二次函数--华师大版-(

华师大版九下《二次函数》教案教学内容分析教学内容选自华师大版九年级下册数学教材，主要涵盖第二十一章“二次函数”。

这一章节是数学教学中的重要部分，涉及二次函数的定义、图像特征、性质以及应用。

这些内容不仅是初中数学学习的重点，也是高中数学的基础。

教学目标设定1. 理解与掌握：使学生能够理解和掌握二次函数的基本概念和一般形式，了解其图像特征和性质。

2. 应用与实践：培养学生运用二次函数解决实际问题的能力，强化学生将理论知识应用于实践的意识。

3. 思维与能力：通过教学活动，培养学生的逻辑思维能力、团队协作能力和自主学习能力。

4. 情感与态度：在教学过程中，注重激发学生对数学学科的兴趣，培养他们积极探究、勇于挑战的学习态度。

教学难点与重点解析二次函数的图像特征：理解开口方向、对称轴、顶点坐标等是学生需要掌握的关键内容。

这些特征不仅决定了函数的视觉表现，也与其性质紧密相关。

二次函数的性质：增减性、极值等性质是解决复杂问题的基础。

学生需要能够运用这些性质来分析函数行为，并为解决实际问题提供理论支持。

图像与不等式（组）的关系：这一部分内容要求学生能够将函数图像与不等式（组）的解集联系起来，这对于培养学生的直观思维和问题解决能力至关重要。

教学过程设计情景引入：通过具体实例引入二次函数的概念，如物理中的抛物线运动，让学生能够直观感受二次函数的实际意义。

概念讲解：结合实例讲解二次函数的定义和一般形式，强调关键词汇，并通过数学公式进行说明。

图像特征讲解：利用多媒体工具展示二次函数图像，详细讲解开口方向、对称轴和顶点坐标等图像特征。

性质讲解与应用：通过示例讲解二次函数的增减性、极值等性质，并引导学生如何应用这些性质解决实际问题。

对话与讨论：在适当环节加入对话元素，让学生通过讨论来加深对知识点的理解。

作业与练习：布置针对性作业和练习，让学生能够巩固所学知识，并能够将理论应用于实际问题。

教学反思与调整在未来的教学中，应更多地关注学生的个体差异，确保教学内容和方法能够适应不同学生的学习需求。

华师大版数学九年级下册26.2《二次函数的图象与性质》教学设计一. 教材分析《二次函数的图象与性质》是华师大版数学九年级下册第26章第2节的内容。

本节内容主要介绍二次函数的图象与性质，包括二次函数的顶点、开口、对称轴等概念，以及如何通过图象来判断二次函数的性质。

学生通过本节的学习，应该能够理解二次函数的图象与性质，并能够运用这些知识解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基础知识，对函数的概念、定义、图像等有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象与性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例来理解和掌握。

此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力还有待提高，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的这些能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解二次函数的图象与性质，能够通过图象来判断二次函数的性质。

2.过程与方法：通过观察、操作、猜测、验证等活动，培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的探究精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的图象与性质。

2.难点：如何通过图象来判断二次函数的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法。

通过设置问题，引导学生观察、操作、猜测、验证，从而理解二次函数的图象与性质。

同时，学生进行小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。

2.准备教学PPT，包括二次函数的图象与性质的讲解、实例分析等。

3.准备纸笔，用于学生进行绘图和记录。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象与性质的概念。

例如：某商场进行促销活动，打折后的价格可以表示为一个二次函数，如何根据价格来判断促销活动是否优惠？2.呈现（10分钟）利用PPT，呈现二次函数的图象与性质的定义和概念，包括顶点、开口、对称轴等。

同时，通过实例来展示这些概念的应用。

3.操练（10分钟）让学生分组进行绘图和分析，每组选择一个二次函数，画出它的图象，并判断它的性质。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。

教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。

2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。

3.准备教案和教学笔记。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。

例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。

例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。

华师大版九下《二次函数》精品教案一、教学内容本节课选自华师大版九年级下册《二次函数》章节，详细内容包括：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式，二次函数的图像变换，以及二次函数在实际问题中的应用。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像及性质。

2. 学会使用顶点式和一般式表示二次函数，并能进行图像变换。

3. 能够运用二次函数解决实际问题，提高数学应用能力。

三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、图像及性质，二次函数的顶点式和一般式。

难点：二次函数图像的变换，以及在实际问题中的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、三角板。

五、教学过程1. 实践情景引入：通过展示一个抛物线的运动轨迹，让学生观察并思考，激发兴趣。

2. 知识讲解：a. 引入二次函数的定义，解释二次项、一次项和常数项。

b. 介绍二次函数的图像及性质，通过示例让学生理解并掌握。

c. 讲解二次函数的顶点式和一般式，并进行图像变换的推导。

3. 例题讲解：讲解典型例题，分析解题思路，强调注意事项。

4. 随堂练习：布置一些典型练习题，让学生巩固所学知识。

5. 小组讨论：针对实际问题，让学生分组讨论，提出解决方案。

六、板书设计1. 二次函数的定义、图像及性质。

2. 二次函数的顶点式和一般式。

3. 图像变换的推导过程。

4. 典型例题及解题思路。

七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 4x + 3。

b. 将二次函数y = (x 1)^2 + 2向左平移3个单位，求新函数的表达式。

c. 某抛物线的顶点坐标为(2, 3)，且过点(0, 6)，求抛物线的解析式。

2. 答案：a. 顶点坐标：(2, 1)，对称轴：x = 2。

b. 新函数的表达式：y = (x 4)^2 + 2。

c. 抛物线的解析式：y = (x 2)^2 3。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课通过实践情景引入、例题讲解和随堂练习，使学生掌握了二次函数的定义、图像及性质。

华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册数学教材中第五章《二次函数》的第一小节“二次函数的图像与性质”。

具体内容包括：二次函数的定义、图像、开口方向、顶点坐标、对称轴、最值等概念，以及二次函数图像与性质之间的关系。

二、教学目标1. 让学生掌握二次函数的定义，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。

2. 使学生理解二次函数图像的几何特征，如开口方向、顶点坐标、对称轴和最值等。

3. 培养学生运用二次函数图像与性质解决实际问题的能力。

三、教学难点与重点难点：二次函数图像的绘制及性质的理解。

重点：二次函数的定义、图像与性质的应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、直尺、圆规等。

2. 学具：练习本、铅笔、橡皮、直尺、圆规等。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中的抛物线现象（如投篮、拱桥等），引出二次函数的概念。

2. 新课导入：（1）二次函数的定义：让学生回顾一次函数的定义，然后引导他们发现二次函数的定义。

（2）二次函数图像的绘制：讲解二次函数的一般形式，通过实例演示如何绘制二次函数的图像。

3. 例题讲解：（1）求二次函数的顶点坐标、对称轴、最值等。

（2）已知二次函数的部分信息，求解析式。

4. 随堂练习：让学生独立完成教材中的练习题，巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 二次函数图像的绘制方法3. 二次函数的性质开口方向顶点坐标对称轴最值七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴、最值： y = 2x^2 4x + 3y = x^2 + 6x 5（2）已知二次函数的图像开口向上，顶点坐标为（1，3），且过点（0，2），求该二次函数的解析式。

2. 答案：（1）y = 2x^2 4x + 3顶点坐标：（1，1）对称轴：x = 1最小值：1y = x^2 + 6x 5顶点坐标：（3，4）对称轴：x = 3最大值：4（2）y = x^2 2x 1八、课后反思及拓展延伸重点和难点解析1. 教学难点与重点的确定。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。

二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。

本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。

接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。

最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。

但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。

此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。

2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。

2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。

2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。

3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。

4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。

七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习函数知识的最后一部份，也是较为重要的一部份。

本节内容主要介绍二次函数的定义、性质及其图象。

二次函数是初中数学中的重要知识，它不仅涉及到方程的解法，还与实际生活中的许多问题密切相关。

学生在学习本节内容时，需要掌握二次函数的基本知识，并能够运用二次函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了初一、初二级的函数知识，对函数的概念、性质有一定的了解。

同时，学生也学习了平面直角坐标系、图象的知识，能够理解和绘制简单的函数图象。

但是，学生对于二次函数的定义、性质及其图象的理解还较为模糊，需要通过本节课的学习进一步掌握。

三. 教学目标1.了解二次函数的定义，掌握二次函数的性质。

2.能够绘制二次函数的图象，理解二次函数图象与系数的关系。

3.能够运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的定义及其性质。

2.二次函数图象的绘制与分析。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作二次函数的定义、性质、图象及其应用的教学课件。

2.教学素材：准备一些关于二次函数的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.学具：为学生准备一些纸张、彩笔等绘画工具，方便学生绘制二次函数的图象。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如抛物线形的篮球架、跳水板等，引导学生思考这些实例与数学知识的联系，从而引出二次函数的概念。

2.呈现（10分钟）呈现二次函数的定义、性质及其图象，引导学生理解二次函数的基本知识。

3.操练（10分钟）学生分组合作，绘制一些二次函数的图象，并分析图象的性质。

教师巡回指导，解答学生的问题。

华师大版九下《二次函数》优质教案一、教学内容1. 二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数。

2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c。

3. 二次函数的图像：抛物线，开口方向由a的正负决定。

4. 二次函数的性质：对称性、顶点、最值等。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义、一般形式、图像及性质。

2. 能够根据实际问题抽象出二次函数模型，并运用二次函数的性质解决实际问题。

3. 培养学生的观察、分析、概括能力和数形结合的思想。

三、教学难点与重点重点：二次函数的定义、一般形式、图像及性质。

难点：二次函数图像与性质的理解与应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器。

五、教学过程1. 实践情景引入展示一组实际生活中涉及的二次函数图像（如抛物线形状的拱桥、篮球投篮的轨迹等），引导学生观察并思考：这些图像具有什么共同特征？如何用数学模型来描述这些图像？2. 知识讲解（1）二次函数的定义：引导学生回顾一次函数的定义，进而引出二次函数的定义。

（2）二次函数的一般形式：通过实例，让学生观察二次函数的一般形式，并解释各部分的含义。

（4）二次函数的性质：通过观察图像，引导学生发现二次函数的对称性、顶点、最值等性质。

3. 例题讲解（1）求二次函数的顶点坐标。

（2）已知顶点坐标，求二次函数的解析式。

4. 随堂练习（1）根据图像判断二次函数的开口方向、顶点、最值。

（2）已知顶点坐标，求二次函数的解析式。

六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的一般形式3. 二次函数的图像及性质4. 例题及解答七、作业设计1. 作业题目（2）已知二次函数的顶点坐标为（1，3），且过点（0，1），求该二次函数的解析式。

2. 答案（1）顶点坐标为（1，0）。

（2）解析式为y=(x1)^23。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像及性质掌握情况，对例题的解答是否到位。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。

同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。

3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。

4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。

华师大版数学九年级下册《二次函数y=a2＋b c的图象与性质》教学设计4一. 教材分析华师大版数学九年级下册《二次函数y=a^2+bx+c的图象与性质》这一章节是在学生已经掌握了函数的基本概念和一次函数的图象与性质的基础上进行学习的。

二次函数是初中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。

本章主要让学生了解二次函数的一般形式，学会用配方法求二次函数的最值，并能分析二次函数的图象与性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对于一次函数的图象与性质有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数来说，其图象与性质更为复杂，需要学生有一定的抽象思维能力。

在学习过程中，学生可能会对二次函数的图象与性质产生困惑，尤其是对于开口方向、顶点坐标、对称轴等方面的理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。

三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式y=a^2+bx+c，并能运用配方法求出二次函数的最值。

2.能够分析二次函数的图象与性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

3.能够运用二次函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和配方法求最值。

2.二次函数的图象与性质，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次函数的图象与性质。

2.运用多媒体辅助教学，展示二次函数的图象，帮助学生直观理解。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论中加深对二次函数的理解。

4.注重实践与应用，让学生在解决实际问题中掌握二次函数的知识。

六. 教学准备1.准备多媒体教学课件，包括二次函数的图象、性质等。

2.准备相关的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。

3.准备练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，让学生感受二次函数的存在。

引导学生思考如何表示这些二次函数，从而引入二次函数的一般形式y=a^2+bx+c。

第26章二次函数 (1)二次函数 (2)二次函数的图象与性质 (3)1. 二次函数y＝ax2的图象与性质 (3)2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 (5)3. 求二次函数的函数关系式 (13)阅读材料................................................................................................... 错误!未定义书签。

生活中的抛物线....................................................................................... 错误!未定义书签。

实践与探索 (15)小结 (17)复习题 (18)第26章二次函数要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎么样围法才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m，花圃的面积为y m2，那么y=x(20-2x).试问：x为何值时，才能使y的值最大？§26.1 二次函数问题1（本章导图中的问题）如图26.1.1，要用总长为20 m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃．怎样围法，才能使围成的花圃面积最大？试一试（1）设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y m2.试将计算结果填写在下表的空格中.（2）x的值是否可以任意取？有限定范围吗？（3）我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y 是x的函数，试写出这个函数的关系式．问题2某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?分析在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x 元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．我们可以得到：问题1中的函数关系式为y＝x（20－2x）（0＜x＜10）即y＝－2x2＋20x（0＜x＜10）问题2中的函数关系式为y＝（10－x－8）（100＋100x）（0≤x≤2），即y＝－100x2＋100x＋200（0≤x≤2）.观察得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？概括它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数叫做x 的二次函数（quadratic function ）．练 习1. 已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10 cm ．（1） 当它的一条直角边长为4.5 cm 时，求这个直角三角形的面积；（2） 设这个直角三角形的面积为S cm 2，其中一条直角边长为x cm ，求S关于x 的函数关系式．2. 已知正方体的棱长为x cm ，它的表面积为S cm 2，体积为V cm 3．（1） 分别写出S 与x 、V 与x 之间的函数关系式； （2） 这两个函数中，哪个是x 的二次函数？1. 设圆柱的高为6 cm ，底面半径r cm ，底面周长C cm ，圆柱的体积为V cm 3． （1） 分别写出C 关于r 、V 关于r 、V 关于C 的函数关系式； （2） 这三个函数中，哪些是二次函数？2. 正方形的边长为4，若边长增加x ，则面积增加y ，求y 关于x 的函数关系式．这个函数是二次函数吗？3. 已知二次函数y ＝ax 2＋c ，当x ＝2时，y ＝4；当x ＝－1时，y ＝－3．求a 、c 的值． 4. 一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5 m ．（1） 求隧道截面的面积S （m 2）关于上部半圆半径r （m ）的函数关系式；（2） 求当上部半圆半径为2 m 时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1m 2）（3）二次函数的图象与性质回 顾上一节所提出的两个问题，都归结为有关二次函数的问题．为了解决这类问题，需要研究二次函数的性质．在研究一次函数时，曾借助图像了解了一次函数的性质．对二次函数的研究，我们也从图像入手．1. 二次函数y ＝ax 2的图象与性质我们知道，一次函数的图像是一条直线．那么，二次函数的图像是什么？它有什么特点？又有哪些性质？让我们先来研究最简单的二次函数 y ＝ax 2 的图像与性质． 例1 画二次函数y ＝x 2的图象． 解 列表．（第4题）在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y＝x2的图象，如图26.2.1所示．图26.2.1像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．做一做（1）在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝－x2的图象，观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y＝2x2、y＝－2x2的图象．观察并比较这两个函数的图象，你能发现什么？（3）将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么？概括函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它关于y轴对称．它的顶点坐标是（0，0）．观察y＝x2、y＝2x2的图象，可以看出：当a＞0时，抛物线y＝ax2开口向上．在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．顶点是抛物线上位置最低的点．图象的这些特点，反映了当a＞0时，函数y＝ax2具有这样的性质：当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x ＝0时，函数y＝ax2取得最小值，最小值y＝0．思考观察函数y＝－x2、y＝－2x2的图象，试作出类似的概括，当a＜0时，抛物线y＝ax2有些什么特点？它反映了当a＜0时，函数y＝ax2具有哪些性质？将你思考的结果填在下面的方框内，与同伴交流．练 习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1） y ＝3x 2； （2） y ＝－31x 2．2.根据上题所画的函数图象填空．（1） 抛物线y ＝3x 2的对称轴是_______________，顶点坐标是____________，当x _________时，抛物线上的点都在x 轴的上方；（2） 抛物线y ＝－31x 2的开口向________，除了它的顶点，抛物线上的点都在x 轴的_________方，它的顶点是图象的最___________点．3.不画图象，说出抛物线y ＝－4x 2和y ＝41x 2的对称轴、顶点坐标和开口方向．4.记r 为圆的半径，S 为该圆的面积，有面积公式S ＝πr 2，表明S 是r 的函数．（1） 当半径r 分别为2、2.5、3时，求圆的面积S （π取3.14）； （2） 画出函数S ＝πr 2的图象．2. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质问题1试研究二次函数y ＝2x 2－4x ＋3的图象． 分 析将函数关系式配方，得y ＝2（x －1）2＋1．我们设法寻求它与y ＝2x 2图像的联系．为此，先看几个简单的例子． 例2 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2x 2＋1的图像． 解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.2所示．图26.2.2观 察当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？观察这两个函数的图象，分别说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．它们有哪些是相同的？又有哪些不同？概 括通过观察，我们发现：当自变量x 取同一数值时，函数y ＝2x 2＋1的函数值都比函数y ＝2x 2的函数值大1．反映在图象上，函数y ＝2x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝2x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位．函数y ＝2x 2＋1与y ＝2x 2的图象的开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同．函数y ＝2x 2＋1的图象可以看成是将函数 y ＝2x 2 的图象向上平移一个单位得到的，它的顶点坐标是（0，1）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质：当x _____时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ______时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最____值，最____值y ＝______．做一做先在同一直角坐标系中画出函数y ＝2x 2－2与函数y ＝2x 2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别？说出y ＝2x 2－2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31x 2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？你能说出函数y ＝－31x 2＋2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？这个函数有哪些性质？练 习1.已知函数y ＝－31x 2、y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2．（1） 分别画出它们的图象；（2） 说出各个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试说出函数y ＝－31x 2＋4的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝－31x 2得到抛物线y ＝－31x 2＋2和y ＝－31x 2－2？如果要得到抛物线y ＝－31x 2＋4，应将抛物线y ＝－31x 2作怎样的平移？y ＝ax 2＋k （a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表．例3 在如图26.2.3所示的直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2和y ＝2（x －1）2的图象．解 列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．图26.2.3观 察根据所画出的图象，在下表中填出这两个函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．思 考这两个函数的图象之间有什么关系？概 括通过观察、分析，可以发现：函数y ＝2（x －1）2与y ＝2x 2的图象，开口方向相同，但对称轴和顶点坐标不同．函数y ＝2（x －1）2的图象可以看作是将函数y ＝2x 2的图象向右平移1个单位得到的．它的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是（1，0）．据此，可以由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2（x －1）2的性质：当x ______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数值y 随x 的增大而增大；当x _____时，函数取得最______值，最______值y ＝______．做一做在同一直角坐标系中画出函数y ＝2（x ＋1）2与函数y ＝2x 2的图象，比较它们的联系和区别．并说出函数y ＝2（x ＋1）2的图象可以看成由函数y ＝2x 2的图象经过怎样的平移得到．由此讨论函数y ＝2（x ＋1）2的性质．思 考在同一直角坐标系中，函数y ＝－31（x ＋2）2的图象与函数y ＝－31x 2的图象有什么关系？试说出函数y ＝－31（x ＋2）2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并讨论这个函数的性质．练 习1. 已知函数y ＝31x 2、y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2．（1） 在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2） 分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3） 分别讨论各个函数的性质．2. 根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝31x 2得到抛物线y ＝31（x ＋3）2和y ＝31（x －3）2？3. 你能说出函数y ＝a （x －h ）2（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．例2及例3的基础上，我们再来研究第7页的问题1，即研究函数y ＝2（x －1）2＋1的图象和性质．分 析我们已经知道函数y ＝2（x －1）2的图象与函数y ＝2x 2的图象之间的关系． 在此基础上，可以找到函数y ＝2（x －1）2＋1的图象与函数y ＝2（x －1）2的图象之间的关系．试一试（1） 填写下表．（2） 从上表中，你能分别找到函数y ＝2（x －1）2＋1与函数y ＝2（x －1）2、y ＝2x 2的图象的关系吗？（3） 进一步，你能发现函数y ＝2（x －1）2＋1有哪些性质？做一做（1） 在图26.2.3中，再画出函数y ＝2（x －1）2－2的图象，并将它与函数y＝2（x －1）2 的图象作比较．（2） 试说出函数y ＝－31（x －1）2＋2的图象与函数y ＝－31x 2的图象的关系，由此进一步说明这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．练 习1.已知函数y ＝21x 2、y ＝21（x ＋2）2＋2和y ＝21（x ＋2）2－3．（1） 在同一个直角坐标系中画出这三个函数的图象；（2） 分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 试讨论函数y ＝21（x ＋2）2－3的性质．2.试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y ＝21x 2得到抛物线y ＝21（x ＋2）2＋2和抛物线y ＝21（x －2）2－3？如果要得到抛物线y ＝21（x ＋2）2－6，那么应该将抛物线y ＝21x 2作怎样的平移？y ＝a （x －h ）2＋k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析 因为 y ＝－21x 2＋x －25＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象． 解 列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1） 请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2） 通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 思 考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练 习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4； （2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2； （4） y ＝－32（x －1）2＋0.6．2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝2x 2＋4x ； （2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7； （4） y ＝21x 2－4x ＋5．3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4； （2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1； （4） y ＝x 2－4x ＋7．应 用现在让我们应用二次函数的有关知识去解决第2页提出的两个问题． 问题1 这个问题实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－2x 2＋20x （0＜x ＜10）取得最大值．将这个函数的关系式配方，得y ＝－2（x －5）2＋50．显然，这个函数的图象开口向下，它的顶点坐标是（5，50），这就是说，当x ＝5时，函数取得最大值y ＝50．这时，AB ＝5（m ），BC ＝20－2x ＝10（m ）．所以当围成的花圃与墙垂直的一边长5 m ，与墙平行的一边长10 m 时，花圃面积最大，最大面积为50 m 2．问题2 实际上是要求出自变量x 为何值时，二次函数y ＝－100x 2＋100x ＋200（0≤x ≤2）取得最大值．请同学们完成这个问题的解答．例5 用6 m 长的铝合金型材做一个形状如图26.2.5所示的矩形窗框．应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？解 设做成的窗框的宽为x m ，则长为236x-m ．这里应有x ＞0，且236x-＞0，故0＜x ＜2．做成的窗框的透光面积y 与x 的函数关系式是y =x •236x -, 即 y =x x 3232+-.配方得 y ＝－23（x －1）2+23,所以当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝1.5．因为x ＝1时，满足0＜x ＜2，这时236x-．所以应做成宽1 m 、长1.5 m 的矩形窗框，才能使透光面积最大．最大面积是1.5 m 2．练 习1. 求下列函数的最大值或最小值．（1） y ＝x 2－3x ＋4； （2） y ＝1－2x －x 2；（3） y ＝237272+-x x ； （4） y ＝100－5x 2；（5） y ＝－6x 2＋12x ； （6） y ＝－23x 2－4x ＋1．2. 有一根长为40 cm 的铁丝，把它弯成一个矩形框．当矩形框的长、宽各是多少时，矩形面积最大？最大面积是多少？3. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？（提示：设其中的一个正数为x ，将它们的积表示为x 的函数）图26.2.53. 求二次函数的函数关系式问题2如图26.2.6，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB ）的薄壳屋顶．它的拱宽AB 为4 m ，拱高CO 为0.8 m ．施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？图26.2.6分 析为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数的关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图．如图26.2.6，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为y ＝ax 2 （a ＜0）． （1）因为AB 与y 轴交于点C ，所以CB ＝2AB＝2（m ），又CO ＝0.8 m ，所以点B 的坐标为（2，－0.8）．因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入（1），得－0.8＝a ×22，所以 a ＝－0.2．因此，函数关系式是yx 2．根据这个关系式，容易画出模板的轮廓线．在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条件求出函数的关系式． 例6 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9．根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值． 例7 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．解 设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由已知，这个函数的图象过（0，1），可以得到c ＝1．又由于其图象过（2，4）、（3，10）两点，可以得到⎩⎨⎧=+=+.939,324b a b a 解这个方程组，得a =23，b =-23 所以，所求二次函数的关系式是y=123232+-x x .注 意求二次函数的关系式，应根据不同条件，选用适当形式． 练 习1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）； （2） 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3） 已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．2. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过三点：（－1，－1）、（0，－2）、（1，1）． （1） 求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2） 写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3） 这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？1. 分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象．（1） y ＝31x 2＋2与y ＝31x 2－3；（2） y ＝－21（x ＋3）2与y ＝－21（x －1）2；（3） y ＝－3（x －2）2与y ＝－3（x －2）2＋1； （4） y ＝－（x ＋3）2－1与y ＝－（x ＋3）2＋2． 2. 说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴． （1）y ＝x 2－3x －4； （2）y ＝2－4x －x 2；（3）y ＝21x 2－2x －1； （4）y ＝－43x 2＋6x －7；（5）y ＝2x 2－3x ； （6）y ＝－2x 2－5x ＋7．3. 下列抛物线有最高点或最低点吗？如有，写出这些点的坐标． （1）y ＝4x 2－4x ＋1； （2）y ＝－4x 2－9； （3）y ＝－4x 2＋3x ； （4）y ＝3x 2－5x ＋6．4. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式． （1） 已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）； （2） 已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）； （3） 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．5. 有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m ，跨度为10 m ．如图所示，把它的图形放在直角坐标系中． （1） 求这条抛物线所对应的函数关系式；（2） 如图，在对称轴右边1 m 处，桥洞离水面的高是多少？(第5题)§26.3 实践与探索生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题．请与同伴共同研究，尝试解决下面的问题．问题1某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为0.8 m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图26.3.1（1）所示．根据设计图纸已知：在图26.3.1（2）中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54．（1） 喷出的水流距水平面的最大高度是多少？ （2） 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？问题2图26.3.2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图26.3.2．现测得，当水面宽AB ＝1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ．这时，离开水面1.5 m 处，涵洞宽ED 是多少？是否会超过1 m ？分 析根据已知条件，要求ED 宽，只要求出FD 的长度．在图示的直角坐标系中，即只要求出点D 的横坐标．因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得到点D 的纵坐标，所以利用抛物线的函数关系式可以进一步算出点D 的横坐标．你会求吗？问题3画出函数432--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1） 图象与x 轴交点的坐标是什么？（2） 当x 取何值时，y ＝0？这里x 的取值与方程432--=x x y 有什么关系?（3） 你能从中得到什么启发?试一试根据问题3的图象回答下列问题．（1） 当x 取何值时，y ＜0？当x 取何值时，y ＞0？ （2） 能否用含有x 的不等式来描述（1）中的问题？练 习1. 画出函数y ＝x 2－2x －1的图象，求方程x 2－2x －1＝0的解．（精确到0.1）2. 你能否画出适当的函数图象，求方程3212+=x x 的解？问题4育才中学初三（3）班的学生在上节课的作业中出现了争论：求方程3212+=x x 的解时，几乎所有学生都是将方程化为03212=--x x ，画出函数3212--=x x y 的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解．惟独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y ＝x 2和的图象321+=x y ，如图26.3.3，认为它们交点A 、 B 的横坐标－23和2就是原方程的解．图26.3.3对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论．做一做 利用图26.3.4，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理． （1） x 2＋x －1＝0（精确到0.1）； （2） 2x 2－3x －2＝0． 习题26.3 1. 如图，一个运动员推铅球，铅球在点A 处出手，出手时球离地面约132m ；铅球落地在点B 处．铅球运行中在运动员前4 m 处（即OC ＝4）达到最高点，最高点高为3 m ．已知铅球经过的路线是抛物线，根据图示的直角坐标系，你能算出该运动员的成绩吗？2. 某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件．（1） 写出售价x （元/件）与每天所得的利润y （元）之间的函数关系式； （2） 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？ 3. 利用函数的图象求下列方程的解．（1） x 2＋x －12＝0； （2）2x 2－x －3＝0． 4. 利用函数的图象求下列方程组的解．（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+=;,23212x y x y （2）⎩⎨⎧-=--=.,132x x y x y 小 结一、 知识结构图26.3.4(第1题)二、注意事项1. 二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型．要学会分析实际问题中的变量与变量间的关系，列出函数关系式，善于利用二次函数的图象和性质去解决问题．2. 二次函数的图象是研究二次函数性质的重要工具，注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），并由此发现和认识二次函数的一些性质，如：何时函数值y随自变量x的增加而增加（或减小）？何时函数取得最大（小）值？在学习二次函数时，要善于运用图象，领会和运用数形结合的思想方法（包括利用函数的图象求解方程与方程组）．3. 在研究二次函数的图象和性质时，首先抓住最简单的二次函数y＝ax2（a ≠0）的图象和性质．对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为y＝a（x－h）2＋k（h、k为常数）的形式，抓住它与y＝ax2的图象之间的联系来研究．要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法．复习题A组1.填写表中的空格．2.画出下列函数的图象，并根据图象写出它们的最大值或最小值．（1） y ＝1－3x 2； （2） y ＝x 2－4x ＋5； （3） y ＝x 2－6x ； （4） y ＝－3x 2＋6x －1．3. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1） y ＝x 2－2x －4； （2） y ＝1＋6x －x 2；（3） y ＝－x 2＋4x ； （4） y ＝41x 2－x ＋4．4. 已知函数y ＝2x 2－3x －2． （1） 画出函数的图象；（2） 观察图象，说出x 取哪些值时，函数的值为0． 5. 已知二次函数y ＝（x －2）2－1．（1） 先确定其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，再画出图象； （2） 观察图象确定：x 取什么值时，① y ＝0；② y ＞0；③ y ＜0． 6. 说出下列函数的图象是将抛物线y ＝3x 2经过怎样的平移得到的．（1）232-=x y ； （2）2)21(3-=x y ；（3）4)21(32+-=x y ； （4）y ＝3x 2－6x ．7. 求满足下列条件的对应的二次函数的关系式． （1） 抛物线经过（2，0）、（0，－2）和（－2，3）三点； （2） 抛物线的顶点坐标是（6，－4），且过点（4，－2）．B 组8. 填空：（1） 抛物线y ＝x 2－3x ＋2与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________；（2） 抛物线y ＝－2x 2＋5x －3与y 轴的交点坐标是____________，与x 轴的交点坐标是____________．9. 已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点（－1，0），求a 的值，并求这条抛物线的顶点坐标．10. 观察下面的表格．（1） 求a 、b 、c 的值，并在表内的空格中填上正确的数；（2） 设y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的顶点坐标与对称轴． 11. 若抛物线y ＝x 2－x －2经过点A （3，a ）和点B （b ，0），求点A 、点B ． 12. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．某车的刹车距离s （m ）与车速x （km/h ）间有下述的函数关系式：sxx 2．现该车在限速140 km/h 的高速公路上出了交通事故，事后测得其刹车距离为46.5 m ．请推测刹车时，汽车是否超速？C 组13. 如图，有一个抛物线形的水泥门洞．门洞的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6 m ．求这个门洞的高度．（精确到0.1 m ）(第13题)（第14题）14. 如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m 处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度3.5 m ，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心离地面距离为3.05 m ．（1） 建立图中所示的直角坐标系，求抛物线所对应的函数关系式； （2） 若该运动员身高1.8 m ，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m 处出手．问：球出手时，他跳离地面多高？15. 某市经济开发区建区以来5年的财政收入情况如图所示，可以看出图中的折线近似于抛物线的一部分．（1） 试求出过A 、C 、D 三点的二次函数的关系式 （2） 利用（1）的结果，分别求出当x ＝2和x ＝5时该二次函数的函数值，并分别与点B 、点E 的纵坐标比较；（3） 利用（1）中的二次函数的关系式预测该开发区第6年的财政收入可能达到的数值．（精确到0.1亿元）(第15题)。

2024年九年级下册数学二次函数全章教案华师大版一、教学内容本节课选自2024年九年级下册数学华师大版教材，主要围绕二次函数全章进行教学。

具体内容包括：二次函数的定义、图像与性质；二次函数的顶点式与解析式的互化；二次函数的图像变换；二次函数的实际应用。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其图像与性质，能运用顶点式与解析式进行互化。

2. 学会二次函数图像的变换方法，培养空间想象能力。

3. 能运用二次函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

三、教学难点与重点难点：二次函数图像的变换、实际应用。

重点：二次函数的定义、图像与性质、顶点式与解析式的互化。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、练习本。

五、教学过程1. 导入：通过展示生活中抛物线的实例，引导学生思考抛物线与二次函数的关系，激发学习兴趣。

2. 新课：（2）介绍顶点式与解析式的互化方法，通过例题讲解，巩固所学知识。

（3）探讨二次函数图像的变换方法，结合实践情景，让学生动手操作，加深理解。

3. 随堂练习：设计有针对性的练习题，让学生及时巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数的定义、图像与性质。

2. 二次函数的顶点式与解析式的互化。

3. 二次函数图像的变换方法。

4. 实践情景引入、例题讲解、随堂练习。

七、作业设计1. 作业题目：（1）求下列二次函数的顶点坐标、对称轴和开口方向：y = 2x^2 + 4x + 3y = x^2 + 4x + 5（2）已知二次函数的图像如下，求其解析式：y = ax^2 + bx + c2. 答案：（1）顶点坐标、对称轴和开口方向分别为：y = 2x^2 + 4x + 3：顶点坐标为（1，1），对称轴为x=1，开口向上。

y = x^2 + 4x + 5：顶点坐标为（2，9），对称轴为x=2，开口向下。

（2）解析式为：y = 2x^2 4x + 3八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像与性质掌握较好，但在图像变换方面还存在一定困难，需要在今后的教学中加强练习。

华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课我们将学习华师大版九年级下册《二次函数》的第一章节。

具体内容包括：二次函数的定义、图像与性质，以及二次函数的顶点式和一般式的互化。

我们还将探讨二次函数在生活中的实际应用。

二、教学目标1. 理解二次函数的定义，掌握其图像与性质。

2. 学会二次函数顶点式与一般式的互化方法，并能熟练运用。

3. 能够将二次函数应用于解决实际问题。

三、教学难点与重点教学难点：二次函数图像与性质的理解，顶点式与一般式的互化。

教学重点：二次函数的定义，图像与性质，以及实际应用。

四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。

2. 学具：直尺、圆规、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 引入：通过展示生活中常见的抛物线现象，如抛物线运动、拱桥等，引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。

2. 新课导入：讲解二次函数的定义，引导学生回顾一元二次方程，为新课打下基础。

a. 二次函数的定义b. 二次函数的图像与性质c. 二次函数顶点式与一般式的互化3. 例题讲解：讲解典型例题，展示解题思路和方法。

4. 随堂练习：布置与例题类似的练习题，让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数定义2. 图像与性质a. 开口方向b. 顶点坐标c. 对称轴3. 顶点式与一般式的互化4. 例题及解题思路七、作业设计1. 作业题目：a. 求下列二次函数的顶点坐标和对称轴：y = x^2 2x + 1b. 将下列二次函数化为一般式：y = (x 1)^2 + 2c. 某公园的拱桥形状为二次函数图像，已知顶点坐标为（2, 3），开口向上，求该二次函数的解析式。

2. 答案：a. 顶点坐标：(1, 0)，对称轴：x = 1b. 一般式：y = x^2 2x + 3c. 二次函数解析式：y = a(x 2)^2 + 3，由于开口向上，a > 0。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义、图像与性质掌握情况较好，但在顶点式与一般式的互化方面存在一定困难，需要在课后加强练习。

九年级上册数学书华东师大版一、二次函数。

1. 二次函数的概念。

- 一般地，如果y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数。

例如y = 2x^2+3x - 1就是一个二次函数，其中a = 2，b = 3，c=-1。

2. 二次函数的图象和性质。

- 图象：二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 对称轴：对称轴的公式为x =-(b)/(2a)。

例如对于二次函数y = 3x^2-6x + 1，a = 3，b=-6，对称轴x =-(-6)/(2×3)= 1。

- 顶点坐标：把x =-(b)/(2a)代入二次函数y = ax^2+bx + c可得到顶点的纵坐标y=frac{4ac - b^2}{4a}，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 最值：当a>0时，二次函数有最小值y=frac{4ac - b^2}{4a}；当a < 0时，二次函数有最大值y=frac{4ac - b^2}{4a}。

3. 二次函数的平移。

- 二次函数y = a(x - h)^2+k(a≠0)的图象可以由y = ax^2的图象平移得到。

当h>0时，图象向右平移h个单位；当h < 0时，图象向左平移| h|个单位。

当k>0时，图象向上平移k个单位；当k < 0时，图象向下平移| k|个单位。

例如，y=(x - 2)^2+3的图象是由y = x^2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的。

二、一元二次方程。

1. 一元二次方程的概念。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

一般形式是ax^2+bx + c = 0(a≠0)，例如x^2-3x+2 = 0就是一元二次方程，其中a = 1，b=-3，c = 2。

2024年华师大版九下《二次函数》教案一、教学内容本节课选自2024年华师大版九年级下册《二次函数》章节。

具体内容包括：二次函数的定义及其图像特征，二次函数的标准式、顶点式和一般式的相互转化，二次函数的性质，以及二次函数在生活中的简单应用。

二、教学目标1. 理解并掌握二次函数的定义，能熟练地识别二次函数；2. 学会二次函数标准式、顶点式和一般式之间的相互转化，并了解二次函数图像的特征；3. 掌握二次函数的性质，能运用二次函数解决实际问题。

三、教学难点与重点难点：二次函数图像的特征及其性质，二次函数在实际问题中的应用。

重点：二次函数的定义，二次函数标准式、顶点式和一般式的相互转化。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学课件、投影仪。

学具：直尺、圆规、练习本、草稿纸。

五、教学过程1. 实践情景引入通过展示生活中的抛物线现象，如抛物面天线、篮球投篮的轨迹等，引导学生思考抛物线与二次函数之间的关系。

2. 教学新课（1）二次函数的定义：引导学生回顾一次函数的定义，进而引出二次函数的定义。

（2）二次函数的标准式、顶点式和一般式：讲解三种形式的二次函数，并通过实例进行演示。

（3）二次函数图像的特征：通过画图工具，展示二次函数图像的对称性、开口方向和顶点位置等特点。

（4）二次函数的性质：讲解二次函数的增减性、最值等性质。

3. 例题讲解选取具有代表性的例题，讲解解题思路和方法，引导学生运用所学知识解决实际问题。

4. 随堂练习设计具有梯度性的练习题，让学生在课堂上及时巩固所学知识。

六、板书设计1. 二次函数的定义2. 二次函数的标准式、顶点式和一般式3. 二次函数图像的特征4. 二次函数的性质5. 例题及解题步骤6. 随堂练习题目七、作业设计1. 作业题目（1）已知二次函数的标准式，求顶点坐标和对称轴；（2）已知二次函数的一般式，求最大值和最小值；（3）运用二次函数解决实际问题。

答案：见附件。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对二次函数的定义和图像特征掌握较好，但在解决实际问题时还需加强引导。

华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0，可以为零。

二次函数的定义域a≠，而b c的性的绝对抛物2+ax c)2h-的)2h k-+ 平移步)2h k-+)h k ，；从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。

五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值24ac b -。

2. 当时，y 随x 注意： 1. ⑴ ⑵2. 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴。

⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧。