点方向式方程

空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。

直线的方程是在数学中非常重要的一部分。

空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。

在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。

1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。

它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。

同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。

但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。

2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。

它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。

对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。

同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。

但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。

3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。

它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。

参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。

空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。

一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。

点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。

点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。

二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。

设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。

参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。

参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。

三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。

设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。

11．1 （1）直线方程（点方向式方程）一、教学内容分析本节的重点是直线的方程的概念、直线的点方向式方程．用向量方法推导直线方程是二期课改的亮点之一，体现了从几何角度出发，除两点确定一条直线外，确定直线需要两个独立的条件：点和方向.利用给定的条件，通过向量平行的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点方向式方程.本节的难点是理解直线方程的定义.通过推导直线的点方向式方程，从中体会向量知识的应用和坐标法的含义.通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力.二、教学目标设计理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程；加强分类讨论、数形结合等数学思想和探究能力的培养；体验探究新事物的过程，树立学好数学的信心.三、教学重点及难点直线的方程的概念、直线的点方向式方程；理解直线方程以及点方向式方程的推导.四、教学过程设计（一）新课引入初中我们学习过的直线是一次函数的图像。

求直线方程的方法是利用一次函数y=kx+b 来解决:“已知一次函数经过点(-4,0)与(0,3),求此一次函数的解析式（即为直线方程）”我们现在开始所学习的内容是解析几何，其的主要思想：用坐标表示点，用方程表示曲线，把几何图形代数化，并能够参与代数运算.（二）讲授新课1、直线方程的概念定义：对于坐标平面内的一条直线l ，如果存在一个方程(,)0f x y =，满足（1）直线l 上的点的坐标(,)x y 都满足方程(,)0f x y =；（2）以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在直线l 上.那么我们把方程(,)0f x y =叫做直线l 的方程.从上述定义可见，满足（1）、（2），直线l 上的点的集合与方程(,)0f x y =的解的集合就建立了对应关系，点与其坐标之间的一一对应关系.在几何上，要确定一条直线需要一些条件，如两个不重合的点（不重合的两点确定一条直线），又如一个点和一个平行方向（原因是过已知点作平行于一条直线的直线有且只有一条）等等.我们将这些条件用代数形式描述出来，从而建立方程.若此方程满足直线方程定义中的（1）、（2），就找到了直线的方程.2、平面内直线确定的条件分析a.平面上过两点A 、B 的直线有且仅有一条(两点确定一条直线)b.平面上过一点且给定直线的方向,这条直线唯一(一点、一方向确定一条直线)直线的方向可以设定“直线的平行方向”也可设定“直线的垂直方向”例题1.直线l 的方程:3x -4y +3=0,确定l 的方向，写出该直线的一个方向向量3.直线的方向向量与直线l 平行的非零向量叫直线l 的方向向量。

点方向式方程
点方向式方程，又称为点矢量方程，是应用数学中描述直线或平面的最为基本的方法，其主要用途是用来表示点在某一空间中的位置关系。

它可以精确表达出点和有向线段之间的关系，以及点与向量或者另一点之间的关系，因而也称为点线段方程或点矢量方程。

点方向式方程主要由两部分组成，一部分是一个由形式参数决定的表达式，通常写为y=ax+b(a,b为实数)；另一部分是线上的点或点组，这些点的坐标决定了该直线的方向。

由此我们知道，要表达一条直线，其实可以求出直线的斜率，然后求出任意一点的坐标，就具有了点方向式方程的表达形式。

在求出斜率的过程中，可以使用点斜式来求出，也可以使用斜率公式来求出。

在求出点方向式方程后，可以通过它来解决一些具体的问题，比如，给出两点坐标，求出他们所围成的直线；给出一点坐标和斜率，求出该直线的点方向式方程；给出一点和两个向量，求出两个向量的叉乘结果，以及其所围成的平面的方向。

点方向式方程不仅可以用来解决几何问题，还可以用来解决一些物理问题，比如空气流动、电磁场、电磁力等。

点方向式方程也可以用来描述某一图形的局部性质，使得复杂的几何形状可以用简单的方程和数字进行描述，从而可以更好地计算某个图形的面积、距离等等。

此外，由于点方向式方程很容易实现，也可以用于图像处理，
比如图像的线段拟合、轮廓检测等，这些技术的基础正是点方向式方程。

总而言之，点方向式方程由其强大的表现力和完善的理论模型而受到广泛的应用，它不仅仅可以应用在几何，物理，图像处理等领域，还可以用于某些经济动态模型、投资管理等方面，从而帮助人们理解几何结构和其它系统机制，提高条件决策的能力。

【初中数学】初中数学直线的方程公式【—直线的方程公式】我们在初中学习的直线的方程包括有平面方程和空间方程两种，相较于空间方程来说，平面方程的运用比较的多。

直线的方程平面方程1、一般式：适用于所有直线ax+by+c=0(其中a、b不同时为0)2、点斜式：知道直线上一点(x0，y0)，并且直线的斜率k存在，则直线可表示为y-y0=k(x-x0)当k不存在时，直线可表示为x=x03、斜截式：在y轴上截距为b(即过(0，b))，斜率为k的直线由点斜式只须斜截式y=kx+b与点斜式一样，也需要考虑k存不存在4、dT式：呼吸困难用作和任一坐标轴横向的直线知道直线与x轴交于(a，0)，与y轴交于(0，b)，则直线可表示为bx+ay-ab=0特别地，当ab均不为0时，斜截式可写为x/a+y/b=15、两点式：过(x1，y1)(x2，y2)的直线(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)6、法线式xcosθ+ysinθ-p=0其中p为原点至直线的距离，θ为法线与x轴正方向的夹角7、点方向式(x-x0)/u=(y-y0)/v(u，v不等同于0，即点方向式无法则表示与座标平行的式子)8、点法向式a(x-x0)+b(y-y0)=0空间方程1、通常式ax+bz+c=0,dy+ez+fc=02、点向式：设直线方向向量为(u,v,w)，经过点(x0,y0,z0)(x-x0)/u=(y-y0)/v=(x-x0)/w3、x0y式x=kz+b,y=lz+b总结归纳一共有11个直线的方程公式，要运用好的时候也请大家选择了。

直线方程公式汇总1. 斜率公式①若直线的倾斜角为α, 则tan ,2k παα⎛⎫=≠⎪⎝⎭. ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点，则2121y y k x x -=-.2. 方向向量坐标 ：122121212111(,)(1,)PP x x y y k x x x x =--=-- . 3. 两条直线的平行和垂直的条件 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠， ②12121l l k k ⊥⇔=-.（2）若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； ③1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==. 4. 直线的五种方程（1）点方向式方程：x x y y u v--=；方向向量为(,)d u v = . （2）点法向式方程：()()0a x x b y y -+-= ；法向量为(,)n a b =.（3）点斜式()y y k x x -=- (直线l 过点(,)P x y ，且斜率为k )． （4）一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). （5）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（6）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（8）截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)5. “夹角”公式 ：（1）设1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，1l 与2l 的夹角θ，[0,]2πθ∈，121222221122cos A A B B A B A Bθ+=+⋅+；（2）设1l ：11y k x b =+，222:l y k x b =+，1l 与2l 的夹角θ，[0,]2πθ∈，1222121cos 11k k k k θ+=+⋅+；或211212tan (1)1k k k k k k θ-=≠-+.6. 两点间的距离公式若点1122(,),(,)A x y B x y ，则221212||()()AB x x y y =-+-；若(,)a x y = ，则向量的模22a x y =+ .7. 点到直线间的距离公式点(,)P x y 到:0l Ax By C ++=的距离为22||Ax By C d A B++=+ .8. 平行线间的距离公式11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=的距离为1222||C C d A B-=+.9. 四种常用直线系方程 （1）定点直线系方程：①经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =)，其中k 是待定的系数；②经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=，其中,A B 是待定的系数. （2）共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．（3）平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量. (4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量.。

专题09直线方向向量和法向量的应用[新教材的新增内容]背景分析：在旧教材中直线方程只涉及了斜率和倾斜角的概念与向量知识缺少联系，而在新教材中引入了直线的方向向量和法向量的概念，让向量与直线联系到一起，为解决直线方程问题提供了向量工具. 1､点方向式方程（1）直线的方向向量：把与直线平行的向量叫着直线的方向向量，记着(,)d u v = （2）点方向式方程：如果直线的方向向量的坐标都不为零，即0u ≠，0v ≠时，直线通过某个点00(,)x y ，把方程00x x y y u v--=叫做直线的点方向式方程. 2､直线的点法向式方程（1）直线的法向量：把与直线垂直的向量叫着直线的法向量，记着(,)n a b =（2）点法向式方程：如果直线通过某个点00(,)x y ，且与向量(,)n a b =垂直的 直线方程00()()0a x x b y y -+-=，叫做直线的点法向式方程. 3.理解方程中各字母及其系数的几何意义by c[新增内容的考查分析]1.直线方向向量的应用（应用主要体现在，会求直线的方向向量，应用直线的方向向量解决直线中的相关问题.）【考法示例1】过，两点的直线的一个方向向量为则（）A. B. C. D.1【答案】C【分析】解法一：根据AB坐标求得向量，根据与直线的方向向量共线即可求得结果.解法二：根据直线的方向向量求得直线的斜率，结合两点的斜率公式即可求得结果.【详解】解法一：由直线上的两点，，得，又直线的一个方向向量为，因此，∴，解得，故选：C.解法二：由直线的方向向量为得，直线的斜率为，所以，解得.故选：C.【考法示例2】已知过定点的直线的一个方向向量是，则直线的点方向式方程可以为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为直线的方向向量为且经过点，故直线的点向式方程为.故选：B.【考法示例3】设两条不重合的直线的方向向量分别为，则“存在正实数，使得是“两条直线平行”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】依题意为两条不重合的直线的方向向量，若存在正实数，使得，则，即可得到这两条直线平行，即充分性成立；若两直线平行，即，则存在实数，使得，不一定为正，当与同向时，当与反向时，，故必要性不成立；故“存在正实数，使得”是“两条直线平行”的的充分不必要条件，故选：2.直线法向量的应用（直线的法向量应用主要在两方面，1.会求直线的方向向量；2.应用直线的法向量解决直线中的相关问题.）【考法示例4】已知直线的方向向量为（1，5），则直线的法向量为（ ） A.B.C.D.【答案】C【分析】根据直线的方向向量与法向量的数量积等于零即可求解. 【详解】因为直线的方向向量为，所以直线的法向量可以是或.故选：C.【考法示例5】已知两条直线，，若的一个法向量恰为的一个方向向量，则________.【答案】【分析】根据题意可得，利用两直线垂直的等价条件即可求解.【详解】因为直线的一个法向量恰为的一个方向向量，所以，所以，解得：.[新增内容的针对训练]1. 设()()111222,,,P x y P x y 为直线l 上的两点，则()122121,PP x x y y =--，我们把向量12PP 以及与它平行的向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 的方向向量垂直的向量称为直线l 的法向量．若直线l 经过点(1,4),(3,2)A B -，则直线的一个法向量n 为（ ） A. ()1,2n =- B. ()4,2n =- C. ()4,2n = D. ()1,2n =【答案】D 【解析】【分析】先计算出直线l 的方向向量AB ，然后通过数量积逐项判断n 与AB 是否垂直.【详解】因为()4,2AB =-，A ．当()1,2n =-，则4480AB n ⋅=+=≠，不满足， B ．当()4,2n =-，则164200AB n ⋅=+=≠，不满足，C ．当()4,2n =，则164120AB n ⋅=-=≠，不满足，D ．当()1,2n =，则440AB n ⋅=-=，满足， 故选：D.2. 下列命题正确的有（ ）．∴直线的方向向量是唯一的；∴经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l 的点方向式方程为00x x y y u v--=；∴直线10y =的一个方向向量是（1，0）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】B 【解析】【分析】由于直线的方向向量是不唯一的，可判定∴不正确；由直线的点方向式方程，可判定∴不正确；由直线10y =的斜率为0，可判定∴是正确的. 【详解】对于∴中，由于直线的方向向量是不唯一的，所以∴不正确；对于∴中，只有等0,0u v ≠≠时，经过点()00,P x y 且与向量(,)d u v =平行的直线l的点方向式方程为00x x y y u v--=，所以∴不正确； 对于∴中，直线10y =的斜率为0，所以直线10y =的一个方向向量可以是(1,0)，所以∴是正确的. 故选：B.【点睛】本题主要考查了直线的方向向量的概念与辨析，以及直线的点方向式方程的应用，着重考查概念的辨析能力，属于基础题.3. 若过点(3,2)P m 和点(,2)Q m -的直线与方向向量为(5,5)a =-的直线平行，则实数m 的值是（ ） A.13 B. 13-C. 2D. 2-【答案】B 【解析】【分析】求出PQ 坐标，由向量共线可得关于m 的方程，进而可求出m 的值. 【详解】由题意得，(3,22)PQ m m =---与(5,5)a =-共线，所以5(3)(5)(22)0m m ----⋅-=，解得13m =-．经检验知，13m =-符合题意，故选:B ．【点睛】本题考查了由向量平行求参数，属于基础题.4. 已知直线l 经过点(1,2)P 和点(2,2)Q --，则直线l 的单位方向向量为 A. (3,4)-- B. 34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭C. 34,55⎛⎫±± ⎪⎝⎭D. 34,55⎛⎫± ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】求出直线l 的一个方向向量为(3,4)PQ =--，再求出向量的模，根据单位向量||PQPQ ±即可求解. 【详解】由题意得，直线l 的一个方向向量为(21,22)(3,4)PQ =----=--，则||(5PQ =-=，因此直线l 的单位方向向量为134(3,4),555||PQ PQ ⎛⎫±=±--=± ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.5. 设直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z 且0,≠∈R b b .给出下列结论其中真命题有（ ） A. l 的斜率是tan α B. l 的倾斜角是αC. l 的方向向量与向量(sin ,cos )a αα=平行D. l 的法向量与向量(sin ,cos )b αα=-平行. 【答案】AD 【解析】【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角，注意倾斜角的范围判断AB ，由直线的方向向量与法向量定义及向量共线的坐标表示判断CD ． 【详解】因为直线:tan α=+l y x b ，其中,2k k πα≠π+∈Z ，所以l 的斜率是tan α；所以A 对；l 的倾斜角θ满足tan tan θα=，但不一定有θα=，所以B 错；l 的方向向量为(1,tan )α，因为1cos sin tan ααα⨯≠，所以C 错； l 的法向量为(tan ,1)α-，因为1sin cos tan ααα-⨯=-，所以D 对；故选：AD.6. 直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =，则直线的点法向式方程是（ ）A. 3(2)(3)0x y -+-=B. (2)3(3)0x y --+-=C.2331x y --= D.2313x y --=- 【答案】BC【解析】【分析】直接利用直线的点法向式方程求解.【详解】因为直线l 经过点(2,3)P ，且一个方向向量是(3,1)d =， 所以直线的点法向式方程是(2)3(3)0x y --+-=或2331x y --= 故选：BC【点睛】本题主要考查直线的点法向式方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 若一条直线的斜率为k ，则它的一个方向向量是___________，一个法向量是________.【答案】 ∴. (1,)k ∴. (,1)k - 【解析】【分析】根据直线方向向量与直线斜率关系，在直线上任取两点坐标相减得到的向量即为方向向量，再由法向量和方向向量的数量积为0，即可求得法向量. 【详解】因为直线的斜率为k ，所以它的一个方向向量为(1,)k ，设一个法向量为(),x y ，则()(),1,0x y k x ky ⋅=+=，不妨取,1x k y ==-，则它的一个法向量是(),1k -， 故答案为：(1,)k ；(,1)k -.【点睛】本题考查直线方向向量以及法向量，掌握直线斜率和方向向量以及法向量的关系是关键，考查了分析求解能力，属基础题.8. 直线1:2330l x y -+=，那么直线1l 的一个方向向量1d 为_____________；2l 过点（2，1），并且2l 的一个方向向量2d 满足120d d ⋅=，则2l 的点方向式方程是_____________．【答案】 ∴. ()3,2（与该项量共线的非零向量均可） ∴. 2123x y --=- 【解析】【分析】由题意结合直线方向向量的知识可得直线1l 的一个方向向量；求得一个满足要求的向量2d 后，利用直线的点方向式即可得2l 的点方向式方程.【详解】由题意可得直线1:2330l x y -+=的一个方向向量为()3,2， 所以1d 可为()3,2（与该项量共线的非零向量均可）； 设向量()2,n d m =，由120d d ⋅=可得320m n +=， 令2m =则3n =-，所以直线2l 的一个方向向量为()2,3-，又直线2l 过点(2，1)，所以该直线的点方向式方程为2123x y --=-. 故答案为：()3,2（与该项量共线的非零向量均可）；2123x y --=-. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解及直线点方向式方程的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.9. 已知平面上直线l 的方向向量43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，点(0,0)O 和(1,2)A -在l 上的射影分别为1O 和1A ，则11O A e λ=，其中λ=________. 【答案】2- 【解析】【分析】由题意结合平面向量的坐标运算、模的坐标运算可得(1,2)OA =-、1e =，进而可得λ即为OA 在e 方向上的投影，再由e OAeλ⋅=即可得解. 【详解】43,55e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(0,0)O ，(1,2)A -；∴415e ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，(1,2)OA =-， ∴λ即为OA 在e 方向上的投影，∴465521e OA e λ--===-⋅.故答案为：2-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示、模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用，属于基础题.10. 如图，射线OA ，OB 所在直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N .（1）若1k =，31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求OM 的值； （2）若()2,1P ，OMP 的面积是65，求k 的值； （3）已知k 为常数，M ，N 的中点为T ，且1MON S k=△，当P 变化时，求OT 的取值范围.【答案】（1（2）112或2；（3）1,k ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】(1)求出||OP ,点P 到直线的距离,利用勾股定理,求||OM 的值; (2)直线OA 的方程为0kx y ,求出(2,1)P 到直线的距离,利用勾股定理求出||OM ,利用OMP 的面积为65,求k 的值; (3)设直线OA 的倾斜角为α,求出||OM ,||ON ,利用1MON S k=△,可得P 变化时,动点T 轨迹方程,求出||OT ,即可求||OT 的取值范围.【详解】（1）31,22P ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，||OP ∴=， 若1k =，则()11,1d =，OA ∴的方程为y x =，即0x y -=，则点P 到直线OA2=，||OM ∴== （2）直线OA 的方程为0kx y ,(2,1)P到直线的距离为d =||OM ∴=, OMP ∴的面积为1625=, 112k ∴=或2； （3）设()11,M x kx ,()22,N x kx -,(,)T x y ,1>0x ,20x >,0k >, 设直线OA 的倾斜角为α,则tan k α=，22sin 21kk α=+, 根据题意得()121222x x x k x x y OM x ON x +⎧=⎪⎪-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎪⎩，解得12y x x ky x x k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 代入11||||sin 22MONSOM ON kα==， 化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.1||OT k∴====, 当且仅当11,,0x T k k ⎛⎫=⎪⎝⎭时,||OT 取得最小值1k.||OT∴的取值范围是1,k⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.。

点向式方程公式嘿，咱今天来聊聊点向式方程公式。

说起这点向式方程公式啊，它在数学的领域里可有着不小的作用。

就好像是一把神奇的钥匙，能帮咱们解开好多几何问题的谜团。

先给您讲讲点向式方程公式到底是啥。

它一般用来描述直线的方程，要是有一个点的坐标，再加上直线的方向向量，那就能把这条直线的方程给确定下来。

比如说，有个点 A(x₁, y₁, z₁)，还有个方向向量 v= (a, b, c) ，那这条直线的点向式方程就是 (x - x₁) / a = (y - y₁) / b = (z- z₁) / c 。

还记得我当年上高中的时候，有一次数学考试，就有一道关于点向式方程的大题。

当时我一看那题，心里就“咯噔”一下，觉得有点难。

题目是这样的：给了一个点 B(2, 3, 1) ，方向向量是 (1, -2, 3) ，让求这条直线和某个平面的交点。

我就赶紧拿起笔，按照点向式方程的公式，一步步地去算。

可算着算着，我就有点晕乎了，感觉自己好像算错了。

这时候我就深吸一口气，告诉自己别慌，重新又理了一遍思路。

我仔细地对照着公式，检查每一步的计算，终于发现是中间有个符号给弄反了。

最后算出了正确答案，那次可真是让我深刻体会到了点向式方程公式的重要性，也让我明白，做题得细心，不能马虎。

咱们再来说说这公式在实际生活中的应用。

您想想，比如说建筑设计，工程师要确定一条钢梁的位置和走向，那点向式方程公式就能派上用场啦。

还有在计算机图形学里，绘制三维图形的时候，也得靠它来准确地描述线条的位置和方向呢。

学习点向式方程公式的时候，可别死记硬背，得理解着来。

要多做几道练习题，熟悉熟悉它的用法。

就像学骑自行车，刚开始可能会摇摇晃晃，但多骑几次，掌握了平衡的技巧，就能骑得稳稳当当啦。

总之，点向式方程公式虽然看起来有点复杂，但只要咱用心去学，多练习，就能把它掌握好，让它成为咱们解决数学问题的得力工具。

相信您在学习的过程中，也能发现其中的乐趣和奥妙！。

点向式方程公式是什么
点法向式就是由直线上一点的坐标和与这条直线的法向量确定的——(（x0,y0）为直线上一点，{u,v}为直线的法向向量)。

高中数学中直线方程之一。

u(x-x0)+v(y-y0)=0，且u,v不全为零的方程，称为点法向式方程。

该方程可以表示全部直线。

已知一般式方程求点法向式方程
设平面方程为ax+by+cz+d=0，则其法向量为(a/√(a²+b²+c²),b/√(a²+b²+c²),c/√(a²+b²+c²))。

二次函数配方法就可以了。

比如y=x^2+4*x+5=(x+2)^2+1，过点（-2,1），法线为x=-2
由直线一般方程求点向式方程
直线一般方程可理解为两个平面方程的交线，可以分别写出两平面的法向量n1、n2，依据法向量的定义，n1和n2垂直于本平面的全部直线。

待求直线为两平面交线，所以必定垂直于n1和n2；依据向量叉乘的几何意义，直线的方向向量L必定平行于n1×n2，可直接令L=n1×n2。

再从方程中求出直线上的任意一点（例如可令z=0，直线方程变成二元一次方程组，解出x和y，就得到一个点坐标）
综上就可列出直线的点向式方程。

1。

直线点向式方程公式
点向式方程是几何学中表示直线方程的一种形式，其一般形式为：(X-X0)/A = (Y-Y0)/B = (Z-Z0)/C。

其中，(X0,Y0,Z0)是直线上的一个已知点，A、B、C为直线的方向向量。

这个方程的特点是可以直接看出直线的方向以及直线上的一个点的坐标。

对于二维平面中的情况，点向式方程可以简化为：(x-x0)/a=(y-y0)/b，其中(a,b)为直线的方向向量，(x0,y0)为直线上的一个已知点。

当直线水平时，方向向量的纵坐标b为0，此时方程变为x=x0；当直线垂直时，方向向量的横坐标a为0，此时方程变为y=y0。

点向式方程常用于求解几何问题，如求两条直线的交点、判断一个点是否在直线上等。

同时，点向式方程也有许多变形，如参数式、斜截距式等，这些都能更方便地解决某些具体问题。

参考：百度文库
在三维空间中，点向式方程可以以更为一般的形式出现，既适用于直线，也可用于表示平面。

在表示平面时，可以将其理解为一个特定点（x0，y0，z0）与平面上任意一点（x，y，z）的向量与法向量之间的点积为零。

对此问题进行进一步研究，我们会发现点向式方程的广泛应用，如物体在三维空间中的旋转动作、光线穿过某一点的反射与折射等。

它其实是一种通用的数学描绘方式，不仅在初高中数学课本中广泛运用，在高等数学、线性代数等课程中也有重要应用。

借助它能够更全面、深入地理解直线与空间的关系，揭示了几何与数学的内在联系。

空间直线一般式转化为点向式
在三维空间中，直线可以用一般式表示，即Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C分别为直线的方向向量在x、y、z轴上的分量，D为常数项。

但在计算中，常用的是点向式表示直线，即L=P+tV，其中P为直线上的一点，V为直线的方向向量，t为实数。

因此，需要将一般式转化为点向式。

具体方法如下：
1. 求出直线上的一点P。

将x=y=z=0代入一般式中，得D=0。

则直线上的一点为P=(0, 0, 0)。

2. 求出直线的方向向量V。

设(x0, y0, z0)为直线上的一点，则(x0, y0, z0)满足
Ax0+By0+Cz0+D=0。

因为P=(0, 0, 0)也在直线上，所以有
A(0)+B(0)+C(0)+D=0，即D=0。

将D=0代入原式，得Ax0+By0+Cz0=0，即(x0, y0, z0)为向量(-B, A, 0)与向量(-C, 0, A)的叉积的倍数，即(x0, y0, z0)=k1(-B, A, 0)+k2(-C, 0, A)，其中k1、k2为实数。

令k1=1，k2=0，则(x0, y0, z0)=(-B, A, 0)。

又因为P=(0, 0, 0)，所以V=(-B, A, 0)。

3. 将P和V代入点向式L=P+tV中，得到L=(-Bt, At, 0t)。

因此，一般式Ax+By+Cz+D=0表示的直线可以表示为L=(-Bt, At, 0t)，即x=-Bt，y=At，z=0t。

这就是将一般式转化为点向式的方法。

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