第九章 点的合成运动

v v 2D a v1 ve1 ve 2 vr 2 B vr1 M

C
ve1 cos vr1 sin ve 2
1 1 v (ve1 cos ve 2 ) (v1 cos v2 ) 即： r1 sin sin
于是可得：
1 2 v M va v v v (v1 cos v2 ) 2 sin 1 2 2 v1 v2 2v1v2 cos sin
2 42
vA 45103 0.083rad / s R 3600150
vA vB
ve
A 2B

vr 2
点 A 解：以小环M为动点，静系 的 u 取在地面上，动系取在AB杆上， 速 动点的速度合成矢量图如图。 度 由图可得： 合 ve u 成 va 定 sin sin 理
1
v1
v2
D v
va ve 2 ve1
（2）
A
ve 2
v2
vr 2
B
M
C
比较（1）、（2）式，可得： 9.2
ve1 vr1 ve 2 vr 2
v1
A
点 的 速 度 合 成 定 理
建立如图的投影轴，将上 式投影到投影轴上，得：
v2
n n n aa aa ae ae ar ar
具体应用时，只有分析清楚三种运动，才能确 定加速度合成定理的形式。
例7 图示曲柄滑杆机构，曲柄长OA=r，当曲 9.3 柄与铅垂线成 时，曲柄的角速度为0 ，角加速度 牵 为 0 ，求此时BC的速度和加速度。 连 0 B O 解：以滑块A为动点，静系 运 0 v r va 动 取在地面上，动系取在BC杆上， ve 为 A 平 动点的速度合成矢量图如图。 C 动 建立如图的投影坐标轴 A ， 时 点 由va ve vr，将各矢量投影到投 的 影轴上，得
va ve vr
9.3
牵 连 运 动 为 平 动 时 点 的 加 速 度 合 成 定 理
由于
a va
v a a ve O O e
于是可得：
aa ae ar
即：当牵连运动为平动时，动点在某瞬时的绝对加 速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢 量和。这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定 理。 上式为牵连运动为平动时点的加速度合成定理 的基本形式。其最一般的形式为：
0 O n B aa a 0 r
A aa
ae
C



)
例8 图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑 9.3 动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时 杆OA与铅垂线夹角 30，杆端A与凸轮相接触， 牵 连 点O与 O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为 v ，加 运 速度为 a 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并 动 O 为 求OA杆的角速度和角加速度。 平 解：以杆端A为动点，静系 va 动 时 取在地面上，动系取在凸轮上， v vr A v e a 点 动点的速度合成矢量图如图。 r 的 建立如图的投影坐标轴 A ， 加 O1 速 由va ve vr，将各矢量投影到投 度 合 影轴上，得
o x
o x i j
M ar k aa
ae
y
y
将前式对时间求一阶导数，并和上式比较，有：
x vr i j k ar y z
由点的速度合成定理有：
va ve vr
两边对时间求导，得：
的 MM MM1 M1M 速 M 将上式两端同除 t ，并 A 度 合 令 t 0 ，取极限，得 MM MM1 M 1M 成 lim t lim t lim t 定 t 0 t 0 t 0 理 由速度的定义：
M1
A
lim
t 0
MM va t
lim
t 0
MM1 ve t
lim
t 0
M 1M MM 2 lim vr t t t 0
9.2
于是可得：
M2
点 的 速 度 合 成 定 理
va ve vr
vr
M
B va ve A
M
B
M1
A
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该
9.2
点 的 速 度 合 v2 C 成 以小环M为动点，静系取在地面上，动系取在 定 v2 CD杆上，动点的速度合成矢量图如图。 va 理 D v v1 1
于是有：
的速度沿垂直于杆的方向平动， A B 其交角为 ，求套在两直杆上 M v2 的小环M的速度。 C 解：以小环M为动点，静系取在地面上，动系 取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。 v2 v D 于是有： ve1 a v1 v1 A B va ve1 vr1 （1） M vr1
例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀 9.2 速 u 竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交 点处的小环M的速度。

O
M vr B

rv
e
va
u
例4 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速 v0 沿水平
9.2 轨道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 B 位置时，杆AB的速度。 点
2 e1 2 r1 2 1
如图，设 Oxyz 为平动参考 9.3 系，动点M相对于动系的相对坐 牵 标为 x 、y 、z ，则动点M的相 连 对速度和加速度为
运 动 为 平 动 时 点 的 加 速 度 合 成 定 理
z
z
vr xi yj zk ar i j k x y z
用 va 和 aa分别表示绝对速度和绝对加速度。 用 v r 和 ar 分别表示相对速度和相对加速度。 用 v e 和 ae 分别表示牵连速度和牵连加速度。
9.1
绝 对 运 动 解：静系取在地面上，动系 相 取在杆上，则 对 ve1 (l r ) 运 2 ae1 (l r ) 动 2 2 牵 ve 2 l r 连 运 ae 2 l 2 r 2 2 动
O
R
v A v y r1 ve x 1 A vB B
vr1
75
1 36.9

（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取 9.2 在车A上。动点的速度合成矢量图如图。
点 y O x 的 R 速 ve 180 0.083 15m / s 54km / s 度 2 vr 2 vB ve2 80.72 km / h 合 ve 54 成 sin 2 0.669 vr 2 80.72 定 理
瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就
是点的速度合成定理。
9.2
点 的 速 度 合 成 2 2 2 vr1 v A ve2 v A vB 75km / h 定 v A 45 理 sin 0.6
1
例2 如图车A沿半径为150m 的圆弧道路以匀速vA 45km h 行驶， vA vB O 车B沿直线道路以匀速 vB 60km h A B R 行驶 ，两车相距30m，求：（1） A车相对B车的速度；（2）B车相 对A车的速度。 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上， 动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
第九章 点的合成运动
• • • 绝对运动 相对运动 点的速度合成定理 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 牵连运动的概念
•
牵连运动为转动时点的加速度合成定理
概念
9.1
绝 对 运 动 相 对 运 动 牵 连 运 动
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动。 而在不同的参考坐标系中对同一个点的运动的描述 得到的结果是不一样的，例如： u 为了研究方便，把所研究的 点称为动点，把其中一个坐标系 称为静坐标系（一般固连于地球 v 上）；而把另一个相对于静坐标 系运动的坐标系称为动坐标系。 为了区分动点对于不同坐标系的运动，规定： 动点相对于静坐标系的运动称为绝对运动。 动点相对于动坐标系的运动称为相对运动。 动坐标系相对于静坐标系的运动称为牵连运动。 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动， 而牵连运动是指参考体的运动，实际上是刚体的运 动。
x y
‘
动点:小环M 动系:OA杆
ve
M
vr
x
O
绝对运动:曲线
相对运动:沿OA直线
牵连运动:圆周
ve=ωR=18 vr=6
绝对速度为多少?
概念
9.1
绝 对 运 动 相 对 运 动 牵 连 运 动
动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度称为 绝对轨迹、绝对速度和绝对加速度。 动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度称为 相对轨迹、相对速度和相对加速度。 在某一瞬时，动坐标系上和动点相重合的点（瞬 时牵连点）相对静坐标系的速度和加速度称为该瞬 时的牵连速度和牵连加速度。
加 速 度 合 成 定 理
va cos ve
即：
ve va cos r0 cos
该速度即为BC的速度。
动点的加速度合成矢量图如 9.3 图。其中：
n 2 牵 aa r 0 aa r0 连 运 建立如图的投影坐标轴 A ， 动 n 为 由aa aa ae ar ，将各矢量投影 平 到 轴上，得 动 n 时 aa cos aa sin ae 点 的 于是可得 加 2 速 ae r( 0 cos 0 sin 度 合 成 该加速度即为BC的加速度。 定 理