工程数学线性代数(第五版)同济大学数学系编课后习题答案

因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或2
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1
因为|A｜等于所有特征值之积又|A｜1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵AmnBnm的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值
证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于（nr）(nt）n(nrt）n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使
k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0
记k1a1k2a2knranr（l1b1l2b2lnrbnr)
P[diag（1510）5diag（159）]P1
Pdiag（40)P1
。
(2)设 ，求(A）A106A95A8
解求得正交矩阵为
使得P1APdiag（115)APP1于是
（A）P（）P1P(106958)P1
P[8(E）（5E)]P1
Pdiag(1158）diag(204）diag（640）P1
Pdiag（1200）P1
(1）f2x123x223x334x2x3
解二次型的矩阵为 由
得A的特征值为122531
当12时,解方程(A2E)x0由
得特征向量(100）T取p1(100）T
当25时解方程（A5E）x0由
得特征向量(011)T取 。
当31时解方程(AE）x0，由
得特征向量（011）T取
于是有正交矩阵T(p1p2p3)和正交变换xTy使
（AE）p0，即 ，

工程数学线性代数(同济大学第五版)课后 习题答案【精品
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民ห้องสมุดไป่ตู้幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
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10 求下列矩阵的逆矩阵
(1)
1 2
2 5
解
A
12 25
|A| 1 故 A 1 存在 因为
A*
A11 A21
A12 A22
52 21
故
A 1 1 A* | A|
52 21
(2) cos sin
sin cos
解 A co s si n
a13 a23 a33 x3
(a11x1 a12x2 a13x3
a 12x1 a22x2 a23x3
x1
a13x1 a23x2 a33x3) x2
x3
a11 x12 a22 x22 a33 x32 2a12 x1x2 2a13 x1x3 2a23 x2x3
4 设A
12 13
B
10 12
问
(1)AB BA 吗 ?
所以有 x2 12 z1 4 z2 9 z3
x3 10 z1 z2 16 z3
11 1
1 23
2 设A 1 1 1 B 1 2 4
1 11
0 51
求 3AB 2A 及 ATB
11 1 1 2 3
11 1
解 3 AB 2 A 3 1 1 1 1 2 4 2 1 1 1
1 11 0 5 1
1 11
058 30 56
3 32 3
0
3 32
00
3
4 436 2
0
4 43
00
4
5 5 4 10 3
0
5 54
00
5
k k k 1 k (k 1) k 2
Ak
0
k
2 k k1
00
k
用数学归纳法证明