福建工程学院线性代数试卷(1)

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。

每小题 5 分，共 25 分）1 3 1 1.若0 5 x 0，则__________。

1 2 2x1 x2 x3 02．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。

x1x2x303．已知矩阵A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。

4．已知矩阵A为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。

5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。

二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（）A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（）0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（）1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 ．已知矩阵 A, 其特征值为（）51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E，求。

a1 12212. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？111, 2a ,3。

2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时，线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解，无解和有无穷多解？当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。

文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持一、判断题1.若A,B为n阶对称阵，则AB也是对称阵。

（b）2.整个向量组线性无关，则部分向量组线性无关。

（a）3,设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则i2是对应的齐次线性方程组AX0的解。

（a）4.若A可逆，则A也可逆。

（a）5.若A的顺序主子式都大于0,则A正定。

（bA）6.部分向量组线性无关，则整个向量组线性无关。

（b）7.A和A T具有相同的特征值。

（a）8.若A可逆，则A也可逆。

（a）9.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。

（a）10.设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组AX0的解。

（a）11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解，2是齐次线性方程组AX0的解，则12是对应的线性方程组AXb的解。

（bA）12.若A可逆，则A1也可逆。

（a）13.设1,2L s是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解，KHL k s为实数，满足k〔k2Lk s1,则xk11k22Lk ss也是它的解。

（a）14.n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。

（a）15.设丫1x（x1,x2Lx n）T x1,x2Lx n R满足x1x2Lx n0，则V1是向量空间。

（a）16.A和A T具有相同的特征值。

文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持17.若A可逆，则A也可逆18.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型fX T AX是正定的。

（a）二、选择题k121.行列式0的充分必要条件是（C）2k12.设A与B都是n阶方阵，则必有（C）3.设1，2……s均为n维向量，下列结论不正确的是（）4.设A,B为同阶可逆方阵，则必有（D）5.正定实二次型的矩阵是（）A.实对称且所有元素为正B.实对称且对角线上元素为正数C.实对称且各阶顺序主子式为正数D.实反对称且行列式值为正数6.A是三阶矩阵，特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是1,2,3，设P（1,2,3），则有P1AP（）k217.行列式2k00的充分条件是（）1118.设A是n阶可逆万阵，A是A的伴随矩阵，则（）9.若向量组1,2……s的秩为r,下列结论不正确的是（C）11.已知1, 2是AXb的两个不同的解, 2是其对应的齐次方程组AX0的10.矩阵（）是二次型X126x1X23x2的矩阵KH是任意常数,则（）是以b的通解。

第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( )。

（A) 24315 （B ） 14325 （C ） 41523 (D ）24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k ， 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）。

(A ）k (B)k n - (C ）k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项.（A ） 0 (B ）2-n (C ） )!2(-n （D) )!1(-n4．=001001001001000（ )。

(A ） 0 (B)1- （C) 1 （D ） 25.=001100000100100( ）。

(A) 0 （B ）1- （C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). （A) 0 （B)1- (C) 1 (D) 27。

若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ). (A) 4 (B ） 4- (C) 2 （D) 2-8．若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ）.（A ）ka (B)ka - (C ）a k 2 （D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ ).（A) 0 （B ）3- (C ） 3 (D ） 210。

若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为（ ）.(A ）1- （B)2- （C ）3- （D ）011。

若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). （A)1- (B ）2- （C)3- （D ）012。

福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________．3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵，13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果，则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解，则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-，则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化，则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________，可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院 专业 级 班 姓 名 学 号二、单项选择（每小题2分，共10分） n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有（ ）.(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *，则( )．2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4．已知3阶方阵A 的特征值是0，1，1-，则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵，若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系，则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ．.四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设； (1)B 求；(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示．六(10分) 当λ取何值时，线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解．装 订 线 装 订 线 装 订 线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分 法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解 记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解 对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr（或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B ）(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二 方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分（或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分）。

福建工程学院线性代数试卷(1)一、 选择题（共15分，每题3分）1.设A 为4阶矩阵且2-=A ，则=A A （ ）（A ）4 （B ）52 （C ）52- （D ）82．设A ，B 为n 阶矩阵，O A ≠且AB=O ，则（ ）（A ） B=O （B ） 00==A B 或（C ） BA=O （D ） ()222B A B A +=- 3．下列矩阵中， 是正交矩阵。

（A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221，（B ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321，（C ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453，（D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 4．齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+004231x x x x 的基础解系含（ ）个线性无关的解向量：（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）45．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ，且A 的特征值为1，2，3，则=x （ ）（A ） 3 （B ） 4 （C ） 1- （D ） 5二 、填空题（共28分，每题4分）1．4阶方阵A 的行列式3=A ，则行列式=-1A ，=--*211A A 。

2．当 t = 时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000tz y x z ty x z y tx 有非零解。

3．若方阵A 可逆，其逆阵1-A 和伴随阵A*都可逆，且()=--11A ，()=-1*A 。

4．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ，则 =--1)2(E A5．向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是 ，最大线性无关组是 。

6．若n 阶方阵A 与单位阵E 相似，则A =7．当t 取值在 范围内时，二次型xy ty tx f 422++= 是正定的。

三、 计算及应用（共50分，第1，2，3题各12分，第4题14分）1．计算n 阶行列式a a a a a a a a a a aa D 3333222211111=2．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ，求矩阵T T BA A )(2+3．已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x（1） 讨论a 取何值时，方程组有唯一解？有无穷多解？无解？（2） 方程组有无穷多解时，求其通解（用向量形式表示）4．已知二次型 322122x x x f +=（1）写出二次型的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型化为标准形，并写出相应的正交矩阵。

线性代数（ A 卷）一﹑选择题 ( 每小题 3 分 , 共 15 分)1.设 A ﹑ B 是任意n阶方阵 , 那么下列等式必成立的是 ( )(A)AB BA (B)( AB)2A2 B2(C)( A B)2A2 2 AB B2(D) A B B A2.如果 n 元齐次线性方程组AX0 有基础解系并且基础解系含有s(s n) 个解向量,那么矩阵 A 的秩为 ()(A)n(B)s(C)n s(D)以上答案都不正确3. 如果三阶方阵A(a ij )33的特征值为 1,2,5 ,那么 a11a22a33及A分别等于()(A)10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型 f ( x1 , x2 )( x1 , x2 )22x1的矩阵为 A , 那么 ()41x2(A)23(B)22(C)A21(D)A10 A1A12101 345.若方阵 A 的行列式 A 0 ，则 ( )(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关二﹑填空题 ( 每小题 3 分, 共 30 分 )1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例 , 那么该行列式等于；1002.设 A210 ，A*是A的伴随矩阵，则 ( A* ) 1；3413.设 ,是非齐次线性方程组 AX b 的解 , 若也是它的解 ,那么；4.设向量(1,1,1)T与向量(2,5, t)T正交,则t；5.设 A 为正交矩阵 , 则 A；1116.设 a, b,c 是互不相同的三个数,则行列式 a b c；a2b2c27.要使向量组1(1, ,1)T , 2(1,2,3)T , 3(1,0,1)T线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, 3 , 那么 A 1 的特征值分别为；9. 若二次型 f ( x 1, x 2 , x 3 ) x 2 1x 2 25x 2 3 2t x 1 x 2 - 2x 1x 3 4x 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围为；10. 设 A 为 n 阶 方 阵 , 且 满 足 A 22 A 4I 0 , 这 里 I 为 n 阶 单 位 矩 阵 , 那 么A 1.三﹑计算题（每小题 9 分，共 27 分）2 1 01 01. 已知 A1 2 1 ， B 0 1 ，求矩阵 X 使之满足 AX X B .0 12 0 01 2 3 42.求行列式23 4 1的值 . 3 41 24 12 33 求向量组1(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 (4, 3,1, 3,) 的一个最大无关组和秩 .四﹑ (10 分) 设有齐次线性方程组x 1 ( 1)x 2 x 3 0, (1)x 1 x 2x 3 0, x 1 x 2 (1)x 3 0.问当 取何值时 , 上述方程组 (1) 有唯一的零解﹔ (2) 有无穷多个解五﹑ (12 分) 求一个正交变换 X PY , 把下列二次型化成标准形 :, 并求出这些解.f ( x 1 , x 2 , x 3 )x 21x 22x 234x 1 x 24x 1x 3 4x 2 x 3 .六﹑ (6 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0,l 2 : bx 2cy 3a 0, l 3 : cx 2ay 3b 0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0 .线性代数（ A 卷）答案一﹑ 1. D 2. C 3. B 4. A5. A二﹑ 1. 0 2.( A * ) 1A3. 14. 35. 1或 -16. ( ca)( c b)( ba) 7. 0 8.1, 1,1 9. 4 t 010.1 A 1 I23542三﹑ 1. 解 由 AX X B 得 X ( A I ) 1 B . (2分)下面求 ( AI ) 1 . 由于1 1 0 A I1 1 1 (4分 )0 1 1而0 1 1( A I ) 11 1 1 .(7分 )11 0所以0 1 1 1 00 1X ( A I ) 1 B11 10 1 1 1 . (9 分 )110 0 0111 2 3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 2. 解2 3 4 1 10 3 4 1 1 34 1 (4 分 )3 4 1 2 10 4 1 2 10 41 214 1 2310 1 2 3 1 1 2 31 2 3 40 11 3 分) 160 (9 分 ) .104 (80 40 043. 解 由于1 2 3 40 1 1 3r 3 r 1 1 3 0 1 uuuuur 07331 210 50 734 12 3 4 1 3 r 3 5r 2 01 1 3 33 r4 7r 2 0 0 2 12 uuuuuuur3 3 04241 2 3 4r 41 1 3 分 )2r 3 0 2 (6 uuuuuuur 0120 0故向量组的秩是3 ， 1 , 2 ,3 是它的一个最大无关组。

1.已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭，则20061()T P A A A P -+= 2．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( T A )=3．设A 是n m ⨯矩阵，则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分必要条件是：4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩不为3，则t=5．23151315227()5439583x D x x x =，则0)(=x D 的全部根为：1．n 阶行列式111110100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ ）A 1- B ，(1)n- C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于（ ）。

A 左乘一个m 阶初等矩阵 B 右乘一个m 阶初等矩阵 C 左乘一个n 阶初等矩阵 D 右乘一个n 阶初等矩阵 3．若A 为m ×n 矩阵，()r A rn =<，{|0,}n M X AX X R ==∈。

则（ ）。

A M 是m 维向量空间B ， M 是n 维向量空间 C ，M 是m-r 维向量空间 D ，M 是n-r 维向量空间 4．若n 阶方阵A 满足，2A =E ，则以下命题哪一个成立（ ）。

A ， ()r A n = B ， ()2nr A = C ， ()2nr A ≥， D ，()2nr A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ ）。

A 矩阵-A T 为正交矩阵 B 矩阵-1A -为正交矩阵C 矩阵A 的行列式是实数D 矩阵A 的特征根是实数1．若A 为3阶正交矩阵， 求det (E-2A )2．计算行列式abb b b a b b b b a b bb b a。

3．设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪⎝⎭，求矩阵A-B 。

1一、判断题：1.四阶行列式 D =000000000000d c b a = abcd. ( )2.n 阶行列式D =111111000000000000000001321nn λλλλλ-=.21n λλλ()3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(222B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.()6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1B A =-( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[])()(111'='---A B AB .( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.()12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21,则.112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----n A λλλ ( )13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ()15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( )16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则2),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r<m<n )阶子式不等于零,一个r +1阶子式等于零,则Rank(A )=r. ( ) 20.任意n m ⨯矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( ) 23.若线性方程组AX=B (A 为n m ⨯矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解.( )24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. ()25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.()二、填空题：1. 四阶行列式 101 32235 120 26 43711 78D ---==----_____________________.2. 五阶矩阵,0021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A 其中 ,100010103,542321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A 则=1A _______, =2A ________, =A _____________.3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.4. 设矩阵()3310132 101 1ijA a ⨯-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________.35. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A为A 的伴随矩阵. 10.设矩阵,0021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中,0121,311121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则11A -= ，12A -= ，1A -= 。