高中数学 1.3组合导学案 苏教版选修23

1.3 组合（第2课时）组合的应用学案（苏教版高中数学选修2-3）第第2课时课时组合的应用组合的应用学习目标1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题知识点组合的特点思考组合的特征有哪些答案组合取出的元素是无序的梳理1组合的特点是只取不排组合要求n个元素是不同的，被取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出2组合的特性元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺序，没有位置的要求3相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同不管顺序如何，就是相同的组合1C0n1是一种规定，不能用组合数的定义进行解释2只要两个组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合类型一有限制条件的组合问题例1男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法1男运动员3名，女运动员2名；2至少有1名女运动员；3既要有队长，又要有女运动员考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解1第一步选3名男运动员，有C36种选法；第二步选2名女运动员，有C24种选法，故共有C36C24120种选法2方法一直接法“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分类计数原理知共有C14C46C24C36C34C26C44C16246种选法方法二间接法不考虑条件，从10人中任选5人，有C510种选法，其中全是男运动员的选法有C56种，故“至少有1名女运动员”的选法有C510C56246种3当有女队长时，其他人选法任意，共有C49种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C48种选法，其中不含女运动员的选法有C45种，故不选女队长时共有C48C45种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有C49C48C45191种反思与感悟1解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关2要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏跟踪训练1在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训在下列条件下，有多少种不同的选法1任意选5人；2甲.乙.丙三人必须参加；3甲.乙.丙三人不能参加；4甲.乙.丙三人只能有1人参加考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解1从中任取5人是组合问题，共有C512792种不同的选法2甲.乙.丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C2936种不同的选法3甲.乙.丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C59126种不同的选法4甲.乙.丙三人只能有1人参加，可分为两步先从甲.乙.丙中选1人，有C13种选法，再从另外9人中选4人，有C49种选法，共有C13C49378种不同的选法类型二与几何有关的组合应用题例2如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，，C6，线段AB上有异于A，B 的四个点D1，D2，D3，D4.1以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形其中含C1点的有多少个2以图中的12个点包括A，B中的4个点为顶点，可作出多少个四边形考点组合的应用题点与几何有关的组合问题解1方法一可作出三角形C36C16C24C26C14116个方法二可作三角形C310C34116个，其中以C1为顶点的三角形有C25C15C14C2436个2可作出四边形C46C36C16C26C26360个反思与感悟1图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点.共线.共面.异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法2在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决跟踪训练2空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为________考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案205解析方法一可以按从共面的5个点中取0个.1个.2个.3个进行分类，则得到所有的取法总个数为C05C45C15C35C25C25C35C15205.方法二从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为C410C45205.类型三分组.分配问题命题角度1不同元素分组.分配问题例3有6本不同的书，按下列分配方式分配，则共有多少种不同的分配方式1分成三组，每组分别有1本，2本，3本；2分给甲.乙.丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；3分成三组，每组都是2本；4分给甲.乙.丙三人，每人2本考点排列组合综合问题题点分组.分配问题解1分三步先选一本有C16种选法，再从余下的5本中选两本有C25种选法，最后余下的三本全选有C33种选法由分步计数原理知，分配方式共有C16C25C3360种2由于甲.乙.丙是不同的三个人，在1问的基础上，还应考虑再分配问题因此，分配方式共有C16C25C33A33360种3先分三组，有C26C24C22种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，第二组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为AB，CD，EF，但C26C24C22种分法中还有AB，EF，CD，CD，AB，EF，CD，EF，AB，EF，CD，AB，EF，AB，CD，共A33种情况，而这A33种情况只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A3315种4在3的基础上再分配即可，共有分配方式C26C24C22A33A3390种反思与感悟分组.分配问题的求解策略1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种完全均匀分组，每组的元素个数均相等部分均匀分组，应注意不要重复，若有n组均匀，最后必须除以n.完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象2分配问题属于“排列”问题分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配跟踪训练3现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作其中有1名青年两项工作都能胜任现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法考点排列组合综合问题题点分组分配问题解可以分三类第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有C24C23种选法；第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有C34C13种选法；第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有C34C23种选法根据分类计数原理，一共有C24C23C34C13C34C2342种不同的选法命题角度2相同元素分配问题例4将6个相同的小球放入4个编号_________为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数1每个盒子都不空；2恰有一个空盒子；3恰有两个空盒子考点排列组合综合问题题点分组.分配问题解1先把6个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，有C3510种2恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有C25种插法，然后将剩下的一块隔板与前面任意一块并放形成空盒，如|0|000||00|，有C14种插法，故共有C25C1440种3恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在5个空隙中任选1个空隙各插一块隔板，有C15种插法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，如||00||0000|，有C23种插法将两块板与前面三块板之一并放，如|00|||0000|，有C13种插法故共有C15C23C1330种反思与感悟相同元素分配问题的处理策略1隔板法如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题2将n个相同的元素分给m个不同的对象nm，有Cm1n1种方法可描述为n1个空中插入m1块板跟踪训练4某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有________种考点排列组合综合问题题点分组.分配问题答案10解析第一类当剩余的一本是画册时，相当于把3本相同的集邮册和1本画册分给4位朋友，只有1位朋友得到画册即把4位朋友分成人数为1,3的两队，有1个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有C14种分法第二类当剩余的一本是集邮册时，相当于把2本相同的画册和2本相同的集邮册分给4位朋友，有2位朋友得到画册，即把4位朋友分成人数为2,2的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有C24种分法因此，满足题意的赠送方法共有C14C244610种.1甲.乙.丙三位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙.丙各选修3门，则不同的选修方案共有________种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案96解析甲选2门有C24种选法，乙选3门有C34种选法，丙选3门有C34种选法共有C24C34C3496种选法2把三张游园票分给10个人中的3人，分法有________种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案120解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310120种3某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐1任选两种荤菜.两种蔬菜和白米饭；2任选一种荤菜.两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有________种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案210解析由分类计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有C24C27C14C27210种4直角坐标平面xOy上，平行直线xnn0,1,2，，5与平行直线ynn0,1,2，，5组成的图形中，矩形共有________个考点组合的应用题点与几何有关的组合问题答案225解析在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26C261515225.5要从12人中选出5人参加一次活动，其中A，B，C三人至多两人入选，则有________种不同选法考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案756解析方法一可分三类A，B，C三人均不入选，有C59种选法；A，B，C三人中选一人，有C13C49种选法；A，B，C三人中选二人，有C23C39种选法由分类计数原理，共有选法C59C13C49C23C39756种方法二先从12人中任选5人，再减去A，B，C三人均入选的情况，即共有选法C512C29756种1无限制条件的组合应用题的解题步骤1判断2转化3求值4作答2有限制条件的组合应用题的分类1“含”与“不含”问题这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁”若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准2几何中的计算问题在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点.线.面及构型，明确平面图形和立体图形中的点.线.面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决3分组.分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的.。

1.3. 组合-苏教版选修2-3教案教学目标1.了解组合数的概念2.掌握计算组合数的方法3.能够解决与组合有关的实际问题。

教学内容1.组合数的概念–排列与组合的联系–定义组合数2.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法3.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题教学重点1.排列与组合的联系，定义组合数2.掌握计算组合数的方法教学难点1.组合数公式的推导2.利用组合数解决实际问题教学方法1.讲授2.实例演练3.课堂讨论4.作业和考试教学资源1.教师教案2.PowerPoint课件教学过程1.引入–介绍成就背景–引出学习主题2.概念解释–介绍排列和组合的概念及其关系–定义组合数3.算法与计算–直接计算法–递推公式法–逆元法–讲解算法的过程，并提供例子4.分类讨论与应用–含不含重复元素的组合数问题–利用组合数解决实际问题，如从50个球中选出10个球的方案数，等等。

5.总结–总结组合数的概念，分类，算法与应用教学评价1.课堂表现（包括讨论、提问、及时反馈）2.作业评价3.考试课后作业1.解答教师提供的若干问题；2.根据所学知识，自行出若干组合数问题，并求解；3.完成若干类关于组合数的试题。

参考资料1.离散数学（第三版），该教材解释了组合数的相关概念、讲解了组合数的性质、算法及公式的推导过程，并给出了若干的实例。

2.组合数及其应用，该书较浅显地讲解了初步的组合数概念，丰富的实例与应用让学生理解得更深刻。

1.3组合沭阳如东中学 高二数学组 罗金平选修2-3 第1章 计数原理一、教学目标知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。

明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。

过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数m n A 与组合数C mn 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。

情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。

二、教学重点1、理解组合的意义2、明确组合与排列的区别与联系3、能运用组合数公式计算组合数三、教学难点1、组合与排列的区别与联系2、组合数计算公式的推导四、教学内分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题。

排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要。

排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系。

指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.。

能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.。

学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列。

在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题。

排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程。

普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-3[苏教版]§1.3 组合（1）教学目标：1．理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合；2．能正确认识组合与排列的联系与区别；3．了解组合数的意义，理解排列数与组合数的联系，掌握组合数的计算公式．教学重点，难点组合的概念和组合数公式．教学过程一．问题情境1．情境：（1）复习排列的有关内容：排列的概念、排列数公式．（2）考察下面两个问题：①高二（1）班从甲、乙、丙3名同学中选出2名学生代表去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？②高二（1）班从甲、乙、丙3名同学中选出2名学生代表去参加一项活动，有多少种不同的选法？③从1，2，3三个数字中选出两个数字组成两位数，这样的两位数共有多少个？④从1，2，3三个数字中选两个数字，能构成多少个不同的集合？2．问题：上述四个问题有哪些区别和联系？②④有什么共同特征？可用怎样的数学模型来刻画？二．学生活动引导观察：①③是上节课所学的排列．①中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而②只要求选出2名同学，是与顺序无关的，只要选出的元素相同就是同样的结果．④也是如此．上节中对应的排列问题还可以这样解决：第一步，先从3个元素中选出2个构成一组；第二步，再将这组中的两个元素按一定的顺序排成一列．②④其实就是第一个步骤的结果．这就是本节将要研究的组合问题．三．建构数学1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m()≤个元素并成一组，叫做从n个不m n同元素中取出m个不同元素的一个组合．说明：1．不同元素；2．“只取不排”——无序性；3．相同组合：元素相同．练习：判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？（组合）（2）从4个风景点中选出2个，并确定它们的游览顺序，有多少种不同的方法？（排列）图1-3-1思考：1,2,3和1,3,2是相同的组合吗？如何才能无重复无遗漏地把所有的组合写出来呢？例1．写出从,,a b c 这3个元素中，每次取出2个元素的所有组合． 解：先画一个示意图（图1-3-1）：由此即可写出所有的组合：,,a b a c b c ．2． 组合数的概念：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．．．．用符号mn C 表示．（组合数是一个数） 由例1知323=C ．又如：从4个景点选出2个进行游览的组合：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 一共6个组合，即：624=C ，那么又如何计算m n C 呢？3．组合数公式的推导：（1）提问：从4个不同元素,,,a b c d 中取出3个元素的组合数34C 是多少呢？排列与组合的区别：组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果，是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C 和34A 的关系，如下：组 合 排列,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b ca b c a cb b a c b ca ca b cb aa b da b d a d b b a d b d a d a b d b a a cd a cd a d c ca d cd a d a c d cab cdb cd b dc cbd cd b d b c d cb→→→→由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有34C 个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有33A 种方法． 由分步计数原理得：34A ＝⋅34C 33A ，所以，333434A A C =．（2）推广：一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数mn A ，可以分如下两步① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数mn C ；② 求每一个组合中m 个元素全排列数m m A ，根据分步计数原理得：m n A ＝m n C mm A ⋅． （3）组合数的公式：(1)(2)(1)!m mnn mmA n n n n m C A m ---+==或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且．四．数学运用 1．例题：例2．计算：（1）29C ；（2）58C ；（3）735C ；（4）47C ；（5）710C ． 解：（1）29983621C ⨯==⨯；（2）58876545654321C ⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯；（3）7353534296724520761C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯ ；（4）35；（5）120．例3．求证：11+⋅-+=m nmn C mn m C ．证明：()()()111!!1!1!!!m m nnm m n n CC n mn mm n m m n m +++⋅=⋅==--+---（由繁至简）例4．设,+∈N x 求321132-+--+x x x x C C 的值． 解：由题意可得：⎩⎨⎧-≥+-≥-321132x x x x 即：24x ≤≤，∵x N +∈， ∴2x =或3x =或4x =，当2x =时原式值为4；当3x =时原式值为7；当4x =时原式值为11． ∴所求值为4或7或11．例5．6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分法？ 略解：90222426=⋅⋅C C C ．例6．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有34C ，1624C C ⋅，2614C C ⋅，所以，一共有34C +1624C C ⋅+2614C C ⋅＝100种方法． 解法二：（间接法）10036310=-C C ． 2．练习：课本21P 练习1,2,5,7． 五、回顾小结此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．六、课外作业：课本21P 练习3,6，课本第25页 习题1.3第1，2，3题．。

1.3 组合1．组合的概念一般地，从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．预习交流 1如何区分排列问题和组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．2．组合数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．C mn ＝A mn A m m ＝n n －n －n －m ＋m ！＝n ！m ！n －m ！.预习交流2如何理解和记忆组合数公式？提示：同排列数公式相类比，在排列数公式的基础上，分母再乘以m ！. 3．组合数的性质性质1：C m n ＝C n －m n ，性质2：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n . 预习交流3如何理解和记忆组合数的性质？提示：从n 个元素中取m 个元素，就剩余(n －m )个元素，故C m n ＝C n －mn .从n ＋1个元素中取m 个元素记作C m n ＋1，可认为分作两类：第一类为含有某元素a 的取法为C m －1n ；第二类不含有此元素a ，则为C m n ，由分类计数原理知：C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .一、组合问题判断下列问题是组合问题，还是排列问题．①设集合A ＝{a ，b ，c ，d }，则集合A 的含3个元素的子集有多少个？ ②一个班中有52人，任两个人握一次手，共握多少次手？③4人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？思路分析：交换两个元素的顺序，看结果是否有影响，如无影响则是组合问题． 解：①因为集合中取出的元素具有“无序性”，故这是组合问题； ②因为两人握手是相互的，没有顺序之分，故这是组合问题；③因为5种工作是不同的，一种分工方法就是从5种不同的工作中选出4种，按一定的顺序分配给4个人，它与顺序有关，故这是排列问题．下列问题中，是组合问题的有__________．①从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法；②从a ，b ，c ，d 四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法； ③a ，b ，c ，d 四支足球队进行单循环赛，共需多少场比赛； ④a ，b ，c ，d 四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果． 答案：①③解析：①2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题； ②2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题；③单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题； ④冠亚军是有顺序的，是排列问题．组合问题与顺序无关，而排列问题与顺序有关． 二、组合数公式及组合数的性质(1)计算C 98100＋C 199200；(2)已知C 3n ＋618＝C 4n －218，求n ；(3)化简C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1.思路分析：先把组合数利用性质化简或利用组合数性质直接求解．解：(1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992＋200＝5 150.(2)由C 3n ＋618＝C 4n －218，知3n ＋6＝4n －2或3n ＋6＋(4n －2)＝18，解得n ＝8或2.而3n ＋6≤18且4n －2≤18，即n ≤4且n ∈N *，∴n ＝2.(3)C 45＋C 46＋C 47＋C 48＋1＝1＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 55＋C 45＋C 46＋C 47＋C 48＝C 56＋C 46＋C 47＋C 48＝C 57＋C 47＋C 48＝C 58＋C 48＝C 59＝C 49＝9×8×7×64×3×2×1＝126.(1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 310＝__________；(2)(C 98100＋C 97100)÷A 3101＝__________.答案：(1)329 (2)16解析：(1)原式＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 310－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 310－1＝…＝C 410＋C 310－1＝C 411－1＝329.(2)原式＝C 98101÷A 3101＝C 3101÷A 3101＝A 31013！÷A 3101＝16.利用组合数的性质解题时，要抓住公式的结构特征，应用时，可结合题目的特点，灵活运用公式变形，达到解题的目的．三、组合知识的实际应用现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？思路分析：由于选出的教师不需要考虑顺序，因此是组合问题．第(1)小题选2名教师不考虑男女，实质上是从10个不同的元素中取出2个的组合问题，可用直接法求解．第(2)小题必须选男、女教师各2名，才算完成所做的事，因此需要分两步进行，先从6名男教师中选2名，再从4名女教师中选2名．解：(1)从10名教师中选2名参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C 210＝10×92×1＝45种．(2)从6名男教师中选2名的选法有C 26，从4名女教师中选2名的选法有C 24种，根据分步乘法计数原理，因此共有不同的选法C 26·C 24＝6×52×1·4×32×1＝90种．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法有多少种？解：方法一：(直接法)至少1名女生当选可分为两类：第一类：1名女生1名男生当选代表，有C 13·C 17种方法，第二类：2名女生当选代表，有C 23种方法．由分类加法计数原理，至少有1名女生当选的不同选法有C 13·C 17＋C 23＝21＋3＝24种．方法二：(间接法)10名学生中选2名代表有C 210种选法，若2名代表全是男生有C 27种选法，所以至少有1名女生当选代表的选法有C 210－C 27＝24种．利用组合知识解决实际问题要注意：①将已知条件中的元素的特征搞清，是用直接法还是间接法； ②要使用分类方法，要做到不重不漏；③当问题的反面比较简单时，常用间接法解决．1．给出下面几个问题，其中是组合问题的有__________． ①某班选10名学生参加拔河比赛；②由1,2,3,4选出两个数，构成平面向量a 的坐标；③由1,2,3,4选出两个数分别作为双曲线的实轴和虚轴，焦点在x 轴上的双曲线方程数； ④从正方体8个顶点中任取两个点构成的线段条数是多少？ 答案：①④解析：由组合的概念知①④是组合问题，与顺序无关，而②③是排列问题，与顺序有关．2．C 9798＋2C 9698＋C 9598＝__________. 答案：161 700解析：原式＝C 9798＋C 9698＋C 9698＋C 9598＝C 9799＋C 9699＝C 97100＝C 3100＝161 700.3．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这几个点中的每三个点作圆，共可作__________个圆．答案：220解析：由题意知，可作C 312＝12×11×103×2×1＝220个不同的圆．4．解方程：C x 17－C x 16＝C 2x ＋216.解：∵C x 17＝C x 16＋C x －116，∴C x 17－C x 16＝C x －116，∴C x －116＝C 2x ＋216.由组合数的性质得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，解得x ＝－3(舍)或x ＝5.∴x ＝5. 5．平面内有10个点，其中任何3点不共线，以其中任意2点为端点，试求：(1)线段有多少条？(2)有向线段有多少条？解：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45条不同的线段．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90条不同的有向线段．。

1.3 组合（2）(理科)教学目标：1．掌握组合数公式，能够应用组合数公式解决一些简单问题．2．通过对实际例子的描述，会分析与数字有关的组合问题，培养学生的抽 象能力和逻辑思维能力．教学重点：组合的定义、组合数及组合数公式．教学难点：利用组合数公式分析和解决一些简单的应用问题．教学过程：一、学生活动1．上一节我们学习了组合数公式，下面我们来计算两个组合数．710310C C ＝＝ 为何不同组合数结果相同呢？怎样对这一结果进行解释呢？说明 从10个元素中取出7个元素后，还剩下3个元素．就是说，从10个元素中每次取出7个元素的一个组合，与剩下的（10－7）个元素的组合是一一对应的．因此，从10个元素中取出7个元素的组合数，与从这10个元素中取出（10－7）个元素的组合数是相等的，即有710C ＝10710C －． 2．一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解从此例题的结果我们能否发现什么？你能对这一结果作出解释吗？三、建构数学1．性质1 C C -m n m n n＝． 2．性质2 11C C C -+m mm n n n ＝＋．(n ，m ∈N *，且m ≤n )． 四、数学应用例1．在歌手大奖赛的文化素质测试中,选手需从5个试题中任意选答3题,问;(1)有几种不同的选题方法?(2)若有一道题是必答题,有几种不同的选题方法?例2．在100件产品中,有98件合格品,2件不合格品.从100件产品中任意抽出3件,问:（1）一共有多少种不同抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是不合格品的抽法？例3．房间里有5盏电灯，分别由5个开关控制，至少开1盏灯用以照明，有多少种不同的方法？例4 假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品．课堂练习教材P24练习第1，2，4，5题．五、回顾反思要点归纳与方法小结：1．理解组合与组合数的概念，掌握组合数公式；2．能用组合数公式解决一些简单的实际问题．1.3 组合（2）(理科)作业1、有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有个。

1.3. 组合-苏教版选修2-3教案
一、教学目标
1.了解组合的概念，掌握组合计数的基本方法；
2.能够通过例题，熟练掌握组合计数的基本方法；
3.能够运用组合计数解决具体问题。

二、教学重难点
1.组合的概念；
2.组合计数的基本方法。

三、教学内容及进度安排
教学部
分教学内容时间上课前组合知识的预习30分
钟
第一课时组合的概念20分
钟
组合计数的基本方法：乘法和加法原理30分
钟
通过例题，理解组合计数的基本方法，熟练掌握乘法和加法原
理的应用
50分
钟
第二课时组合的排列组合公式及其推导30分
钟
基于排列组合公式的应用，如球与盒问题等50分
钟
第三课时鸽巢原理及其应用30分
钟
基于鸽巢原理的应用，如生日悖论等50分
钟
上课后组合知识的巩固与拓展30分
钟
四、教学手段
1.课堂讲解：教师在讲解时要注意生动形象，把抽象的组合知识转化为具体的实例；
2.课堂讨论：学生通过讨论、交流，增进对组合知识的理解和掌握；
3.例题演练：教师和学生一起完成例题，让学生掌握组合计数的基本方法；
4.小组活动：让学生分成小组，通过组合计数解决实际的问题，增强学生的应用能力。

五、教学评价
1.课堂表现：包括学生的态度、参与度、提问次数等；
2.作业评价：通过作业检查学生的作业完成情况，确保学生的课后复习；
3.测验：通过考试检查学生对组合计数知识的掌握情况；
4.考察：通过实际问题的考察检查学生的应用能力。

第一章 计数原理 1.3 组合（3）编写人： 编号：008学习目标1、掌握组合数的两个性质；2、进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 。

学习过程：一、预习：回顾：组合数的公式与性质：(1)(2)(1)!m mn nm m A n n n n m C A m ---+== 或)!(!!m n m n C m n -=,,(n m N m n ≤∈*且组合数的性质1： 组合数的性质2：方法归纳：解有关组合的应用问题时，首先要认真分析题意，以判断这个问题是不是组合问题。

组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题取出的元素之间与顺序有关，即如元素相同而顺序不同，就是不同的排列；而组合问题取出的元素之间与顺序无关，即只要元素相同就是同一个组合解有限制条件的组合问题的方法与排列问题一样，主要有两种方法：1、直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处理问题的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求出所要求的组合数；2、间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数其他一些在排列问题中使用的方法同样可以在组合问题中运用练习：1、从8名乒乓球选手中选出3名打团体赛,共有 种不同的选法2、10名学生，7人扫地，3人推车，那么不同的分工方法有 种3、有10道试题，从中选答8道,共有 种选法、又若其中6道必答，共有 不同的种选法二、课堂训练：例1、有100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。

（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？例2、房间里有5个电灯，分别由5个开头控制，至少开一个灯用以照明，有多少种不同的方法？例3、(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？例4、从编号为1，2，3，…，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？例5、现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？例6、6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）分为三份，每份2本；（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本；（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本练习：1、甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表？2、6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？3、从6双不同手套中，任取4只，(1)恰有1双配对的取法是多少？(2)没有1双配对的取法是多少？(3)至少有1双配对的取法是多少？4、身高互不相同的7名运动员站成一排，（1）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列的排法有多少种？（2）其中甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？三、巩固练习：1．某班元旦联欢会原定的5个学生节目已排成节目单，开演前又增加了两个教师节目如果将这两个教师节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为A ．42B ．30C ．20D ．122．从7人中选派5人到10个不同的交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的选派方法有 （ ）A ．5557105C A AB ．5557105AC A C ．55107C CD ．55710C A3．某班分成8个小组，每小组5人，现要从中选出4人进行4个不同的化学实验，且每组至多选一人，则不同的安排方法种数是 （ ）A ．4484C AB ．441845C A C C ．444845C AD ．44404C A 4．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且票必须分完，那么不同的分法种数是 ．5．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中有2位同学要么都请，要么都不请，共有 种邀请方法6．一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 个7．平面内有两组平行线，一组有m 条，另一组有n 条，这两组平行线相交，可以构成 个平行四边形8．空间有三组平行平面，第一组有m 个，第二组有n 个，第三组有t 个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，可构成 个平行六面体i i=的同学的考试成绩8．在某次数学考试中，学号为(1,2,3,4)f i∈，且满足(1)(2)(3)(4)(){85,87,88,90,93}≤<<，则这四位同学的考试成绩的f f f f所有可能情况有种9．某人制订了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览A、B必选，并且在旅游过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市（A、B两城市可以不相邻），则不同的游览路线有种10．高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位，使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位不变，共有种不同的调换方法11．某兴趣小组有4名男生，5名女生：（1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男生，3名女生，且女生甲必须在内，有种选派方法；（2）从中选派5名学生参加一次活动，要求有女生但人数必须少于男生，有____种选派方法；（3）分成三组，每组3人，有种不同分法12、马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？13、九张卡片分别写着数字0，1，2，…，8，从中取出三张排成一排组成一个三位数，如果6可以当作9使用，问可以组成多少个三位数？14、（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共有多少种不同的放法？（2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？。

1.3组合 学案一教学目标1.理解并掌握组合,组合数的概念及意义;2.掌握组合数公式及其推导并能解决一些简单组合问题;3.掌握组合数的两个性质及证明,并能应用其解决问题.教学重点 组合数计算公式以及性质教学难点 组合数计算公式以及性质的应用一.问题情境问题1:(1)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加某天的上,下午活动,有多少种不同的选法?(2)从甲,乙,丙3名同学中选出2名分别去参加一项活动,有多少种不同的选法?问题2:有5名体操运动员参加2008年北京奥运会选拔赛.(1)从中选出3名参加双杠,吊环,鞍马三个单项比赛,每项仅1人,有几种不同的选拔结果?(2)从中选出3名参加吊环比赛,有几种不同的选拔结果?1.组合的定义:2.组合数的定义:思考:探究mn A 和m n C 的关系3.组合数公式:二.典型例题例1.下面问题是排列问题的有哪些?是组合问题的有哪些?并用排列数或组合数表示其结果.○1某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需几种不同的车票? ○25名同学约定假期每两人互通一封信告之对方情况,需几封信? ○35名同学约定假期每两人互通一次电话告之对方情况,共需打多少次电话? ○4设集合{}A a b c d e =、、、、,则集合A 的含有3个元素的子集有多少个? ○5从1379、、、任取两数相加可得多少个不同的和? ○6从1379、、、任取两数相除可得多少个不同的商?例2.计算:○129C ○258C ○3735C思考:(1)分别计算79C 和38C 的值,能得到什么启示?(2)计算01237345610C C C C C +++++小结:例3.求证:○111m m n n m C C n m ++=- ○21121m m m m m m m m n n C C C C C +++-++++=三.课堂练习 课本21P 练习1～7四.课堂小结。

教学设计
教学目标：
1理解组合及组合数的概念；
2能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．3初步探讨组合数的性质，会运用性质进行简单的化简求值。

教学重点：组合数公式的推导及应用
教学难点：利用组合数公式进行简单的证明
教学方法与教学手段：设疑、讨论、总结、提升、多媒体辅助
教学过程：
一、问题情境，导入新课
思考：
①从1,2,3,4中任取出两个数求积；
②从1,2,3,4中任取出两个数求差或商；
③从全班50人中选出5人组成班委会；
④从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员
以上问题有什么区别与联系？
二、典例分析
例1判断以下问题是组合问题还是排列问题？
1某铁路线上有4个车站，那么这条铁路线上需准备多少种车票？
2从7本不同的书中取出5本给某同学
33人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法？
4把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
小试牛刀给出以下问题〔用数字作答〕：
1从六名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？2从六名学生中选4名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？3八支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
4八支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
例2 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题，问：
〔1〕一共有几种不同的选题方法？
〔2〕假设选中题目A，有几种不同的解题方法？。

编写：陈为霞审核：黄爱华一、知识要点1.排列与组合有区别与联系： .2.组合数性质： .二、典型例题例1.在歌手大赛的文化素质测试中，选手需从5个试题中任意选答3题.问：⑴有几种不同的选题方法？⑵若有1道题是必答题，有几种不同的选题方法？例2.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品.从这100件产品中任意抽出3件.⑴一共有多少种不同的抽法？⑵抽出的3件中恰好有1件不合格品的抽法有多少种？⑶抽出的3件中至少有1件不合格品的抽法有多少种？例3.房间里有5个电灯，分别由5个开关控制，至少开1个灯用以照明，有多少种不同的方法？三、巩固练习1.计算：⑴4850C ；⑵239999C C . 2.若65n n C C ，则n = ，10n C = .若382828x x C C ，则x = . 3.已知A ，B ，C ，D 四点，其中任意三点不在同一条直线上，从中取出两点作直线共能作出多少条直线？写出所有的直线.4.学校开设了6门选修课，求满足下列要求的选法种数.⑴某学生从中选3门，共有多少种不同的选法？⑵某学生从中至少选2门，共有多少种不同的选法？⑶某学生从中至少选4门，共有多少种不同的选法？四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.已知75611710m m mC C C ，则8m C = . 2.某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有 种. 3.把6名学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人.若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到三车间，则不同的分法有 种.4.将4本不同的书分给3名学生，每人至少一本，则不同的分配方法有 种.5.某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有多少种？6.在一次考试中，要求第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？7.在200件产品中，有3件不合格品，从中任取5件，问：⑴“恰有2件不合格品”的取法有多少中？⑵“没有不合格品”的取法有多少种？⑶“至少有1件不合格品”的取法有多少种？8.从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛.⑴如果4人中男生和女生各2人，那么有多少种不同选法？⑵如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，那么有多少中不同选法？⑶如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？⑷如果4人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法?9.一份试卷有10个题目，分为A，B两组，每组5题，要求考生选择6题，且每组至多选4题，考生有多少种不同的的选答方法？10.如图，湖面上有4个相邻的小岛A，B，C，D，现要建3座桥梁，将这4个小岛连接起来，共有多少种不同的方案？订正栏：。