第一章 常用逻辑用语
章末复习课
学习目标
1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.
2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条
件的判定方法.
3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的
真假.
4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在
性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.
命题角度2 充要条件的再探究
例2 设数列 { a n } 、 { b n } 、 { c n } 满足： b n ＝ a n － a n ＋ 2 ， c n ＝ a n ＋ 2 a n ＋ 1 ＋
3an＋2(n＝1,2,等差数
列且bn≤bn＋1(n＝1,2,3，…).
4.含有全称量词的命题叫做 存在性 命题 . 命题，含有存在量词的命题叫做
题型探究
类型一 充分条件与必要条件、充要条件的探究 命题角度1 充分条件与必要条件的再探究
例1 设甲、乙、丙三个命题，若①甲是乙的充要条件；②丙是乙的充
分条件，但不是乙的必要条件，则
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B选项中，
>
>0⇔0<a<b<1⇏a>b>0，故B不符合条件；
C选项中，ln a>ln b>0⇔a>b>1⇒a>b>0，而a>b>0⇏a>b>1，符合条件；
D 选项中， xa>xb 且 x>0.5⇔0.5<x<1 时 a<b ； x>1 时 a>b ，无法得到 a ， b 与 0
的大小关系，故D不符合条件.
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的
条件；
条件.即
(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的 充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.
若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的
知识点三 1. 常见的逻辑联结词有 “
简单的逻辑联结词与量词 ”、“ ”、“ ”.
D.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
类型二
等价转化思想的应用
例3
已知c>0，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：不等式x＋|x－2c|>1
的解集为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.
反思与感悟
等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思 想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等 价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要 条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式 等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、 具体化.
则实数m的取值范围为(4，＋∞).
(2)若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围. ∵m＝5，∴命题q：－4≤x<6. ∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题， ∴命题p，q为一真一假.
－1≤x≤5， 当 p 真 q 假时，可得 解得 x∈∅. x<－4或x≥6，
反思与感悟
利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿
漏掉其中一个方面.
跟踪训练2 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形的 面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件是 A.{an}是等比数列 B.a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C.a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
内容索引
知识梳理
题型探究
当堂训练
知识梳理
知识点一 (1)为 陈述句 ； (2)能 判断真假 .
命题及其关系
1.判断一个语句是否为命题，关键是：
2.互为逆否关系的两个命题的真假性 3.四种命题之间的关系如图所示.
.
知识点二 1.定义
充分条件、必要条件和充要条件
一般地，若p则q为真命题，是指由p通过推理可以得出 q.这时，我们就说， 由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件. 一般地，如果既有 p⇒q ，又有 q⇒p ，就记作 p⇔q.此时，我们说， p 是 q 的 充分必要条件，简称充要条件. 2.特征 充分条件与必要条件具有以下两个特征：
2. 短语 “ 所有 ”“ 任意 ”“ 每一个 ” 等表示全体的量词在逻辑中通常
称为全称量词，通常用符号 “ ∀ x ” 表示 “ 对任意 x ” .
3. 短语 “ 有一个 ”“ 有些 ”“ 存在一个 ”“ 至少一个 ” 等表示部分的
量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号 “ ∃ x ” 表示 “ 存在 x ” .
跟踪训练1 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是 A.a2>b2>0 C.ln a>ln b>0 B. log 1 a log 1 b 0 D.xa>xb且x>0.5
2 2
设条件p符合条件，则p是a>b>0的充分条件，但不是a>b>0的必然结果，
即有“p⇒a>b>0，a>b>0⇏p”.
A选项中，a2>b2>0⇏a>b>0，有可能是a<b<0，故A不符合条件；
跟踪训练3
已知命题p：(x＋1)(x－5)≤0，命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
由命题p：(x＋1)(x－5)≤0，解得－1≤x≤5.
命题q：1－m≤x<1＋m(m>0).
∵p是q的充分条件，
∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m)，
1－m≤－1， ∴ 解得 m>4， 5<1＋m，
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C.丙是甲的充要条件
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 由①得甲⇔乙，②可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，
即丙⇒乙，乙⇏丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.
反思与感悟
若 p⇒q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件，即 q 的充分条件是 p ， p的必要条件是q. 如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是 q，q是p的必然结果. 则p⇏q易表述为以下几种说法： p是q的不充分条件，q的不充分条件是p； q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.
