2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期1.2、矩形的性质与判定同步练习25

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。

3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。

4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。

5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

7、 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。

8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

题4图 题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 。

10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）A.B. C. D.题15图 题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（ ）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．同位角相等C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形D．矩形的对角线相等且互相平分2．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）A．B．8C．D．3．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF ＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，AE交BC于E．则下列的结论：①△OBE是等腰三角形；②BE＝2OE；③∠AEO＝30°；④S△ABE＝3S△OEC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14B．20C．28D．306．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（）A．B．1C．2D．37．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°．如果△ABC的周长比△AOB的周长大10，那么矩形ABCD的边AB的长是（）A．5B．10C．10D．209．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC 于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（）A．43°B．34°C．33°D．19°10．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．6B．C．5D．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．412．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形二．填空题13．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为．14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（5，0），（0，3），点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为．16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．18．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．三．解答题19．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．参考答案一．选择题1．B2．D．3．A．4．B．5．C．6．B．7．A．8．C．9．C．10．D．11．D．12．C．二．填空题13．0.3125cm2．14．4b﹣2a．15．（，3）或（4，3）或（1，3）．16．4或5或6或16．17．．18．36．三．解答题19．（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠FBC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，AE＝CF，又∵AB＝CD，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴平行四边形ABCD是矩形．20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得：。

矩形的性质与判定第2课时矩形的判定一、教材题目：P16，T1-T31．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE.(1)试判断四边形ABEC的形状；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？(第1题)2．如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．(第2题)问题解决3．如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍．(第3题)二、补充题目：部分题目来源于《点拨》1．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( )A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直平分C ．对角线互相平分且相等D ．对角线相等3．〈湖南常德〉如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A .32B ．3C ．1D .43(第3题)9．已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)试说明：△BOE ≌△DOF.(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由． (第9题)14．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，M ，N 分别为BC ，AO 的中点．求证：MN 垂直平分DE.(第14题)答案教材1．解：(1)∵AD 是BC 边上的中线，∴BD＝CD.又∵DE＝AD ，∠ADB＝∠EDC，∠ADC＝∠EDB，∴△ABD≌△ECD，△ADC≌△EDB.∴AB＝CE ，BE ＝AC.∴四边形ABEC 是平行四边形．(2)当∠BAC＝90°时，四边形ABEC 是矩形．2．解：四边形ACBD 是矩形．证明：∵BC 平分∠ABM，BD 平分∠ABN，∴∠ABC＝∠CBM＝12∠ABM，∠ABD＝∠DBN＝12∠ABN.∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝12∠ABM＋12∠A BN ＝12(∠ABM＋∠ABN)＝90°. ∵CD∥MN，∴∠DCB＝∠CBM，∠CDB＝∠DBN.∴∠DCB＝∠ABC，∠CDB＝∠ABD.∴CO＝BO ，BO ＝DO.∴DO＝CO.∵O 为AB 中点，∴AO＝BO.又∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC.∴AD＝BC ，同理可得BD ＝AC ，∴四边形ACBD 是平行四边形．又∵∠CBD＝90°，∴四边形ACBD 是矩形．(第3题)3．解：如图，四边形EFGH 即为所作矩形，其中EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD.随堂练习证明：∵△ABD 和△CBD 都是等边三角形，M ，N 是BC 和AD 的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∠BDM＝12∠BDC，DM⊥BC，BN⊥AD.∴∠BDM＝30°，∠DMB＝∠DNB＝90°.∴∠NDM＝∠NDB ＋∠BDM＝90°.∴四边形BMDN 是矩形．.点拨1．C3．A 点拨：∵AB＝3，∴DC＝3.又∵AD＝4， ∴AC＝32＋42＝5.根据折叠可得△DEC≌△D′EC，∴CD′＝CD ＝3，ED ＝ED′.设ED ＝x ，则ED′＝x ，AD′＝AC －C D′＝2，AE ＝4－x.在Rt △AED′中，AD′2＋ED′2＝AE 2，即22＋x 2＝(4－x)2，解得：x ＝32.故选A . 9．解：(1)∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°.∵点O 是EF 的中点，∴OE＝OF.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.又∵OA＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵OA＝12BD ，OA ＝12AC ， ∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：连接EM ，DM ，EN ，DN.∵BD，CE 是△ABC 的两条高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDB＝∠AEC＝∠BEC＝90°.在Rt △ADO 中，N 为斜边AO 的中点，∴DN＝12AO. 在Rt △AEO 中，N 为斜边AO 的中点，∴EN＝12AO ，∴EN＝DN. ∴N 在DE 的垂直平分线上．在Rt △BCD 中，M 为斜边BC 的中点，∴DM＝12BC. 在Rt △BCE 中，M 为斜边BC 的中点，∴EM＝12BC ，∴DM＝EM ，∴M在DE的垂直平分线上，∴MN垂直平分DE.。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

优秀领先 飞翔梦想1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形y xPDCBAO二、解答题1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定同步测试一．选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等【解答】 B ∵矩形和菱形是平行四边形,∴C、D是二者都具有的性质,A是菱形具有的性质,对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质.故选B.2.下列说法错误的是( )A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形【解答】 DA.有一个内角是直角的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等,正确,故本选项不符合题意;C.对角线相等的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;D.有两个角是直角的四边形不一定是矩形,可以是直角梯形,故本选项符合题意.故选D.3．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，∴△AEB≌△GED．∴AE＝EG．设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．故选：C．4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6√3B.8C.6D.6√2AC=6.【解答】 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=12∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=√OC2-OE2=3√3.∴BC=2EC=6√3.故选A.5．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A ．1B ．C ．2D ．【解答】解：连接CE ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝8，OA ＝OC ， ∵EF ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝8﹣x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：x 2+62＝（8﹣x ）2， 解得：x ＝， 即DE ＝； 故选：B ．6.如图,矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB 的长为( )A.4B.4√3C.3D.5【解答】 A ∵四边形ABCD 是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD=4,AC=BD, ∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB=4.故选A.7.如图,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 四条边的中点,要使四边形EFGH 为矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是( )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分【解答】 C 要使四边形EFGH 是矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是对角线互相垂直.理由:连接AC 、BD,交于点O,由题意可得EF ∥AC,且EF=12AC,GH ∥AC,且GH=12AC, ∴EF ∥GH,且EF=GH,∴四边形EFGH 是平行四边形, ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH ∥BD,∵BD ⊥AC,EF ∥AC,∴EH ⊥EF,∴∠HEF=90°,∴平行四边形EFGH 为矩形.故选C. 8. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB=BEB ．DE ⊥DC C ．∠ADB=90°D ．CE ⊥DE 【答案】B ；【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．故选B．9. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm【答案】D；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.10. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C；【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.二．填空题11. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．【答案】EB=DC．【解析】添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点．若MN＝4，则AC的长为16 ．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝8．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.【解答】14解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,∴AO=OC=OD=OB,∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,即8OA+2AB+2BC=86厘米,∵矩形ABCD的周长是30厘米,∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.【答案】6；【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.15. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.【答案】；【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.16. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．【答案】30或10；【解析】∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∴∠DEA=∠BEA，∴∠EAB=∠BEA，∴AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，∵矩形ABCD的面积为36，∴x•4x=36，解得：x=3（负舍），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，∵矩形ABCD的面积为36，∴3x•4x=36，解得：x=（负舍），即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；故答案为：30或10三．解答题17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:(1)△ABF≌△DEC;(2)四边形BCEF是矩形.【解答】证明(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABF与△DEC中,{AF=DC,∠A=∠D,AB=DE,∴△ABF≌△DEC(SAS).(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.18．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED 是平行四边形， 又∠COD=90°，∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD 的面积为： AC •BD=×4×2=4． 故答案是：4．19.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.过点A 作AE ∥BD,交CB 的延长线于点E. (1)求证:AC=AE;(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC 的长.【解答】 (1)证明:在矩形ABCD 中,AC=BD,AD ∥BC, 又∵AE ∥BD,∴四边形AEBD 是平行四边形. ∴BD=AE,∴AC=AE.(2)∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴OB=OC,∴△OBC 是等边三角形,∴BC=OC=12AC=12AE=4.20．（2018•连云港）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.(1)证明:四边形OCED为菱形;(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.【解答】(1)证明:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE为平行四边形,又∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴四边形CODE为菱形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD=1AC,2又∵AC=4,∴OC=2,由(1)知,四边形CODE为菱形,∴四边形CODE的周长为4OC=4×2=8.22．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．。

第2课时矩形的判定1．甲、乙、丙、丁四名同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是( )A．甲量得窗框的两组对边分别相等B．乙量得窗框的两条对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等2．如图16，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．图163．如图17所示，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，对角线AC和BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是____________．图174．如图18，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件________，才能保证四边形EFGH是矩形．图185．2017·徐州如图19，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．图196．如图20，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．图207．如图21，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF，CE.求证：四边形AFCE是矩形．图218．已知：如图22，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图229．如图23，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从点A开始沿折线A→B→C →D以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，则当t为________时，四边形APQD为矩形．图2310．如图24，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图2411．如图25，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上两动点，分别从A ，C 两点以相同的速度1 cm/s 向点C ，A 运动．(1)当点E 与点F 不重合时，四边形DEBF 是不是平行四边形？请说明理由．(2)若AC ＝16 cm ，BD ＝12 cm ，点E ，F 在运动过程中，四边形DEBF 能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t 的值；如不能，请说明理由．图2512．如图26，在平面直角坐标系中，点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．图2613．如图27①，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a.(1)平移后的图形是矩形吗？为什么？(2)图②中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE ⊥BD于点E.求证：∠2＝∠1＋∠3.271．D.2．证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．3．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD等4．答案不唯一，如AC⊥BD5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.∵O为BC的中点，∴BO＝CO.在△BOE和△COD中，∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形．(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°.∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴CO＝OD.又∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．6．矩7．解：(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB.由(1)知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠FAE＝90°，∴AE∥CF.∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF.又∵AD ＝AE ，∴CF ＝AE ， ∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵∠FAE ＝90°，∴▱AFCE 是矩形． 8．证明：∵E 是OA 的中点，∴OE ＝12OA .同理OG ＝12OC .∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ， ∴OE ＝OG .同理OF ＝OH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC .同理FH ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴▱EFGH 是矩形． 9．410．解：(1)证明：如图，∵CE 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2.又∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO ＝OC . 同理，FO ＝OC ，∴EO ＝FO .(2)∵CF 平分∠BCA 的外角，∴∠4＝∠5. 又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝12×180°＝90°，∴△ECF 为直角三角形．在Rt △ECF 中，∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝10.∵EO ＝FO ＝OC ，∴OC ＝12EF ＝5.(3)当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 理由：∵EO ＝FO ，O 是AC 的中点， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°，∴▱AECF 是矩形．11．解：(1)当点E 与点F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 两动点分别从A ，C 两点以相同的速度向点C ，A 运动，∴AE ＝CF ，∴OE ＝OF ， ∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形． (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ， ∴OE ＝OF ＝6 cm.∵AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm. ∵动点的速度都是1 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s.故当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，四边形DEBF 为矩形．12．证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠BAC ＝∠ACD.又∵BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ＝4，∴m ＝6.∵点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴n ＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，∴AB ∥CD ∥x 轴．∵△AEB 的面积是2，∴▱ABCD 的面积是8.又∵CD ＝4，∴▱ABCD 的高是2，∴q ＝4－2＝2.把q ＝2代入直线y ＝12x ＋1得p ＝2，∴点D(2，2)，∴点C(6，2)，∴AD ∥BC ∥y 轴，∴四边形ABCD 是矩形．13．解：(1)平移后的图形是矩形．理由：∵平移后的图形是平行四边形，又这个平行四边形相邻的两边垂直，∴平移后的图形是矩形．(2)证明：∵AD∥BC，∴∠3＝∠GCB.∵∠1＋∠CDB＝90°，∠DBC＋∠CDB＝90°，∴∠1＝∠DBC.∵∠2＝∠DBC＋∠GCB，∴∠2＝∠1＋∠3.。

1.2 矩形的性质与判定——性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如下图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．5．矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．6．如上图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．83cm2 B．43cm2 C．23cm2 D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线B D折叠，顶点C落在点E 处，则∠ABE的度数是（）A．29°B．32°C．22°D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（）A．5 B．4 C． 23 D．712．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5c m，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．。