《推荐》2017年高考数学(理)一轮复习讲练测专题13.2合情推理和演绎推理(讲)Word版含解析

高考数学（理科）一轮复习合情推理与演绎推理学案附答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案37 合情推理与演绎推理导学目标：1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．自主梳理自我检测．观察′＝2x，′＝4x3，′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f满足f＝f，记g为f的导函数，则g等于A．fB．－fc．gD．－g2．给出下面类比推理命题：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈c，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a ＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈c，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是A．0B．1c．2D．33．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．4．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________________________________．5．一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为___________________________________________．探究点一归纳推理例1 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由．变式迁移 1 观察：①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝34；②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．探究点二类比推理例2 在平面内，可以用面积法证明下面的结论：从三角形内部任意一点，向各边引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有paha＋pbhb＋pchc＝1.请你运用类比的方法将此结论推广到四面体中并证明你的结论．变式迁移2 在Rt△ABc中，若∠c＝90°，Ac＝b，Bc ＝a，则△ABc的外接圆半径r＝a2＋b22，将此结论类比到空间有_______________________________________________．探究点三演绎推理例3 在锐角三角形ABc中，AD⊥Bc，BE⊥Ac，D、E是垂足．求证：AB的中点m到D、E的距离相等．变式迁移3 指出对结论“已知2和3是无理数，证明2＋3是无理数”的下述证明是否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而2与3都是无理数，∴2＋3也是无理数．．合情推理是指“合乎情理”的推理，数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想.一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，其可靠性还需进一步证明．2．归纳推理与类比推理都属合情推理：归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理．类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，它是一种由特殊到特殊的推理．3．从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，把这种推理称为演绎推理，也就是由一般到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论．一、选择题．定义A*B，B*c，c*D，D*A的运算分别对应下图中的、、、，那么下图中的、所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*cc．B*c，A*DD．c*D，A*D2．设f＝1＋x1－x，又记f1＝f，fk＋1＝f)，k＝1,2，…，则fXX等于A．－1xB．xc.x－1x＋1D.1＋x1－x3．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a•b＝b•a”；②“t＝mt＋nt”类比得到“•c＝a•c＋b•c”；③“t＝m”类比得到“•c＝a•”；④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a•p＝x•p⇒a＝x”；⑤“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|a•b|＝|a|•|b|”；⑥“acbc＝ab”类比得到“a•cb•c＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2c．3D．44．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，比如：他们研究过图中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024c．1225D．13785．已知整数的数对如下：，，，，，，，，，，，，…则第60个数对是A．B．c．D．二、填空题6．已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是___________________________________________________ _____________________．7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：8．观察下列等式＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此规律，第n个等式为___________________________________________________ __．三、解答题9．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－23，且Sn＋1Sn＋1＋2＝0．计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．10．已知函数f＝－aax＋a，证明：函数y＝f的图象关于点12，－12对称；求f＋f＋f＋f＋f＋f的值．1．如图1，若射线om，oN上分别存在点m1，m2与点N1，N2，则＝om1om2•oN1oN2；如图2，若不在同一平面内的射线oP，oQ和oR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．学案37 合情推理与演绎推理自主梳理归纳推理全部对象部分个别类比推理这些特征特殊到特殊①一般原理②特殊情况③特殊情况一般特殊自我检测．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g＝－g．] 2．c [①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．]3．1∶8解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.4．13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，…，因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.5．一切奇数都不能被2整除大前提2100＋1是奇数小前提所以2100＋1不能被2整除结论课堂活动区例1 解题导引归纳分为完全归纳和不完全归纳，由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对科学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an}中，a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23，a3＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，…，所以猜想{an}的通项公式为an＝2n＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a1＝1，an＋1＝2an2＋an，所以1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，所以数列1an是以1a1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以1an＝1＋×12＝12n＋12，所以通项公式an＝2n＋1.变式迁移1 解猜想sin2α＋cos2＋sinαcos＝34.证明如下：左边＝sin2α＋cos[cos＋sinα]＝sin2α＋32cosα－12sinα32cosα＋12sinα＝sin2α＋34cos2α－14sin2α＝34＝右边．例2 解题导引类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象的其他属性亦类似的一种推理方法，例如我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必须清楚类比并不是论证，它可以帮助我们发现真理．类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想．解类比：从四面体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为ha，hb，hc，hd.则有paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1.证明如下：paha＝13S△BcD•pa13S△BcD•ha＝VP—BcDVA—BcD，同理有pbhb＝VP—cDAVB—cDA，pchc＝VP—BDAVc—BDA，pdhd＝VP—ABcVD—ABc，VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABc＝VA—BcD，∴paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝VP—BcD＋VP—cDA＋VP—BDA＋VP—ABcVA—BcD＝1.变式迁移2 在三棱锥A—BcD中，若AB、Ac、AD两两互相垂直，且AB＝a，Ac＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径R＝a2＋b2＋c22例3 解题导引在演绎推理中，只有前提和推理形式都是正确的，结论才是正确的，否则所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前提及二者之间的逻辑关系．证明因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提在△ABD中，AD⊥Bc，即∠ADB＝90°，——小前提所以△ADB是直角三角形．——结论因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，——大前提而m是Rt△ADB斜边AB的中点，Dm是斜边上的中线，——小前提所以Dm＝12AB.——结论同理Em＝12AB，所以Dm＝Em.变式迁移3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原理的真实性仍无法断定．课后练习区．B [由图得A表示|，B表示□，c表示—，D表示○，故图表示B*D和A*c.]2．A [计算f2＝f1＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x ＝－1x，f3＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1，f4＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5＝f1＝1＋x1－x，归纳得f4k＋i＝fi，k∈N*，i＝1,2,3,4.∴fXX＝f2＝－1x.]3．B [只有①、②对，其余错误，故选B.]4．c [设图中数列1,3,6,10，…的通项公式为an，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.故an－a1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝nn＋12.而图中数列的通项公式为bn＝n2，因此所给的选项中只有1225满足a49＝49×502＝b35＝352＝1225.]5．D [观察可知横坐标和纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，依次类推和为n＋1的数对有n个，多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由nn ＋12＝60⇒n＝120，n∈Z，n＝10时，nn＋12＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是，，，，，∴第60个数对是．]6．空间正四面体的内切球的半径是高的14解析利用体积分割可证明．7．n8．n＋＋…＋＝2解析∵1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第n个等式为n＋＋…＋＝2.9．解当n＝1时，S1＝a1＝－23.当n＝2时，1S2＝－2－S1＝－43，∴S2＝－34.当n＝3时，1S3＝－2－S2＝－54，∴S3＝－45.当n＝4时，1S4＝－2－S3＝－65，∴S4＝－56.猜想：Sn＝－n＋1n＋2．0．证明函数f的定义域为R，任取一点，它关于点12，－12对称的点的坐标为．由已知得y＝－aax＋a，则－1－y＝－1＋aax＋a＝－axax＋a，f＝－aa1－x＋a＝－aaax＋a＝－a•axa＋a•ax＝－axax＋a，∴－1－y ＝f．即函数y＝f的图象关于点12，－12对称．解由有－1－f＝f，即f＋f＝－1.∴f＋f＝－1，f＋f＝－1，f＋f＝－1，则f＋f＋f＋f＋f＋f＝－3.1．解类似的结论为：Vo—P1Q1R1Vo—P2Q2R2＝oP1oP2•oQ1oQ2•oR1oR2.这个结论是正确的，证明如下：如图，过R2作R2m2⊥平面P2oQ2于m2，连接om2.过R1在平面oR2m2作R1m1∥R2m2交om2于m1，则R1m1⊥平面P2oQ2.由Vo—P1Q1R1＝13S△P1oQ1•R1m1＝13•12oP1•oQ1•sin∠P1oQ1•R1m1＝16oP1•oQ1•R1m1•sin∠P1oQ1，同理，Vo—P2Q2R2＝16oP2•oQ2•R2m2•sin∠P2oQ2.所以＝oP1•oQ1•R1m1oP2•oQ2•R2m2.由平面几何知识可得R1m1R2m2＝oR1oR2.所以＝oP1•oQ1•oR1oP2•oQ2•oR2.所以结论正确．。

第十三章推理与证明§13.1合情推理与演绎推理1．了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理．在高考中，合情推理的考查一般以客观题的形式出现，以中档题为主，有时会出现背景新颖的创新型题；演绎推理这部分内容在高考中虽然很少单独考查，但融合在试题中考查该部分内容的可能性较大，既可能以选择题、填空题的形式进行考查，又可能在解答题型中以证明题的形式进行考查．1．推理一般包括合情推理和演绎推理两类．2．合情推理(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由__________到整体、由__________到一般的推理．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由________到________的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行__________、__________，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．3．演绎推理(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由__________到__________的推理．(2)“__________”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．“三段论”可以表示为：大前提：M是P.小前提：S是M.结论：S是P.【自查自纠】2．(1)部分个别(2)特殊特殊(3)归纳类比3．(1)一般特殊(2)三段论关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理 B ．归纳推理是由一般到特殊的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论不一定正确解：归纳推理是由特殊到一般的推理，但结论未必正确．故选D. 下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的性质；②由等差数列的性质类比出等比数列的性质； ③由三角形的面积公式类比出三棱锥的体积公式；④由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和为180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°.A ．仅①②是B ．仅①②③是C ．仅①②④是D ．①②③④都是解：①②③是类比推理，④是归纳推理．它们都属于合情推理．故选D .“任何实数的平方大于0(大前提)，而a 是实数(小前提)，所以a 2>0”，你认为这个推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．是正确的解：当a ≠0时，a 2>0；当a ＝0时，a 2＝0.所以这个推理的大前提错误．故选A.(2012·陕西)观察下列不等式：1＋122＜32， 1＋122＋132＜53， 1＋122＋132＋142＜74， ……照此规律，第五个．．．不等式为________________． 解：观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边＝1＋122＋132＋…＋1（n ＋1）2，右边＝2（n ＋1）－1n ＋1＝2n －1n ＋1，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.故填1＋122＋132＋142＋152＋162＜116.(2013·陕西)观察下列等式： (1＋1)＝2×1， (2＋1)(2＋2)＝22×1×3， (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5， ……照此规律，第n 个等式可为_________________．解：观察到等式左边依次是(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )，等式右边是2n 与n 个奇数的乘积，(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．故填(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×5×…×(2n －1)．类型一 归纳推理在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N ＋)，试猜想这个数列的通项公式． 解：当n ＝1时，a 1＝1；当n ＝2时，a 2＝2a 12＋a 1＝23；当n ＝3时，a 3＝2a 22＋a 2＝432＋23＝12＝24；当n ＝4时，a 4＝2a 32＋a 3＝12＋12＝25，由此猜想，这个数列的通项公式为a n ＝2n ＋1.【评析】数列的通项公式表示的是数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的对应关系，先根据已知的递推公式，算出数列的前几项，再通过观察，归纳得到关于数列通项公式的一个猜想，这种猜想是否正确还有待严格的证明．(2014届安徽)已知x >0，由不等式x ＋1x ≥2x ·1x＝2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥33x 2·x 2·4x 2＝3， x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x 3≥44x 3·x 3·x 3·27x 3＝4，……在x >0条件下，请根据上述不等式归纳出一个一般性的不等式_____________________． 解：当x ＞0时，分析所给等式的变形过程可得x ＋n n x n ＝n nn x n n xn xn x ++⋯++个＝n ＋1.故填x ＋nnxn ≥n ＋1.类型二 类比推理在△ABC 中，若AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，则1AD 2＝1AB 2＋1AC2.在四面体A -BCD中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则类似的结论是什么？并说明理由．解：如图，在四面体A -BCD 中，若AB ，AC ，AD 两两垂直，AH ⊥底面BCD ，垂足为H ，则1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.证明如下：连接BH 并延长交CD 于E ，连接AE . ∵AB ，AC ，AD 两两垂直，∴AB ⊥平面ACD . 又∵AE ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AE .在Rt △ABE 中，有1AH 2＝1AB 2＋1AE2.①又易证CD ⊥AE ，∴在Rt △ACD 中，1AE 2＝1AC 2＋1AD2.②将②式代入①式得1AH 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.【评析】本题考查的是平面到空间的推广类比，并且在推导空间的结论时用到了平面的结论．一般地，平面中的一些元素与空间中的一些元素可类比如下：平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 … 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 …在等比数列{a n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式a r －s t ·a s －t r ·a t －rs ＝1成立．类比上述性质，相应地，在等差数列{b n }中，若r ，s ，t 是互不相等的正整数，则有等式______________成立．解：等差与等比的类比关系一般为等差 加 减 乘 除 等比 乘 除 乘方 开方所以等式左边为(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝(r －s )b t ＋(s －t )[b t ＋(r －t )d ]＋(t －r )[b t ＋(s －t )d ]＝(r －s ＋s －t ＋t －r )b t ＋[(s －t )(r －t )＋(t －r )(s －t )]d ＝0.(注意：若a ，b ，c 成等差数列，则b ＋b ＝a ＋c ；若a ，b ，c 成等比数列，则b ·b ＝a ·c )．故填(r －s )b t ＋(s －t )b r ＋(t －r )b s ＝0.类型三 演绎推理直线平行于平面，则直线平行于平面内所有直线(大前提)，已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α(小前提)，则直线b ∥直线a (结论)”，上面推理错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误解：大前提是错误的，某直线平行于平面，平面内还是存在直线与已知直线异面．故选A.【评析】演绎推理是一种必然性推理，只有前提和推理形式都是正确的，结论才一定是正确的，否则，不能保证结论的可靠性．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”．上面推理错误的原因是( ) A ．大前提错误 B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误解：当a＞1时，y＝a x为增函数；当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，所以大前提错误．故选A.1．归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．2．归纳推理的一般过程：(1)通过观察个别情况发现相同的性质；(2)推出一个明确表述的一般性结论．3．在数学中，类比是发现概念、方法、定理、公式的重要手段，并且应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限等之间有不少结论都是先用类比法猜想，然后再加以证明的．4．类比推理的一般步骤：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，但结论不一定正确，有待进一步证明．。

合情推理与演绎推理基础热身1．在等差数列{a n}中，若a n>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b n>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是() A．b4＋b8>b5＋b7B．b4＋b8<b5＋b7C．b4＋b7>b5＋b8D．b4＋b7<b5＋b82．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是()A．P(2007)＝403B．P(2008)＝404C．P(2009)＝403D．P(2010)＝4043．已知命题：若数列{a n}为等差数列，且a m＝a，a n＝b(m≠n，m、n∈N*)，则a m＋n＝bn－amn－m；现已知等比数列{b n}(b n>0，n∈N*)，b m＝a，b n＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到b m＋n＝()A.m－n b ma n B.n－m b na mC.n－mb n a m D.n－mb m a n4．有下列推理：①A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；②由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式；③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πab；④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．以上推理不是归纳推理的序号是________．(把所有你认为正确的序号都填上)能力提升5．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人C ．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝08．“因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝⎝⎛⎭⎫13x是指数函数(小前提)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误是( ) A ．大前提错导致结论错 B ．小前提错导致结论错 C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提错都导致结论错9．把正整数按一定的规则排成了如图K67－1所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2009，则i 与j 的和为( )12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24图K67－1A ．105B ．106C ．107D ．10810．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0. 将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OAB ·OC →＝0. 将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________．11．半径为r 的圆的面积S (r )＝πr 2，周长C (r )＝2πr ，若将r 看做(0，＋∞)上的变量，则(πr 2)′＝2πr ①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．对于半径为R 的球，若将R 看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.12．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 (n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k k ＋1 ＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n n ＋1 ＝1n －1n ＋1， 相加，得11×2＋12×3＋…＋1n n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1.类比上述方法，请你计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n n ＋1 n ＋2(n ∈N *)”，其结果为________．13．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图K67－2为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形，则f (n )的表达式为____________(n ∈N *)．图K67－214．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K67－3为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；(2)证明：1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <43.图K67－315．(13分)如图K67－4所示，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM ⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．图K67－4难点突破16．(12分)规定C mx ＝x · x －1 ·…· x －m ＋1 m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C m n (m ，n 是正整数，且m ≤n 的一种推广)．(1)求C 5－15的值；(2)组合数的两个性质：①C m n ＝C n －mn.②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1.是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．(3)已知组合数C m n 是正整数，证明：当x ∈Z ，m 是正整数时，C mx ∈Z.答案解析【基础热身】1．A [解析] 在等差数列{a n }中，由于4＋6＝3＋7时有a 4·a 6>a 3·a 7，所以在等比数列{b n }中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b 4＋b 8>b 5＋b 7或b 4＋b 8<b 5＋b 7.∵b 4＝b 1q 3，b 5＝b 1q 4，b 7＝b 1q 6，b 8＝b 1q 7 ∴(b 4＋b 8)－(b 5＋b 7)＝(b 1q 3＋b 1q 7)－(b 1q 4＋b 1q 6) ＝b 1q 6·(q －1)－b 1q 3(q －1)＝(b 1q 6－b 1q 3)(q －1)＝b1q3(q3－1)(q－1)．∵q>1，b n>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.2．D[解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，∴P(2007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，P(2008)＝404，P(2009)＝403，P(2010)＝402，故选D.3．B[解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的b n和a m，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的b na m，等差数列中的bn－amn－m可以类比等比数列中的n－m b na m.故b m＋n＝n－m b na m.4．①③④[解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．【能力提升】5．C[解析] f1(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝(－cos x)′＝sin x，f5(x)＝(sin x)′＝cos x＝f1(x)，f6(x)＝(cos x)′＝－sin x＝f2(x)，f n＋4(x)＝…＝…＝f n(x)，故可猜测f n(x)以4为周期，有f4n＋1(x)＝f1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cos x，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sin x，所以f2013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cos x，故选C.6．A[解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，∠A＋∠B＝180°——结论．故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.7．A[解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.8．A[解析] y＝a x是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．9．C[解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2009＝2×1005－1，所以2009为第1005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1024，故2009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1923,2009＝1923＋2(m －1)，所以m ＝44，即j ＝44，所以i ＋j ＝107.10．V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．11.⎝⎛⎭⎫43πR 3′＝4πR 2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数 12.n 2＋3n4 n ＋1 n ＋2[解析]∵1k k ＋1 k ＋2＝12⎣⎡⎦⎤1k k ＋1 －1 k ＋1 k ＋2 ，依次裂项，求和得n 2＋3n 4 n ＋1 n ＋2. 13．f (n )＝2n 2－2n ＋1 [解析] 由f (1)＝1，f (2)＝1＋3＋1，f (3)＝1＋3＋5＋3＋1，f (4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，可得f (n )＝1＋3＋5＋…＋2n －1＋…＋3＋1，∴f (n )＝2× n －1 [1＋ 2n －3 ]2＋(2n －1)＝2n 2－2n ＋1.14．[解答] (1)f (4)＝37，f (5)＝61.由于f (2)－f (1)＝7－1＝6，f (3)－f (2)＝19－7＝2×6，f (4)－f (3)＝37－19＝3×6，f (5)－f (4)＝61－37＝4×6，…因此，当n ≥2时，有f (n )－f (n －1)＝6(n －1)，所以f (n )＝[f (n )－f (n －1)]＋[f (n －1)－f (n －2)]＋…＋[f (2)－f (1)]＋f (1) ＝6[(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1]＋1＝3n 2－3n ＋1. 又f (1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f (n )＝3n 2－3n ＋1.(2)证明：当k ≥2时，1f k ＝13k 2－3k ＋1<13k 2－3k ＝13⎝⎛⎭⎫1k －1－1k .所以1f 1 ＋1f 2 ＋1f 3 ＋…＋1f n <1＋13⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋13⎝⎛⎭⎫1－1n <1＋13＝43. 15．[解答] (1)证明：∵PM ⊥BB 1，PN ⊥BB 1，PM ∩PN ＝P ， ∴BB 1⊥平面PMN ，∴BB 1⊥MN . 又CC 1∥BB 1，∴CC 1⊥MN . (2)在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－ 2S 平面BCC 1B 1S 平面ACC 1A 1cos α.其中α为平面BCC 1B 1与平面ACC 1A 1所成的二面角的大小． 证明：∵CC 1⊥平面PMN ， ∴上述的二面角的平面角为∠MNP .在△PMN 中，∵PM 2＝PN 2＋MN 2－2PN ·MN cos ∠MNP ，∴PM 2·CC 21＝PN 2·CC 21＋MN 2·CC 21－2(PN ·CC 1)·(MN ·CC 1)cos ∠MNP ， 由于S 平面BCC 1B 1＝PN ·CC 1，S 平面ACC 1A 1＝MN ·CC 1， S 平面ABB 1A 1＝PM ·BB 1＝PM ·CC 1，∴S 2平面ABB 1A 1＝S 2平面BCC 1B 1＋S 2平面ACC 1A 1－2S 平面BCC 1B 1·S 平面ACC 1A 1·cos α.【难点突破】16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C5－15＝－15 －16 －17 －18 －195！＝－11628.(2)性质①不能推广．反例：当x ＝2，m ＝1时，C 12有意义，但C2－12无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C m x ＋C m －1x ＝C m x ＋1(x ∈R ，m 是正整数)．证明如下：Cm x＋Cm －1x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＋x x －1 x －2 … x －m ＋2m －1 ！＝x x －1 x －2 … x －m ＋2 m ！·(x ＋1)＝1m ！·(x ＋1)[(x ＋1)－1][(x ＋1)－2]…[(x ＋1)－m ＋1]＝C m x ＋1.(3)需要就x 与m 的大小做出逻辑划分并进行严密的论证． 当x ≥m 时，x ，m 都是正整数，C m n 就是组合数，结论显然成立；当0≤x <m 时，C m x＝x x －1 x －2 …0… x －m ＋1m ！＝0∈Z ，结论也成立； 当x <0时，C m x＝x x －1 x －2 … x －m ＋1m ！＝(－1)m 1m ！(－x ＋m －1)(－x ＋m －2)…(－x ＋1)(－x )＝(－1)m C m－x ＋m －1 ∵－x ＋m －1>0，∴C m －x ＋m －1是正整数，故C m x ＝(－1)m C m －x ＋m －1∈Z.综上所述，当x ∈Z ，m 是正整数时，C m x ∈Z.。

合用精选文件资料分享高考数学（理科）一复合情推理与演推理教课方案附答案教课方案 37 合情推理与演推理学目： 1. 认识合情推理的含，能利用和比等行的推理，认识合情推理在数学中的作用.2. 认识演推理的重要性，掌握演推理的基本模式，并能运用它行一些推理.3.认识合情推理和演推理之的系和差异．自主梳理自我1．(2010?山 ) 察 (x2) ′＝ 2x，(x4) ′＝ 4x3，(cos x) ′＝－ sin x，由推理可得：若定在 R上的函数 f(x)足 f( －x) ＝f(x) ，g(x) f(x)的函数， g( －x) 等于() A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－ g(x) 2．(2010?珠海 ) 出下边比推理命 ( 此中 Q有理数集， R数集， C复数集 ) ：①“若 a，b∈R， a－b＝0? a ＝b” 比推出“若 a，b∈C， a－b＝0? a＝b”；②“若 a，b，c，d∈R，复数 a＋bi ＝c＋di ? a＝ c，b＝d” 比推出“若 a，b，c，d∈Q， a＋b2＝c＋d2? a＝c，b＝d”；③“若 a，b∈R， a－ b>0? a>b” 比推出“若 a，b∈C， a－b>0? a>b”．此中比正确的个数是 () A ．0 B．1 C．2 D．3 3 ．(2009?江 ) 在平面上，若两个正三角形的比 1∶2，它的面比 1∶4，似地，在空中，若两个正四周体的棱比 1∶2，它的体比 ________． 4 ．(2010?西) 察以低等式： 13＋23＝32,13 ＋23＋33＝62,13 ＋23＋33＋43＝102，⋯，依据上述律，第五个等式． 5 ．(2011?州月考 ) 全部奇数都不可以被 2 整除， 2100＋1 是奇数，所以 2100＋1 不可以被 2 整除，其演推理的“三段”的形式．研究点一推理例 1 在数列 {an} 中，a1＝ 1，an＋1＝2an2＋an，n∈N*，猜想个数列的通公式，个猜想正确？明理由．式迁徙 1察：① sin210°＋cos240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin26 °＋ cos236°＋ sin 6 °cos 36 °＝ 34. 由上边两的构律，你能否提出一个猜想？并明你的猜想．研究点二比推理例 2 (2011?川月考 ) 在平面内，可以用面法明下边的：从三角形内部任意一点，向各引垂，其长度分别为 pa，pb，pc，且相应各边上的高分别为ha，hb，hc，则有 paha＋pbhb＋pchc＝1. 请你运用类比的方法将此结论推行到四周体中并证明你的结论．变式迁徙 2 在 Rt△ABC中，若∠ C＝90°， AC＝b，BC＝a，则△ ABC的外接圆半径 r ＝a2＋b22，将此结论类比到空间有．研究点三演绎推理例3在锐角三角形ABC中， AD⊥BC，BE⊥AC，D、E 是垂足．求证： AB的中点 M到 D、E的距离相等．变式迁徙 3指出对结论“已知 2 和 3 是无理数，证明2＋3 是无理数”的下述证明能否为“三段论”，证明有错误吗？证明：∵无理数与无理数的和是无理数，而 2 与 3 都是无理数，∴ 2＋ 3 也是无理数． 1 ．合情推理是指“符合情理”的推理，数学研究中，获取一个新结论以前，合情推理常常能帮助我们猜想和发现结论；证明一个数学结论以前，合情推理常常能为我们供给证明的思路和方向．合情推理的过程概括为：从详尽问题出发? D→观察、解析、比较、联想? D→概括、类比 ? D→提出猜想 . 一般来说，由合情推理所获取的结论，但是是一种猜想，其靠谱性还需进一步证明． 2 ．概括推理与类比推理都属合情推理：(1) 概括推理：由某类事物的部分对象拥有某些特色，推出该类事物的全部对象都拥有这些特色的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为概括推理．它是一种由部分到整体，由个别到一般的推理． (2)类比推理：由两类对象拥有某些近似特色和此中一类对象的某些已知特色，推出另一类对象也拥有这些特色的推理称为类比推理，它是一种由特别到特其余推理． 3 ．从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，把这类推理称为演绎推理，也就是由一般到特其余推理，三段论是演绎推理的一般模式，包含大前提，小前提，结论． ( 满分： 75 分)一、选择题 ( 每题 5 分，共 25 分) 1 ．(2011?福建厦门华侨中学模拟) 定义 A*B，B*C，C*D，D*A 的运算分别对应以以下图中的 (1) 、(2) 、(3) 、(4) ，那么以以下图中的 (A) 、(B) 所对应的运算结果可能是() A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 2．(2011?厦门模拟 )设 f(x) ＝1＋x1－x，又记 f1(x) ＝f(x) ，fk ＋1(x) ＝f(fk(x)) ，k＝1,2 ，⋯， f2 010(x)等于() A ．－ 1x B ．x C.x －1x＋＋x1－x 3．由代数式的乘法法比推向量的数目的运算法：①“ mn＝nm” 比获取“ a?b＝b?a”；②“ (m＋n)t ＝mt＋nt ” 比获取“ (a ＋b)?c ＝a?c＋b?c”；③“ (m?n)t＝m(n?t)” 比获取“(a?b)?c ＝a?(b?c) ”；④“ t ≠0，mt＝xt ? m＝x” 比获取“ p≠0，a?p＝x?p? a＝x”；⑤“ |m?n|＝|m|?|n|” 比获取“ |a?b|＝|a|?|b|”；⑥“ acbc＝ab” 比获取“ a?cb?c＝ab”．以上的式子中，比获取的正确的个数是() A ．1 B．2 C．3 D．4 4．(2009?湖北 ) 古希腊人常用小石子在沙上成各种形状来研究数，比方：他研究 (1) 中的 1,3,6,10 ，⋯，因为些数能表示成三角形，将其称三角形数；似的，称 (2) 中的 1,4,9,16 ，⋯的数正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是() A．289 B．1 024 C ．1 225 D ．1 378 5 ．已知整数的数如下： (1,1)，(1,2) ，(2,1) ，(1,3) ，(2,2) ，(3,1) ，(1,4)， (2,3)，(3,2)，(4,1) ，(1,5) ，(2,4) ，⋯第 60 个数是 ()A．(3,8) B．(4,7)C．(4,8) D．(5,7) 二、填空 ( 每小 4 分，共 12分) 6．已知正三角形内切的半径是高的 13，把个推行到空正四周体，似的是___________________________________________________________ _____________． 7 ．(2011?广深圳高中学模) 定一种运算“* ”：于自然数 n 足以下运算性： 8 ．(2011?西) 察以低等式 1 ＝1 2 ＋3＋4＝9 3 ＋4＋5＋6＋7＝25 4 ＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 ⋯照此律，第n 个等式．三、解答 ( 共 38 分) 9 ．（12 分）已知数列 {an} 的前 n 和 Sn，a1＝－23，且 Sn＋1Sn＋1＋2＝0(n ≥2) ．算 S1，S2，S3，S4，并猜想Sn 的表达式．10．(12 分)(2011? 杭州研 ) 已知函数 f(x) ＝－ aax＋a (a>0 且 a≠1) ，(1)明：函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称； (2) 求 f( －2)＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) 的． 11 ．(14 分) 如 1，若射 OM，ON上分存在点 M1，M2与点 N1，N2，＝OM1OM2?ON1ON2；如2，若不在同一平面内的射 OP，OQ和 OR上分存在点 P1，P2，点 Q1，Q2和点 R1，R2，似的是什么？个正确？明原由．教课方案37合情推理与演推理自主梳理推理全部象部分个比推理些特色特别到特别①一般原理②特别状况③特别状况一般特别自我 1 ．D[ 由所函数及其数知，偶函数的函数奇函数．所以当f(x)是偶函数，其函数奇函数，故 g( －x) ＝－ g(x) ．] 2．C[ ①②正确，③ ．因两个复数假如不全部是数，不可以比大小．] 3．1∶8 解析∵两个正三角形是相似的三角形，∴它的面之比是相似比的平方．同理，两个正四周体是两个相似几何体，体之比相似比的立方，所以它的体比 1∶8. 4 ．13＋23＋ 33＋43＋53＋63＝212 解析由前三个式子可以得出以下律：每个式子等号的左是从 1 开始的正整数的立方和，且个数挨次多 1，等号的右是一个正整数的平方，后一个正整数挨次比前一个大 3,4 ，⋯，所以，第五个等式13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 5．全部奇数都不可以被 2 整除大前提2100 ＋1 是奇数小前提所以 2100＋1 不可以被 2 整除堂活区例 1 解引分完满和不完满，由推理所得的然未必是靠谱的，但它由特别到一般、由详尽到抽象的功能，科学的是十分合用的，察、，有限的料作整理，提出律性的法是科学研究的最基本的方法之一．解在{an} 中， a1＝1，a2＝2a12＋a1＝23， a3 ＝2a22＋a2＝12＝24，a4＝2a32＋a3＝25，⋯，所以猜想 {an} 的通公式 an＝2n＋1. 个猜想是正确的，明以下：因 a1＝1，an＋1＝2an2＋a n，所以 1an＋1＝2＋an2an＝1an＋12，即 1an＋1－1an＝12，所以数列 1an 是以 1a1＝1 首， 12 公差的等差数列，所以 1an＝1＋(n －1) ×12＝ 12n＋12，所以通公式 an＝2n＋1. 式迁徙 1解猜想 sin2 α＋cos2( α＋30°) ＋ sin αcos( α＋30°) ＝ 34. 明以下：左＝ sin2 α＋cos( α＋30°)[cos( α＋30°) ＋ sin α] ＝sin2 α＋32cos α －12sin α32cos α＋12sin α＝sin2 α＋34cos2α－14sin2 α＝34＝右侧．例 2 解题导引类比推理是依据两个对象有一部分属性近似，推出这两个对象的其余属性亦近似的一种推理方法，比方我们拿分式同分数来类比，平面几何与立体几何中的某些对象类比等等．我们必然清楚类比其实不是论证，它可以帮助我们发现真谛．类比推理应从详尽问题出发，经过观察、解析、联想进行比较、概括、提出猜想．解类比：从四周体内部任意一点向各面引垂线，其长度分别为 pa，pb，pc，pd，且相应各面上的高分别为 ha，hb，hc，hd. 则有 paha＋pbhb＋pchc＋pdhd＝1. 证明以下：paha＝13S△BCD?pa13S△BCD?ha＝VP―BCDVA―BCD，同理有 pbhb＝VP―CDAVB―CDA， pchc＝VP―BDAVC―BDA， pdhd＝VP―ABCVD―ABC，VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABC＝VA―BCD，∴paha＋ pbhb＋pchc＋pdhd ＝VP―BCD＋VP―CDA＋VP―BDA＋VP―ABCVA―BCD＝ 1.变式迁徙 2 在三棱锥 A―BCD中，若 AB、AC、AD两两相互垂直，且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此三棱锥的外接球半径 R＝a2＋b2＋c22 例3解题导引在演绎推理中，只有前提( 大前提、小前提) 和推理形式都是正确的，结论才是正确的，不然所得的结论可能就是错误的．推理时，要清楚大前提、小前说起两者之间的逻辑关系．证明(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，――大前提在△ ABD 中，AD⊥BC，即∠ ADB＝90°，――小前提所以△ ADB是直角三角形．――结论 (2) 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，――大前提而 M是 Rt△ADB斜边 AB的中点， DM是斜边上的中线，――小前提所以 DM＝12AB.――结论同理 EM＝12AB，所以 DM＝E M. 变式迁徙 3 解证明是“三段论”模式，证明有错误．证明中大前提使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不用然是无理数，所以原理的真实性仍没法判断．课后练习区1．B[ 由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□， C表示―， D表示○，故图 (A)(B) 表示 B*D 和 A*C.] 2．A [ 计算 f2(x) ＝f1 ＋x1－x＝1＋1＋x1－x1－1＋x1－x＝－ 1x， f3(x) ＝f－1x＝1－1x1＋1x＝x－1x＋1， f4(x) ＝1＋x－1x＋11－x－1x＋1＝x，f5(x) ＝f1(x) ＝1＋x1－x，概括得 f4k ＋i(x) ＝fi(x) ，k∈N*， i ＝1,2,3,4. ∴f2 010(x) ＝ f2(x) ＝－ 1x.] 3 ．B [ 只有①、②对，其余，故 B.] 4 ．C [ (1) 中数列 1,3,6,10 ，⋯的通公式 an， a2 －a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，⋯， an－an－1＝n. 故 an－a1＝2＋3＋4＋⋯＋ n，∴an＝＋而 (2) 中数列的通公式 bn ＝n2，所以所的中只有 1 225 足 a49＝49×502＝ b35＝352＝1 225.] 5．D [ 察可知横坐和坐之和2 的数有 1 个，和3 的数有 2 个，和4 的数有 3 个，和5 的数有 4个，挨次推和 n＋1 的数有 n 个，多个数的排序是依据横坐挨次增大的序来排的，由＋＝60? n(n ＋1) ＝120，n∈Z， n＝10 ，＋＝55 个数，差 5 个数，且 5 个数的横、坐之和 12，它挨次是 (1,11) ，(2,10)，(3,9)，(4,8) ，(5,7) ，∴第 60 个数是 (5,7) ．] 6 ．空正四周体的内切球的半径是高的 14 解析利用体切割可明． 7 ．n 8．n ＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n －2) ＝(2n －1)2解析∵1＝12,2 ＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52，∴第 n 个等式 n＋(n ＋1) ＋⋯＋ (3n－2)＝(2n －1)2. 9．解当 n＝1 ，S1＝a1＝－ 23.(2 分) 当 n＝2， 1S2＝－ 2－S1＝－ 43，∴S2＝－ 34.(4 分)当n＝3，1S3＝－2－S2＝－ 54，∴S3＝－ 45.(6 分) 当 n＝4 ， 1S4＝－ 2－S3＝－65，∴S4＝－ 56.(8 分) 猜想：Sn＝－ n＋1n＋2 (n ∈N*) ．(12 分) 10．(1) 明函数f(x)的定域R，任取一点(x，y)，它关于点12，－ 12 称的点的坐 (1 －x，－ 1－y) ．(2 分) 由已知得 y＝－a ax＋a，－ 1－y＝－ 1＋aax＋a＝－ axax＋a，(4 分) f(1 －x)＝－ aa1－x＋a＝－ aaax＋a ＝－ a?axa＋a?ax＝－ axax＋a，∴－ 1－y＝f(1 －x) ．即函数 y＝f(x) 的象关于点 12，－12 称．(6 分)(2) 解由(1) 有－ 1－f(x) ＝f(1 －x) ，即 f(x) ＋f(1 －x) ＝－ 1.(9分) ∴f( － 2) ＋f(3) ＝－ 1，f( －1) ＋f(2) ＝－ 1， f(0)＋f(1)＝－1，f( －2) ＋f( －1) ＋f(0) ＋f(1) ＋f(2) ＋f(3) ＝－ 3. (12 分) 11．解似的： VO―P1Q1R1VO―P2Q2R2＝OP1OP2?OQ1OQ2?OR1OR2(4.分) 个是正确的，明以下：如， R2 作 R2M2⊥平面 P2OQ2于 M2，接 OM2. R1在平面 OR2M2作 R1M1∥R2M2交 OM2于 M1，R1M1⊥平面 P2OQ2. 由 VO―P1Q1R1＝13S△P1OQ1?R1M1＝13?12OP1?OQ1?sin∠P1OQ1?R1M1＝16OP1?OQ1?R1M1?sin∠P1OQ1，(8分) 同理， VO―P2Q2R2＝16OP2?OQ2?R2M2?sin∠P2OQ2. 所以＝OP1?OQ1?R1M1OP2?OQ2?R2M2分.(10)由平面几何知识可得R1M1R2M2＝O R1OR2.(12分) 所以＝OP1?OQ1?OR1OP2?OQ2?OR2所以.结论正确． (14 分)。

高考数学一轮复习学案：13.1 合情推理与演绎推理（含答案）13.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理最新考纲考情考向分析1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2.了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.以理解类比推理.归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中.高档题.1合情推理1归纳推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理简称归纳特点由部分到整体.由个别到一般的推理2类比推理定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理简称类比特点由特殊到特殊的推理3合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察.分析.比较.联想，再进行归纳.类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理2演绎推理1演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理2“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确2由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理3在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适4“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的5一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是annnN*6在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确题组二教材改编2P71例1已知在数列an中，a11，当n2时，anan12n1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是Aan3n1Ban4n3Cann2Dan3n1答案C解析a2a134，a3a259，a4a3716，a112，a222，a332，a442，猜想ann2.3P84A组T5在等差数列an中，若a100，则有a1a2ana1a2a19nnafbbfa，试证明fx为R上的单调增函数证明设x1，x2R，取x1x1fx2x2fx1，x1fx1fx2x2fx2fx10，fx2fx1x2x10，x10，fx2fx1yfx为R上的单调增函数高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择.填空题，难度为中档解决此类问题的注意事项与常用方法1解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳2解决类比推理问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题典例1传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数将三角形数1,3,6,10，记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测b2018是数列an的第________项；b2k1________.用k表示2设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yfx满足Tfx|xS；对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有fx1fx2那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是________AN*，BN；Ax|1x3，Bx|x8或0x10；Ax|0x1，BR；AZ，BQ.解析1an12nnn12，b1452a4，b2562a5，b39252a9，b425112a10，b514352a14，b635162a15，b201820182520182512a5045.由知b2k12k112512k112525k5k12.2对于，取fxx1，xN*，所以AN*，BN是“保序同构”的，故排除；对于，取fx8，x1，x1，1x0，x21，0x3，所以Ax|1x3，Bx|x8或0x10是“保序同构”的，故排除；对于，取fxtanx20x1，所以Ax|0x1，BR是“保序同构”的，故排除.不符合，故填.答案150455k5k122。

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题1. 【2014湖北八校联考数学】对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 满足1，且对任意*n ∈N ，点),(1+n n x x 都在函数y f x =的图象上，则123420132014x x x x x x ++++++的值为A ．7549B ．7545C ．7539D ．7535 【答案】A【解析】由已知表格列出点1(,)n n x x +，(1,3),(3,5),(5,6),(6,1),(1,3),，即1231,3,5,x x x === 456,1,x x ==，数列{}n x 是周期数列，周期为4，201445032=⨯+，所以122014x x x +++=503(1356)137549⨯+++++=．2.【2014成都新津中学】观察下列等式，332123+=，33321236++=，33332123410+++=根据上述规律，333333123456+++++= （ ）A ．219 B ．220 C ．221 D ．222 【答案】C3.【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期期中联合考试数学（理）科试卷】定义在实数集R 上的函数()x f y =的图像是连续不断的，若对任意的实数x ，存在常数t 使得()()x tf x t f -=+恒成立，则称()x f 是一个“关于t 函数”，下列“关于t 函数”的结论正确的是（ ）A ．()2=x f 不是 “关于t 函数”B ．()x x f =是一个“关于t 函数”C ．“关于21函数”至少有一个零点 D ．()x x f πsin =不是一个“关于t 函数” 【答案】C. 【解析】二、填空题4.【2015高考山东，理11】观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= .【答案】14n -【解析】因为第一个等式右端为：01144-= ；第二个等式右端为：12144-= ；第三个等式右端为：23144-= 由归纳推理得：第n 个等式为：01211212121214n n n n n n C C C C ------++++= 所以答案应填：14n -5. 【2017北京模拟】小明在学校组织了一次访谈，全体受访者中，有6人是学生，4人是初中生，2人是教师；5人是乒乓球爱好者，2人是篮球爱好者.根据以上信息可推知，此次访谈中受访者最少有_____人；最多 有______人. 【答案】8 15 【解析】试题分析：由题意得当乒乓球爱好者和篮球爱好者均和老师与学生重复的好，最少有826=+人，当所有人都不重复时，人数最多为152526=+++人，故答案为15,8. 6.【改编题】观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，…，根据以上式子可以猜想2221111232014++++< . 【答案】40272014【解析】据已知，猜想式子的分母是2014，分子是2201414027⨯-=，故应填入40272014． 7. 【2017山西怀仁模拟】观察下图：则第 行的各数之和等于22017． 【答案】1009 【解析】8. 【2017辽宁实验中学】36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯,所以36的所有正约数之和为()()()()()2222221332232322++++⨯+⨯++⨯,参照上述方法,可求得100的所有正约数之和为 ． 【答案】217 【解析】试题分析：2210025=⋅，故正约数之和为()()22122155217++++=.9. 【改编题】如图，圆周上按顺时针方向标有1，2，3，4，5五个点. 一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一个点，若它停在奇数点上，则下次只能跳一个点；若停在偶数点上，则跳两个点. 该青蛙从“5”这点起跳，经2 014次跳后它停在的点对应的数字是 .【答案】2【解析】 由题意得：该青蛙从“5”这点起跳，停在的点对应的数字依次为1,2,4,1,2,4，因此经2 014次跳后它停在的点对应的数字是2.10. 【原创题】在平面几何里，有：“若ABC ∆的三边长分别为,,,c b a 内切圆半径为r ，则三角形面积为r c b a S ABC )(21++=∆”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体BCD A -的四个面的面积分别为,,,,4321S S S S 内切球的半径为r ，则四面体的体积为 ”··· · ·312 45【答案】12341()3A BCD V S S S S r -=+++11. 【2017湖南模拟】小明家的桌子上有编号分别为①②③的三个盒子,已知这三个盒子中只有一个盒子里有硬币：①号盒子上写有：硬币在这个盒子里； ②号盒子上写有：硬币不在这个盒子里； ③号盒子上写有：硬币不在①号盒子里.若这三个论断中有且只有一个为真,则硬币所在盒子的编号为 ． 【答案】② 【解析】试题分析：由三段论的知识可知当①是正确的话,这与③矛盾.若③是正确的,则与①矛盾,故应填②.12.【2017湖南模拟】如图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：()()()111222666,,,,,,A x y A x y A x y ⋅⋅⋅的横、纵坐标分别对应数列{}()*n a n N ∈的前12项，（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），如下表所示：按如此规律下去，则15a =______，2016a =______．【答案】4-、1008 【解析】13. 【陕西省五校（长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学）2014届第三次模拟考试】观察下列等式：12133+=；781011123333+++=；16171920222339333333+++++=；…… 则当n m <且,m n N ∈时，313232313333n n m m ++--++⋅⋅⋅++= .（最后结果用,m n 表示）【答案】22m n -【解析】等式规律为： 711810162317221920,,3333333333+=++=+=+项数为2(),m n -所以22313232313131()().333333n n m m n m m n m n ++--+-++++=-+=- 三、解答题14. （2016山东理16（1））在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A+=+ 求证： 2a b c +=；16. （2016浙江文16（1））在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos b c a B +=． 证明：2A B =；【解析】（1）由正弦定理得sin +sin 2sin cos B C A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是s i n s i n (B A B =-.又(),0,πA B ∈，故0πA B <-<，所以π()B A B =--或B A B =-，因此πA =（舍去）或2A B =，所以2.A B =。