数学3.3《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》教案二(新人教A版必修五)

《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》教案5（新人教A版必修5）
二元一次不等式与简单的线性规划问题
二元一次不等式与平面区域
教学目的：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）表示的平面区域。

理解、在平面坐标系中的位置（上方、右侧）
重点难点：根据、、的正负，快速判断、的位置
教学过程：
一．知识引入：
1）解一元一次不等式的解，并在数轴上表示出来。

2）课本91
3）二元一次不等式的定义？
4）二元一次方程的解的构成。

二．新课
⒈对直线的知识要点：
⑴当时，直线没有斜率，是一条垂直于轴的直线；
⑵当时，斜率，在轴上的截距；
⑶斜率、截距对直线的图象的影响.
⒉不等式在平面直角坐标系中的区域问题
⑴b0时，不等式的解的区域在直线的上方；不等式的解的区
域在直线的下方。

(2)b0时，不等式的解的区域在直线的下方；不等式的解的区域在直线的上方。

3．不等式组的区域问题。

三例题分析
1．课本94页例1
2．课本94页例2
3．不等式所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域，而点（4，4）在此区域，求b的取值范围。

4．已知点A（a,b）在由不等式组确定的平面区域内，求A （a,b）所在区域的面积。

5．课本95页例3
四．小结
五．作业
1课本105页 1，2
2．课本106页 1， 2
3．画出不等式的区域，并求这个区域的面积.。

3.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题（1）一、学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，会作出二元一次不等式表示的平面区域．2．由二元一次不等式表示的平面区域能写出对应的不等式3．进一步体会数形结合的思想方法，开拓数学视野．二、学习重点能正确选择运用恰当地“定侧”方法，确定不等式（组）所表示的平面区域或解决不等式所表示的平面区域问题。

三、学习难点各种“定侧”方法产生的理由；确定公共区域。

四、学习过程（一）自学评价１．二元一次不等式是指_________________________________________________ ；二元一次不等式组是指______________________________________________________________。

（二）学习新知3．下面两个集合的意义你能画图解释吗？(1)在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y=x+1}几何意义是什么？（分析并提炼方法）(2) 在平面直角坐标系中, 点的集合{(x,y)|y<x+1}几何意义是什么?4．定侧方法方法一（类斜截式法）(1)直线y=kx+b把平面分成两个区域：y>kx+b表示直线上方的平面区域；y＜kx+b表示直线下方的平面区域．(2)实例感知例1：画出不等式 2x+y-6<0表示的平面区域。

【解】问：不等式2x+y-6≥0表示的平面区域与上述不等式有何关联与区别。

(分析并提炼新法)方法二（选点法）：根据上例完成进行填空(1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示 ________________________________平面区域。

(2)不等式所表示平面区域的确定步骤：______________、________________；若C≠0，则 _____________、______________；若C=0，则 ___________、____________。

《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》导学案教学目的：1、了解线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划、可行解、可行域、最优解的概念．2．掌握简单的二元线性规划问题的解法．教学重点： 二元线性规划问题的解法教学难点： 二元线性规划问题的解法教学过程：一、知识梳理1．二元一次不等式表示的平面区域2．线性规划的有关概念二、课前热身1．如图所示，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是( )A. B ．{x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0){x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0)C.D ．{x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0){x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0)2．若变量x ，y 满足约束条件则z ＝2x ＋y 的最大值等于( ){x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，)A ．7 B ．8 C ．10 D ．113． 已知实数x ，y 满足若y ≥k (x ＋2)恒成立，则实数k 的取值范围为( ){x ＋y ≥3，2x －y ≤0，)A. B ．(－∞，0]∪[0，23][23，＋∞)C. D ．(－∞，－1]∪[－1，23][23，＋∞)4． 不等式组表示的平面区域的面积为________．{x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0)5． 若实数x ，y 满足则x ＋y 的取值范围是________．{x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，)三、考点剖析：1、考点一： 二元一次不等式(组)表示的平面区域例1、　(1)若满足条件，的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点{x －y ≥0，x ＋y －2≤0y ≥a )，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(2)满足不等式组的点(x ，y )构成的区域的面积为________．{x ＋y －3≥0，x －y ＋1≤0，2≤y ≤3)规律方法：随堂练：　1.(1)设不等式组所表示的平面区域为S ，若A 、B 为区域S 内的两个动点，则|AB |的最大{0≤x ≤2，0≤y ≤3，x ＋2y －2≥0)值为( )A ．2B ．C ．3D 5135(2)若满足条件的点P (x ，y )构成三角形区域，则实数k 的取值范围是___{x －y ＋2≥0，x ＋y －2≥0，kx －y －2k ＋1≥0)_____．2、考点二：求目标函数的最值(范围)例2、(1)设x ，y 满足约束条件则z ＝x ＋2y 的最大值为( ){x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，)A ．8B ．7C ．2D ．1(2))已知变量x ，y 满足约束条件则的取值范围是________．{x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，)yx规律方法 :．常见的目标函数：①形如z ＝ax ＋by 的截距型．②形如z ＝的斜率型．y －ax －b ③形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2的距离型．线性目标函数的最值点，一般在可行域的顶点或边界上取得．随堂练：2.若变量x ，y 满足约束条件且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m {y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，)－n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8(2) 点P (x ，y )为不等式组表示的平面区域上一点，则x ＋2y 的取值范围为( {x2＋y2≤1，x －y －1≤0，x ＋y ＋1≥0))A ．[，]B ．[－2，]C ．[－1，2]D ．[－2，2]5553、考点三 ：线性规划的应用 例3、当实数x ，y 满足时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是____{x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1)____．随堂练：　3.(1) 已知x ，y 满足且2x ＋y 的取值范围是[1，7]，则{x ≥1，x ＋y ≤4，ax ＋by ＋c ≤0，)＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2a ＋b ＋ca (2) 点P (x ，y )在不等式组表示的平面区域内，若点P (x ，y )到直线y ＝kx －1的最大距离{x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1)为2，则k ＝________.2四、课堂小结：画思维导图五、当堂落实：1．在平面直角坐标系xOy 中，满足不等式组的点(x ，y )的集合用阴影表示为下列{|x|≤|y|，|x|<1)图中的( )2． 已知x ，y 满足约束条件则z ＝2x ＋4y 的最小值为( ){x ＋y ＋5≥0，x －y ≤0，y ≤0，)A ．－14B ．－15C ．－16D ．－173．点(x ，y )满足若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是( ){x ＋y －1≥0，x －y ＋1≥0，x ≤a ，)A ．1B ．－1C ．－3D ．34、实数x ，y 满足约束条件当a >0，b >0时，z ＝ax ＋by 的最大值为12，则＋{x －3y ＋6≥0，x －y ≤0，)1a 的最小值为( )1b A.B ．1412C ．1 D ．25.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．6．变量x ，y 满足{x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，)(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值；(2)设z ＝，求z 的最小值．y x。

教学准备1. 教学目标1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。

了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。

3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。

2. 教学重点/难点重点：求二元一次不等式表示的平面区域。

难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。

3. 教学用具4. 标签教学过程一．复习导入：（设计意图：为下面学习作铺垫）2．今天学习3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域（写出课题）二．新课讲授：1．放映多媒体，出示实例问题：一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可带来30 000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，那么，信贷部应该如何分配资金呢？分析：放映多媒体，出示下表学生填表（设计意图：帮助学生理清已知条件，为列不等式组做准备）（设计意图：消除学生错误认识）老师：引导学生回忆一元一次不等式的解法（放映多媒体）⑤老师用多媒体演示正确步骤（设计意图：通过学生探索，总结出画二元一次不等表示的平面区域的方法和步骤以及注意事项，有利于培养学生独立分析解决问题的能力）6．学生总结画二元一次不等表示的平面区域步骤：学生口答，老师板书1.画边界2.判断不等式表示的区域3.用阴影线表示所要区域三、课堂练习：教师利用多媒体出示题目：（设计意图：通过练习巩固所学内容）四．小结：①这节课学习了哪些知识和技能？②这节课学到了哪些研究问题的方法？学生思考，发表自己的意见，老师指导。

（设计意图：培养学生反思归纳能力）五．作业：①193页习题3.3第1题板书。

《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》教案1（新人教A版必修5）3．3 二元一次不等式组与简单的线性规划问题第一课时二元一次不等式（组）与平面区域一、教学目标（1）知识与技能：了解二元一次不等式组的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域（2）过程与方法：本节课首先借助一个实例提出二元一次不等式组的相关概念，通过例子说明如何用二元一次不等式（组）来表示的平面区域。

始终渗透"直线定界，特殊点定域"的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。

教学中也特别提醒学生注意表示区域时不包括边界，而则包括边界（3）情感与价值：培养学生数形结合、化归、集合的数学思想二、教学重点、教学难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域教学难点：如何确定不等式表示的哪一侧区域三、教学设计（一）引例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款至少可带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪。

那么，信贷部应如何分配资金呢？提问：1．这个问题中从在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？2．设用于企业贷款的资金为元，用于个人贷款的资金为元，由于总资金为25000000元，得到：①3．由于计划从企业贷款中获益12﹪，从个人贷款中获益10﹪，共创收30000元以上，所以（12﹪）+（10﹪）4．企业和个人贷款不能为负，所以解:分析题意,我们可得到以下式子（二）概念1、二元一次不等式：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。

我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

3、满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集.注意：有序实数对可以看成直角坐标平面内点的坐标.于是, 二元一次不等式(组)的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合.例如二元一次不等式的解集为（三）问题: 二元一次不等式所表示的图形?在直角坐标系中,所有点被直线分成三类:一类是在直线上;二类是在直线左上方的区域内的点;三类是在直线右下方的区域内的点.尝试：设点P是直线上的点,任取点A,使它的坐标满足不等式,在图中标出点P和点A.观察并讨论我们发现,在直角坐标系中,以二元一次不等式的解为坐标的点都在直线的左上方;反之,直线左上方点的坐标也满足不等式.因此,在直角坐标系中,不等式表示直线左上方的平面区域. 类似地, 不等式表示直线右下方的平面区域.我们称直线为这两个区域的边界.将直线画成虚线,表示区域不包括边界. 结论：1、一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式表示某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式表示区域时则包括边界,把边界画成实线.2、二元一次不等式表示的平面区域常采用"直线定界，特殊点定域"的方法，即画线---取点---判断。

3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题材拓展1．二元一次不等式(组)表示平面区域(1)直角坐标平面内的一条直线Ax ＋By ＋C ＝0把整个坐标平面分成三部分，即直线两侧的点集和直线上的点集．(2)若点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的同侧(或异侧)，则Ax 1＋By 1＋C 与Ax 2＋By 2＋C 同号(或异号)．(3)二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．2．画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界，特殊点定域”的方法(1)直线定界，即若不等式不含等号，应把直线画成虚线；含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的区域就是包括这个点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点．当C ＝0时，常把点(1,0)或点(0,1)作为测试点．3．补充判定二元一次不等式表示的区域 的一种方法先证一个结论已知点P (x 1，y 1)不在直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (B ≠0)上，证明： (1)P 在l 上方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )>0； (2)P 在l 下方的充要条件是B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 证明 (1)∵B ≠0，∴直线方程化为y ＝－A B x －CB，∵P (x 1，y 1)在直线上方，∴对同一个横坐标x 1，直线上点的纵坐标小于y 1，即y 1>－A B x 1－CB.(*)∵B 2>0，∴两端乘以B 2，(*)等价于B 2y 1>(－Ax 1－C )B ， 即B (Ax 1＋By 1＋C )>0.(2)同理，由点P 在l 下方，可得y 1<－A B x 1－CB，从而得B 2y 1<(－Ax 1－C )B ，移项整理为B (Ax 1＋By 1＋C )<0. ∵上述解答过程可逆，∴P 在l 上方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )>0， P 在l 下方⇔B (Ax 1＋By 1＋C )<0. 从而得出下列结论：(1)B >0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)，而Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的平面区域(不包括直线)．(2)B <0时，二元一次不等式Ax ＋By ＋C >0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0下方的区域(不包括直线)，而二元一次不等式Ax ＋By ＋C <0表示直线Ax ＋By ＋C ＝0上方的平面区域(不包括直线)．(3)B ＝0且A >0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)．(4)B ＝0且A <0时，Ax ＋C >0表示直线Ax ＋C ＝0左方的平面区域(不包括直线)，Ax ＋C <0表示直线Ax ＋C ＝0右方的平面区域(不包括直线)．法突破一、二元一次不等式组表示的平面区域方法链接：只要准确找出每个不等式所表示的平面区域，然后取出它们的重叠部分，就可以得到二元一次不等式组所表示的平面区域．例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14 解析答案 B二、平面区域所表示的二元一次不等式(组)方法链接：由平面区域确定不等式时，我们可以选用特殊点进行判断，把特殊点代入直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，根据代数式Ax ＋By ＋C 的符号写出对应的不等式，根据是否包含边界来调整符号．例2 如图所示，四条直线x ＋y －2＝0，x －y －1＝0，x ＋2y ＋2＝0,3x －y ＋3＝0围成一个四边形，则这个四边形的内部区域(不包括边界)可用不等式组____________表示．解析 (0,0)点在平面区域内，(0,0)点和平面区域在直线x ＋y －2＝0的同侧，把(0,0)代入到x ＋y －2，得0＋0－2<0，所以直线x ＋y －2＝0对应的不等式为x ＋y －2<0，同理可得到其他三个相应的不等式为x ＋2y ＋2>0,3x －y ＋3>0，x －y －1<0， 则可得所求不等式组为三、和平面区域有关的非线性问题方法链接：若目标函数为线性时，目标函数的几何意义与直线的截距有关．若目标函数为形如z ＝y －bx －a，可考虑(a ，b )与(x ，y )两点连线的斜率．若目标函数为形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，可考虑(x ，y )与(a ，b )两点距离的平方． 例3 (2009·山东济宁模拟)已知点P (x ，y )满足点Q (x ，y )在圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的最大值与最小值为( )A ．6,3B ．6,2C ．5,3D ．5,2解析可行域如图阴影部分，设|PQ |＝d ，则由图中圆心C (－2，－2)到直线4x ＋3y －1＝0的距离最小，则到点A 距离最大．由得(－2,3)． ∴d max ＝|CA |＋1＝5＋1＝6，d min ＝|－8－6－1|5－1＝2.答案 B四、简单的线性规划问题方法链接：线性规划问题最后都能转化为求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值．例4 某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？解 依题意设每星期生产x 把椅子，y 张书桌， 那么利润p ＝15x ＋20y .其中x ，y 满足限制条件{ 4x ＋8y ≤x ＋y ≤x ≥0，x ∈N *y ≥0，y ∈N *. 即点(x ，y )的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x ＋8y ＝8 000(即AB )，2x ＋y ＝1 300(即BC )，x ＝0(即OA )和y ＝0(即OC )．对于某一个确定的p ＝p 0满足p 0＝15x ＋20y ，且点(x ，y )属于阴影部分的解x ，y 就是一个能获得p 0元利润的生产方案．对于不同的p ，p ＝15x ＋20y 表示一组斜率为－34的平行线，且p 越大，相应的直线位置越高；p 越小，相应的直线位置越低．按题意，要求p 的最大值，需把直线p ＝15x ＋20y 尽量地往上平移，又考虑到x ，y 的允许范围，当直线通过B 点时，处在这组平行线的最高位置，此时p 取最大值．由{ 4x ＋8y ＝8 00x ＋y ＝1 300，得B (200,900)， 当x ＝200，y ＝900时，p 取最大值， 即p max ＝15×200＋20×900＝21 000，即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元．区突破1．忽略截距与目标函数值的关系而致错 例1 设E 为平面上以A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界)，求z ＝4x －3y 的最大值与最小值．[错解]把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .根据条件画出图形如图所示，当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最小值．∴z min ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z max ＝4×(－3)－3×2＝－18.[点拨] 直线y ＝43x －13z 的截距是－13z ，当截距－13z 最大即过点C 时，目标函数值z 最小；而当截距－13z 最小即过点B 时，目标函数值z 最大．此处容易出错．[正解] 把目标函数z ＝4x －3y 化为y ＝43x －13z .当动直线y ＝43x －13z 通过点B 时，z 取最大值；当动直线y ＝43x －13z 通过点C 时，z 取最小值．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14； z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.2．最优整数解判断不准而致错 例2 设变量x ，y 满足条件求S ＝5x ＋4y 的最大值．[错解] 依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x 、y 为整数的条件，则当直线5x ＋4y ＝S 过点A ⎝⎛⎭⎫95，2310时，S ＝5x ＋4y 取最大值，S max ＝18 15.因为x 、y 为整数，所以当直线5x ＋4y ＝t 平行移动时，从点A 起通过的可行域中的整点是C (1,2)，此时S max ＝13.[点拨] 上述错误是把C (1,2)作为可行域内唯一整点，其实还有一个整点B (2,1)，此时S ＝14才是最大值．[正解] 依据已知条件作出图形如图所示，因为B (2，1)也是可行域内的整点，由此得S B ＝2×5＋1×4＝14，由于14>13，故S max ＝14.温馨点评 求最优整数解时，要结合可行域，对所有可能的整数解逐一检验，不要漏掉解.题多解例 某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘．根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有() A．5种B．6种C．7种D．8种解析方法一由题意知，按买磁盘盒数多少可分三类：买4盒磁盘时，只有1种选购方式；买3盒磁盘时，有买3片或4片软件两种选购方式；买2盒磁盘时，可买3片、4片、5片或6片软件，有4种选购方式，故共有1＋2＋4＝7(种)不同的选购方式．方法二先买软件3片，磁盘2盒，共需320元，还有180元可用，按不再买磁盘，再买1盒磁盘、再买两盒磁盘三类，仿方法一可知选C.方法三设购买软件x片，磁盘y盒．则，画出线性约束条件表示的平面区域，如图所示．落在阴影部分(含边界)区域的整点有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)共7个整点．答案 C题赏析1．(2011·浙江)设实数x，y满足不等式组{x＋2y－5>0，x＋y－7>0，x≥0，y≥0，且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是()A．14 B．16C．17 D．19解析作出可行域，如图中阴影部分所示，点(3,1)不在可行域内，利用网格易得点(4,1)符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.答案 B2．(2009·烟台调研)若x，y满足约束条件{x＋y≥x－y≥－x－y≤2，目标函数z ＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是()A．(－1,2) B．(－4,2) C．(－4,0] D．(－2,4)解析作出可行域如图所示，直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，即－4<a <2. 答案 B赏析 本题考查线性规划的基本知识，要利用好数形结合．。

数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案数学《二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题》高中教案上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。

学然后知不足，课前自学过的同学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。

下学生通过自己的分析得出了正确的结论，让他们从中体会到了获取新知后的成就感，从而增加了对数学的学习兴趣.同时也让他们体会人们在认识新生事物时从特殊到一般，再从一般到特殊的认知过程.】（二）实例展示:例1、画出不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示的平面区域.例2、用平面区域表示不等式组二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计的解集.【通过利用多媒体对实例的展示让学生体会到画出不等式表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域，而不等式（组）表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的公共部分.同时对具体作图中的细节问题进行点拔.】（三）练习:学生练习P86第1-3题.【及时巩固所学，进一步体会画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程】（四）课后延伸:师:我们在今天主要解决了在给出不等式（组）的情况下如何用平面区域来表示出来的问题. 如果反过来给出了平面区域你能写出相关的不等式（组）吗?例如你能写出A（2，4），B（2，0），C（1，2）三点构成的三角形内部区域对应的不等式组吗?你能写出不等式形如二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计这种不等式表示的平面区域?（五）小结与作业:二元一次不等式二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计表示直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计某侧所有点组成的平面区域，画出不等式（组）表示的平面区域的基本流程:直线定界，特殊点定域（一般找原点）作业：第93页A组习题1、2，补充作业:若线段PQ的两个端点坐标为P（3，-1），Q（2，4），且直线二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题的模块单元教学设计与线段PQ。

二元一次不等式（组）与简单线性规划问题一、 学习目标： 1.掌握：（1）会熟练掌握线性规划问题的常用方法及步骤； （2）会画二元一次不等式组所表示的平面区域 （3）会求目标函数的最值问题； （4）会求参数的取值问题； （5）会求约束条件问题； （6）会求面积问题. 2.高考地位：简单线性规划是教材中的新课改增加内容，属于大学知识下放。

纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。

简单线性规划正在成为一个高考热点，其中，我们辽宁省高考题以选择题为主。

认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下五个类型：(1)会画和找出二元一次不等式组所表示的平面区域（2）求目标函数的最值问题；（3）求参数的取值问题；（4）求约束条件问题；（5）求面积问题. (一)二元一次不等式表示的区域 对于直线0=++C By Ax (A>0)当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值.(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数. 然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示的平面区域，掌握线性规划的图解法2.难点：如何确定不等式0(Ax By C ++>或<0)表示0Ax By C ++=的哪一侧区域，如何寻求线性规划问题的最优解.3.重难点：如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解 (1) 怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？问题1. 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域点拨：（2）求线性规划的最优解问题2. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是,x y 小时.(1)写出,x y 所满足的条件，并在所给的平面直角坐标系内，作出表示,x y 范围的图形； (2)如果已知所需的经费1003(5)2(8)p x y =+-+-(元)，那么,v w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？ 点拨：(1) 由题意得：v ＝y 50,w =x300,4≤v ≤20,30≤w ≤100,∴3≤x ≤10,25≤y ≤225.① 由于汽车、摩托艇所要的时间和x +y 应在9至14小时之间，即9≤x +y ≤14,② 因此满足①②的点(x ,y )的存在范围是图中阴影部分(包括边界).(2) 因为p =100+3(5－x )+2(8－y ),所以3x +2y =131－p ,设131－p =k ,那么当k 最大时，p 最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－23的直线3x +2y =k 中，使k 值最大的直线必通过点(10,4)，即当y =4时，p 最小，此时x =10,v =12.5,w =30,p 的最小值为93元.★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 二元一次不等式(组)与平面区域 题型1. 求约束条件及平面区域的面积例1 .双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）A. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y xB. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≥-3x 00y x 0y xC. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤-3x 00y x 0y xD. ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x【解题思路】依据平面区域的画法求解.[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区域时有⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。

3.3.1二元一次不等式组与平面区域（一）教学重点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集，了解什么是边界 教学难点理解并能用图形表示二元一次不等式及不等式组的解集教学过程一.复习准备：1.定义：我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式.2.定义：我们把由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组.3.定义：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(,)x y ，所有这样的有序数对(,)x y 构成的集合称为二元一次不等式组的解集.二.新课导入：1.一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，例如，3040x x +>⎧⎨-<⎩的解集为数轴上的一个区间. 那么，在直角坐标系内，二元二次不等式组的解集表示什么图形呢？（教师分析，学生画）2.研究：二元一次不等式6x y -<的解集所表示的图形.分析：平面内所有的点被直线6x y -=分成三类：在直线上；在直线的右下方区域；在直线的左上方区域，重点讨论左上方和右下方区域各用哪个不等式来表示.适时定义边界.3.结论：不等式中仅>或<不包括边界；但含“≤”“≥”包括边界.同侧同号，异侧异号4.教学例题例1：画出不等式44x y +<表示的平面区域.分析：先画边界（用虚线表示），再取点判断区域，即可画出.（教师分析，学生作图） 例2：用平面区域表示不等式组3122y x x y<-+⎧⎨<⎩的解集.（同上）分析：此解集是由两个不等式的交集构成，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.5.练习：1）不等式260x y -+>表示的区域在直线260x y -+=的 .2）画出不等式组36020x y x y -+≥⎧⎨-+<⎩表示的平面区域.3.3.1二元一次不等式组与平面区域（二）教学重点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），并能用图形表示.教学难点从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）.教学过程一.复习准备：画出二元一次不等式组2312236x yx yx+≤⎧⎪+>-⎨⎪≥⎩所表示的平面区域.（师生同练）二.讲授新课：1.出示例1 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每个钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A，B，C三种规格的成品分别15，18，27块，用数学关系式和图形表示上述要求.教师读题——师生列式——完成数学模型的转化——学生画图2.练习：一个家具厂计划生产两种类型的桌子A和B. 每类桌子都要经过打磨，着色，上漆三道工序. 桌子A需要10min打磨，6min着色，6min上漆；桌子B需要5min打磨，12min 着色，9min上漆. 如果一个工人每天打磨和上漆分别至多工作450min，着色每天至多工作480min，请你列出满足生产条件的数学关系式，并在直角坐标系中画出相应的平面区域.3.出示例2一个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t，硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t，硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t，硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.教师读题——师生列表——学生列式（老师讲评）——学生画图4.小结：根据实际问题的条件列出约束不等式组与目标函数. 反复的读题，读懂已知条件和问题，边读边摘要，读懂之后可以列出一个表格表达题意. 然后根据题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，完成实际问题向数学模型的转化.三.巩固练习：1.某厂使用两种零件A，B装配两种产品X，Y. 该厂月生产能力X最多2500个，Y最多1200个. A最多为14000个，B最多为12000个. 组装X需要4个A，2个B，组装Y需要6个A，8个B. 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.2.某工厂用A，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件并耗时2 h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，工厂每天工作不超过8h. 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.3.作业: P106习题A组第3题3.3.1简单的线形规划问题（一）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，并能加以解决.教学过程一.复习准备：当,x y满足不等式组111xyy x⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数t x y=+的最大值是（答案：5）二.讲授新课：1.出示例题：某工厂用A ，B 两种配件生产甲，乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值 给出定义：目标函数——把要求的最大值的函数线形目标函数——目标函数是关于变量,x y 的一次解析式线形规划——在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 可行解——满足线形约束条件的解(,)x y 叫做可行解可行域——由所有可行解组成的集合结合以上例题给出解释探究：在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，又应当如何安排生产才能获得最大利润？由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？2.练习：1) 求2z x y =+的最大值，使,x y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2)求35z x y =+的最大值和最小值，使,x y 满足约束条件5315153x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩3.小结：作图求解：作出不等式组所表示的可行域，确定目标函数的最优位置，从而获得最优解. 图解法的实质是数形结合思想的两次运用，第一次是由上步所得线性约束条件，作出可行域，将表示约束条件的不等式组转化成为平面区域这一图形；第二次是将目标函数转化为平行直线系进行探究.. 此步的过程可简述为“可行域——直线系——最优解”三. 作业P106习题A 组第4题3.3.1简单的线形规划问题（二）教学重点能进行简单的二元线形规划问题教学难点从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题，列出线性目标函数并求最值并能加以解决.教学过程一.复习准备：什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？二.讲授新课：1.出示例题：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪. 1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费21元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时使用食物A 和食物B 多少？教师分析——师生共同列出表格——转化成数学模型——列出目标函数——求最值2.练习：某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应该如何配置盒饭，才能既科学有费用最少？（答案：面食1315百克，米食1415百克） 3.小结：线性规划问题首先要根据实际问题列出表达约束条件的不等式，然后分析目标函数中所求量的几何意义，由数形结合思想求解问题. 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，关键在于找出约束条件与目标函数，准确地描可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解.三. 巩固练习：1.（2004年全国卷）设,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 （答案：5）2.甲，乙，丙三种食物维生素A ，B 含量以及成本如右表：某食物营养研究所想用x 千克甲种食物，y 千克乙种食物，z 千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A 和63000单位维生素B. 试用,x y表示混合物的成本P （元）；并确定,,x y z 的值，使成本最低，并求最低成本.3.作业：P106 习题A 组第4题。

二元一次不等式(组)与平面区域第二课时（1）教学目标（a ）知识与技能：懂得将实际问题转化为线性规划问题（b ）过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第二节课，学生已经学会了如何画出一元二次不等式(组)所表示的平面区域.这节课主要是通过实际生活中的例子提供给学生应用数学的实践机会。

教师要善于引导学生思维,调动学习兴趣,让他们乐学并巧学,真切体会到数学在生活中的妙用.针对本堂课的特点,采用多媒体教学可更好地促进教学双赢（c ）情感与价值：培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力，加强学生之间的合作互助精神,并从数形结合中得到辨证唯物主义的思想教育（2）教学重点、教学难点教学重点：探讨如何将实际问题转化为线性规划问题教学难点：如何将实际问题转化为线性规划问题（3）学法与教学用具通过分组讨论,让学生在活动中学会沟通和合作,提高分析和处理信息的能力.充分尊重学生的自主性,以学生探究为主,教师点拨为辅,重在培养创新直角板、投影仪（多媒体教室）（4）教学设想1、 设置情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

2、 新课讲授例1、（幻灯片放映）某人准备投资1200万元兴办一所完全学校，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式来表示上述限制条件解：设开设初中班x 个，高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20到30之间，所以有 2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200,x y x y ++⨯+⨯≤即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥把上面四个不等式合在一起，得到（学生口答）2030,240,0,0x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩根据限制条件画出图形 例2、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t 、硝酸盐18 t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t 、硝酸盐15 t 。

课题: §3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域第2课时授课类型：新授课 【教学目标】1．知识与技能：巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域；能根据实际问题中的已知条件，找出约束条件；2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想；3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

【教学重点】理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式（组）所表示的平面区域画出来； 【教学难点】把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。

【教学过程】1.课题导入[复习引入]二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(x ,y )，把它的坐标（x ,y )代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）。

随堂练习11、画出不等式2x +y -6＜0表示的平面区域.2、画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域。

2.讲授新课【应用举例】例3 某人准备投资 1 200万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。

解：设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20-30之间，所以有2030x y ≤+≤考虑到所投资金的限制，得到265422231200x y x y ++⨯+⨯≤ 即 240x y +≤另外，开设的班数不能为负，则0,0x y ≥≥ 把上面的四个不等式合在一起，得到：203024000x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（阴影部分）例4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t ；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t,硝酸盐15t,现库存磷酸盐10t 、硝酸盐66t ，在此基础上生产两种混合肥料。

二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。

【典型例题】例1：（1）已知点P （x 0，y 0）和点A （1，2）在直线0823:=-+y x l 的异侧，则（ ） A ．02300>+y x B ．<+0023y x 0C ．82300<+y xD ．82300>+y x答案: D 。

解析：将（1，2）代入l 得小于0，则003280x y +->。

（2）满足2≤+y x 的整点的点（x ，y ）的个数是（ ）A ．5B ．8C ．12D ．13答案：D 。

解析：作出图形找整点即可。

（3）不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是 （ ）答案：C 。

解析：原不等式等价于⎩⎨⎧≤-+≥+-⎩⎨⎧≥-+≤+-0301203012y x y x y x y x 或 两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x , y 满足20240230x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则y x 的最大值为 ．答案:32。

解析：过点3(1,)2时，yx 有最大值32。

（5）已知1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，求42t a b =-的取值范围 ．答案： ]10,5[。

解析：过点31(,)22时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。

例2：试求由不等式y ≤2及|x |≤y ≤|x |＋1所表示的平面区域的面积大小． 答案: 解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≥≥210y x y x y x 或 ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+-≤-≥≤210y x y x y x上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S ＝21×4×2－21×2×1＝3．例3：已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ．(Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

3．3．1二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题教学设计黄石七中李慧玲一．教学内容分析本节用实例抽象出二元一次不等式的定义，然后从“有序数对”的角度对“二元一次不等式的解集”的含义作出解释，从而自然引出用“直角坐标系内点集”表示“二元一次不等式的解集”的想法；接着用实例抽象出平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，让学生体会数形结合思想的实质及其重要性。

二．学生学习情况分析本节课是在一元二次不等式及解法的基础上学习的另一种不等关系的模型，通过实例一步步引出用出用平面区域表示二元一次不等式（组）的方法，在这个过程中，最重要的是数形结合思想和“解析法”的渗透，这是学生不太熟悉的，因此，采取启发、探究结合的教学方法，学生采用小组协作的学习方法。

三．设计思想我根据学生已有的认知结构和教材内容的特点，在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

四．教学目标知识与技能：①了解从实际情境中抽象出二元一次不等式（组）的模型过程。

②理解二元一次不等式（组）的解集的概念。

③了解二元一次不等式（组）的几何意义，理解（区域）边界的概念及实线、虚线、边界的含义。

④会用二元一次不等式（组）表示平面区域，能画出给定不等式（组）表示的平面区域。

过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、归纳、数形结合的数学思想。

情感与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。

五．教学重难点教学重点：二元一次不等式（组）表示平面区域教学难点：准确画出二元一次不等式（组）所表示平面区域六．教学过程（一）创设情境，引入新课课本实例：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%,从个人贷款中获益10%。

課題: §3.3.1二元一次不等式（組）與平面區域第1課時授課類型：新授課 【教學目標】1．知識與技能：瞭解二元一次不等式的幾何意義，會用二元一次不等式組表示平面區域； 2．過程與方法：經歷從實際情境中抽象出二元一次不等式組的過程，提高數學建模的能力； 3．情態與價值：通過本節課的學習，體會數學來源與生活，提高數學學習興趣。

【教學重點】用二元一次不等式（組）表示平面區域； 【教學難點】【教學過程】1.課題導入1．從實際問題中抽象出二元一次不等式（組）的數學模型 課本第91頁的“銀行信貸資金分配問題”教師引導學生思考、探究，讓學生經歷建立線性規劃模型的過程。

在獲得探究體驗的基礎上，通過交流形成共識：2.講授新課1．建立二元一次不等式模型 把實際問題 转化 數學問題：設用於企業貸款的資金為x 元，用於個人貸款的資金為y 元。

（把文字語言 转化 符號語言）（資金總數為25 000 000元）⇒25000000x y +≤ （1） （預計企業貸款創收12%，個人貸款創收10%，共創收30 000元以上）⇒(12%)x+(10%)y 30000≥ 即12103000000x y +≥（2）（用於企業和個人貸款的資金數額都不能是負值）⇒0,0x y ≥≥ （3） 將（1）（2）（3）合在一起，得到分配資金應滿足的條件：25000000121030000000,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩2．二元一次不等式和二元一次不等式組的定義（1）二元一次不等式：含有兩個未知數，並且未知數的最高次數是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式組：有幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組。

（3）二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的x 和y 的取值構成有序實數對（x,y ），所有這樣的有序實數對（x,y ）構成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集。

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题【整体设计】教学分析前面已经学习了一元一次不等式(或组)、一元二次不等式及其解法，并且知道相应的几何意义。

作为不等式模型，它们在生产、生活中有着广泛的应用，然而，在不等式模型中，除了它们之外，还有二元一次不等式模型。

本节将通过实际例子抽象出二元一次不等式(组)数学模型，引出二元一次不等式(组)的相关概念。

本节的主要内容有：二元一次不等式(或组)的概念、表示的平面区域及相应的画法。

其中，重点是二元一次不等式所表示的平面区域，难点是复杂的二元一次不等式组所表示的平面区域的确定。

在教学中，可启发学生观察图象，循序渐进地理解掌握相关概念，以学生探究为主，老师点拨为辅，学生之间分组讨论，交流心得，分享成果，进行思维碰撞，同时可借助计算机等媒体工具来进行动态演示本节内容在教学中应体现以下几点：①注重探究过程。

能正确地画出给定的二元一次不等式(组)表示的平面区域，是学习下节简单线性规划问题图解法的重要基础。

②注重探究方法，结合等式(函数)所表示的图形的认知，用类比的方法提出“二元一次不等式组的解集表示什么图形”的问题③注重探究手段，结合信息计术教学目标1、通过本节探究，使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；能画出二元一次不等式（组）所表示的平面区域2、通过学生的亲身体验，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数列结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力3、通过本节学习，着重培养学生深刻理解“数形结合”的数学思想。

尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力 重难点教学重点：从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），灵活运用二元一次不等式（来）表示平面区域教学难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定及怎样确定不等式0>++C By Ax （或)0<表示0=++c By Ax 的哪一侧区域课时安排1课时第1课时导入新课出示课本给出的实例，“一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么，信贷部应该如何分配资金呢？这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢”？让学生用不等式来刻画资金分配的问题，可得到不等关系，由此引出二元一次不等式（组）的解集的概念展开新课一、提出问题①让学生阅读课本，什么是二元一次不等式（组）的解集？②在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？③怎样判断二元一次不等式0>++C By Ax 表示的是直线0=++C By Ax 哪一侧的平面区域？④直线0=++C By Ax 将平面内的点分成了哪几类？二．学生活动通过代特殊点的方法检验满足不等式20x y +->的点的位置，并猜想出结论：坐标满足不等式20x y +->的点在直线20x y +-=的上方．三．建构数学1．进一步验证结论的正确性：如图，在直线20x y +-=上方任取一点(,)P x y ，过P 作平行于y 轴的直线交直线20x y +-=于点(,2)A x x -+，∵点P 在直线上方，∴点P 在点A 上方，∴2y x >-+，即20x y +->，∵点P 为直线20x y +-=上方的任意一点，所以，直线20x y +-=上方任意点(,)x y ，都有2y x >-+，即20x y +->；同理，对于直线20x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有2y x <-+，即20x y +-<． 又∵平面上任意一点不在直线上即在直线上方或直线下方．因此，满足不等式20x y +->的点在直线的上方，我们称不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=上方的平面区域；同样，不等式20x y +->表示的是直线20x y +-=下方的平面区域．练习：判断不等式230x y -+>表示的是直线230x y -+=上方还是下方的平面区域？（下方）2．得出结论：一般地，直线y kx b =+把平面分成两个区域（如图）：y kx b >+表示直线上方的平面区域；y kx b <+表示直线下方的平面区域．说明：（1）y kx b ≥+表示直线及直线上方的平面区域；y kx b ≤+表示直线及直线下方的平面区域．（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．四．数学运用1．例题：例1．判断下列不等式所表示的平面区域在相应直线的哪个区域？（用“上方”或“下方”填空）（1）不等式32x y >-+表示直线32x y =-+ 的平面区域； （2）不等式230x y +->表示直线230x y +-= 的平面区域； （3）不等式20x y ->表示直线20x y -= 的平面区域；（4）不等式0x y +<表示直线0x y += 的平面区域．说明：二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域．可以用“选点法”确定具体区域：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式．若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．例2．画出下列不等式所表示的平面区域：（1）21y x >-+； （2）20x y -+>．解：（1）（2）两个不等式所表示的平面区域如下图所示：例3．将下列各图中的平面区域（阴影部分）用不等式表示出来（其中图（1）中区域不包括y 轴）： 解：（1）0x >；（2）6522x y +≤；（3）y x >．新问题情境情境：通过前一课的学习，我们已经知道了二元一次不等式的几何意义．那么，二元一次不等式组410 (1)4320 (2)x y x y +≤⎧⎨+≤⎩的几何意义又如何呢？ 根据前面的讨论，不等式（1）表示直线104y x =-及其下方的平面区域；不等式（2）表示直线43200x y +-=及其下方的平面区域．因此，同时满足这两个不等式的点(,)x y 的集合就是这两个平面区域的公共部分（如下图①所示）．如果再加上约束条件0,0x y ≥≥，那么，它们的公共区域为图②中的阴影部分． 例4．画出下列不等式组所表示的平面区域： （1）2124y x x y ≤+⎧⎨+>⎩ （2）004380x y x y >⎧⎪>⎨⎪+-<⎩ 解：（1）不等式21y x ≤+表示直线21y x =+及其下方的平面区域； 不等式24x y +>表示直线24x y +=上方的平面区域；因此，这两个平面区域的公共部分就是原不等式组所表示的平面区域．（2）原不等式组所表示的平面区域即为不等式4380x y +-<所表示的平面区域位于第一象限内的部分．思考：如何寻找满足（2）中不等式组的整数解？（要确定不等式组的整数解，可以画网格，然后按顺序找出在不等式组表示的平面区域内的格点，其坐标即为不等式组的整数解）例5．ABC ∆三个顶点坐标为(0,4),(2,0),(2,0)A B C -，求ABC ∆内任一点(,)x y 所满足的条件．解：ABC ∆三边所在的直线方程：AB ：240x y -+=；AC ：240x y +-=；BC ：0y =．ABC ∆内任意一点都在直线,AB AC 下方，且在直线BC 的上方， 故(,)x y 满足的条件为2402400x y x y y -+>⎧⎪+-<⎨⎪>⎩．例6．原点和点(1,1)在直线0x y a +-=的两侧，则实数a 的取值范围是 ．提示：将点(0,0)和(1,1)的坐标代入x y a +-的符号相反，即(2)0a a -⋅-<，∴02a <<． 例7．（1）若点(2,)t -在直线2360x y -+=下方区域，则实数t 的取值范围为 ．（2）若点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，则点(1,3)在此直线的下方还是上方区域？解：（1）∵直线2360x y -+=下方的点的坐标满足223y x <+，∴22(2)233t <⨯-+=． （2）∵直线320x y a -+=的上方区域的点的坐标满足322a y x >+， ∵点(0,0)在直线320x y a -+=的上方区域，∴02a <，∴0a <． 图①图②又∵3313022a a-⨯+-=<，∴点(1,3)在此直线的上方区域．五．回顾小结：1．二元一次不等式的几何意义；2．二元一次不等式表示的平面区域的确定．六．课外作业：课本第86页练习第1－4题．课本第93页 A组第1，2题，B组第1，2题3.3.2简单的线性规划问题【整体设计】教学分析本节内容在教材中有着重要的地位与作用。