2023-2024-1麓山共同体高二12月学情检测试卷高二年级数学试卷（答案在最后）命题人：易畅审题人：张景鑫总分：150分时量：120分钟一､单项选择题（共8个小题，每题5分，共40分）1.直线10y --=的倾斜角为（）A .30B.60C.120D.150【答案】B 【解析】【分析】首先将直线方程化为斜截式，即可求出斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】直线l 10y --=，即1y =-，所以直线的斜率k =α，则tan α=，因为0180α≤< ，所以60α= .故选：B.2.已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5的值为（）A.10B.15C.20D.40【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的性质求出a 6+a 5=22即得解.【详解】解：在等差数列{a n }中，由题得a 3+a 8=a 6+a 5=22，又a 6=7，所以a 5=15.故选：B3.用01234､､､､这五个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（）A.18 B.24C.30D.48【答案】D 【解析】【分析】根据分步乘法计数原理计算即可.【详解】由题意可知，首位数字有4种选择，则中间的数位有4种选择，末尾数字有3种选择.由分步乘法计数原理可知，可以组成没有重复数字的三位数的个数44348⨯⨯=.故选:D .4.若函数()2ln f x x x bx =+-在[)1,+∞上单调递增，则b 的最大值是（）A.3B. C.2D.【答案】A 【解析】【分析】函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，等价为()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立，通过构造函数，利用导数求最值解决恒成立问题.【详解】函数()2ln f x x x bx =+-在[)1,+∞上单调递增，等价为()120f x x b x'=+-≥在[)1,+∞上恒成立，即12b x x≤+在[)1,+∞上恒成立，令()12,1g x x x x =+≥，则()22212120x g x x x-'=-=>在[)1,+∞上恒成立，故()g x 在[)1,+∞上单调递增，则()()13g x g ≥=，故3b ≤，则b 的最大值是3.故选：A.5.已知过点()1,1M 的直线l 与椭圆22184x y+=交于,A B 两点，且满足,AM BM =则直线l 的方程为（）A.30x y -+=B.230x y +-= C.2230x y -+= D.230x y +-=【答案】D 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，根据AM BM =，即点M 为AB 中点，由22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，利用点差法求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，直线l 斜率为k ，则有22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①-②得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，因为AM BM =，所以点M 为AB 中点，则12122,2x x y y +=+=，1212042x x y y --+=，即121212y y k x x -==--，所以直线l 的方程为()1112y x -=--，整理得230x y +-=故选：D6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e xf x ->的解集为（）A.()3,+∞ B.()1,+∞ C.(),3-∞ D.(),1-∞【答案】A 【解析】【分析】构造()()e xF x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于()()3F x F >即可得解.【详解】设()()e xF x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，∴()F x 在R 上单调递增.又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.∵()33exf x ->等价于()3e 3e xf x ⋅>，即()()3F x F >，∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞.故选：A.7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n =+，若11n n n b a a +=⋅，则数列{}n b 的前10项和10T =（）A.27B.1342C.13 D.514【答案】B 【解析】【分析】根据n a 与n S 的关系式得到通项公式，进而求出11n n n b a a +=⋅的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】当1n =时，11112a S ==+=，当2n ≥，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，2112n -=≠，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，所以11,161111,222121n n n n b a a n n n +⎧=⎪⎪==⎨⋅⎛⎫⎪-≥ ⎪⎪-+⎝⎭⎩，则101111111113623557192142T ⎛⎫=+-+-++-= ⎪⎝⎭ .故选：B8.已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左，右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且112MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.34B.23C.53D.74【答案】C 【解析】【分析】设1NF n =，结合椭圆的定义，在2Rt MNF △中利用勾股定理求得3an =，12Rt MF F △中利用勾股定理求得223620c a =，可求椭圆C 的离心率.【详解】连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，在2Rt MNF △中22222N M MF NF +=，即()()()2223222n a n a n +-=-，22222948444n a an n a an n ∴+-+=-+，2124n an ∴=，3an =，123a MF ∴=，243a MF =，在12Rt MF F △中，2221212MF MF F F +=，即222416499a a c =+，223620c a ∴=，2205369e ==，又()0,1e ∈ ，53e ∴=.故选：C.二､多项选择题（共4个小题，每题5分，共20分，部分选对得2分，错选得0分）9.下列说法正确的是（）A.点()0,2到直线1y x =+的距离为22B.若两直线平行，则它们的斜率一定相等C.直线240x y -+=与两坐标轴围成的三角形的面积是4D.经过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为40x y +-=【答案】AC 【解析】【分析】计算点到直线距离验证A 选项；直线斜率可能不存在判断B 选项；计算直线与两坐标轴围成的三角形面积验证C 选项；在x 轴和y 轴上截距都相等的直线分过原点和不过原点两种情况，计算后验证D 选项.【详解】对于A ，点()0,2到直线1y x =+的距离为021222d -+==，故A 选项正确；对于B ，当两条平行直线与x 轴垂直时，直线的斜率不存在，故B 选项错误；对于C ，令0x =，则2y =；令0y =，则4x =；则直线240x y -+=与两坐标轴的交点为()4,0A -和()0,2B ，与两坐标轴围成的三角形面积14242AOB S =⨯⨯=△，故C 选项正确；对于D ，直线过原点时，过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为y x =，直线不过原点时，过点()2,2且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程的斜率为1-，则直线方程为()22y x -=--，即40x y +-=，故D 选项错误.故选：AC10.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（）A.准线l 的方程为=1x -B.若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB =C.若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D.延长PF 交抛物线C 于点M ，若4||3PF =，则16||3PM =【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线标准方程结合抛物线的性质，即可求焦点坐标、准线方程、焦点弦长、抛物线上的点到焦点和定点距离之和的最小值等.【详解】因为抛物线C 的方程为24y x =，所以2p =，所以准线l 的方程为12px =-=-，A 正确；由题意可知焦点弦长12||628AB x x p =++=+=，B 错误；由抛物线C 上的点到焦点F 与到准线的距离相等可知||||||||PE PF PQ PE +=+，所以当Q ，P ，E 三点共线时，||||PE PF +取得最小值，即为点E 到准线的距离，所以最小值为3，C 正确；如图所示，不妨设P 在第一象限，过P 作PH x ⊥轴于点H ，过M 作MN x ⊥轴于点N ，过M 作准线的垂线，垂足为D ，设准线与x 轴的交点为G ，则42||||,||2,||33PF PQ FG FH ====，||||,||||||||2FM MD FN DM FG FM ==-=-，易知PHF MNF △△∽，则有||||||||PF HF MF FN =，即4233||||2MF MF =-，解得||4MF =，则16||||||3MP MF PF =+=，D 正确，故选：ACD.11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n 层有n a 个球，从上往下n 层球的总数为n S ，则（）A.535S = B.1n n na a +-=C.(1)2n n n a +=D.1231001111200101a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件求得1n n n a a +-=，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意可知11n n a a n +-=+，11n n a a n +=++，B 选项错误.123451,123,336,6410,10515a a a a a ==+==+==+==+=，5136101535S =++++=，A 正确.()111,2n n n n a a n n a n a +--=-=+≥，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()11212n n n n +=+-+++=，C 正确.11121n a n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，121001111111121223100101a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 120021101101⎛⎫=-=⎪⎝⎭.D 选项正确.故选：ACD12.已知()()e 211x x f x x -=-，则下列结论正确的是（）A.不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭B.函数()f x 在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增C.函数()f x 在定义域上有且仅有一个零点D.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]3,1,2-∞+⎪∞⎡⎫⎢⎣⎭【答案】AC 【解析】【分析】解分式不等式验证选项A ；利用导数求函数单调区间验证选项B ；解方程得函数的零点验证选项C ；通过函数值域求实数m 的取值范围验证选项D.【详解】对于A ，由()()e 2101x x f x x -=<-，得()()e 2110xx x --<，因为e 0x >，所以()()2110x x --<，解得112x <<，所以不等式()0f x <的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以A 正确；对于B ，()f x 的定义域为{}1x x ≠，由()()e 211x x f x x -=-，得()()()()2221212321e e e 1(1)(1)x x x x x x x x f x x x x --'---=⋅+⋅=⋅---，令()0f x ¢>，得0x <或32x >，令()0f x '<，得01x <<或312x <<，所以()f x 在(),0∞-和3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，在()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以B 错误；对于C ，令()()e 2101x x f x x -==-，得12x =，所以()f x 在定义域内有且只有一个零点，所以C 正确；对于D ，由选项B 可知()f x 在(),0∞-和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，在()0,1和31,2⎛⎫⎪⎝⎭上递减，因()32301,4e 2f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且当x 从1的左侧趋近于1时，()f x →-∞，当x 从1的右侧趋近于1时，()f x →+∞，所以()f x 的值域为(]32,14e ,∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭，所以若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的取值范围是(]32,14e ,∞∞⎡⎫-⋃+⎪⎢⎣⎭，所以D 错误.故选：AC三､填空题（共4个小题，每题5分，共20分）13.已知空间向量(2,1,3)a =- ，(4,2,)b x =- ，且a 与b是共线向量，则实数x 的值为_______．【答案】6-【解析】【分析】根据向量共线得到a b λ=，列出方程组，求出答案.【详解】设a b λ= ，则24123x λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得：126x λ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.故答案为：-614.已知各项都为正数的等比数列{}n a ，若81210514a a a += ，则212223219log log log log a a a a +++⋯+=_______．【答案】19【解析】【分析】由各项都为正数的等比数列{}n a ，81210514a a a += ，解得102a =，再由19212223219210log log log log a a a a log a +++⋯+=，能求出结果．【详解】解： 各项都为正数的等比数列{}n a ，81210514a a a += ，∴210101051400a a a ⎧+-=⎨>⎩，解得102a =，212223219log log log log a a a a ∴+++⋯+212319log ()a a a a =⨯⨯⨯⋯⨯19210log a =1922log =19=．故答案为：19．【点睛】本题考查对数值的求法，考查等比数列的性质、对数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15.已知椭圆1C 与双曲线2C 有共同的焦点12F F ､，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 在第一象限的交点，且12π3F PF ∠=，则1211e e +的最大值为___________.【答案】433【解析】【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得2221234a a c +=，设122cos ,sin 3a c a θθ==⋅，利用三角换元求出1211e e +的最大值即可.【详解】设椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>，双曲线()222222222:1,0x y C a b a b -=>，且设12,PF m PF n ==，由椭圆的定义得12m n a +=①，由双曲线的定义得22m n a -=②，22+①②得，()2222122m n a a +=+，22-①②得，2212mn a a =-，由余弦定理可得22212(2)2cos c m n mn F PF ∠=+-，所以2221234a a c +=③，设12232cos ,sin 3a c a θθ==⋅，所以121211π2cos sin 333a a e e c c θθθ⎛⎫+=+=+=+ ⎪⎝⎭，当()ππ2π32k k θ+=+∈Z 即π2π6k θ=+时，1211e e +取最大值为3.故答案为：3.16.若函数3e 3()ln x f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭只有一个极值点，则a 的取值范围是___________.【答案】32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪【解析】【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合2e xy x=的图像性质即可求得a 的取值范围.【详解】因为()3e 3()ln 0x f x a x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()()4222333e e xx x x x f x a a x x x x -⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭'，因为()f x 只有一个极值点，所以若3是极值点，因为23e 2e x x x x x '⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当02x <<时，3e 0x x '⎛⎫< ⎪⎝⎭，当2x >时，3e 0x x '⎛⎫> ⎪⎝⎭，则2e x y x =在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故2222e e e 24x y x =≥=，则2e xa x ≤，所以22mine e 4x a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭；当x 趋向于0时，e x 趋向于1，2x 趋向于0，则2exx趋向于正无穷，当x 趋向正无穷时，e x 趋向正无穷的速率远远大于2x 趋向正无穷的速率，则2ex x趋向于正无穷，若3不是极值点，则3是2e 0x a x -=即2e xa x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；当3e 9a =时，()()3223e e 9x x f x x x-⎛⎫=- ⎪⎝⎭'，令()0f x '<，解得0x m <<；令()0f x ¢>，解得x >m ；所以()f x 在()0,m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意，综上：2e 4a ≤或3e 9a =，即32e e 9,4a 纟禳镲çúÎ-¥睚çú镲棼铪.故答案为：32e e ,49 纟禳镲çú-¥睚çú镲棼铪.四､解答题（本大题共6小题，共70.0分.第17题10分，其余各题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3440x y ++=与圆C 相切.（1）求圆C 的标准方程.（2）求直线l ：220x y -+=与圆C 相交的弦长.【答案】（1）22(2)4x y -+=；（2）5.【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，应用点线距离公式求圆心坐标，写出圆C 的标准方程.（2）根据相交弦、弦心距、半径之间的几何关系求弦长即可.【详解】（1）令圆心为(,0)x 且0x >，∴由圆与3440x y ++=相切，有|34|25x +=，即可得2x =.∴圆C 的标准方程为22(2)4x y -+=.（2）由（1）知：C (2,0)，2r =，∴C 到直线220x y -+=的距离为d =∴直线l 与圆C 相交的弦长为25=⨯.18.已知函数32()61()f x x ax x a =+-+∈R ，且(1)6f '=-．（1）求函数()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()g x f x m =-在区间[2,4]-上有三个零点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）12210x y +-=（2）912m -≤<【解析】【分析】（1）利用(1)6f '=-可构造方程求得a 的值，结合11(1)2f =-可求得切线方程；（2）利用导数可求得函数()f x 的单调性，结合区间端点值和极值可求得()f x 在区间[2,4]-上取值情况，进而求出实数m 的取值范围．【小问1详解】∵2()326f x x ax +'=-，∴(1)236f a '=-=-，解得：32a =-，∴323()612f x x x x =--+，则311(1)16122f =--+=-，∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：116(1)2y x +=--，即12210x y +-=．【小问2详解】由（1）知：323()612f x x x x =--+，则2()3363(2)(1)f x x x x x '=--=-+，∴当[2,1)(2,4]x ∈--⋃时，()0f x '>；当(1,2)x ∈-时，()0f x '<；∴()f x 在[2,1)--，(2,4]上单调递增，在(1,2)-上单调递减，又(2)1f -=-，9(1)2f -=，(2)9f =-，(4)17f =，∴max ()17f x =，min ()9f x =-，由()()0g x f x m =-=，有()m f x =，即函数y m =与()y f x =的图像有三个交点，则有实数m 的取值范围为912m -≤<．19.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1111,2AA A B AB ===，160,ABC AA ∠=⊥ 平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M 平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为1?3若存在，求线段CE 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；12CE =-【解析】【分析】（1）连接1B A ，可得四边形11AB C M 是平行四边形，或11MC AB =，从而11C M B A ∥，可证得1C M 平面11AA B B ；（2）取BC 中点Q ，连接AQ ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，假设点E 存在，设点E 的坐标为),0,11λλ-≤≤，可得平面1AD E 的一个法向量(,n λ=，平面1ADD 的一个法向量为)AQ =，由二面角1E AD D --的余弦值为13，可得λ的值，可得CE 的长．【小问1详解】方法一：连接1B A ，由已知得，11B C BC AD ∥∥，且1112B C AM BC ==，所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11C M B A ∥，又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11AA B B ，所以1C M 平面11AA B B ．方法二：连接11,B A MD ，由已知得11AA MD ∥，且11AA MD =，11111111MC MD D C AA A B AB =+=+=，即11C M B A ∥，又1C M ⊄平面111,AA B B B A ⊂平面11,AA B B 所以1C M 平面11.AA B B 【小问2详解】取BC 中点Q ，连接AQ ，由题易得ABC 是正三角形，所以AQ BC ⊥，即AQ AD ⊥，由于1AA ⊥平面ABCD ，分别以1,,AQ AD AA 为,,x y z轴，建立如图空间直角坐标系，()()())110,0,0,0,0,1,0,1,1,A A D Q，假设点E 存在，设点E的坐标为),0,11λλ-≤≤，)()1,0,0,1,1AE AD λ==，设平面1AD E 的法向量(),,n x y z =r ，则10n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00y y z λ+=+=⎪⎩，可取(,n λ= ，又平面1ADD的法向量为)AQ =，所以1cos ,3AQ n AQ n AQ n ===⋅，解得：2λ=±，由于二面角1E AD D --为锐角，则点E 在线段QC上，所以2λ=，即12CE =-．故BC 上存在点E，当12CE =-时，二面角1E AD D --的余弦值为13．20.已知数列{}n a 满足*111,32,N n n a a a n +==+∈，数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 的前n 项和.（1）证明数列{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<.【答案】（1）证明见解析，1231n n a -=⋅-（2）11525443n n n T -+=-⋅，证明见解析【解析】【分析】（1）由132n n a a +=+，有1131n n a a ++=+，可得数列{}1n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）由n S 和n b 的关系得数列{}n b 的递推公式，累加法求出{}n b 的通项，得数列{}n c 的通项，错位相减法求n T ，并确定范围.【小问1详解】由132n n a a +=+，可得()1131n n a a ++=+，即1131n n a a ++=+，又112a +=，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为3的等比数列，则有1123n n a -+=⋅，可得数列{}n a 的通项公式为1231n n a -=⋅-；【小问2详解】由11n n n S n S b n +-=+++，有121n n n S S b n +-=++，即121n n b b n +-=+，则当2n ≥时，有：()()()()()112211212331n n n n n b b b b b b b b n n ---=-+-++-+=-+-+++ ()22112n nn -+==，1n =时11b =也满足，所以数列{}n b 的通项公式为2.n b n =得()21121233nn n n n n c n --++==⋅，则01221234133333n n n n n T --+=+++++ ①，0013223341333333n n n n n T --⨯+=+++++ ②，②-①得：122111111111115253261613333322313n n n n n n n n n T ------+++⎛⎫=+++++-=+-=- ⎪⋅⎝⎭- ，解得11525443n n n T -+=-⋅，由*N n ∈，125043n n -+>⋅，所以154nT <，又0n c >所以{}n T 递增，所以111152152443n T T -⨯+≥=-=⋅，因此，1524n T ≤<.21.已知焦点在x 轴上的椭圆C ：222210)x ya b a b+=>>（，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，已知点2(,0)3P ，点A 是椭圆的右顶点，直线l 与椭圆C 交于不同的两点,E F ，,E F 两点都在x 轴上方，且APE OPF ∠=∠．证明直线l 过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，(6,0).【解析】【分析】（1）利用已知和,,a b c 的关系，列方程组可得椭圆C 的标准方程；（2）直线l 斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，APE OPF ∠=∠可得0PE PF k k +=，利用根与系数的关系代入化简，可得直线l 所过定点．【详解】（1）由22221b a c a c b ⎧=⎪-=⎨⎪-=⎩得21b a c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆C 交于不同的两点分布在x 轴两侧，不合题意.所以直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+.设11(,)E x y 、22(,)F x y ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+.因为APE OPF ∠=∠，所以0PE PF k k +=，即121202233y y x x +=--，整理得1212242()()033m kx x m k x x +-+-=化简得6m k =-，所以直线l 的方程为6(6)y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点(6,0).22.已知函数()()()2ln 2f x x x =++，()()2g (3)21()x x a x a a R =+-+-∈.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()g()f x x ≤在(2,)x ∈-+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）证明不等式：1*32311111+1+1+1+e ()4444n n N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅<∈ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）极小值为1e-，无极大值（2）(],0-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，借助()f x '的正负判断()f x 的单调性，进而求出()f x 的极值；（2）不等式()g()f x x ≤(2,)x ∈-+∞上恒成立，等价转化为()ln 21x x a +≤+-，然后分离参数得1ln(2)a x x ≤+-+，设()1ln(2),(2,)h x x x x =+-+∈-+∞，求min ()h x 即可.（3）由（2）知()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，令411n x =-，则有11ln 144nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n 项和公式求证.【小问1详解】由()0f x '>可得(,)12ex ∈-+∞，此时()f x 单调递增；由()0f x '<可得(,12)ex ∈-∞-，此时()f x 单调递减；所以当2e1x =-时，()f x 有极小值，极小值为1e -，无极大值【小问2详解】由不等式()g()f x x ≤(2,)x ∈-+∞上恒成立，得()()()22ln 2(3)21x x x a x a ++≤+-+-，因为(2,)x ∈-+∞，()ln 21x x a ∴+≤+-，所以1ln(2)a x x ≤+-+在(2,)x ∈-+∞上恒成立设()1ln(2),(2,)h x x x x =+-+∈-+∞，则()1=2x h x x ++'，由1()==02x x h x ++'得=1x -所以()h x 在(21)--，上递减，在(1)-+∞，上递增，所以min ()(1)0h x h =-=即0a ≤，所以(],0a ∈-∞【小问3详解】证明：由（2）得()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，令411n x =-，则有11ln 144nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，2211111111ln 1+ln 1++ln 1++=)44443444n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+<⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1-211111ln 111)43444n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++⋅⋅⋅+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1-*2N 44411111111ln 11143433n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤<∴++⋅⋅⋅+< ∈∴⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1-，，132311111+1+1+1+e 4444n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴⋅⋅⋅< ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题（2）考察不等式恒成立问题，可以分离参数，转化为求最值问题：本题（3）的证明需要借助（2）的结论，即()+1ln 2x x >+在()1,-+∞上恒成立，然后令411nx =-，则有11ln 144nn ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，然后借助不等式同向可加性及等比数列前n 项和公式求证.。
