2020年河南省洛阳市高一(下)期中数学试卷

洛阳市2019-2020学年第二学期期中考试高一数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin510︒=（ ）.A. 12B. 12- C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算得到答案.【详解】()1sin 510sin 360150sin150sin 302︒=︒+︒=︒=︒=. 故选：A.【点睛】本题考查了诱导公式化简求值，属于简单题. 2.函数()44cos sin 22x xf x =-的最小正周期为（ ）. A.π2B. πC. 2πD. 4π【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数得()cos f x x =，即得函数的最小正周期. 【详解】由题得()442222cossin (cos sin )(cos sin )cos 222222x x x x x xf x x =-=+-=. 所以函数的最小正周期为2π. 故选：C.【点睛】本题主要考查同角的平方关系和二倍角的余弦公式的应用，考查余弦函数的最小正周期，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.若2πk αθ=+,()21πk βθ=+-,其中k ∈Z ,则角α与β的终边（ ）.A. 关于原点对称B. 关于x 轴对称C. 关于y 轴对称D. 关于y x =对称【答案】C 【解析】 【分析】根据角度的终边周期性分析即可.【详解】根据角度的性质有2πk αθ=+与θ的终边相同,()21πk βθ=+-与πθ-的终边相同,且θ的终边与πθ-的终边关于y 轴对称,故角α与β的终边关于y 轴对称. 故选：C【点睛】本题主要考查了角度性质辨析.属于基础题.4.如果单位向量a r 与b r的夹角为π3，则+=r r a b （ ）.A. 1B.C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】利用a b →→+==，结合,a b →→的模长和数量积进行求解.【详解】因为a b →→+==， 又,a b →→为单位向量，且,a b →→的夹角为π3， 所以1cos32a b a b π→→→→⋅==，所以a b →→+====故选：B.【点睛】本题考查向量数量积的概念：cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=，向量的模一般要转化为a →=来求，属于基础题.5.下面结论正确是（ ）.A. 若a r ，b r 是单位向量，a b =r rB. 若四边形ABCD 内一点O 满足OA OC OB OD +=+u u u r u u u ru u u r u u u r，则ABCD 是平行四边形C. 若向量a r ，b r共线，则a b a b +=+r r r r D. 若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r r【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，分别对四个选项进行判断，从而得到答案.【详解】选项A 中，a r，b r是单位向量，而单位向量也是有方向的，只有a r ，b r是单位向量且方向相同时，才有a b =r r，所以错误；选项B 中，因为点O 为四边形ABCD 内一点，OA OC OB OD +=+u u u r u u u r u u u r u u u r所以OA OB OD OC -=-u u u r u u u ru u u r u u u r ，所以BA CD =u u u r u u u r，又BA u u u r与CD uuu r不共线，所以可得BA CD =且∥BA CD ， 所以ABCD 是平行四边形，所以正确；选项C 中，当向量a r ，b r 同向时，有a b a b +=+r r r r ，当向量a r ，b r反向时，有a b a b +=-r r r r ，所以错误；选项D 中，因为a c b c ⋅=⋅r r r r，所以cos ,cos ,a c a c b c b c ⋅=⋅r r r r r r r r 即cos ,cos ,a a c b b c =r r r r r r，不能得到a b =r r，所以错误.故选：B.【点睛】本题考查单位向量的定义，向量的减法运算，共线向量的性质以及向量数量积的运算，属于简单题.6.满足tan cos sin ααα<<的α一个可能值为（ ）.的A.π12B.3π8C.9π16D.13π12【答案】C 【解析】 【分析】借助三角函数的单调性，采用中间值法，逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】当12πα=时，coscos1242ππ>=，sin sin 1242ππ<=，不满足cos sin αα<，所以A 选项错误； 当38πα=时，3tan tan 184ππ>=，3cos 18π<，不满足tan cos αα<，所以B 选项错误； 当916πα=时，93tantan 1164ππ<<-，91cos 016π-<<，9sin 016π>，满足tan cos sin ααα<<，所以C 选项正确；当1312πα=时，135cos cos 124ππ<=135sin sin 124ππ>=，不满足cos sin αα<，所以D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的单调性，熟记特殊三角函数值是本题的解题关键，属于基础题. 7.下列函数既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）. A. sin y x x =B. 2cos y x x =-C. 1tan tan y x x=+D. sin cos y x x =+【答案】D 【解析】 【分析】直接利用函数奇偶性的定义逐一判断四个选项，即可得到答案.【详解】对于A ，()sin y f x x x ==，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin sin f x x x x x f x -=--==，则sin y x x =为偶函数；对于B ，()2cos y f x x x ==-，定义域为R ，关于原点对称，()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，则2cos y x x =-为偶函数；对于C ，()1tan tan y f x x x ==+，定义域为(),2k x x k Z π⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，()()()()11tan tan tan tan f x x x f x x x -=-+=--=--，则1tan tan y x x=+为奇函数；对于D ，()sin cos y f x x x ==+，定义域为R ，关于原点对称，()()()sin cos sin cos f x x x x x -=-+-=-+，()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则sin cos y x x=+既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，D 选项符合题意. 故选：D.【点睛】本题考查的是函数的奇偶性，属于基础题.定义法判断函数的奇偶性，分为三步：（1）定义域关于原点对称，若不对称，则函数()f x 既不是奇函数，也不是偶函数，若对称，则进行下一步；（2）求()f x -；（3）若()()f x f x -=，则()f x 为偶函数；若()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数；若()()f x f x -≠，且()()f x f x -≠-，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数. 8.已知函数()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断错误的是（ ）.A. ()f x 的最小正周期为π2B. ()f x 的图象关于直线π24x =-对称 C. ()f x 的值域为[]1,3- D. ()f x 的图象关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角恒等变换进行化简，再根据正弦型函数的图象和性质，即可得出答案.【详解】()ππsin 4cos 4136f x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sincos 4cossin 4cos 4cossin 4sin13366x x x x ππππ=++++11cos 4sin 4cos 4sin 412222x x x x =++++4sin 41x x =++2sin 413x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭242T ππ==，所以，()f x 的最小正周期为π2，A 选项正确；()432x k k Z πππ+=+∈，解得()244k x k Z ππ=+∈，所以，B 选项错误； 由1sin 413x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 得12sin 4133x π⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为[]1,3-，故C 选项正确； ()43x k k Z ππ+=∈，解得()124k x k Z ππ=-+∈，所以()f x 的对称中心为,1124k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈，故D 选项正确. 故选：B【点睛】本题考查了三角恒等变换及正弦型函数的图象和性质，考查学生对这些知识的掌握能力，属于基础题.9.在边长为1的正方形ABCD 内,以AB 为直径作半圆,若点M 为半圆（包括端点A ,B ）上任意点,则MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是（ ）.A. 0,⎡⎣B. (0,C. 0,⎡⎣D. (0,【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的中心为O ,再根据平面向量的加法法则,将MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r 转换为MO u u u u r的关系表达,再分析取值范围即可.【详解】设,AB DC 的中点分别为,Q P ,正方形的中心为O .根据正方形的对称性可知O 为,Q P 中点..根据平面向量的加法有22224MA MB MC MD MQ MP MO MO +++=+==u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r.易得当M 在O 处4MO u u u u r 取最小值0；当M 在,A B 处4MO u u u u r 均可取最大值为4AO =u u u r.故MA MB MC MD +++u u u r u u u r u u u u r u u u u r的取值范围是0,⎡⎣.故选：A【点睛】本题主要考查了平面向量的加法运用,需要根据题意结合平面向量的线性运算转换.属于中档题.10.函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()g x ，若()g x 的最小正周期是2π，且π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，π6f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）.A. 3-B. 3-C.3D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换及最小正周期，求出ω值，再利用三角函数的对称轴及ϕ的范围，求出ϕ值，利用π12g ⎛⎫=⎪⎝⎭，求出A 值，进而求出π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数为()sin 2x g x A ωϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为()g x 的最小正周期是2π，所以222ππω=，解得2ω=，所以()()sin g x A x ϕ=+，()()sin 2f x A x ϕ=+，()22x k k Z πϕπ+=+∈，解得()242k x k Z πϕπ-=+∈， 所以，函数()f x 关于()242k x k Z πϕπ-=+∈对称，所以()2342k k Z ππϕπ-=+∈，且π2ϕ<，解得6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， π12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即sin 126A ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 13A π=，解得A =，所以()26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π16336323f ππ⎛⎫⎛⎫=-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换、利用最小正周期求参数、利用三角函数的对称轴求参数及特殊角的三角函数值，考查学生的运算求解能力，属于中档题. 11.已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点(,且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,把()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,若13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,直线y t =与()y f x =有三个不同的交点,则实数t 的取值范围是（ ）.A. (-B. []0,2C. [)0,2D.)2【答案】D 【解析】根据()f x 过点(可得3πϕ=,再根据()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调,且()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合可得2ω=.进而求得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.再根据三角函数图像性质数形结合分析实数t 的取值范围即可. 【详解】因为函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象过点(,故sin ϕ=,又π2ϕ<,故3πϕ=.又()f x 在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调且0>ω,故12521212πππω⋅≥-,即03ω<≤. 又因为()f x 的图象向右平移π个单位与原图象重合,故2,k k Z ππω⋅=∈,所以2ω=.故()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 当13π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,52,332x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.再分析()52sin ,,32g x x x ππ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭可得：2sin 33g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭数形结合可知当直线y t =与()g x 有三个交点时,)2t ∈.故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图像与性质综合运用,包括三角函数解析式的求解、数形结合求解参数范围的问题等,需要结合三角函数的单调性与周期性等分析.属于难题. 12.已知点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，若13AOB ABC S S =△△，则λ=（ ）. A. 2- B. 12-C.12D. 2【答案】A 【解析】【利用数乘的定义作图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，构造出O 是11AB C △的重心，根据重心性质，及三角形面积比得出结论．【详解】∵点O 为ABC V 内一点，满足3OA OB OC λ+=u u u r u u u r u u u r，∴0λ<，如图，作13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r ，则110OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u u r r，∴O 是11AB C △的重心，∴11111113OAB OB C OAC AB C S S S S ===V V V V ， 由13OB OB =u u u r u u u r ，1OC OC λ=-u u u u r u u u r，知113OABOAB S S =V V ，111111133OBC OB C OB C S S S λλ=⨯=--V V V ，11OAC OAC S S λ=-V V ， ∴111:::():()33OAB OBC OCA S S S λλ=--V V V ， ∴113111333OAB ABCS S λλ==--V V ，解得2λ=-．故选：A ．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题关键是利用数乘定义构造出以O 为重心的11AB C △，然后利用面积比得出结论．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：13.若tan α=，则cos2α________．【答案】13- 【解析】 【分析】先由二倍角公式将cos2α化为22cos sin αα-，再根据同角三角函数基本关系即可求出结果.【详解】因为tan α=，所以2222221tan 1cos21tan 3cos sin cos sin ααααααα--===-++. 【点睛】本题主要考查二倍角公式以及同角三角函数基本关系，熟记公式即可求解，属于基础题型. 14.在平面直角坐标系中，已知()3,4A ，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，则点B 的横坐标为______.【答案】2-. 【解析】 【分析】作出图形，求出OA ，以及sin AOC ∠，cos AOC ∠，利用两角和与差的三角函数求出点B 的横坐标，即可得解.【详解】如图，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，作AD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥轴于点E ，作BF y ⊥轴于点F ，由()3,4A ，则5OA =，4sin 5AOC ∠=，3cos 5AOC ∠=，将OA 绕原点O 逆时针旋转45︒到OB ，所以，点B 的横坐标为：()345cos 45552522AOC ︒⎛∠+=⨯⨯-⨯=- ⎝⎭.故答案为：2-. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化—旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更形象直观.15.在梯形ABCD 中，//AB CD ，AC 为DAB ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，若10AB =，AC =则AD CB ⋅=u u u r u u u r______.【答案】4- 【解析】【分析】由题意画出图形，由平面几何的知识可得4=AD ，利用平面向量线性运算法则可得()AD CB AD AB AC ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及定义即可得解.【详解】由题意画出梯形ABCD 的图形，如图：Q //AB CD ，AC 为A ∠的平分线，且30CAB ∠=︒，∴30CAD DCA CAB ∠=∠=∠=︒，60DAB ∠=︒，∴AD CD =，又10AB =，AC =取AC 的中点E ，连接DE，则4cos AE AD EAD ===∠， ∴()AD CB AD AB AC AD AB AD AC ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rcos cos AD AB DAB AD AC DAC =⋅⋅∠-⋅⋅∠u u u r u u u r u u u r u u u r1410442=⨯⨯-⨯=-.故答案为：4-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量数量积的运算律及定义，关键是对于条件进行合理转化，属于基础题. 16.已知函数()()π02f x x x =≥，设函数()f x 图象的最高点从左至右依次为0A ，1A ，2A ，…，()f x 与x 轴的交点从左至右依次为0B ，1B ，2B ，…，在线段22A B 上取10个不同的点1C ，2C ，3C ，…，10C ，则1112110OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL ______.【答案】100 【解析】 【分析】由题意结合三角函数的性质画出函数图象，进而可得(1A，(2A ，()25,0B ，利用平面向量数量积的坐标运算可得1220OA B A ⋅=u u u r u u u u u r 即120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r，连接2OA ，由平面向量线性运算法则可得()1122n n OA OC OA OA A C ⋅=⋅+u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r，再利用平面向量数量积的运算律及坐标运算即可得解.【详解】函数()π02y x x =≥的最小正周期242T ππ==，将函数()π02y x x =≥位于 x 轴上方的图象不变、位于 x 轴下方的图象翻折到x 轴上方后即可得函数()()π02f x x x =≥的图象，如图所示：可得(1A，(2A ，()25,0B ，所以(1OA =u u u r，(221,B A =u u u u u r ，所以122220OA B A ⋅=-=u u u r u u u u u r ， 由()1,2,310n C n =⋅⋅⋅在线段22A B 上可得120n OA A C ⋅=u u u r u u u u u r， 连接2OA，则(2OA =u u u u r，所以()11221212n n n OA OC OA OA A C OA OA OA A C ⋅=⋅+=⋅+⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u r24010=⨯+=，1,2,310n =⋅⋅⋅，所以11121101010100OA OC OA OC OA OC ⋅+⋅++⋅=⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u u rL . 故答案为：100.【点睛】本题考查了三角函数图象的应用，考查了平面向量线性运算、数量积的应用与运算求解能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（1）求值：sin 20cos110cos200sin70︒︒+︒︒；（2）已知α.【答案】（1）1-；（2）2cos α-. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用22sin cos 1αα+=即可得到结论；（2）根据α是第二象限角，得到sin α与cos α的符号，再利用二次根式的性质即可得到结论. 【详解】（1）原式()()()sin 20cos 9020cos 18020sin 9020︒︒︒︒︒︒︒=+++-()22sin 20sin 20cos 20cos 20sin 20cos 201︒︒︒︒︒︒=--=--=-（2）由α是第二象限角，则sin 0α>，cos 0α<，=2cos cos cos sin cos cos sin cos 21sin 1sin cos cos αααααααααααα-----+=+==--+. 【点睛】本题考查了三角函数的化简求值，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键． 18.已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC V 的形状，并给出证明；（2）求实数x 的值，使得CA CB +u u u r u u u r最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=u u u r u u u r，求x 、λ的值. 【答案】（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【解析】 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明；（2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可.【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-u u u r ，()1,1AB =u u u r，此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=u u u r u u u r ，即AC AB ⊥u u u r u u u r ，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，则()6,5CA CB x +=+-u u u r u u u r，所以，5CA CB +=≥u u u r u u u r，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +u u u r u u u r取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-u u u r ，()4,2CB =-u u u r ，因CA CB λ=u u u r u u u r， 所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，图象上一个最低点为()5π,2-.（1）求()f x 的解析式；（2）当[]0,3πx ∈时，求()f x 的最值，以及取得最值时的x 值.【答案】（1）()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2. 【解析】 【分析】（1）由函数的最低点可求得2A =，由函数图象与x 轴相邻两个交点的距离为3π可得6T π=，由2T πω=可得ω，再代入点()5π,2-求出ϕ后即可得解； （2）由[]0,3πx ∈可得15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，由三角函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）Q 函数()f x 图像上的一个最低点为()5π,2-，0A >，∴2A =， 又函数()f x 的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点的距离为3π，∴函数的最小正周期6T π=即26ππω=，解得13ω=， ∴()12sin 3f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()15π2sin 5π23f ϕ⎛⎫=⨯+=- ⎪⎝⎭，∴5sin π13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴5π2,32k k Z πϕπ+=-+∈即132,6k k Z πϕπ=-+∈，又π2ϕ<，∴令1k =，6πϕ=-， ∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）当[]0,3πx ∈时，15,3666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， ∴当1366x ππ-=-即0x =时，()f x 取最小值，()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当1362x ππ-=即2x π=时，()f x 取最大值，()max 2sin 22f x π==. ∴当0x =时，()f x 取最小值1-；当2x π=时，()f x 取最大值2.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了三角函数图象的确定与运算求解能力，关键是对于知识点的熟练应用，属于中档题.20.已知3a =r，(2,b =-r ，且a r 与b r夹角为2π3. （1）求2a b +r r；（2）若()()43a kb a b +⊥+r r r r，求实数k值.【答案】（1）7；（2）34-. 【解析】 【分析】（1）由题意结合平面向量模的坐标表示可得4b =r ，利用平面向量数量积的定义可得a b ⋅r r ，再利用2a b +=r r化简即可得解；（2）由题意结合平面向量垂直的性质可得()()430a kb a b +⋅+=r r r r，由平面向量数量积的运算律化简即可得解.【详解】（1）Q (2,b =-r ，∴4b ==r，的又3a =r ，a r 与b r夹角为2π3，∴21cos 34632a b a b π⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭r r r r ， ∴27a b +====r r ；（2）Q ()()43a kb a b +⊥+r r r，∴()()()2243443324180a kb a b a k a b kb k +⋅+=++⋅+=+=r r rr r r r r ，∴34k =-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的求解与应用，考查了运算求解能力，关键是对于条件的合理转化，属于基础题.21.已知正方形ABCD 的边长为1，P ，M ，N 分别为AB ，BC ，DA 上的点. （1）如图，当AP PB =uu u r uu r ，0PM PN ⋅=u u u u r u u u r时，求MPN △面积的最小值；（2）如图，当APN V 周长为2时，求PCN ∠的大小.【答案】（1）14；（2）4π. 【解析】 【分析】（1）设MPB α∠=，则ANP α∠=，由题意结合三角函数的概念、正弦的二倍角公式可得1124sin 2MPN S PN PM α=⋅=△，求得sin 2α的最大值即可得解；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=，由题意结合正切的概念及和角公式可得()()2tan x y x y xyβγ-++=+-，再结合三角形周长即可得解.【详解】（1）由题意可得12AP PB ==，PM PN ⊥， 设MPB α∠=，则ANP α∠=，∴1sin 2sin AP PN ANP α==∠，1cos 2cos PB PM MPB α==∠，∴11128sin cos 4sin 2MPN S PN PM ααα=⋅==△，当sin21α=即4πα=时，MPN △的面积取最小值，最小值为14；（2）设AP x =，AN y =，PCB β∠=，DCN γ∠=， 则tan 1PB x BC β==-，tan 1DNy DCγ==-， 则()()2tan tan tan 1tan tan x y x y xyβγβγβγ-+++==-⋅+-，Q APN V 周长为2，∴2x y ++=，化简得()22xy x y =+-，∴()()()()22tan 122x y x y x y xy x y x y βγ-+-++===+-+-+-⎡⎤⎣⎦，又02πβγ<+<，∴4πβγ+=，∴()24PCN ππβγ∠=-+=.【点睛】本题考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.22.已知()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++-. （1）试用五点作图法画出函数()f x 在[]0,2πx ∈上的简图； （2）定义在(],5-∞上的减函数()g x ，若()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）⎡-⎢⎣⎦.【解析】【分析】（1）由题意结合降幂公式可得()cos f x x =，利用五点法即可得解；（2）由题意结合函数的单调性和定义域可得221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，转化条件为22151sin 24a a x ⎛⎫--≥--+ ⎪⎝⎭、25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，利用恒成立问题的解决方法结合三角函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意可得()4422sin2cos cos 2442x x xf x =++- 22221cos 1cos 2222cos 22cos 1cos 2222x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪=⋅+⋅+-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 列表如下：则函数()f x 在[]0,2πx ∈上简图如下：；（2）Q ()g x 为定义在(],5-∞上的减函数，()22π12g a f x g a f x ⎡⎤⎛⎫⎡⎤++≤++⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦对x ∈R 恒成立， ∴()22π152a f x a f x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭即22π1cos cos 52a x a x ⎛⎫++≤++≤ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立，∴221cos sin 5a x a x ++≤-≤对x ∈R 恒成立，的∴2222151cos sin 1sin sin sin 24a a x x x x x ⎛⎫--≥+=-+=--+ ⎪⎝⎭对x ∈R 恒成立， 25sin a x -≤对x ∈R 恒成立，又x ∈R 时，2max 155sin 244x ⎡⎤⎛⎫--+=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，()min sin 1x =-， ∴2251451a a a ⎧--≥⎪⎨⎪-≤-⎩，解得122a --≤≤， ∴实数a的取值范围为12,2⎡-⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查了降幂公式在三角函数化简上的应用，考查了函数的单调性、定义域及三角函数性质的应用，属于中档题.。

河南省 2020 版高一下学期期中数学试卷 C 卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)1. （1 分） (2018 高三下·鄂伦春模拟) 若函数 小正周期为________．2. （1 分） (2020 高一下·红桥期中) 在平行四边形 ABCD 中，若 坐标为________．的最大值为 ，则的最，则向量的3. （1 分） (2019·内蒙古模拟) 已知 的终边过点，若，则________．4. （1 分） (2019 高三上·镇江期中) 已知扇形的半径为 6，圆心角为 ，则扇形的面积为________.5. （1 分） (2017 高三上·襄阳期中) 已知向量，且，则=________．6. （1 分） (2020 高一下·郧县月考) 已知平面向量 在 方向上的投影为________.与 夹角为 45o ， 则向量7. （1 分） (2016 高二下·衡阳期中) 将函数 y=sin2x（x∈R）图象上所有的点向左平移 得图象的函数解析式为________．个单位长度，所8. （1 分） (2018 高一上·寻乌期末) 在直角坐标系内，已知 分别与圆上不相同的两点（异于点 ）重合，两次的折痕方程分别为存在点 ，使，其中的坐标分别为是圆 上一点，折叠该圆两次使点和，若圆 上，则实数 的取值集合为________．9.（1 分）(2018·徐州模拟) 已知函数 的解集为________．，函数，则不等式10. （1 分） (2017 高一下·怀远期中) 已知函数 f（x）=sinx+ cosx，则 f（x）的最大值为________．11.（1 分）(2017·长春模拟) 直线 kx﹣3y+3=0 与圆（x﹣1）2（+ y﹣3）2=10 相交所得弦长的最小值为________．第 1 页 共 15 页12. （1 分） (2018 高二上·舒兰月考) 在三角形 ABC 中,足，若点 是三角形 ABC 外一点，面四边形 OACB 面积的最大值是________．13. （1 分） 化简：( - )-( - )=________ ．分别是内角 A,B,C 所对的边，，，，且满 ，则平14. （1 分） (2019 高三上·苏州月考) 在平面直角坐标系 中，将函数向右平移个单位长度后得到的图象经过坐标原点，则 的最小值为________.二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)15. （10 分） (2019 高一上·汤原月考)的图象上所有点（1） 已知，且，求；（2） 已知函数，若，求的值域.16. （10 分） (2016 高一下·张家港期中) 在四边形 ABCD 中，已知 AB=9，BC=6， =2 ．（1） 若四边形 ABCD 是矩形，求 • 的值；（2） 若四边形 ABCD 是平行四边形，且 • =6，求 与 夹角的余弦值．17. （10 分） (2016 高一下·南安期中) 已知向量 =（cos x，sin x）， =（cos x，﹣sin x），且 x∈[0， ]．求：（1）及；（2） 若 f（x）=﹣2λ的最小值是﹣ ，求 λ 的值．18. （10 分） (2020 高一下·海林期末) 已知圆，直线.（1） 当 a 为何值时，直线与圆 C 相切.（2） 当直线与圆 C 相交于 A、B 两点，且时，求直线的方程.19. （10 分） 已知函数 y=2sin2x+mcosx﹣ ．第 2 页 共 15 页（1） 当 m=﹣1 且﹣ ≤x≤ 时，求函数值域；（2） 当 x∈R 时，试讨论函数最大值．20. （10 分） (2020 高一下·吉林期中) 在锐角三角形 .（1） 求角 C 的大小；（2） 求的取值范围．中，角所对的边分别为，已知第 3 页 共 15 页一、 填空题 (共 14 题；共 14 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 4 页 共 15 页解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：解析： 答案：7-1、 考点：第 5 页 共 15 页解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、 考点：第 6 页 共 15 页解析： 答案：10-1、 考点：解析： 答案：11-1、 考点： 解析：第 7 页 共 15 页答案：12-1、 考点： 解析：第 8 页 共 15 页答案：13-1、 考点：第 9 页 共 15 页解析： 答案：14-1、 考点： 解析：二、 解答题 (共 6 题；共 60 分)第 10 页 共 15 页答案：15-1、答案：15-2、考点：解析：答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。

2020年洛阳市高一数学下期中一模试卷附答案一、选择题1．圆224470x y x y +--+=上的动点P 到直线0x y +=的最小距离为（ ） A ．1 B ．221- C ．22 D ．22．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --= 3．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 4．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．26B ．36C ．23D ．225．下列命题正确的是（ ）A ．经过三点确定一个平面B ．经过一条直线和一个点确定一个平面C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D ．四边形确定一个平面6．已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．27．设α表示平面，a ，b 表示直线，给出下列四个命题：①a α//，a b b α⊥⇒//； ②a b //，a b αα⊥⇒⊥；③a α⊥，a b b α⊥⇒⊂；④a α⊥，b a b α⊥⇒//，其中正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．②④C ．③④D ．①③8．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．89．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．30 10．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶5D ．3∶2 11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412．已知平面αβ⊥且l αβ=I ，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）.A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥二、填空题13．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M 分别是线段AB 、AD 、AA 1的中点，又P 、Q 分别在线段A 1B 1、A 1D 1上，且A 1P ＝A 1Q ＝x (0<x <1).设平面MEF ∩平面MPQ＝l ，现有下列结论：①l ∥平面ABCD ；②l ⊥AC ；③直线l 与平面BCC 1B 1不垂直；④当x 变化时，l 不是定直线.其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)14．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为_________.15．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点，现将AFD V 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足，设AK t =，则t 的取值范围是__________．16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1CC 上的动点，Q 为1BD 上的动点，则线段PQ 的长度的最小值为______.17．已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．18．若圆的方程为2223()(1)124k x y k +++=-，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为 、 ．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC=__________．20．直线:l y x b =+与曲线2:1C y x =-有两个公共点，则b 的取值范围是______.三、解答题21．已知圆22:2410C x y x y ++-+=，O 为坐标原点，动点P 在圆外，过点P 作圆C 的切线，设切点为M . （1）若点P 运动到()13，处，求此时切线l 的方程；（2）求满足PM PO =的点P 的轨迹方程.22．在直角坐标系中，射线OA: x －y=0（x≥0），OB: x+2y=0（x≥0），过点P(1,0)作直线分别交射线OA 、OB 于A 、B 两点.（1）当AB 中点为P 时，求直线AB 的方程；（2）当AB 中点在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 23．已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 24．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30°，试求三棱锥M ANC -的体积.25．已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长．26．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，,AD AB ⊥22,AB BC AD ===四边形EDCF 为矩形，2DE =，平面EDCF ⊥ABCD .（1）求证：//DF 平面ABE ；（2）求二面角B EF D --二面角的正弦值；（3）在线段BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与平面BEF 6存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出圆心到直线0x y +=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解.【详解】由圆的一般方程可得22(2)(2)1x y -+-=，圆心到直线的距离d ==所以圆上的点到直线的距离的最小值为1.故选B.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于中档题.2．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．B解析：B【解析】A 中，,αβ也可能相交；B 中，垂直与同一条直线的两个平面平行，故正确；C 中，,αβ也可能相交；D 中，l 也可能在平面β内.【考点定位】点线面的位置关系4．A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意作出图形：设球心为O ，过ABC 三点的小圆的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 1交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ．∵CO 1=23=，∴13OO ==，∴高SD=2OO 1，∵△ABC 是边长为1的正三角形，∴S △ABC∴13S ABC V -==三棱锥考点：棱锥与外接球，体积．【名师点睛】本题考查棱锥与外接球问题，首先我们要熟记一些特殊的几何体与外接球（内切球）的关系，如正方体（长方体）的外接球（内切球）球心是对角线的交点，正棱锥的外接球（内切球）球心在棱锥的高上，对一般棱锥来讲，外接球球心到名顶点距离相等，当问题难以考虑时，可减少点的个数，如先考虑到三个顶点的距离相等的点是三角形的外心，球心一定在过此点与此平面垂直的直线上．如直角三角形斜边中点到三顶点距离相等等等．5．C解析：C【解析】【分析】根据确定一个平面的公理及推论即可选出.【详解】A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.【点睛】本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.6．D解析：D【解析】【分析】当且仅当PC 垂直于()400kx y k ++=>时，四边形PACB 的面积最小，求出PC 后可得最小面积，从而可求k 的值.【详解】圆C 方程为()2211x y +-=，圆心()0,1C ，半径为1． 因为PA ，PB 为切线，221PC PA ∴=+且1=2122PACB S PA PA ⨯⨯⨯==四边形．∴当PA 最小时，PACB S 四边形最小， 此时PC 最小且PC 垂直于()400kx y k ++=>．又min 21PC k =+，222221+1k ⎛⎫∴= ⎪+⎝⎭，2k ∴=，故选D. 【点睛】圆中的最值问题，往往可以转化圆心到几何对象的距离的最值来处理，这类问题属于中档题. 7．B解析：B【解析】【分析】【详解】①a ∥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故①错误；②若a ∥b ，a ⊥α，由直线与平面垂直和判定定理得b ⊥α，故②正确；③a ⊥α，a ⊥b ⇒b 与α平行，相交或b ⊂α，故③错误；④若a ⊥α，b ⊥α，则由直线与平面垂直的性质得a ∥b ，故④正确．故选B ．8．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 9．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．10．C解析：C【解析】【分析】由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案【详解】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．【点睛】本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．11．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM与ED异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN P ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．12．D解析：D【解析】【分析】根据已知条件和线面位置关系一一进行判断即可.【详解】选项A ：一条直线平行于两个相交平面，必平行于两个面交线，故A 正确；选项B ：垂直于两垂直面的两条直线相互垂直，故B 正确；选项C ：M m ∈且//m l 得m α⊂且//m β，故C 正确；选项D ：M m ∈且m l ⊥不一定得到m α⊂，所以,m l 可以异面，不一定得到m β⊥. 故选：D .【点睛】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系的判定，掌握线面、线线之间的判定定理和性质定理是解决本题的关键，是基础题.二、填空题13．④【解析】【详解】连接BDB1D1∵A1P ＝A1Q ＝x ∴PQ ∥B1D1∥BD ∥EF 则P Q ∥平面MEF 又平面MEF∩平面MPQ ＝l ∴PQ ∥ll ∥EF ∴l ∥平面ABCD 故①成立；又EF ⊥AC ∴l ⊥AC 故解析：④【解析】【详解】连接BD ，B 1D 1，∵A 1P ＝A 1Q ＝x ，∴PQ ∥B 1D 1∥BD ∥EF ，则PQ ∥平面MEF ， 又平面MEF ∩平面MPQ ＝l ，∴PQ ∥l ，l ∥EF ，∴l ∥平面ABCD ，故①成立；又EF ⊥AC ，∴l ⊥AC ，故②成立；∵l ∥EF ∥BD ，故直线l 与平面BCC 1B 1不垂直，故③成立；当x 变化时，l 是过点M 且与直线EF 平行的定直线，故④不成立．即不成立的结论是④.14．【解析】【分析】取正的外心为过作平面的垂线在上取点使得即得是三棱锥外接球球心求出球半径可得体积【详解】如图是外心延长线与交于点是中点过作平面取∵平面ABC ∴到的距离相等∴是三棱锥外接球球心∴所以故答 解析：323π【解析】【分析】取正ABC 的外心为M ，过M 作平面ABC 的垂线，在上取点O ，使得12OM AD =，即得O 是三棱锥A BCD -外接球球心，求出球半径可得体积．【详解】如图，M 是ABC ∆外心，AM 延长线与BC 交于点E ，E 是BC 中点，过M 作MO ⊥平面ABC ，取12OM AD =， ∵AD ⊥平面ABC ，∴//MO AD ，O 到,A D 的距离相等，∴O 是三棱锥A BCD -外接球球心，233332AM =⨯⨯=3OM =，∴22223(3)23OA OM AM =+=+=， 所以2344()(23)32333V OA πππ==⨯=． 故答案为：323π．【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是作出外接球球心．三棱锥外接球球心在过各面中点且与面垂直的直线上．15．【解析】当位于的中点点与中点重合随点到点由得平面则又则因为所以故综上的取值范围为点睛:立体几何中折叠问题要注重折叠前后垂直关系的变化不变的垂直关系是解决问题的关键条件 解析：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】当F 位于DC 的中点，点D 与AB 中点重合，1t =．随F 点到C 点，由CB AB ⊥，CB DK ⊥，得CB ⊥平面ADB ，则CB BD ⊥．又2CD =，1BC =，则3BD =．因为1AD =，2AB =，所以AD BD ⊥，故12t =． 综上，t 的取值范围为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 点睛:立体几何中折叠问题,要注重折叠前后垂直关系的变化,不变的垂直关系是解决问题的关键条件.16．【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段的长度的最小值转化为在平面上投影线段的最小值然后转化为点到直线的距离的最小值【详解】当平面时线段与其在平面上投影相等当与平面不平行时是斜线段大于其在平面上 解析：22【解析】【分析】首先根据数形结合分析可知线段PQ 的长度的最小值转化为PQ 在平面ABCD 上投影线段的最小值，然后转化为点到直线的距离的最小值.【详解】当//PQ 平面ABCD 时，线段PQ 与其在平面ABCD 上投影相等，当PQ 与平面ABCD 不平行时，PQ 是斜线段，大于其在平面ABCD 上投影的长度， ∴求线段PQ 的最小值就是求其在平面ABCD 上投影的最小值，点P 在平面ABCD 的投影是点C ，点Q 在平面ABCD 的投影在BD 上，∴求线段PQ 的最小值转化为点C 到BD 的距离的最小值，连接,AC BD ，交于点O ，AC BD ⊥，∴点C 到BD 的距离的最小值22CO =.2 【点睛】 本题考查几何体中距离的最小值，意在考查空间想象能力和数形结合分析问题的能力，属于中档题型.17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB 的中点OAC 的中点E 连OCOE 则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O 为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关 解析：323π 【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥D ABC -如图所示，由条件可得在底面ACB ∆中，90,22ACB AC BC ∠=︒==AB 的中点O ，AC 的中点E ，连OC,OE 。

2020-2021学年河南省洛阳市高一（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. sin11π3的值等于( )A. 12B. −12C. √32 D. −√322. 关于平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ ，下列结论正确的是( ) A. b ⃗ ⋅a ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，则a⃗ =c ⃗ B. a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ 与b ⃗ 中至少有一个为0⃗ C. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗D. |a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，则a ⃗ //b ⃗3. 在四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 的形状是( )A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 以上都不对4. 点P 为圆x 2+y 2=4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P′，当转过的弧长为23π时，点P′的坐标为( )A. (1,√3 )B. (1,−√3)C. (−1,−√3)D. (12,−√32) 5. 已知△ABC 是边长为2的正三角形，则向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是( ) A. −1 B. 1 C. −√3 D. √36. 为了得到y =sin2x ，x ∈R 的图象，只需把y =cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度7. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A,φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(π4)=( )8. 在△ABC 中，若tanAtanB >1，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定9. AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −45B. −1516C. −14D. −5810. 已知函数f(x)=|cosx|+|sinx|，下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为π2，最小值为1 B. 函数f(x)的最小正周期为π，最小值为0 C. 函数f(x)的最小正周期为π2，最大值为2 D. 函数f(x)的最小正周期为π，最大值为√211. 函数f(x)=sinπx −log 5x 的零点的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知向量a⃗ ≠e ⃗ ，|e ⃗ |=1，对任意t ∈R ，恒有|a ⃗ −t e ⃗ |≥|a ⃗ −e ⃗ |，则( ) A. a⃗ ⊥e ⃗ B. a⃗ ⊥(a ⃗ −e ⃗ ) C. e⃗ ⊥(a ⃗ −e ⃗ ) D. (a⃗ +e ⃗ )⊥(a ⃗ −e ⃗ ) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. sin15°+sin75°的值是 ．14. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则|a ⃗ −b ⃗ |=______． 15. 若函数f(x)=2sin(x +π4)+msin(x −π4)是偶函数，则m =______．16. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)已知向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4).若a ⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，求实数t 的值．(2)若向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，向量λm ⃗⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 共线，求实数λ的值．18. 已知sinθ−cosθ=15，θ∈[0,π]．(1)求sinθ，cosθ的值； (2)求sin(2θ−π4)的值．19. 如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，O 是其中心，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12GC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 分别表示AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 及AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |及AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角θ的余弦．20. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ⃗⃗⃗ =(−1,√3)，n ⃗ =(cosA +1,sinA)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角A ；(2)若1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，求tanC ．21.已知f(x)=2sinx(sinx+cosx)．(1)求函数f(x)的单调递增区间及最大值；(2)用“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象．22.已知向量a⃗=(cos32x,sin32x)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2]，(1)求a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值是−32，求实数λ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：sin 11π3=sin(4π−π3)=−sin π3=−√32． 故选：D ．原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：选项A ，∵b ⃗ ⋅a ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，∴|b ⃗ |⋅|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|b ⃗ |⋅|c ⃗ |cos <b ⃗ ，c ⃗ >，即|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|c ⃗ |cos <b ⃗ ，c⃗ >，不能说明a ⃗ =c ⃗ ，即选项A 错误； 选项B ，当两个非零向量a ⃗ ⊥b ⃗ 时，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，但a ⃗ ，b ⃗ 均不是零向量，即选项B 错误； 选项C ，由于平面向量具有方向，所以不满足数量积的结合律，即选项C 错误； 选项D ，∵|a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，∴|b ⃗ |⋅|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=1，∴<a ⃗ ，b ⃗ >=0，∴a ⃗ ，b ⃗ 方向相同，即选项D 正确． 故选：D ．A ，根据平面向量数量积的运算法则，可判断；B ，举反例，两个非零向量a ⃗ ⊥b ⃗ ；C ，平面向量数量积不满足结合律；D ，根据平面向量数量积的运算法则和平面向量夹角的范围，可判断．本题考查平面向量数量积的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查向量的平行的判定，属基础题．由向量的知识可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，进而可得四边形ABCD 是梯形． 【解答】∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可判AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 故选C ．4.【答案】B【解析】解：由题意，|OP′|=2，转过的弧长为23π，则旋转角为−π3， ∴点P′的横坐标x =2cos(−π3)=1，纵坐标为y =2sin(−π3)=−√3， ∴点P′的坐标为(1,−√3). 故选：B ．由已知结合弧长公式可得旋转角，再由任意角的三角函数的定义求解． 本题考查弧长公式及任意角的三角函数，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意知，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=2×(−12)=−1． 故选：A ．根据平面向量数量积的几何意义，即可得解．本题考查平面向量数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：只需把y =cos2x =sin(2x +π2)，x ∈R 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，即可得到y =sin2x ，x ∈R 的图象， 故选：B ．角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=1，且T4=π3−π12=π4，解得T=π，所以ω=2π T=2，又(π12,0)是f(x)的五点法画图中的第一个点，所以2×π12+φ=0，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(2x−π6)，所以f(π4)=sin(2×π4−π6)=sinπ3=√32．故选：D．由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象求出A、T和ω、φ的值，写出f(x)的解析式，再求f(π4)的值，即可得解．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB>1，得到1−tanAtanB<0，且得到tanA>0，tanB>0，即A，B为锐角，所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB<0，则A+B∈(π2,π)，即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．利用两角和的正切函数公式表示出tan(A+B)，根据A与B的范围以及tanAtanB>1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan(A+B)小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan(A +B)的值为负数，进而得到A +B 的范围，判断出C 也为锐角．9.【答案】B【解析】解：如图所示：O 为圆心，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，由题意知：OE ⃗⃗⃗⃗⃗=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−116OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−(1−116)=−1516． 故选：B ．做出图形，以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基底，由题意表示出EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入结论计算即可． 本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：根据函数f(x)=|cosx|+|sinx|={cosx +sinx,x ∈[0,π2]−cosx +sinx,x ∈(π2,π]−cosx −sinx,x ∈(π,3π2]cosx −sinx,x ∈(3π2,2π]的图象，可得函数的最小正周期为π2，且最小值为1，故A 正确且BD 错误．由函数f(x)的图象可得它的最大值 为√2，故C 错误． 故选：A ．的关键，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由f(x)=sinπx−log5x=0得sinπx=log5x，设ℎ(x)=sinπx，g(x)=log5x，则所求的函数的零点个数转化为：函数ℎ(x)和g(x)图象的交点个数，在同一坐标系内作出g(x)和ℎ(x)的图象：由函数图象知(0,5]函数在上有5个交点．故选：C．将条件f(x)=sinπx−log5x的零点个数转化为ℎ(x)=sinπx，g(x)=log5x交点个数判断．本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合思想，关键是正确作图．12.【答案】C【解析】解：已知向量a⃗≠e⃗，|e⃗|=1，对任意t∈R，恒有|a⃗−t e⃗|≥|a⃗−e⃗|即|a⃗−t e⃗|2≥|a⃗−e⃗|2∴t2−2a⃗⋅e⃗t+2a⃗⋅e⃗−1≥0即△=(2a⃗⋅e⃗ )2−4(2a⃗⋅e⃗−1)≤0即(a⃗⋅e⃗−1)2≤0∴a⃗⋅e⃗−1=0a⃗⋅e⃗−e⃗2=0∴e⃗⋅(a⃗−e⃗ )=0故选：C．对|a⃗−t e⃗|≥|a⃗−e⃗|两边平方可得关于t的一元二次不等式t2−2a⃗⋅e⃗t+2a⃗⋅e⃗−1≥0，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．13.【答案】√62本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 方法一：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 方法二：利用两角和与差的三角函数公式化简求解即可． 【解答】解：方法一：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=√2(sin15°cos45°+cos15°sin45°) =√2sin60°=√62． 方法二：原式=sin(45°−30°)+sin(45°+30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30° =2sin45°cos30°=2×√22×√32=√62． 故答案为√62．14.【答案】√3【解析】解：∵非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =1，可得a ⃗ ⋅b ⃗ =−12． 则|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =√1+1−2×(−12)=√3．故答案为：√3．非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，可得√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =1，可得a⃗ ⋅b ⃗ ，进而得出．本题考查了数量积运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】−2【解析】解：函数f(x)=2sin(x +π4)+msin(x −π4)是偶函数，整理得：−m =2， 整理得：m =−2． 故答案为：−2．直接利用赋值法和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】−3+2√2【解析】解：设PA 与PO 的夹角为a ，则|PA|=|PB|=1tanαy =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α =1(tanα)2⋅cos2α=cos 2αsin 2α⋅cos2α =1+cos2α1−cos2α⋅cos2α记cos2a =u.则y =u(u+1)1−u=(−u −2)+21−u =−3+(1−u)+21−u≥−3+2√2即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−3+2√2 故答案为：−3+2√2利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值．17.【答案】解：(1)∵向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4)，若a ⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，∴a ⃗ ⋅(t a ⃗ +b ⃗ )=t a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =2t +(6+4)=0，∴实数t =−5．(2)∵向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，向量λm ⃗⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 共线， ∴λ1=12，∴实数λ=12．【解析】(1)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．(2)由题意利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．18.【答案】解：(1)将sinθ−cosθ=15两边平方得，2sinθcosθ=2425，∵θ∈[0,π]， ∴sinθ+cosθ>0，∴sinθ+cosθ=√1+2sinθcosθ=75， ∴sinθ=45，cosθ=35． (2)∵sinθ=45，cosθ=35， ∴sin2θ=2425，cos2θ=2cos 2θ−1=−725， ∴sin(2θ−π4)=√22(sin2θ−cos2θ)=√22×[2425−(−725)]=31√250．【解析】(1)将sinθ−cosθ=15两边平方，可得2sinθcosθ的值，再由sinθ+cosθ=√1+2sinθcosθ，求得sinθ+cosθ的值，然后解方程组，即可；(2)由二倍角公式可得sin2θ和cos2θ的值，再由两角差的正弦公式，展开，代入数据运算即可．本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，二倍角公式和两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =43a ⃗ +13b ⃗ ；(2)正六边形ABCDEF 的边长为1，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12； 由(1)的结论，AG ⃗⃗⃗⃗⃗=43a ⃗ +13b ⃗ ， 则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗|2=(43a ⃗ +13b ⃗ )2=169+19+89a ⃗ ⋅b ⃗ =139，故|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√133，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +2b ⃗ ，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43a ⃗ +13b ⃗ )⋅(2a ⃗ +2b ⃗ )=23(4a ⃗ 2+5a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=53，故cosθ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=532×√133=5√1326， 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角θ的余弦cosθ=5√1326．【解析】(1)根据题意，由平面向量基本定理分析可得答案；(2)根据题意，先求出a ⃗ ⋅b⃗ 的值，结合(1)的结论可得|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(43a ⃗ +13b ⃗ )2，变形可得答案，进而求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，由向量夹角公式可得cosθ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的运算以及性质的应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0． ∴−(cosA +1)+√3sinA =0，化为2sin(A −π6)=1， ∴sin(A −π6)=12．∵0<A <π，∴−π6≠A −π6<5π6，∴A −π6=π6，解得A =π3． (2)由1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，化为sin 2B −sinBcosB −2cos 2B =0， ∵cosB ≠0，∴tan 2B −tanB −2=0， ∴tanB =2或tanB =−1；而tanB =−1使cos 2B −sin 2B =0，故应舍去 ，∴tanB =2，∴tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =√31−2√3=8+5√311．【解析】(1)利用数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性即可得出； (2)利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．本题考查了数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．21.【答案】解：(1)f(x)=2sinx(sinx +cosx)=sin2x −cos2x +1=√2sin(2x −π4)+1， 可得f(x)的最大值M =√2+1，令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈z，故函数的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈z．(2)由题意列表如下：x0π83π85π87π8π2x−π4−π40π2π3π27π4f(x)01√2+111−√20描点连线可得函数图像如下：【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，进而利用正弦函数的性质即可求解．(2)用“五点法”列表，描点，连线即可．本题考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象和正弦函数性质的运用，属于基础题．22.【答案】解：(1)由题意可得a⃗⋅b⃗ =cos32xcos x2−sin32xsin x2=cos2x，a⃗+b⃗ =(cos32x+cos x2,sin32x−sin x2)，∴|a⃗+b⃗ |=√(sin3x2+cos x2)2+(sin3x2−sin x2)2=√2+2cos2x=2|cosx|．∵x∈[0,π2]，∴1≥cosx≥0，∴|a⃗+b⃗ |=2cosx．(2)由(Ⅰ)得 f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −2λ|a ⃗ +b ⃗ |=cos2x −4λcosx =2(cosx −λ)2−1−2λ2， 再结合1≥cosx ≥0可得，当λ<0时，则cosx =0时，f(x)取得最小值为−1，这与已知矛盾． 当0≤λ≤1时，则cosx =λ时，f(x)取得最小值为−1−2λ2． 当λ>1时，则cosx =1时，f(x)取得最小值为1−4λ． 由已知得1−4λ=−32，λ=58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ=12为所求．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积公式求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，再根据a ⃗ +b ⃗ 的坐标，求得|a ⃗ +b⃗ |的值． (2)由(Ⅰ)得 f(x)=2(cosx −λ)2−1−2λ2，再结合1≥cosx ≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f(x)的最小值是−32，分别求得实数λ的值，综合可得结论． 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。

河南省洛阳市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·宜宾期中) 已知集合A={x|2≤x＜4}，B={x|3x﹣7≥8﹣2x}，则A∩B=（）A . [2，+∞）B . [3，4）C . [3，4]D . [3，+∞）2. （2分）已知D为的边BC的中点，所在平面内有一点P，满足，设则的值为（）A . 1B .C . 2D .3. （2分）已知数列{an}是等差数列，若它的前n项和Sn有最小值，且＜﹣1，则使Sn＞0成立的最小自然数n的值为（）A . 4022B . 2022C . 4021D . 20214. （2分）(2016·上海文) ）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是增函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A . ①和②均为真命题B . ①和②均为假命题C . ①为真命题，②为假命题D . ①为假命题，②为真命题5. （2分） (2020高二下·大庆期末) 已知函数满足：对恒成立，且能取到等号，则（）A . 函数一定是偶函数B . 函数一定是偶函数C . 函数一定是奇函数D . 函数一定是奇函数6. （2分） (2020高二下·宁波期中) 设，那么“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件7. （2分） (2017高三上·泰安期中) 如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x（x∈[0，π]），OP所经过的在正方形ABCD内的区域（阴影部分）的面积S=f（x），那么对于函数f（x）有以下三个结论，其中不正确的是（）①f（）=②函数f（x）在（，π）上为减函数③任意x∈[0， ]，都有f（x）+f（π﹣x）=4．A . ①B . ③C . ②D . ①②③8. （2分） (2017高二下·济南期末) 双曲线 =﹣1的渐近线方程是（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=± x9. （2分） (2017高二上·中山月考) 在等比数列中，若，则的最小值为（）A .B . 4C . 8D . 1610. （2分）(2019·河南模拟) 已知满足约束条件，若目标函数的最大值为，则实数的值为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·萨尔图期末) 设方程的两个根为，则（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·沈阳期末) 已知函数，，当时，取得最小值，则在直角坐标系中函数的图像为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高三上·湖北月考) 黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：当 ( 为正整数，是既约真分数)时，当或上的无理数时，若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有，当时，，则 ________.14. （1分） (2016高二下·凯里开学考) 抛物线的准线方程为________．15. （1分） (2020高二下·海安月考) 在△ABC中，∠BAC＝，AD为∠BAC的角平分线，且，若AB＝2，则BC＝________.16. （1分）(2014·新课标II卷理) 函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高二上·濠江月考) 已知数列为递增的等差数列，其中，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设，记数列的前n项和为，求使得成立的n的最大值.18. （5分）(2020·西安模拟) 某某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．19. （10分） (2019高一下·宿迁期末) 如图，在中，为边上一点，，.（1）求的值；（2）若 ,求的面积.20. （5分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD中点．（Ⅰ）求证：EN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PEB；（Ⅲ）求三棱锥M﹣PBE的体积．21. （10分）(2017·南京模拟) 已知椭圆E：（a＞b＞0）的右准线的方程为x= ，左、右两个焦点分别为F1（），F2（）．（1）求椭圆E的方程；（2）过F1 ， F2两点分别作两条平行直线F1C和F2B交椭圆E于C，B两点（C，B均在x轴上方），且F1C+F2B 等于椭圆E的短轴的长，求直线F1C的方程．22. （5分） (2018高二下·盘锦期末) 已知函数，其中a>0．（Ⅰ）求证：函数f(x)在x=1处的切线经过原点；（Ⅱ）如果f(x)的极小值为1，求f(x)的解析式．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

河南省2020年高一下学期期中数学试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一下·上饶月考) 若角，，（，），则角与的终边的位置关系是（）A . 重合B . 关于原点对称C . 关于轴对称D . 关于轴对称2. （2分） (2020高一上·温州期末) 已知，，则（）A .B .C .D .3. （2分）已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数 =3， =3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A . =0.4x+2.3B . =2x﹣2.4C . =﹣2x+9.5D . =﹣0.4x+4.44. （2分）(2020·奉贤模拟) 某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用如图的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A . 1.5小时B . 1.0小时C . 0.9小时D . 0.6小时5. （2分）(2020·宝山模拟) 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，，下列判断错误的是（）A . 当，时，辅助角B . 当，时，辅助角C . 当，时，辅助角D . 当，时，辅助角6. （2分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）的部分图象如图所示，则y=f（x）的图象可由y=cos2x图象（）A . 向右平移个长度单位B . 向左平移个长度单位C . 向右平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分） (2017高一下·广州期中) 已知函数y=sin（2x+φ）+1的图象关于直线对称，则φ的可能取值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·珠海期末) 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积，弧田（如图所示）由圆弧和其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是（）（）A . 16平方米B . 18平方米C . 20平方米D . 24平方米9. （2分）某社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率；其中说法正确的为（）A . ①②③B . ②③C . ③④D . ①④10. （2分）已知直线2x+y﹣3=0的倾斜角为θ，则的值是（）A . -3B . -2C .D . 311. （2分）把一枚硬币掷三次，三次都出现正面的概率为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·洛阳期中) 函数y=x﹣的值域为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一上·启东期末) 已知函数f（x）=2sin（2x﹣）﹣1在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b）上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b﹣a的最小值为________．14. （1分） (2017高二下·池州期末) 给出如图的程序框图，程序输出的结果是________．15. （1分） (2016高三上·浦东期中) 函数f（x）=cos x，对任意的实数t，记f（x）在[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），则函数h（t）=M（t）﹣m（t）的值域为________．16. （1分） (2016高一下·滕州期末) 某校有男生1200人，女生900人，为了解该校学生对某项体育运动的喜爱情况，采用按性别分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个容量为70的样本，则样本中女生的人数为________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2017高三上·盐城期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3，，且．（1）求b的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18. （10分）(2012·重庆理) 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．19. （5分）假设在100件产品中有3件次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各有多少种？（必须计算出结果）（Ⅰ）没有次品；（Ⅱ）恰有两件是次品；（Ⅲ）至少有两件是次品．20. （10分） (2020高一下·忻州月考) 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）当时，不等式有解，求实数的取值范围.21. （15分） (2016高一上·襄阳期中) 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b），（1）求f（0）的值；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；（3）判断f（x）的单调性，并证明你的结论．22. （15分） (2016高二上·嘉兴期中) 设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；（2）求f（x）的最小值；（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共65分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、。

河南省2020版高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·泸州期末) 已知，则A .B .C .D .2. （2分）在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·丽水月考) 在等差数列中，若，则（）A . 5B . 10C . 15D . 204. （2分） (2019高三上·上海月考) 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5 ，有下列四个命题，假命题的是（）A . 公差d<0B . 在所有Sn<0中，S13最大C . 满足Sn>0的n的个数有11个D . a6>a75. （2分）已知||=， ||=2，.=﹣3，则与的夹角是（）A . 150°B . 120°C . 60°D . 30°6. （2分）函数f（x）=sin（x+18°）﹣cos（x+48°）的值域为（）A .B . [﹣1，1]C .D . [﹣2，2]7. （2分）若A，B，C为圆O：x2+y2=1上的三点，且AB=1，BC=2，则•=（）A . 0B .C .8. （2分）若，且，则的值为（）A . 1或B . 1C .D .9. （2分） (2019高一下·邢台月考) 在等比数列中，若，且，，成等差数列，则其前项和为（）A .B .C .D .10. （2分）(2017·蚌埠模拟) 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象上相邻两个最高点的距离为π．若将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于y轴对称．则函数f（x）的解析式为（）A . f（x）=2sin（x+ ）B . f（x）=2sin（x+ ）C . f（x）=2sin（2x+ ）D . f（x）=2sin（2x+ ）11. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 设P为△ABC所在平面内一点，且2 +2 + = ，则△PAC的面积与△ABC的面积之比等于（）B .C .D . 不确定12. （2分） (2019高三上·泸县月考) 我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程确定x的值，类似地的值为（）A . 3B .C . 6D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·集宁期中) 等比数列前n项和为，且，，则其公比为________.14. （1分）(2017·石嘴山模拟) 已知向量，的夹角为60°，| |=1，| |=3，则|5 ﹣|=________．15. （1分）函数y=cos2x+sinxcosx的最大值是________．16. （1分）(2017·衡水模拟) 若函数f（x）的表达式为f（x）= （c≠0），则函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，），现已知函数f（x）= ，数列{an}的通项公式为an=f（）（n∈N），则此数列前2017项的和为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2020高二上·唐山月考) 已知等差数列的前项和为，且， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 .18. （10分） (2015高一下·嘉兴开学考) 已知．（1）λ何值时，最小？此时与的位置关系如何？（2）λ何值时，与的夹角的余弦值最大？此时与的位置关系如何？19. （10分） (2015高二下·忻州期中) 已知等比数列{an}满足：a1= ，a1 ， a2 ， a3﹣成等差数列，公比q∈（0，1）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2nan ，求数列{bn}的前n项和Sn ．20. （10分） (2016高二上·遵义期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosC ﹣（2b﹣c）=0．（1）求角A；（2）若sinC=2sinB，且a= ，求边b，c．21. （10分） (2020高二下·杭州期中) 已知函数， .（1）求的最小正周期；（2）求在的值域.22. （10分）设数列{an}前n项和为Sn ，已知Sn=2an﹣1（n∈N*），（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，不等式k（Sn+1）≥2n﹣9恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

河南省洛阳市2019-2020年度高一下学期期中数学试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·黑龙江期中) 一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是A . 随机事件B . 必然事件C . 不可能事件D . 不能确定2. （2分）若1+sinθ +cosθ =0成立，则θ不可能是（）A . 第二、三、四象限角B . 第一、二、三象限角C . 第一、二、四象限角D . 第一、三、四象限角3. （2分） (2019高一下·丽水月考) 与角终边相同的角是（）A .B .C .D .4. （2分）已知角α的终边经过点（﹣6，8），则cosα=（）A .B .C . -D . -5. （2分）下列命题正确的是（）.A . 终边相同的角都相等B . 钝角比第三象限角小C . 第一象限角都是锐角D . 锐角都是第一象限角6. （2分） (2016高二下·丰城期中) 两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·桐乡期中) cos150°的值为（）A .B . -C .D . ﹣8. （2分）函数f（x））满足（x+2）= ，若f（1）=2，则f（99）=（）A . 1B . 3C .D .9. （2分）对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）A . 互斥不对立B . 对立不互斥C . 互斥且对立D . 不互斥也不对立10. （2分） cos（﹣570°）的值为（）A .B .C . -D . -11. （2分）在下列各数中，最大的数是（）A . 85（9）B . 210（6）C . 1000（4）D . 11111（2）12. （2分）(2017·江西模拟) 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）A . 2.81B . 2.82C . 2.83D . 2.84二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若α是第三象限角，则的终边在第________象限．14. （1分） (2018高二上·东台月考) 从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________．15. （1分）将1440°化为弧度，结果是________16. （1分） (2016高一下·汉台期中) 下列说法中正确的有________①刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等．②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大．③有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响．④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．三、解答题 (共6题；共50分)17. （5分）一批产品，有4件次品，6件正品，每次抽一件测试，直到4件次品都找到为止，假定抽查不放回，求下列事件的概率（A）在第5次测试后停止；（B）在第10次测试后停止．18. （10分）计算下列各式：（1）已知tanα=2，求值；（2）化简f（α）= ．19. （10分） (2017高三上·漳州开学考) “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．（1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关；说明你的理由；（下面的临界值表供参考）（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k0）0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879（2）现计划在这次场外调查中按年龄段选取6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在20～30岁之间的人数的分布列和数学期望．20. （10分）已知函数（1）求最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值.21. （10分）(2014·陕西理) 在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量300500（kg）概率0.50.5作物市场价610格（元/kg）概率0.40.6（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．22. （5分） (2017高二下·濮阳期末) 一个袋子里装有7个球，其中有红球4个，编号分别为1，2，3，4；白球3个，编号分别为2，3，4．从袋子中任取4个球（假设取到任何一个球的可能性相同）．（Ⅰ）求取出的4个球中，含有编号为3的球的概率；（Ⅱ）在取出的4个球中，红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。

2020-2021洛阳市第一高级中学高三数学下期中模拟试题及答案一、选择题1．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．12．在R 上定义运算：A()1B A B =-，若不等式()x a -()1x a +<对任意的实数x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<< D ．3122a -<< 3．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A ．322B 5C ．5D ．926．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102007．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a ,若(){}nf a 仍是比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的如下函数： ①()3f x x =；②()xf x e =；③()f x =④()ln f x x =则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①② B ．③④C ．①③D ．②④8)63a -≤≤的最大值为（ ）A ．9B ．92C ．3 D ．29．已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC=120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A．10 kmBkmC ．D ．10．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是（ ） A ．()8,10B．(C ．()D ．)11．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524312．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c ，且cos 3C =，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________． 16．设x ，y 满足则220,220,20,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩则3z x y =-的最小值是______.17．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 19．在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=3：5：7，则此三角形最大内角的大．小．为________．20．已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =____ 三、解答题21．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 22．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 24．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 25．设函数1()|(0)f x x x a a a=++- （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围．26．等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．2．C解析：C 【解析】 【分析】根据新运算的定义, ()x a -()x a +22x x a a =-++-,即求221x x a a -++-<恒成立,整理后利用判别式求出a 范围即可【详解】Q A()1B A B =-∴()x a -()x a +()()()()22=11x a x a x a x a x x a a --+=--+-=-++-⎡⎤⎣⎦Q ()x a -()1x a +<对于任意的实数x ∈R 恒成立,221x x a a ∴-++-<,即2210x x a a -++--<恒成立,()()2214110a a ∴∆=-⨯-⨯--<,1322a ∴-<<故选：C 【点睛】本题考查新定义运算,考查一元二次不等式中的恒成立问题, 当x ∈R 时,利用判别式是解题关键3．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.4．C解析：C 【解析】【分析】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，得出::5:11:13a b c =，可得出角C 为最大角，并利用余弦定理计算出cos C ，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由sin :sin :sin 5:11:13A B C =，可得出::5:11:13a b c =， 设()50a t t =>，则11b t =，13c t =，则角C 为最大角，由余弦定理得2222222512116923cos 022511110a b c t t t C ab t t +-+-===-<⨯⨯，则角C 为钝角，因此，ABC ∆为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.5．C解析：C 【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.6．B解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.7．C解析：C 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，验证()()1n n f a f a +是否为非零常数，由此可得出正确选项. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则1n na q a +=. 对于①中的函数()3f x x =，()()3313112n n n n n n f a a a q f a a a +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，该函数为“保等比数列函数”；对于②中的函数()xf x e =，()()111n n n n a a a n a n f a e e f a e++-+==不是非零常数，该函数不是“保等比数列函数”； 对于③中的函数()f x =()()1n n f a f a +===，该函数为“保等比数列函数”；对于④中的函数()ln f x x =，()()11ln ln n n n na f a f a a ++=不是常数，该函数不是“保等比数列函数”.故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的定义，着重考查对题中定义的理解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．B解析：B【解析】 【分析】根据369a a -++=是常数，可利用用均值不等式来求最大值. 【详解】 因为63a -≤≤， 所以30,60a a ->+> 由均值不等式可得：36922a a -++≤= 当且仅当36a a -=+，即32a =-时，等号成立， 故选B. 【点睛】本题主要考查了均值不等式，属于中档题.9．D解析：D 【解析】 【分析】直接利用余弦定理求出A ，C 两地的距离即可． 【详解】因为A ，B 两地的距离为10km ，B ，C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°， 则A ，C 两地的距离为：AC 2＝AB 2+CB 2﹣2AB •BC cos ∠ABC ＝102+202﹣2110202⎛⎫⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭700．所以AC ＝km ． 故选D ． 【点睛】本题考查余弦定理的实际应用，考查计算能力．10．B解析：B 【解析】 【分析】根据大边对大角定理知边长为1所对的角不是最大角，只需对其他两条边所对的利用余弦定理，即这两角的余弦值为正，可求出a 的取值范围． 【详解】由题意知，边长为1所对的角不是最大角，则边长为3或a 所对的角为最大角，只需这两个角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，于此得到2222221313a a ⎧+>⎨+>⎩，由于0a >，解得2210a <<，故选C ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，在考查三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，一般由最大角来决定，并利用余弦定理结合余弦值的符号来进行转化，其关系如下：A 为锐角cos 0A ⇔>；A 为直角cos 0A ⇔=；A 为钝角cos 0A ⇔<. 11．A 解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.12．C解析：C 【解析】因为等差数列{}n a 中，611 a a =，所以6116111150,0,,2a a a a a d =-=-，有2[(8)64]2n dS n =--， 所以当8n =时前n 项和取最小值.故选C. 二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.15．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力 解析：9π【解析】【分析】根据正弦定理得到()1sin sin A B C R +==，再根据22cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=，即()1sin sin A B C R +==，22cos 3C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==.故答案为9π【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.16．-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：作出可行域如图所示当直线经过点时故答案为：【点睛】本题考查简单的线性 解析：-4【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：作出可行域如图所示，当直线3z x y =-经过点()2,2时，min 2324z =-⨯=-.故答案为：4-【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．17．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10【解析】【分析】【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=10 18．【解析】【分析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解【详解】等差数列的前项和为则有解得故答案为【点睛】本题考查了等差数列前项和的公式运用在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求 解析：【解析】【分析】根据等差数列的前n 项和转化为关于1a 和d 的数量关系来求解【详解】Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，636S =，则有()()31613313926616362S a d S a d ⎧⨯-=+=⎪⎪⎨⨯-⎪=+=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩ 78911116783213121245a a a a d a d a d a d ∴++=+++++=+=⨯+⨯=故答案为45【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于1a 和d 的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。