高二数学5月月考试题理

高二下学期数学第一次月考试卷（理）(总分：150分 时间：120分钟)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知}{R x x y y M ∈-==,42，}{42≤≤=x x P 则M P 与的关系是（ ） A ．P M = B ．P M ∈ C ．φ=P M D ．P M ⊇2、等比数列{}n a 中，已知3231891===q a a n ，，，则n 为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．63、“3x >”是“24x >”的（ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4、在△ABC 中，a ＝，b ＝B ＝45°，则A 等于（ ）.A ． 30°B ． 60°C ． 30°或150°D ．60°或120°5、函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,23,26ππππ B ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,265,26ππππ C ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,3,6ππππ D ．Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,65,6ππππ 6、不等式1213≥--xx 的解集是 ( ) A ．{x|243≤≤x } B ．{x|243<≤x } C ．{x|x ＞2或43≤x } D ．{x|x ＜2} 7、已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，8、“ab <0”是“曲线ax 2+by 2=1为双曲线”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9、已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为43y x =，则双曲线的离心率为( )A ．53B ．43 CD 10、已知圆22670x y x +--=与抛物线22(0)y p x p =>的准线相切，则p 为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上)11、某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。

上海市吴淞中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．2023B．2024C．2025D．202616．项数为(),2k k k *γN 的有限数列{}na 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----×+×+×+×××+×+=，其中10a ¹.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}na ；④所有满足条件的数列{}na 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题17．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB 的中点.(1)求直线1AA 与平面1D AE 所成角的正弦值；(2)求点1A 到平面1D AE 的距离.18．设{}na 是等差数列，{}nb 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，225a b +=，()1,1,0，()1,0,0A ，()0,2,0C ，()1,2,0AC =-uuu r ，()11,0,1AD =-uuuu r ，AE u u 设平面1ACD 的法向量(),,n x y z =r 则1200n AC x y n AD x z ì×=-+=ïí×=-+=ïîuuu v v uuuu v v ，取1y =，得uuu。

河南省洛阳市创新发展联盟2022-2023学年高二下学期5月
月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
15．一个装有水的圆柱形水杯水平放在桌面上，在杯中放入一个半径为1cm 的球状物
体后，水面高度为6cm ，如图所示.已知该水杯的底面圆半径为3cm ，若从0t s =时刻开始，该球状物体的半径以1cm/s 的速度变长(在该球状物体膨胀的过程中，该球状物
体不吸水，且始终处于水面下，杯中的水不会溢出)，则在2t s =时刻，水面上升的瞬时速度为
__________ cm/s.
16．已知数列{}n
a 满足21122315n n n a a a a a +++===，，，记()()9 n A n a B n ，，，，O 为坐标原点，则OAB V 面积的最大值为_____________.
四、解答题
17．2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月20日在卡塔尔正式开赛，该比赛吸引了全世界亿万球迷观看.为了了解喜爱观看世界杯是否与性别有关，某体育台随机抽取200名观众进行统计，得到如下2×2列联表
.。

武汉中学2023—2024学年度五月月考高二数学试卷考试时间：2023年5月29日14：30——16：30 试卷满分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．将甲、乙、丙、丁四名同学随机分配到三个会议中心担任志愿者，每个会议中心至少有一名同学，且每名同学只去一个会议中心，则甲和乙没有被分配到同一会议中心的概率为（）A．16B．13C．56D．11122. 设110,022a b<<<<，随机变量ξ的分布3. 已知变量xx，yy=cc·ee kkkk拟合，设zz=ll ll yy，其变换后得到一组数据如下：xx16171819zz50344131由上表可得线性回归方程zz�=−4xx+aa�，则cc=( )A. −4B. ee−4C. 109D. ee1094. 我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没.三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件AA表示选出的两种中至少有一药，事件BB表示选出的两种中有一方，则(|)()P B A=1 53103534式中任取2项，则取到的项都是有理项的概率为（）6. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(),n n S 在函数2()2f x x x =+的图象上，n b n ∗=∈N且)1n ≥，则数列{}n b的前n 项和n T =（ ）A−B1− CD7. 现有3道四选一的单选题，学生李明对其中的2道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题答对的概率为0.8，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，若每题答对得5分，不答或答错得0分，则李明这3道题得分的期望为( )A. 9310B. 374C. 394D.211208. 若1aa=ππ1ππππ=√31√3cc=ee (其中e 为自然对数的底数)，则aa ，bb ，cc 的大小关系是( ) <bb <aaB. bb <cc <aaC. cc <aa <bbD. aa <cc <bb二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年河南省郑州市高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则ξ()()21,0N σσ>()120.3P ξ<<=（ ）()0P ξ<=A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【分析】根据正态分布的性质，利用其概率公式，可得答案.【详解】由题意可知，变量所作的正态曲线关于直线对称，ξ1x =则，，()()1201P P ξξ<<=<<()()02P P ξξ<=>故.()()121200.22P P ξξ-<<<==故选：B.2．已知等差数列的前n 项和为，，，则使取得最大值时n 的值为{}n a n S 1593a a a ++=1111S =-n S （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】利用下标和性质和前n 项和公式可判断的符号，然后可得.56,a a 【详解】设等差数列的公差为d ，{}n a 因为，所以159533a a a a ++==510a =>又，所以11111611()11112a a S a +===-610a =-<所以等差数列的前5项为正数，从第6项开始为负数，{}n a 所以当时，取得最大值.5n =n S 故选：A3．已知的展开式中各项的二项式系数之和为256，则展开式中的常数项为（ ）()*1N nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．40D ．7070-40-【分析】先由求得n ，再利用的展开式的通项求解常数项.2256n=81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】因为的展开式中各项的二项式系数之和为256，()*1N nx n x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，解得，822562n ==8n =则的展开式的通项为，81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()()8821881C C rr r r rr T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令，解得，820r -=4r =所以展开式中的常数项为，48C 70=故选：D.4．函数的单调递增区间是（ ）()ln f x x x =-A ．B ．C ．D ．(,e)-∞-1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭10,e ⎛⎫⎪⎝⎭(0,e)【答案】C【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，()ln f x x x =-()0,∞+又，令，即，即，所以，()ln 1f x x '=--()0f x '>ln 10x -->ln 1x <-10e x <<所以的单调递增区间为.()f x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：C5．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮次，每罚进一球记分，不进记分，已知该1051-同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为（ ）60%A ．B ．C ．D ．30362026【答案】D【分析】根据二项分布数学期望公式可求得该同学罚球命中次数的数学期望，结合罚球得分的规则可计算得到结果.【详解】记该同学罚球命中的次数为，则，，X ()10,0.6X B ()100.66E X ∴=⨯=该同学得分的数学期望为.∴()()65106130426⨯+-⨯-=-=6．在数列中，已知且，则其前项和的值为（ ）{}n a 11a =12n n a a n ++=2929S A ．B ．C ．D ．56365421666【答案】C 【分析】将展开，根据题中递推公式进行分组求和，再利用等差数列前n 项和公式计算求解即29S 可.【详解】291234272829S a a a a a a a =++++⋅⋅⋅+++()()()()1234526272829a a a a a a a a a =+++++⋅⋅⋅++++12224226228=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯.()122462628421=+++⋅⋅⋅++=故选：C7．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”.若各项均为正数的等比数列是一个“2023积数列”，且，则当其前n 项的乘积取最小值时n 的值为{}n a 101a <<（ ）A ．1011B ．1012C ．2022D ．2023【答案】A【分析】根据“m 积数列”判断出的单调性，再根据具体数据找出满足的最后一项，即可{}n a 1n a <得到选项.【详解】根据“2023积数列”性质可知，1234202220232023a a a a a a a ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=即，123420221a a a a a ⨯⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=根据等比中项性质可知：，120222202132020101110121a a a a a a a a ===⋅⋅⋅==因为，且，101a <<0q >所以前1011项都是小于1的，从第1012项开始往后的都是大于1的，即为递增的等比数列，且，{}n a 101110121,1a a <>则当其前n 项的乘积取最小值时n 的值为1011.故选：A.8．设，，，则（ ）141e 5a =14b =5ln 4c =A ．B ．a b c >>a c b >>C ．D ．b a c >>c a b>>【答案】A【分析】利用作商法，结合对数函数的单调性，可得答案.【详解】由题意可得：，，441e e 5625a ==44114256b ==由，则；44256256e 2.7 1.11625625a b =≈⨯≈>a b >，令，，141ln e ln e 4b ==14e x =54y =由，则，即；44256e 1.11625x y =≈>y x >b c >综上可得：.a b c >>故选：A.二、多选题9．已知是两个随机事件，，下列命题正确的是（ ）,A B 0()1P A <<A ．若相互独立，B ．若事件，则,A B ()()P B A P B =A B ⊆()1P B A =C ．若是对立事件，则D ．若是互斥事件，则,A B ()1P B A =,A B ()0P B A =【答案】ABD【分析】利用条件概率、相互独立事件判断A ；利用条件概率的定义判断B ；利用条件概率及对立、互斥事件的意义判断C ，D 作答.【详解】对于A ，随机事件相互独立，则，，A 正,A B ()()()P AB P A P B =()(|)()()P AB P B A P B P A ==确；对于B ，事件，，，B 正确；A B ⊆()()P AB P A =()(|)1()P AB P B A P A ==对于C ，因是对立事件，则，，C 不正确；,A B ()0P AB =()(|)0()P AB P B A P A ==对于D ，因是互斥事件，则，，D 正确.,A B ()0P AB =()(|)0()P AB P B A P A ==故选：ABD10．对任意实数，有.则下列结论成立x ()()()()()823801238231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-的是（ ）A ．B ．01a =-2112a =-C ．D ．01281a a a a +++⋅⋅⋅+=8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=【答案】CD 【分析】求得的值判断选项A ；求得的值判断选项B ；求得的值判断选项0a 2a 0128a a a a +++⋅⋅⋅+C ；求得的值判断选项D.01238a a a a a -+-+⋅⋅⋅+【详解】由，()()()()()823801238231111x a a x a x a x a x -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-可得，()()8823121x x -=-+-⎡⎤⎣⎦当时，，则，A 选项错误；1x =()823a -=01a =由二项式定理可得，，B 选项错误；()822228C 12112a -=-=当时，，2x =()8012843a a a a -=+++⋅⋅⋅+即，C 选项正确；01281a a a a +++⋅⋅⋅+=当时，，0x =()8012383a a a a a -=-+-+⋅⋅⋅+即，D 选项正确.8012383a a a a a -+-+⋅⋅⋅+=故选：CD11．现将把椅子排成一排，位同学随机就座，则下列说法中正确的是（ ）84A ．个空位全都相邻的坐法有种4120B ．个空位中只有个相邻的坐法有种43240C ．个空位均不相邻的坐法有种4120D ．4个空位中至多有个相邻的坐法有种2840【答案】AC【分析】对于A ，利用捆绑法结合排列数；对于B ，利用插空法结合排列数；对于C ，利用插空法结合排列组合；对于D ，根据分类加法原理结合插空法，可得答案.【详解】对于A ，将四个空位当成一个整体，全部的坐法：种，故A 对；55A 120=对于B ，先排4个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入由4个学生44A 形成的5个空档中有种方法，所以一共有种，故B 错；25A 4245480A A =对于C ，先排4个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入由4个学生形成的个空档中44A 5有种，所以一共有种，故C 对；45C 4445A C 120=对于D ，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C 可知都不相邻的有120种，空位两个两个相邻的有，空位只有两个相邻的有，4245A C 240=412454A C C 720=所以一共有种，故D 错；1202407201080++=故选：AC.12．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）A ．2次传球后球在丙手上的概率是14B ．3次传球后球在乙手上的概率是13C ．3次传球后球在甲手上的概率是14D ．n 次传球后球在甲手上的概率是111132n -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】ACD【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断ABC ，n 次传球后球在甲手上的事件即为，则有，利用全概率公式可得，nA 111n n n n n A A A A A +++=+11(1)2n n p p +=-再构造等比数列求解即可判断D.【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能，2次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙， 1个结果，所以概率是，故14A 正确；第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为:甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能，3次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3个结果，所以概率为，故B 错误；383次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2个结果，所以概率为，故C 正确；2184=n 次传球后球在甲手上的事件记为，则有，nA 111n n n n n A A A A A +++=+令，则于是得()n n p P A =111(|)0,(|),2n n n n P A A P A A ++==，1111()()(|)()(|0(1)2n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A p p +++=+=⋅+-故，则，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，11(1)2n n p p +=-1111()323n n p p +-=--10p =则有，数列是以为首项，为公比的等比数列，所以11133p -=-1{}3n p -13-12-即，故D 正确.1111(),332n n p --=--1111(32n n p -⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦故选：ACD三、填空题13．在等比数列中，，是函数的极值点，则＝__________.{}n a 3a 7a ()3214413f x x x x =++-5a 【答案】2-【分析】根据极值点的必要条件，可得，是函数的零点，结合零点的定义以3a 7a ()284f x x x '=++及二次方程根的性质，利用等比数列中等比中项的性质，可得答案.【详解】由函数，则其导数，()3214413f x x x x =++-()284f x x x '=++由，是函数的极值点，3a 7a ()3214413f x x x x =++-则，是函数的零点，3a 7a ()284f x x x '=++即，是方程的两个解，故，3a 7a 2840x x ++=374a a =378a a +=-在等比数列中，，且同号，即，故.{}n a 25374a a a ==357,,a a a 50a <52a =-故答案为：.2-14．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高25发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该14110名学生未接种疫苗的概率为___________【答案】1519【分析】根据条件概率公式求解即可.【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，A =B =则，，()31211954510100P A =⨯+⨯=()3135420P AB =⨯=故.()()()15|19P AB P B A P A ==故答案为：．151915．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则下面结论中正确的序号是___________.X① ；()()11664P X P X ====② ；()()52532P X P X ====③ ；()()53416P X P X ====④.()52E X =【答案】② ③【分析】根据题意可知小球每次碰到小木钉后落下都是独立重复实验，根据独立重复实验概率计算规则计算即可.【详解】由题意可知，的所有取值为，X 1,2,3,4,5,6则，由对称性可知，()5111232P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()16132P X P X ====,()()41511525C 2232P X P X ⎛⎫====⨯⨯=⎪⎝⎭，()()322511534C 2216P X P X ⎛⎫⎛⎫====⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以.1557()(16)(25)(34)3232162E X =+⨯++⨯++⨯=故答案为：② ③16．已知e 是自然对数的底数．若，成立，则实数m 的最小值是()0,x ∀∈+∞eln mxm x ≥________．【答案】/1e 1e-【分析】根据给定的不等式，两边同乘x ，利用同构的思想构造函数，借助函数单调性求得恒成立的不等式，再分离参数构造函数，求出函数最大值作答.【详解】由得，即，eln mxm x ≥e ln mx mx x x ≥ln e e ln mx x mx x ≥⋅令，求导得，则在上单调递增，()e ,0xf x x x =>()(1)0x f x x e '=+>()f x ()0,∞+显然，当时，恒有，即恒成立，0m >01x <≤ln e e ln 00,mxx mx x >⋅≤ln e e ln mx x mx x ≥⋅于是当时，，有，1x >ln 0x >()()ln f mx f x ≥从而对恒成立，即对恒成立，ln mx x ≥()1,x ∀∈+∞ln xm x ≥()1,x ∀∈+∞令，求导得，则当时，；当时，，()ln x g x x =()21ln xg x x -'=()1,e x ∈()0g x '>()e,x ∈+∞()0g x '<因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，()g x (1,e)(e,)+∞max 1()e g x =1e m ≥所以实数m 的最小值是．1e 故答案为：1e【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，将不等式等价转化，利用同构思想，构造新函数，借助函数的单调性分析求解.四、解答题17．彭老师要从10篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的7篇，求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；X(2)他能及格的概率．【答案】(1)分布列见解析(2)4960【分析】（1）根据已知条件求出随机变量的取值，求出对应的概率，即可得出随机变量的分布列；（2）根据已知条件及随机变量的分布列的性质即可求解.【详解】（1）由题意可知，的可能取值为，则X 0,1,2,3,()3037310C C 10C 120P X ===,()2137310C C 71C 40P X ===()1237310C C 212C 40P X ===.()0337310C C 353C 120P X ===所以的分布列为X X123P1120740214035120（2）该同学能及格，表示他能背诵篇或篇，23由（1）知，该同学能及格的概率为.()()()2135492234012060P X P X P X ≥==+==+=18．已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列．{}n a 1a 2a 5a (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前n 项和．11n n a a+⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【答案】(1)21n a n =-(2)=21n nT n +【分析】（1）由成等比数列得首项，从而得到通项公式；125,,a a a （2）利用裂项相消求和可得答案.【详解】（1）设数列的公差为，{}n a d ∵成等比数列，∴，125,,a a a 1225a a a =即，2111()(4)a d a a d +=+∴，由题意222111124a a d d a a d ++=+2d =故，得，221111448a a a a ++=+11a =12121n a n n ∴=+-=-（）即.21n a n =-（2），111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n ．11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭19．已知函数．()()ln 1R f x x ax a =-+∈(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；0x >()0f x ≤a 【答案】(1)答案见解析(2)1a ≥【分析】（1）求导可得，分和进行讨论即可得解；()()10f x a x x '=->0a ≤0a >（2）根据题意参变分离可得恒成立，令，求出的最大值即可得解.ln 1x a x +≥()ln 1x g x x +=()g x 【详解】（1）依题意，，()()10f x a x x '=->当时，显然，所以在上单调递增；0a ≤()0f x ¢>()f x ()0,∞+当时，令，得；令，；0a >()0f x ¢>10x a <<()0f x '<1x a >即在上单调递增，在上单调递减．()f x 10a ⎛⎫⎪⎝⎭,1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由题意得恒成立，等价于恒成立，()()ln 100f x x ax x =-+≤>()ln 10x a x x +≥>令，即时成立．()()ln 10x g x x x +=>()maxa g x ≥则，当时，，当时，，()2ln xg x x '=-()0,1x ∈()0g x '>()1,+∈∞x ()0g x '<那么在上单调递增，在上单调递增减，所以，()g x ()0,1()1,+∞()()max =11g x g =所以．1a ≥20．已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，{}n a n n S 12a =4=26S {}n b 12b =．2312b b +=(1)求与的通项公式；{}n a {}n b (2)求数列的前项和．{}n n a b n nT【答案】(1)，31n a n =-2nn b =(2)()13428n n T n +=-+【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．n n T 【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为{}n a n n S 12a =4=26S d 所以，解得4342262d ⨯⨯+=3d =所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-正项等比数列中，，，设公比为{}n b 12b =2312b b +=q 所以，所以()2212q q +=260q q +-=解得，或（舍去）2q ==3q -所以2nn b =（2）由（1）知：()312nn n a b n =-所以()122252312nn T n =⨯+⨯++- ()()23122252342312n n n T n n +=⨯+⨯+-+- 两式相减得：()123122323232312n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--()()()211113212=22312=432812n n n n n -++⨯⨯-⨯+-----()13428n n T n +=-+21．第届亚运会将于年月日至月日在我国杭州举行，这是我国继北京后第二次举222023923108办亚运会．为迎接这场体育盛会，浙江某市决定举办一次亚运会知识竞赛，该市社区举办了一场A 选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表社区参加市亚运A 知识竞赛．已知社区甲、乙、丙位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为、、，通A 3121213过初赛后再通过决赛的概率均为，假设他们之间通过与否互不影响．13(1)求这人中至多有人通过初赛的概率；32(2)求这人中至少有人参加市知识竞赛的概率；31(3)某品牌商赞助了社区的这次知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖励方案：A 方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖112互不影响，中奖一次奖励元；600方案二：只参加了初赛的选手奖励元，参加了决赛的选手奖励元．200500若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．【答案】(1)1112(2)3181(3)方案二更好，理由见解析【分析】（1）计算出人全通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；3（2）计算出人各自参加市知识竞赛的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得所求3事件的概率；（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为随机变量的所有可能取值，并求出对应的概率，求出其期望，比较大小作答.【详解】（1）解：人全通过初赛的概率为，321112312⎛⎫⨯=⎪⎝⎭所以，这人中至多有人通过初赛的概率为.3211111212-=（2）解：甲参加市知识竞赛的概率为，乙参加市知识竞赛的概率为，111236⨯=111236⨯=丙参加市知识竞赛的概率为，131139⨯=所以，这人中至少有人参加市知识竞赛的概率为.31211311116981⎛⎫⎛⎫--⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）解：方案一：设三人中奖人数为，所获奖金总额为元，则，且，X Y 600Y X =13,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 所以元，()()160060039002E Y E X ==⨯⨯=方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为元，则的所有可能取值为、Z Z 600、、，90012001500则，()211160011236P Z ⎛⎫⎛⎫==-⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212111115900C 1112233212P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()21211111112001C 1232233P Z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+⋅-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()211115002312P Z ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭所以，.()1511600900120015001000612312E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=所以，，()()E Y E Z <所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更好．22．已知函数．2()ln 3f x x ax x =+-(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求函数的极小值；()f x ()()1,1f =2y -()f x (2)若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数1a =[]12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->的取值范围．m 【答案】(1)2-(2)(],6∞--【分析】（1）利用求得，然后结合的单调性求得的极小值.()'10f =a ()f x ()f x （2）将不等式转化为，通过构造函数法，结合导()()()211212m x x f x f x x x -->1212()()m mf x f x x x ->-数来求得的取值范围.m 【详解】（1）因为的定义域为，2()ln 3f x x ax x =+-()0,∞+所以．()'123f x ax x =+-由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝－2，得，解得a ＝1．()'11230f a =+-=此时．()'1(21)(1)23x x f x x x x --=+-=当和时，；10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()1,+∞()'0f x >当时，．1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()'0f x <所以函数f (x )在和上单调递增，在上单调递减，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．()1ln1132f =+-=-（2）由a ＝1得．()2ln 3f x x x x=+-因为对于任意，当时，恒成立，[]12,1,2x x ∈12x x <()()()211212m x x f x f x x x -->所以对于任意，当时，恒成立，[]12,1,2x x ∈12x x <1212()()m m f x f x x x ->-所以函数在上单调递减．()my f x x =-[]1,2令，，2()()ln 3m m h x f x x x x x x =-=+--[]1,2x ∈所以在[1，2]上恒成立，()'21230m h x x x x =+-+≤则在[1，2]上恒成立．3223m x x x ≤-+-设，()()322312F x x x x x =-+-≤≤则．()2'211661622F x x x x ⎛⎫=-+-=--+⎪⎝⎭当时，，所以函数F (x )在上单调递减，[]1,2x ∈()'0F x <[]1,2所以，()()26F x F ≥=-所以，故实数m 的取值范围为．6m ≤-(],6∞--【点睛】求解不等式恒成立问题，可考虑采用分离常数法，分离常数后，通过构造函数法，结合导数来求得参数的取值范围.。

太原五中2023—2024学年度第二学期月考高二数学时间：2024年5月一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A.B.C.D.2.十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，，用七进制表示68这个数就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）A.1B.2C.5D.63.五人相约到电影院观看电影《第二十条》，恰好买到了五张连号的电影票.若甲､乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为（ ）A.60B.80C.100D.1204.用5种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有多少种不同的书写方案？（）A.240B.480C.120D.2005.有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望（ ）A.B. C. D.6.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）47C 48C 49C 49A 26817275=⨯+⨯+116()E X =21163274158O 2313X (0)P X >=A.B. C. D.7.身高各不同的六位同学､､､､､站成一排照相，说法不正确的是（ ）A.､､三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B.与同学不相邻，共有种站法C.､､三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共144种站法D.不在排头，不在排尾，共有504种站法8.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲､乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局.双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.向这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）A.甲150枚，乙150枚B.甲225枚，乙75枚C.甲200枚，乙100枚D.甲240枚，乙60枚二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18.0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法中，正确的是（ ）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1B.一组数据的第75百分位数为17C.若样本数据的方差为8，则数据的方差为2D.将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为和，若，则总体方差10.某工厂生产的200个零件中，有198件合格品，2件不合格品，从这200个零件中任意抽出3件，则抽出的3个零件中（）A.至多有1件不合格品的抽法种数为B.都是合格品的抽法种数为C.至少有1件不合格品的抽法种数为D.至少有1件不合格品的抽法种数为11.甲乙两人参加三局两胜制比赛（谁先赢满两局则获得最终胜利）.已知在每局比赛中，甲赢的概率为0.6，乙赢的概率为0.4，且每局比赛的输赢相互独立.若用M 表示事件“甲最终获胜”，N 表示事件“比赛共进行了两局且有人获得了最终胜利”，Q 为“甲赢下第三局时获得了最终胜利”.则下列说法正确的有5024352243291781A B C D E F A C D A C 5424A A ⋅A C D A C D A B m 10,11,11,12,13,14,16,18,20,22121021,21,...,21x x x ++⋯+1210,,,x x x ⋯12,x x 2212,s s 12x x =()2221212s s s =+122198C C 3200C 122121982198C C C C +33200198C C -（ ）A. B. C.N 与Q 互斥 D.N 与Q 独立三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15.0分）12.某智能手机的开机密码是六位数字，现甲准备将六位数202403中的6个数字打乱顺序设为开机密码，若要求两个2不相邻，两个0相邻，则不同的开机密码总个数为___________.（答案用数字表示）13.已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为___________.14.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三个实验舱每个至少一人至多三人，则不同的安排方法有___________种.四､解答题（本大题共5小题，共77.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题13.0分）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析.运动员甲在接力赛中跑第一棒､第二棒､第三棒､第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示.比赛位置第一棒第二棒第三棒第四棒出场率0.30.20.2.0.3比赛胜率0.60.80.70.7（1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率.（2）当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第一棒的概率.16.（本小题15.0分）已知关于的二项式的二项式系数之和为32，其中.（1）若，求展开式中二项式系数最大的项；（2）若，求展开式中系数最大的项；（3）若展开式中含项系数为40，求展开式中所有有理项的系数之和.17.（本小题15.0分）某高校对参加军训的4000名学生进行射击､体能､伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.()913P M N =()1P N Q =12nx x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x nx ⎛⎝0m >1m =2m =2x（1）根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.（2）现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元､300元､500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.（3）若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.参考数据：若，则，，.18.（本小题17.0分）长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的7—8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男､女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男､女生人数均为200，统计得到以下列联表：喜欢不喜欢合计男生12080200女生100100200合计220180400（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X 表示抽到的3人中女生的人数，求X 的分布列以及数学期望；（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为Y ，求Y 的数学期望.附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小题17.0分）台州是全国三大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势.某电动车公司为了抢占更多的a 231225ξξ()E ξX (),100N μμ()2,X Nμσ~()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈22⨯0.050α=22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α市场份额，计划加大广告投入､该公司近5年的年广告费（单位：百万元）和年销售量（单位：百万辆）关系如图所示：令，数据经过初步处理得：44 4.81040.3 1.61219.58.06现有①和②两种方案作为年销售量y 关于年广告费x 的回归分析模型，其中a ，b ，m ，n 均为常数.（1）请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好？（2）根据（1）的分析选取拟合程度更好的回归分析模型及表中数据，求出y 关于x 的回归方程，并预测年广告费为6（百万元）时，产品的年销售量是多少？（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆200元（不含广告费､研发经费）.该公司在加大广告投入的同时也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的199倍.电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影响外还受随机变量影响，设随机变量服从正态分布，且满足.在（2）的条件下，求该公司年净利润的最大值大于1000（百万元）的概率.（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变量）.附：①相关系数，回归直线中公式分别为，；②，，.i x i y ()ln 1,2,,5i i v x i ==⋅⋅⋅51ii y =∑51ii v =∑()521ii x x =-∑()521ii y y =-∑()521ii v v =-∑()()51iii x x y y =--∑()()51iii y y v v =--∑y bx a =+ln y n x m =+ξξ()2600,N σ()8000.3P ξ>=r =y abx =+ ()()()121ˆniii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑ ay bx =- 8.06=20.1≈ln 5 1.6≈ln 6 1.8≈太原五中2023—2024学年度第二学期月考高二数学答案1.A【分析】从插空的角度考虑，有8盏灯亮着，4盏灯熄灭，4盏熄灭的灯不相邻插空且不能在两端.【详解】先将8盏灯排成一排，由于两端的灯不能熄灭，则有7个符合条件的空位，进而在7个空位中任取4个插入熄灭的4盏灯，则有种方法，故选：A.2.D【分析】由题意将题目转化成除以7的余数问题，用二项式知识求解即可.【详解】由题意知个位数应为除以的余数，因为，除以的余数为.故选：D.3.B【分析】先求得五人的全排列数，再由定序排列法代入计算，即可得到结果.【详解】由题意，五人全排列共有种不同的排法，其中甲乙丙三人全排列共有种不同的排法，其中甲乙在丙的同侧有：甲乙丙，乙甲丙，丙甲乙，丙乙甲共4种排法，所以甲､乙两人必须坐在丙的同一侧，则不同的坐法种数为.故选：B 4.A【分析】利用分步乘法计数原理与排列的知识即可得解.【详解】根据题意，“英语角”､“语文学苑”和“理综世界”两两相邻，有种方案，而“数学天地”只和“理综世界”相邻，只要和“理综世界”的颜色不同即可，故有4种方案，总共有种方法.故选：A 5.D【分析】由题意得的所有可能取值为，用古典概型算出相应的概率，进而即可求解.【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，满足的数组有：47C 1161167()()()()111101111111101011116717C 71C 711=-=+⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅⋅-+-7655A 120=33A 6=4120806⨯=35A 54360=⨯⨯=604240⨯=X 0,1,2,3X 0,1,2,3(),,a b c 0X =，共4个，所以，满足的数组有：，，共18个，所以，满足的数组有：，，，，共24个，所以，满足的数组有：，，，，，，共18个，所以，所以X 的数学期望.故选：D.6.D【分析】由题意当时，的可能取值为1，3，5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.()()()()1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4()3410416P X ===1X =()()()()()()()()()1,1,2,1,2,1,2,1,1,2,2,3,2,3,2,3,2,2,3,3,4,3,4,3,4,3,3()()()()()()()()()2,2,1,2,1,2,1,2,2,3,3,2,3,2,3,2,3,3,4,4,3,4,3,4,3,4,4()31891432P X ===2X =()()()()()()1,1,3,1,3,1,3,1,1,2,2,4,2,4,2,4,2,2()()()()()()3,3,1,3,1,3,1,3,3,4,4,2,4,2,4,2,4,4()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1()()()()()()4,2,3,4,3,2,2,4,3,2,3,4,3,4,2,3,2,4()3243248P X ===3X =()()()1,2,4,1,3,4,1,4,4()()()1,4,1,1,4,2,1,4,3()()()1,1,4,2,1,4,3,1,4()()()4,1,1,4,2,1,4,3,1()()()4,1,2,4,1,3,4,1,4()()()2,4,1,3,4,1,4,4,1()31893432P X ===()193915012316328328E X =⨯+⨯+⨯+⨯=0X >X 2(5,3X B【详解】依题意，当时，的可能取值为1，3，5，且，所以.故选：D.7.C【分析】利用全排列和定序可判断A ；利用插空法可判断B ；利用捆绑法可判断C ；利用间接法可判断D.【详解】对于A ，6个人的全排列共有种方法，､､全排列有种方法，所以､､三位同学从左到右按照由高到矮的排列有种方法，故A 正确；对于B ，先排其余4个人，有种方法，4个人有5个空，利用插空法将､插入5个空中，有种方法，则共有种站法，故B 正确；对于C ，､､三位同学必须站在一起，且只能在与的中间的排法共有2种，将这3人捆绑在一起，与其余3人进行全排列，共有种方法，则共有种方法，故C 错误；对于D ，6个人全排列共有种方法，当在排头时，共有种方法，当在排尾时，共有种方法，当在排头且在排尾时，共有种方法，则不在排头，不在排尾的情况共有种方法，故D 正确，故选：C.8.B【分析】列举出若游戏继续进行到结束的所有情况，计算出甲乙各自胜出的概率，从而决定他们各自赌金的份额.【详解】由题可知，对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为.0X >X 2(5,)3X B ()()()()0531P X P X P X P X >==+=+=5432125511212C C 33333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1781=66A A C D 33A A C D 6633A 120A =44A A C 25A 4245A A A C D A C D 44A 442A 48=66A A 55A B 55A A B 44A A B 654654A 2A A 504-+=12若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负：①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；则甲胜出的概率为+=，则甲应该分得赌金的，即300×=225枚，乙分得赌金75枚.故选：B.9.AC 【分析】根据简单随机抽样中每个个体被抽到的可能性是一样的，可判断A ；根据百分位数的求法可判断B ；根据一组数据加上或乘以同一个数后的平均数以及方差的性质可判断C ；根据分层抽样中的平均数以及方差的性质，可判断D.【详解】选项A ：由题意知个体被抽到的概率为，故A 正确；选项B ：数据从小到大排列为：，由于，找第8个数据18，即第75百分位数为18，故B 错误；选项C ：设数据的平均数为，方差为，则数据的平均数为，方差为，12111224⨯=111224⨯=1214343434m 50.150=10,11,11,12,13,14,16,18,20,221075%7.5⨯=1210,,,x x x ⋯121010x x x x +++=()()()22221210110s x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 121021,21,,21x x x ++⋯⋯+()()()()12101210212121210211010x x x x x x x x ++++++++++===+ 222211210121212110s x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=+-++-+++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()()()()22222212101210142222221010x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 248s ==所以，故C 正确；选项D ：设第一层数据为，第二层数据为，则，所以，，总体平均数，总体方差因为，则，所以，，故D 错误.故选：AC.10.CD【分析】对于A ：分只有1件不合格品，没有不合格品两种情况解答；对于B ：都是合格品相当于从198件合格品抽取3件合格品；对于C ：分只有1件不合格品，有2件不合格品两种情况解答；对于D ：利用间接法从反面解答.【详解】对于A ：至多有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是没有不合格品，故抽法种数为，A 错误；对于B ：都是合格品的抽法种数为，B 错误；对于C ：至少有1件不合格品分两种，一种是只有1件不合格品，一种是有2件不合格品，故抽法种数为，C 正确；对于D ：至少有1件不合格品的抽法种数为，D 正确.故选：CD.22s =12,,,n x x x ⋯12,,,m y y y ⋯211122,n mx x x y y y x n x m++++++== 112212,n n x x x n x y y y m x +++=⋅+++=⋅ ()()()()()()2111222222221121222211,n m s x x x x x x s y x y x y x n m ⎡⎤⎡⎤=-+-++-=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11n mx x y y x n m+++++=+ ()()()()22222111n m s x x x x y x y x n m ⎡⎤=-++-+-++-⎢⎥⎣⎦+ 12x x =()111n m x x y y n m x +++++=+⋅ ()11112n m n m x x x y y x x x n m n m++++++====++ ()()()()222221122111n m s x x x x y x y x n m ⎡⎤=-++-+-++-⎢⎥⎣⎦+ 22121ns ms n m⎡⎤=+⎣⎦+1219818329C C C +3198C 122121982198C C C C +33200198C C -11.ABC【分析】对于AB ：用条件概率计算；对于C ：利用互斥的概念来判断；对于D ：利用相互独立的条件来判断.【详解】对于A ：，则，A 正确；对于B ：，则，B 正确；对于C ：N 与Q 不可能同时发生，故N 与Q 互斥，C 正确；对于D ：，，，故，故D 错误.故选：ABC.12.【分析】将两个0捆绑，与3，4混排，再将两个2插入，即可求得开机密码总个数，得到答案.【详解】由题意，将两个0捆绑，视为1个元素，再与3，4混排，有种不同的排法，再将两个2插入，有种排法，所以不同的开机密码总个数为.故答案为：.13.【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解.【详解】由题意可得，解得，则，故该展开式中的常数项为.故答案为：14.450【分析】依据分类加法计数原理和平均及不平均分组问题处理方法求解即可.【详解】若6名航天员三个实验舱，三个实验舱每个至少一人至多三人，若每组人数分别为，共有种，()()2220.60.36,0.60.40.52P MN P N ===+=()()()0.3690.5213P MN P M N P N ===()()1122C 0.60.40.6,C 0.60.40.6P NQ P Q =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯()()()1P NQ P N Q P Q ==()0.52P N =()12C 0.60.40.6P Q =⨯⨯⨯()0P NQ =()()()P N P Q P NQ ≠3633A 24C 3234A C N =36=3668-5n =12n x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭512x x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦232n =5n =5540155555111122C 2C 2C n x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+-+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1233155545252C C 2C C 12C 68+⋅-+=-68-1,2,312336533C C C A 360⋅=若每组人数分别为，共有种，综上所有不同的安排方法共有.故答案为：45015.（1）（2）【分析】（1）根据全概率公式即可得出答案.（2）根据条件概率的计算公式即可求解.【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件，“甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件，则，所以当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率为；（2），所以当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，甲跑第一棒的概率为.16.（1）和（2）和（3）12117.（1），（2）分布列见解析，（3）人【分析】（1）借助概率和为可得，借助平均数定义可得平均数；（2）得出的所有可能取值及其对应概率，即可得分布列，借助期望定义即可得其期望；（3）借助正态分布的性质可得军训成绩不低于98分的概率，即可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数.【详解】（1）有图可得，解得，；2,2,22223642333C C C A 90A ⋅=36090450+=0.696231A 2A 3A 4A B ()()()()()()()()()11223344P B P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++0.30.60.20.80.20.70.30.70.69=⨯+⨯+⨯+⨯=0.69()()()()()()11110.30.660.6923P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====623210x 180x -0.015a =78x =()14503E ξ=911a ξ()100.0100.0250.0351a a ++++=0.015a =()0.010550.015650.025750.035850.015951078x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）的可能取值为､､､､､､，，，，，，，，则其分布列为：；（3），，则，又，故，，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人.18.（1）可以认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.（2）分布列见解析，（3）ξ02003005007008001000()2121111325001P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()2121113255200P ξ⎛⎫⎛⎫=⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=()21211132500013P ξ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()212212411132505325105P ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+⨯⨯-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()2122132515700P ξ⎛⎫=⨯-⨯= =⎪⎝⎭()2121138002515P ξ⎛⎫=-⨯⨯= ⎪⎝⎭=()2122325151000P ξ=⨯⨯==ξ02003005007008001000P 11015110415215115215()111421214500200300500700800100010510151515153E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=78x μ==10σ==()()982P X P X μσ≥=≥+()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈()10.9545980.022752P X -≥≈=40000.0227591⨯=9153335【分析】（1）根据列联表中的数据，求得，结合附表，即可求解；（2）求得男生的人数为人，女生的人数为人，根据题意，得到的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列；（2）根据题意，求得任抽1人喜欢长跑的概率为，结合服从二项分布，即可求解.【详解】（1）解：零假设学生对长跑的喜欢情况与性别无关联，根据题意，由列联表中的数据，可得，所以在的独立性检验中，可以推断不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联.（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为人，女生的人数为人，从9人中随机抽取3人，所以随机变量的可能取值为，可得，，则随机变量的分布列为：0123（3）解：由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为，所以随机变量服从二项分布，即，所以.22⨯240099χ=45X 0,1,2,31120p =Y 0:H 22⨯22400(12010080100)400 4.040 3.84120020022018099χ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯0.050α=0H 809480100⨯=+1009580100⨯=+X 0,1,2,32134543399C C C 15(0),(0)C 21C 14P X P X ======1234553399C C C 105(2),(3)C 21C 42P X P X ======X XP 12151410215425()3E X =1120p =Y 11(12,)20Y B ()113312205E Y =⨯=19.（1）模型②的拟合程度更好（2），当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）（3）0.3【分析】（1）分别求得模型①和②的相关系数，，然后比较得出结论；（2）利用最小二乘法求解；（3）由净利润为，求解.【详解】（1）解：设模型①和②的相关系数分别为，.由题意可得：，.所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好.（2）因为，又由，，得，所以，即回归方程为.当时，，因此当年广告费为6（百万元）时，产品的销售量大概是13（百万辆）.（3）净利润为，，令，所以.5ln 4y x =+1r 2r ()2005ln 4200x x ξ⨯+--()0x >1r 2r 5119.50.9720.1x y r ===≈528.0618.06y v r ====12r r < ()()()1218.0651.612i s i i sii v v y y n v v ==--===-∑∑5110.965i i v v ===∑5118.85i i y y ===∑58.80.9654m y v =-=-⨯=54y v =+5ln 4y x =+6x =5ln 6413y =+≈()2005ln 4200x x ξ⨯+--()0x >()()2005ln 4200g x x x ξ=⨯+--()1000200g x x'=-可得在上为增函数，在上为减函数.所以，由题意得：，即，，即该公司年净利润大于1000（百万元）的概率为0.3.()y g x =()0,5()5,+∞()()()max 52005ln 5451400g x g ξξ==⨯+--≈-14001000ξ->400ξ<()()4008000.3P P ξξ<=>=。

重庆市第八中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足()2i 34i z -=+（i 为虚数单位），则z 的值为（ ）A．1B C D ．2．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m B ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥ C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βD ．若l α∥，m α⊥，则l m ⊥3．“直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行”是“6a =”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知两个单位向量1e u r ，2e uu r 的夹角为120o ，则()()12212e e e e +⋅-=u r u u r u u r u r （ ）A ．32B ．3C ．52D ．55．圆222460x y mx my ++++=关于直线30mx y ++=对称，则实数m =（ ） A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或36．直线:0l x 与圆22:(2)(1)2C x y ++-=交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为（ ） A ．120o B ．145oC ．165oD ．210o7．已知4tan23θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若ππcos cos 44m ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θθ，则实数m 的值为（ ） A ．13-B ．12-C ．13D ．128．已知圆22:(2)(1)5C x y -++=及直线()():2180l m x m y m ++---=，下列说法正确的是（ ）A ．圆C 被x 轴截得的弦长为2B ．直线l 过定点()3,2C ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为10x y +-=D ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为50x y --=二、多选题9．在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC ，CD 的中点，则（ ）A ．2AB AD EF -=u u u r u u u r u u u rB ．4AE AF ⋅=u u u r u u u rC ．()32AE AF AB AD +=+u u u r u u u r u u u r u u u rD ．AE u u u r 在AD u u u r上的投影向量为12AE u u u r10．如图，直三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为4，D ，E ，F ，G 分别在棱1111,,A B AC AB ，AC 上，（不与端点重合）且11A D A E BF CG ===，H ，P 分别为BC ，1A H 中点，则（ ）A ．11//BC 平面PFGB ．过D ，F ，G 三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C ．M 在111A B C △内部（含边界），1π6A AM ∠=，则M 到棱11B C D ．若M ，N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为3 11．已知圆221:1C x y +=和圆222:()(2)4C x m y m -+-=，0m ≥．点Q 是圆2C 上的动点，过点Q 作圆1C 的两条切线，切点分别为G ，H ，则下列说法正确的是（ ）A ．当m ⎡∈⎢⎣⎭时，圆1C 和圆2C 没有公切线 B ．当圆1C 和圆2C 有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C ．圆1C 与x 轴交于M ，N ，若圆2C 上存在点P ，使得π2MPN >∠，则m ∈⎝⎭D ．圆1C 和2C 外离时，若存在点Q ，使四边形1QGC H 面积为m ∈⎝三、填空题12．将函数πcos 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π 02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则 φ=．13．已知点()3,0P 在直线l 上，且点P 恰好是直线l 夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间线段的一个三等分点，则直线l 的方程为．（写出一条即可）14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O （如图）的东偏南1cos 7θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向350km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北60o 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km ，并以10km/h 的速度不断增大，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，2π3C =，D 为AB 边上一点．(1)若D 为AB 的中点，且CD =c ；(2)若CD 平分ACB ∠，且ABC V 的面积为CD 的长．16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，6CA =，E 为棱AC 的中点，P 为BC 边上靠近B 的三等分点，且11PB BC ⊥．(1)证明：1//CB 平面1EBA ；(2)求平面11ABB A 与平面1BEC 夹角的余弦值．17．圆心为C 的圆经过A 0,3 ，B 2,1 两点，且圆心C 在直线:320l x y -=上． (1)求圆C 的标准方程；(2)过点()1,2M 作圆C 的相互重直的两条弦DF ，EG ，求四边形DEFG 的面积的最大值与最小值．18．如图、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，O 为AB 的中点，AC BC ⊥，1OC =，4PA =．(1)证明：面ACP ⊥面BCP ；(2)若点A 到面BCP 的距离为43，证明：OC AB ⊥；(3)求OP 与面PBC 所成角的正弦值的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222120x y x +---=，1M ，2M 是圆C 上的动点，且12M M =12M M 的中点为M ． (1)求点M 的轨迹方程；(2)设点A 是直线0l y -+=上的动点，AP ，AQ 是M 的轨迹的两条切线，P ，Q 为切点，求四边形APCQ 面积的最小值；(3)若垂直于y 轴的直线1l 过点C 且与M 的轨迹交于点D ，E ，点N 为直线3x =-上的动点，直线ND ，NE 与M 的轨迹的另一个交点分别为F ，(G FG 与DE 不重合），求证：直线FG 过定点．。

太原五中2015-2016学年度第二学期阶段性检测高 二 数 学(理)出题人、校对人：雷英俊 廉海栋（2016.5）一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）1.已知随机变量X 服从二项分布，且E(X)＝2.4，D(X)＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为( )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.12.已知离散型随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，若P(1≤X ≤3)＝15，则n 的值为( )A ．3B ．5C ．10D ．153.已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.24. 53()y x 展开式的第三项为10,则y 关于x 的函数图象大致为( )5.10件产品，其中3件是次品，任取2件，若ξ表示取到次品的个数，则E(ξ)等于( )A.35B.815C.1415D ．1 6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为A ．144B ．120C ．72D ．247.在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有( )个A ．50B ．45C ．36D ．358.如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( )A ．180B ．240C ．360D ．4209.将三颗骰子各掷一次，记事件A ＝“三个点数都不同”， B ＝“至少出现一个６点”，则条件概率()P A B ，()P B A 分别是（ ）A.6091，12 B.12，6091C.518，6091D.91216，12 10.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( )A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对二、填空题（每小题分，共12分）11. 如果将甲、乙、丙3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在乙、丙的前面,则不同的安排方法共有 种 12. 三元一次方程x+y+z=13的非负整数解的个数有_____ 13. n ∈N *,0n C +31n C +…+(2n+1)nn C =_______14.设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=______时成功的次数 的标准差最大为_______. 三、解答题（共48分） 15.（8分）已知()14142210721x a x a x a a x x ++++=+- .求（1）14210a a a a ++++ .（2）13531a a a a ++++16. (10分)(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？17.（10分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．18.（10分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0, 3∶1, 3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为 3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 19.（10分）袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B 中摸出一个红球的概率为p ．(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ． (Ⅱ) 若A 、B 两个袋子中的球数之比为1:2，将A 、B 中的球装在一起后，从中摸 出一个红球的概率是25，求p 的值．17.【答案】（Ⅰ）乙投球的命中率为4． （Ⅱ）甲投球2次至少命中1次的概率为34.（Ⅲ）甲、乙两人各投两次，共命中2次的概率为1132． 18.解析： (1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意知，各局比赛结果相互独立， 故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827，P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎫1－232⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为X 0 1 2 3 P1627427427327所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.19.袋子A 和B 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红球的概率是31，从B中摸出一个红球的概率为（1）随机变量的分布列为 0123P其数学期望为（2）解析试题分析：解：（1）①恰好摸5次停止的概率为（2）②随机变量的可能取值为0，1，2，3.；；；所以，随机变量的分布列为0 1 2 3P故随机变量的数学期望为（10）（2）设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个球，由题意得，解得（14）。

成都2023～2024学年度下期高2025届五月月考数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在等差数列{}n a 中，已知2810a a +=，则9S =（）A ．90B ．60C ．30D ．452．端午节即将来临，小李妈妈做了5个粽子放在盘子中，其中两个为鲜肉馅，三个为红豆馅，现在小李从盘中随机取出两个粽子，若已知小李取到的两个粽子为同一种馅，则小李取到的两个粽子都是红豆馅的概率为（）A ．15B ．35C ．34D ．143．已知随机变量X 的分布列如下表所示，且满足()0E X =，则()21D X +=（）A ．1B ．2C ．3D ．44．2233除以5的余数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．已知各项为正数的等比数列{}n a 的首项11a =，且213,6,a a a 成等差数列，若2,,n nn b a n -⎧=⎨⎩为偶数为奇数，且{}n b 的前n 项和为n S ，则满足280n S >的最小正整数n 的值为（）A.1B.2C.3D.46．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则21x x -=（）A ．33B ．233C ．2D ．437．某单位组织团建活动，6位员工从,,,A B C D 这4个项目中选择3个项目参与，其中每个人都只参与一个项目，若A 项目必须有人参加，且参加人数为偶数，则不同的参与方式有（）种A ．720B ．360C ．480D ．1080X1-02Pa12b8．若1,,22m n ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有2ln 3(1)am m n n m++≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,1B ．()1,3C ．[)1,+∞D ．(),1-∞二､选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知二项式(3nx -的展开式中各项系数和为64，则下列说法正确的有（）A ．展开式中共有6项B ．展开式中的第5项为4135x C ．二项式系数的最大值为20D ．展开式中存在常数项10．已知各项为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11(2)n n n a n S S -=≥+，则下列结论正确的是（）A ．12a a >B ．数列{}n S 是等差数列C ．数列11{}n nS S ++的前101-D ．1ln n nS n S -≥11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828= 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2680f x f x ⎡⎤-''+=⎣⎦有3个不等的实数解B.()()()0,,x f x g x ∃∈+∞=C.若()()12(0)f x g x t t ==>，则21(1)x x t +=D.若关于x 的不等式()(121)f x axg b x x x+≤+≤+-恒成立，则实数a 的取值范围是[]1,e 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12．6人站成一排，其中甲、乙不相邻的站法有种.13.定义在R 上的函数()f x 满足：()()0,(1),f x f x f e '-<=则不等式1(ln )2f x ________.14.甲、乙、丙三人投篮，每次由其中一人投篮，第1次由甲投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则随机在另外两人中等可能地指定一人投篮．无论之前投篮情况如何，甲、乙、丙三人每次投篮的命中率均为0.5．则第4次投篮的人是甲的概率为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题13分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，π3BAD ∠=，22BD DE BF ===，DE AC ⊥，//BF DE ．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDEF ；(2)当BF CD ⊥时，求平面ACE 与平面ACF 所成角的余弦值．16.（本小题15分）盒子中装有大小形状相同的5个小球，其中3个白色，2个红色.(1)现从中任取3个球，求取出的球中有红球的概率；(2)每次取一球，若取出的是白球，则不放回；若取出的是红球，则取后放回.①取两次，求恰好一个红球和一个白球的概率；②取两次，记取到白球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列及均值.17.（本小题15分）函数()*()2ln 1n f x x x n =++∈N 在点(1,(1))f 处的切线l 经过点(),1n a .(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列.(2)数列21n n na a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T ，求证：4n T <.18.（本小题17分）已知F 为抛物线2:2x y Γ=的焦点，过F 的直线交Γ于,A B 两点（点A 在第一象限），直线AO 交Γ的准线于点E ，设Γ在B 点处的切线l 与x 轴的交点为M .（1）求证：点M 为EF 的中点；（2）过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求2)(ABE ABO ABGS S S ⋅ ．19.（本小题17分）（1）证明：当120x x <<时，211221ln ln 2x x x xx x -+<-；（2）已知函数()2ln f x x x ax bx =-+，其中,R a b ∈．①证明：对任意两个不相等的正数12,x x ，曲线()y f x =在()()11,x f x 和()()22,x f x 处的切线均不重合；②当2b a =时，若1a >，函数()()f x g x x =有两个零点12,x x ，是否存在1221x x a a+>+-的关系？若存在，请证明；若不存在，请说明理由．成都2023～2024学年度下期高2025届五月月考数学答案一、选择题1-4DCDD 5-8CBAC二、选择题9．BC 10.ACD 11.ACD 三、填空题12．48013.2(,)e +∞14．1132四、解答题15.（1）因为//BF DE ，所以点,,,B D E F 四点共面，又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为DE AC ⊥，BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDEF ，所以AC ⊥平面BDEF ，又AC ⊂平面ACF ，所以平面ACF ⊥平面BDEF ............................6分（2）因为//BF DE ，BF CD ⊥，所以DE CD ⊥，又因为,DE AC CD AC C ⊥= ，所以DE ⊥平面ABCD ，............................7分设BD 交AC 于O ，则以OA 为x 轴，OB 为y 轴，过点O 且平行于DE 的方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -,因为1BF =，四边形ABCD 为菱形，π3BAD ∠=，则2,AB AD BD DE AC =====)()()(),0,1,1,0,1,2,AF E C -，则())(),,1,2AC CF AE =-==-...........................9分不妨设平面ACF 的法向量为(),,m x y z =，则0m AC m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，取1y =，得()0,1,1m =- ，...........................10分设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，020AE n AC n y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩,所以()0,2,1n = ...........................11分设平面ACE 与平面ACF 所成角为θ，则cos 10m n m nθ⋅===⋅ ，...........................12分故平面ACE 与平面ACF 所成角的余弦值为1010 (13)分16.(1)取出的球中有红球的概率为122132323333559110C C C C C P C C ⋅+⋅==-=............................3分（2）①记事件A ：第一次取到是红球，事件B ：第二次取到是红球，则()()()()()()223275455350P P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=；..........................7分②随机变量X 可取0，1，2，..........................8分()40525252P X ==⨯=，()27150P X ==，()32325410P X ==⨯=，..........................11分随机变量X 分布列如下：X012P4252750310..........................13分所以()42701225535750010E X =⨯+⨯+⨯=；..........................15分17.（1）1()2nf x x'=+，则(1)21n f '=+，因为1(1)2n f =+，所以l 的方程为()()21211n n y x --=+-，即()21ny x =+，..........................3分令()211nn a +=，得121n n a =+，..........................4分所以112nna -=，所以111211+-=-n na a ，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为2，公比为2的等比数列..........................7分（2）由（2）知1221121n n nnna n na a -==--，..........................9分则01211232222n n n T -=++++ ，则123112322222n n nT =++++ ，..........................11分所以0112111111122212222222212nn n n n n nn n n T T -⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=++++-=-=-- ，故1242n n n T -+=-,..........................14分120,2n n -+>4n T ∴<...........................15分18.（1）易知抛物线焦点10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y =-；..........................1分设直线AB 的方程为()()112211,,,,0,()2y kx A x y B x y x =>+联立2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2210x kx --=，可得21212Δ44021k x x kx x ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，所以211x x -=；..........................4分对于21,2y x y x ='=；可得l 的斜率为2x ，所以l 的方程为()222y y x x x -=-，即为2222x y x x =-，令0y =得2,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭；..........................6分直线OA 的方程为1112y x y x x x ==，令12y =-得111,2E x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即21,2E x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．..........................7分又10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22110,()0222x x +=-+=，所以M 为EF 的中点．..........................9分（2）22(||||||||||||)ABE A E ABO ABG A A G S x x AE S S AO AG x x x -==⋅⋅⋅- ，........................11分由（1）中l 的斜率为2x 可得过点B 的l 的垂线斜率为21x -，所以过点B 的l 的垂线的方程为()2221y y x x x -=--，即222112x y x x =-++，........................12分联立22211122x y x x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得G 的纵坐标为()2222G x x x =+，2(0)x <........................14分由（1）知2E x x =，121A x x x =-=，所以()2222222222222222211()2||1111||||([2]2A E A A G x x x x x x x x x x x x x x x --++-===⋅--⋅--+++.........................17分19.【详解】（1）令21x t x =，则1t >.........................1分令2(1)()ln ,(1)1t F t t t t -=->+，(1)0F =，则22(1)()0(1)t F t t t -'=>+，()F t ∴在(1,)t ∈+∞单调递增；()(1)0F t F ∴>=，2(1)ln 1t t t -∴>+，........................3分2212112(1)ln1x x x x x x -∴>+，2121212()ln ln x x x x x x -∴->+，120x x << ，211221ln ln 2x x x xx x -+∴<-.........................5分（2）①由函数()2ln f x ax bx x x =++，可得()2ln 1f x ax x b =+++'，不妨设120x x <<，曲线()y f x =在()()11,x f x 处的切线方程为()()()1111:l y f x f x x x -=-'，即()()()1111y f x x f x x f x +-''=........................7分同理曲线()y f x =在()()22,x f x 处的切线方程为()()()22222:l y f x x f x x f x =+'-'，假设1l 与2l 重合，则()()()()()()12111222f x f x f x x f x f x x f x ''''⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，代入化简可得()()212121ln ln 201(0)x x a x x a x x a ⎧-+-=⎪⎨+=-<⎪⎩，........................9分两式消去a ，可得212121ln ln 20x x x x x x ---=+，整理得212121ln ln 2x x x xx x -+=-，由（1）的结论知212121ln ln 2x x x x x x -+<-，与上式矛盾即对任意实数,a b 及任意不相等的正数121,,x x l 与2l 均不重合．........................11分②因为2()ln g x x ax a =-+，0x >，1a >，所以11()axg x a x x'-=-=，当10x a<<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1x a>时，()0g x '<，()g x 单调递减，........................12分又当1a >时，2211(1)ln1024a g a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-+>=恒成立，当x 趋于0时，()g x 趋于无穷小；当x 趋于无穷大时，()g x 趋于无穷小；所以()g x 在()()0,1,1,+∞上各有一个零点，........................13分不妨设1201x x <<<，则211ln x ax a =-，222ln x ax a =-．由（1）知，函数2(1)()ln 1x F x x x -=-+在()0,∞+上单调递增，(1)0F =，故当(0,1)x ∈时，()0<F x ，即2(1)ln 1x x x -<+，当(1,)x ∈+∞时，()0F x >，即2(1)ln 1x x x ->+，所以()1211211x ax a x --<+，()2222211x ax a x -->+，........................15分所以()()()()()()221112221210121ax ax x axa x x -+--<<-+--，整理可得：()()()222121220a x x a a x x -+---<，即()2122a x x a a +>-+，所以1221x x a a+>+-．........................17分。

泗县一中2020-2021学年第二学期第四次月考高二数学（理科）试题考试时间:2021年5月21日 试卷满分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z 满足(1)1i z i -=+，则复数z 的虚部为A.1B.iC.i -D.1- 2. 随机变量X 的概率分布规律为()(1,2,...,10)P X k ak k ===，则a =A ．1110 B ．110 C ． 155D ．55 3. 设()f x 为可导函数，且满足()()131lim3x f x f x∆→+∆-=-∆，则函数()y f x =在1x =处的导数为A ．1-B ．1C ．1-1或D ．以上答案都不对 4. 函数ln y x =的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线方程为A. 10x ey e -+-=B. 0x ey -=C. 10x ey e +-+=D. 0x ey +=5. 621x x ⎛⎫-⎪ ⎭⎝的展开式中3x 的系数为A ．15B ．20C ．20-D ．30-6.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议，规定男女同学至少各有1人参加，下面是不同的选法种数的三个算式： ①； ②；③．则其中正确算式的个数是A ．3B ．2C ．1D ．07. 今日“小满”是二十四节气之一，古语言“小满小满，麦粒满满”，我县地区的冬小麦开始灌浆，并逐渐进入成熟收割的季节。

为消除秸秆焚烧隐患，切实保护生态环境，县委县政府将其中4名干部派遣到3个行政村去落实工作，每名干部只去1个村，每个村至少安排1名干部，则不同的安排方法共有( )种.A ．6B ．12C ．36D ．728. 204,sin MMM x dx T xdx -=-=⎰⎰，则T 的值为A ．2- B. 1- C. 0 D. 29. 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是A ．－1B ．1C ．2D ．8710. 在泗县申报全国文明城市之际，泗县一中积极开展“学党史，办实事，促文明”系列活动。

2022-2023学年福建省宁德市高二下学期5月月考数学试题一、单选题1．某物体做直线运动，其运动规律是21s t t=+（t 单位是秒，s 的单位是米），则它在1t =的瞬时速度为（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】根据给定条件，求出运动规律对时间t 的导数，再求出1t =时的导数值作答.【详解】由21s t t =+，求导得212s t t '=-，则121|2111t s ='=⨯-=，所以它在1t =的瞬时速度为1.故选：B2．已知(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2)a b c =--==--，则下列结论正确的是（）A ．//,//a c b cB ．//,a b a c⊥ C ．//,a c a b⊥ D ．以上都不对【答案】C【解析】根据向量平行和垂直的坐标表示得出答案.【详解】(2,3,1),(2,0,4),(4,6,2)a b c =--==--()4040,4206420,,a b b c a b b c∴⋅=-++=⋅=-⨯+⨯-+⨯=∴⊥⊥462,//231a c --==∴--故选：C3．sin y x x =+，[]π,πx ∈-的大致图像为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先把函数()f x 写成分段函数，然后利用导数讨论两段函数的单调性，即可判断选项B 、D 错误，再判断两段函数的图象均在直线y x =的上方即可得选项A 错误，选项C 正确.【详解】解：∵sin ,0()sin ,0x x x f x x x x ππ+≤≤⎧=⎨--≤<⎩，∴当0x π≤≤时，()1cos 0f x x '=+≥，()f x ∴在(0,)π上单调递增；当0x π-≤<时，1cos 0()f x x '=-≥，()f x ∴在(,0)π-上单调递增；所以选项B 、D 错误.又sin y x x =+，[]π,πx ∈-恒过(),ππ--和(),ππ两点，因为[]sin 0,0,x x π∈ 恒成立，所以函数sin ,[0,]y x x x π=+∈在y x =的上方；同理sin 0,[,0]x x π∈- 恒成立，所以函数sin ,[,0]y x x x π=-∈-在y x =的上方；所以选项A 错误，选项C 正确.故选：C.4．在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n 的最小值为（）A ．6B ．18C ．36D ．37【答案】D【分析】根据二项分布和“几何分布”的定义，列不等式求解.【详解】由题可知，16p =，16EY p ==，6n EX n p =⨯=，因为EY EX <，所以66n<，解得36n >，所以n 的最小值为37.故选：D.5．在中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则图中异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为（）A ．45B ．35C ．45-D ．34-【答案】A【分析】根据异面直线的夹角运算求解.【详解】设11111,AB CD O A B C D O ==I I ，分别延长11,DC D C 到E ，E 1，使得111111,OE OC CD O E O C C D ====，连接1111,,,,EE OO BO EO BE ，可得1AB //1BO ，1EO //1CD ，则异面直线1AB 与1CD 所成角1BO E ∠（或其补角），则115,2BO EO BE ===，在1BEO 中，由余弦定理可得222111115524cos 25255BO EO BE BO E BO EO +-+-∠===⋅⨯⨯，即异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值为45.故选：A.6．已知函数()()1e xf x x mx =--在区间[]2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（）A ．()22e ,+∞B ．(),e -∞C ．()20,2e D ．()0,e 【答案】A【分析】由题意转化为存在[]2,4x ∈，使得()0f x '<，即存在[]2,4x ∈，使得e x m x >，利用导数求()e x g x x =在[]2,4x ∈上的最小值即可.【详解】因为()()1e x f x x mx =--，所以()e xf x x m '=-，因为()f x 在区间[]2,4上存在单调递减区间，所以存在[]2,4x ∈，使得()0f x '<，即e x m x >，令()e xg x x =，[]2,4x ∈，则()()1e 0x g x x '=+>恒成立，所以()e xg x x =在[]2,4上单调递增，所以()()2min 22e g x g ==，所以22e m >.故选：A7．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，球O 是正方体的内切球，MN 是球O 的直径，点G 是正方体表面上的一个动点，则GM GN ⋅的取值范围为（）A ．[]0,4B ．[]0,8C ．[]1,11D ．[]3,12【答案】B【分析】由题意可得：2OM ON ==，OM ON =-，由空间向量的线性运算和数量积运算计算GM GN ⋅，再由正方体的性质求得GO 的范围即可求解.【详解】因为球O 是棱长为4的正方体的内切球，MN 是球O 的直径，所以2OM ON ==，OM ON =-，22cos1804OM ON ⋅=⨯⨯=- ，因为()()()()GM GN GO OM GO ON GO OM GO OM ⋅=+⋅+=+⋅-2224GO OM GO =-=- ，又因为点G 是正方体表面上的一个动点，所以当G 为正方体顶点时，GO 有最大值为2221444232++=；当G 为内切球与正方体的切点时，GO有最小值为2，即223GO ≤≤ ，2412GO ≤≤ ，所以[]240,8GO -∈ ，故选：B.8．已知1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，且ln 55ln a a =-，ln33ln b b =-，ln 22ln c c =-，则（）A ．b<c<aB ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c<<【答案】A【分析】构造函数()ln f x x x =，根据单调性即可确定,,a b c 的大小.【详解】设函数()ln f x x x =，()1ln f x x '=+，当1,,()0e x f x ⎛⎫'∈+∞> ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递增，当10,,()0e x f x ⎛⎫'∈< ⎪⎝⎭，此时()f x 单调递减，由题ln 55ln a a =-，ln 33ln b b =-，ln 22ln c c =-，得11111111ln ln ,ln ln ,ln ln ln 55332244a a b b c c ====，因为1111543e <<<，所以111111ln ln ln 554433>>，则ln ln ln a a c c b b >>，且1,,,e a b c ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以a c b >>.故选：A.【点睛】解本题的关键是发掘题中三个式子的相似性，并进行等价变形，易于构造函数，本题多次利用函数的单调性，先利用单调性判断函数值大小，再由函数单调性判断自变量大小.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．已知任意非零向量()()111222,,,,,x y z x y z == a b ，若a b ，则111222x y z x y z ==B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，则,,,P A B C 四点共面C ．设{},,a b c是空间中的一组基底，则{},,a b b a b +- 也是空间的一组基底D ．若空间四个点13,,,,44P A B C PC PA PB =+，则,,A B C 三点共线【答案】BD【分析】由向量平行的性质判断A ；根据空间向量共面定理即可判断选项B ；用向量运算法则判断C ；由共线向量定理判断D.【详解】对于A ：若a b ，则111222x y z x y z ==，且222,,0x y z ≠，故A 错误；对于B ，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++ ，1111632++= ，,,,P A B C \四点共面，故B 正确；对于C ， {},,a b c是空间中的一组基底，且()()1122b a b a b =+--r r r r r ，∴,,a b b a b +-共面，不可以构成空间的一组基底，故C 错误；对于D ，若空间四个点,,,P A B C ，1344PC PA PB =+，13144+= ，∴,,A B C 三点共线，故D 正确.故选：BD10．甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N (1μ，21σ)，N (2μ，22σ)，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（）附:若随机变量X 服从正态分布N (μ，2σ)，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A ．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩甲B ．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近C ．若15σ=，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587D ．若25σ=，则乙同学成绩低于80分的概率约为0.3174【答案】BC【分析】根据正态曲线的对称轴，以及正态曲线的性质，结合()0.6826P X μσμσ-<<+≈，即可判断选项.【详解】A.甲同学的平均成绩是75，乙同学的平均成绩是85，7585<，故A 错误；B.甲同学的图象“瘦高”，乙同学的图象“矮胖”，所以甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近，故B 正确；C.()()1110.6826800.15872P X P X μσ->=>+==，故C 正确；D.()()2210.6826800.15872P X P X μσ-<=<-==，故D 错误.故选：BC11．已知投资A ，B 两种项目获得的收益分别为X ，Y ，分布列如下表，则（）X /百万1-02P 0.2m 0.6Y /百万012P0.30.4nA ．0.5m n +=B ．投资两种项目的收益期望一样多C ．()214E X +=，()21 6.4D X +=D ．投资A 项目的风险比B 项目高【答案】ABD【分析】根据分布列的性质求出m 、n ，再根据期望、方差公式计算可得.【详解】依题意可得0.20.61m ++=，所以0.2m =，0.30.41n ++=，所以0.3n =，所以0.5m n +=，故A 正确；所以()10.200.220.61E X =-⨯+⨯+⨯=，则()()21213E X E X +=+=，故C 错误；()00.310.420.31E Y =⨯+⨯+⨯=，所以()()E X E Y =，故B 正确；因为()()()()222110.2010.2210.6 1.6D X =--⨯+-⨯+-⨯=()()()()222010.3110.4210.30.6D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，即()()D X Y D >，所以投资A 项目的风险比B 项目高，故D 正确；故选：ABD.12．已知函数()e xf x x=和()ln x g x b x =-，有相同的极小值，若存在1R x ∈，()20,x ∈+∞使得()()12f x g x k ==成立，则（）A ．0b =B ．()(),01,k ∈-∞⋃+∞C ．当0k <时，121x x +<D ．当0k >时，若()()12f x g x k ==的所有根记为1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则1423x x x x =【答案】ACD【分析】首先根据两个函数极小值相同，分别求导，求出两个函数的极小值，解出b ，然后将两个函数图像作出，根据图像可以判断出BC ，对于D ，首先根据题意得到对应的等式，然后变形，采用等量替换的方法，即可求解.【详解】22e e e (1)()x x x x xf x x x--'==，()01f x x '>，>，()0,1,0f x x x '<<≠，()f x ∴在()(),0,0,1-∞上单调递减，()1,+∞上单调递增，()f x ∴在1x =处取得极小值(1)f e =，而2ln 1()(ln )x g x x '-=(0,1)x x >≠，()0,()0,0e e g x x g x x ''>><<<，且1x ≠，()g x ∴在()(0,)1,1,e 上单调递减，()e,+∞上单调递增，()g x ∴在e x =处取得极小值e (e)g b =-，依据题意，()f x 和()g x 有相同的极小值，故(1)()e f g =，解得0b =，故A 正确；作出函数图象如下图所示，若()()12f x g x k ==，则y k =与()f x 、()g x 相交时，0k <或者e k >，故B 错误.由图像可知，当0k <时，120,1x x <<，所以121x x +<，C 正确；若()()12f x g x k ==的所有根记为123x x x ，，，4x ，且1234x x x x <<<时，则有31241234e e ln ln x x x x k x x x x ====，1212e ln x x k x x ∴==，可得1122e ln e ln x x x k x ==，即()()12e x g g x =，又12e e,exx <<∴1212e ,x x kx x =∴=，同理可得34kx x =，2413x x k x x ∴==，则1423x x x x =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()442lim 6x f f x x∆→-+∆=∆，则()4f '=．【答案】-3【分析】根据给定条件，利用导数的定义计算作答.【详解】因为()()()()Δ02Δ0442Δ42Δ4lim 2lim6Δ2Δx x f f x f x fx x→→-++-=-=，即()246f '-=，解得()43f '=-，所以()43f '=-.故答案为：-3四、双空题14．李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁．已知李明乘坐公共汽车的概率为0.3，乘坐地铁的概率为0.7，而且乘坐公共汽车与地铁时，李明迟到的概率为0.2与0.05，则李明上学迟到的概率为，如果某天早上李明上学迟到了，那么他乘坐公共汽车的概率为．【答案】0.0951219【分析】记李明乘坐公共汽车为事件A ，乘坐地铁为事件B ，迟到为事件C ，由()()()P C P AC P BC =+结合条件概率公式计算；由条件概率公式()(|)()P AC P A C P C =计算．【详解】记李明乘坐公共汽车为事件A ，乘坐地铁为事件B ，迟到为事件C ，则()0.3P A =，()0.7P B =，(|)0.2P C A =，(|)0.05P C B =，所以()()()()()()()P C P AC P BC P C A P A P C B P B =+=+0.20.30.050.70.095=⨯+⨯=．()(|)()0.20.312(|)()()0.09519P AC P C A P A P A C P C P C ⨯====．故答案为：0.095；1219五、填空题15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，G 分别是棱1AA ，BC ，11A D 的中点，设Q 是该正方体表面上的一点，若MQ xMG yMN =+(,)x y R ∈，则点Q 的轨迹围成图形的面积是.【答案】33【分析】由题知，Q 在平面MGN 上，进而取AB ，1CC ，11C D 的中点,,E F O ，即可得点Q 的轨迹是正六边形OFNEMG ，再求面积即可【详解】解：∵MQ xMG yMN =+(,)x y R ∈，Q ∴在平面MGN 上，分别取AB ，1CC ，11C D 的中点,,E F O ，则点Q 的轨迹是正六边形OFNEMG ，因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以正六边形OFNEMG 的边长为2，所以，点Q 的轨迹围成图形的面积是1622sin 60332S =⨯⨯⨯⨯=.故答案为：3316．已知定义域为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，若方程()12f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，则实数k 的取值范围是．【答案】11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由题可知直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，利用导数研究函数的性质，利用数形结合思想能求出实数k 的取值范围．【详解】定义为R 的奇函数()f x 满足：()()ln ,0121,1x x x f x f x x <≤⎧=⎨->⎩，方程1()2f x kx =-在[]1,2-上恰有三个根，即直线1:2l y kx =-与函数()y f x =的图像有三个交点，由()f x 是R 上的奇函数，则(0)0f =，当01x <≤时，()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10e x <<时，()0f x '<，当11ex <≤时，()0f x '>，()f x ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，()f x 在1,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增，结合奇函数的对称性和“周期现象”得()f x 在[1-，2]上的图像如下：由于直线1:2l y kx =-过定点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，如图，连接A ，(1,0)B 两点作直线111:22l y x =-，过点A 作()ln (01)f x x x x =<<的切线2l ，设切点0(P x ，0)y ，其中000ln y x x =，()ln 1f x x '=+，则斜率20ln 1l k x =+，切线20000:ln (ln 1)()l y x x x x x -=+-过点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则00001ln (ln 1)(0)2x x x x --=+-，即012x =，则21ln 11ln 22l k =+=-，当直线1:2l y kx =-绕点10,2A ⎛-⎫ ⎪⎝⎭在1l 与2l 之间旋转时，直线1:2l y kx =-与函数()y f x =在[1-，2]上的图像有三个交点，故11ln 2,2k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．故答案为：11ln 2,2⎛⎫- ⎪⎝⎭六、解答题17．一个不透明的袋中有2个白球和5个红球，这些球除颜色外完全相同，若不放回的从袋中随机一次性抽取3个球，记其中白球的个数为X ，求X 的分布列与数学期望值．【答案】分布列见解析，67【分析】首先分析出此分布符合超几何分布，再写出分布列，最后利用期望公式计算即可.【详解】X 的所有可能取值为0，1，2，则()032537C C 1020C 357P X ====，()122537C C 2041C 357P X ====，()212537C C 1512C 357P X ====.∴X 的分布列为：X012P 274717∴X 的数学期望为()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=.18．已知函数()()242ln f x x a x a x =-++．(1)当1a =时，求函数()y f x =的极值点；(2)讨论函数()y f x =的单调性．【答案】(1)极大值点为12x =；极小值点为2x =(2)答案见解析【分析】（1）1a =时，先求导以及()0f x '=的根，再列表判断单调性，即求得极值点；（2）先写定义域，求导以及()0f x '=的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.【详解】（1）当1a =时，()252ln f x x x x =-+，定义域为()0,∞+，()()()2212225225x x x x f x x x x x---+='=-+=，令()0f x '=，解得12x =，或2x =．当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭121,22⎛⎫ ⎪⎝⎭2()2,+∞()f x '+0-0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增∴()f x 有极大值点为12x =；()f x 有极小值点为2x =（2）函数()f x 定义域为()0,∞+，()()()()()224222224x a x a x a x a f x x a x x x-++--'=-++==．令()0f x '=得2a x =或2x =．①若0a ≤，则当()0,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增．②若04a <<，即022a <<，则当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当,22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；③若4a =，即22a =，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '≥，()f x 单调递增，④若4a >，即22a <，则当()0,2x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当2,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是()2,+∞，单调递减区间是()0,2；当04a <<时，()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞，递减区间是,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当4a =时，()f x 的单调递增区间是()0,∞+，无单调递减区间；当4a >时，()f x 的单调递增区间是()0,2，,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．19．已知底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，PAD 是边长为2的等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是棱PC ，AB 上的点.(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立；①F 是AB 的中点；②E 是PC 的中点；③//BE 平面PFD .(2)若60DAB ∠=︒.求PB 与平面PDC 所成角的正弦值.【答案】(1)答案见解析(2)105【分析】（1）选①F 是AB 的中点，②E 是PC 的中点为已知条件，证明③//BE 平面PFD ；取PD 的中点M ，连接、ME FM ，可得四边形MEBF 是平行四边形，//BE MF ，由线面平行的判定定理可得//BE 平面PFD ；选②E 是PC 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件证明①F 是AB 的中点；取PD 的中点M ，连接、ME FM ，可得//ME FB ，再由线面平行的性质定理可得//BE MF ，所以四边形MEBF 是平行四边形，=BF ME ，由11=22ME CD =AB 可得答案；选①F 是AB 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明②E 是PC 的中点；取CD 的中点N ，连接、BN EN ，得四边形BFDN 是平行四边形，//BN DF ，由面面平行的判定定理可得平面//PDF 平面BEN ，再由面面平行的性质定理可得答案.（2）取AD 的中点O ，连接AO BO 、，可得AO BO ⊥，由平面PAD ⊥平面ABCD ，可得PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA OB OP 、、所在的直线为x y z 、、轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面PDC 的法向量，由线面角的向量求法可得答案.【详解】（1）选①F 是AB 的中点，②E 是PC 的中点为已知条件，证明③//BE 平面PFD ，取PD 的中点M ，连接、ME FM ，所以1//=2ME CD,ME CD ，1//=2FB CD,FB CD ，//,=ME FB ME FB ，所以四边形MEBF 是平行四边形，//BE MF ，因为BE ⊄平面PDF ，MF ⊂平面PDF ，所以//BE 平面PFD .选②E 是PC 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明①F 是AB 的中点，取PD 的中点M ，连接、ME FM ，所以1//=2ME CD,ME CD ，因为//FB CD ，所以//ME FB ，即平面MEBF I 平面=PDF FM ，因为//BE 平面PFD ，所以//BE MF ，所以四边形MEBF 是平行四边形，=BF ME ，因为11=22ME CD =AB ，所以12BF AB =即F 是AB 的中点.选①F 是AB 的中点，③//BE 平面PFD 为已知条件，证明②E 是PC 的中点，取CD 的中点N ，连接、BN EN ，所以//=DN FB,DN FB ，四边形BFDN 是平行四边形，//BN DF ，因为BN ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，所以//BN 平面PFD ，因为//BE 平面PFD ，=BN BE B I ，所以平面//PDF 平面BEN ，EN ⊂平面BNE ，所以//EN 平面PDF ，平面PDC 平面=PDF DP ，所以//EN PD ，因为N 是CD 的中点，所以E 是PC 的中点.（2）取AD 的中点O ，连接AO BO 、，因为底面ABCD 为菱形，60DAB ∠= ，所以AO BO ⊥，PAD 是边长为2的等边三角形，所以PO AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，分别以OA OB OP 、、所在的直线为x y z 、、轴的正方向建立空间直角坐标系，所以()0,0,3P ，()1,0,0D -，()2,3,0-C ，()0,3,0B ，()1,0,3=-- PD ，()2,3,3=-- PC ，()0,3,3=- PB ，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，所以00⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ PD n PC n ，即302330⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩x z x y z ，令3z =，则3,3=-=-x y ，所以()3,3,3=-- n ，设PB 与平面PDC 所成角的为α，所以610sin cos ,533393α⋅====+⋅++⋅ PB n PB n PB n .所以PB 与平面PDC 所成角的正弦值为105.20．2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：方案一：共投9次，每次投中得1分，否则得0分，累计所得分数记为Y ；方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3分，否则得0分，三轮累计所得分数记为X ．累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每次投篮的命中率为(01)p p <<，每次投篮互不影响．(1)若12p =，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3分的概率；(2)以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个方案？【答案】(1)12；(2)答案见解析.【分析】（1）根据给定条件，将甲得3分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事件的概率公式计算即可.（2）求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.【详解】（1）12p =，甲选择方案二，甲得3分的事件是3次投篮，前两球投进与最后一次才投进第2球的事件和，所以()221111322222P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以第一轮投篮结束时，甲得3分的概率为12.（2）选方案一，则(9,)Y B p :，选方案一得分的数学期望为9EY p =，选方案二，每一轮得分只有0和3，能得3分的概率为222302(1)32p p p p p p =-+=-，进行三轮投篮，得3分的次数ξ为随机变量，则0(3,)B p ξ ，03E p ξ=，进行三轮总得分3X ξ=，则选择方案二得分的期望为230399(32)EX E p p p ξ===-，显然2399(32)9(1)(21)EY EX p p p p p p -=--=--，当12p =，0EY EX -=，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；当112p <<，EY EX <，方案二期望大，所以甲应该选方案二；当102p <<，EY EX >，方案一期望大，所以甲应该选方案一．21．已知三棱锥-P ABC （如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 为边长等于2的正方形，ABE 和BCF 均为正三角形，在三棱锥-P ABC 中：图一图二(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)53333【分析】（1）设AC 的中点为O ，连接,BO PO ，证明PO ⊥平面ABC ，从而可证明结论.（2）先证明BO ⊥平面PAC ，得到BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，进一步得到M 是PA 的中点时，BMO ∠最大，然后以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）设AC 的中点为O ，连接,BO PO ，由题意，得2PA PB PC ===，1PO =，1AO BO CO ===.因为在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，因为在POB 中，1PO =，1OB =，2PB =，则222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，因为AC OB O = ，,AC OB ⊂平面ABC ，所以PO ⊥平面ABC ，因为PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC.（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，且OP AC O ⋂=，则BO ⊥平面PAC ，连接,OM BM ,所以BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1tan BO BMO OM OM∠==，所以当OM 最短时，即OM PA ⊥时，BMO ∠最大.由四边形ABCD 为边长等于2的正方形，则PAC △为等腰直角三角形，即PO OA=所以即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大.由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，所以PO OB ⊥，PO OC ⊥，于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)B ，(1,0,0)A -，(0,0,1)P ，11(,0,)22M -，所以(1,1,0)BC =- ，(1,0,1)PC =- ，31(,0,)22MC =-uuu r .设平面MBC 的法向量为111(,,)m x y z = ，则由00m BC m MC ⎧⋅=⎨⋅=⎩得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩.令11x =，得11y =，13z =，即(1,1,3)m = .设平面PBC 的法向量为222(,,)n x y z = ，由00n BC n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得：222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，令21x =，得21y =，21z =，即(1,1,1)n = .5533cos ,3333||||m n n m m n ⋅<>===⋅u r r r u r u r r .由图可知，二面角P BC M --的余弦值为53333.22．已知函数()ln f x x x =+，()e x a g x x +=+()R a ∈，其中e 为自然对数的底数．(1)求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(2)当2a =-时，有2815,26()9,6x x x x x x τ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，求证：对[)2,x ∀∈+∞，有()()g x x τ≥；(3)若12()()f x g x a -=，且121x x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】(1)21y x =-；(2)证明见解析；(3)[1,)-+∞.【分析】（1）根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求出切线方程；（2）利用导数求出min ()g x ，根据二次函数和一次函数的性质求出max ()x τ，即可求解；（3）根据题意可得12ln 12ln e e x x a x x a ++=++，设()e x h x x =+，则()()12ln h x h x a =+，利用导数研究函数()h x 的单调性可得1222ln ln a x x x x =-≥-，令()ln x x x ϕ=-(0x >)，再次利用导数研究函数的性质，求出()max x ϕ即可.【详解】（1）因为()ln f x x x =+，所以点(1,(1))f 即为点(1,1)1()1f x x'=+，(1)2k f '==切线，故切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-；（2）因为当2a =-时，2()e x g x x -=+，2()1e 0x g x -'=+>，故()g x 在[2,)+∞上单调递增，所以min ()(2)3g x g ==，当26x ≤<时，22()815(4)1x x x x τ=-+=--，此时max ()(2)3x ττ==；当6x ≥时，()9x x τ=-在[6,)+∞上单调递减，此时max ()(6)3x ττ==，故max ()3x τ=，所以()()g x x τ≥成立；（3）由题意得：1>0x ，又因为121x x ≥，所以20x >，又12()()f x g x a -=，即2112ln (e )x a x x x a ++-+=，即2112ln ex a x x x a ++=++，所以12ln 12ln e e x x a x x a ++=++①设()e x h x x =+，则①式变形为()()12ln h x h x a =+()1e 0x h x '=+>，所以()e x h x x =+单调递增，所以12ln x x a =+，因为121x x ≥，所以1222ln ln a x x x x =-≥-，令()ln x x x ϕ=-，0x >，则()111x x x xϕ-'=-=，当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，当()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'<，则函数()x ϕ在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()ln x x x ϕ=-在1x =处取得极大值，也是最大值，有()()1ln111x ϕϕ≤=-=-，故[1,)a ∈-+∞．即实数a 的取值范围为[1,)-+∞.【点睛】破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.。

洛社高中高二数学（理）5月月考试卷试卷总分：160分；考试时间：120分钟一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分）1.若255C C x =，则=x . 2.已知复数2)2(i z -=，则复数z 的实部等于 .3.62)2(x x +的展开式中，常数项的值等于 . 4.现有内科医生4名，外科医生5名，要派3名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 种选法(用数字作答)．5.若函数xe x y 2⋅=，则此函数的导数='y .6.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121x M 的一个特征值为1-，则其另一个特征值为 . 7.观察下列式子：211=，23432=++，2576543=++++， ，2710987654=++++++， 可以得出的一般结论是 .8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率为 .9.若)()21(2014201422102014R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则20142014221222a a a +++ 的值等于 .10.已知二阶矩阵M 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110101M M ，，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112M . 11.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)(x f '.如果存在],[0b a x ∈，使得))(()()(0a b x f a f b f -'=-成立，则称0x 为函数)(x f y =的“中值点”.那么函数232)(x x x f +=在区间]2,2[-上的“中值点”为 .12.随机变量X 的概率分布列为)1()(+==n n an X P ，(1,2,3,4n =) 其中a 为常数，则)2521(<<X P 的值为 .2014.5.25班级：高二（ ） 姓名： ；学号： . ---------------------------密封线----------------------------------------------------------------------------------------------------------密封线-----------------------------13.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 .14.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),1(m A 作函数)(x f y =的切线有且仅有一条，则实数m 的取值范围是 .二、解答题（共6题，共计90分）15.(本题满分14分)关于x 的方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b x =. (1)求实数b a ，的值．(2)若复数i z +=121，复数z 满足1z bi a z =--，求复数z 的模z 的最小值．16. (本题满分14分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数)(r V ，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)(r V 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大．17. (本题满分15分)已知)(1154*N n n a n n ∈-+=. (1)计算321a a a ，，；猜想是否存在最大的正整数m ，使得n a 能被m 整除；(2)运用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.18. (本题满分15分)已知矩阵)0(10≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k a A 的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1k ，矩阵A 的逆矩阵1-A 对应的变换将点)13(，变为点)11(，． (1)求实数k a ，的值；(2)求直线012=++y x 在矩阵A 的对应变换下得到的图形方程.19. (本题满分16分)学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投班级：高二（ ） 姓名： ；学号： .---------------------------密封线----------------------------------------------------------------------------------------------------------密封线-----------------------------中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是31；小强每次投篮投中的概率都是)10(<<p p . (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；(3)小强投篮4次，投中的次数为X ，若期望1)(=X E ，求p 和X 的方差)(X V .20．(本题满分16分)已知函数()2a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，（e为自然对数的底数）都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围．洛社高中高二数学（理）5月月考试卷参考答案一、填空题（共14小题，每小题5分，共计70分）1.若255C C x =，则=x 2或3 .2.已知复数2)2(i z -=，则复数z 的实部等于 3 .3.62)2(x x +的展开式中，常数项的值等于 240 . 4.现有内科医生4名，外科医生5名，要派3名医生参加赈灾医疗队，如果要求内科医生和外科医生中都有人参加，则有 70 种选法(用数字作答)．5.若函数xe x y 2⋅=，则此函数的导数='y (2x+1)e2x .6.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121x M 的一个特征值为1-，则其另一个特征值为 3 . 7.观察下列式子：211=，23432=++，2576543=++++， ，2710987654=++++++， 可以得出的一般结论是 n+(n+1)+(n+2)……+(3n-2)=(2n-1)2 .8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率为 54.9.若)()21(2014201422102014R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则20142014221222a a a +++ 的值等于 -1 .10.已知二阶矩阵M 满足⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22110101M M ，，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-112M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--42 .11.记定义在R 上的函数)(x f y =的导函数为)(x f '.如果存在],[0b a x ∈，使得))(()()(0a b x f a f b f -'=-成立，则称0x 为函数)(x f y =的“中值点”.那么函数232)(x x x f +=在区间]2,2[-上的“中值点”为 232-或 .12.随机变量X 的概率分布列为)1()(+==n n an X P ，(1,2,3,4n =) 其中a 为常数，则2014.5.25)2521(<<X P 的值为 65 .13.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是 108 .14.已知函数x x x f 3)(3-=，若过点),1(m A 作曲线)(x f y =的切线有且仅有一条，则实数m 的取值范围是 m<-3或m>-2 .二、解答题（共6题，共计90分）15.(本题满分14分)关于x 的方程)(09)6(2R a ai x i x ∈=+++-有实根b x =. (1)求实数b a ，的值．(2)若复数i z +=121，复数z 满足1z bi a z =--，求复数z 的模z 的最小值．解析：（1）将b x =带入方程，得到0)()96(2=-++-i b a b b ……………………2分 所以有⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-=+-3300962a b b a b b …………………6分 （2）设复数),(R y x yi x z ∈+=，2121=+=i z ………………8分则：2)3()3(2)3()3(22221=-+-⇒=-+-⇒=--y x y x z bi a z …10分所以复数z 对应的点在以)3,3(为圆心，2为半径的圆上 ………12分z表示圆上的点到原点的距离，所以22223min =-=zz∴的最小值为22. ………14分16. (本题满分14分) 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为π12000元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数)(r V ，并求该函数的定义域；(2)讨论函数)(r V 的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为rh rh ππ2002100=⋅元，底面的总成本为2160r π元，所以蓄水池的总成本为)160200(2r rh ππ+ 元． …2分 又据题意πππ120001602002=+r rh ， ………………………3分 所以r r h 543002-=，从而)4300(5)(32r r h r r V -==ππ． ………5分因为0>r ，由0543002>-=r r h 可得35<r ，故函数)(r V 的定义域为)35,0(． (6)分(2)因为)12300(5)()4300(5)(23r x V r r r V -='⇒-=ππ…………………8分令550)(21-==⇒='r r x V ，（因为-5不在定义域内，所以舍去） ……………10分当)5,0(∈r 时，0)(>'r V ，所以)(r V 在)5,0(上为单调增函数当)35,5(∈r 时，0)(<'r V ，所以)(r V 在)35,5(上为单调减函数．……………12分由此可知，)(r V 在5=r 处取得最大值，此时825100300543002=-=-=r r h .所以当85==h r ，时，该蓄水池的体积最大． …………………14分17. (本题满分15分)已知)(1154*N n n a n n∈-+=.(1)计算321a a a ，，；猜想是否存在最大的正整数m ，使得n a 能被m 整除；(2)运用数学归纳法证明(1)中猜想的结论. 解析：（1）计算12910859452918321⨯==⨯==⨯==a a a ，，； ………3分因为3个数的最大公约数为9，猜想存在最大的正整数9=m ，能使得)(1154*N n n a n n ∈-+=能被m 整除. ……6分 （2）数学归纳法证明：1、当1=n 时，29181⨯==a ，能被9整除，结论成立； ……7分2、假设)(*N k k n ∈=时结论成立，即1154-+k k能被9整除 ……9分则当1+=k n 时，1)1(15411-++=++k a k k 变形1845)1154(41415441+--+=++⋅=+k k k a kk k)52(9)1154(41k k a k k -+-+=∴+ ……11分因为由假设结论可知1154-+k k能被9整除，又因为)52(9k -也能被9整除 (12)分所以1)1(15411-++=++k a k k 也能被9整除所以则当1+=k n 时，结论成立 ……………………………14分 由(1)(2)可知，对任意*N n ∈，都有n a 能被9整除成立. ……………………15分18. (本题满分15分)已知矩阵)0(10≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡=k k a A 的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1k α，矩阵A 的逆矩阵1-A 对应的变换将点)13(，变为点)11(，． (1)求实数k a ，的值；(2)求直线012=++y x 在矩阵A 的对应变换下得到的图形方程.解析：（1）设特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1对应的特征值为λ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a k 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ k －1＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －1，即⎩⎨⎧ak －k ＝λk ， λ＝1.因为k ≠0，所以a ＝2． …………4分因为A －1⎣⎡⎦⎤31＝⎣⎡⎦⎤11，所以A ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，即 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 k 0 1 ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤31，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． ………………8分 （2）直线012=++y x 任取一点),(00y x P ，在A 的对应变换下得到的点),(11y x Q则有：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡110000021012y x yy x y x ………………10分 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+=101100100122y y y x x y y y x x ………………12分 因为02301220121111100=++⇒=++-⇒=++y x y y x y x ……………14分所以得到的图形方程为023=++y x . ………………15分 19. (本题满分16分)学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的.已知小明每次投篮投中的概率都是31；小强每次投篮投中的概率都是)10(<<p p . (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分ξ的分布列和期望；(3)小强投篮4次，投中的次数为X ，若期望1)(=X E ，求p 和X 的方差)(X V . 解析：（1）设“小明在投篮过程中直到第三次才投中”为事件A ………1分 事件A 说明小明前两次未投中，第三次投中所以27431)311()(2=⋅-=A P ………3分 答：小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为274………4分（2）小明在4次投篮后总得分ξ的可能取值为0，2，4，6，8. ………5分；；813231)311()2(8116)311()0(3144=⋅-===-==C P P ξξ ；；818)31()311()6(2788124)31()311()4(3342224=⋅-====⋅-==C P C P ξξ；811)31()8(4===ξP ………10分 所以总得分ξ的分布列为：ξ0 2 4 6 8P81168132278 818 811所以38812168118818627848132281160)(==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=ξE ………12分 （3）因为随机变量X ～),4(p B ，所以4114)(=⇒==p p X E ； ………14分所以随机变量X 的方差43)411(414)1()(=-⋅⋅=-=p np X V . ………16分20．(本题满分16分)已知函数()2a f x x x =+，()ln g x x x =+，其中0a >． (1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；(2)若对任意的[]12,1x x e ∈，(e为自然对数的底数)都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围．解析：(1)解：∵()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴()2212a h x x x '=-+． ……………………2分 ∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=． ………………4分∵0a >，∴a = ……………5分经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a = ……………6分 (2)解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． ……………7分当x ∈［1，e ］时，()110g x x '=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦． ……………9分∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x =+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a ≥又01a <<，∴a 不合题意． ……………11分11 ②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x =+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数． ∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又因为1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ……………13分 ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e +≥1e +，得a又a e >，∴a e >． ……………15分综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． ……………16分。

陕西省西安市西咸新区2022-2023学年高二下学期5月月考理科数学试题（时间：100分钟满分：100分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（共12小题，每题3分，共36分）1．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于（）A ．1B ．12C．12-D．12．已知363434C C xx -=，则x =（）A ．3或10B ．3C ．17D ．3或173．如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可构成线路的条数为（）A ．8条B ．6条C ．5条D .3条4．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（）种排法？A ．12B ．36C ．24D ．725．200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）A ．C 32197·C 23B ．C 33C 2197＋C 23C 3197C ．C 5200－C 5197D ．C 5200－C 13C 4197X1-01P1212q-2q6．6211(1)x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中3x 的系数为（）A ．25B ．20C ．14D ．287．在622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第四项为（）A ．160B ．160-C ．3160x D ．3160x -8．把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（）A ．10种B ．24种C ．36种D ．60种9．将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（）A ．720种B ．420种C ．120种D ．15种10．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（）A ．96B ．160C ．180D ．6011．已知()727012752x a a x a x a x -=++++ ，则0127a a a a ++++= （）A ．128B ．2187C ．78125D ．82354312．下列等式不正确的是（）A ．111m mn n m C C n ++=+B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11m m n n A nA --=D ．()11k k kn n nnC k C kC +=++二、填空题（共4小题，每题4分，共16分）13．二项式841⎫⎝的展开式中含x 项的系数为__________．14．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，设取得的次品数为X ，则(1)P X <=________．15．4张卡片的正、反面分别写有数字1，2；1，3；4，5；6，7．将这4张卡片排成一排，可构成不同的四位数的个数为______16．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的33⨯的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有_____种排法。

山西省太原市第五十六中学2020-2021学年高二数学下学期5月月考试题 理考试时间 90分钟 分值 100分一、选择题：（共12小题，每小题3分，总分36分）1．从甲地到乙地一天有汽车8班，火车3班，轮船2班，某人从甲地到乙地，他共有不同的走法数为( )A ．13种B ．16种C ．24种D ．48种 2．甲、乙两人从4门课程中各选修1门，则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( )A ．6种B ．12种C ．30种D ．36种 3.下列各式中与排列数相等的是( D ) A ． B ．n (n －1)(n －2)…(n －m )C ．4.2017年的3月25日，中国国家队在2018俄罗斯世界杯亚洲区预选赛12强战小组赛中，在长沙以1比0力克韩国国家队，赛后有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( ) A ． 34种B ． 48种C ． 96种D ． 144种5.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ． 3×3!B ． 3×(3！)3C ． (3！)4D ． 9!6．12233101010101010190C 90C 90C 90C -+-++除以88的余数是（ ）A ．2B ．1C ．86D ．877．若)10210012102x a a x a x a x =+++，则()20210a a a +++-()2139a a a +++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-8．在()()10311x x -+的展开式中5x 的系数是（ ） A ．297-B ．252-C ．297D ．2079．函数21)(--=x x x f 的定义域为（ ） A ．[1，2)∪(2，+∞） B ．(1，+∞） C ．[1，2) D ．[1，+∞)10．函数f (x )= 2(1)xx x ⎧⎨+⎩,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）A. 1 B .2 C. 3 D.411．下列说法错误的是（ ）A.42y x x =+是偶函数 B. 偶函数的图象关于y 轴成轴对称 C. 32y x x =+是奇函数 D. 奇函数的图象关于原点成中心对称12．函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时，1)(+-=x x f ，则当0<x 时，()f x 的表达式为 （ ）A ．1+-xB ．1--xC ．1+xD ． 1-x二、填空题（共4小题，每小题3分，总分12分）13．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的取法有___350___种．14．有8本不相同的书，其中数学书3本，外文书2本，其它书3本，若将这些书排列放在书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有_1440_______种(用数字作答)．15.已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为___-2/3_____．16.已知集合A ＝{x |x <}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______三解答题（共5小题总分52分）17（10分）已知集合A={x|a ≤x ≤a+3}，B={x|x<-1或x>5}．(1) 若A∩B＝Φ，求a 的取值范围； (2) 若A∪B＝B ，求a 的取值范围．17．（10分）（1）解不等式：32213A 2A 6A x x x +≤+；（2）解方程：4321A 140A x x +=． 20．（12分）已知(31)nx -的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中：（1）所有二项式系数之和； （2）二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项．18．（10分）在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？21（10分）定义在R 上的函数)(x f ，对任意的R y x ∈,，有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f 。

2014年春黄冈市普通高中二年级5月月考数 学 试 题 （理科）（时间 分钟，满分150分）一、选择题(共10小题，每小题5分,共50分)1．设连续函数0)(>x f ，则当b a <时，定积分⎰ba dxx f )(的符号 ( )A 、一定是正的B 、一定是负的C 、当b a <<0时是正的，当0<<b a 时是负的D 、以上结论都不对 2． ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=，则()f x 与()g x 满足（ ） Ａ．()()f x g x =Ｂ．()()f x g x - 为常数函数Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数3. 一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2,则速度为零的时刻是 （ ）A. 4s 末B. 8s 末C. 0s 与8s 末D. 0s ,4s ,8s 末 4.若20(23)0k x x dx -=⎰，则k=( )A. 1B.0C.0或1D.以上都不对 5.设y=x-lnx ，则此函数在区间(0,1)内为（ ）A ．单调递增 B. 有增有减 C.单调递减 D.不确定6. 已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )A.31+cos1B. 31sin1+cos1C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos17. 若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D.1(,]3-∞8. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做 的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J9. 给出以下命题：⑴若()0b af x dx >⎰，则f (x )>0； ⑵20sin 4xdx =⎰π;⑶f (x )的原函数为F (x )，且F (x )是以T 为周期的函数，则()()a a T Tf x dx f x dx+=⎰⎰；其中正确命题的个数为…（ ）A . 1 B. 2 C.3 D.010．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为（ ）A ． 1n B ．11n + C ．1n n + D ．1二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分) 11. 若f(x)=ax 3＋x ＋1有极值的充要条件是______ 12．已知)(x f 为一次函数，且1()2()f x x f t dt=+⎰，则)(x f =13. 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为14. 若xe xf 1)(-=，则0(12)(1)limt f t f t →--=___.15. 设函数3()35f x x x =-+，若关于x 的方程()f x a =至少有两个不同实根， 则a 的取值范围是三、解答题（共6小题，75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．（本小题满分12分）设函数()e e x xf x -=-．（1）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（2）若对所有0x ≥都有 f(x 2-１)<f(1)，求x 的取值范围．17.（本小题满分12分）已知曲线f (x ) = a x 2 ＋2在x=1处的切线与2x-y+1=0平行 （1）求f (x )的解析式 （2）求由曲线y=f (x ) 与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积。

高二数学月考试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数x x x f 2)(2+-=，函数)(x f 从2到x ∆+2的平均变化率为A ．x ∆-2B ．x ∆+2C ．x ∆--2D ．x x ∆-∆2)(2 2．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度为A ．3B ．0C ．2-D ．t 23- 3．函数)(x f 的图象如图所示，下列数值排序正确的是A ．)2()3()3(')2('0f f f f -<<<B ．)2(')2()3()3('0f f f f <-<<C ．)2()3()2(')3('0f f f f -<<<D ．)3(')2(')2()3(0f f f f <<-<4．若函数)1('2)(2xf x x f +=，则)0('f 等于 A ． 0 B ．2 C ．2- D ．4-5．若函数b bx x x f 33)(3+-=在)1,0(内有极小值，则A ．10<<bB ．1<bC ．0>bD ．21<b 6．函数51232)(23+--=x x x x f 在]3,0[上的最大值和最小值分别是A ．15,4--B ．4,5-C ．15,5-D ．16,5-7．设函数)(x f 在],[b a 上是连续函数，下列说法成立的个数是①⎰⎰+=+b a b a dx x f dx x f 1)(2]1)(2[ ② ⎰⎰=b a ba dx x f dx x f 22])([)]([ ③ 若⎰>ba dx x f 0)(，则)(x f 在],[b a 上恒正④ 若)(x f 在],[b a 上恒正，则⎰>ba dx x f 0)(A ．0B ．1C ．2D ．38．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，其导函数 )('x f 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是 A ．),1[+∞- B ．),1(+∞- C ．)1,(--∞ D ．]1,(--∞10．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离为A ．0B ．52C ．53D ．512．若函数x x x f sin )(=，且1021<<<x x ，设11sin x x a =，22sin x x b =，则a ，b 的大 小关系是A ．b a =B ．b a <C ．b a >D ．不能确定。

广东省广州市执信中学2022-2023学年高二下学期5月月
考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．某质量指标的测量结果服从正态分布()2
80,
N s，则在一次测量中（）A．该质量指标大于80的概率为0.5
B．s越大，该质量指标落在()
70,90的概率越大
C．该质量指标小于60与大于100的概率相等
因为BNË平面PAD，ADÌ平面PAD，
所以//
BN平面PAD，
因为M，N分别为,
PC CD的中点，
所以//
MN PD，
因为MNË平面PAD，PDÌ平面PAD，
所以//
MN平面PAD，
又因为,
Ç=，
BN MNÌ平面BMN，BN MN N
所以平面PAD//平面BMN，
因为BMÌ平面BMN，
所以//
BM平面PAD
（2）取AD中点O，作//
OQ AB交BC于Q，连接PO，
因为PA PD
=，所以OP OA
^，
因为CD^平面PAD，,
OP OAÌ平面PAD，
所以,
⊥⊥，
CD OP CD OA
因为////
OQ AB CD，
所以,
⊥⊥，
OQ OA OQ OP
以O为坐标原点，{}
-，
,,
OA OQ OP为正交基底建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz。

从化中学2013--2014学年度第二学期5月考试高二级理科数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，答卷共4页，总共8页. 满分150分，考试用时120分钟.第一部分 选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分）1．复数iiz -+=23的虚部为（ ） A ． i B ．1- C ．1 D ． i -2. 已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为3．412x x-()的展开式中常数项为 A ．12 B ．12-C ．32D ．32-4．若数列{}n a 的前n 项由流程图（如图）的输出依次 给出，则数列的通项公式n a =（ ）A 、1(1)2n n -B 、1(1)2n n +C 、1n -D 、n5．已知()f x =，若1230x x x <<<，则312123()()()f x f x f x x x x 、、的大小关系是（ ） A 、312123()()()f x f x f x x x x <<B 、312132()()()f x f x f x x x x << C 、321321()()()f x f x f x x x x <<D 、321231()()()f x f x f x x x x <<6. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D. 20个7．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 分别是其左右焦点，点P 在椭圆上，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨ >⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ． 10．曲线0,x =x y sin =与直线,04x y π==所围成的封闭图形的面积为____________．11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的 体积为 .12.21==，与的夹角为3π， 那么a b a b +⋅-=13. 设函数1(), 0()2(), 0xx f x g x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩ ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 .14. 设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i ai =，P 是该四边形内任意一俯视图正视图左视图(第10题图)点， P 点到第i 条边的距离记为i h ，若31241234a a a a k ====，则412()i i Sih k ==∑．类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为i H ，相应的正确命题是 ；三、解答题（共80分，要求写出详细解答过程或证明过程）15.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．16. （本小题满分12分）已知函数23()cos 3sin 2f x x x x =-+． （Ⅰ） 求函数)(x f 的最小正周期（Ⅱ）已知A B C ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．图5 (2)17．（本小题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．18.已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥，令11n n n b a a +=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）19．（本题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；第17题图20.(本题满分14分) 已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，．(Ⅰ)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；(Ⅲ)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．2013-2014学年高二下学期5月考试 数学（理）试题 （参考答案）一、选择题： 1C 2 A 3 C 4B 5C 6 C 7 B 8C 二、填空题：9. ),2(+∞10.12-11.73π13.4-14. 若31241234S S S S K ====，则413()i i V iH K ==∑ 三、解答题：15解：（1）根据题意，有39151860,182.39153x y yx +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+ 解得9,6.x y =⎧⎨=⎩…………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示． ………4分 （2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人． …………………6分故ξ的可能取值为0，1，2，3；)03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．…………………………10分所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………12分 16. 解：（Ⅰ）=)(x f 32cos 22x x +)3x π=+…4分则所以f(x ）的最小正周期为π， ……………6分． （Ⅱ） 因为0)(=A f )03A π+=，解得3π=A 或π65=A ，又b a <，故3π=A ………………8分 由B b A a sin sin =，得1sin =B ,则2π=B ,6π=C , …………10分 所以23sin 21==C ab S . …………………………………12分17．（本小题满分14分）解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．）法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3AD D B =BC =得，3DB =，4AB =，BC =∴2BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴P A ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即C⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，----------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴P A ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴PB =2PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，tan 2CD DEC DE ∠===，∴cos 5DEC ∠=C PB A --的余弦值为5．------14分法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别 为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． ----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD =， ∴(0,0,0)D，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =-，(CD =， 由CD ⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为(CD =． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，即30330y y z -=-=⎪⎩，令1y=，则x =1z =， ∴,1)=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则cos 5||5CD CD θ⋅===-⋅n |n |-----------------13∴二面角C PB A --的余弦值为5．-----------------14分18. 解：（1）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥-------2分∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+-------3分()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+≥----5分检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+． -------7分（2）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ -------10分 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦---------12分1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ---------14分19．（本题满分14分）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=． …………………………………6分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+， ………………………………………7分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩……………………………………………8分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+． ……………………………10分 同理可得，21244k x k +=-． …………………………………………………12分所以121x x ⋅=． ……………………………………………………………14分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+． ……………………………………………7分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++． ……………8分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-． …………………………………10分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++． …………………………12分 所以121x x ⋅=． ……………………………………………………14分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++， ……………6分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………8分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++． ……………………………………10分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=． ……………………………………………14分20.(本题满分14分) 解: （Ⅰ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++由题意知'(2)0f =，代入得94a =，经检验，符合题意。

江苏省扬州市高级中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知随机变量，若，则的值为( )A. 0.1B. 0.3C. 0.6D. 0.4参考答案：D【分析】根据题意随机变量可知其正态分布曲线的对称轴，再根据正态分布曲线的对称性求解，即可得出答案。

【详解】根据正态分布可知，故．故答案选D。

【点睛】本题主要考查了根据正态分布曲线的性质求指定区间的概率。

2. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如下表：个零件所需要的加工时间约为（）A．94分钟 B．102分钟 C．84分钟 D．112分钟参考答案：B3. 在△ABC中，，分别是角A，B，C所对的边．若A＝，＝1，的面积为，则的值为( )A．1 B．2 C.D.参考答案：D略4. 已知，若g(x)存在两个零点，则m的取值范围是A. [－1,+∞)B. [－1,0)C. [0,+∞)D. [1,+∞)参考答案：A5. 古诗云：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？（）A．2 B．4 C．3 D．5参考答案：C【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．利用求和公式即可得出．【解答】解：设尖头a1盏灯，每层灯数由上到下形成等比数列{a n}，公比q=2．∴=381，解得a1=3．故选：C．6. 若，则下列不等式中，正确的不等式有 ( )①②③④A.1个B.2个C. 3个D.4个参考答案：B略7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A. 61.5万元B. 62.5万元C. 63.5万元D. 65.0万元参考答案：C【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。