =+（k Z ∈）.又(0,π)B ∈，所以2π3B =.ABC 的面积112πsin sin 223S ac B c ==⨯=c =.由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- 222π23=+- 9=，所以3b =. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识；考查运算20．已知函数()121x f x a =+-是奇函数． (1)求a 的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m 2＋2m －1)＋f(m 2＋3)＜0.【答案】（1）()(),00,-∞⋃+∞；（2）()()1,11,-⋃+∞【解析】分析：（1）根据函数奇偶性的定义建立方程即可求出a ，根据分式函数的意义即可求出函数的定义域．（2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可． 详解：(1)因为函数f(x)＝＋a 是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 即＋a ＝－a ，即＝，从而有1－a ＝a ，解得a ＝.又2x－1≠0，所以x≠0，故函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由f(－m 2＋2m －1)＋f(m 2＋3)＜0，得f(－m 2＋2m －1)＜－f(m 2＋3)，因为函数f(x)为奇函数，所以f(－m 2＋2m －1)＜f(－m 2－3)．由(1)可知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，从而在(－∞，0)上是减函数，又－m 2＋2m －1＜0，－m 2－3＜0，所以－m 2＋2m －1＞－m 2－3，且1m ≠解得m ＞－1，且1m ≠，所以不等式的解集为()()1,11,-⋃+∞点睛：本题考查了函数奇偶性的性质，解题的关键是理解奇函数的定义及利用单调性解不等式，属中档题.． 21．设函数．Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ记函数的最小值为，证明：．【答案】（I ）在上单调递减，在上单调递增；（II ）详见解析.【解析】（I ）对函数求导，解导函数所对应的不等式即可求出结果； （II ）由（I ）先得到，要证，即证明，即证明，构造函数，用导数的方法求函数的最小值即可.【详解】 （Ⅰ）显然的定义域为．．∴若，，此时，在上单调递减；若，，此时，在上单调递增；综上所述：在上单调递减，在上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，即：．要证，即证明，即证明， 令，则只需证明，∵，且， ∴当，，此时，在上单调递减；当，，此时，在上单调递增，∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，最值等，属于常考题型.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ+-=.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知()1,2M ，直线l 与曲线C 交于P ，Q .【答案】（1）()()22125x y ++-=（2）【解析】(1)利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将极坐标方程化为普通方程；(2) 将直线l 的参数方程代入C 的普通方程,利用韦达定理求出12t t +，12t t ，结合直线参数方程中参数的几何意义将22MP MQ +化为()12122t t t t +-，即可求出.（1）∵2cos 4sin 0ρθθ+-=，∴22cos 4sin 0ρρθρθ+-=， ∴2240x y ρ+-=，即()()22125x y ++-=.（2）将直线l 的参数方程1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入C 的普通方程()()22125x y ++-=，得24cos 10t t α+-=，则124cos t t α+=-，121t t =-，所以()22222121212216cos 218MP MQ t t t t t t α+=+=+-=+≤，≤【点睛】本题主要考查了极坐标与普通方程的互化以及直线参数方程中参数的几何意义，考查了计算能力，属于中等题.23．已知函数()12f x x x =-++. （1）求不等式()30f x x --≤的解集；（2）设函数()()22g x f x x =-+，若存在x 使()22g x λλ≥-成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）[]0,2；（2）[]1,3-.【解析】(1)分类讨论x 的值，去掉绝对值，即可求解该不等式；(2)根据绝对值三角不等式求出()g x 的最大值，解出不等式223λλ-≤的解集即可得出λ的取值范围. 【详解】（1）当2x <-时，原不等式可化为340x --≤，无解； 当21x -≤≤时，原不等式可化为0x -≤，从而01x ≤≤； 当1x >时，原不等式可化为20x -≤，从而12x <≤. 综上，原不等式的解集为[]0,2.（2）由()22g x λλ≥-得()2max 2g x λλ≥-，又()() 22123g x f x x x x =-+=--+≤，所以223λλ-≤，即2230λλ--≤，解得13λ-≤≤，所以λ的取值范围为[]1,3-.本题主要考查了不等式选讲的内容，解决含绝对值的不等式是一般采用零点分段法，去掉绝对值来求解，属于中档题.。

2020年高考模拟试卷高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）1．已知集合M＝{x|x≥﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2]D．（2，+∞）2．设i为虚数单位，则复数（1+i）2＝（）A．0B．2C．2i D．2+2i3．已知向量，满足||＝1，•＝﹣1则•（2﹣3）＝（）A．﹣1B．5C．7D．94．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．B．C．D．5．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+a，则f （﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2D．27．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则n⊥β8．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝﹣，α，β均为锐角，则β＝（）A．B．C．D．9．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．710．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称11．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．12．F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点．过点F向C的﹣条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若3＝，则C的心离心率是（）A．B．2C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最小值为．14．数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是2，则数据2a1﹣1，2a2﹣1，2a3﹣1，2a4﹣1，2a5﹣1的方差是．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为．16．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球面积是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题每题12分，选作题10分.17．如图，ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB＝AP＝2，BE＝BC＝1，∠CBA＝60°．（Ⅰ）求证：EC∥平面PAD；（Ⅱ）求四面体B﹣ACE的体积．18．设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．19．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：＝，＝﹣，＝x+．20．设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y＝x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．21．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣16cosθ＝0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3），（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（x∈R）（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞5的解集；（2）对任意实数x，都有f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x≥﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，则M∩N＝（）A．（﹣∞，﹣1]B．[﹣1，2）C．（﹣1，2]D．（2，+∞）【分析】先分别求出集合M，N，由此利用交集定义能求出M∩N．解：∵集合M＝{x|x≥﹣1}，N＝{x|﹣2＜x＜2}，∴M∩N＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：B．2．设i为虚数单位，则复数（1+i）2＝（）A．0B．2C．2i D．2+2i【分析】利用复数的运算法则即可得出．解：（1+i）2＝1+i2+2i＝1﹣1+2i＝2i，故选：C．3．已知向量，满足||＝1，•＝﹣1则•（2﹣3）＝（）A．﹣1B．5C．7D．9【分析】直接把已知条件代入数量积即可求解解：∵向量，满足||＝1，•＝﹣1；则•（2﹣3）＝2﹣3＝2×12﹣3×（﹣1）＝5；故选：B．4．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，这5个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球颜色相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】由排列组合的知识可得总的取法种数和颜色完全一样的取法种数，由概率公式求解即可．解：由题意得：＝＝，故选：B．5．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出如下预测：甲说：获奖者在乙丙丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中的一人获奖；丁说：乙猜测的是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知俩人获奖，则获奖的是（）A．甲和丁B．甲和丙C．乙和丙D．乙和丁【分析】本题主要抓住乙、丁的预测是一样的这一特点，则乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．先假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，可推出矛盾，故乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，再分析可得出获奖的是乙和丁．解：由题意，可知：∵乙、丁的预测是一样的，∴乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不符．①假设乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，根据乙、丁的预测，丙获奖，甲、丁中必有一人获奖；这与丙的预测不成立相矛盾．故乙、丁的预测不成立，②乙、丁的预测不成立，则甲、丙的预测成立，∵甲、丙的预测成立，∴丁必获奖．∵乙、丁的预测不成立，甲的预测成立，∴丙不获奖，乙获奖．从而获奖的是乙和丁．故选：D．6．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝log3（x+1）+a，则f（﹣8）等于（）A．﹣3﹣a B．3+a C．﹣2D．2【分析】根据奇函数的结论f（0）＝0求出a，再由对数的运算得出结论．解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（0）＝a＝0，f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣log3（8+1）＝﹣2．故选：C．7．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥α，m∥β，则α∥βD．若m∥α，α⊥β，则n⊥β【分析】A，根据线面垂直的性质，可以得到n⊥α；B，以正方体的上底面为α，可得下底面内的直线m、n均与α平行，但不一定有m∥n，因此是假命题；C，m⊥α，m∥β，则α⊥β；D，α⊥β，m∥α，则m与β的位置关系都有可能．解：对于A，m∥n，m⊥α，根据线面垂直的性质，可以得到n⊥α，故正确；对于B，设正方体的上底面为α，则在下底面内任意取两条直线m、n，有m∥α且n∥α，但不一定有m∥n成立，故是假命题；对于C，若m⊥α，m∥β，则α⊥β，不正确；对于D，α⊥β，m∥α，则m与β平行，相交，m在面内都有可能，故不正确．故选：A．8．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝﹣，α，β均为锐角，则β＝（）A．B．C．D．【分析】由已知可求cos（α﹣β），cosα，而β＝α﹣（α﹣β），再利用两角差的三角公式可求cosβ，结合已知β的范围可求答案．解：∵∴∵，∴，∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）＝＝∴故选：C．9．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|＝（）A．B．6C．12D．7【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．解：由y2＝3x得其焦点F（，0），准线方程为x＝﹣．则过抛物线y2＝3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y＝tan30°（x﹣）＝（x ﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2＝，所以|AB|＝x1++x2+＝++＝12故选：C．10．已知函数f（x）＝sin2x+sin x cos x，则（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称【分析】利用二倍角公式及辅助角公式f（x）＝sin（2x﹣）+，根据正弦函数的性质分别判断，即可求得答案．解：f（x）＝sin2x+sin x cos x＝+sin2x＝sin（2x﹣）+，由T＝＝π，故A错误，f（x）的最大值为1+＝，故B错误；令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，解得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，当k＝0时，则f（x）在（，）上单调递减，故C正确，令2x﹣＝kπ+，解得：x＝+，故D错误，故选：C．11．函数f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（）A．10B．9C．8D．【分析】求出原函数的导函数，由f′（1）＝2a+b＝2，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．解：由f（x）＝ax2+bx，得f′（x）＝2ax+b，又f（x）＝ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）＝2a+b＝2，即．则＝．当且仅当，即时“＝”成立．所以的最小值是9．故选：B．12．F是双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点．过点F向C的﹣条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若3＝，则C的心离心率是（）A．B．2C．D．【分析】设一渐近线OA的方程为y＝x，设A（m，m），B（n，﹣），由3＝，求得点A的坐标，再由FA⊥OA，斜率之积等于﹣1，求出a2＝2b2，代入e＝＝进行运算即可得到．解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OA的方程为y＝x，则另一渐近线OB的方程为y＝﹣x，设A（m，），B（n，﹣），∵3＝，∴3（c﹣m，﹣）＝（n﹣c，﹣），∴3（c﹣m）＝n﹣c，﹣＝﹣，∴m＝c，n＝2c，∴A（，）．由FA⊥OA可得，斜率之积等于﹣1，即•＝﹣1，∴a2＝2b2，∴e＝＝＝．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．实数x，y满足，则z＝y﹣2x的最小值为﹣9．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出z的最小值即可．解：在坐标系中画出实数x，y满足可行域三角形，如图：由，解得A（3，﹣3），移直线y﹣2x＝0经过点A（3，﹣3）时，y﹣2x最小，最小值为：﹣9，则z＝y﹣2x的最小值为﹣9．故答案为：﹣9．14．数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是2，则数据2a1﹣1，2a2﹣1，2a3﹣1，2a4﹣1，2a5﹣1的方差是8．【分析】数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是2，期望为a，则数据2a1﹣1，2a2﹣1，2a3﹣1，2a4﹣1，2a5﹣1的期望是2a﹣1，根据方差公式求出．解：数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是2，期望为a，则数据2a1﹣1，2a2﹣1，2a3﹣1，2a4﹣1，2a5﹣1的期望是2a﹣1，方差是S2＝＝＝4×2＝8，故答案为：8．15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为75°．【分析】由正弦定理，两角差的正弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知等式可得sin（A﹣C）＝，可求范围﹣120°＜A﹣C＜120°，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值可求A﹣C＝30°，联立A+C＝120°，即可解得A的值．解：∵，∴由正弦定理可得：（sin A cos C﹣sin C cos A）＝sin B，可得：sin（A﹣C）＝sin B＝，∴sin（A﹣C）＝，∵A+C＝120°，又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，∴A﹣C＝30°，∴解得：A＝75°．故答案为：75°．16．如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP+PE的最小值为，则该正四面体的外接球面积是12π．【分析】将侧面展开，根据BP+PE的最小值可得正四面体的棱长，再计算外接球的半径，得出外接球面积．解：将侧面△ABC和△ACD展成平面图形，如图所示：设正四面体的棱长为a，则BP+PE的最小值为BE＝＝a＝，∴a＝2．在棱锥A﹣BCD中，设底面三角形BCD的中心为M，外接球的球心为O，F为BC的中点，则DF＝a＝，∴DM＝DF＝，AM＝＝．设外接球的半径OA＝OD＝r，则OM＝﹣r，在Rt△OMD中，由勾股定理可得：r2＝（﹣r）2+（）2，解得：r＝．∴外接球的表面积为：4π＝12π．故答案为：12π．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题每题12分，选作题10分.17．如图，ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB＝AP＝2，BE＝BC＝1，∠CBA＝60°．（Ⅰ）求证：EC∥平面PAD；（Ⅱ）求四面体B﹣ACE的体积．【分析】（Ⅰ）推导出BE∥平面PAD．BC∥平面PAD，从而平面BCE∥平面PAD，由此能证明EC∥平面PAD．（Ⅱ）推导出BE⊥平面ABCD，从而V B﹣ACE＝V E﹣ABC，由此能求出四面体B﹣ACE的体积．解：（Ⅰ）证明：∵BE∥AP，BE⊄平面PAD，AP⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD．同理可证BC∥平面PAD，∵BC∩BE＝B，∴平面BCE∥平面PAD．∵EC⊂平面BCE，∴EC∥平面PAD．（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，BE∥AP，∴BE⊥平面ABCD，即BE⊥平面ABC，∴V B﹣ACE＝V E﹣ABC，在△ABC中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴，，故四面体B﹣ACE的体积为．18．设数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，S n＝1﹣a n（n∈N*）①．当n＝1时，解得：，当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1．②①﹣②得：2a n＝a n﹣1，所以：（常数），故：数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列．则：（首项符合通项），所以：．（2）由于：，则：b n＝log2a n＝﹣n．所以：b n+1＝﹣（n+1），则：，故：＝．19．某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：＝，＝﹣，＝x+．【分析】（1）根据所给的数据先做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法写出线性回归方程系数的表达式，把样本中心点代入求出a的值，得到线性回归方程．（2）根据所给的变量x的值，把值代入线性回归方程，得到对应的y的值，这里的y的值是一个预报值．解：（1）求回归直线方程＝＝5＝＝50b＝＝6.5a＝50﹣6.5×5＝17.5∴因此回归直线方程为y＝6.5x+17.5；（2）当x＝12时，预报y的值为y＝12×6.5+17.5＝95.5万元．即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．20．设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y＝x+m交椭圆M于A，B两点，P（1，）为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．【分析】（1）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，求得a，b，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，由三角形的面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值．解：（1）双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率，由2a＝4，b2＝a2﹣c2，得a＝2，，，故椭圆M的方程为；（2）联立方程，得，由，得．且，所以，＝．又P到直线AB的距离为，所以＝．当且仅当时取等号，所以．21．已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【分析】（I）当a＝4时，求出曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线的斜率，即可求出切线方程；（II）先求出f′（x）＞f′（1）＝2﹣a，再结合条件，分类讨论，即可求a的取值范围．解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．考生在22、23两题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.22．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣16cosθ＝0，直线l与曲线C交于A，B两点，点P（1，3），（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）求的值．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线的参数方程改写为，代入y2＝16x，利用参数的几何意义求的值．解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，可得直线l的普通方程y＝2x+1，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣16cosθ＝0，即ρ2sin2θ＝16ρcosθ，曲线C的直角坐标方程为y2＝16x，（2）直线的参数方程改写为，代入y2＝16x，，，，．23．设函数f（x）＝|x+1|+|x﹣a|（x∈一、选择题）（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞5的解集；（2）对任意实数x，都有f（x）≥3恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过a＝2，结合x的取值，去掉绝对值符号化简求解不等式即可．（2）利用绝对值的几何意义，转化不等式求解即可．解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|＞5，当x≥2时x+1+x﹣2＞5，可得x＞3；当﹣1≤x＜2时x+1﹣x+2＞5，解得x∈∅，当x＜﹣1时﹣x﹣1+x﹣2＞5，解得x＜﹣2；综上：x∈（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）………………（2）|x+1|+|x﹣a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f（x）≥3恒成立，∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤﹣4．。

2019-2020年高三上学期教学质量检测（一）数学（文）试题 含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题满分5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}{}2|12,|30,A x x B x x x =-<<=-<则（ ）A. B. C. D.2.在富平面上，复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设为锐角，若，则的值为（ ）A. B. C. D.4. 已知数列成等差数列，而成等比数列，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 5. 设函数13,1,()27,1,x x f x x x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪+->-⎩，则（ ） A. B. C. D.6. 已知向量，若向量满足，且，则（ ）A. B.C. D.7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B.C. D.8. 在区间上随机取两个数，记为事件的概率，则（ ）A. B. C. D.9. 执行右面的程序框图，如果输入的，那么输出的（ ）A. B. C. D.10.设抛物线的焦点在直线上，则该抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D.11.函数的部分图象如图所示，则的单调递增区间为（ ）A. 37,,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭B. 5,,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C. 372,2,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ D. 52,2,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭ 12.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B.C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设圆()22:3(y 2)1(a 0)C x -+-=>与直线相交于P ,Q 两点，则 . 14. 若满足约束条件50210,210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则的最小值为 .15.已知A,B 是球O 的球面上的两点，，C 为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为3，则球O 的体积为 .16.已知曲线在点处的切线为，若与曲线相切，则 .三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17.（本小题满分12分）已知等比数列中，（Ⅰ）为的前项和，证明：（Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++L ，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标，由测量结果得质量指标值分布频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值来代表这种产品质量的指标值）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%的规定”.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，1//,4,2,2,AB CD ab BC CD AA ====分别为棱的中点.（Ⅰ）设F 为棱AB 的中点，证明：直线平面；（Ⅱ）证明：平面平面20.（本小题满分12分）已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，点在C 上.（Ⅰ）求C 得方程；（Ⅱ）直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A,B ，线段AB 的中点为M ，证明：直线OM 的斜率与直线的斜率的乘积为定值.21.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若为整数，且当时，，求的最大值.（二）选考题（共10分，请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号）22.（本小题满分10分）选修4——1；几何证明选讲如图，直线AB 为圆的切线，切点为B ，点C 在圆上，的角平分线交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D.（Ⅰ）证明：（Ⅱ）设圆的半径为1，，延长CE 交AB 于点F ，求外接圆的半径.23.（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ==（Ⅰ）求与交点的直角坐标；（Ⅱ）若与相交于点A ，C ，与相交于点B ，求的最大值.24. （本小题满分10分）选修4——5；不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）若，则;（Ⅱ）是的充要条件.。

2019-2020年高三下学期开学考试数学（文）试题含答案考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．参考公式：柱体体积公式，其中为底面面积，为高；锥体体积公式，其中为底面面积，为高，球的表面积和体积公式，，其中为球的半径，第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知，则（）A. B. C. D.3．若，则（）A. B. 0 C. D. 14. 已知向量, 向量，则的最大值，最小值分别是( )A．4，0 B．，4C．，0 D．16，05. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.6. 已知满足约束条件，则下列目标函数中，在点处取得最小值的是（）A. B.C. D.7．执行右边的程序框图，若，则输出的为（）A．B．C．D．8. 柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，则取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但它们不成对的概率为（）A. B. C. D.9. 已知函数，若的图像的一条切线经过点，则这条切线与直线及轴所围成的三角形面积为（）A. B.1 C. 2 D.10. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部11. 过双曲线的右顶点作轴的垂线与C的一条渐近线相交于点A，若以的右焦点F为圆心，半径为4的圆经过A,O两点（O为原点），则双曲线的方程为（）A. B. C. D.12. 已知函数对定义域内的任意都有，且当时导函数满足，若，则（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2019-2020年高三上学期入学数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，4}C．{0，4，5}D．{5}2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知命题p：∀x∈R，3x＜4x，命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q4．已知函数f（x）= 若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）5．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．266．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（）A．（0，]B．[，） C．[，] D．（，]7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B． C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞210．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C．[1，+∞）D．11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣xx）=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣212．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（）A．（﹣xx，﹣xx）B．（﹣xx，xx）C．（﹣xx，+∞）D．（﹣∞，﹣xx）二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为．14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为．15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为．16．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x＞0时，证明：e x＞f′（x）+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．xx重庆市垫江县才中学高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A∪B）=（）A．{0，1，2，3} B．{1，2，4}C．{0，4，5}D．{5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B并集的补集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，x∈Z，解得：1＜x＜4，x∈Z，即B={2，3}，∵U={0，1，2，3，4，5}，A={1，3}，∴A∪B={1，2，3}，则∁U（A∪B）={0，4，5}，故选：C．2．若复数z满足（+i）（1+i）=2，则z在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，然后求解z在复平面内对应的点所在的象限．【解答】解：复数z满足（+i）（1+i）=2，可得===1﹣2i．则z在复平面内对应的点（1，2）所在的象限为第一象限．故选：A．3．已知命题p：∀x∈R，3x＜4x，命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】先判断命题p，q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得结论．【解答】解：命题p：∀x∈R，3x＜4x，是假命题；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，是真命题，故p∧￢q，￢p∧￢q，p∧q均为假命题，￢p∧q为真命题，故选：B．4．已知函数f（x）= 若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）【考点】函数单调性的性质．【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零∴函数的图象是一条连续的曲线∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数∴函数f（x）是定义在R上的增函数因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，故选D5．等差数列{a n}中，S n为其前n项和，且S9=a4+a5+a6+72，则a3+a7=（）A．22 B．24 C．25 D．26【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，S9=9a5，代入计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a9=a3+a7=a4+a6=2a5，所以S9===9a5，由S9=a4+a5+a6+72，得9a5=3a5+72，则a5=12．故a3+a7=2a5=24．故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2+b2=2c2，则角C的取值范围为（）A．（0，]B．[，） C．[，] D．（，]【考点】余弦定理的应用．【分析】利用余弦定理列出关系式，将已知等式变形后代入并利用基本不等式求出cosC≥，即可确定出C的取值范围．【解答】解：∵a2+b2=2c2，∴c2=，∴由余弦定理得：cosC==≥=（当且仅当a=b时取等号），∴0＜C≤．故选：A．7．设曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线对应函数的导数，可得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到a的值．【解答】解：y=的导数为y′==﹣，可得曲线y=在点（2，3）处的切线的斜率k=﹣2，由曲线y=在点（2，3）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，可得直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a=，解得a=﹣．故选：C．8．若函数f（x）=x3+ax2+2x在[0，2]上既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为（）A．（﹣6，0）B． C．（﹣3.5，0）D．（﹣3.5，）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】把要求的问题转化为其导数在区间[0，2]内必有两个不等实数根，再利用二次函数的性质解出即可．【解答】解：由函数f（x）=x3+ax2+2x，得f′（x）=3x2+2ax+2．∵函数f（x）=x3﹣ax2+3ax+1在[0，2]上，既有极大也有极小值，∴f′（x）=0在[0，2]上应有两个不同实数根．∴，解得﹣3.5＜a＜．∴实数a的取值范围是﹣3.5＜a＜．故选：D．9．设函数f（x）=log4x﹣（）x，g（x）=logx﹣（）x的零点分别是x1，x2，则（）A．x1x2=1 B．0＜x1x2＜1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2＞2【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=（）x的图象的交点的横坐标，根据x2＞log4x1，求得0＜x1•x2＜1，从而得出结论．【解答】解：由题意可得x1是函数y=log4x的图象和y=（）x的图象的交点的横坐标，x2是y=的图象和函数y=y=（）x的图象的交点的横坐标，且x1，x2都是正实数，如图所示：故有x2＞log4x1，故log4x1﹣x2＜0，∴log4x1+log4x2＜0，∴log4（x1•x2）＜0，∴0＜x1•x2＜1，故选B．10．已知函数f（x）=，若对任意的x∈R，不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．C．[1，+∞）D．【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】求出分段函数的最大值，把不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立转化为2m2﹣大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围．【解答】解：对于函数f（x）=，当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣）2+；当x＞1时，f（x）=＜0．则函数f（x）的最大值为．则要使不等式f（x）≤2m2﹣m恒成立，则2m2﹣m恒成立，即m≤﹣或m≥1．故选：B．11．函数f（x）为定义在R上的偶函数，且满足f（x+1）+f（x）=1，当x∈[1，2]时f（x）=3﹣x，则f（﹣xx）=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2【考点】抽象函数及其应用．【分析】由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得f（﹣x+1）+f（x）=1与f（x+1）+f（x）=1，求解出函数的周期，x∈[1，2]时f（x）=3﹣x的值即可求f（﹣xx）．【解答】解：由题意：函数f（x）为定义在R上的偶函数，可得：f（x+1）+f（x）=1…①，已知f（x）+f（x﹣1）=1…②由①②可得f（x+1）=f（x﹣1），那么：f（x+2）=f（x）故函数的周期是2．∴f（﹣xx）=f=f（1），又当x∈[1，2]时，f（x）=3﹣x，∴f（1）=3﹣1=2．故选C．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f'（x），且有2f（x）+xf'（x）＞x2，则不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0的解集为（）A．（﹣xx，﹣xx）B．（﹣xx，xx）C．（﹣xx，+∞）D．（﹣∞，﹣xx）【考点】几何概型．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数；再由F（x+xx）=（x+xx）2f（x+xx），F（﹣3）=9f（﹣3），且不等式（x+xx）2f（x+xx）﹣9f（﹣3）＜0可变成F（x+xx）＜F（﹣3），解这个不等式即可，这个不等式利用F（x）的单调性可以求解．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+xx）=（x+xx）2f（x+xx），F（﹣3）=9f（﹣3）；即不等式等价为F（x+xx）﹣F（﹣3）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；∴由F（x+xx）＜F（﹣3）得，x+xx＞﹣3，∴x＞﹣xx；又x+xx＜0，∴x＜﹣xx；∴﹣xx＜x＜﹣xx．∴原不等式的解集是（﹣xx，﹣xx）．故选：A．二、填空题：请把答案填在答题卡相应位置，本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知向量是单位向量，向量，若，则，的夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，求得cosθ的值，可得，的夹角为θ的值．【解答】解：向量是单位向量，设，的夹角为θ，∵向量，若，∴||==4，∴•（2+）=2+=2+1•4•cosθ=0，求得cosθ=﹣，∴θ=，故答案为：．14．已知函数y=f（x）的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的3倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移，这样得到的曲线和y=2sinx的图象相同，则已知函数y=f（x）的解析式为f（x）=sin（2x﹣）．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：由题意可得y=2sinx的图象沿x轴向右平移，可得y=2sin（x﹣）的图象，再把图象上的每一点的纵坐标变为原来的倍，横坐标变为原来的倍，可得函数f（x）的图象，故f（x）=sin（2x﹣）的图象，故答案为：f（x）=sin（2x﹣）．15．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系为c＞a＞b．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据已知中f（x）=f（2﹣x），可得：c=f（3）=f（﹣1），根据当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f'（x）＞0，可得x∈（﹣∞，1）时，函数为减函数，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），∴c=f（3）=f（﹣1），∴当x∈（﹣∞，1）时，x﹣1＜0，若（x﹣1）f'（x）＞0，则f'（x）＜0，故此时函数为减函数，∵﹣1＜0＜＜1，∴f（﹣1）＞f（0）＞f（），∴c＞a＞b，故答案为：c＞a＞b．16．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[﹣2，+∞）有解，则实数a的最小值为1﹣．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x ﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈[﹣2，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在[﹣2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；故答案为：1﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，本大题共6个小题，共70分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）由点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，可得2S n=n2+n，利用递推关系即可得出；（2）由已知得：b n===．利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：（1）∵点（n，2S n）（n∈N+）均在函数y=x2+x的图象上，∴2S n=n2+n，当n=1时，2S1=2a1=2，解得a1=1；当n≥2时， +（n﹣1），可得2a n=2n，解得a n=n．经检验：n=1时也满足上式．综上可得：a n=n．（n∈N+）．（2）由已知得：b n===．∴数列{b n}的前n项和T n=+…+=1﹣=．18．已知函数f（x）=2．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a 的最小值．【考点】余弦定理的应用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+）+1=，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及，即可求得实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=2=（1+cos2x）﹣（sin2xcos﹣cos2xsin）=1+sin2x+=1+sin（2x+）．∴函数f（x）的最大值为2．要使f（x）取最大值，则sin（2x+）=1，∴2x+=2kπ+（k∈Z）∴x=kπ+（k∈Z）．故x的取值集合为{x|x=kπ+（k∈Z）}．（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈，∴2A+=，∴A=在△ABC中，根据余弦定理，得=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知，即a2≥1．∴当b=c=1时，实数a取最小值1．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，四边形ABCD是矩形，且平面PAB ⊥平面ABCD，PA=2，PC=4．（Ⅰ）若点E是PC的中点，求证：PA∥平面BDE；（Ⅱ）若点F在线段PA上，且FA=λPA，当三棱锥B﹣AFD的体积为时，求实数λ的值．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用最后利用平行线分线段成比例求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）如图连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE（Ⅱ）解：依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，所以，则直角三角形△ABD的面积为，由FM∥PO得：20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．21．设函数f（x）=xlnx（x＞0）：（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设F（x）=ax2+f′（x）（a∈R），F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（3）当x＞0时，证明：e x＞f′（x）+1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数f′（x），解不等式f′（x）＞0得出增区间，解不等式f′（x）＜0得出减区间；（2）求F′（x），讨论F′（x）=0的解的情况及F（x）的单调性得出结论；（3）构造函数设g（x）=e x﹣lnx，x＞0，则即证g（x）＞2，只要证g（x）min＞2，利用导数判断函数的单调性，求得g（x）的最小值即得，不等式即可得证．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）求导函数，可得f′（x）=1+lnx令f′（x）=1+lnx=0，可得x=∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0∴函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，（2）∴F（x）=ax2+f′（x）（x＞0），∴F′（x）=2ax+=（x＞0）．当a≥0时，F′（x）＞0恒成立，∴F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）在（0，+∞）上无极值．当a＜0时，令F′（x）=0得x=或x=﹣（舍）．∴当0＜x＜时，F′（x）＞0，当x＞时，F′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴当x=时，F（x）取得极大值F（）=+ln，无极小值，综上：当a≥0时，F（x）无极值，当a＜0时，F（x）有极大值+ln，无极小值，（Ⅲ）证明：设g（x）=e x﹣lnx，x＞0，则即证g（x）＞2，只要证g（x）min＞2，∵g′（x）=e x﹣，设h（x）=e x﹣，∴h′（x）=e x+＞0恒成立，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，∵h（0.5）=﹣2＜1.7﹣2＜0，h（1）=e﹣1＞0，∴方程h（x）=0有唯一的实根x=t，且t∈（0.5，1）∵当t∈（0.5，1）时，h（x）＜h（t）=0，当t∈（t，+∞）时，h（x）＞h（t）=0，∴当x=t时，g（x）min=e t﹣lnt，∵h（t）=0，即e t=，则t=e﹣t，∴g（x）min=﹣ln=e﹣t=+t＞2=2，∴e x＞f′（x）+1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲22．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是⊙O的直径．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，若AF=3，CF=9，求AC的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得=，即可得出．【解答】（I）证明：如图所示，连接BE∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．（II）解：∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=3，CF=9，∴92=3BF，解得BF=27．∴AB=BF﹣AF=24．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴=，∴AC==8．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．平面直角坐标系xOy中，曲线C：（x﹣1）2+y2=1．直线l经过点P（m，0），且倾斜角为．以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立坐标系．（Ⅰ）写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|•|PB|=1，求实数m的值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，把代入可得曲线C的极坐标方程．直线l的参数方程为：，（t为参数）．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程圆的方程可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，利用|PA|•|PB|=1，可得|m2﹣2m|=1，解得m即可得出．【解答】解：（1）曲线C：（x﹣1）2+y2=1．展开为：x2+y2=2x，可得ρ2=2ρcosθ，即曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ．直线l的参数方程为：，（t为参数）．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入x2+y2=2x，可得：t2+（）t+m2﹣2m=0，∴t1t2=m2﹣2m．∵|PA|•|PB|=1，∴|m2﹣2m|=1，解得m=1或1±．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（1）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（2）当a=2时，若关于x的不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最大值为14，可得|1﹣b|≤7，由此解得b的范围．【解答】解：（1）当a=﹣1时，不等式f（x）≤3x 可化为①；或②；或③．解①求得﹣≤x＜﹣，解求得﹣≤x＜，解求得x≥．综上可得，不等式的解集为{x|x≥﹣}．（2）当a=2时，f（x）=|2x+|+|2x﹣3|≥|2x+﹣（2x﹣3）|=，（当且仅当﹣≤x≤时取等号），则f（x）的最大值为4•=14，不等式4f（x）＜2|1﹣b|的解集为空集，等价于|1﹣b|≤7，解得﹣6≤b≤8，故实数b的取值范围是[﹣6，8]．xx1月6日。

2019-2020年高三上学期开学检测数学试题一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）在复平面内，复数（其中i为虚数单位）对应的点位于第一象限．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：由复数的除法运算把复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，求出对应的点，则答案可求．解答：解：由=．所以复数（其中i为虚数单位）对应的点为．位于第一象限．故答案为一．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，是基础题．2．（5分）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠∅，则a=1．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：求解二次不等式化简集合N，然后由交集的运算可得a的值．解答：解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠∅，所以a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了交集及其运算，是基础题．3．（5分）已知，，则=﹣．考点：两角和与差的正切函数．分析：所求式子利用诱导公式化简，将sinα算出并求出tanα带入可求出值．解答：∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案为：﹣点评：考查了两角和公式的应用，属于基础题．4．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n．若a1=1，a3=4，S k=63，则k=6．考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：先由已知的项可求等比数列的公比，然后代入等比数列的求和公式即可求解k解答：解：由等比数列的通项公式可得，=4又∵a n＞0∴q＞0∴q=2∵S k=63，∴∴2k=64∴k=6故答案为：6点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是①．①若m∥n，m⊥β，则n⊥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若n⊥α，n⊥β，则α⊥β．考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：对每一选择支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的证明一下即可．解答：解：对于①，根据线面垂直的判定定理，如果两平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．可知该命题正确；对于②，根据线面平行的判定定理可知少条件：“n不在平面β内”，故不正确；对于③，若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交．可知该命题不正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正确．故答案为：①．点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．6．（5分）（xx•南通二模）根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为145．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28时，S的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出满足条件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故输出的S值为145．故答案为：145．点评：本题考查的知识点是伪代码，其中根据已知分析出循环的循环变量的初值，终值及步长，是解答的关键．7．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的最大值为1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：建系，由向量数量积的坐标运算公式，可得得=x，结合点E在线段AB上运动，可得到x的最大值为1，即为所求的最大值．解答：解：以AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立坐标系如图可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）设E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x•1+（﹣1）•0=x，∵点E是AB边上的动点，即0≤x≤1，∴x的最大值为1，即的最大值为1故答案为：1点评：本题考查向量数量积的最大值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落入区域A的概率为．考点：几何概型．专题：计算题．分析：根据二元一次不等式组表示的平面区域的原理，分别作出集合Ω和集合A对应的平面区域，得到它们都直角三角形，计算出这两个直角三角形的面积后，再利用几何概型的概率公式进行计算即可．解答：解：区域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的图形是第一象限位于直线x+y=6的下方部分，如图的红色三角形的内部，它的面积S=；再观察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的图形在直线x﹣2y=0下方，直线x=4的左边并且在x轴的上方，如图的黄色小三角形内部可以计算出它的面积为S1==4根据几何概率的公式，得向区域Ω上随机投一点P，P落入区域A的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概率模型，准确画作相应的平面区域，熟练地运用面积比求相应的概率，是解决本题的关键，属于中档题．9．（5分）函数的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向右平移单位后，得到的图象解析式为y=sin（2x﹣）．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：由图知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，从而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换及可求得答案．解答：解：由图知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式为y=sin（2x+），∴将y=f（x）的图象向右平移单位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查识图与运算能力，属于中档题．10．（5分）已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，则x﹣y=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意可得cosxcosy=，进而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函数可知x﹣y的值．解答：解：由题意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以﹣π＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案为：点评：本题考查同角三角函数的基本关系，以及两角和与差的余弦函数，属基础题．11．（5分）（xx•黑龙江二模）求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解题思路：设f（x）=（）x+（）x，则f（x）在R上单调递减，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．类比上述解题思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．考点：类比推理．专题：规律型．分析：类比求“方程（）x+（）x=1的解的解题思路，设f（x）=x3+x，利用导数研究f（x）在R上单调递增，从而根据原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答：解：类比上述解题思路，设f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，则f（x）在R上单调递增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集为{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．点评：本题主要考查了类比推理，考查了导数与单调性的关系，函数单调性的应用，属于中档题．12．（5分）（2011•扬州三模）已知实数p＞0，直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题．分析：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题得|BF|=|CF|=．由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=y1，同理|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py 的方程且消去x解出进而得到答案．解答：解：设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线的焦点为F，由题意得|BF|=|CF|=由抛物线的定义得：|AB|=|AF|﹣|BF|=+y1﹣=y1，同理得|CD|=y2所以=．联立直线3x﹣4y+2p=0与抛物线x2=2py的方程且消去x得：8y2﹣17py+2p2=0解得：所以．故答案为：．点评：解决此类题目的关键是对抛物线的定义要熟悉，即抛物线上的点到定点的距离与到定直线的距离相等．13．（5分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f （x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．14．（5分）（xx•南通二模）设实数x1，x2，x3，x4，x5均不小于1，且x1•x2•x3•x4•x5=729，则max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值是9．考点：进行简单的合情推理；函数的值．专题：新定义．分析：先根据基本不等式得x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，及x2x3+x4x5≥2+≥2，再研究使三个不等式等号都成立的条件，即可得出max{x1x2，x2x3，x3x4，x4x5}的最小值．解答：解：∵x1x2+x3x4≥2，即取定一个x5后，x1x2，x3x4不会都小于，同样x2x3+x4x5≥2，+≥2，使三个不等式等号都成立，则x1x2=x3x4=，x2x3=x4x5=，x1=x5即x1=x3=x5，x2=x4 x1x2=x2x3=x3x4=x4x5所以729=x13×x22=，（x1x2）3=729×x2x2最小为1，所以x1x2最小值为9，此时x1=x3=x5=9 x2=x4=1．故答案为：9．点评：本题主要考查了进行简单的合情推理及基本不等式的应用，属于中档题．二．解答题15．（14分）（xx•朝阳区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f （A）=．（Ⅰ）求函数f（A）的最大值；（Ⅱ）若，求b的值．考点：正弦定理；诱导公式的作用；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数f（A）为，根据0＜A＜π，利用正弦函数的定义域和值域求得f（A）取得最大值．（Ⅱ）由题意知，由此求得A的值，再根据C的值，求得B的值，利用正弦定理求出b的值．解答：解：（Ⅰ）=．因为0＜A＜π，所以．则所以当，即时，f（A）取得最大值，且最大值为．…（7分）（Ⅱ）由题意知，所以．又知，所以，则．因为，所以，则．由得，．…（13分）点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（14分）（xx•黑龙江二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．（I）若F为PE的中点，求证BF∥平面ACE；（Ⅱ）求三棱锥P﹣ACE的体积．考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE 是△BDF的中位线，故有BF∥OE，再根据直线和平面平行的判定定理证得BF∥平面ACE．（II）由条件证明CD⊥平面PAE，再根据三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB，运算求得结果．（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，解答：解：PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点．设AC与BD的交点为O，则OE是△BDF的中位线，故有BF∥OE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF∥平面ACE．（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CD⊥PA，CD⊥AD，故CD⊥平面PAE，．三棱锥P﹣ACE的体积V P﹣ACE=V C﹣PAE=S△PAE•CD=•（•S△PAD）•AB=（••PA•PD）•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题．17．（15分）某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8﹣200=1000（元）．设购买某商品得到的实际折扣率=．设某商品标价为x元，购买该商品得到的实际折扣率为y．（1）写出当x∈（0，1000]时，y关于x的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率；（2）对于标价在[2500，3500]的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于？考点：根据实际问题选择函数类型；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由已知中的折扣办法，分x∈（0，625）和x∈[625，1000]两种情况，分别求出函数的解析式，将1000代入计算实际付款额可得实际折扣率．（2）根据（1）中解析式，结合实际折扣率低于，构造关于x的不等式，结合标价在[2500，3500]，可得答案．解答：解：（1）∵500÷0.8=625∴…（4分）当x=1000时，y==0.7…（5分）即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7．…（6分）（Ⅱ）当x∈[2500，3500]时，0.8x∈[xx，2800]…（7分）①当0.8x∈[xx，2500）即x∈[2500，3125）时，解得x＜3000∴2500≤x＜3000；…（10分）②当0.8x∈[2500，2800]即x∈[3125，3500]时，解得x＜3750∴3125≤x≤3500；…（13分）综上，2500≤x＜3000或3125≤x≤3500即顾客购买标价在[2500，3000）∪[3125，3500]间的商品，可得到的实际折扣率低于．…（14分）点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，其中根据已知求出函数的解析式是解答的关键．18．（15分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=﹣2分别交于点M、N；（I）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1•k2为定值；（Ⅱ）求线段MN长的最小值；（Ⅲ）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（Ⅱ）分别求出M和N点的坐标，由（Ⅰ）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（Ⅲ）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联立方程组可求解圆所过定点的坐标．解答：（Ⅰ）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，﹣1）．令P（x0，y0），则由题设可知x0≠0．∴直线AP的斜率，PB的斜率为．又点P在椭圆上，所以，从而有=；（Ⅱ）解：由题设可得直线AP的方程为y﹣1=k1（x﹣0），直线PB的方程为y﹣（﹣1）=k2（x﹣0）．由，解得；由，解得．∴直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）．∴|MN|=||，又．∴|MN|=||=．等号成立的条件是，即．故线段MN长的最小值为．（Ⅲ）解：以MN为直径的圆恒过定点或．事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有．又．所以以MN为直径圆的方程为．令，解得或．所以以MN为直径的圆恒过定点或．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了利用基本不等式求最值，考查了圆系方程，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）已知各项均为正数的两个无穷数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．（Ⅰ）当数列{a n}是常数列（各项都相等的数列），且b1=时，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设{a n}、{b n}都是公差不为0的等差数列，求证：数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（Ⅲ）设a n+1=，S n=，求证：2＜＜6．考点：数列与不等式的综合；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）设a n=a＞0，利用数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），可得b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．于是b n+1﹣b n﹣1=2．可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得出；（II）设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，可得其通项公式，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n恒成立，可得，解出即可；（III）利用，可得a n+1﹣a n=﹣a n=，于是a n＜a n+1．利用a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，可得2n﹣b n＞0．可得，进而得出．解答：（I）解：设a n=a＞0，∵数列{a n}、{b n}满足a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*），∴b n+1+b n=2n，（n∈N*），于是当n≥2时，b n+b n﹣1=2（n﹣1）．∴b n+1﹣b n﹣1=2．∴可知：数列{b n}当n为奇数或偶数时按原顺序均构成以2为公差的等差数列，又，b1+b2=2，可得．∴=，=，即（n∈N*）．（2）证明：设{a n}、{b n}公差分别为d1、d2，则a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1+（n﹣1）d2，代入a n b n+1+a n+1b n=2na n+1（n∈N*）．可得[a1+（n﹣1）d1][b1+nd2]+（a1+nd1）[b1+（n﹣1）d2]=2n（a1+nd1），对于任意n 恒成立，可得，解得，可得a n=na1，b n=n．∴只有取a1＞0可得数列{a n}有无穷多个，而数列{b n}惟一确定；（3）证明：∵，∴a n+1﹣a n=﹣a n=，∴a n＜a n+1．∴a n b n+1+a n+1b n=2na n+1＜a n+1b n+1+a n+1b n，可得2n＜b n+1+b n．因此=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n﹣1+b2n）＞2[1+3+…+（2n﹣1）]=2n2．又a n b n+1=（2n﹣b n）•a n+1＞0，a n+1＞0，∴2n﹣b n＞0．∴=2n（1+2n）=4n2+2n，∴，∴．点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性、放缩法等是解题的关键．21．求展开式中的常数项．考点：二项式定理．专题：计算题；概率与统计．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项的值．解答：解：展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r =•x12﹣3r，令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为=15．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．22．某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X为选取女生的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：本题是一个超几何分步，随机变量X表示所选2人中女生的人数，X可能取的值为0，1，2，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望．解答：解：依题意，X所有取值0，1，2．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：X 0 1 2PEX=0×+1×+2×=．点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力．23．（xx•丰台区二模）如图（1），等腰直角三角形ABC的底边AB=4，点D在线段AC上，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如图（2））．（Ⅰ）求证：PB⊥DE；（Ⅱ）若PE⊥BE，直线PD与平面PBC所成的角为30°，求PE长．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：计算题；空间角．分析：（I）根据翻折后DE仍然与BE、PE垂直，结合线面垂直的判定定理可得DE⊥平面PEB，再由线面垂直的性质可得PB⊥DE；（II）分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PE=a，可得点B、D、C、P关于a的坐标形式，从而得到向量、坐标，利用垂直向量数量积为0的方法建立方程组，解出平面PCD的一个法向量为=（1，1，），由PD与平面PBC所成的角为30°和向量的坐标，建立关于参数a的方程，解之即可得到线段PE的长．解答：解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2分）∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；…．（4分）（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），…（5分）设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），P（0，0，a），…（7分）可得，，…（8分）设面PBC的法向量，∴令y=1，可得x=1，z=因此是面PBC的一个法向量，…（10分）∵，PD与平面PBC所成角为30°，…（12分）∴，即，…（11分）解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．…（13分）点评：本题给出平面图形的翻折，求证线面垂直并在已知线面角的情况下求线段PE的长，着重考查了线面垂直的判定与性质和利用空间向量研究直线与平面所成角的求法等知识，属于中档题．24．数列{2n﹣1}的前n项组成集合，从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n．例如：当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7．（Ⅰ）求S3；（Ⅱ）猜想S n，并用数学归纳法证明．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）当n=3时，求得A3={1，3，7}，T1、T2 、T3的值，可得S3=T1+T2+T3的值．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，用数学归纳法进行证明．解答：解：（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，所以S3=11+31+21=63．（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，猜想S n=﹣1，下面证明：（1）易知n=1时成立．（2）假设n=k时，S n=S k=﹣1，则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），=（T1′+T2′+T3′+…+T k′）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（T1′+T2′+T3′+…+T k′）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k =2k+1（）+（2k+1﹣1）=2k+1•=﹣1，即n=k时，S k+1=﹣1也成立，综合（1）（2）知对n∈N*，S n=﹣1成立．所以，S n=﹣1．点评：本题主要考查用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时命题成立，是解题的关键，属于中档题．。

2019-2020年高三下学期开学数学试卷(文科) 含解析一•选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)集合A={x| — 1 < x W 2} , B={x| x v 1}，贝U A AB=({x| x v 1} B . {x| —1 W x w 2}2i2 )=( )1 - i1.A.2.A.3.为了解某地区中小学生的视力情况，事先已经了解到该地区小学、初中、—2i B. —4i C. 2i D. 4iC. {x| —1 < x< 1})D . {x| —1 < x v 1}力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( A .简单的随机抽样C.按学段分层抽样4 .命题?A. ? x o€ C. ? x o€ 5.A ABC cosB=(拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视)B .按性别分层抽样D .系统抽样x €( 0, +8), lnx 丰 x —(0, +8), lnX0=x0- 1(0, +8), lnx°=x0 —11”的否定是(B. ? X0? (0,D. ? x0? (0,)+m), lnx o=x o —1+8), Inx°=x o —1的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则)6.已知实数C D4 (Qoy满足七丫I 2D . 0输出则z=4x+y的最大值为(C. 2A . 10B .7.执行如图所示的程序框图, s的值为(结束A JB 匚C -&某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（1++ i1\__9.以点(3,- 1 )为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是( )2 2 2 2 2 2A. (x- 3) + (y+1) =1B. (x+3) + (y- 1) =1C. (x+3) + (y- 1) =2D.(x -2 23) + (y+1) =2 10•如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（1, 0）.且点C与点D在函数x+1,垃Ao_丄討］疋<0的图象上.若在矩形ABCDA .( - s, 0] B.(-汽1] C . [ - 2, 1] D . [ - 2, 0]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13 .若向量五=（1, - 3）, |茨| =|，饭？逗=0，则|运| =.14. 在等差数列｛ a n｝中，已知a3+a3=10,则3a5+a7=_侧观图14T C.16f (x)= 内随机取一点，则该点取自空白部分11•设|AB| =F为抛物线_( )V30A .B . 612C：y =3x的焦点，过F且倾斜角为30 °勺直线交于C于A , B两点，则12.已知函数C. 12D. 7 二(x) ln(x+l)t.，若|f (x)| > ax,则a的取值范围是（15. 已知函数f (x ) =axl nx , x €( 0, +^),其中a 为实数，f'(x )为f (x )的导函数，若 f (1) =3，则a 的值为_.2 216. 已知抛物线y 2=4x 与双曲线r - ' =1 (a >0, b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲/ b 2 线的一个交点，且 AF 丄x 轴，则双曲线的离心率为三、解答题(本大题共 5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .)2 2 217. 在△ A BC 中，角 A . B . C 所对的边分别为 a. b. c ,已知 sin B+sin C=sin A+sin BsinC . (1)求角A 的大小；18. 某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖， 抽奖方法是：从装有 2个红球A 1, A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球纳，a 2和2个白球b 1, b ?的乙箱中， 各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为 正确吗？请说明理由.19. 在三棱锥P -ABC 中.侧梭长均为4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC . BC 的中点.〔I )求证：平面 PAC 丄平面 ABC .(n)求三棱锥 P -ABC 的体积；(川)求二面角 C - AD - E 的余弦值.2 220. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆C 1：' (a >b >0)的左焦点为F 1 (- 1,a b0),且点 P (0, 1)在 C 1 上. (1) 求椭圆C 1的方程；2(2) 设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2： y =4x 相切，求直线I 的方程. 21. 已知函数f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-［处取得极值. (1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性. ［选修4-1 :几何证明选讲］(2)若 cosB^ —,a=3,求c 值.22. 如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(n)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.［选修4-4 :坐标系与参数方程］t COS G23. 在直角坐标系xOy中，曲线C1：. (t为参数，t z0),其中O w a n,在以y=tsindO为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：P=2si n0, C3 :p=2 cos 0.(1 )求C2与C3交点的直角坐标；(2 )若C i与C2相交于点A , C i与C3相交于点B，求| AB|的最大值.［选修4-5 :不等式选讲］24. 已知函数f (x) =| x+a|+| x - 2|(1 )当a=- 3时，求不等式f (x)> 3的解集；(2)若f (x)w | x-4|的解集包含［1，2］，求a的取值范围.2015-2016学年贵州省黔南州凯里一中高三(下)开学数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的•)1 集合A={x| - 1 < x w 2} , B={x| x v 1}，则A nB=( )A . {x|x v 1}B . {x| - 1 w x< 2} C. {x| - 1 w x w 1} D . {x| - 1 w x v 1}【考点】交集及其运算.【分析】利用交集和数轴即可求出A nB.【解答】解：A AB={ x| - 1 w x w 2} A(x|x v 1}={x| - 1 w x w 2,且x v 1} ={x| — 1 w x v 1}. 故选D .2i 22. ^—7)=( )A. - 2i B . - 4i C . 2i D . 4i【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则即可得出.【解答】解：(亠^)2=—■< 一= - 2i .1 _ 1 - 21 1 1 • 1故选：A .3. 为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A .简单的随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样 D .系统抽样【考点】分层抽样方法.【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样.【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理.故选：C .4. 命题? x €( 0, +8), I nx丰x -1”的否定是( )A . ? x o€( 0, +m), Inx o=x o- 1B . ? x o? (0, +m), Inx o=x o- 1C . ? x o€( 0, +8), Inx o=x o-1D . ? x o? (0, +8), Inx o=x o-1【考点】命题的否定.【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可.【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题? X €( 0, +8), I nx 丰 x- 1”的否定是？ X o€( 0, +8), I nx o=x o- 1;故选：A.5. A ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=( )A. --B.丄C.D.』4 4 4 3【考点】余弦定理；等比数列.【分析】根据等比数列的性质，可得b=二a,将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案.2【解答】解：△ ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac,由c=2a，贝U b=©a,a2 + c2 _b2J「2a2 3COsB=―药~，故选B .6. 已知实数x, y满足* y〉0 ，则z=4x+y的最大值为( ),K+y<2A. 10B. 8C. 2D. 0【考点】简单线性规划.【分析】画出足约束条件y>0的平面区域，再将平面区域的各角点坐标代入进行判断，即可求出4x+y的最大值.【解答】解：已知实数x、y满足y>0 ,x+y<2在坐标系中画出可行域，如图中阴影三角形，三个顶点分别是 A ( 0, 0), B (0, 2), C (2, 0),由图可知，当x=2 , y=0时，4x+y的最大值是8.故选：B.}计算并输出S 的值为.•【解答】解：模拟执行程序框图，可得 k=1 k=2不满足条件k > 4, k=3 不满足条件k > 4, k=4 不满足条件k > 4, k=5只兀 1满足条件k >4, S=sin —,6 2-77 •执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（）Vi【考点】程序框图.【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k 的值，当k=5时满足条件 k > 4,Et+lA •输出S 的值为. 2故选：D .8某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(D 14B —— .棱柱、棱锥、棱台的体积.由题意直接利用三视图的数据求解棱台的体积即可. 解：几何体是四棱台，下底面是边长为 2的正方形，上底面是边长为 1的正方形,故选B . 9•以点(3,- 1 )为圆心且与直线 3x+4y=0相切的圆的方程是()22 2 2 2 2A . (x - 3) + (y+1) =1B . (x+3) + (y - 1) =1C . (x+3) + (y - 1) =2D .(x -2 23) + (y+1) =2 【考点】圆的标准方程.【分析】根据题意，求出点(3,- 1)与直线3x+4y=0的距离，即为所求圆的半径，结合 圆的标准方程形式即可得到本题答案.【解答】 解：设圆的方程是(x - 3) 2+ (y+1) 2=r 2 •••直线3x+4y=0相与圆相切|9・4丨.•.圆的半径r==1因此，所求圆的方程为(x - 3) 2+ ( y+1) 2=1侧视图俯视厦1C .【考点】 【分析】 【解答】 棱台的高为2，并且棱台的两个侧面与底面垂直，四楼台的体积为 V=丄-;;j ：■ ：/ ;十 工X 广"=丄.故选：A.2，2， 10.如图，矩形 ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1, 0).且点C 与点D 在函数Ix>01 _ / 的图象上.若在矩形 ABCD 内随机取一点，则该点取自空白部分-yx+l, X<01 3 •••矩形的面积S=3 x 2=6，阴影三角形的面积 S= _ x 3x 仁一，•••所求概率P=1 -=.423【解答】解：由y 2=3x 得其焦点F (才，0),准线方程为2则过抛物线y =3x 的焦点F 且倾斜角为30°的直线方程为 代入抛物线方程，消去 y ，得16x 2- 168x+9=0 . 设 A (X 1, y 1), B (X 2, y 2)nt[ 163 21 则 X 1+X 2=33 3 3 21所以 |AB|=X 1+ .+X 2+ . = .+?+=12f (x)=[【考点】【分析】几何概型.由题意易得矩形和三角形顶点的坐标，进而可得面积，由几何概型可得.解：由题意可得 B (1, 0),把x=1代入y=x + 1可得y=2，即 3个定点为(0, 把x=0代入y=x + 1可得y=1，即图中阴影三角形的第 令-.x+1=2 可解得 x= - 2，即 D (- 2, 2),C (1, 2), 1), 2C ： y =3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交于11.设F 为抛物线 |AB|=( )A .警B . 6【考点】抛物线的简单性质.【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程, 关系，由弦长公式求得|AB|.C 于A , B 两点，则C . 12D . 7-利用根与系数的3x= -.y=ta n30 ° (x -订)半 (x -.).故选：CA • ( - s, 0]B . ( - s, 1]C . [ - 2, 1]D • [ - 2, 0]【考点】其他不等式的解法.【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得I 的斜率，进而数形结合可得a 的范围.【解答】 解：由题意可作出函数 y=|f (x ) |的图象，和函数 y=ax 的图象，由图象可知：函数 y=ax 的图象为过原点的直线，当直线介于 I 和x 轴之间符合题意，直线I为曲线的切线，且此时函数 y=|f (x ) |在第二象限的部分解析式为y=x 2-2x ,求其导数可得y=2x - 2,因为x w 0,故y'w- 2,故直线I 的斜率为-2, 故只需直线y=ax 的斜率a 介于-2与0之间即可，即a € [ - 2, 0] 故选：D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13•若向量乔=(1, - 3), |=|，乔？丽=0，则|忑| = ___________________ • 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出. 【解答】解：设丽=(x , y ), •••向量o?= (1,- 3), |齐| =|忑|，忑？廷=0,-=〔：］L :?= (2, 4)或(-4, 2)•• | J |= 「一: '■• 故答案为：匚14. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 【考点】 等差数列的通项公式. 【分析】根据等差数列性质可得： 3a 5+a 7=2 (a 5+a 6)=2 (Os+a g ). 【解答】解：由等差数列的性质得：3a 5+a 7=2a 5+ (a 5+a 7)=2a 5+ (2a 6)=2 (a 5+a 6)=2 (a 3+a g ) =20,12•已知函数 (x):-x +2x, ln(x+l) t' ，若|f (x ) | >ax ,则a 的取值范围是( x>0I ；■= (3, 1), (— 3,- 1) •故答案为：20.15. 已知函数f (x) =axl nx , x €( 0, +^),其中a为实数，f'(x)为f (x )的导函数，若f (1) =3，则a的值为_.【考点】导数的运算.【分析】根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可.【解答】解：I f' (x) =a (1+lnx ), f' (1) =3,••• a (1+ln1) =3,解得a=3,故答案为：3.2 216. 已知抛物线y2=4x与双曲线’--」=1 (a> 0, b>0)有相同的焦点F，点A是两曲a2线的一个交点，且AF丄x轴，则双曲线的离心率为 ______ .【考点】双曲线的简单性质.【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得c,根据AF丄x轴，可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程，求得离心率e.【解答】解：•••抛物线y2=4x的焦点(1, 0)和双曲线的焦点相同，• c=1 ,•/ A是它们的一个公共点，且AF垂直于x轴，设A点的纵坐标大于0,•••|AF|=2,••• A (1, 2),•••点A在双曲线上，1 4 .••一 .一 ,a b•/ c=1 , b2=c2- a2,a= - 1,••• e=：=1+ ",故答案为：1+ 一.三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)2 2 217. 在△ A BC 中，角A . B . C 所对的边分别为a. b. c,已知sin B+sin C=sin A+sin BsinC .(1)求角A的大小；(2 )若cosB= =, a=3,求 c 值.【考点】余弦定理；正弦定理.【分析】(1)利用余弦定理表示出cosA，已知等式利用正弦定理化简，代入计算求出cosA 的值，即可确定出A的度数；(2)由cosB 的值求出sinB 的值，再由cosA 与sinA 的值，利用两角和与差的正弦函数公 式化简sin (A+B ),把各自的值代入求出 sin (A+B )的值，即为sinC 的值，利用正弦定理求出c 的值即可.2 2 2【解答】 解：(1)由正弦定理可得 b 2+c 2=a 2+bc .T A €( 0, n) , . A = —3 ； (2 )由(1)可知，si nA=^Z2••• cosB= , B 为三角形的内角,3.sin B=\36.3X V3+2V2由正弦定理 一^=^_,得c=—"'---sinA sinCsinA18•某商场举行有奖促销活动， 顾客购买一定金额的商品后即可抽奖， 抽奖方法是：从装有 2个红球A i , A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a i , a ?和2个白球b i , b ?的乙箱中, 各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(I)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(n)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为 正确吗？请说明理由.【考点】 相互独立事件的概率乘法公式.【分析】(I)中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；(n)在(I)中求出摸出的2个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求 得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的. 【解答】解：(I)所有可能的摸出的结果是：{ A 1, a 1} , { A 1, a 2} , { A 1, b 1} , { A 1, b 2} , { A 2, a 1} , {A 2, a 2},{A 2 , b 1}, {A 2 , b 2} , {B , a 1} , {B , a 2} , { B , b 〔}, { B , b 2}；(n)不正确.理由如下：由(I)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为：{ A 1 , a 1} , { A 1 , a 2} , { A 2 , a 1} , { A 2 , a 2},共 4 种,41••冲奖的概率为厂一不中奖的概率为：1 - 丁 _故这种说法不正确.19. 在三棱锥 P -ABC 中.侧梭长均为 4.底边AC=4 . AB=2 , BC=2二，D . E 分别为PC. BC 的中点. 〔I ）求证：平面 PAC 丄平面 ABC .由余弦定理:cosA=b 2+c 2- 2bcsinC=sin (A+B ) =sinAcosB +cosAsinB= •匚'匚二（H ）求三棱锥 P -ABC 的体积；（川）求二面角 C - AD - E 的余弦值.B【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法. 【分析】（I ）禾U 用等腰三角形的性质即可得到 0P 丄AC ,再利用勾股定理的逆定理即可得到 0P 丄0B ,禾U 用线面垂直的判定定理即可证明；（II ）由（1）可知0P 丄平面ABC ，故0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P= 二直角三角 形ABC 的面积S=】f 汇，再利用-即可得出.（III ）过点E 作EH 丄AC 于H ，过点H 作HM 丄AD 于M ，连接ME ，由平面PAC 丄平面 ABC , EH 丄AC , EH?平面ABC ，可得EH 丄平面PAC ,于是ME 丄AD （三垂线定理），可 得/ EMH 即为所求的二面角的平面角.利用直角三角形的边角关系求出即可. 【解答】证明：（I ）： PA=PB=PC=AC=4 , 取AC 的中点0,连接0P , 0B ，可得：0P 丄AC ,— ■ 八h —汀— [ .,••• AC 2=AB 2+BC 2,.・.A ABC 为 Rt △. •••0B=0C=2 , PB 2=OB 2+0P 2,.・.0P 丄 0B .又• AC AB0=0 且 AC 、0B?面 ABC , • 0P 丄平面 ABC , 又••• 0P?平面PAC ,•平面 PAC 丄平面 ABC .）（□）由（I ）可知：0P 丄平面ABC ,••• 0P 为三棱锥P -ABC 的高，且0P=- 一. 直角三角形ABC 的面积S =g 「M 「叮碍】• V p -ABC =+心莎C =-.-1（川）方法一：过点 E 作EH 丄AC 于H ,过点H 作HM 丄AD 于M ,连接 ME ，•平面PAC 丄平面 ABC ,平面PAC 门平面 ABC=AC , EH 丄AC , EH?平面 ABC , ••• EH 丄平面PAC ,「. ME 丄AD （三垂线定理）， •••/ EMH 即为所求的二面角的平面角. ••• E , D 分别为中点，EH 丄AC , •••在 RT A HEC 中：匚，.,5在RT A HMA 中；在RT A HME中，"_ J，「亠45_—卡二=2 220. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C i：一’ - (a>b>0)的左焦点为F i (- 1,a L0),且点P (0, 1)在C i上.(1)求椭圆C i的方程；2(2)设直线I同时与椭圆C i和抛物线C2：y =4x相切，求直线I的方程.【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.2 2【分析】(1 )因为椭圆C i的左焦点为F i(- 1,0),所以c=1，点P( 0,1 )代入椭圆~+^=1, 得b=1，由此能求出椭圆C i的方程.(2)设直线I 的方程为y=kx+m，由~2~ + y=\得(1+2k2) x2+4kmx+2m2-2=0 .因为2 2 2 2直线I与椭圆C i相切，所以△ =16k2m2- 4 ( 1+2k2) (2m2-2) =0.由此能求出直线I的方程.【解答】解：(1)因为椭圆C i的左焦点为F i (- 1, 0),所以c=1 ,2 2 1点P ( 0, 1)代入椭圆- •，得=一，即b=1 ,异A所以a2=b2+c2=22所以椭圆C 1的方程为■.--2(2)直线I 的斜率显然存在， 设直线I 的方程为y=kx+m ,2/ -卜--,消去 y 并整理得(1+2k 2) x 2+4kmx+2m 2- 2=0 , 尸 kx+m因为直线I 与椭圆C 1相切，所以△ =16k 2m 2 - 4 (1+2k 2) (2m 2- 2) =0 整理得2 k 2 - m 2+仁0①2_ Y，消去 y 并整理得 k 2x 2+ ( 2km - 4) x+m 2=0因为直线l 与抛物线C 2相切，所以△ = (2km - 4) 2 - 4k 2m 2=0 整理得km=1②综合①②，解得*所以直线1的方程为丁 ■一 _,： ■ ' ■.或■. 乙£3 2421. 已知函数f (x ) =ax +x ( a € R )在x= 处取得极值.(1) 确定a 的值；(2) 讨论函数g (x ) =f (x ) ?e x 的单调性.【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性. 求导数，利用f (x ) =ax 3+x 2 ( a € R )在x=-二处取得极值，可得f ' ( - ^)=ax 3+x 2 ( a € R )在x=- 处取得极值， J)=0，••• 3a? ] +2? (-〕)=0,1• a =；(2)由(1)得 g (x ) = C. x 3+x 2) e x ,••• g' (x ) = (_!X 2+2X ) e x + (一x 3+x 2) e x = x (x+1) (x+4) e x ,由* 【分析】(1) =0,即可确定(2 )由 (1) 【解答】 解:a 的值；得g (x ) = (=X 3+X 2) e x ，利用导数的正负可得 g (x )的单调性.(1)对 f (x )求导得 f ' (x ) =3ax 2+2x . ••• f (x) •-f'(—2 2 2令g' (x) =0 ,解得x=0 , x= - 1 或x= - 4,当x v- 4时，g' (x)v 0,故g ( x)为减函数；当-4v x v- 1时，g' (x)> 0，故g (x)为增函数；当-1 v x v 0时，g'( x) v 0，故g (x)为减函数；当x>0时，g ' (x)> 0，故g (x)为增函数；综上知g (x)在(-a,- 4 )和(-1, 0)内为减函数，在(-4，- 1)和(0, +8)为增函数.［选修4-1 :几何证明选讲］22•如图，AB是的O O直径，CB与O O相切于B , E为线段CB上一点，连接AC、AE 分别交O O于D、G两点，连接DG交CB于点F.(I)求证：C、D、G、E四点共圆.(H)若F为EB的三等分点且靠近E, EG=1 , GA=3，求线段CE的长.【考点】与圆有关的比例线段.【分析】(I)连接BD，由题设条件结合圆的性质能求出/ C= / AGD，从而得到/ C+ZDGE=180 °由此能证明C, E, G, D四点共圆.(H)由切割线定理推导出EB=2，由此能求出CE的长.【解答】(I)证明：连接BD，则/ AGD= / ABD ,•••/ ABD +/ DAB=90 ° / C+Z CAB=90 °•••/ C=Z AGD ,•Z C+Z DGE=180 °• C, E, G, D四点共圆.…(n)解：••• EG?EA=EB2,EG=1,GA=3 ,• EB=2,又••• F为EB的三等分点且靠近E,2 4•二，二，又••• FG?FD=FE?FC=FB2,o•FC，CE=2 …2_ 2 2P ¥代入可得直角坐标方 尸 P sin 。