福建工程学院线性代数试卷(1)
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线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题 5 分,共 25 分)1 3 1 1.若0 5 x 0,则__________。
1 2 2x1 x2 x3 02.若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解,则应满足。
x1x2x303.已知矩阵A,B,C (c ij )s n,满足 AC CB ,则 A 与 B 分别是阶矩阵。
4.已知矩阵A为 3 3的矩阵,且| A| 3,则| 2A|。
5.n阶方阵A满足A23A E 0 ,则A1。
二、选择题(每小题 5 分,共 25 分)6.已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时,该二次型为正定?()A. 40 B.4 4C. 0 t4 4 1t5t D. t2 5 5 5 51 42 1 2 37.已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ,求x的值()0 4 3 0 0 5A.3B.-2C.5D.-58 .设 A 为 n 阶可逆矩阵,则下述说法不正确的是()A. A0B. A 1 0C.r (A) nD.A 的行向量组线性相关9 .过点( 0, 2, 4)且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为()1xy 2 z 4A.312xy 2 z 4C.31 2x y2 z 4B.32 2x y2 z 4D.322103 1 .已知矩阵 A, 其特征值为()51A. 12, 2 4 B. C.12,24D.三、解答题(每小题 10 分,共 50 分)1 12,2, 22441 1 00 2 1 3 40 2 1 30 1 1 011.设B, C 0 2 1 且 矩 阵满足关系式0 0 1 1 00 10 0 0 2T X(C B)E,求。
a1 12212. 问 a 取何值时,下列向量组线性相关?111, 2a ,3。
2 1 21 a22x 1 x 2x 3 313.为何值时,线性方程组x 1 x 2x 3 2有唯一解,无解和有无穷多解?当方x 1 x 2x 32程组有无穷多解时求其通解。
文档来源为:从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持一、判断题1.若A,B为n阶对称阵,则AB也是对称阵。
(b)2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。
(a)3,设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解,则i2是对应的齐次线性方程组AX0的解。
(a)4.若A可逆,则A也可逆。
(a)5.若A的顺序主子式都大于0,则A正定。
(bA)6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。
(b)7.A和A T具有相同的特征值。
(a)8.若A可逆,则A也可逆。
(a)9.若实对称阵A的特征值全大于零,则二次型fX T AX是正定的。
(a)10.设1,2是线性方程组AXb的两个不同的解,则12是对应的齐次线性方程组AX0的解。
(a)11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解,2是齐次线性方程组AX0的解,则12是对应的线性方程组AXb的解。
(bA)12.若A可逆,则A1也可逆。
(a)13.设1,2L s是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解,KHL k s为实数,满足k〔k2Lk s1,则xk11k22Lk ss也是它的解。
(a)14.n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
(a)15.设丫1x(x1,x2Lx n)T x1,x2Lx n R满足x1x2Lx n0,则V1是向量空间。
(a)16.A和A T具有相同的特征值。
文档来源为:从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持17.若A可逆,则A也可逆18.若实对称阵A的特征值全大于零,则二次型fX T AX是正定的。
(a)二、选择题k121.行列式0的充分必要条件是(C)2k12.设A与B都是n阶方阵,则必有(C)3.设1,2……s均为n维向量,下列结论不正确的是()4.设A,B为同阶可逆方阵,则必有(D)5.正定实二次型的矩阵是()A.实对称且所有元素为正B.实对称且对角线上元素为正数C.实对称且各阶顺序主子式为正数D.实反对称且行列式值为正数6.A是三阶矩阵,特征值为10,21,31,其对应的特征向量分别是1,2,3,设P(1,2,3),则有P1AP()k217.行列式2k00的充分条件是()1118.设A是n阶可逆万阵,A是A的伴随矩阵,则()9.若向量组1,2……s的秩为r,下列结论不正确的是(C)11.已知1, 2是AXb的两个不同的解, 2是其对应的齐次方程组AX0的10.矩阵()是二次型X126x1X23x2的矩阵KH是任意常数,则()是以b的通解。
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
(A) 24315 (B ) 14325 (C ) 41523 (D )24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( )。
(A )k (B)k n - (C )k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A ) 0 (B )2-n (C ) )!2(-n (D) )!1(-n4.=001001001001000( )。
(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 25.=001100000100100( )。
(A) 0 (B )1- (C ) 1 (D) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B ) 4- (C) 2 (D) 2-8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A )ka (B)ka - (C )a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B )3- (C ) 3 (D ) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A )1- (B)2- (C )3- (D )011。
若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B )2- (C)3- (D )012。
福州大学《线性代数》试卷2014年4月27日一、填空(共30分,每空3分)1. 设1211102,2243x x y t -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 则t =____________. 2. T (1,2,3),A E A A =-=设则3_______________.3. 313233112103,,3312ij ij D A D a A A A _____.-=-+-=-设表示中元素的代数余子式则.4. ,A B 设都是n 阶方阵,13,2,3______A B A B *-==-=且则.5. 2333231232221131211==a a a a a a a a a M 如果,则=D 111112132121222331313233532532532a a a a a a a a a a a a ----=--__________. 6. 若方程组2123123123000x x x x x x x x x λλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩存在非零解,则.__________=λ7. 设方阵A 的特征值3对应的特征向量为T (1,3,1)-,则T (1,3,1)A-= .8. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50413102x 可相似对角化,则x 的值为 .9. 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++的矩阵表达式为_____________________________________________,可经正交变换=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x P ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y 化为标准形 123(,,)f y y y =______________.学院 专业 级 班 姓 名 学 号二、单项选择(每小题2分,共10分) n 1.设,,,A B C ABC E =阶方阵满足则必有( ).(C) (D)CBA E BAC E ACB E === 2. 设A 是n 阶非奇异矩阵.其伴随矩阵为A *,则( ).2112(A) () (B) () (C) () (D)() n n n n A AA AAA A AA A AA ++--********====3. 设A 是s m ⨯矩阵,B 为n s ⨯矩阵,则使0=ABx 与0=Bx 是同解方程组的一个充分条件是( ).(A) (R A m =) (B ) (R A s =) (C )(R B n =) (D) (R B s =) 4.已知3阶方阵A 的特征值是0,1,1-,则下列命题中不正确的是( ). (A) 方阵A 是不可逆的 (B) 方阵A 与对角矩阵相似(C) 1和1-所对应的特征向量正交 (D) 0=Ax 的基础解系由一个向量组成5. 设1234(,,,)A αααα=是4阶方阵,若T (1,0,1,0)是方程0AX =的一个基础解系,则*0A X =的基础解系可为( ).(A)12,αα (B)13,αα (C)123,,ααα (D)234,,ααα三(10分) 1,6,A B A BA A BA -=+设三阶矩阵满足A =且111(,,),234diag 试求矩阵B ..四(10分) 11002131101121210111003200110022A B ,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭设; (1)B 求;(2)R 求()AB .五(10分)设矩阵A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1129513151133173113311,求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组,并把不属该最大无关组的列向量用该最大无关组线性表示.六(10分) 当λ取何值时,线性方程组 ,1)5(4224)5(2122)2(321321321⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-λλλλx x x x x x x x x (1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 并求其通解.装 订 线 装 订 线 装 订 线11)6(---=∴E A B ).21,31,41(---=diag -------------10分四、解 (1) .40104222312122200230012121312-=⨯-=-⋅-=--=B ----------5分(2) 由(1)知,040≠-=B 所以B 可逆, 从而有 ).()(A R AB R =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1100111011010011A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−1100111011100011r ,0000110011100011⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−r,3)(=∴A R 因此.3)()(==A R AB R ----------10分 法二 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=4100531254122504AB ,0000410001205312⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−r .3)(=∴AB R 五、解 记),,,,( 54321ααααα=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1129513151133173113311 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−00000210001121013311r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−00000210003021080101r ---------6分故一个最大无关组为421,,ααα.且有,2213ααα+=.2384215αααα++-=六、解 对方程组的增广矩阵)(b A B =施行初等行变换:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------==154224521222)|(λλλλb A B ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------−→−)4)(1()10)(1(0011101452λλλλλλλλr(或 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+-−→−=)4)(1()10)(1(0011101542)|(λλλλλλλλλrb A B )(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, R (A )=R (B )=3,方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, R (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, R (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.此时,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−rB故方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T=-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,) ---------10分解法二 方程组的系数行列式为λλλ-------=542452222||A ,)1)(10(2--=λλ(1) 当 λ ≠ 1且λ ≠ 10时, |A| ≠0, 方程组有唯一解.(2) 当 λ = 10时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------==221121215112)|(b A B ,90000330211⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−λrR (A )=2, R (B )=3, 方程组无解. ----------6分(3) 当 λ=1时, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==244224421221)|(b A B ,000000001221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−→−rR (A )=R (B )=1, 方程组有无穷多解.得方程组的一个特解为,)0,0,1(T =η导出组的基础解系为,)1,0,2(,)0,1,2(21T T =-=ξξ故所求方程组的通解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00110201221321k k x x x (R k k ∈21,)----------10分七、解(1),000210101000210321622412321),,(21⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=r r x x β.221x x --=∴β ----------6分(2) 212121222)2(x x Ax Ax x x A A +-=--=--=β.026⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ----------10分八、证明 “充分性”设T ab A =,其中b a ,为非零列向量,则有.1)()(==T b R a R 由Sylverster 不等式有)},(),(min{)(1)()(T T T b R a R ab R b R a R ≤≤-+即有,1)(1≤≤T ab R 故,1)(=T ab R 即.1)(=A R ----------4分“必要性” 设,1)(=A R 则A 的标准形为n m O O O E F ⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1n m ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000001 所以存在m 阶可逆阵P , n 阶可逆阵Q , 使得,F PAQ =(1) 从而有,11--=FQ P A 记 ),,,,(211m p p p P =-,211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n q q q Q则),,2,1(m i p i =为m 阶非零列向量, ),,2,1(n j q j =为n 阶非零行向量,112121000000001),,,(q p q q q p p p A n n m m =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⨯令,,11q b p a T ==则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. ----------10分(或(2) 推出 11000000001--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Q P A 1111)0,,0,1(001-⨯⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q P n m 记11001⨯-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m P a ,11)0,,0,1(-⨯=Q b n T , 则b a ,均为非零列向量,且有T ab A =. -------10分)。
福建工程学院线性代数试卷(1)一、 选择题(共15分,每题3分)1.设A 为4阶矩阵且2-=A ,则=A A ( )(A )4 (B )52 (C )52- (D )82.设A ,B 为n 阶矩阵,O A ≠且AB=O ,则( )(A ) B=O (B ) 00==A B 或(C ) BA=O (D ) ()222B A B A +=- 3.下列矩阵中, 是正交矩阵。
(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221,(B )⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321,(C )⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-53545453,(D )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 4.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+004231x x x x 的基础解系含( )个线性无关的解向量:( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )45.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10021421x A ,且A 的特征值为1,2,3,则=x ( )(A ) 3 (B ) 4 (C ) 1- (D ) 5二 、填空题(共28分,每题4分)1.4阶方阵A 的行列式3=A ,则行列式=-1A ,=--*211A A 。
2.当 t = 时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000tz y x z ty x z y tx 有非零解。
3.若方阵A 可逆,其逆阵1-A 和伴随阵A*都可逆,且()=--11A ,()=-1*A 。
4.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300041003A ,则 =--1)2(E A5.向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是 ,最大线性无关组是 。
6.若n 阶方阵A 与单位阵E 相似,则A =7.当t 取值在 范围内时,二次型xy ty tx f 422++= 是正定的。
三、 计算及应用(共50分,第1,2,3题各12分,第4题14分)1.计算n 阶行列式a a a a a a a a a a aa D 3333222211111=2.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ,求矩阵T T BA A )(2+3.已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321321321x ax x ax x x x x x(1) 讨论a 取何值时,方程组有唯一解?有无穷多解?无解?(2) 方程组有无穷多解时,求其通解(用向量形式表示)4.已知二次型 322122x x x f +=(1)写出二次型的矩阵表达式;(2)用正交变换把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵。
线性代数( A 卷)一﹑选择题 ( 每小题 3 分 , 共 15 分)1.设 A ﹑ B 是任意n阶方阵 , 那么下列等式必成立的是 ( )(A)AB BA (B)( AB)2A2 B2(C)( A B)2A2 2 AB B2(D) A B B A2.如果 n 元齐次线性方程组AX0 有基础解系并且基础解系含有s(s n) 个解向量,那么矩阵 A 的秩为 ()(A)n(B)s(C)n s(D)以上答案都不正确3. 如果三阶方阵A(a ij )33的特征值为 1,2,5 ,那么 a11a22a33及A分别等于()(A)10, 8(B)8, 10(C)10,8(D)10,84.设实二次型 f ( x1 , x2 )( x1 , x2 )22x1的矩阵为 A , 那么 ()41x2(A)23(B)22(C)A21(D)A10 A1A12101 345.若方阵 A 的行列式 A 0 ,则 ( )(A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关 , 列向量组线性无关(C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关 , 行向量组线性无关二﹑填空题 ( 每小题 3 分, 共 30 分 )1 如果行列式 D 有两列的元对应成比例 , 那么该行列式等于;1002.设 A210 ,A*是A的伴随矩阵,则 ( A* ) 1;3413.设 ,是非齐次线性方程组 AX b 的解 , 若也是它的解 ,那么;4.设向量(1,1,1)T与向量(2,5, t)T正交,则t;5.设 A 为正交矩阵 , 则 A;1116.设 a, b,c 是互不相同的三个数,则行列式 a b c;a2b2c27.要使向量组1(1, ,1)T , 2(1,2,3)T , 3(1,0,1)T线性相关,则;8. 三阶可逆矩阵 A 的特征值分别为 1, 2, 3 , 那么 A 1 的特征值分别为;9. 若二次型 f ( x 1, x 2 , x 3 ) x 2 1x 2 25x 2 3 2t x 1 x 2 - 2x 1x 3 4x 2 x 3 是正定的,则 t 的取值范围为;10. 设 A 为 n 阶 方 阵 , 且 满 足 A 22 A 4I 0 , 这 里 I 为 n 阶 单 位 矩 阵 , 那 么A 1.三﹑计算题(每小题 9 分,共 27 分)2 1 01 01. 已知 A1 2 1 , B 0 1 ,求矩阵 X 使之满足 AX X B .0 12 0 01 2 3 42.求行列式23 4 1的值 . 3 41 24 12 33 求向量组1(1,0,1,0), 2(2,1,3, 7), 3 (3, 1,0,3,), 4 (4, 3,1, 3,) 的一个最大无关组和秩 .四﹑ (10 分) 设有齐次线性方程组x 1 ( 1)x 2 x 3 0, (1)x 1 x 2x 3 0, x 1 x 2 (1)x 3 0.问当 取何值时 , 上述方程组 (1) 有唯一的零解﹔ (2) 有无穷多个解五﹑ (12 分) 求一个正交变换 X PY , 把下列二次型化成标准形 :, 并求出这些解.f ( x 1 , x 2 , x 3 )x 21x 22x 234x 1 x 24x 1x 3 4x 2 x 3 .六﹑ (6 分) 已知平面上三条不同直线的方程分别为l 1 : ax 2by 3c 0,l 2 : bx 2cy 3a 0, l 3 : cx 2ay 3b 0.试证:这三条直线交于一点的充分必要条件为a b c 0 .线性代数( A 卷)答案一﹑ 1. D 2. C 3. B 4. A5. A二﹑ 1. 0 2.( A * ) 1A3. 14. 35. 1或 -16. ( ca)( c b)( ba) 7. 0 8.1, 1,1 9. 4 t 010.1 A 1 I23542三﹑ 1. 解 由 AX X B 得 X ( A I ) 1 B . (2分)下面求 ( AI ) 1 . 由于1 1 0 A I1 1 1 (4分 )0 1 1而0 1 1( A I ) 11 1 1 .(7分 )11 0所以0 1 1 1 00 1X ( A I ) 1 B11 10 1 1 1 . (9 分 )110 0 0111 2 3 4 10 2 3 4 1 2 3 4 2. 解2 3 4 1 10 3 4 1 1 34 1 (4 分 )3 4 1 2 10 4 1 2 10 41 214 1 2310 1 2 3 1 1 2 31 2 3 40 11 3 分) 160 (9 分 ) .104 (80 40 043. 解 由于1 2 3 40 1 1 3r 3 r 1 1 3 0 1 uuuuur 07331 210 50 734 12 3 4 1 3 r 3 5r 2 01 1 3 33 r4 7r 2 0 0 2 12 uuuuuuur3 3 04241 2 3 4r 41 1 3 分 )2r 3 0 2 (6 uuuuuuur 0120 0故向量组的秩是3 , 1 , 2 ,3 是它的一个最大无关组。
1.已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,则20061()T P A A A P -+= 2.设A 为n 阶方阵,12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根,则det( T A )=3.设A 是n m ⨯矩阵,则方程组B AX =对于任意的m 维列向量B 都有无数多个解的充分必要条件是:4.若向量组α=(0,4,2),β=(2,3,1),γ=(t ,2,3)的秩不为3,则t=5.23151315227()5439583x D x x x =,则0)(=x D 的全部根为:1.n 阶行列式111110100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为( )A 1- B ,(1)n- C ,(1)2(1)n n -- D ,(1)2(1)n n +-2.对矩阵n m A ⨯施行一次列变换相当于( )。
A 左乘一个m 阶初等矩阵 B 右乘一个m 阶初等矩阵 C 左乘一个n 阶初等矩阵 D 右乘一个n 阶初等矩阵 3.若A 为m ×n 矩阵,()r A rn =<,{|0,}n M X AX X R ==∈。
则( )。
A M 是m 维向量空间B , M 是n 维向量空间 C ,M 是m-r 维向量空间 D ,M 是n-r 维向量空间 4.若n 阶方阵A 满足,2A =E ,则以下命题哪一个成立( )。
A , ()r A n = B , ()2nr A = C , ()2nr A ≥, D ,()2nr A ≤5.若A 是n 阶正交矩阵,则以下命题那一个不成立( )。
A 矩阵-A T 为正交矩阵 B 矩阵-1A -为正交矩阵C 矩阵A 的行列式是实数D 矩阵A 的特征根是实数1.若A 为3阶正交矩阵, 求det (E-2A )2.计算行列式abb b b a b b b b a b bb b a。
3.设020200,001A AB A B ⎛⎫ ⎪==- ⎪⎪⎝⎭,求矩阵A-B 。
1一、判断题:1.四阶行列式 D =000000000000d c b a = abcd. ( )2.n 阶行列式D =111111000000000000000001321nn λλλλλ-=.21n λλλ()3.设A 为n 阶矩阵,k 为不等于零的常数,则.A k kA =( ) 4.设A ,B 均为n 阶矩阵,则.2)(222B AB A B A ++=+ ( ) 5.若n 阶矩阵A ,B 满足AB =0,则有A =0或者B =0.()6.对n 阶矩阵A ,若存在n 阶矩阵B ,使AB=E (E 为n 阶单位矩阵),则A 可逆且有.1B A =-( ) 7.设A ,B 均为n 阶矩阵且A B →,则A ,B 均可逆. ( ) 8.若n 阶矩阵A ,B 均为可逆矩阵,则A+B 仍为可逆矩阵. ( ) 9.设A ,B 均为n 阶可逆矩阵,则[])()(111'='---A B AB .( ) 10.若n 阶矩阵A 为对称矩阵,则A 为可逆矩阵. ( ) 11.若n 阶矩阵A 为正交矩阵,则A 为可逆矩阵.()12.若n 阶可逆矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21,则.112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----n A λλλ ( )13.若存在),,2,1(0m i k i ==使式子02211=++m m k k k ααα 成立,则向量组m ααα,,,21 线性无关.( ) 14.若向量组m ααα,,,21 线性相关,则m α可用121,,,-m ααα 线性表示. ()15.设),,2,1(n i i =α为基本单位向量组,则n ααα,,,21 线性无关. ( )16.若)(,,,21m r r ≤ααα 是向量组m ααα,,,21 的一个极大无关组,则2),,2,1(m i i =α均可用r ααα,,,21 线性表示.( ) 17.等价向量组所含向量个数相同.()18.若)(,,,21m r r <ααα 是向量组的一个极大无关组,则此极大无关组与原向量组等价. ( ) 19.若n m ⨯矩阵A 有一个r (r<m<n )阶子式不等于零,一个r +1阶子式等于零,则Rank(A )=r. ( ) 20.任意n m ⨯矩阵A 的秩等于它的等价标准形中1的个数. ( ) 21.任何一个齐次线性方程组都有基础解系. ( ) 22.任何一个齐次线性方程组都有解. ( ) 23.若线性方程组AX=B (A 为n m ⨯矩阵,X =),,,(,),,,(2121'='m n b b b B x x x )满足 Rank ),()(A Rank B A = 则此方程组有解.( )24若线性方程组AX =0(A 为n 阶矩阵,X 同上)满足0=A ,则此方程组无解. ()25.若线性方程组AX=B (A ,X 同24题,B =)),,,(21'n b b b 满足,0=A 此方程组有无穷多解.( ) 26.若21,γγ都是AX=B (A ,X ,B 同23题)的解,则21γγ+仍是此方程组的解.()二、填空题:1. 四阶行列式 101 32235 120 26 43711 78D ---==----_____________________.2. 五阶矩阵,0021⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A A 其中 ,100010103,542321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A A 则=1A _______, =2A ________, =A _____________.3. 设A ,B 均为n 阶矩阵,且,3,2-==B A 则B A 2=_______________.4. 设矩阵()3310132 101 1ijA a ⨯-⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,则12a 的余子式为_________________,12a 的代数余子式为________________,A 的顺序主子式为__________________________.35. 设三阶矩阵,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a c a c b c b a A 则kA -E =________________(k 为不等于零的常数,E 为三阶单位矩阵),若,2=A 则kA =________________.此时A 在等价关系下的标准形为____________________.6. 已知),3,2,1(),2,0,1(),0,0,1(321===ααα当321,,a a a 为任意常数时,向量组)3,2,,1(),2,0,,1(),0,0,,1(332211a a a ===βββ线性________关(相关还是无关). 3α_______(能还是不能)用21,αα线性表示.7.设),2,1,2(),1,0,1(),0,1,0(),0,0,1(321-====βααα则向量β用向量321,,ααα线性表示的表达式为_______________________.向量组βααα,,,321_____________(是或不是)线性相关.8. n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是1)___________________________________, 2)___________________.9. 设A 为五阶矩阵,且,3=A 则_,__________,__________1==*-A A 其中*A为A 的伴随矩阵. 10.设矩阵,0021⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A 其中,0121,311121⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A 则11A -= ,12A -= ,1A -= 。
大学生校园网— 线性代数综合测试题共3页第1页×××大学线性代数期末考试题一、填空题(将正确答案填在题中横线上。
每小题2分,共10分)1. 1. 若若022150131=---x,则=c ____________________。
2.若齐次线性方程组ïîïíì=++=++=++000321321321x x x x x x x x x l l 只有零解,则l 应满足。
3 3.已知矩阵.已知矩阵n s ij c C B A ´=)(,,,满足CB AC =,则A 与B 分别是阶矩阵。
阶矩阵。
44.矩阵÷÷÷øöçççèæ=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性。
5.n 阶方阵A 满足032=--E A A ,则=-1A。
二、判断正误(正确的在括号内填“√”,错误的在括号内填“×”。
每小题2分,共10分)1. 1. 若行列式若行列式D 中每个元素都大于零,则0ñD 。
()2. 2. 零向量一零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
() 3. 3. 向量组向量组m a a a ,,, 21中,如果1a 与m a 对应分量成比例,则向量组s a a a ,,, 21线性相关。
()4. úúúúûùêêêêëé=01100000010010A ,则A A =-1。
()5. 5. 若若l 为可逆矩阵A 的特征值,则1-A的特征值为l 。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案,将正确答案题号填入括号内。
每小题2分,共10分) 1. 1. 设设A 为n 阶矩阵,且2=A ,则=TA A ()。
线性代数题库15套2一、填充题(每小题2分,共20分) 1.=-000001002001000n n . 2。
n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011= (n 为正整数). 3。
设A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101,则1)2(-A = 。
4。
非齐次线性方程组11⨯⨯⨯=m n n m b X A 有唯一解的充分必要条件是 。
5.向量下的坐标为在基T T T a )1,2(,)2,1()1,3(21===ηη .6.阶矩阵若n A 、B 、C 有ABC=E,E 为=-1C n 阶单位矩阵则 。
7。
若n 阶矩阵A 有一特征值为2,则=-E A 2 .8。
若A 、B 为同阶方阵,则22))((B A B A B A -=-+的充分必要充分条件是 。
9.正交矩阵A 如果有实特征值,则其特征值等于λ 。
10。
二次型的取则是正定的t x x x x t x x x f x x x ,2232),,(3121232221321++++=值范围是 。
二、单项选择(每小题2分,共10分)1.若的值为则1200202,62122111222211211--=a a a a a a a a ( ) A 、12 B 、-12 C 、18 D 、02.设A 、B 都是则下列一定成立的是阶矩阵且,O AB n =( )A 、A=0或B=0B 、A 、B 都不可逆C 、A 、B 中至少有一个不可逆D 、A+B=O3. 向量组件是线性相关的充分必要条s a a a ,,21 ( ) A 、中含有零向量s a a a ,,21B 、s a a a ,,21 中有两个向量的对应分量成比例C 、s a a a ,,21 中每一个向量都可用其余1-s 个向量线性表示D 、s a a a ,,21 中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示4.由的过渡矩阵为到基的基321332232113,,,,32a a a a a a a a R ==++=βββ( )A 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡300020321B 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103012001 C 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010321 D 、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡103012001 5.若则相似与阶矩阵,B A n ( )A 、它们的特征矩阵相似B 、它们具有相同的特征向量C 、它们具有相同的特征矩阵D 、存在可逆矩阵B AC C C T =使,三、计算题(每小题9分,共63分)1.计算行列式nn n n n n ------1100002000002200001113212。
福建工程学院线性代数试卷(3)一、 是非题 (共 12 分 ,每题 3 分 )1.两个同阶的非零方阵相乘时,其结果一定不为零矩阵。
( ) 2.设 A 是正交矩阵,若A2E ,则 A 是对称矩阵。
()3.若1,, r r2 是线性相关的,则其中任何一个向量都可以由其余向量线性表示。
( )4 . 如 果向 量 组 1 ,,s的 秩 为 r , 那 么 其 中任 意 r 个 向 量 都 可 以 构 成 它 的 一 个 最 大 线 性 无 关组 。
( )二、选择题(共 15 分,每题 3 分)1.设 A 为 n 阶可逆矩阵,是 A 的一个特征值,则A* 的特征值之一是()( A )1An( B )1A( C )A( D )An2.设 A 为 m n 矩阵,则齐次线性方程组 A x = 0 仅有零解的充分条件是()( A ) A 的列向量组线性无关 (B ) A 的列向量组线性相关 ( C ) A 的行向量组线性无关( D ) A 的行向量组线性相关1 1 0 0 00 1 1 0 03.矩阵0 0 1 1 0 的秩为()0 0 0 1 10 00 0 1( A ) 2 ( B ) 3(C ) 4 ( D ) 54.设 n 阶方阵 A , B ,C 满足关系式 ABC=E ,其中 E 是 n 阶单位矩阵,则必有()( A ) ACB=E ( B ) CBA=E( C ) BAC=E( D ) BCA=E5. n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是A 与对角阵相似的( )( A )充要条件( B )充分而非必要条件( C ) 必要而非充分条件 ( D ) 既非充分也非必要条件三、 填空题(共 24 分,每题 4 分)2 01.已知1 ,2 , 则 T,T312.设 4 4 矩阵 A234 ,B234行列式 A4, B1 ,则行列式AB5 03.设 A0 31 ,则 A 1.0 21.,其中,, 2 , 3 , 4 均为 4 维列向量,且已知.4.已知向量组1(1,2,3,4),2(2,3,4,5), 3 (3,4,5,6),4(4,5,6,7) ,则该向量组的秩是,最大线性无关组是.2101005.已知A0x2与 B020相似,则 x=.0010036.当 t 取值在范围内时,二次型 f ( x1, x2 , x3 )x122tx1 x2 x22tx32为正定的。
《线性代数、概率论》期末考试试卷答案一、选择题(每小题后均有代号分别为A, B, C, D的被选项, 其中只有一项是正确的, 将正确一项的代号填在横线上,每小题2分,共40分):1.行列式G的某一行中所有元素都乘以同一个数k得行列式H,则------------C-------------;(A) G=H ;(B) G= 0 ;(C) H=kG ;(D) G=kH 。
2.在行列式G中,A ij是元素a ij的代数余子式,则a1j A1k+ a2j A2k+…+a nj A nk--------D------;(A) ≠G (j=k=1,2,…,n时) ;(B) =G(j, k=1,2,…,n; j≠k时) ;(C) =0 (j=k=1,2,…,n时) ;(D) =0(j, k=1,2,…,n ;j≠k时) 。
3.若G,H都是n⨯ n可逆矩阵,则----------B------------;(A) (G+H)-1=H-1+G-1;(B) (GH)-1=H-1G-1;(C) (G+H)-1=G-1+H-1;(D) (GH)-1=G-1H-1。
4.若A是n⨯ n可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵, 则--------A----------;(A) |A*|=|A|n-1;(B) |A*|=|A|n ;(C) |A*|=|A|n+1;(D) |A*|=|A|。
5.设向量组α1, α2,…,αr (r>2)线性相关, 向量β与α1维数相同,则------------C----------- (A) α1, α2,…,αr-1 线性相关;(B) α1, α2,…,αr-1 线性无关;(C) α1, α2,…,αr ,β线性相关;(D) α1, α2,…,αr ,β线性无关。
6.设η1, η2, η3是5元齐次线性方程组AX=0的一组基础解系, 则在下列中错误的是D-------------------(A) η1, η2, η3线性无关;(B) X=η1+η2+ η3是AX=0的解向量;(C) A的秩R(A)=2;(D) η1, η2, η3是正交向量组。
浙 江 工 业 大 学《线 性 代 数》试 卷 (A)(2007—2008学年第一学期) 2008.6一、填空(每空2分,共24分)1、在四阶行列式中,乘积项43213412a a a a 的符号为 号。
2、设,B C 为n 阶可逆方阵,00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭,则T A = ;1A -= 。
3、设,A B 均为n 阶方阵,且满足2,3A B ==,则()AB *= 。
4、设 100010b A ac ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,当,,a b c 分别为 时,A 为对称阵;A 的伴随阵为 ;当,,a b c 满足条件 时,A 为正交阵。
5、向量组⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭141、k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭14、⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭120为3R 的一组基, 则k 必须满足的条件是 。
6、线性方程组AX β=有无穷多解的充要条件是 。
7向量TT)0,1,0,1,0(,)1,0,1,0,1(==βα8、设二阶方阵A 、B 相似,A 的特征值为2、3,则1-B 的特征值为 ,而*B 的特征值为 。
二、单项选择题(每小题2分,共12分)1、以下结论正确的是( )。
A 、若2=A 0,则A =0;B 、若方阵A 的行列式0=A ,则A =0;C 、若=A B 0,则A =0或B =0;D 、若方阵A 对称,则2A 也对称。
2、下列四项中,向量组T 线性相关的充分必要条件是( )。
A 、向量组T 中至少有一个是零向量;B 、向量组T 中至少有两个向量的分量成比例;C 、向量组T 中至少有一个向量能由其余向量线性表示;D 、向量组T 中至少有一个部分向量组线性相关。
3、下列矩阵中,( )不是初等矩阵。
A 、100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; B 、001010101⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; C 、100015001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; D 、001010100⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
4、若n 阶方阵A 可逆,则下列各项中不是A 可逆的充分必要条件的是( )。
第1页共6页福建工程学院2018-2019年秋季学期2018级本科班期末考试试卷(A )课程名称:高等数学A I (闭卷)任课教师:年级统考考试时间:120分钟考试性质(学生填写):正常考试()缓考()补考()重修()提前修读()题号一二三总分满分404020100得分阅卷人一、单选及填空题(含10个小题,每小题4分,共40分)说明:请将下列各题的答案填入下表内,否则不得分!题号12345678910答案1.以下说法正确的是填入上表.A.无限多个无穷小之和仍是无穷小B.无限多个无穷小之积仍是无穷小C.无限多个小于1的正数之积是无穷小D.无限多个不超过L (<1)的正数之积为无穷小2.设1101,11,2,),n x x n +<<=-= 则lim n n x →∞=填入上表.A.不存在 C.1-C.0 D.1——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————班级:学号:姓名:第2页共6页3.函数()(1)x e e f x x x -=-的间断点0x =,1x =的类型依次是填入上表.A.第一类,第一类B.第一类,第二类C.第二类,第一类D.第二类,第二类4.设3sin y x x =,则(100)(0)y =填入上表.A.100B.10099⋅C.1009998⋅⋅D.100999897⋅⋅⋅5.设0()20x b e a x f x x x ⎧+>⎪=⎨+≤⎪⎩连续、可导,则(,)a b =填入上表.6.设()f x 在(0,)+∞内连续,(1)1f =,且对所有,(0,)x t ∈+∞,满足111()()()xtx t f u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰,则()f x =填入上表.7.曲线21x y e -=在(1,1)-处的切线方程是填入上表.A.230x y -+= B.230x y --=C.230x y +-= D.230x y +-=8.设函数()f x 在区间[1,1]-上可导,()0f x '<,(1)0f ->,(1)0f <,则方程()0f x =在区间(1,1)-内填入上表.A .至少有两个实根B .有且仅有一个实根C .没有实根D .根的个数不能确定9.设[]lim (),lim lim ()(1)x x x x x c f x e f x f x x c →∞→∞→∞+⎛⎫'==-- ⎪-⎝⎭,则c =填入上表.A .0B.0.5C.1D. 1.510.曲线211x x y e x -+=-的渐近线有填入上表.A.1条 B.2条 C.3条D.0条第3页共6页二、计算下列各题(含8个小题,每小题5分,共40分)11.计算212lim n n n →∞+++ .12.求2lim 1.x x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭13.求020(sin 1)lim .x x x e x dx x →+-⎰14.直接计算()12336y x x =-的高阶导数比较复杂,可以先将两边3次方,然后再按照隐函数求导法计算.试按这种方法计算,.y y '''得分——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————第4页共6页15.利用二阶导数判断星形线33cos sin x a t y a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩对应04t π≤≤段的凹凸性.16.计算.ln ln ln dx x x x⋅⎰17.利用换元法计算10.I =⎰18.计算20.x I x e dx +∞-=⎰第5页共6页三、完成下列各题(含2个小题,每小题10分,共20分)19.在区间[0,1]上给定函数2y x ,问t 为何值时,图中的阴影部分1S 与2S 的面积之和S 最小?最小值是多少?得分——————————————————密————封————线————内————答————题————无————效————————————第6页共6页20.(1)证明:方程53330x x x ++-=有且仅有一个正根.(2)设()f x 为奇函数,证明0()()xF x f t dt =⎰为偶函数.。
福建工程学院线性代数试卷(1)
一、 选择题(共15分,每题3分)
1.设A 为4阶矩阵且2-=A ,则=A A ( )
(A )4 (B )52 (C )5
2- (D )8
2.设A ,B 为n 阶矩阵,O A ≠且AB=O ,则( )
(A ) B=O (B ) 00==A B 或
(C ) BA=O (D ) ()222B A B A +=- 3.下列矩阵中, 是正交矩阵。
(A )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1221,(B )⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21232321,(C )⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53545453,(D )⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0211 4.齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+0042
31x x x x 的基础解系含( )个线性无关的解向量:( ) (A )1 (B )2 (C )3 (D )4
5.设⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=10021421x A ,且A 的特征值为1,2,3,则=x ( )
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 1- (D ) 5
二 、填空题(共28分,每题4分)
1.4阶方阵A 的行列式3=A ,则行列式=-1A ,=--*2
11A A 。
2.当 t = 时,线性方程组⎪⎩
⎪⎨⎧=++=++=++000tz y x z ty x z y tx 有非零解。
3.若方阵A 可逆,其逆阵1-A 和伴随阵A*都可逆,且()=--11A ,
()=-1*A 。
4.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300041003A ,则 =--1)2(E A
5.向量组⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=221,021,001,1114321αααα的秩是 ,
最大线性无关组是 。
6.若n 阶方阵A 与单位阵E 相似,则A =
7.当t 取值在 范围内时,二次型xy ty tx f 422++= 是正定的。
三、 计算及应用(共50分,第1,2,3题各12分,第4题14分)
1.计算n 阶行列式a a a a a a a a a a a
a D 333
32
2
2211111
= 2.⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==232110301),3,2,1(B A ,求矩阵T T BA A )(2+
3.已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+233321321
321321x ax x ax x x x x x
(1) 讨论a 取何值时,方程组有唯一解?有无穷多解?无解?
(2) 方程组有无穷多解时,求其通解(用向量形式表示)
4.已知二次型 322122x x x f +=
(1)写出二次型的矩阵表达式;
(2)用正交变换把二次型化为标准形,并写出相应的正交矩阵。
四、 证明题 (7分)
设11,,,--++B A B A B A 均为n 阶可逆阵,则 B B A A B A 1111)()
(----+=+。