实变函数第三章习题解答

第三章习题参考解答 1.设f 是E 上的可测函数，证明：R a '∈∀，})(|{a x f x E ==是可测集.

解：R a '∈∀，因为)(x f 是E 上的可测，所以})(|{a x f x E ==与

})(|{a x f x E ≤=均是可测集.从而

})(|{a x f x E ==})(|{a x f x E ≥==})(|{a x f x E ≤= 可测.

2.设f 是E 上的函数，证明：f 在E 上的可测当且仅当对一切有理数r ，

})(|{r x f x E >=是可测集.

证：)

(⇐R a '∈∀，取单调递减的有理数序列∞=1}{k k r 使得a r k k =+∞

→lim ，则

})(|{})(|{1

k k r x f x E a x f x E >=>=∞

= .由每个k r x f x E >)(|{}的可测性，知

})(|{a x f x E >=可测.从而，)(x f 在E 上的可测.

)(⇒设f 在E 上的可测，即R a '∈∀，})(|{a x f x E >=可测.特别地，当r a =时

有理数时，})(|{r x f x E >=可测. 3. 设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意的常数α，)(x f α是R '上的可测函数. 为证上述命题，我们先证下面二命题：

命题1.若E 是R '中的非空子集，则R '∈∀α，有E m E m *||*αα=

证明：当0=α时，因为}0{=E α，则E m E m *||*αα=.不妨设，0≠α.因为

E I I E m i i i i ⊃=∞

=∞

=∑1

1

||inf{* ，i I 为开区间}.0>∀ε,存在开区间序列∞=1}{i i I ，

E I i i ⊃∞

=1 ，||*||*1αε

+

<≤∑∞

=E m I E m i i .又因为E I i i ⊃∞=α1 （注：若),(i i i I βα=，则 ⎩

⎨

⎧=ααααβα

αβααα),,(),,(i i i i i I .

所以εααααα+⋅<==≤

∑∑∑∞

=∞=∞

=E m I I I

E m i i i i i i

*||||||||||||*1

1

1

.由ε得任意性，有

i i i i i I E I I E m ,||inf{*1

1

αα⊃≤∞=∞

=∑ 为开区间}

故存在开区间∞

=1}

{i i I ，使

E I i i α⊃∞

=1

，且εα+<≤∑∞

=E m I E m i i *||*1

.又因为

E I i i ⊃∞

=α

1

1

，故εαα

+<≤∑∞

=E m I E m i i *|1

|

*1

.由ε得任意性，有E m E m αα**||≤

从而E m E m αα**||=.

命题2.设R E '⊂，+∞

R '∈∀α，如果0=α，则}0{=E α为零测集.故E α可测.不妨设0≠α.现在证明

R T '⊆∀，)(*)(**E C T m E T m T m αα +=.

事实上，对于R T '⊆∀，则

R T '⊆α

1

，因为E 在R '可测，所以

)1

(*)1(*)1(*CE T m E T m T m α

αα+=，即

)

(*|

|1)(*|

|1*|

|1CE T m E T m T m αααα+

=

)(*)(**E C T m E T m T m αα +=即E α可测.

3.设f 是R '上的可测函数，证明：对于任意常数α，)(E f α仍是R '上的可测函数.

解：记R E '=，对于R '∈∀α，当0=α时，

R a '∈∀，⎩⎨

⎧>'

=≤∅=>a

f R E a f a f x E )0(,)0(,

})0(|{.故})(|{a x f x E >α可测

所以：)(x f α可测.

当0≠α时，R '∈∀α，令x y α=，则})(|{

})(|{a y f x

y

E a x f x E >=>α= })(|{1

a y f y E >α

.在

因为f 在R '可测，故})(|{a y f y E >可测，又由命题2，

})(|{})(|{a x f x E a y f y E >=>可测.从而)(x f α使R E '=上哦可测函数.

4.设)(x f 是E 上的可测函数，证明：3

)]([x f 在E 上可测.

证明：R '∈∀α，因为)(x f 在E 上可测.所以})(|{3a x f x E >是可列集.即

})(|{})(|{33a x f x E a x f x E >=>可测.从而3)]([x f 在E 上可测.

5.若],[b a 上的函数)(x f 在任意线段],[βα)(b a <<<βα上可测，试证它在整个闭

区间上也可测.

证明：N k ∈∀，),(]2

1

,21[1

1b a b b b a E k k k ⊆---+

=++，)(x f 在k E 上可测，记 ),(*b a E =，则k k E E ∞

==1

.

又因为R '∈∀α，})(|{})(|{*1

αα>=>∞

=x f x E x f x E k k .由每个}

)(|{α>x f x E k 的可测性，得})(|{*α>x f x E 可测.所以)(x f 在),(*b a E =可测. 令},{0b a E =，],[b a E =即E E E *=. })(|{})(|{*})(|{0ααα>>=>x f x E x f x E x f x E

故})(|{α>x f x E 可测，从而)(x f 在E 上可测.],[βα=E 7.设f 是E 上的可测函数，证明： （i ）对R '上的任意开集O ，)(1

O f

-是可测集； (ii) 对R '中的任何开集F ，)(1

F f

-是可测集；

（iii ）对R '中的任何δG 型集或σF 型集M ，)(1

M f

-是可测集.

证：（i ）当O 时R '中有界开集时，由第一章定理11（P.30），O 是至多可数个互不相

交的开区间i i i )},{(βα的并，即),(i i i

O βα =. })(|{)],[()],([)(111i i i

i i i

i i i

x f E f f O f βααβαβα<<===---

由f 在E 上哦可测性，知：每个})(|{i i x f x E βα<<可测，从而)(1

O f

-可测.

若O 是R '的误解开集，N n ∈∀，记],[n n E n -=，则n n E O O =是R '中有界开集，

且n n O O ∞

==1

，故][][)(11

1

1

1

n n n O f O f O f

-∞

=∞=--== .故由)(1

n O f

-得可测性，知)(1

O f -可

测.

(ii) 设F 是R '中的任一闭集，记F R O -'=是R '中开集.)()(1

1

F R f

O f

-'=--=

)()(1

1

F f

R f

---'，即)()()(1

1

1

O f

R f

F f

----'= .

由)(1

O f

-与)(1R f '-得可测性，知，)(1

F f

-可测.