高等数学 D1_6极限存在准则

极限存在准则及两个重要极限极限存在准则是数学分析中用来证明函数极限存在的重要工具。

它可以帮助我们判断函数是否有极限，并且有助于我们进行更深入的研究。

极限存在准则有许多种形式，而我们在这里将着重讨论两个重要的形式。

它们分别是Cauchy收敛准则和单调有界准则。

1. Cauchy收敛准则：Cauchy收敛准则是在实数集上定义的，它陈述了一个数列收敛的充要条件。

具体来说，对于给定的一个数列{an}，如果对于任意的正数ε，存在一个正整数N，使得当n、m大于等于N时，|an - am| < ε成立，则数列{an}收敛。

Cauchy收敛准则的证明基于一个重要的数学定理，即实数集的完备性。

根据这个定理，如果一个数列满足Cauchy收敛准则，那么它一定收敛到一个实数。

2.单调有界准则：单调有界准则是在实数集上定义的，它陈述了一个单调数列有界的充要条件。

具体来说，对于给定的一个单调数列{an}，如果它是递增有上界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≤M），或者是递减有下界的（即存在一个实数M，使得对于所有的n，an≥M），则数列{an}收敛。

单调有界准则的证明也是基于实数集的完备性。

根据这个准则，如果一个单调数列满足单调有界准则，那么它一定收敛到一个实数。

这两个极限存在准则在数学分析中非常重要，提供了一种判断函数极限存在的方法。

通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。

值得一提的是，这两个准则只适用于实数集，而在实际的数学研究中，我们还会涉及到复数集和一些其他更一般的情况。

在这些情况下，我们需要使用更为复杂的准则和方法来判断函数极限的存在性。

总结起来，极限存在准则是数学分析中用来判断函数极限存在的重要工具。

Cauchy收敛准则和单调有界准则是其中两个重要的形式。

通过应用这些准则，我们可以更方便地判断函数是否有极限，并对函数的性质进行更深入的研究。

准则1：若数列}{n x 、}{n y 、}{n z 满足以下条件：（i ） N n ∈∃0，当0n n >时，有n n n z y x ≤≤； （ii ）a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

那么数列}{n x 极限存在，且a x n n =∞→lim 。

证明：因为a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，所以对0,01>∃>∀N ε，当1N n >时，有ε<-a y n ，即εε+<<-a y a n ，对2N ∃，当2N n >时，有ε<-a z n ，即εε+<<-a z a n ，又因为n n n z x y ≤≤，所以当},{21N N Max N n =>时，有εε+<≤≤<-a z x y a n n n ，即有：εε+<<-a x a n ，即ε<-a x n ，所以 a x n n =∞→lim 。

准则1′如果函数)(),(),(x h x g x f 满足下列条件：（i ）当))(,(0M x r x U x >∈∧时，有)()()(x h x f x g ≤≤。

（ii ）当)(0∞→→x x x 时，有A x h A x g →→)(,)(。

那么当)(0∞→→x x x 时，)(x f 的极限存在，且等于A 。

第一个重要极限：1sin lim0=→xxx作为准则I ′的应用，下面将证明第一个重要极限：1sin lim 0=→xxx 。

证明：作单位圆，如下图： 设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AOD AOB AOB S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<， （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向，若02<<-x π，不等式也成立）当x 改变符号时，x x x sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切 x ，有1si n co s <<x xx 。