平面基本力系2

性质1 性质 公理 性质2 性质 证明
F B
rAB A rB rA
O
F’ r r r r r M = rA × F + rB × F ′ r r r = (rA − rB ) × F r r r = rAB × F = M ( F , F ′) F’ h F
M
性质3 推论 性质
M
平面力偶系的合成与平衡
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。否则 各力的作用线都在同一平面内的力系。 为空间力系。 为空间力系。 共点力系 平面力系的类型 力 偶 系 任意力系
§2–1 平面汇交力系
平面汇交力系 平面内所有作用力的作用线汇交 于同一点。 于同一点。
平面汇交力系的合成
力的多边形规则
平面汇交力系的合成结果 平面汇交力系可简化为一合力， 其合力的大小与方向等 平面汇交力系可简化为一合力 ， 于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。 于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
∑F = 0
F5 A F2 F4 F3 F1
A
F1
B
F2
C
F3
D
F5
E
F4
比较下面两力多边形
F2
B
F1
A
C
F3
D A
F1
B
F2
C
F3
D
F5
E
F4
F5
E
F4
平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力在坐标轴上的投影
b´ y
B
β α
Fx = F cosα Fy = F cos β
Fy
a´
F
b x
合力投影定理 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的 合力在任一轴上的投影， 投影的代数和。 投影的代数和。
F x= F1x+ F2x+ L + Fnx =Σ Fx
r r r F R = F Rx i + F Ry j
F Rx = ∑ F ix F Ry = ∑ F iy
平衡方程
F Rx = ∑ F ix = 0 F Ry = ∑ F iy = 0
如图已知W 例2–1 如图已知 1=100 kN， W2=250 kN。不计各 ， 不计各 杆自重， 杆自重，A，B，C，D各点均为光滑铰链。试求平衡状 各点均为光滑铰链 态下杆AB内力及与水平的夹角 内力及与水平的夹角。 态下杆 内力及与水平的夹角。
A θ BБайду номын сангаасD W1
45°
C
30°
W2
解： 1. 取销钉 作为研究对象 取销钉C作为研究对象 作为研究对象。
(a)
C M
h
-FC C M C
h
B FB
A
B
(b)
FA A
FC
§2–1 平面汇交力系
平面力系的基本类型 平面汇交力系的合成 平面汇交力系的合成
1. 平面力系的基本类型
汇交力系 —— 各力的作用线均汇交于一点的力系。 各力的作用线均汇交于一点的力系。 共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。 各力均作用于同一点的力系。 力 偶 —— 作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。 作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。
A θ B D W1
45°
y
FBC C
45° 30°
FD
x
W2 C
30°
∑F =0
x
FDcos 30° − FBC cos 45° = 0
∑F = 0
y
W2
FDcos 60° −W2 + FBCsin 45° = 0
2. 取销钉 作为研究对象。 取销钉B作为研究对象 作为研究对象
A θ B D W1
解： 取工件为研究对象 外载荷
F’ M1 F A M2 M1 M2 F’ B F
M= 2M1+ 2M2 = 76N·m Fl=M F = M / l = 38kN
l
讨论： 讨论 约束力是否一定在水平方向？ 约束力是否一定在水平方向？
例2－3 三铰拱约束反力
C M M A B FC
C
C -FC FB A FA B
A
a
O
Fx
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 结论：力在某轴上的投影， 夹角的余弦。 夹角的余弦。 反之，当投影 已知时， 的大小和方向： 反之，当投影Fx，Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
F = Fx2 + Fy2
Fy Fx cos α = , cos β = F F
F2 d F1
力偶臂
—— 力偶中两个力的作用线之间的 距离。 距离。
F2
d
F1
力偶矩
—— 力偶中任何一个力的大小与力 偶臂d 的乘积， 偶臂 的乘积，加上适当的正 负号。 负号。
M = ±F1·d
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势， 力偶矩取正号； 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势 ， 力偶矩取正号 ； 反之，取负号。 反之，取负号。
2.平面内力偶的等效定理 . 作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条 件是二者的力偶矩代数值相等。 件是二者的力偶矩代数值相等。 性质1 力偶不能简化为一个合力。（不能用一个力平衡） 。（不能用一个力平衡 性质 力偶不能简化为一个合力。（不能用一个力平衡） 性质2 力偶对任意一点之矩为常量。（与矩心无关） 。（与矩心无关 性质 力偶对任意一点之矩为常量。（与矩心无关） 性质3 力偶矢量是自由矢量。（在刚体内平移外效应不变） 矢量是自由矢量。（在刚体内平移外效应不变 性质 力偶矢量是自由矢量。（在刚体内平移外效应不变）
（1） BC F （2） （3） （4） W2
y
FD C
45° 30°
x
′ FBC cos 45° − FAcosθ = 0
′ FAsin θ −W − FBCsin 45° = 0 1
由式（ ）、（2 由式（1）、（2）解得 FBC= 224.23 kN 代入（ ）、（4 代入（3）、（4）解得 tan θ = 1.631 FA= 303.29 kN , θ = 58.5°
y Fy Fy F x Fx Fx
O
§2–2 平面力偶系的合成 与平衡条件
力偶和力偶矩 平面内力偶的等效定理 平面力偶系的合成 平面力偶系的平衡条件
工
程
实 例
问题:用一只手不行吗?会发生什么结果? 问题:用一只手不行吗?会发生什么结果?
1.力偶和力偶矩 1.力偶和力偶矩
力偶 —— 大小相等的二反向平行力。 大小相等的二反向平行力。 作用效果：引起物体的转动。 ⑴ 作用效果：引起物体的转动。 力和力偶是静力学的二基本要素。 ⑵ 力和力偶是静力学的二基本要素。 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因 ）， 而也只能与力偶平衡。 而也只能与力偶平衡。
FA θ B
45°
x
W1
F'BC
投影法的符号法则： 投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值 为负时，表示原先假定的该力指向和实 为负时， 际指向相反。 际指向相反。
֠ 思考题
应用解析法求解平面汇交力系平衡问题， 应用解析法求解平面汇交力系平衡问题，取不同的直 角坐标系时，所求合力是否相同？ 角坐标系时，所求合力是否相同？ 应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时， 应用解析法求解平面汇交力系平衡问题时，所取的投 影轴是否一定要互相垂直？ 影轴是否一定要互相垂直？ 力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？ 力沿两轴分力的大小和在该两轴上的投影大小相等吗？
n
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn = ∑F i
i=1
F1 A F2 F4 F3 FR
A
F1
B
F2
C
F3
D
FR
E
F4
共点力系平衡的充分必要几何条件为： 共点力系平衡的充分必要几何条件为：
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和于零。 力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和于零。
上章小结
1. 静力学研究作用在物体上力系的平衡。具体研究以 . 下三个问题：物体的受力分析；力系的等效替换；力 系的平衡条件及其作用。 2. 静力学公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。 . 3. 约束和约束力。 . 4. 物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动 . 的前提。
静 力 学
第二章 平面基本力系
M = ∑ Mi = 0
思考：力偶矩与力对点之矩的异同之处？ 思考：力偶矩与力对点之矩的异同之处？
图示群钻工件上作用有若干个力偶。 例2－2 图示群钻工件上作用有若干个力偶。 已知力偶矩分别为 M1= 18N·m，M2= 20 N·m， ， ， 固定螺栓的距离 l = 200mm。求螺栓的约束力。 。求螺栓的约束力。
45°
y
FA θ B
45°
x
W1 C
30°
F'BC
∑F =0
x
' FBC cos 45° − FAcosθ = 0
∑F = 0
y
W2
' FAsin θ −W − FBCsin 45° = 0 1
y
FDcos 30° − FBC cos 45° = 0 FDcos 60° −W2 + FBCsin 45° = 0