高中数学 2.1 曲线与方程学案 新人教B版选修21

2.1曲线与方程（3课时）一、教学目标使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法．通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍，培养学生综合运用各方面知识的能力．二、教学重难点：1．重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．(解决办法：对每种方法用例题加以说明，使学生掌握这种方法．) 2．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．(解决办法：先使学生了解相关点法的思路，再用例题进行讲解．) 三、活动设计提问、讲解方法、演板、小测验．四、教学过程(一)复习引入大家知道，平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质．(二)几种常见求轨迹方程的方法1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程；(2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2 (a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P 的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．由学生演板完成，解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM．∵kOM·kAM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)．2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．分析：∵点P在AQ的垂直平分线上，∴|PQ|=|PA|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=R，即|PO|+|PA|=R．故P点到两定点距离之和是定值，可用椭圆定义写出P点的轨迹方程．解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．3．相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y)的变动而变动，且x、y可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．例3 已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．分析：P点运动的原因是B点在抛物线上运动，因此B可作为相关点，应先找出点P与点B的联系．解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．4．待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求．例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程．分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0∵抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0应有等根．∴△=1664-4a2b2=0，即a2=2b．(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a2．(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果．练习题用一小黑板给出．1．△ABC一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的2．点P与一定点F(2，0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3．求抛物线y2=2px(p＞0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程．答案：义法)由中点坐标公式得：(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍．五、布置作业1．两定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹方程．2．动点P到点F1(1，0)的距离比它到F2(3，0)的距离少2，求P点的轨迹．3．已知圆x2+y2=4上有定点A(2，0)，过定点A作弦AB，并延长到点P，使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程．作业答案：1．以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=42．∵|PF2|-|PF|=2，且|F1F2|∴P点只能在x轴上且x＜1，轨迹是一条射线六、板书设计课后反思：求轨迹方程一节难度较大，通过学习圆锥曲线前的学习，学生对求轨迹方程所遵循的五个基本步骤掌握的很好，在心理上战胜了困难，这一节课在原有的基础上难度有所加大，学生掌握的比预计的理想，说明学生的兴趣及信心非常重要，在平时教学过程中一定要注意培养学生的学习积极性。

§2.1曲线与方程的概念学习目标1. 能说出平面直角坐标系中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义. 2．会判定一个点是否在已知曲线上．学习过程【任务一】知识探究1.经过(1,3).(2,5)的直线方程为 .2.与定点的距离等于定长的点的轨迹是 ．3.已知P 1(1,1).P 2(2,5)，则P 1 圆(x －1)2＋y 2＝1上，而P 2 圆(x －1)2＋y 2＝1上．（填在或不在）4.在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是 ；(2)以这个方程的解为坐标的点都是 ．那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 ．【任务二】典型例题分析例1：分析下列曲线上的点与方程的关系：(1)求第一、三象限两轴夹角平分线l 上点的坐标满足的关系； (2)说明过点A (2,0)平行于y 轴的直线l 与方程|x |＝2之间的关系．变式训练1： (1)过(0,1)P -且平行于x 轴的直线l 的方程是||1y =吗？为什么？ (2)设(2,0)A ，(0,2)B ，能否说线段AB 的方程是20x y +-=？为什么？例2：已知方程22(1)10x y +-=．(1) 判断点(1,2)P -，Q 是否在此方程表示在曲线上； (2) 若点(,)2mM m -在此方程表示的曲线上，求m 的值．变式训练2 已知方程22()()36x a y b -+-=表示的曲线经过点(0,0)O 和点(0,12)A -，求a 、b 的值．例3：曲线x 2＋(y －1)2＝4与直线y ＝k (x －2)＋4有两个不同的交点，求k 的取值范围．若有一个交点呢？无交点呢？变式训练3 若曲线y ＝x 2－x ＋2与直线y ＝x ＋m 有两个交点，则实数m 的取值范围是________．【任务三】课堂达标训练1．直线x －y ＝0与曲线xy ＝1的交点是( )A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1).(－1，－1)D ．(0,0) 2．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )A ．一个点B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线3．设点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)，则在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上的点有________．4．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．5．曲线x 2＋y 2＋2Dx ＋2Ey ＋F ＝0与x 轴的两个交点位于原点两侧，则D ，E ，F 满足的条件是________．6.求通过两圆0144,12222=---+=+y x y x y x 的交点和点)1,2(的圆的方程§2.4.1（1）抛物线的定义和标准方程学习目标1.阅读课本，明确抛物线的定义，并能够找到轨迹上动点满足的几何关系。

曲线与方程的概念学习目标.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．知识点一曲线与方程的概念思考设平面内有一动点，属于下列集合的点组成什么图形？(){＝}(，是两个定点)；(){＝}(为定点)．思考到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？梳理一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的．一个二元方程总可以通过移项写成(，)＝的形式，其中(，)是关于，的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线与方程(，)＝之间具有如下关系：①都是方程(，)＝的解；②以方程(，)＝的解为坐标的点都在上．那么，方程(，)＝叫做；曲线叫做．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读思考曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解，能否说(，)＝是曲线的方程？试举例说明．思考方程－＝能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程－＝呢？梳理()曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线的点集和方程(，)＝的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．()曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(，)建立了关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质．类型一曲线与方程的概念理解与应用命题角度曲线与方程的判定例命题“曲线上的点的坐标都是方程(，)＝的解”是正确的，下列命题中正确的是()．方程(，)＝的曲线是．方程(，)＝的曲线不一定是．(，)＝是曲线的方程．以方程(，)＝的解为坐标的点都在曲线上。

曲线与方程（1）【教学目标】(1) 知识目标：①了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；②初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；③学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。

(2) 能力目标：①通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识；②在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察，分析，讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点；③能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识。

(3) 情感目标：①通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律；②通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具；③学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性。

【重点难点】1.教学重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．2.教学难点：难点在于对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，原因是不理解两者缺一都将扩大概念的外延．据此可用举反例的方法来突破难点，促使学生对概念表述的严密性进行探索，自然地得出定义．【教学过程】☆情境引入☆11月7日8时34分，嫦娥一号卫星顺利完成第３次近月制动，成功进入经过月球南北两极，轨道周期127分钟的圆轨道。

通过3次制动，嫦娥一号相对月球的速度共减小约848米每秒，从近月点高度212公里、远月点高度8617公里的椭圆轨道调整为轨道高度约为200公里的圆形轨道.☆探索新知☆直线与方程的关系设曲线C表示直角坐标系中平分第一、三象限的直线.思考1:曲线C上的点有什么几何特征？到两坐标轴的距离相等.思考2:如果点M（x0，y0）是曲线C上任意一点，则x0，y0应满足什么关系？x0＝y0思考3: x0＝y0可以认为是点M的坐标是方程x－y＝0的解，那么曲线C上的点的坐标都是方程x－y＝0的解吗？都是思考4:如果x0，y0是方程x－y＝0的解，那么点M（x0，y0）一定在曲线C上吗？一定在思考5:曲线C上的点的坐标都是方程 |x|＝|y|的解吗？以方程|x|＝|y|的解为坐标的点都在曲线C上吗？都是 不一定在思考6:曲线C 上的点的坐标都是方程 的解吗？以方程的解为坐标的点都在曲线C上吗？ 不都是 都在 圆与方程的关系设曲线C 表示直角坐标系中以点（1，2）为圆心，3为半径的圆. 思考1:曲线C 上的点有什么几何特征？ 与圆心的距离等于3.思考2:如果点M （x 0，y 0）是曲线C 上任意一点，则x 0，y 0应满足什么关系？ (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9思考3: (x 0－1)2＋(y 0－2)2＝9可以认为是点M 的坐标是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么曲线C 上的点的坐标都是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解吗？ 都是思考4: 如果x 0，y 0是方程(x －1)2＋(y －2)2＝9的解，那么点M （x 0，y 0）一定在曲线C 上吗？ 都在思考5:曲线C 上的点的坐标都是方程的解吗？以这个方程的解为坐标的点都在曲线C 上吗？ 不都是 都在 曲线与方程的概念思考1: 在直角坐标系中，若曲线C 表示平分第一、三象限的直线，则方程x －y ＝0叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做方程x －y ＝0的曲线.那么，过原点且平分第一象限的射线的方程是什么？ x －y ＝0（0,0≥≥y x ）思考2: 在直角坐标系中，若曲线C 表示以点（1，2）为圆心，3为半径的圆，则方程(x －1)2＋(y －2)2＝9叫做曲线C 的方程，同时曲线C 叫做该方程的曲线，那么，方程(x －1)2＋(y －2)2＝9（x ≤1）的曲线是什么？以点（1，2）为圆心，3为半径的左半圆思考3:一般地，对于曲线C 和方程f(x ，y)＝0，在什么条件下，该方程是曲线C 的方程？同时曲线C 是该方程的曲线？（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f(x ，y)＝0的解； （2）以方程f(x ，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C 上. 定义:一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线. 说明:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. 由曲线的方程的定义可知:如果曲线C 的方程是 f(x,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y 0)在曲线C 上的充要条件是 f(x 0, y 0)=0 题型一 曲线与方程的概念例1(1)已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么() A.曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B.凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在曲线C 上 C.不在曲线C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D.不在曲线C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：①与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系；解 与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy ＝5，但以方程xy ＝5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy ＝5. ②第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系.题型二 由方程判断其表示的曲线例2 方程(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0表示的曲线是什么？解 因为(2x ＋3y －5)(x －3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x －3≥0，或者x －3－1＝0，即2x ＋3y －5＝0(x ≥3)或者x ＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ≥3)一条直线x ＝4. 题型三 曲线与方程关系的应用例3 若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值X 围. 解 ∵曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a )， ∴a 2＋a 2＋2a ＋k ＝0.∴k ＝－2a 2－2a ＝－2(a ＋0.5)2＋0.5. ∴k ≤0.5，∴k 的取值X 围是(－∞，0.5]. ☆课堂提高☆1.“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程y ＝－2 ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析 ∵y ＝－2≤0，而y 2＝4x 中y 可正可负，∴点M 在曲线y 2＝4x 上时，点M 不一定在y ＝－2 上.反之，点M 在y ＝－2上时，点M 一定在y 2＝4x 上.2.方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是() A.两个点 B.四个点 C.两条直线D.四条直线解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.选B.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()4.已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为() A.π3B.5π3C.π3或5π3 D.π3或π6解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又0≤α<2π，∴α＝π3或α＝5π3.☆课堂小结☆1. “曲线的方程”和“方程的曲线”的定义:（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.在领会定义时，要牢记关系⑴、⑵两者缺一不可.2.曲线和方程之间一一对应的确立，进一步把“曲线”与“方程”统一了起来，在此基础上，我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。

学习 目 标核 心 素 养1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念．(重点、易混点)3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及掌握相互转化的思想方法.1.通过曲线与方程概念学习，培养学生的数学抽象素养. 2.借助数形结合理解曲线的方程和方程的曲线，提升学生的直观想象和逻辑推理素养.高中数学第2章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念学案新人教B 版选修211．曲线与方程的概念一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．一个二元方程总可以通过移项写成F (x ，y )＝0的形式，其中F (x ，y )是关于x ，y 的解析式．在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间具有如下关系： ①曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； ②以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，方程F (x ，y )＝0叫做曲线的方程；曲线C 叫做方程的曲线．思考1：如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，会出现什么情况？举例说明．[提示] 如果曲线与方程仅满足“以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上”，有可能扩大曲线的边界．如方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．思考2：如果曲线C 的方程是F (x ，y )＝0，那么点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是什么？[提示] 若点P 在曲线C 上，则F (x 0，y 0)＝0；若F (x 0，y 0)＝0，则点P 在曲线C 上，所以点P (x 0，y 0)在曲线C 上的充要条件是F (x 0，y 0)＝0.2．两条曲线的交点坐标曲线C 1：F (x ，y )＝0和曲线C 2：G (x ，y )＝0的交点坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的实数解．1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线( )A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线x－y＝0对称C[将(－x，－y)代入xy2－x2y＝2x方程不变，故选C.]2．下列各组方程中表示相同曲线的是( )A．x2＋y＝0与xy＝0B.x＋y＝0与x2－y2＝0C．y＝lg x2与y＝2lg xD．x－y＝0与y＝lg 10x[答案] D3．如图，图形的方程与图中曲线对应正确的是( )A B C D[答案] D曲线与方程的概念(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的“两性”是否都满足，并作出相应的回答即可.判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程.1．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是真命题，下列命题中正确的是( )A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是CB ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是C C ．f (x ，y )＝0是曲线C 的方程D ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上B [“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，但“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C 上，故A 、C 、D 都不正确，B 正确．]2．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 C [方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， 即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.∴表示两条直线2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0.]曲线与方程关系的应用(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10， (2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上， 点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m2，y ＝－m 适合上述方程，即⎝⎛⎭⎪⎫m22＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－185，∴m的值为2或－185.(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是否是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．3．若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．[解] ∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2⎝⎛⎭⎪⎫a＋122＋12.∴k≤12，∴k的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.由方程判断其表示的曲线如何证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0?[提示]用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0，证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的解；第二步，设(x0，y0)是方程f(x，y)＝0的任一解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．【例3】方程(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0表示的曲线是什么？[思路探究] 将方程转化为⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y－5＝0x－3≥0或x－3－1＝0，再判断曲线形状．[解] 因为(2x＋3y－5)(x－3－1)＝0，所以可得⎩⎪⎨⎪⎧2x＋3y－5＝0，x－3≥0，或者x－3－1＝0，也就是2x＋3y－5＝0(x≥3)或者x＝4，故方程表示的曲线为一条射线2x＋3y－5＝0(x≥3)和一条直线x＝4.1．(变换条件)把方程换成“2x －3－1(2x ＋3y －5)＝0”，其表示什么曲线？[解] 由2x －3－1(2x ＋3y －5)＝0得2x ＋3y －5＝0(x ≥3)表示一条射线．2．(变换条件)把方程换成“(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0”，其表示什么曲线？ [解] 由(2x ＋3y －5)[log 2(x ＋2y )－3]＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －5＝0，x ＋2y ＞0，或者x ＋2y ＝8，也就是2x ＋3y －5＝0(x ＜10)或者x ＋2y ＝8，故方程表示的曲线为一条射线2x ＋3y －5＝0(x ＜10)(去除端点)和一条直线x ＋2y ＝8.方程表示的曲线的判断步骤提醒：(1)方程变形前后要等价，否则变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线． (2)当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．1．思考辨析(1)到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x .( ) (2)方程x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线．( )(3)条件甲：“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，条件乙：“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的图形”，则条件甲是条件乙的充要条件．( )[提示] (1)√(2)× x －y ＝0表示直角坐标系中第一、三象限的角平分线． (3)× 必要不充分条件．2．若P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，则a 的值为( ) A ．2 B ．3 C.12 D.13D [因为点P (2，－3)在曲线x 2－ay 2＝1上，代入曲线方程可得a ＝13，故选D.]3．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．4个点 [由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，表示四个点．]4．方程1－|x|＝1－y表示的曲线是________．两条线段[由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0，1－|x|≥0，∴y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段．]。

第2章圆锥曲线与方程2．1 圆锥曲线二、预习指导1．预习目标(1)认识用平面截圆锥面得到的各种曲线；(2)掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义；(3)会根据不同的已知条件，利用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹．2．预习提纲(1)查找有关轨迹的概念，回答下列问题：①平面内到线段两端点距离相等的点的轨迹是____________；②平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________；③空间中到定点的距离等于定长的点的轨迹是____________．(2)阅读教材选修4－1的71页到78页，教材选修2－1的25页到27页写下列空格：①一个平面截一个圆锥面，改变平面的位置，可得到如下图形____________，____________，____________，____________，____________；②平面内到两个定点F1，F2的距离_____等于常数(__________)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的__________；③平面内到两个定点F1，F2的距离____________等于常数(______________)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；④平面内到一个定点F和一条定直线l(________________)的距离________的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的_________．(3)阅读课本例1，动手实践借助细绳画椭圆，结合课本27页习题2．1第3题，动手实践借助拉链画双曲线，并说明理由，以此加深对椭圆、双曲线定义的认识．3．典型例题例1 动点P(x，y)与两个定点A(－2，0)、B(2，0)构成的三角形周长为10．(1)试证：动点P在一个椭圆上运动；(2)写出这个椭圆的焦点坐标．分析：找动点P满足的条件，利用圆锥曲线的定义．解：(1)由题意得：PA+PB+AB=10，AB=4，故PA+PB=6>4．由椭圆的定义得：动点P在以A(－2，0)、B(2，0)为焦点的椭圆上运动．(2)由(1)得：这个椭圆的两个焦点坐标为A(－2，0)、B(2，0)．点评：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义中，条件都有特定的限制，如在具体问题中不加以判断，会造成错解．如本题中PA+PB=6>4是十分必要的．在椭圆的定义中，PF1+PF2等于常数，常数大于F1F2的判断是必不可少的．若常数等于F 1F 2，则轨迹是线段F 1F 2；若常数小于F 1F 2，则不表示任何图形．在双曲线的定义中，注意两个限制：一是常数小于F 1F 2，二是差的绝对值，两者缺一不可．若PF 1－PF 2是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 2为焦点的一支；若PF 2－PF 1是正常数且常数小于F 1F 2，则点的轨迹是双曲线以F 1为焦点的一支；若|PF 1－PF 2|是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是两条射线；若PF 1－PF 2是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 2为端点与F 1F 2同向的射线；若PF 2－PF 1是常数且等于F 1F 2，则点的轨迹是以F 1为端点与F 1F 2反向的射线． 在抛物线的定义中，当点F 在直线l 上时，则点P 的轨迹是过点F 与直线l 垂直的直线．例2 已知圆()221:31C x y ++=和圆()222:39C x y -+=，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，试问动圆圆心M 在怎样的曲线上运动?分析：两圆外切，则圆心距等于半径之和．解： 设动圆的半径为R ，则由动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切得：1213MC R MC R =+⎧⎨=+⎩ 消去R 得：MC 2－MC 1=2，故可知动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数2．由双曲线的定义得：动圆圆心M 在双曲线的一支(左边的一支)上运动．点评：本题由于动点M 到两定点C 1，C 2的距离之差是常数，而不是差的绝对值为常数，因此其轨迹只能是双曲线的一支．这一点在应用过程中要特别注意．4．自我检测(1)已知点A (1，0)、B (－1，0)，动点P 满足：PA +PB =4，则动点P 的轨迹是__ ．(2)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=2，则动点M 的轨迹是 ____ ，其两个焦点分别为 ．(3)已知定点A (1，0)和定直线l ：x = －3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ，其焦点为 ，准线为 ．(4)已知点A (－2，0)、B (2，0)，动点M 满足：|MA －MB |=4，则动点M 的轨迹是 _．(5)在△ABC 中，B (0，－3)，C (0，3)，且AB ，BC ，AC 成等差数列，试证：点A 在以B 、C 为焦点的椭圆上运动．三、课后巩固练习A 组1．用合适的选项填写下列轨迹 ( 要求只填写序号 )①直线；②圆；③椭圆；④双曲线；⑤双曲线的一支；⑥抛物线；⑦线段(1)动点P 到两定点F 1(－4，0)、F 2(4，0)的距离和是8，则动点P 的轨迹为_______； (2)已知椭圆的焦点为F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得PQ =PF 2，那么动点Q 的轨迹是_________；(3)动点P 到直线x +4=0的距离减去它到M (2，0)的距离之差等于2，则动点P 的轨迹是___________；(4)经过定圆外一定点，并且与定圆外切的动圆圆心的轨迹是__________．2．已知O (0，0)、A0)为平面内两个定点，动点P 满足：PO +PA =2，求动点P 的轨迹．3．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且b ，a ，c 成等差数列，b ≥c ．已知顶点B 、C 的坐标为B (－1，0)，C (－1，0)．试证：点A 在以B 、C 为焦点的左半椭圆上运动．4．在△ABC 中，A 为动点，(,0)(,0)(0)22a a B C a ->、为定点，且满足：1s i n s i n s i n 2C B A -=，试问动点A 在怎样的曲线上运动?B 组5．圆O 1与圆O 2的半径分别为1和2，O 1O 2=4，动圆与圆O 1内切而与圆O 2外切，则动圆圆心的轨迹是_____________________．6．已知定点A (－3，3)和定直线l ：x =－3，若点N 到定点A 与到定直线l 的距离相等，则点N 的轨迹是 ．7．已知圆的方程为22100x y +=，点A 的坐标为(－6，0)，M 是圆O 上的任意一点，AM 的垂直平分线交OM 于点P ，试证明：点P 在以A 、O 为焦点的椭圆上运动．C 组8．已知A(0，7)、B(0，－7)、C(12，2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，记椭圆的另一个焦点为F ，证明：点F 在以A(0，7)、B(0，－7)为焦点的双曲线的一支上运动．9．已知两个同心圆，其半径分别为R ，r (R >r )，AB 为小圆的一条定直径，求证：以大圆切线为准线，且过A 、B 两点的抛物线的焦点F 在以A 、B 为焦点的椭圆上．10．若一个动点P (x ，y )到定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)距离之和为定值m (m ≥0)，试讨论点P 的轨迹．题号我们身边的圆锥曲线圆锥曲线的发现确实是一个伟大的发现．在笛卡尔直角坐标系中，这些曲线的方程是二次方程，所以圆锥曲线又叫做二次曲线．对于二次曲线的价值大概还没有人会估计得过高．在我们的实际生活中处处都有圆锥曲线．例如，我们的地球绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳系的其他行星的运行轨道都是椭圆．这个事实是由开普勒第一定律确定的，之所以沿着椭圆轨道运动，是因为每一个行星在每一个瞬间都有不超过某一个值的速度．事实证明，假如这个速度过大了，运动就会沿着抛物线或双曲线轨道运行．相对于一个静止的物体，并按照万有引力定律受它吸引的物体运动，不可能有任何其他的轨道．因此，二次曲线实际上是以我们的宇宙为基础的．又如，如果让抛物线绕其轴旋转，就得到一个叫做旋转抛物面的曲面．在抛物面的轴上，有一个具有美妙性质的焦点，任何一条通过该点的直线由抛物面上反射出来之后，在指向上都平行于抛物面的轴．而这意味着如果把探照灯做成抛物面的形状，并且把灯泡放在焦点上，那么从抛物面上反射回来的所有光线就形成一束平行光束．这显然是一个很大的优点，因为正是这样一束光线在空间中，甚至于在离光源距离相当大的情况下，很少扩散．当然，实际上我们得不到理想的平行光束，因为灯泡不是一个点，但对于实用的目的来说，只要接近于这样的光束就够了．天文望远镜上的反射镜也是利用抛物面的形状制作的．它的作用刚好和探照灯的作用相反：探照灯的反射镜把光线反射到空间，天文望远镜的反射面则把来自宇宙的光线聚焦到自己的焦点上．只要用放大镜组瞄准这个焦点就行了，这样，我们就会得到聚焦到其光线的那个星球的信息，这比肉眼观察所能提供的信息要多得多．那条不穿过双曲线的对称轴叫做双曲线的虚轴．如果使双曲线绕这条轴旋转，那么，形成的曲面(这样的曲面称为单叶双曲面)也有许多实际用处．单叶双曲面是直纹曲面．上面有两组母直线族，各组内母线彼此不相交，而与另一组母线永远相交．正是这种性质在技术中得到了应用．例如，用直立木杆造水塔，如果把这些杆垂直地放置，那就只能得到一个很不牢固的建筑物，他会因为非常小的负荷而损坏．如果立杆时，使他们构成一个单叶双曲面(就是两组母线族)，并使他们的交点处连接在一起，就会得到一个非常轻巧而又非常坚固的建筑物．许多化工厂或热电厂的冷却塔就是利用了这个原理．在尝试解决古代名题的过程中，所发现的各种美妙曲线远不限于螺线，蚌线和圆锥曲线．可是，不管找到了多少美妙的曲线，他们还是解决不了古代名题．要知道，正像我们还记得的那样，要求不只是解出这些名题，而是除了直尺和圆规外，不准利用其他任何工具．而仅仅利用这两种工具能否解决其中任何一个问题呢?这个问题该如何回答呢?如果这个答案存在的话，对这个问题给与肯定的回答，原则上显得比给与否定的回答更容易，只不过需要尝试才能找到这个答案．经过或多或少接连不断的寻找，这种题解通常可以找到．在题解不存在的情况下，事情则难办的多．这时，只停留在普通的几何直观上，几乎不可能得到所需要的答案．在这种情况下，可以对问题进行精确的代数分析，以便归结为完成某些代数方程的不可能性证明解答这个问题的不可能性．这样，就要求助于代数！2．1 圆锥曲线自我检测(1)以A,B为焦点的椭圆 (2) 以A,B为焦点的双曲线，A(-2,0)、B(2,0) (3)抛物线，A(1,0) ，l：x= -3 (4) 以A,B为端点的两条射线(5)因为AB，BC，AC成等差数列，所以AB+AC =2BC=12>BC，因此点A在以B、C为焦点的椭圆上运动．课后巩固练习A组1．(1)⑦；(2)②；(3)⑥；(4)⑤ 2．以O,A为焦点的椭圆3．证明略 4．点A在以B，C为焦点的双曲线的右支上B组5．以O1，O2为焦点的双曲线的一支 6．过点A且垂直于l的直线7．8．证明略C组9．证明略10．当m<2时，轨迹不存在；当m=2是，轨迹是以F1F2为端点的线段；当m>2时，轨迹是以F1F2为焦点的椭圆。

2.1.1曲线与方程【教学目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律，学会分析、判断曲线与方程的关系，强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.1.1曲线与方程》课件“新课导入”部分，可引导学生结合其他的资料，了解卫星的飞行轨迹，再结合问题的描述，引入本节课要学习的曲线与方程的知识.二、自主学习知识点一曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；①(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，②那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．知识点二曲线的方程与方程的曲线解读曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法．曲线C的点集和方程f(x，y)＝0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上．定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏．曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质.三、合作探究问题1设平面内有一动点P，属于下列集合的点组成什么图形？①{P|P A＝PB}(A，B是两个定点)；②{P|PO＝3cm}(O为定点)．答案①线段AB的垂直平分线；②以O为圆心，3cm为半径的圆．问题2到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答案y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0，即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．问题3曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解，能否说f(x，y)＝0是曲线C的方程？试举例说明．答案不能，还要验证以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点是不是都在曲线上．例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与“方程x2＋y2＝4”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2＋y2＝4.问题4方程x－y＝0能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线？方程x－y ＝0呢？答案方程x－y＝0不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线．因为第一、三象限角平分线上的点不全是方程x－y＝0的解．例如，点A(－2，－2)不满足方程，但点A是第一、三象限角平分线上的点．方程x－y＝0能够表示第一、三象限的角平分线．探究点1曲线与方程的概念应用例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．反思与感悟解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．探究点2曲线与方程关系的应用例2如果曲线C上的点的坐标(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么()A．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上B ．以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点有些不在曲线C 上C ．不在曲线C 上的点的坐标都不是方程F (x ，y )＝0的解D ．坐标不满足F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上答案 D解析 因曲线C 上的点的坐标(x ，y )都是方程F (x ，y )＝0的解，满足了曲线与方程的概念的条件①，而且阐明了曲线C 上无坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点，也就是说，坐标不满足F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上，根据条件，无法判断满足曲线与方程概念的条件②，从而选项A 、B 、C 均错误，故选D.反思与感悟 判断曲线与方程关系问题时，可以利用曲线与方程的定义；也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断．四、当堂测试1．“以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点”是“曲线C 的方程是f (x ，y )＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由曲线C 的方程是f (x ，y )＝0得以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都是曲线C 上的点，但反过来不成立，故选B.2．若一动点C 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，则它和定点B (3,0)的连线的中点P 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(x ＋32)2＋y 2＝1 答案 C解析 设动点C 的坐标为(x 0，y 0)，P 点的坐标为(x ，y )，则x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，即x 0＝2x －3，y 0＝2y .又动点C (x 0，y 0)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴(2x －3)2＋4y 2＝1即为所求．3．方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( )A ．直线2x －y ＝0B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0答案 C解析 原方程可化为(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0，即2x －y ＝0或2x ＋y ＋3＝0，∴原方程表示直线2x －y ＝0和直线2x ＋y ＋3＝0.4．若曲线ax 2＋by 2＝4过点A (0，－2)，B (12，3)，则a ＝________，b ＝________. 答案 4 1解析 ∵曲线过A (0，－2)，B (12，3)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4b ＝4，14a ＋3b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝4. 5．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是________．答案 4个点解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2，∴方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是4个点．五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．。

【学习目标】1、从实例了解方程的曲线与曲线的方程的概念；2、掌握求曲线方程的步骤和方法.【学习重点与难点】3、教学重点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 4、教学难点：掌握求曲线方程的步骤和方法. 【学习过程】一、阅读课本第页，了解方程的曲线与曲线的方程的概念二、阅读课本例1和例2，体会并总结求曲线的方程的步骤和方法。

※、求曲线的方程的步骤⑴建系：建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标⑵写集合：写出适合条件P 的点M 的集合}M P |{M P ）（⑶列方程：用坐标表示条件P （M ），列出方程f(x,y)=0 ⑷化简：化方程f(x,y)=0为最简形式※、求曲线的方程的一般方法①直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x,y 的等式，就得到曲线的轨迹方程②代入法：动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程③待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程的形式，在根据条件确定待定的系数④定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，在确定其中的基本量预测练习1、已知曲线方程为10)1(22y x . (1)判断点)3,2(),2,1(q p 是否在此方程表示的曲线上（2）若点),2(m mM 在此方程表示的曲线上，求m 值2、等腰三角形ABC 的顶点是)2,4(A ，底边一个端点是)5,3(B ，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线。

3、已知ABC ，)2,0(),0,2(A B ，第三个顶点C 在曲线上移动，求ABC 的重心的轨迹方程。

（三角形重心坐标公式3x3321321{x x x y y y y ）。

2.1.1 曲线与方程【学习目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ， 3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=，4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线 含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件： （1）；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫，则该曲线，叫做. 例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2（3）x 2－y 2=0（4）|x |－y =0[解析]点评：例2 （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－，2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上.（2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25. 分析： [解析]2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程是. 分析： 证明：例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程.)0(>k k k xy ±=解3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用[解析]几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x ，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程.（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析：解 课堂小结'y ,'x 'y ,'x 226490x y x y +--+=曲线的方程和方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 作业1．已知直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2，则点M (2，3)( ) A ．在直线l 上，但不在曲线C 上 B ．在直线l 上，也在曲线C 上 C ．不在直线l 上，也不在曲线C 上 D ．不在直线l 上，但在曲线C 上2．方程x 2＋y 2＝1(xy <0)的曲线形状是( )3．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( ) A ．y 2＝x 与y ＝x B ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x C.y ＋1x －2＝1与lg(y ＋1)＝lg(x －2) D ．x 2＋y 2＝1与|y |＝1－x 24．曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积是________． 拓展提升1． 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（ （3）（3x －4y －12）[ （4）0)13=--x 0]3)2(log 2=-+y x 0324222=++-+y x y x2. 已知点M 与轴的距离和点M 与点F （0，4）的距离相等，求点M 的轨迹方程.3. 已知一条直线和它上方的一个点F ，点F 到的距离是2.一条曲线也在直线的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到直线的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.x l l l l——★ 参 考 答 案 ★——新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解； （2）做曲线的方程，方程的曲线. 例1[解析]方程（1）是表示直线l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l 的方程.（2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.【点评】理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2[解析]第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.[答案]（1）把点M 1（3，－4），M 2（－，2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程. 例3[解析]先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.【证明】（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与轴的距离为，与轴的距离为，所以 即是方程的解.x 0y y 0x k y x =⋅00),(00y x k xy ±=（2）设的坐标是方程的解，那么即，而正是点到轴，轴的距离，因此点到两条坐标轴的距离的积是常数，点是曲线上的点.由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离之积是常数的点的轨迹方程. 例4[答案]解法一：∵，∴所求直线的斜率k=－0.5又∵线段AB 的中点坐标是，即（1，3）， ∴线段AB 的垂直平分线的方程为.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|∴（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程的解； （2）设点的坐标是方程（Ⅰ）的解，即 ∵以上变形过程步步可逆，综上所述，线段AB的垂直平分线的方程是. 例5[解析]先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程.[答案]解法一：设M ，A ，B且 由①－②得1M ),(11y x k xy ±=k y x ±=11k y x =⋅1111,y x 1M x y 1M k 1M k xy ±=)0(>k k 7(1)23(1)--==--AB k 1317(,)22-+-+13(1)2y x -=--2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴270x y +-=270x y +-=1M 11(,)x y 11270x y +-=11M A =M B x +2y -7=0OM AB k k =(,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①②12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----=∵即（易知） ∴ ∴化简得∴所求轨迹方程为 （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 解法二：设M ，A ，B则设直线l 的方程为由方程组 消去y 得∴ 消去参数得【点评】若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标（x ，y ）之间的坐标.课后作业1．[解析]将x ＝2，y ＝3代入直线l ：x ＋y －5＝0及曲线C ：(x －3)2＋(y －2)2＝2的方程均成立，故点M (2，3)在直线l 上，也在曲线C 上，故选B.[答案]B2．[解析]方程x 2＋y 2＝1(xy ＜0)表示以原点为圆心，1为半径的圆在第二、四象限的部分．故选C.[答案]C3．[解析]主要考虑x ，y 的取值范围，选项A 中y 2＝x 中y ∈R，而y ＝x 中y ≥0；选OM AB k k =1212y y y x x x -=-12x x ≠22640y yx y x x+⋅--=22320x y x y +--=02322=--+y x y x (,)x y 11(,)x y 22(,)x y 121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩y kx =226490=⎧⎨+--+=⎩y kx x y x y 22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++22321321k x k ky k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩k 22320x y x y +--=项B 中y ＝lg x 2中x ≠0，而y ＝2lg x 中x >0；选项C 中y ＋1x －2＝1中y ∈R，x ≠2，而lg(y ＋1)＝lg(x －2)中y >－1，x >2，故只有D 正确．[答案]D4．[解析]在y ＝|x |－1中令x ＝0得y ＝－1，令y ＝0得x ＝±1，所以曲线y ＝|x |－1与x 轴围成的图形的面积为12×2×1＝1.[答案]1 拓展提升1.[答案]解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为故方程表示的曲线为一条射线和一条直线x=4. （3）因为（3x －4y －12）[故方程表示的曲线为一条射线（除去端点）和一条直线x+2y=8.（4）因为则方程表示的图形为一个点（1，－1）2. [答案]解：设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与轴的距离为，∴∴∴就是所求的轨迹方程.3. [答案]解：设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ，0)13)(532(=---+x y x .4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或)3x (05y 3x 2≥=-+0]3)2(log 2=-+y x 直线。

2．1．1曲线与方程【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。

【教学目标】：知识与技能1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；过程与方法1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.情感态度与价值观培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）【课前准备】：多媒体、实物投影仪【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一．复习、引入1、问题：(1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；观察、思考，求得方程为xy通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。

引导学生分析：（1）如果点00(,)M x y 是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即00x y =，那么它的坐标00(,)x y 是方程x y =的解。

（2）如果00(,)x y 是方程x y =的解，即00x y =，则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。

二．复习、引入(2) 仿照（1）说明：以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆与方程222()()x a y b r -+-=的关系⑴ 设M(x o ,y o )是圆上任一点，则它到圆心的距离等于 半径 ，即2200()()x a y b r -+-=，即：222()()x a y b r -+-=，这就是说，(x o ,y o )是此方程的 解 ；⑵ 如果(x o ,y o )是方程222()()x a y b r -+-=的解，则可以推得2200()()x a y b r -+-=，即点M(x o ,y o )到圆心的距离等于半径 ，点M 在 圆 上。

2.1 曲线与方程1．结合已学过的曲线与方程的实例，了解曲线与方程的对应关系．(了解)2．理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(重点)3．通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程．(难点)[基础·初探]教材整理1 曲线的方程与方程的曲线阅读教材P33～P35，完成下列问题．在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0【解析】本题考查命题形式的等价转换，所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A、C错，选项B显然错．【答案】 D教材整理2 求曲线方程的步骤阅读教材P36～P37，完成下列问题．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小组合作型](1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|＝2之间的关系；(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy＝5之间的关系；(3)第二、四象限角平分线上的点与方程x＋y＝0之间的关系．【精彩点拨】曲线上点的坐标都是方程的解吗？以方程的解为坐标的点是否都在曲线上？【自主解答】(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5，但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0，反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上．因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是x ＋y ＝0.1．分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义．2．定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可．条件(1)保证了曲线上所有的点都适合条件f (x ，y )＝0；条件(2)保证了适合条件的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有纯粹性，后者是说轨迹具有完备性．两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化．[再练一题]1．已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在此方程表示的曲线上，求实数m 的值．【解】 (1)因为12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，所以点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)因为点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m2，－m 在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，所以x ＝m2，y ＝－m 适合方程x 2＋(y －1)2＝10， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋(－m －1)2＝10. 解得m ＝2或m ＝－185.故实数m 的值为2或－185.(1)2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0； (2)(x －2)2＋y 2－4＝0.【精彩点拨】 (1)在研究形如Ax 2＋By 2＋Cx ＋Dy ＋E ＝0的方程时常采用什么方法？ (2)由两个非负数的和为零，我们会想到什么？【自主解答】 (1)对方程左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0.∵2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.从而方程表示的图形是一个点(1，－1)． (2)由(x －2)2＋y 2－4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y 2－4＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.因此，原方程表示两个点(2,2)和(2，－2)．1．判断方程表示什么曲线，就要把方程进行同解变形，常用的方法有：配方法、因式分解或化为我们熟悉的曲线方程的形式，然后根据方程、等式的性质作出准确判定．2．方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线，另外，当方程中含有绝对值时，常借助分类讨论的思想．[再练一题]2．方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线( )【导学号：15460021】A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于x －y ＝0对称【解析】 同时以－x 代替x ，以－y 代替y ，方程不变， 所以方程xy 2－x 2y ＝2x 所表示的曲线关于原点对称． 【答案】 C[探究共研型]探究1 【提示】 建立坐标系的基本原则： (1)让尽量多的点落在坐标轴上；(2)尽可能地利用图形的对称性，使对称轴为坐标轴．建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等．探究2 求曲线方程时，有些点的条件比较明显，也有些点的条件要通过变形或转化才能看清，有些点的运动依赖于另外的动点，请你归纳一下求曲线方程的常用方法？【提示】一般有三种方法：一直接法；二定义法；三相关点法，又称为代入法．在解题中，我们可以根据实际题目选择最合适的方法．求解曲线方程过程中，要特别注意题目内在的限制条件．(2016·德州高二检测)在Rt△ABC中，斜边长是定长2a(a＞0)，求直角顶点C的轨迹方程．【精彩点拨】(1)如何建立坐标系？(2)根据题意列出怎样的等量关系？(3)化简出的方程是否为所求轨迹方程？【自主解答】取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)．由于|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以(x＋a2＋y2)2＋(x－a2＋y2)2＝4a2，整理得x2＋y2＝a2.由于当x＝±a时，点C与A或B重合，故x≠±a.所以所求的点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．1．求曲线方程的一般步骤(1)建系设点；(2)写几何点集；(3)翻译列式；(4)化简方程；(5)查漏排杂：即证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点．2．一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤(5)可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤(2)，直接列出曲线方程．3．没有确定的坐标系时，要求方程首先必须建立适当的坐标系，由于建立的坐标系不同，同一曲线在坐标系的位置不同，其对应的方程也不同，因此要建立适当的坐标系．[再练一题]3．已知一曲线在x轴上方，它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．【解】设曲线上任一点的坐标为M(x，y)，作MB⊥x轴，B为垂足，则点M属于集合P＝{M||MA|－|MB|＝2}．由距离公式，点M适合的条件可表示为x2＋y－2－y＝2.化简得x2＝8y.∵曲线在x轴上方，∴y>0.∴(0,0)是这个方程的解，但不属于已知曲线．∴所求曲线的方程为x2＝8y(y≠0)．[构建·体系]1．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,1)( ) A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上【解析】将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2＋1－3＝0，(2－3)2＋(1－2)2＝2，所以点M既在直线l上，又在曲线C上．【答案】 B2．在直角坐标系中，方程|x|·y＝1的曲线是( )【解析】当x＞0时，方程为xy＝1，∴y ＞0，故在第一象限有一支图象； 当x ＜0时，方程为－xy ＝1， ∴y ＞0，故在第二象限有一支图象． 【答案】 C3．如果方程ax 2＋by 2＝4的曲线过点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 14．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝4，则点P 的轨迹方程为________.【导学号：15460022】【解析】 设点P 的坐标为P (x ，y )，由PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝4，得x 2＋y 2＝8，则点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝8.【答案】 x 2＋y 2＝85．设圆C ：(x －1)2＋y 2＝1，过原点O 作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程． 【解】 法一 如图所示，设OQ 为过O 的一条弦，P (x ，y )为其中点，连接CP ，则CP ⊥OQ .OC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接MP ，则|MP |＝12|OC |＝12，得方程⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.法二 如图所示，由垂径定理，知∠OPC ＝90°，所以动点P 在以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，OC 为直径的圆上．由圆的方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，由圆的范围，知0<x ≤1.即所求弦中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，0<x ≤1.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0与x 轴的交点坐标是( ) A ．(4,0)和(－1,0) B ．(4,0)和(－2,0) C ．(4,0)和(1,0)D ．(4,0)和(2,0)【解析】 在曲线x 2－xy －y 2－3x ＋4y －4＝0中，令y ＝0，则x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1或x ＝4.∴交点坐标为(－1,0)和(4,0)． 【答案】 A2．方程(x 2－4)(y 2－4)＝0表示的图形是( ) A ．两条直线 B ．四条直线 C ．两个点D ．四个点【解析】 由(x 2－4)(y 2－4)＝0得(x ＋2)(x －2)(y ＋2)·(y －2)＝0，所以x ＋2＝0或x －2＝0或y ＋2＝0或y －2＝0，表示四条直线．【答案】 B3．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是( )A ．x ＋y ＝4B ．2x ＋y ＝4C ．x ＋2y ＝4D ．x ＋2y ＝1【解析】 由OP →＝(x ，y )，OA →＝(1,2)得OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，则x ＋2y ＝4即为所求的轨迹方程，故选C.【答案】 C4．方程(2x －y ＋2)·x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( )【导学号：15460023】A ．一个点与一条直线B ．两个点C ．两条射线或一个圆D ．两个点或一条直线或一个圆 【解析】 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，即x 2＋y 2＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 2＋y 2－1≥0，故选C.【答案】 C5．已知方程y ＝a |x |和y ＝x ＋a (a ＞0)所确定的两条曲线有两个交点，则a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．0＜a ＜1或a ＞1D ．a ∈∅【答案】 A 二、填空题6．“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是“方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程”的________条件．【解析】 “方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 ”⇒“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”，反之不成立．【答案】 必要不充分7．方程x －3·(x ＋y ＋1)＝0表示的几何图形是________________．【解析】 由方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝0，x －3≥0，或x －3＝0，即x ＋y ＋1＝0(x ≥3)或x ＝3. 【答案】 一条射线和一条直线8．(2016·广东省华南师大附中月考)已知定点F (1,0)，动点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，且PM →·PF →＝0，延长MP 到点N ，使得|PM →|＝|PN →|，则点N 的轨迹方程是________．【解析】 由于|PM →|＝|PN →|，则P 为MN 的中点．设N (x ，y )，则M (－x,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 2，由PM →·PF →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－y 2＝0，所以(－x )·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 2＝0，则y 2＝4x ，即点N 的轨迹方程是y 2＝4x .【答案】 y 2＝4x 三、解答题9．如图2­1­1，圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM ，PN (M ，N 分别为切点)，使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．图2­1­1【解】 以O 1O 2的中点为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，得O 1(－2,0)，O 2(2,0)． 连接PO 1，O 1M ，PO 2，O 2N . 由已知|PM |＝2|PN |，得 |PM |2＝2|PN |2，又在Rt △PO 1M 中，|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2， 在Rt △PO 2N 中，|PN |2＝|PO 2|2－|NO 2|2， 即得|PO 1|2－1＝2(|PO 2|2－1)．设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]， 化简得(x －6)2＋y 2＝33.因此所求动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.10．△ABC 的三边长分别为|AC |＝3，|BC |＝4，|AB |＝5，点P 是△ABC 内切圆上一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2的最小值与最大值．【解】因为|AB |2＝|AC |2＋|BC |2，所以∠ACB ＝90°.以C 为原点O ，CB ，CA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，由于|AC |＝3，|BC |＝4，得C (0,0)，A (0,3)，B (4,0)．设△ABC 内切圆的圆心为(r ，r )， 由△ABC 的面积＝12×3×4＝32r ＋2r ＋52r ，得r ＝1，于是内切圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y －1，由(x －1)2≤1⇒0≤x ≤2.设P (x ，y )，那么|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＝x 2＋(y －3)2＋(x －4)2＋y 2＋x 2＋y 2＝3(x 2＋y 2)－8x －6y ＋25＝3(2x ＋2y －1)－8x －6y ＋25＝22－2x ，所以当x ＝0时，|PA |2＋|PB |2＋|PC |2取最大值为22，当x ＝2时取最小值为18.[能力提升]1．到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的轨迹方程是( )A ．y ＝－43x (－3≤x ≤0) B ．y ＝－43x (0≤x ≤4) C ．y ＝－43x (－3≤x ≤4) D ．y ＝－43x (0≤x ≤5) 【解析】 注意到|AB |＝5，则满足到点A (0,0)，B (－3,4)的距离之和为5的点必在线段AB 上，因此，方程为y ＝－43x (－3≤x ≤0)，故选A. 【答案】 A2．(2016·河南省实验中学月考)已知动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )【导学号：15460024】A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．y 2＝4x (x ≥3)或y 2＝－12(x －4)(x <3)D ．y 2＝4x (x ≤3)或y 2＝－12(x －4)(x >3)【解析】 设P (x ，y )，由题意得x －2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)，故选D.【答案】 D3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．【解析】 设动点P (x ，y )，依题意|PA |＝2|PB |， ∴x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2， 化简得(x －2)2＋y 2＝4，方程表示半径为2的圆，因此图形的面积S ＝π·22＝4π.【答案】 4π4．过点P (2,4)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．【解】 法一 设点M 的坐标为(x ，y )，∵M 为线段AB 的中点，∴A 点的坐标为(2x,0)，B 点的坐标为(0,2y )．∵l 1⊥l 2，且l 1，l 2过点P (2,4)，∴PA ⊥PB ，即k PA ·k PB ＝－1，而k PA ＝4－02－2x ＝21－x(x ≠1)， k PB ＝4－2y 2－0＝2－y 1， ∴21－x ·2－y 1＝－1(x ≠1)， 整理得x ＋2y －5＝0(x ≠1)．∵当x ＝1时，A ，B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，∴线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程x ＋2y －5＝0.综上所述，点M 的轨迹方程是x ＋2y －5＝0.法二 设点M 的坐标为(x ，y )，则A ，B 两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y )，连接PM . ∵l 1⊥l 2，∴2|PM |＝|AB |.而|PM |＝x －2＋y －2， |AB |＝x 2＋y 2， ∴2x －2＋y －2＝4x 2＋4y 2， 化简得x ＋2y －5＝0，即为所求的点M 的轨迹方程.。

人教版高中数学选修2—1?曲线与方程?教学设计一、教学内容人教版选修2—1第二章第一节：曲线与方程二、教材分析曲线属于“形〞的范畴,方程那么属于“数〞的范畴,它们通过直角坐标系而联系在一起,曲线的方程是曲线几何的一种代数表示,方程的曲线那么是代数的一种几何表示.在直角坐标系中,点可由它的坐标(x, y)来表示,而曲线是点的轨迹,所以曲线可用二元方程f(x, y)=0 来表示.“曲线和方程〞这节教材,揭示了几何中的“形〞与代数中的“数〞的统一,为“依形判数〞和“据数论形〞的相互转化奠定了扎实的根底,曲线与方程的相互转化,是数学方法论上的一次飞跃. 由于曲线和方程的概念是解析几何中最根本的内容,因而学生用解析法研究几何图形的性质时,只有透彻理解曲线和方程的意义,才能算是寻得了解析几何学习的入门之径.求曲线与方程的问题,也贯穿了这一章的始终,所以应该熟悉到,木节内容是解析几何的重点内容之一.本节中提出的曲线与方程的概念,它既是对以前学过的函数及其图象、直线的方程、圆的方程等数学知识的深化,又是学习圆锥曲线的理论根底,它贯穿于研究圆锥曲线的全过程,根据曲线与方程的对应关系,通过研究方程来研究曲线的几何性质,是几何的研究实现了代数化.数与形的有机结合,在本章中得到了充分表达.解析几何的核心思想方法是“坐标法〞,在直角坐标系中,根据曲线的特征建立曲线方程是研究的根底.“曲线的方程既是我们研究的直接对象,更是研究曲线几何性质的桥梁.而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时,才能通过研究方程得到曲线的性质,无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质.【课程标准工结合己学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步感受数形结合的根本思想.【学习目标】1.通过感受曲线的方程和方程的曲线这一概念的生成过程,初步理解曲线的方程和方程的曲线的概念；2.理解曲线的方程和方程的曲线的概念和集合相等的关系,渗透数形结合思想和转化化归思想.【教学重点】理解曲线的方程和方程的曲线的概念.【教学难点】对曲线与方程对应关系的理解.【学情分析】新课标强调返璞归真,努力揭示数学概念、结论的开展背景,过程和木质,揭示人们探索真理的道路.本节课在学生学习了集合和直线的方程、圆的方程知识的根底上,使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的过程,体会孕育在其中的思想,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态.为突破曲线的方程与方程的曲线定义的难点,选择学生认知结构中与新知最邻近“直线的方程〞,“圆的方程〞入手,以集合相等,辅助理解“曲线的方程〞与“方程的曲线〞,进一步强化了概念理解的深刻性.无论是判断、证实,还是求解曲线的方程,都要紧扣曲线方程的概念,即始终以是否满足概念中的两条为准那么.教学过程设计图片抽象成曲线, 体现出数〞控制a 形〞的变化从学I 集的规律和问合的相吗？题解决的途⑵圆的标准方程是什么？关知识径,使他们经历知识形探究三成的过程..二2.X |程为|的点组成的直线方程为轴距离等于1(2)到Xy=l.的点的轨迹到两坐标轴的距离之积等于1(3)=1 . I方程为I xy环节三、概念生成曲线的方程、方程的曲线的定义: C如果某曲线一般地,在平而直角坐标系中,(看作点的集合或适合某种条件的点的轨般,从简单的实数迹〕上的点与一个二元方程到复杂,使解建立了如下的关系：鼓励学生结〔1〕曲线上的点的坐标都是方程的解；合问新知的建构〔2〕以这个方程的解为坐标的点都是曲线上归纳出曲题一、问顺畅和自的点；线的方程、题二然,既表达那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线方程的曲尝试归在教师引导叫做方程的曲线.线的定义纳,生成下学生自我概念建构,又使学生感到知识之间并不是孤立的,而是相互联.切相关的整体. 数学概念是要在运用中得以巩固,练习, 可以纠正错误的认识, 促使对概念的正解. 充会数结形■想, 理解通过方程研究曲线质, 通过曲示(1)合关系而不符合关系(2).【辨析二】3?x?y.举出一个方程与一条曲线,使它们间符合3 (x+y-1) 4.方程=0表示的曲线是解方程的转化与化归思想. 巩固所学知识合五、课堂小结学生、曲线的方程和方程的曲线的概念归让学生回1纳整理2、根本思想及方法提顾、总结、问教师数形结合思想,转化与化归思想补联系、整合、充(思维导图呈现) 提升熟悉、理解.六、布置作业.举出一个曲线的方程的例子.1.。

第二章 圆锥曲线与方程§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系：1.曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2.以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 ____________ 的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……；2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1. 点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =_____________ ．2. 曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ___________ ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =；③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =；④将方程(,)0f x y =化为最简形式；⑤说明以化简后方程的解为坐标的点都在曲线上.※ 动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 222x y x x-=- (3) log a x y a =练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※ 学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※ 知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），※ 当堂检测1.与曲线y x =相同的曲线方程是 （ ）．A ．2x y x= B ．y =C ．y =D ．2log 2x y =2.直角坐标系中，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=， 则点C 的轨迹为 （ ）A ．射线B ．直线C ．圆D ．线段 3.(1,0)A ，(0,1)B ，线段AB 的方程是（ ）．A ．10x y -+=B ．10x y -+=(01)x ≤≤C ．10x y +-=D ．10x y -+=(01)x ≤≤4.已知方程222ax by +=的曲线经过点5(0,)3A 和点(1,1)B ，则a = ，b = ． 5.已知两定点(1,0)A -，(2,0)B ，动点p 满足12PA PB =，则点p 的轨迹方程是 ．1． 点(1,2)A -，(2,3)B -，(3,10)C 是否在方程 2210x xy y -++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O ，(,0)A c 距离的平方差为常数c 的点的轨迹方程．。

人教版高中选修(B版)2-12.1曲线与方程教学设计一、教学目标1.掌握平面直角坐标系上曲线的性质、方程及其图象；2.掌握有理函数的图象基本特征、分解和复合运算；3.学会应用曲线和方程解决实际问题。

二、教学重点1.平面直角坐标系上曲线的性质、方程及其图象；2.有理函数的图象基本特征；3.应用曲线和方程解决实际问题。

三、教学难点1.有理函数的分解；2.曲线和方程的应用解决实际问题。

四、教学方法1.归纳法；2.演示法；3.讲授法；4.问题解决法。

五、教学过程1.引入教学学生学习过程中，前面所有的过程都是基于函数的，该环节将让学生学习到复合函数和反函数的概念和性质，是教学中一个重要的环节。

让学生提前学习《复合函数与反函数》，掌握函数的基本概念、反函数和复合函数的概念和性质。

3.讲授第一部分复合函数1.函数的复合1.怎样理解函数的复合概念？2.复合函数的定义是什么？3.如何计算复合函数的值？2.复合函数的性质1.复合函数的性质有哪些？2.复合函数的求导法则是什么？第二部分反函数1.反函数的定义1.什么是反函数？2.反函数的图像特征有哪些？2.反函数的求法1.如何求反函数？2.如何判断一个函数是否存在反函数？4.练习为了检验学生是否掌握了之前学习的复合函数和反函数的概念和性质，让学生通过练习来加深印象。

第三部分曲线与方程1.平面直角坐标系1.什么是平面直角坐标系？2.坐标系中的点怎样表示？2.曲线的引入1.什么是曲线？2.不同曲线的基本特征有哪些？3.曲线方程1.曲线方程是什么？2.如何求出曲线的方程？6.练习本环节通过例题和练习的形式来巩固学生对曲线和方程的掌握程度。

六、教学资源1.课件、教科书；2.练习题、试卷。

七、教学评价1.观察学生的学习状态，及时调整教学进度；2.对学生提出问题，了解他们对学习情况的感受；3.常规测试，检测学生对所学知识的掌握程度。