高中数学-单位圆与三角函数线同步练习

单位圆与三角函数线课时过关 ·能力提高1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是 ()A .第一象限的角B .第一、二象限的角C.第三象限的角 D .第一、三象限的角分析 :由正切线的定义知,当角α是第一、三象限的角时,正切线位于第一象限.答案 :D2.设α是第四象限的角,则 sin α和 tan α的大小关系是()A.sin α>tan αB.sin α< tan αC.sin α=tan αD. 不确立分析 :画出三角函数线即可判断.如图 ,在单位圆中,sin α=MP ,tan α=AT ,而 MP>AT ,因此sinα> tan α.答案 :A3.以下关系中正确的选项是()A .sin 11 <cos° 10 <°sin 168°B.sin 168 <°sin 11 <°cos 10 °C.sin 11 <sin° 168 <°cos 10 °D.sin 168 <°cos 10 <°sin 11°分析 :作三角函数线 (如图 ),由图可知 sin 11 °<sin 168 °<cos 10 °.答案 :C4.若θ∈,则 sin θ+ cos θ的一个可能值是()A. B. C. D.1分析 :由θ∈及角θ的三角函数线,知sinθ+ cosθ> 1,四个选项中仅有> 1,应选 C.答案 :C5.已知 cos α≤ sinα,则角α的终边落在第一象限内的范围是()A.B.C.,k∈ ZD.,k∈ Z答案 :C6.如图 ,角α,β的终边对于 y 轴对称 ,则下边关系式 :①sin α= sin β;②sin α=- sin β;③cos α= cos β;④cos α=- cos β.此中 ,正确关系式的序号是.分析 :经过三角函数线进行剖析.答案 :①④7.函数 y=的定义域为.分析 :如图 ,由于 1-2cos x≥0,因此 cos x≤ ,因此 x∈(k∈ Z).答案 :(k∈ Z)8.利用三角函数线剖析点P(sin 3-cos 3,sin 3+ cos 3)所在的象限 .解 : < 3< π,作出单位圆及 3 rad 的正弦线、余弦线如下图.由图可知 ,sin 3> 0,cos 3<0,且 |sin 3|<| cos 3|,因此 sin 3-cos 3> 0,sin 3+ cos 3< 0.故点 P(sin 3-cos 3,sin 3+ cos 3)在第四象限 .★9.已知对于 x 的方程 (2sin α-1)x2 -4x+4sin α+ 2= 0 有两个不相等的正根 ,试求角α的取值范围 .解 : 设方程的两根为 x1,x2,方程有两个不相等的正根一定知足的条件为即化简 ,得故 < sin α<.如图,利用三角函数线,可知α的取值范围是< α< 2kπ+.★10.已知α为锐角 ,求证 :1< sin α+ cos α<.证明如下图 ,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过点 P 分别作 PD⊥Ox,PE⊥ Oy,D,E 为垂足,连结 AP,BP.由于 y=sin α,x=cos α,而在△POD 中,|OD|+|DP|>|OP|,因此 sin α+ cos α> 1.又由于 S△POA= |OA| ·|DP|= y= sin α,S△POB= |OB| ·|PE|=x= cos α,S 扇形OAB= π×12= ,而 S△POA+S△POB<S 扇形OAB,因此 sin α+ cos α< ,即 sin α+ cos α< .故 1<sin α+ cos α< .。

高中数学-单位圆与三角函数线练习题5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM⊥x 轴，AT⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案：MP OM AT cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''P M 、'OM 、'AT ，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）图1-1-4A.sinα＜tanα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.(安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.32 B.72πC.224-D.1解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C.答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k∈Z ）D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k∈Z ）解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：MP ，余弦线：OM ，正切线：AT .(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>•>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23.利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k∈Z }.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt△MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有MP =sinα，AT =tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S扇形OAP＜S △OAT ，即21·OA ·MP ＜21·OA ·＜21··AT .化简得＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。

§1.2.1.2单位圆与三角函数线参考答案1．【答案】B【解析】根据三角函数线的知识可知①③④正确．②不正确，因为有相同正弦线的角不一定相等，而是相差2π的整数倍，故选B.2．【答案】A【解析】由角α的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos α＝±1，故角α的终边在x 轴上．3．【答案】A【解析】如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin(－3π4)＝cos(－3π4)，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4.4．【答案】B【解析】由三角函数线易得AT >MP >OM ，即c >a >b .5．【答案】D【解析】分别在四个象限内作出满足sin α>sin β的两个角α，β，再作出要比较的余弦线或正切线．通过图形易得选D.6．【答案】D【解析】当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，所以α必为钝角． 7．【答案】(32，12) 【解析】cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点坐标是(32，12)． 8．【答案】[π3，34π]∪[54π，53π] 【解析】在单位圆中画出余弦线OM 和OM ′，其中OM ＝－22，OM ′＝12，它们在[0,2π)内所对应的角分别为34π，54π和π3，53π，则满足－22≤cos x ≤12的区域是图中阴影部分，则在[0,2π)内所求x 的范围是[π3，34π]∪[54π，53π]．9．【答案】{x |2k π<x <2k π＋π2或2k π＋π2<x <2k π＋23π，k ∈Z } 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0且sin x ≠1，2cos x ＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，sin x ≠1，cos x >－12.如图，作出三角函数线，阴影部分区域(不包括边界)即为所求角的范围．即0<x <π2或π2<x <23π，再考虑终边相同的角可得． 10．【解析】如图所示，作出2π3对应的正弦线、正切线分别为AB 和EF . 作出4π5对应的正弦线、正切线分别为CD 和EG . 由图可知：|AB |>|CD |，|EF |>|EG |.又tan 2π3与tan 4π5均取负值， 故sin2π3>sin 4π5，tan 2π3<tan 4π5.11．【解析】(1)如图①所示，过点(1，－1)和原点作直线交单位圆于点P 和P ′，则OP 和OP ′就是角α的终边，∴∠xOP ＝3π4＝π－π4，∠xOP ′＝－π4， ∴满足条件的所有角α的集合是{α|α＝－π4＋k π，k ∈Z.}(2)如图②所示，过点(0，－12)作x 轴的平行线，交单位圆于点P 和P ′， 则sin ∠xOP ＝sin ∠xOP ′＝－12， ∴∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6， ∴满足条件的所有角α的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α7π6＋2k π<α<11π6＋2k π，k ∈Z .12．【证明】如图，单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，与角α，β的终边分别交于点Q ，P ，过P ，Q 分别作OA 的垂线，设垂足分别为M ，N ，则由三角函数线定义可知：sin α＝NQ ，sin β＝MP ，过点Q 作QH ⊥MP 于H ，于是MH ＝NQ ，则HP ＝MP －MH ＝sin β－sin α. 由图可知HP <＝β－α，即β－α>sin β－sin α.。

《单位圆与三角函数线》同步练习1、已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为（ ）。

A ．3π4或π4B ．5π4或7π4C ．π4或5π4D ．π4或7π42、下列不等式中，成立的是( )。

A ．sin1>sin2B ．cos1<cos2C ．tan1>tan2D ．cot1<cot2 3、若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是（ ）。

A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4、使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是（ ）。

A ．[－3π4，π4] B ．[－π2，π2] C ．[－π4，3π4] D ．[0，π]5、利用单位圆，可得满足sin α<22，且α∈(0，π)的α的集合为___________。

6、sin π5与cos π5的大小关系是___________。

7、利用三角函数线，求sin.α < 12的角α 的范围. 8、确定下式的符号：sin 1－cos 1。

9、利用单位圆中的三角函数线求满足cos α≤－12的角α 的取值范围。

10、求满足下列条件的角x 的集合：(1) 已知tan x > 0，且sin x ＋cos x > 0 ；(2) 已知tan x < 0，且sin x －cos x < 0。

答案和解析1、C2、C3、A4、A5、{ α|0 < α < π4 或 3π4< α < π } 6、sin π5 < cos π57、⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z 首先在y 轴上找到 12，过此点作平行于x 轴的直线，交单位圆于P 1与P 2两点。

若sin α＝ 12 ，则α＝2k π＋π6 或α＝2k π＋56π(k ∈Z )，角α所对应的正弦线分别为M 1P 1、M 2P 2，当角2k π＋π6 的终边按逆时针方向旋转至2k π＋5π6 时，显然sin α > 12，故应舍去，所以α应取线OP 1和线OP 2以下的角，如图的阴影部分所示．故α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋5π6<α<2k π＋13π6，k ∈Z 。

《1.2．2 单位圆与三角函数线》测试题制卷：朱瑞朋一、选择题1.角的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么的值为( ).A. B. C.D.或2.若，且，则的取值范围是( ).A. B.C. D.3.依据三角函数线，作出如下四个判断：⑴；⑵；⑶；⑷.其中判断正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题4.的大小关系为 .5.若，利用三角函数线，可得的取值范围是 .6.在内，使成立的的取值范围为 .三、解答题7.已知角的终边经过点，且，试判断角所在的象限，并求和的值.8.求函数的定义域.《1.2．2 单位圆与三角函数线》测试题答案1、考查目的：考查正、余弦三角函数线的概念与分类讨论思想.答案：D.解析：角正、余弦三角函数线的长度相等，方向相反，即且，故时，；当时，，∴答案应选D.2、考查目的：利用三角函数线考查三角函数的取值范围与对应角的关系.答案：D.解析：∵，∴.又∵，∴，∴答案应选D.3、考查目的：利用三角函数线考查三角函数值的大小.答案：B.解析：由三角函数线可知，⑵⑷正确.4、考查目的：考查用三角函数线比较同角三角函数的大小.答案：解析：∵，画出三角函数线可知：.5、考查目的：考查用余弦线求角的余弦函数值的取值范围.答案：解析：∵，∴.6、考查目的：利用三角函数线考查三角函数值的大小与对应角的关系.答案：.解析：∵，∴通过画出三角函数线可知，.7、考查目的：考查任意角三角函数的定义与分类讨论思想.答案：当时，；当时，. 解析：由得，.若在第二象限，，此时；若在第三象限，，此时.8、考查目的：考查对数函数的定义域，以及讨论三角函数的取值范围与对应角的关系.解析：∵，∴，∴.。

1-2-1单位圆中的三角函数线一、选择题1．下列判断中错误的是( ) A ．α一定时，单位圆中的正弦线一定 B ．单位圆中有相同正弦线的角相等 C ．α和α＋π有相同的正切线D ．有相同正切线的两个角的终边在同一直线上 [答案] B[解析] 有相同正弦线的角相差2π的整数倍，不一定相等，故选B.2．若MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM[答案] D[解析] 作出单位圆中的正弦线、余弦线，比较知D 正确． 3．如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，过点A 作单位圆的切线AT 交OP 的反向延长线至点T ，则有( )A ．sin α＝OM ，cos α＝PMB ．sin α＝MP ，tan α＝OTC ．cos α＝OM ，tan α＝ATD ．sin α＝MP ，tan α＝AT[答案] D4．已知α角的正弦线与y 轴正方向相同，余弦线与x 轴正方向相反，但它们的长度相等，则( )A ．sin α＋cos α＝0B ．sin α－cos α＝0C ．tan α＝0D ．sin α＝tan α[答案] A5．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( )A ．MP 与AT 的方向相同B ．|MP |＝|AT |C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 [答案] A[解析] 三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.6．已知sin α>0，tan α<0，则α的( ) A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左 [答案] C[解析] ∵sin α>0，tan α<0，∴α是第二象限角． ∴cos α<0.∴余弦线方向向左，正切线方向向下．7．(能力拔高题)已知cos α≤sin α，那么角α的终边落在第一象限内的范围是( )A ．(0，π4]B ．[π4，π2)C ．[2k π＋π4，2k π＋π2)，k ∈ZD ．(2k π，2k π＋π4]，k ∈Z[答案] C[解析] 如图所示，由余弦线长度|OM |不大于正弦线长度|MP |可知，角α的终边落在图中的阴影区域，故选C.8．若π4<α<π2，则下列不等式正确的是( )A ．sin α>cos α>tan αB ．cos α>tan α>sin αC ．sin α>tan α>cos αD ．tan α>sin α>cos α[答案] D9．y ＝sin x ＋lgcos xtan x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π2B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π<x <2k π＋π2 C.{}x |2k π<x <(2k ＋1)πD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2<x <2k π＋π2(以上k ∈Z ) [答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0cos x >0tan x ≠0x ≠k π＋π2，k ∈Z，∴2k π<x <2k π＋π2，k ∈Z .10．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α、β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D [解析]如图(1)，α、β的终边分别为OP、OQ，sinα＝MP>NQ＝sinβ，此时OM<ON，∴cosα<cosβ，故A错；如图(2)，OP、OQ分别为角α、β的终边，MP>NQ，∴AC<AB，即tanα<tanβ，故B错；如图(3)，角α，β的终边分别为OP、OQ，MP>NQ即sinα>sinβ，∴ON>OM，即cosβ>cosα，故C错，∴选D.二、填空题11．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．[答案] －1212．已知tan x ＝1，则x ＝________. [答案] x ＝π4＋k π(k ∈Z )13．不等式cos x >0的解集是________． [答案] {x |2k π－π2<x <2k π＋π2，k ∈Z }．[解析] 如图所示，OM 是角x 的余弦线，则有cos x ＝OM >0， ∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方． ∴2k π－π2<x <2kx ＋π2，k ∈Z .14．已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是______________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 [解析] ∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0， (1)sin α－cos α>0， (2)由(1)知0<α<π2或π<α<3π2，(3)由(2)知sin α>cos α，作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin α>cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，(4) 由(3)、(4)得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4. [点评] 要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：三、解答题15．画出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)π6；(2)2π3；(3)－5π6；(4)－9π4. [分析] 作角α的正弦线、余弦线、正切线的关键是先画出单位圆和角α的终边，再按三角函数线的定义画出．[解析] 如图所示，各个单位圆中的MP ，OM ，AT 分别表示各个角的正弦线、余弦线、正切线．16．利用单位圆中的三角函数线解不等式(组)： (1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －2>02cos x ≤1.[解析] (1)要使3tan α＋3>0，即tan α>－33. 由正切线知k π－π6<α<k π＋π2，k∈Z .∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋π2，k ∈Z .(2)不等式组即为⎩⎨⎧sin x >22cos x ≤12区域(Ⅰ)为sin x >22，区域(Ⅱ)为cos x ≤12.区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋3π4，k ∈Z . 17．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． [解析] 如图(1)． ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，π3＋2k π∪⎝ ⎛ 2π3＋2k π，⎭⎪⎫4π3＋2k π(k∈Z )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋k π，π3＋k π(k ∈Z )．18．若已知角α∈(0，π2)，利用三角函数线证明：1<sin α＋cos α≤ 2.[证明] 如图，设α的终边与单位圆交于点P(a，b)，作PM⊥x轴，M为垂足，则|OM|＝a，|MP|＝b.易见|OM|＋|MP|>|OP|，即sinα＋cosα＝a＋b>1.又∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝2，∴a＋b≤2，∴sinα＋cosα＝a＋b≤ 2.因此1<sinα＋cosα≤ 2.。

1.2.2 单位圆与三角函数线5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.若单位圆的圆心与坐标原点重合，有下列结论：①单位圆上任意一点到原点的距离都是1；②单位圆与x 轴的交点为（1，0）；③过点（1，0）的单位圆的切线方程为ｘ=1；④与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=1.以上结论正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 解析：单位圆与x 轴的交点为（1，0）和（-1，0）；与x 轴平行的单位圆的切线方程为ｙ=±1，所以②④错误.显然①③正确. 答案：B2.对角α的正弦线叙述错误的是（ ） A.正弦线的起点为坐标原点 B.正弦线为有向线段C.正弦线的长度为不大于1的正数D.当角α的终边不在坐标轴上时，正弦线所在直线平行于ｙ轴 解析：正弦线的长度有可能为0,所以C 答案错误. 答案：C3.如图1-1-2，PM ⊥x 轴，AT ⊥x 轴，则α的正弦线、余弦线、正切线分别是____________、____________、____________，其中OM=___________，MP=____________，AT=____________.图1-1-2 图1-1-3解析：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出. 答案： cosα sinα tanα4.如图1-1-3，分别作出角β的正弦线、余弦线、正切线,并比较角β的正弦值、余弦值、正切值的大小.解：根据正弦线、余弦线、正切线的定义作出下图.正弦线、余弦线、正切线分别是''M 、'OM 、'，并且sinβ＞cosβ＞tanβ. 10分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若-43π＜α＜2π-，从单位圆中的三角函数线观察sinα、cosα、tanα的大小是（ ）图1-1-4A.sinα＜t anα＜cosαB.tanα＜sinα＜cosαC.cosα＜sinα＜tanαD.sinα＜cosα＜tanα 解析：在单位圆中，作出43π-＜α＜2π-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得MP ＜OM ＜AT .答案：D2.若角α的正切线位于第一象限，则角α属于（ ）A.第一象限B.第一、二象限C.第三象限D.第一、三象限解析：由正切线的定义知，当角α是第一、三象限角时，正切线都在第一象限. 答案：D3.在（0，2π）内，使sinx ＞cosx 成立的x 的取值范围为（ ）A.（4π，2π）∪（π，45π） B.（4π，π）C.（4π，45π）D.（4π，π）∪（45π，23π）解析：在单位圆中画三角函数线，如图所示，要使在（0，2π）内sinx ＞cosx ，则x ∈（4π，45π）.答案：C4.如果cosα=cosβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的余弦线即得，如图.答案：A5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1.证明：当角α的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，而余弦线（正弦线）的长等于r （r=1），所以|sinα|+|cosα|=1，当角α的终边落在四个象限时，如图，利用三角形两边之和大于第三边有|sinα|+|cosα|=|MP|+|OM|＞1，综上有|sinα|+|cosα|≥1.6.设43π＜α＜π，角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a 、b 、c ，由图比较a 、b 、c 的大小.解：如图所示，|MP|＜|OM|＜|AT|，而a=|MP|，b=-|OM|，c=-|AT|，∴a ＞b ＞c.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后) 1.(2006安徽合肥统考，1)sin4·tan7的值（ ）A.大于0B.小于0C.等于0D.不大于0解析：4弧度的角是第三象限角，7弧度的角是第一象限角，由单位圆中的正弦线和正切线知sin4＜0，tan7＞0，所以sin4·tan7＜0. 答案：B 2.若θ∈(0,2π),则sinθ+cosθ的一个可能值是（ ） A.32 B.72π C.224- D.1 解析：由θ∈(0，2π)知sinθ+cosθ＞1，A 、B 、C 、D 四个选项中仅有224-＞1，故选C. 答案:C3.适合cosα≥21的角α的集合是（ ） A.［2kπ+3π，2kπ+35π］（k ∈Z ） B.［2kπ+3π，2kπ+32π］（k ∈Z ）C.［2kπ-3π，2kπ+3π］（k ∈Z ） D.［2kπ+3π，2kπ-3π］（k ∈Z ） 解析：在单位圆中作图，如图，α的范围是2kπ-3π≤α≤2kπ+3π.答案：C4.若sinα=sinβ，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能（ ） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于直线y=x 对称 D.关于原点对称 解析：利用单位圆中的正弦线即得，如图.答案：B5.分别作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线:(1)4π；(2)32π-.解：如图,正弦线：，余弦线：，正切线：.(1) (2)6.利用三角线，求满足sinx≤21的角x 的集合. 解：由图可知，值为21的正弦线11P M 和22P M ，易得出∠M 1OP 1=6π，∠M 2OP 2=65π，故满足sinx≤21的x 的集合为｛x|2kπ+65π≤x≤2kπ+613π，k ∈Z ｝.7.求函数y=x cos 21-的定义域. 解：如图，因为1-2cosx≥0，所以cosx≤21，所以x ∈［2kπ+3π，2kπ+35π］（k ∈Z ）.8.已知关于x 的方程（2sinα-1）x 2-4x+4sinα+2=0有两个不相等的正根，试求角α的取值范围.解：设方程的两根为x 1、x 2，这个方程有两个不相等正根必满足的条件为⎪⎩⎪⎨⎧>∙>+>∆,0,0,02121x x x x 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-+>->+---.01sin 22sin 4,01sin 24,0)2sin 4)(1sin 2(4)4(2ααααα 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-<><<-.21sin 121sin ,21sin ,23sin 23αααα或故21＜sinα＜23. 利用三角函数线，在单位圆中标出满足条件的角α的终边位置，即图中两阴影部分的交集，故2kπ+6π＜α＜2kπ+3π或2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z ，即α的取值范围是{α|2kπ+6π＜α＜2kπ+3π，k ∈Z }∪{α|2kπ+32π＜α＜2kπ+65π，k ∈Z}.9.设α是第二象限的角，作α的正弦线、余弦线、正切线，由图证明cos 2α+sin 2α=1. 证明：如图，OM =cosα，MP =sinα，在Rt △MOP 中，|OM|2+|MP|2=｜OP ｜2=1，所以cos 2α+sin 2α=1.10.设α为任意角，求|sinα|+|cosα|的取值范围.解：由正弦线、余弦线及三角形三边关系，可知|sinα|+|cosα|的取值范围为［1，2］. 11.已知α∈（0，2），求证：sinα＜α＜tanα. 证明：在单位圆中，利用三角函数线的定义，有=sinα，=tanα.又由α=，显然S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ，即21··MP ＜21··＜21··AT .化简得MP ＜α＜，所以sinα＜α＜tanα.。

课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线A 级——学考水平达标练1．(多选题)下列判断中正确的是( ) A ．α一定时,单位圆中的正弦线一定 B ．在单位圆中,有相同正弦线的角相等 C ．α和α＋π有相同的正切线D ．具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上解析：选ACD A 正确；B 错误,如π6与5π6有相同正弦线；C 正确,因为α与π＋α的终边互为反向延长线；D 正确．2．已知角α的正弦线与y 轴正方向相同,余弦线与x 轴正方向相反,但它们的长度相等,则( ) A ．sin α＋cos α＝0 B ．sin α－cos α＝0 C ．tan α＝0D ．sin α＝tan α解析：选A ∵sin α>0,cos α<0,且|sin α|＝|cos α|, ∴sin α＋cos α＝0. 3．下列各式正确的是( ) A ．sin 1>sin π3B ．sin 1<sin π3C ．sin 1＝sin π3D ．sin 1≥sin π3解析：选B 1和π3的终边均在第一象限,且π3的正弦线大于1的正弦线,则sin 1<sin π3.4．若α是第一象限角,则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线(图略),由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.5．sin 2,cos 2,tan 2的大小关系为( ) A ．sin 2>cos 2>tan 2 B ．sin 2>tan 2>cos 2 C ．tan 2>sin 2>cos 2 D ．tan 2>cos 2>sin 2解析：选A 作出三角函数线易知．6．若角α的余弦线长度为0,则它的正弦线的长度为________． 解析：由余弦线长度为0知,角的终边在y 轴上,所以正弦线长度为1.答案：17．若a ＝sin 4,b ＝cos 4,则a,b 的大小关系为________． 解析：因为5π4＜4＜3π2,画出4弧度角的正弦线和余弦线(如图),观察可知sin 4＜cos 4,即a ＜b.答案：a ＜b8．若角α的正弦线的长度为12,且方向与y 轴的正方向相反,则sin α的值为________．解析：由题意知|sin α|＝12,且方向与y 轴正方向相反,∴sin α＝－12.答案：－129．在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边,并作出其正弦线、余弦线和正切线．解：如图①作直线y ＝12交单位圆于P,Q,则OP,OQ 为角α的终边．如图②所示,当α的终边是OP 时,角α的正弦线为MP ―→,余弦线为OM ―→,正切线为AT ―→. 当α的终边是OQ 时,角α的正弦线为NQ ―→,余弦线为ON ―→,正切线为A T′――→.10．利用三角函数线分析点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)所在的象限． 解：由5π6＜3＜π,作出单位圆如图所示．则3弧度角的正弦线为MP ―→,余弦线为OM ―→,显然sin 3>0,cos 3<0,且|sin 3|<|cos 3|,所以sin 3－cos 3>0,sin 3＋cos 3<0,故点P(sin 3－cos 3, sin 3＋cos 3)在第四象限．B 级——高考水平高分练1．若α是三角形的内角,且sin α＋cos α＝23,则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时,由单位圆中的三角函数线知,sin α＋cos α≥1,而sin α＋cos α＝23,所以α必为钝角,所以这个三角形是钝角三角形．2．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,则sin θ＋cos θ的一个可能值是( )A.23B.2π7C.4－22D ．1 解析：选C 由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2及角θ的三角函数线,知sin θ＋cos θ>1,四个选项中仅有4－22>1,故选C.3．sin 2π5,cos 6π5,tan 2π5从小到大的顺序是_____________________________．解析：由图可知：cos 6π5<0,tan 2π5>0,sin 2π5>0.∵|MP ―→|<|AT ―→|,且MP ―→,AT ―→与y 轴正方向相同, ∴sin 2π5<tan 2π5.故cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π54．如图,在单位圆中,已知角α的终边是OP,角β的终边是OQ,试用不等号填空：(1)sin α________sin β；(2)cos α________cos β； (3)tan α________tan β.解析：如图所示,α的正弦线为MP ―→,β的正弦线为NQ ―→,由于|MP ―→|>|NQ ―→|,故sin α>sin β；α的余弦线为OM ―→,β的余弦线为ON ―→,由于|OM ―→|<|ON ―→|,故cos α<cos β；α的正切线为AC ―→,β的正切线为AB ―→,由于|AC ―→|>|AB ―→|,故tan α>tan β.答案：(1)> (2)< (3)>5．设α是锐角,利用单位圆和三角函数线证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示,设角α的终边交单位圆于P,过点P 作PM 垂直于x 轴,垂足为M.过点A(1,0)作单位圆的切线交OP 于点T,连接PA,则sin α＝|MP ―→|,tan α＝|AT ―→|, ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ,∴12|OA ―→|·|MP ―→|<12α|OA ―→|2<12|OA ―→|·|AT ―→|. 又|OA ―→ |＝1,∴|MP ―→|<α<|AT ―→|,即MP<α<AT. ∴sin α<α<tan α.6．已知α是锐角,求证：1<sin α＋c os α<π2.证明：设角α的终边与单位圆交于P(x,y),过P 作PQ ⊥OA,PR ⊥OB,Q,R 为垂足,连接PA,PB,如图所示．易知|QP ―→ |＝y ＝sin α,|OQ ―→ |＝x ＝cos α,∵在△OPQ 中,|QP ―→|＋|OQ ―→|>||OP ―→|,∴sin α＋cos α>1.∴S △OAP ＝12|OA ―→ |·|QP ―→|＝12y ＝12sin α,S △OBP ＝12|OB ―→ |·|RP ―→|＝12x ＝12cos α,S扇形OAB＝π4×12＝π4. 又∵S △OAP ＋S △OBP <S 扇形OAB , ∴12sin α＋12cos α<π4,即sin α＋cos α<π2.综上可知,1<sin α＋cos α<π2.。

课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线层级一 学业水平达标1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．直线y ＝x 上 B ．直线y ＝－x 上C ．直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上D ．x 轴上或y 轴上解析：选C 由角α的正切线是长度为单位长度的有向线段，得tan α＝±1，故角α的终边在直线y ＝x 上或直线y ＝－x 上．3．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <bD ．a <c <b解析：选C 如图，作出角α＝－1的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM >0，c ＝tan(－1)＝AT <0， a ＝sin(－1)＝MP <0，由图可知MP >AT ，∴c <a <b .4．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、第四象限的角平分线上 D ．第一、第三象限的角平分线上解析：选C 作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.5．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α>1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定解析：选A 作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α>1.6．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为______．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：17．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是___________________________ ________________________． 解析：如图，sin 1＝MP ，cos 1＝OM .显然MP >OM ，即sin 1>cos 1. 答案：sin 1>cos 1 8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．解析：由图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，－1＜sin θ＜22，即sin θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22 9．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)π6；(2)－5π6.解：(1)如图(1)所示，分别表示π6角的正弦线、余弦线、正切线．(2)如图(2)分别表示－5π6角的正弦线、余弦线、正切线．10．求下列函数的定义域． (1)y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫22－sin x . (2)y ＝3tan x － 3.解：(1)为使y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫22－sin x 有意义，则22－sinx >0，所以sin x <22，所以角x 终边所在区域如图所示，所以2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z.所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π－5π4<x <2k π＋π4，k ∈Z .(2)为使y ＝3tan x －3有意义，则3tan x －3≥0，所以tan x ≥33， 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z ，所以原函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|k π＋π6≤x <k π＋π2，k ∈Z .层级二 应试能力达标1．下列三个命题：①π6与5π6的正弦线相等；②π3与4π3的正切线相等； ③π4与5π4的余弦线相等． 其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0解析：选Bπ6和5π6的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；π3和4π3两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；π4和5π4的余弦线方向不同．2．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：选D 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sinα＋cos α＝23，∴α必为钝角．3．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan αB ．tan α<sin α<cos αC ．sin α<cos α<tan αD ．cos α<tan α<sin α解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出α，且都与坐标轴的正方向相同．即cos α<sin α<tan α.4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4D ．[0，π]解析：选A 如图，画出三角函数线sin x cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立， 则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5从小到大的顺序是________．解析：由图可知：cos 6π5<0，tan 2π5>0，sin 2π5>0.∵y 轴正方向相同，∴sin 2π5<tan 2π5.故cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5.答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π56．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB 区域内，所以α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π 7．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ<－12；(2)－12≤cos θ<32.解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即θ－5π6＋2k π<θ<－π6＋2k π，k ∈Z.(2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即θ2k π－2π3≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋2π3，k ∈Z.8．若0<α<π2，证明：sin α<α<tan α.证明：如图所示，连接AP ，设弧AP 的长为l ， ∵S △OAP <S 扇形OAP <S △OAT ，∴12|OA |·|MP |<12l ·|OA |<12|OA |·|AT |， ∴|MP |<l <|AT |， ∴sin α<α<tan α.。

课时跟踪检测（四） 单位圆与三角函数线层级一学业水平达标 仁角25和角6兰有相同的（）5 5A .正弦线B .余弦线C .正切线D .不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角n 和角6n 勺三角函数线可知，正弦线及余弦线都相5 5反，而正切线相等.2•已知角a 的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角 a 的终边在（ ）A .直线y = x 上 B. 直线y =— x 上C .直线y = x 上或直线y = — x 上D . x 轴上或y 轴上解析：选C 由角a 的正切线是长度为单位长度的有向线段，得 tan a= ±，故角a 的终边在直线 y = x 上或直线 y =— x 上.3.设 a = sin （— 1）, b = cos （— 1）, c = tan （ — 1），则有（ ）A . a<b<cB . b<a<c C.c<a<bD . a<c<b解析：选C 如图，作出角 a=— 1的正弦线、余弦线及正切线, 显然 b = cos(- 1) = OM>0,c = tan( — 1) = AT<0, a = sin(— 1)= MP <0, 由图可知 MP>AT ,「. c<a<b.4.如果MP 和OM 分别是角a= 7n 的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是（）8A . MPvOMvOB . OM >0>MPC . OMvMPvOD . MP>0>OM解析：选 D I 72是第二象限角，••• sin 7n>0, cos 职0,二 MP>0,OM<0,「. MP>0>OM.8 8 8 5.若a 是第一象限角，则 sin a+ cos a 的值与1的大小关系是（ ）A . sin a+ cos a >1B . sin a+ cos a= 1C . sin a+ cos a<1D .不能确定解析：选A 作出a 的正弦线和余弦线，由三角形 “任意两边之和大于第三边 ”的性 质可知sin a+ cos (x>1.bvzJAT6.若角a 的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为 _________ 解析：若角a 的余弦线长度为0,贝y a 的终边落在y 轴上, 所以它的正弦线的长度为 1.答案：17.用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是解析：如图，sin 1= MP , cos 1= OM.显然 MP>OM ，即 sin 1>cos 1.切线.10.求下列函数的定义域.答案： si n1>cos 1 8.若 0€ 李罗，则 解析： 3 n由图可知sin -43nsin 2 - -—1,— 1 v sin即sin-1彳答案：—__ ?■A0 I*y29.作出下列各角的正弦线、余弦线、 正切线. n 5 n（町；解：⑴如图⑴所示，在单位圆中ON , OM ,AT 分别表示：角的正弦线、余弦线、正切线. ⑵如图⑵所示，在单位圆中ON ,OM ,AT 分别表示—角的正弦线、余弦线、正Ml oJbd_ysin 0的取值范围是2(1) y= igsin x.(2) y = 3tan x _、. 3.所以sin xv *，所以角x 终边所在区域如图所示, 所以 2k n — 5n<xv2k n+ T, k € 乙4 4所以原函数的定义域是5 n n ,厂",2k n — _<x<2k n+ 4，k € Z -⑵为使y = 3tan x — .3有意义， 则 3tan x — 3>0,所以 tan x ^-3,3 所以角x 终边所在区域如图所示， 所以 k n+xvk n+n, k € Z ,6 2所以原函数的定义域是 邓 n+ 詐 xvk n+2 k € zj层级二应试能力达标1. 下列三个命题： ① n 与貉勺正弦线相等； 6 6 ② 3与訓正切线相等； ③ n 与严的余弦线相等. 4 4 其中正确命题的个数为（ ）A . 1B . 2C . 3D . 0解析：选B n 和的正弦线关于y 轴对称，大小相等，方向相同；n 和两角的终边 在同一条直线上，因而所作正切线相等；才和5°的余弦线方向不同.22. 若a 是三角形的内角，且 sin a+ COS a= 3，则这个三角形是（）1解:sin x>0,(1)为使 y = lg 2B .直角三角形 D .钝角三角形A .等边三角形 C .锐角三角形，由单位圆中的三角函数线知，sin a+ cos a> 1,而sin a+ cos a= 3,3• I a必为钝角.如果n< a<n,那么下列不等式成立的是(4 2cos a<sin avtan a B. tan a<sin a<cos aC. sin a<cos avtan aD. cos a vtan a<sin a解析：选A 如图所示，在单位圆中分别作出a的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出|OM |v|MPr v|AT |,且都与坐标轴的正方向相同.即cos a<sin a<tan a.4.使sin x w cosx成立的x的一个变化区间是A. B.n 「2,C.解析：选A如图，画出三角函数线由于sin-3n =n nsin ~= cos -,4 4为使sin x w cosx 成立，则由图可得一x< n.4 4 D. [0 ,7tOM,5. sin牛,cos ^T, tan罕从小到大的顺序是5 5 5解析：由图可知:6 n 2 n 2 ncos — <0, tan ~>0, sin —>05 5 5•/ |MP |<| AT |,且MP ,AT与y轴正方向相同,二sin ^vtan ^T.56n 2n 2n故cos 5 vsin 5 vtan 5 .答案：cos ^sin T^vtan5 5 2n 5解析：选D 当OV aW 3.6.若0< a <2 n,且sin晋，cos 专.利用三角函数线， 得到a 的取值范围是所以a 的取值范围是［0,扌”骨，2*答案：A 3 A 停2n)(1)sin 0< - 2; 解：(1)图①中阴影部分就是满足条件的角 B 的范围,(2)图②中阴影部分就是满足条件的角 0的范围， 即训2也—235< «2k n-6或2k n+f v 艮 2k n + 罕 k € Z }8.若 0<%<才，证明：sin a< a <tan a .证明：如图所示，连接 AP ，设弧AP 的长为l ,T S A OAP <S 扇形 OAP VS ^ OAT ,1 1 1•-2IOA| |MP|V 2l |OA|V 2IOA| |AT|, ••• |MP|vlv|AT|, •- sin a< aVtan a .解析：利用三角函数线得 a 的终边落在如图所示/ AOB 区域内, 7.利用单位圆中的三角函数线，分别确定角B 的取值范围.(2) —1 < cos26 +2k n，①。

1.2.2单位圆与三角函数线课时过关·能力提升1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是()A.第一象限的角B.第一、二象限的角C.第三象限的角D.第一、三象限的角解析:由正切线的定义知,当角α是第一、三象限的角时,正切线位于第一象限.答案:D2.设α是第四象限的角,则sin α和tan α的大小关系是()A.sin α>tan αB.sin α<tan αC.sin α=tan αD.不确定解析:画出三角函数线即可判断.如图,在单位圆中,sin α=MP,tan α=AT,而MP>AT,所以sinα>tan α.答案:A3.下列关系中正确的是()A.sin 11°<cos 10°<sin 168°B.sin 168°<sin 11°<cos 10°C.sin 11°<sin 168°<cos 10°D.sin 168°<cos 10°<sin 11°解析:作三角函数线(如图),由图可知sin 11°<sin 168°<cos 10°.答案:C4.若θ∈,则sin θ+cos θ的一个可能值是()A.B.C.D.1解析:由θ∈及角θ的三角函数线,知sin θ+cos θ>1,四个选项中仅有>1,故选C.答案:C5.已知cos α≤sin α,则角α的终边落在第一象限内的范围是()A.B.C.,k∈ZD.,k∈Z答案:C6.如图,角α,β的终边关于y轴对称,则下面关系式:①sin α=sin β;②sin α=-sin β;③cos α=cos β;④cos α=-cos β.其中,正确关系式的序号是.解析:通过三角函数线进行分析.答案:①④7.函数y=的定义域为.解析:如图,因为1-2cos x≥0,所以cos x≤,所以x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)8.利用三角函数线分析点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限.解:<3<π,作出单位圆及3 rad的正弦线、余弦线如图所示.由图可知,sin 3>0,cos 3<0,且|sin 3|<|cos 3|,所以sin 3-cos 3>0,sin 3+cos 3<0.故点P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限.★9.已知关于x的方程(2sin α-1)x2-4x+4sin α+2=0有两个不相等的正根,试求角α的取值范围.解:设方程的两根为x1,x2,方程有两个不相等的正根必须满足的条件为即化简,得故<sin α<.如图,利用三角函数线,可知α的取值范围是<α<2kπ+.★10.已知α为锐角,求证:1<sin α+cos α<.证明如图所示,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过点P分别作PD⊥Ox,PE⊥Oy,D,E为垂足,连接AP,BP.因为y=sin α,x=cos α,而在△POD中,|OD|+|DP|>|OP|,所以sin α+cos α>1.又因为S△POA=|OA|·|DP|=y=sin α,S△POB=|OB|·|PE|=x=cos α,S扇形OAB=π×12=,而S△POA+S△POB<S扇形OAB,所以sin α+cos α<,即sin α+cos α<.故1<sin α+cos α<.。

高中数学-单位圆与三角函数线练习(限时：10分钟)1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4 D.π4或7π4答案：C2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 答案：C3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.答案：A4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ解析：如图，由三角函数线可知，AT >PM >OP ，即tan θ>sin θ>cos θ答案：D5．已知π4＜x ＜π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x，试比较a 、b 、c 的大小．解析：如图所示，在单位圆中MP 、OM 、AT 分别是x 的正弦线、余弦线、正切线．在△OMP 中，OM ＞OP －MP 即cos x ＞1－sin x 又∵AT ＞OA ，∴tan x ＞1 ∴tan x ＞cos x ＞1－sin x ， ∴2tan x＞2cos x＞21－sin x∴c ＞b ＞a(限时：30分钟)1．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：可以直接用特殊角来验证．取x ＝π6，则sin x ＝12≥12成立，故排除D ；再取x ＝π2，则sin x ＝1≥12成立，排除A ；再取x ＝5π6，则sin x ＝sin 5π6＝12≥12成立，故选B.答案：B2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b解析：如图作出角α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM ＞0，c ＝tan(－1)＜a ＝sin(－1)＜0，即c ＜a ＜b .答案：C3．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫54π，32π解析：如图，当π4＜α＜5π4时，sin α＞cos α，故选C.答案：C4．cos1，sin1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解析：如图，有OM ＜MP ＜AT ，即cos1＜sin1＜tan1. 答案：D5．下列关系中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin12° B ．sin12°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin 12°＜cos10°D ．sin12°＜cos10°＜sin11°解析：在单位圆中画出角12°，11°的相应正弦线，10°的相应余弦线，直接观察可知选C.答案：C6．在(0,2π)内使cos x ＞sin x ＞tan x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，7π4解析：在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出． 答案：C7．若α、β为第二象限角，且sin α＞sin β，则cos α与cos β的大小关系为__________． 解析：如图，显然有cos α＞cos β. 答案：cos α＞cos β 8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0； ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|； ④sin θ＋cos θ＞0.解析：若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z .解得⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z10．求函数y ＝log 2sin x 的定义域．解析：要使函数有意义，x 的取值满足sin x ＞0. 如图所示，MP →是角x 的正弦线，则有sin x ＝MP ＞0， ∴MP 的方向向上，∴角x 的终边在x 轴的上方， ∴2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即函数y ＝log 2sin x 的定义域是(2k π，2k π＋π)，k ∈Z .11．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3＜x ＜2k π＋π3k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分， 即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z )．故x 的取值范围为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．12．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.。

单位圆与三角函数线一、选择题1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4C.π4或5π4D.π4或7π42．如果3π4＜θ＜π，那么下列各式中正确的是( ) A ．cos θ＜tan θ＜sin θB ．sin θ＜cos θ＜tan θC ．tan θ＜sin θ＜cos θD ．cos θ＜sin θ＜tan θ3．依据三角函数线，作出如下四个判断：①sin π6＝sin 7π6；②cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4； ③tan π8＞tan 3π8；④sin 3π5＞sin 4π5. 其中判断正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( ) A ．[0，π6] B ．[π6，5π6] C ．[π6，2π3] D ．[5π6，π] 二、填空题5．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．6．已知θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为________．7．函数y ＝1－2sin x 的定义域为________．三、解答题8．画出7π6的正弦线，余弦线和正切线，并求出相应的函数值． 9．把sin 2π5，cos 6π5，tan 2π5按从小到大的顺序排列．10．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0；②sin θ－cos θ＞0；③|sin θ|＜|cos θ|；④sin θ＋cos θ＞0.单位圆与三角函数线1．解析：由题意α的终边为一、三象限的平分线，且0＜α＜2π，故得α＝π4或5π4. 答案：C2．解析：由于3π4＜θ＜π，如图所示，正弦线MP →，余弦线OM →，正切线AT →，由此容易得到OM ＜AT ＜0＜MP ，故选A.答案：A3．解析：根据下列四个图形，容易判断正确的结论有②④，故选B.答案：B4．解析：画出单位圆(图略)，结合正弦线得出sin x ≥12的取值范围是[π6，5π6]．答案：B5．解析：∵π4<1<π3， ∴正弦线大于余弦线的长度，∴sin 1>cos 1.答案：sin 1>cos 16．解析：作图如下：因为θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM . 答案：AT >MP >OM7．解析：要使函数有意义，有1－2sin x ≥0，得sin x ≤12，如图，确定正弦值为12的角的终边OP 与OP ′， 其对应的一个角分别为136π，56π， 所求函数定义域为[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z )． 答案：[2k π＋56π，2k π＋136π](k ∈Z ) 8.解析：如图，MP →，OM →，AT →分别为正弦线，余弦线和正切线．sin 7π6＝－12，cos 7π6＝－32，tan 7π6＝33. 9．解析：在单位圆中分别作角2π5与角6π5，可知6π5为第三象限角，所以cos 6π5<0.又0<π4<2π5<π2，所以2π5的正切线大于正弦线， 即0<sin 2π5<tan 2π5， 所以cos 6π5<sin 2π5<tan 2π5. 答案：cos 6π5<sin 2π5<tan 2π510．解析：若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④（张老师推荐）好的学习方法和学习小窍门一、提高听课的效率是关键。

7.2.2 单位圆与三角函数线 1、角(02)αα<<π的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.4π或34π B.54π或74π C.4π或54π D.4π或74π 2、如果ππ42α<<，那么下列不等式成立的是 ( ) A ．cos sin tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．sin cos tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<< 3、在平面直角坐标系中, ,,,是圆221x y +=上的四段弧(如图),点P 在弧上, 角α以Ox 为始边，则下列不等式成立的是A.sin cos tan ααα<<B. tan sin cos ααα<<C.tan cos sin ααα<<D. cos sin tan ααα<<4、已知ππα3∈(,)24,sin a α=,cos b α=,tan c α=,那么,,a b c 的大小关系是( )A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. c a b >>5、已知sin sin αβ>,那么下列命题成立的是( )A.若α,β是第一象限角,则cos cos αβ>B.若α,β是第二象限角,则tan tan αβ>C.若α,β是第三象限角,则cos cos αβ>D.若α,β是第四象限角,则tan tan αβ>6、下列四个说法中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③,Z 2k k ααπ⎛⎫≠+π∈ ⎪⎝⎭和α+π有相同的正切线； ④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上.不正确的说法的个数是( )A.0B.1C.2D.37、若角α的终边与单位圆交于点1,2⎛ ⎝⎭，则sin α=( )A.12B.C.D.不存在8、已知,42θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线的长度分别是,,a b c ，则它们的大小关系是( )A.a b c >>B.c a b >>C.c b a >>D.b c a >>9、如果,MP OM 分别是角316απ=的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( ) A.0MP OM <<B.0MP OM <<C.0MP OM >>D.0OM MP >>10、sin1,sin1.2,sin1.5的大小关系是( )A.sin1sin1.2sin1.5>>B.sin1sin1.5sin1.2>>C.sin1.5sin1.2sin1>>D.sin1.2sin1sin1.5>>11、设0a >,角α的终边经过点()3,4,P a a -那么2sin cos αα+=__________12、已知3,,tan 22αππα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭,则cos α=____.13、有三个结论: ①6π与56π的正弦线相等; ②3π与43π的正切线相等; ③4π与54π的余弦线相等 其中正确的是__________14、如图直角坐标系中,角 02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭、角02ββπ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于,A B 两点,若B 点的纵坐标为513-,且满足3AOB S ∆=,则1sin 3cos sin 2222ααα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭__________15、已知0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭求证：1sin cos 2ααπ<+<.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：根据题意知角α在第一、三象限的角平分线上，又(0,2)α∈π，所以4απ=或54π.故选C.2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：D解析：4答案及解析：答案：A解析：5答案及解析：答案：D解析：根据sin sin αβ>这个条件,分别在四个象限内作出三角函数线,进行比较.上图中,射线,OP OP '分别表示角α、角β的终边,sin ,cos ,tan MP OM AT ααα===,sin ,cos ,tan M P OM AT βββ==='''',且都有MP M P >'' 即sin sin αβ>.在图(1)中, OM OM <',即cos cos αβ< ,∴B 项错.在图(2)中, AT AT <',即tan tan αβ<,∴B 项错.在图(3)中, OM OM <',即cos cos αβ<,∴C 项错.在图(4) 中, AT AT >',即tan tan αβ>,∴ D 项对.6答案及解析： 答案：B 解析：根据三角函数线的知识可知①③④正确；有相同正弦线的角不一定相等，而是相差2π的整数倍，②错误，故选B.7答案及解析：答案：B解析：由正弦函数的定义知，3sin 2y α==-.故选B.8答案及解析：答案：B解析：由三角函数线易得c a b >>.9答案及解析：答案：D解析：如图所示，因为04απ<<，所以0OM MP >>.10答案及解析：答案：C解析：如图所示，易知01 1.2 1.52π<<<<，AM BN CQ <<，且,,AM BN CQ 同向，所以sin1sin1.2sin1.5<<.11答案及解析：答案：25- 解析：12答案及解析：答案：5- 解析：由于22222cos 11cos sin cos tan 15ααααα===++,3,,cos 02αππα⎛⎫∈< ⎪⎝⎭,所以5cos 5α=-13答案及解析：答案：①②解析：在单位圆中画出相应角的正弦线、正切线,余弦线,分析可知①正确,②正确,③错误.14答案及解析：答案：1213解析：15答案及解析：答案：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点(,)P x y ，过P 作,,,PM Ox PN Oy M N ⊥⊥分别为垂足.所以sin MP y α==，所以cos OM x α==.在OMP △中，OM MP OP +>,所以sin cos 1αα+>.所以111sin 222OAP S OA MP y α=⋅==△， 所以111cos 222OBP S OB NP x α=⋅==△，21144OAB S π=π⨯=扇形. 又因为OAP OBP OAB S S S +<扇形△△， 所以11sin cos 224ααπ+<， 即sin cos 2ααπ+<.所以1sin cos 2ααπ<+<.解析：。

新建一中2021高中数学 单位圆与三角函数线训练 新人教A 版必修4【课前预习】1.单位圆：半径为 的圆叫做单位圆。

2.三角函数线：角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过点P 作PM 垂直x 轴于点M ，作PN 垂直y 轴于点N ，那么M ，N 分别是点P 在x 轴，y 轴上的，那么点P 的坐标为 ，其中=αcos ，=αsin，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 。

以A 为原点建立y '轴与y 轴同向，y '轴与α的终边〔或者〕，相交于点T 〔或者T '〕那么AT =αtan 〔或者T A '〕，那么把轴上向量ON OM ,和AT 〔或者T A '〕分别叫做α的、 和 。

【例题讲解】例1 分别做出ππ32,43-的正弦线、余弦线和正切线。

例2 假设20πα<<，证明：αααtan sin <<【根底稳固】MP 和OM 分别是π1312的正弦线和余弦线，那么有〔 〕A.0<<OM MPB.OM MP <<0C.0<<MP OMD.MP OM <<02.1tan ,1cos ,1sin 的大小关系为〔 〕A.1tan 1cos 1sin <<B.1cos 1tan 1sin >>C.1tan 1sin 1cos <<D.1cos 1sin 1tan <<3.βαsin sin >，以下正确的命题是〔 〕βα、是第一象限，那么βαcos cos <βα、是第二象限，那么βαtan tan >βα、是第三象限，那么βαcos cos >βα、是第四象限，那么βαtan tan >〔1〕︒57sin ︒145sin〔2〕5.3cos 4cos 〔3〕)70tan(︒- ︒210tan励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。