2017年秋季新版北师大版九年级数学上学期1.2、矩形的性质与判定同步练习25

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。

3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。

4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。

5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

7、 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。

8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

题4图 题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 。

10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）A.B. C. D.题15图 题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（ ）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．下列说法中，不正确的是（）A．四边相等的四边形是菱形B．同位角相等C．一组对边平行，另一组对角相等的四边形是平行四边形D．矩形的对角线相等且互相平分2．如图，点E与点F是矩形ABCD两条对边AD与BC的中点，分别过点D，B作对角线AC的垂线，垂足为点G，H，顺次连接E，H，F，G，得到四边形EHFG，若AB＝4，BC＝8，则四边形EHFG的面积是（）A．B．8C．D．3．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF ＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4B．3C．2D．14．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝120°，AE平分∠BAD，AE交BC于E．则下列的结论：①△OBE是等腰三角形；②BE＝2OE；③∠AEO＝30°；④S△ABE＝3S△OEC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在矩形ABCD中，对角线AC＝10cm，AB：BC＝4：3，则它的周长为（）cm．A．14B．20C．28D．306．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以BC为斜边在矩形所在平面作直角三角形BEC，F为CD的中点，则EF的最小值为（）A．B．1C．2D．37．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°8．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°．如果△ABC的周长比△AOB的周长大10，那么矩形ABCD的边AB的长是（）A．5B．10C．10D．209．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点E，∠ACB＝52°，AM平分∠BAC，交BC 于点M，过点B作BF⊥AM．垂足为点F，则∠DBF的度数为（）A．43°B．34°C．33°D．19°10．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．则线段EF的最小值为（）A．6B．C．5D．11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E为BC的中点，F为DE上一动点，P为AF 中点，连接PC，则PC的最小值是（）A．4B．8C．2D．412．下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．有两边及一角对应相等的两个三角形全等C．矩形的对角线相等D．平行四边形是轴对称图形二．填空题13．如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为．14．如图所示，长方形纸片上画有两个完全相同的灰色长方形，那么剩余白色长方形的周长为（用含a，b的式子表示）．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为（5，0），（0，3），点P在BC边上运动，当△OAP是等腰三角形时，点P的坐标为．16．如图，长方形ABCD中，AD＝20，AB＝8，点Q是BC的中点，点P在AD边上运动，当△BPQ是等腰三角形时，AP的长为．17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，则此时点A的横坐标为．18．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，若∠DAF＝18°，则∠DCF＝度．三．解答题19．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADB，交AB于E，A．BF平分∠CBD，交CD于点F．（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）当AD与BD满足什么数量关系时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．20．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，点P从点A出发，以每秒一个单位的速度沿A→B→C的方向运动；同时点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿B→C→D 的方向运动，当其中一点到达终点后两点都停止运动．设两点运动的时间为t秒．（1）当t＝时，两点停止运动；（2）当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？21．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥BC于E，延长CB到点F，使BF＝CE，连接AF，OF．（1）求证：四边形AFED是矩形．（2）若AD＝7，BE＝2，∠ABF＝45°，试求OF的长．22．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F＝45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若AB＝14，DE＝8，求BE的长．参考答案一．选择题1．B2．D．3．A．4．B．5．C．6．B．7．A．8．C．9．C．10．D．11．D．12．C．二．填空题13．0.3125cm2．14．4b﹣2a．15．（，3）或（4，3）或（1，3）．16．4或5或6或16．17．．18．36．三．解答题19．（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠A＝∠C，∴∠ADB＝∠CBD，∵DE平分∠ADB，BF平分∠CBD，∴∠ADE＝∠FBC，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA）；（2）解：AD＝BD，四边形DEBF是矩形．理由如下：∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，AE＝CF，又∵AB＝CD，∴BE＝DF，∴四边形DEBF是平行四边形，∵AD＝BD，DE平分∠ADB，∴DE⊥AB，∴平行四边形ABCD是矩形．20．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AB+BC＝BC+CD＝14，∵14÷2＝7，∴t＝7；故答案为：7；（2）由题意得：AP＝t，BQ＝2t，分情况讨论：当0＜t≤4时，若BP＝BQ，则6﹣t＝2t，∴t＝2；当4＜t≤6时，若PQ＝BQ，则PB＝2CQ，6﹣t＝2（2t﹣8），∴t＝；当6＜t＜7时，由题意可知不存在；综上所述，当t为2或时，△BPQ是等腰三角形．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BF＝CE，∴FE＝BC，∴四边形AFED是平行四边形，∵DE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴四边形AFED是矩形．（2）解：由（1）得：∠AFE＝90°，FE＝AD，∵AD＝7，BE＝2，∴FE＝7，∴FB＝FE﹣BE＝5，∴CE＝BF＝5，∴FC＝FE+CE＝7+5＝12，∵∠ABF＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝FB＝5，在Rt△AFC中，由勾股定理得：AC＝＝＝13，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∴OF＝AC＝．22．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF＝∠F．∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB＝∠DAE＝45°．∴∠DAB＝90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°．∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6．在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，∴∠DEA＝∠DAE＝45°．∴AD＝DE＝8．∴BC＝8．在Rt△BCE中，由勾股定理得：。

矩形的性质与判定第2课时矩形的判定一、教材题目：P16，T1-T31．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，CE.(1)试判断四边形ABEC的形状；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ABEC是矩形？(第1题)2．如图，点B在MN上，过AB的中点O作MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C，D.试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．(第2题)问题解决3．如图，已知菱形ABCD，画一个矩形，使得A，B，C，D四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形ABCD面积的2倍．(第3题)二、补充题目：部分题目来源于《点拨》1．下列条件中，能判定四边形是矩形的是( )A ．对角线互相平分B ．对角线互相垂直平分C ．对角线互相平分且相等D ．对角线相等3．〈湖南常德〉如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在D′处，若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为( )A .32B ．3C ．1D .43(第3题)9．已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，点O 既是AC 的中点，又是EF 的中点．(1)试说明：△BOE ≌△DOF.(2)若OA ＝12BD ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？说明理由． (第9题)14．如图，已知BD ，CE 是△ABC 的两条高，M ，N 分别为BC ，AO 的中点．求证：MN 垂直平分DE.(第14题)答案教材1．解：(1)∵AD 是BC 边上的中线，∴BD＝CD.又∵DE＝AD ，∠ADB＝∠EDC，∠ADC＝∠EDB，∴△ABD≌△ECD，△ADC≌△EDB.∴AB＝CE ，BE ＝AC.∴四边形ABEC 是平行四边形．(2)当∠BAC＝90°时，四边形ABEC 是矩形．2．解：四边形ACBD 是矩形．证明：∵BC 平分∠ABM，BD 平分∠ABN，∴∠ABC＝∠CBM＝12∠ABM，∠ABD＝∠DBN＝12∠ABN.∴∠CBD＝∠ABC＋∠ABD＝12∠ABM＋12∠A BN ＝12(∠ABM＋∠ABN)＝90°. ∵CD∥MN，∴∠DCB＝∠CBM，∠CDB＝∠DBN.∴∠DCB＝∠ABC，∠CDB＝∠ABD.∴CO＝BO ，BO ＝DO.∴DO＝CO.∵O 为AB 中点，∴AO＝BO.又∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC.∴AD＝BC ，同理可得BD ＝AC ，∴四边形ACBD 是平行四边形．又∵∠CBD＝90°，∴四边形ACBD 是矩形．(第3题)3．解：如图，四边形EFGH 即为所作矩形，其中EF∥HG∥AC，EH∥FG∥BD.随堂练习证明：∵△ABD 和△CBD 都是等边三角形，M ，N 是BC 和AD 的中点，∴∠ADB＝∠BDC＝60°，∠BDM＝12∠BDC，DM⊥BC，BN⊥AD.∴∠BDM＝30°，∠DMB＝∠DNB＝90°.∴∠NDM＝∠NDB ＋∠BDM＝90°.∴四边形BMDN 是矩形．.点拨1．C3．A 点拨：∵AB＝3，∴DC＝3.又∵AD＝4， ∴AC＝32＋42＝5.根据折叠可得△DEC≌△D′EC，∴CD′＝CD ＝3，ED ＝ED′.设ED ＝x ，则ED′＝x ，AD′＝AC －C D′＝2，AE ＝4－x.在Rt △AED′中，AD′2＋ED′2＝AE 2，即22＋x 2＝(4－x)2，解得：x ＝32.故选A . 9．解：(1)∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°.∵点O 是EF 的中点，∴OE＝OF.又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF.(2)四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.又∵OA＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵OA＝12BD ，OA ＝12AC ， ∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 是矩形．14．证明：连接EM ，DM ，EN ，DN.∵BD，CE 是△ABC 的两条高，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CDB＝∠AEC＝∠BEC＝90°.在Rt △ADO 中，N 为斜边AO 的中点，∴DN＝12AO. 在Rt △AEO 中，N 为斜边AO 的中点，∴EN＝12AO ，∴EN＝DN. ∴N 在DE 的垂直平分线上．在Rt △BCD 中，M 为斜边BC 的中点，∴DM＝12BC. 在Rt △BCE 中，M 为斜边BC 的中点，∴EM＝12BC ，∴DM＝EM ，∴M在DE的垂直平分线上，∴MN垂直平分DE.。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

优秀领先 飞翔梦想1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形y xPDCBAO二、解答题1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

北师大版九年级数学上册第一章1.2矩形的性质与判定同步测试一．选择题1.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相垂直B.对角线相等C.对角线互相平分D.对角相等【解答】 B ∵矩形和菱形是平行四边形,∴C、D是二者都具有的性质,A是菱形具有的性质,对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质.故选B.2.下列说法错误的是( )A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等C.对角线相等的平行四边形是矩形D.有两个角是直角的四边形是矩形【解答】 DA.有一个内角是直角的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;B.矩形的四个角都是直角,并且对角线相等,正确,故本选项不符合题意;C.对角线相等的平行四边形是矩形,正确,故本选项不符合题意;D.有两个角是直角的四边形不一定是矩形,可以是直角梯形,故本选项符合题意.故选D.3．（2018•兰州）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示：过点D作DG⊥BE，垂足为G，则GD＝3．∵∠A＝∠G，∠AEB＝∠GED，AB＝GD＝3，∴△AEB≌△GED．∴AE＝EG．设AE＝EG＝x，则ED＝4﹣x，在Rt△DEG中，ED2＝GE2+GD2，x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝．故选：C．4.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6√3B.8C.6D.6√2AC=6.【解答】 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=12∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=√OC2-OE2=3√3.∴BC=2EC=6√3.故选A.5．（2019•眉山）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF ⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是（）A ．1B ．C ．2D ．【解答】解：连接CE ，如图所示： ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC ＝90°，CD ＝AB ＝6，AD ＝BC ＝8，OA ＝OC ， ∵EF ⊥AC ， ∴AE ＝CE ，设DE ＝x ，则CE ＝AE ＝8﹣x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得：x 2+62＝（8﹣x ）2， 解得：x ＝， 即DE ＝； 故选：B ．6.如图,矩形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O.若∠AOB=60°,BD=8,则AB 的长为( )A.4B.4√3C.3D.5【解答】 A ∵四边形ABCD 是矩形,∴OA=12AC,OB=12BD=4,AC=BD, ∴OA=OB,∵∠AOB=60°,∴△AOB 是等边三角形,∴AB=OB=4.故选A.7.如图,E,F,G,H 分别是四边形ABCD 四条边的中点,要使四边形EFGH 为矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是( )A.一组对边平行而另一组对边不平行B.对角线相等C.对角线互相垂直D.对角线互相平分【解答】 C 要使四边形EFGH 是矩形,则四边形ABCD 应具备的条件是对角线互相垂直.理由:连接AC 、BD,交于点O,由题意可得EF ∥AC,且EF=12AC,GH ∥AC,且GH=12AC, ∴EF ∥GH,且EF=GH,∴四边形EFGH 是平行四边形, ∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH ∥BD,∵BD ⊥AC,EF ∥AC,∴EH ⊥EF,∴∠HEF=90°,∴平行四边形EFGH 为矩形.故选C. 8. 如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB=BEB ．DE ⊥DC C ．∠ADB=90°D ．CE ⊥DE 【答案】B ；【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴BE∥BC，且BE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项正确；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项错误．故选B．9. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则它的面积为（）A．3cm B．4cm C．12cm D．4cm或12cm【答案】D；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.10. 如图，矩形ABCG(AB＜BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C；【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.二．填空题11. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB 请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．【答案】EB=DC．【解析】添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点．若MN＝4，则AC的长为16 ．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝8．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．13.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.【解答】14解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,∴AO=OC=OD=OB,∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,即8OA+2AB+2BC=86厘米,∵矩形ABCD的周长是30厘米,∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.14. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.【答案】6；【解析】设AB＝AF＝，BE＝EF＝3，EC＝5，则CF＝4，，解得.15. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.【答案】；【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝.16. 矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．【答案】30或10；【解析】∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC，∴∠DEA=∠BEA，∴∠EAB=∠BEA，∴AB=BE，①设BE=x，CE=3x，则AD=4x，AB=x，∵矩形ABCD的面积为36，∴x•4x=36，解得：x=3（负舍），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；②设BE=3x，CE=x，则AD=4x，AB=3x，∵矩形ABCD的面积为36，∴3x•4x=36，解得：x=（负舍），即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；故答案为：30或10三．解答题17.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=CD,∠CEF=90°.求证:(1)△ABF≌△DEC;(2)四边形BCEF是矩形.【解答】证明(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D,在△ABF与△DEC中,{AF=DC,∠A=∠D,AB=DE,∴△ABF≌△DEC(SAS).(2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA,∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形.∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形.18．（2018•沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是 4 ．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED 是平行四边形， 又∠COD=90°，∴平行四边形OCED 是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED 是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD 的面积为： AC •BD=×4×2=4． 故答案是：4．19.如图,矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O.过点A 作AE ∥BD,交CB 的延长线于点E. (1)求证:AC=AE;(2)若∠AOB=120°,AE=8,求BC 的长.【解答】 (1)证明:在矩形ABCD 中,AC=BD,AD ∥BC, 又∵AE ∥BD,∴四边形AEBD 是平行四边形. ∴BD=AE,∴AC=AE.(2)∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°, ∵四边形ABCD 是矩形,∴OB=OC,∴△OBC 是等边三角形,∴BC=OC=12AC=12AE=4.20．（2018•连云港）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，延长CE ，BA 交于点F ，连接AC ，DF ．（1）求证：四边形ACDF是平行四边形；（2）当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用矩形的性质，即可判定△FAE≌△CDE，即可得到CD=FA，再根据CD∥AF，即可得出四边形ACDF是平行四边形；（2）先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE，再根据E是AD的中点，可得AD=2CD，依据AD=BC，即可得到BC=2CD．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠FAE=∠CDE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，又∵∠FEA=∠CED，∴△FAE≌△CDE，∴CD=FA，又∵CD∥AF，∴四边形ACDF是平行四边形；（2）BC=2CD．证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE=45°，∵∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CD=DE，∵E是AD的中点，∴AD=2CD，∵AD=BC，∴BC=2CD．21.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,CE∥BD,DE∥AC.(1)证明:四边形OCED为菱形;(2)若AC=4,求四边形CODE的周长.【解答】(1)证明:∵CE∥BD,DE∥AC,∴四边形CODE为平行四边形,又∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OC,∴四边形CODE为菱形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD=1AC,2又∵AC=4,∴OC=2,由(1)知,四边形CODE为菱形,∴四边形CODE的周长为4OC=4×2=8.22．（2019•青岛）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵点E，F分别为OB，OD的中点，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中点，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位线，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四边形EGCF是平行四边形，∵∠OEG＝90°，∴四边形EGCF是矩形．。

第2课时矩形的判定1．甲、乙、丙、丁四名同学到木工厂参观时，一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形，他们各自做了如下检测，检测后，他们都说窗框是矩形，你认为最有说服力的是( )A．甲量得窗框的两组对边分别相等B．乙量得窗框的两条对角线相等C．丙量得窗框的一组邻边相等D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等2．如图16，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．图163．如图17所示，在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，对角线AC和BD相交于点O.若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD为矩形，则还需增加一个条件是____________．图174．如图18，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加一个条件________，才能保证四边形EFGH是矩形．图185．2017·徐州如图19，在▱ABCD中，O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________°时，四边形BECD是矩形．图196．如图20，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当BC＝2AB时，四边形PEMF为________形．图207．如图21，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，以AD为边作等边三角形ADE.(1)求∠CAE的度数；(2)取AB边的中点F，连接CF，CE.求证：四边形AFCE是矩形．图218．已知：如图22，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．图229．如图23，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从点A开始沿折线A→B→C →D以4 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CD边以1 cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t s，则当t为________时，四边形APQD为矩形．图2310．如图24，在△ABC中，O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO＝FO；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图2411．如图25，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC ，BD 相交于点O ，若E ，F 是AC 上两动点，分别从A ，C 两点以相同的速度1 cm/s 向点C ，A 运动．(1)当点E 与点F 不重合时，四边形DEBF 是不是平行四边形？请说明理由．(2)若AC ＝16 cm ，BD ＝12 cm ，点E ，F 在运动过程中，四边形DEBF 能否为矩形？如能，求出此时的运动时间t 的值；如不能，请说明理由．图2512．如图26，在平面直角坐标系中，点A (2，n )，B (m ，n )(m ＞2)，D (p ，q )(q ＜n )，点B ，D 在直线y ＝12x ＋1上．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点E ，且AB ∥CD ，CD ＝4，BE ＝DE ，△AEB 的面积是2.求证：四边形ABCD是矩形．图2613．如图27①，过平行四边形纸片的一个顶点作它的一条垂线段h，沿这条垂线段剪下三角形纸片，将它平移到右边，平移距离等于平行四边形的底边长a.(1)平移后的图形是矩形吗？为什么？(2)图②中，BD是平移后的四边形ABCD的对角线，F为AD上一点，CF交BD于点G，CE ⊥BD于点E.求证：∠2＝∠1＋∠3.271．D.2．证明：∵在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝90°.又∵在△ABC中，AB＝5，BC＝12，AC＝13，满足132＝52＋122，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形．3．答案不唯一，如∠BAD＝90°或AC＝BD等4．答案不唯一，如AC⊥BD5．解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC.∵O为BC的中点，∴BO＝CO.在△BOE和△COD中，∠OEB＝∠ODC，∠BOE＝∠COD，BO＝CO，∴△BOE≌△COD(AAS)，∴OE＝OD，∴四边形BECD是平行四边形．(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A＝50°.∵∠BOD＝∠BCD＋∠ODC，∴∠ODC＝100°－50°＝50°＝∠BCD，∴CO＝OD.又∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC.∵四边形BECD是平行四边形，∴四边形BECD是矩形．6．矩7．解：(1)∵△ABC是等边三角形，且D是BC边的中点，∴AD平分∠BAC，即∠DAB＝∠DAC＝30°.∵△DAE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠CAE＝∠DAE－∠DAC＝30°.(2)证明：∵△ABC是等边三角形，F是AB边的中点，∴CF⊥AB.由(1)知∠CAE＝30°，∠BAC＝60°，∴∠FAE＝90°，∴AE∥CF.∵△ABC是等边三角形，且AD，CF分别是BC，AB边的中线，∴AD＝CF.又∵AD ＝AE ，∴CF ＝AE ， ∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵∠FAE ＝90°，∴▱AFCE 是矩形． 8．证明：∵E 是OA 的中点，∴OE ＝12OA .同理OG ＝12OC .∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ， ∴OE ＝OG .同理OF ＝OH ， ∴四边形EFGH 是平行四边形． ∵OE ＝12OA ，OG ＝12OC ，∴EG ＝OE ＋OG ＝12AC .同理FH ＝12BD .又∵AC ＝BD ，∴EG ＝FH ， ∴▱EFGH 是矩形． 9．410．解：(1)证明：如图，∵CE 平分∠ACB ，∴∠1＝∠2.又∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO ＝OC . 同理，FO ＝OC ，∴EO ＝FO .(2)∵CF 平分∠BCA 的外角，∴∠4＝∠5. 又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠4＝12×180°＝90°，∴△ECF 为直角三角形．在Rt △ECF 中，∵CE ＝8，CF ＝6，∴EF ＝10.∵EO ＝FO ＝OC ，∴OC ＝12EF ＝5.(3)当点O 运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形． 理由：∵EO ＝FO ，O 是AC 的中点， ∴四边形AECF 是平行四边形． 又∵∠ECF ＝90°，∴▱AECF 是矩形．11．解：(1)当点E 与点F 不重合时，四边形DEBF 是平行四边形． 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E ，F 两动点分别从A ，C 两点以相同的速度向点C ，A 运动，∴AE ＝CF ，∴OE ＝OF ， ∴BD ，EF 互相平分，∴四边形DEBF 是平行四边形． (2)∵四边形DEBF 是平行四边形， ∴当BD ＝EF 时，四边形DEBF 是矩形． ∵BD ＝12 cm ，∴EF ＝12 cm ， ∴OE ＝OF ＝6 cm.∵AC ＝16 cm ，∴OA ＝OC ＝8 cm ， ∴AE ＝2 cm 或AE ＝14 cm. ∵动点的速度都是1 cm/s ， ∴t ＝2 s 或t ＝14 s.故当运动时间t ＝2 s 或14 s 时，四边形DEBF 为矩形．12．证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∠BAC ＝∠ACD.又∵BE ＝DE ，∴△ABE ≌△CDE ，∴AE ＝CE ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝CD ＝4，∴m ＝6.∵点B 在直线y ＝12x ＋1上，∴n ＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，∴AB ∥CD ∥x 轴．∵△AEB 的面积是2，∴▱ABCD 的面积是8.又∵CD ＝4，∴▱ABCD 的高是2，∴q ＝4－2＝2.把q ＝2代入直线y ＝12x ＋1得p ＝2，∴点D(2，2)，∴点C(6，2)，∴AD ∥BC ∥y 轴，∴四边形ABCD 是矩形．13．解：(1)平移后的图形是矩形．理由：∵平移后的图形是平行四边形，又这个平行四边形相邻的两边垂直，∴平移后的图形是矩形．(2)证明：∵AD∥BC，∴∠3＝∠GCB.∵∠1＋∠CDB＝90°，∠DBC＋∠CDB＝90°，∴∠1＝∠DBC.∵∠2＝∠DBC＋∠GCB，∴∠2＝∠1＋∠3.。

1.2 矩形的性质与判定——性质1．我们把__________叫做矩形．2．矩形是特殊的____________，所以它不但具有一般________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）_________；（2）___________．3．矩形既是______图形，又是________图形，它有_______条对称轴．4．如下图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，图中有_______个直角三角形，•有____个等腰三角形．5．矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．6．如上图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．7．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角相等 C．对边相等 D．对角线互相平分8．若矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则此矩形的面积为（）A．83cm2 B．43cm2 C．23cm2 D．8cm29．如图2所示，在矩形ABCD中，∠DBC=29°，将矩形沿直线B D折叠，顶点C落在点E 处，则∠ABE的度数是（）A．29°B．32°C．22°D．61°10．矩形ABCD的周长为56，对角线AC，BD交于点O，△ABO与△BCO的周长差为4，•则AB的长是（）A．12 B．22 C．16 D．2611．如图3所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（）A．5 B．4 C． 23 D．712．如图所示，在矩形ABCD中，点E在DC上，AE=2BC，且AE=AB，求∠CBE的度数．13．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过顶点C作CE∥BD，交A•孤延长线于点E，求证：AC=CE．14．如图所示，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，求CE的长．15．如图所示，在矩形ABCD中，AB=5c m，BC=4cm，动点P以1cm/s的速度从A点出发，•经点D，C到点B，设△ABP的面积为s（cm2），点P运动的时间为t（s）．（1）求当点P在线段AD上时，s与t之间的函数关系式；（2）求当点P在线段BC上时，s与t之间的函数关系式；（3）在同一坐标系中画出点P在整个运动过程中s与t之间函数关系的图像．。

第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1. 如图，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中错误的是( )A．∠DGE＝60° B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．GE＝GD2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长等于( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 13B. 14 C, 15 D. 164. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，若FD＝8 cm，则HE等于( )A. 11cmB. 10cmC. 9cmD. 8cm5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．对边相等B ．对角线相等C ．对角相等D ．对角线互相平分 6. 下列四边形不是矩形的是( ) A ．有三个角都是直角的四边形 B ．四个角都相等的四边形 C ．对角线相等且互相平分的四边形 D ． 一组对边平行，且对角相等的四边形7. 如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是( )A ．AC⊥BDB ．AC ＝BD C ．AB∥DC D ．AB ＝DC8. 在数学活动课上， 老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形， 下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案， 其中正确的是( ) A ．测量两组对边是否分别相等 B ．测量对角线是否相互平分 C ．测量其内角是否都为直角 D ． 测量对角线是否垂直9. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是( )A ．BE ＝AD －DFB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．△AFD ≌△DCE10. 如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )A．4.8 B．5 C．6 D．7.211. 如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2=12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积=13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则下列条件的组合不能使四边形ABCD成为矩形的选项是 (填序号)14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，2)，要使四边形OBCA为矩形，则C点的坐标为________．15. 已知一直角三角形的周长是4＋26，斜边的中线长是2，则这个三角形的面积是件，使四边形ABCD为矩形．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为18. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为19. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC 的交点为点O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC＝6 cm，AE＝5 cm，求S▱ABCD.23. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且EF ＝ED ，EF⊥ED.求证：AE 平分∠BAD.24. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1---10 ACBDB DADBA 11. 60° 12. 4 3 13. ② ⑤ ⑥ 14. (3，2) 15. 5216. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 17. 8 18. 60° 19. (3，43)20. 221. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，由折叠知BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD ，又∵DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA ，由折叠知∠OAC ＝∠CAB ，又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠EOC ＝∠EAB ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC.22. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，又∵EA＝ED ， BE ＝EC ，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝12×180°＝90°，∴▱ABCD 是矩形(2)在Rt△ABE 中，BE ＝12BC ＝3(cm)，∴AB＝AE 2－BE 2＝4(cm)，∴S ▱ABCD ＝AB·BC＝4×6＝24(cm 2)．23. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB ＝CD ， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°， ∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF ＝ED ，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA )．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°. ∴∠BAE＝∠EAD，即AE 平分∠BAD.24. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC ， AE ＝CF ，∴OE＝OF ，∴△BOE≌△DOF(AAS )．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD ，又∵OD＝12AC ，OA ＝OC ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ，∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形． 25. (1)证明：如图所示，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝8，CF ＝6，∴EF＝82＋62＝10，∴OC＝12EF ＝5.(3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．1、最困难的事就是认识自己。

第一学期北师大九年级数学上册：1.2_矩形的性质和判定_作业二1.已知在矩形AAAA中，对角线AA，AA相交于点A，△AAA与△AAA的周长的和是116，差是4，两条对角线长的和是80，求矩形的各边长和面积．2.如图，矩形AAAA中，AA⊥AA于A，AAAA=2AAAA，AA= 2，求AA的长．3.矩形AAAA中，AA=8，AA=6，A、A是AA的三等分点，求△AAA的面积．4.已知：如图，矩形AAAA的两条对角线A、AA相交于点A，AAAA=120∘，AA=2.5AA．求矩形对角线的长和矩形的面积．5.现仅有一根较长的绳子做工具，检查一下你家的门框（四边在一个平面上）是不是矩形，你有哪些可行的办法？请一一写出，并解释其中的道理．6.如图，A是矩形AAAA的边AA的中点，A为AA上一点，AA⊥AA，AA⊥AA，垂足分别为A，A，当AA，AA满足什么条件时，四边形AAAA为矩形？试加以证明．7.如图，A是矩形AAAA的对角线的交点，A、、A、A分别是AA、AA、A、AA上的点，且AA=AA=AA=A．(1)求证：四边形AAAA是矩形；(2)若A、A、A、A分别是A、AA、AA、AA的中点，且A⊥AA，AA=2AA，求矩形AAAA的面积．第1页/共6页8.矩形AAAA中，A为A中点、A为AA中点，A为AA延长线上一点，连接AA并延长交AA与点A，连接AA，求证：AAAA=AAA．答案1.解：如图；由于矩形的对角线相等且互相平分，得AA=AA=AA=20；设AA=A，AA=A，依题意有：A+20+20+20+20+A=116，且A−A=4；解得A=16，A=20；A矩形=20×16=320；故：矩形各边长分别为20、16、20、16；矩形面积为320．2.解：∵四边形AAAA是矩形，∴AAAA=90∘，AA=AA=AA，∴AAAA+AAAA=90∘，∵AAAA=2AAAA，∴AAAA=60∘，∴△AA为等边三角形，∵AA=2，AA⊥AA于A，∴AA=A=4，∴AA=2A0=8．3.解：∵矩形AAAA中，AA=8，AA=6，∴A△AAA=12A⋅AA=12×8×6=24，∵A、是AA的三等分点，∴AA=13AA，∴△AAA的面积=13A△AA=13×24=8．4.解：∵AAAA=120∘，∴AAAA=180∘−120∘=60∘，∵四边形AAAA是矩形，∴AAAA=90∘，AA=AA，AA=AA=12AA，AA=AA= 12AA，∴AA=AA，∵AAAA=60∘，∴△AAA是等边三角形，∵AA=2.5AA，∴AA=A=AA=2.5，∴AA=2AA=5，AA=A=5．在直角△AAA中，AA=√AA2−AA2=5√32，则矩形的面积是：AA⋅AA=2.5×5√32=25√34．5.解：先用棉线测门的两对边是否相等，相等则是平行四边形，再用绳子测门一角两边为如3，4另一边是否是5，如是则有一角为直角的平行四边形是边形是矩形．②要保证门框的两条对角线相等，则门框是矩形，所以用绳子检查一下门框的对角线是否相等即可．6.解：AA=12AA时，四边形AAAA是矩形．理由如下：∵在矩形AAAA中，A为A边的中点，AA=12AA，第3页/共6页∴AA=AA=AA=AA，AA=AA=90∘，∴AAAA=AAAA=45∘，∴AAA=90∘，又∵AA⊥AA，AA⊥AA，∴AAAA=AAAA=90∘，∴四边形AAAA是矩形．7.(1)证明：∵四边形AAAA是矩形，∴AA=0A=A=AA，∵AA=AA=AA=AA，∴AA−AA=AA−AA=AA−AA=AA−AA，即：AA=AA=AA=AA，∴四边形AAAA是矩形；(2)解：∵A是AA的中点，∴AA=AA，∵AA⊥AA，∴AAAA=AAAA=90∘，又∵AA=AA，∴△AAA≅△AA，∴AA=AA，∵A是AA中点，AA=2A，∴AA=4AA，∵四边形AAAA是矩形，第5页/共6页∴AA =4AA ，AA =8AA ，∴AA =√AA 2−AA 2=4√3，∴矩形AAAA 的面积=4×4√3=16√3AA 2．8.证明：如图，设AA 、AA 相交于点A ，延长AA 与AA 的延长线相交于点A ，延长AA 与AA 相交于点A ，∵A 为AA 中点、A 为AA 中点，∴A // AA ，∴△AAA ∽△AAA ，△AAA ∽△AA ，∴AA AA =AA AA ，AA AA =AA AA ，∴AA AA =AA AA ， ∵A 为AA 中点、A 为AA 中点，AA 是对角线，∴A =AA ，∴AA =AA ，在△AAA 和△AAA 中，{AAAA =AAAA =90∘AA =AA AAA =AAAA，∴△AAA ≅△AAA (AAA )，∴AA =AA ，∴AA =A ，∵AA =AA +AA ，AA =AA +AA ，∴AA =AA ，{AA =AA AA =AA =90∘AA =AA， ∴△AAA ≅△AAA (AAA )， ∴AA =AAAA ， ∵AA // A // AA ， ∴AAAA =AA ，AAAA =AAAA ， ∴AAAA =AAAA ．。

年级数学（上）第一章《特殊的平行四边形》同步测试1.2矩形的性质与判定一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线相等 B．两组对边分别平行C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等2. 下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分3.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则OC的长为（）A．2 B．3 C． D．44.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，则四边形OCED的周长为（）A．4 B．8 C．10 D．125.如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=12AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF6.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.27.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B 落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A． B．125C．165D．1858.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．75°9.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，DE=2，则四边形OCED的面积（）A． B．4 C． D．810.如图，在矩形ABCD中，AB，BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O.有下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=FH；④BC-CF=2EH；⑤AB=FH.其中正确的结论有（）A.5个B.4个C.3个D.2个二、填空题1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为．2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE= 度．3.如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．4.如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为．5.已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO=1，那么BD= ．6.如图，矩形ABCD中，对角线E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=．7.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E= 度．8.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题1.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．2.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．3.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB=AO，求∠ABD的度数．5.如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．6.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．7.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．8.阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．。

DACF OEB第2课时矩形的判定矩形的判定（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对角相等 B．对边相等 C．对角线相等 D．对角线互相垂直2．下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（）①对角线互相平分的四边形；②对角线相等的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形．A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题中，正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．三个角是直角的多边形是矩形C．两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D．有三个角是直角的四边形是矩形4．如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_____．图1 图25．若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD•是_____形，若∠AOB=60°，那么AB：AC=______．6．如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OE⊥DC于点E， OF⊥AD于点F，OF-OE=2cm，则AB=______，BC=______．7．如图所示，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H，试说明四边形EFGH是矩形．8．如图所示，△ABC中，CE，CF 分别平分∠ACB和它的邻补角∠ACD．AE ⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线DA C FP E BEF 分别交AB ，AC 于M ，N 两点，则四边形AECF 是矩形吗？为什么？9．（一题多解题）如图所示，△AB C 为等腰三角形，AB=AC ，CD⊥AB 于D ，P•为BC 上的一点，过P 点分别作PE⊥AB，PF⊥CA，垂足分别为E ，F ，则有PE+PF=CD ，你能说明为什么吗？10．如图所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的高，AE•是∠CAF 的平分线且∠CAF 是△ABC 的一个外角，且DE∥BA，四边形ADCE 是矩形吗？为什么？11．如图所示是一个书架，•你能用一根绳子检查一下书架的侧边是否和上下底垂直吗？为什么？12．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则下图中∠1与∠2一定不相等的是（ ）13．正方形通过剪切可以拼成三角形．方法如图1所示，仿照图1上用图示的方法，解答下面问题：如图2，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，•再拼成一个与原三角形等面积的矩形．图1 图214．（展开与折叠题）已知如图所示，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，求AG的长度．参考答案1．C 2．B 3．D 4．8cm 5．矩；1：2 6．8cm；4cm7．解：∠HAB+∠HBA=90°，所以∠H=90°．同理可求得∠HEF= ∠F= ∠FGH=90°，所以四边形EFGH是矩形．8．解：四边形AECF是矩形．∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°．∠AEC=∠AFC=90°，点拨：•本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论．还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论．9．解法一：能．如图1所示，过P点作PH⊥DC，垂足为H．四边形PHDE是矩形．所以PE=DH，PH∥BD．所以∠HPC=∠B．图1又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB．所以∠HPC=∠FCP．又因为PC=CP，∠PHC=∠CFP=90°，所以△PHC≌△CFP．所以PF=HC所以DH+HC=PE+PF，即DC=PE+PF．图2．解法二：能．延长EP，过C点作CH⊥EP，垂足为H，如图2所示，四边形HEDC是矩形．所以EH=•PE+PH=DC，CH∥AB．所以∠HCP=∠B．△PHC≌△PFC，所以PH=PF，所以PE+PF=DC．10．解：是矩形；理由：∠CAE=∠ACB，所以AE∥BC．又D E∥BA，所以四边形ABDE是平行四边形，•所以AE=BD，所以AE=DC．又因为AE∥DC，所以四边形ADCE是平行四边形．又因为∠ADC=90°，所以四边形ADCE是矩形．11．解：能；首先用绳子量一下书架的两组对边，再用绳子量一下书架的对角线，若对角线相等，则书架的侧边和上下底垂直，否则不垂直．12．D13．解：本题有多种拼法，下面提供几种供参考：方法一：如图（1），方法二：如图（2）14．解：如图所示，过点G作GE⊥BD于点E，则AG=EG，AD=ED．在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=5，所以BE=BD-DE=BD-AD=5-1，BG=•AB-AG=2-AG，设AG=EG=x，则BG=2-x．在Rt△BEG中，由勾股定理，得BG2=EG2+BE2，即（2-x）2=（5-1）2+x2，解得x=512-，即AG=512-．。

北师大版九年级上?矩形?的性质与断定一、选择题1. 四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,能断定四边形ABCD是矩形的是()A. AO=CO,BO=DOB. AB=BC,AO=COC. AO=CO=BO=DOD. AO=CO,BO=DO,AC⊥BD2. 矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=60°,AD=2,那么AC的长是()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√33. 在矩形ABCD中,点O是BC的中点,∠AOD=90°,矩形ABCD的周长为20 cm,那么AB的长为()A. 1 cmB. 2 cmC. 52 cm D. 103cm4. 如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOB=60°,AB=2,那么矩形的对角线AC长()A. 2B. 4C. 2√3D. 4√35. 假设矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,那么两条对角线相交所成的锐角是()A. 20°B. 40°C. 80°D. 100°6. 假设顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形,那么四边形ABCD一定是()A. 矩形B. 对角线互相垂直的四边形C. 菱形D. 对角线相等的四边形7. 如图,顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH,要使四边形EFGH为矩形,应添加的条件是()A. AB∥DCB. AC=BDC. AC⊥BDD. AB=DC8. 顺次连接一个对角线互相垂直的四边形的四边的中点所得到的四边形是 ()第 1 页A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 一般平行四边形9. 在数学活动课上,教师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形,下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案,其中正确的选项是()A. 测量对角线是否互相平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角是否都为直角D. 测量四边形的三个内角是否都为直角10. 以下命题中,错误的选项是()A. 平行四边形的对角线互相平分B. 菱形的对角线互相垂直平分C. 矩形的对角线相等且互相垂直平分D. 角平分线上的点到角两边的间隔相等11. 如图,矩形ABCD的对角线AC=8cm,∠AOD=120°,那么AB的长为()A. √3cmB. 2cmC. 2√3cmD. 4cm12. 如图,在矩形纸片ABCD中,AB=8 cm.把矩形纸片沿直线AC折叠,点B落在点E处,AF交cm,那么AD的长为()DC于点F,假设AF=254A. 4 cmB. 5 cmC. 6 cmD. 7 cm13. 如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,对角线AC的垂直平分线分别交AD,AC于点E,O,连接CE,那么CE的长为()A. 3B.C.D.第 3 页14. 如图,四边形ABCD 的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是 ( )A. AB =CDB. AD =BCC. ∠AOB =45°D. ∠ABC =90°15. 如图,在矩形ABCD 中,AB =3,AD =4,P 是AD 上的动点,PE ⊥AC 于E ,PF ⊥BD 于F ,那么PE +PF 的值为 ( )A. 135B. 52C. 2D. 12516. 如图,OP 平分∠AOB ,∠AOB =60°,CP =2,CP ∥OA ,PD ⊥OA 于点D ,PE ⊥OB 于点E.假如点M 是OP 的中点,那么DM 的长是 ( )A. 2B. √2C. √3D. 2√317. 如下图,在矩形纸片ABCD 中,AB =6 cm,BC =8 cm,现将其沿EF 对折,使得点C 与点A 重合,那么AF 的长为 ( )A. 258 cmB. 254 cmC. 252 cmD. 8 cm18. 如下图,把长方形纸条ABCD 沿EF ,GH 同时折叠,B ,C 两点恰好落在AD 边的P 点处,假设∠FPH =90°,PF =6,PH =8,那么长方形ABCD 的边BC 长为 ( )A. 20B. 22C. 24D. 30二、填空题19. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,假设AB=6 cm,BC=8 cm,那么EF=cm.20. 如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AB边的中点,AC=3,BC=4,那么CD=.21. 如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,假设AB=5,AD=12,那么四边形ABOM的周长为.22. 如下图,l∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上,那么∠α= .23. 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于O,DE⊥AC于E,∠EDC∶∠EDA=1∶2,且AC=10,那么DE的长度是.24. 如图,在矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,那么AE 的长为cm.25. 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,假如将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影局部的面积是.三、解答题26. 如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥CA,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是菱形;(2)假设将题设中“矩形ABCD〞这一条件改为“菱形ABCD〞,其余条件不变,那么四边形AODE 是.请说明理由.27. 如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在点E处,BE与CD相交于F,假设AD=3,BD=6.(1)求证: △EDF≌△CBF;(2)求∠EBC.第 5 页28. 如图,将▱ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F.(1)求证: △ABF≌△ECF.(2)假设∠AFC=2∠D,连接AC,BE.求证:四边形ABEC是矩形.29. 如图,在△ABC中,D是AB的中点,E是CD的中点,过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F,连接BF.(1)求证:DB=CF;(2)假如AC=BC,试判断四边形BDCF的形状,并证明你的结论.30. 如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.(1)求证:BD=BE;(2)假设∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.31. 如图,E是矩形ABCD的边AD上一点,BE=ED,P是对角线BD上任意一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G,请你探究PG,PF,AB之间的数量关系,并证明你的结论.(至少两种解法)32. 如图,O为直线MN上一点,P为射线OC上一点,OA,OB分别是∠MOC,∠NOC的平分线,PE∥OB,PF∥OA,请确定四边形PEOF的形状.33. 如图,在矩形ABCD中,AE⊥BD,垂足为E,∠DAE=3∠BAE,求∠EAC的度数.34. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,O是AC的中点,AE=CF,DF∥BE.(1)求证:△BOE≌△DOF.(2)假设OD=1AC,那么四边形ABCD是什么特殊四边形?请证明你的结论.235. 如下图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,使BC与AD交于点E.假设AD=8cm,AB=4cm,求△BDE的面积.北师大版九年级上?矩形?的性质与断定参考答案1. 【答案】C【解析】A：对角线互相平分,只能断定为平行四边形;B：BD垂直平分AC，一条对角线垂直平分另一条对角线，不是互相垂直平分，无法断定四边形的形状;C：对角线相等且互相平分,可断定为矩形;D：利用对角线互相垂直平分,可断定为菱形.应选C.2. 【答案】B【解析】在矩形ABCD中,OC=OD=OA.∵∠AOD=60°,∴△AOD为等边三角形,∴OA=OD=2，∴AC=2OA=2×2=4.应选B.第 7 页3. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=90°,AB=DC.∵O是BC的中点,∴BO=CO,∴△ABO≌△DCO,∴AO=DO.∵∠AOD=90°,∴∠OAD=∠ODA=45°,∴∠BAO=∠AOB=45°,∴AB=OB.设AB=x cm,那么BC=2x cm,∴2(x+2x)=20,解得x=103,应选D.4. 【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴AO=BO=OC.又∵∠AOB=60°,∴△AOB是正三角形，即AO=AB=2.∴AC=2AO=2×2=4,应选B.5. 【答案】C【解析】如下图.∵图形中∠1=40°,又∵矩形的对角线相等且互相平分,∴OB=OC,∴∠OBC=∠1,∴∠AOB=2∠1=80°.应选C.6. 【答案】B【解析】如图,由于E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,根据三角形中位线定理,得EH∥FG∥BD,EF∥HG∥AC;∵四边形EFGH是矩形,即EF⊥FG.∴AC⊥BD.而除了对角线垂直外，再无其他要求，应选B.7. 【答案】C【解析】因为四边形EFGH是由四边形ABCD各边中点连接而成,如下图,连接AC,BD,所以EF∥AC∥HG,EH∥BD∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形,要使四边形EFGH 为矩形,根据矩形的断定(有一个角为直角的平行四边形是矩形),所以当AC⊥BD时,∠EFG=90°.四边形EFGH为矩形.应选C.8. 【答案】A【解析】如下图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是其四条边的中点,顺次连接E,F,G,H四点,由中位线定理知EH∥──────12BD,FG∥──────12BD,所以四边形EFGH是平行四边形.又∵EH∥BD且AC⊥BD,∴∠OMH=∠AOD=∠MHG=90°,所以平行四边形EFGH是矩形,应选A.9. 【答案】D【解析】A.对角线互相平分,只能断定为平行四边形;B.两组对边分别相等,只能断定为平行四边形;C.一组对角是否都为直角,不能断定形状;D.四边形的三个内角都为直角,能断定为矩形.应选D.10. 【答案】C【解析】选项A,B,D的说法正确.矩形的对角线互相平分且相等.但不一定垂直,所以C选项的说法错误.应选C.11. 【答案】D【解析】在矩形ABCD中,AO=BO=12AC=4cm.∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=AO=4cm.12. 【答案】C【解析】∵△ABC≌△AEC.∴∠EAC=∠BAC.又∵四边形ABCD为矩形,∴DC=AB=8 cm,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC=∠FCA,∴AF=FC=254cm,∴DF=DC-CF=8-254=74(cm).又∵∠D=90°,∴AD=√AF2-DF2=√(254)2-(74)2=√36=6(cm),应选C.13. 【答案】C【解析】设EC=x,由于OE垂直平分AC,故AE=EC=x,∴DE=AD-AE=4-x,DC=AB=2.在Rt△CDE中,由勾股定理得CE2=DC2+DE2,即x2=22+(4-x)2,解得x=2.5.应选C.14. 【答案】D【解析】对角线互相平分,那么四边形ABCD为平行四边形,A,B两选项为平行四边形本身具有的性质,C选项也不是变为矩形的条件,根据矩形的定义知D正确.应选D.15. 【答案】D【解析】如下图,连接OP,过A作AM⊥BD,垂足为点M.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OD =12BD=12AC.第 9 页又∵S △AOD =12OD ·AM =12OA ·PE +12OD ·PF =12OD (PE +PF ),∴AM =PE +PF .在Rt △BAD 中,BD =√32+42=5,∵S △ABD =12×3×4=12BD ·AM =52AM , ∴AM =125.∴PE +PF =125. 16. 【答案】C 【解析】∵OP 平分∠AOB ,∠AOB =60°,∴∠AOP =∠BOP =30°.∵CP ∥OA ,∴∠PCE =∠AOB =60°,∴CE =12CP =1,∴P E =√CP 2-CE 2=√3,∴OP =2PE =2√3.∵PD ⊥OA ,M 是OP 的中点,∴DM =12OP =√3.应选C. 17. 【答案】B 【解析】由翻折的性质得DF =D'F ,设AF =x cm,那么DF =D'F =(8-x )cm,在Rt △AFD'中,AD'=CD =AB =6 cm,(8-x )2+62=x 2,解得x =254,应选B . 18. 【答案】C 【解析】由题意知PF =BF ,PH =HC ,∵∠FPH =90°,∴FH =√PF 2+PH 2=√62+82=10,∴BC =BF +FH +HC =PF +FH +PH =6+10+8=24. 应选C.19. 【答案】2.5【解析】∵四边形ABCD 是矩形∴∠ABC =90°,BD =AC ,BO =OD.∵AB =6 cm,BC =8 cm,∴BD =AC =√62+82=10(cm),∴DO =5 cm .∵点E ,F 分别是AO ,AD 的中点,∴EF =12OD =2.5 cm . 20. 【答案】【解析】由勾股定理可求得AB =√AC 2+BC 2=5,因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以CD =12AB =2.5. 21. 【答案】20【解析】在Rt △ABC 中,因为AB =5,BC =AD =12,由勾股定理可得AC =√AB 2+BC 2=13.又因为O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,所以OM =12CD =12×5=2.5,BO =12AC =12×13=6.5,AM =12AD =12×12=6,所以四边形ABOM 的周长为AB +BO +OM +MA =5+6.5+2.5+6=20. 22. 【答案】25°【解析】如下图,过点C 作CE ∥l ,∵l ∥m ,∴l ∥m ∥CE ,∴∠DCE =65°.∵四边形ABCD 是矩形,∴∠DCB =90°,第 11 页∴∠ECB =90°-∠DCE =90°-65°=25°.∴∠α=∠ECB =25°.23. 【答案】5√32【解析】由∠EDC ∶∠EDA =1∶2得，∠CDE 等于30°，∠EDA 等于60°，设CE =x ,那么DE =√3x ，AE =√3DE =3x . 由题意得4x =10,x =52.DE =√3x =5√32. 24. 【答案】6【解析】在Rt △AEF 和Rt △DCE 中,∵EF ⊥CE ,∴∠FEC =90°,∴∠AEF +∠DEC =90°,而∠ECD +∠DEC =90°,∴∠AEF =∠ECD .又∵∠FAE =∠EDC =90°,EF =EC ,∴Rt △AEF ≌Rt △DCE (AAS).∴AE =CD .∵AD =AE +4,∴2(AE +AE +4)=32,解得AE =6cm.25. 【答案】754 【解析】∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠CBD =∠BDE .由折叠的性质得∠CBD =∠EBD ,∴∠EBD =∠BDE ,∴DE =BE . 设DE =BE =x ,那么AE =8-x ,∵∠BAD =90°,∴(8-x )2+62=x 2,解得x =254,∴DE =254,∴S △BDE =12DE ·AB =12×254×6=754. 26.(1) 【答案】∵四边形ABCD 是矩形,∴OA =OC ,OD =OB ,AC =BD ,∴OA =OD.∵DE ∥CA ,AE ∥BD ,∴四边形AODE 是平行四边形,∴四边形AODE 是菱形.(2) 【答案】矩形.∵DE ∥CA ,AE ∥BD ,∴四边形AODE 是平行四边形.∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,∴∠AOD =90°,∴平行四边形AODE 是矩形.27.(1) 【答案】如图,由矩形的性质和折叠的性质可得DE =BC ,∠E =∠C =90°.在△DEF 和△BCF 中,∵{∠DFE=∠BFC,∠E=∠C,DE=BC,∴△EDF≌△CBF(AAS).(2) 【答案】在Rt△ABD中,∵AD=3,BD=6,∴∠ABD=30°.那么∠DBE=∠ABD=30°,∴∠EBC=90°-30°-30°=30°.28.(1) 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠ABF=∠ECF.∵EC=DC,∴AB=EC.在△ABF和△ECF中,∵∠ABF=∠ECF,∠AFB=∠EFC,AB=EC,∴△ABF≌△ECF(AAS).(2) 【答案】方法1:∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴AF=EF,BF=CF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABC=∠D.又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠ABC.∵∠AFC=∠ABF+∠BAF,∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB.∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC.∴▱ABEC是矩形.方法2:∵AB=EC,AB∥EC,∴四边形ABEC是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠D=∠BCE.又∵∠AFC=2∠D,∴∠AFC=2∠BCE.∵∠AFC=∠FCE+∠FEC,∴∠FCE=∠FEC.∴∠D=∠FEC.∴AE=AD.又∵CE=DC,∴AC⊥DE,即∠ACE=90°.∴▱ABEC是矩形.29.(1) 【答案】∵CF∥AB,∴∠DAE=∠CFE.∵DE=CE,∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE,∴AD=CF.∵AD=DB,∴DB=CF.(2) 【答案】四边形BDCF是矩形,证明如下:方法1:∵DB=CF,DB∥CF,∴四边形BDCF为平行四边形.∵AC=BC,AD=DB,∴CD⊥AB,∴四边形BDCF是矩形.方法2:连接DF,如下图,∵DB=CF,DB∥CF,∴四边形BDCF为平行四边形.∵AD=BD,∴AD=CF.又∵AD∥CF,∴四边形ADFC是平行四边形,∴AC=DF.又∵AC=BC,∴BC=DF,∴平行四边形BDCF为矩形.30.(1) 【答案】∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.又∵BE∥AC,∴四边形ABEC是平行四边形,∴BE=AC,∴BD=BE.(2) 【答案】∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC=OB=OD=4,即BD=8.∵∠DBC=30°,∴∠ABO=90°-30°=60°,∴△ABO是等边三角形,即AB=OB=4,那么AB=DC=CE=4,∴DE=8.在Rt△BCD中,BC2=BD2-DC2,∴BC=√82-42=4√3.∵AB∥DE,AD与BE不平行.∴四边形ABED是梯形,且BC为梯形的高,∴四边形ABED的面积=12(AB+DE)·BC=12×(4+8)×4√3=24√3.31. 【答案】AB=PG+PF.证法1:如图,延长GP交BC于点H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠A=90°.∵PG⊥AD,∴∠PGD=90°,那么AB∥GH,PH⊥BC,∴四边形ABHG是平行四边形,∴AB=GH.∵BE=ED, ∴∠EBD=∠EDB.∵AD∥BC,∴∠EDB=∠DBC,∠EBD=∠DBC.∵PF⊥BE,PH⊥BC, ∴PF=PH，AB=GH=PG+PH=PG+PF.证法2:如图,连接EP ,第 13 页∵四边形ABCD 是矩形, ∴AB ⊥AD.又∵S △EBD =S △DEP +S △BEP ,∴12DE ·AB =12DE ·PG +12BE ·PF ,化简得DE ·AB =DE ·PG +BE ·PF. 又∵ED =EB , ∴AB =PG +PF.32. 【答案】∵PE ∥OB ,PF ∥OA ,∴四边形OEPF 为平行四边形.∵OA ,OB 分别是∠MOC ,∠NOC 的平分线,∴∠AOC =12∠MOC ,∠BOC =12∠NOC .∴∠AOF =∠AOC +∠BOC =12(∠MOC +∠NOC )=90°. ∴四边形PEOF 是矩形.33. 【答案】∵四边形ABCD 是矩形,∴∠BAD =90°. 又∵∠DAE =3∠BAE ,∴∠BAE +3∠BAE =90°,∴∠BAE =22.5°.又∵OA =12AC =12BD =OB ,∴∠OAB =∠OBA .又∵AE ⊥BD ,∴∠ABE =90°-∠BAE =90°-22.5°=67.5°, ∴∠OAB =67. 5°.∴∠EAC =∠OAB -∠BAE =67.5°-22.5°=45°.34.(1) 【答案】∵DF ∥BE ,∵∠FDO =∠EBO ,∠DFO =∠BEO .∵O 为AC 的中点,∴OA =OC .又∵AE =CF ,∴OE =OF .在△BOE 和△DOF 中,∵{∠FDO =∠EBO,∠DFO =∠BEO,OE =OF,∴△BOE ≌△DOF (AAS).(2) 【答案】假设OD =12AC ,那么四边形ABCD 是矩形.理由如下: ∵△BOE ≌△DOF ,∴OB =OD .∵OD =12AC ,∴OA =OB =OC =OD ,即BD =AC .∴四边形ABCD 为矩形.35. 【答案】如图,设DE=x cm,那么AE=AD-DE=(8-x)cm.根据折叠的性质可知△BCD≅△BC'D,所以∠1=∠2.在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠1=∠3,∴∠2=∠3.∴BE=DE=x.在Rt△ABE中,由勾股定理,得BE2=AB2+AE2,即x2=42+(8-x)2,解得x=5,∴△BDE的面积为12DE·AB=12×5×4=10(cm2).第 15 页。

1.2 矩形的性质与判定一．选择题1．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是（）A．15°B．15.5°C．20°D．37.5°2．在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形3．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝CA，连接AE，如果∠ACB＝38°，则∠E的值是（）A．18°B．19°C．20°D．40°4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE ＝15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°5．矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF 的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（）A．1B．C．D．6．将矩形OABC如图放置，O为原点，若点A的坐标是（﹣1，2），点B的坐标是（2，），则点C的坐标是（）A．（4，2）B．（2，4）C．（，3）D．（3，）7．矩形COED在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点D的坐标是（1，3），则CE的长是（A．3B．2C．D．48．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO＝15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°9．如图，矩形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边上一点，∠DFC＝2∠FCE，CE＝8，CF＝10，则线段AF的长为（）A．B．C．D．10．如图，一张矩形纸片沿AB对折，以AB中点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于（）A．108°B．114°C．126°D．129°二．填空题11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是AB上一动点，过点D 作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若OE⊥BC，OE＝1，则AC的长为．13．已知如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点C，点D的坐标分别为（0，4），（5，0），，点P在BC边上运动（不与B，C重合），当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为：．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，若BD＝4，则AD＝．三．解答题15．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．16．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1cm/s，运动时间为t秒，0≤t≤5．（1）AE＝，EF＝（2）若G，H分别是AB，DC中点，求证：四边形EGFH是平行四边形．（3）在（2）条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，以线段AB为边向外作等边△ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F．（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）连接BF，求证：四边形BCAF是矩形．18．已知：如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．（1）求证：BE＝CD；（2）若AB＝4，AD＝7，求△EFD的周长．19．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且∠DAF＝∠BCE．（1）求证：AF＝CE；（2）连接AC，若AC平分∠F AE，∠DAF＝30°，CE＝4，求CD的长．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．B．5．C．6．D．7．C．8．C．9．A．10．C．二．填空题11．．12．2．13．（2，4）或（3，4）或（8，4）．14．2．三．解答题15．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝0B＝OC＝OD，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AO﹣AE＝OB﹣BF＝CO﹣CG＝DO﹣DH，即：OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形；（2）解：∵G是OC的中点，∴GO＝GC，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠DGC＝90°，又∵DG＝DG，∴△DGC≌△DGO，∴CD＝OD，∵F是BO中点，OF＝2cm，∴BO＝4cm，∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO＝4cm，∴DC＝4cm，DB＝8cm，∴CB＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2．16．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，由题意得：AE＝CF＝t，∴EF相遇前为：EF＝AC﹣AE﹣CF＝5﹣2t；EF相遇后为：EF＝AE+CF﹣AC＝2t﹣5；故答案为：t，5﹣2t或2t﹣5；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，∴AC＝＝＝5，∠GAF＝∠HCE，∵G、H分别是AB、DC的中点，∴AG＝BG，CH＝DH，∴AG＝CH，∵AE＝CF，∴AF＝CE，在△AFG与△CEH中，，∴△AFG≌△CEH（SAS），∴GF＝HE，同理：GE＝HF，∴四边形EGFH是平行四边形．（3）解：如图所示，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形∵点G、H分别是矩形ABCD的边AB、DC的中点，∴GH＝BC＝4，∴当EF＝GH＝4时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：①AE＝CF＝t，EF＝5﹣2t＝4，解得：t＝0.5．②AE＝CF＝t，EF＝5﹣2（5﹣t）＝4，解得：t＝4.5即：当t为0.5秒或4.5时，四边形EGFH为矩形17．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴BC＝AB，∠ABC＝60°，∵△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝∠BAD＝60°，AB＝AD，∴∠ABC＝∠BAD，∴BC∥DA，∵点E是线段AB的中点，∴CE＝AB＝BE＝AE，∵∠ABC＝60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BEC＝60°＝∠ABD，∴BD∥CF，∴四边形BCFD为平行四边形；（2）证明：如图所示：∵BD∥CF，BE＝AE，∴AF＝DF＝AD，∴BC＝AF，又∵BC∥DA，∴四边形BCAF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形BCAF是矩形．18．（1）证明：矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∵EF⊥ED，∴∠1+∠2＝90°，∴∠3＝∠2，又EF＝ED，∴△BFE≌△CED，∴BE＝CD；（2）解：矩形ABCD中，AB＝CD＝4，BC＝AD＝7，∵△BFE≌△CED，∴BE＝CD＝4，∴EC＝3，∴ED＝5，∴EF＝ED＝5，∴FD＝，∴△EFD的周长＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠B＝90°，∵∠DAF＝∠BCE，∴△DAF≌△BCE（ASA），∴AF＝CE；（2）解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠DCA，∵CE＝4，∴AF＝4，∵AC平分∠F AE，∴∠F AC＝∠CAB，∴∠F AC＝∠DCA，∴FC＝AF＝4，在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF＝2，∴CD＝6．初中数学精品教学初中数学精品教学11。