新疆乌鲁木齐第46中学八年级数学《19.3梯形(一)》教案【精品教案】

《梯形》精品教案内容分析本课之前，学生已经掌握了长方形、正方形、平行四边形和三角形等平面图形的本质特征和平行及平行线间的距离等有关内容，为本课教学作好了一定的知识、技能准备。

梯形虽然是学生初次接触的图形，但在生活实际中，学生已建立了一定的印象。

让学生动手操作、比较、交流和讨论，从中认识梯形，发现梯形的基本特征，认识梯形的高，认识等腰梯形，再通过比、说、画、量清晰地展示出梯形的主要特征，使抽象的知识形象化，既符合直观性原则，又突出了重点、突破了难点。

课时目标知识与能力认识和理解梯形的概念及特征，认识梯形的各部分名称，会画梯形的高。

过程与方法在整理与辨别的过程中，了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示，发展空间观念，渗透集合思想。

情感态度价值观在学习活动中激发学生的学习兴趣，体验成功的喜悦。

教学重难点教学重点理解梯形的概念及特征。

教学难点了解学过的所有四边形之间的关系，并会用集合图表示。

教学准备课件、三角尺、量角器、梯形学具。

教学媒体选择PPT教学活动提问，师生讨论教学过程一、创设情境，引入新课师：同学们，你们见过下面这样的图形吗？它们有什么共同点？课件出示教科书P66例3中的图片，抽象出梯形。

可能有学生知道它们是梯形，但是对梯形的特点不清楚。

师：是的，这也是一种四边形，它叫梯形。

梯形有什么特点？和我们前面学过的四边形相比，有什么相同和不同之处？今天我们就一起来学习有关梯形的知识。

（板书课题：梯形）【设计意图】通过问题情境的设置让学生快速进入学习状态，既能激发起学生探究知识的兴趣，同时也有意识地渗透了梯形与其他四边形之间的关系，为整体建构四边形知识网络，理解四边形之间的关系奠定了基础。

二、自主探究，合作交流1.探究梯形的特点。

师生拿出梯形学具。

师：梯形有什么特点？它和我们之前学过的平行四边形有什么不同？请大家仔细观察学具袋中的梯形，可以量一量、折一折，和同桌说说观察到了什么。

学生通过观察和交流会发现梯形有四条边、四个角。

19．3 梯形(1)第一课时教学目标知识与技能：探索梯形的有关概念与基本性质．过程与方法：经历探索梯形的有关概念、性质的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移、轴对称的有关知识在探究梯形性质中的应用．情感态度与价值观：增强主动探究意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的应用价值．重难点、关键重点：理解并掌握梯形的性质，并学会应用．难点：梯形性质的实际应用以及发展合情推理能力．关键：把握三角形、平行四边形的概念、性质，通过轴助线将梯形问题转化到熟悉的三角形、平行四边形问题中去解决．教学准备教师准备：收集生活中有关梯形的图片，制作投影片，等腰梯形纸片．学生准备：预习本节课内容．学法解析1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形有关概念，•积累了一定的几何推理经验．2．知识线索3．学习方式：通过观察、分析、归纳的方式理解概念，•合作交流的方式应用梯形知识．教学过程一、创设情境，探索新知【情境认知】教师活动：将收集来的有关梯形的图片展示给学生，引导学生探究它们的共同特点．（用实物投影或直接用实际图片）．学生活动：观察、分析、寻找其共同特性有：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，领会它们叫做梯形．（实际上在小学已初步认识梯形的图形）．教师活动：在掌握梯形定义之后，研究特殊的梯形：等腰梯形、直角梯形．让学生观察有关等腰梯形、直角梯形的图片，进行识图．学生活动：在众多梯形的图片中（教师事先准备好的图片）认识：1．梯形的上底、下底、腰、高（图a）；2．有两腰相等的梯形叫做等腰梯形（图b）．3．有一个角是直角的梯形叫做直角梯形（图c）．教师板书并归纳：梯形知识结构图：二、观察分析，获取性质【投影显示】观察与分析：（课本P117 “观察”）【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生观察探究等腰梯形的有关性质，采用出示等腰梯形的纸片，将其对折，让两腰重合．再展开，让学生观察．学生活动：通过教师对教具等腰梯形的操作，发现等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线段所在的直线．教师启发：大家已经发现了等腰梯形是轴对称图形，那么根据轴对称的性质，请你归纳一下等腰梯形的性质．学生活动：先合作交流，再踊跃发言，归纳出等腰梯形的性质：1．等腰梯形同一底边上的两个角相等；2．等腰梯形的两条对角线相等．【评析】在归纳性质时，让学生论证其正确性，让学生明确梯形的知识的推导往往是需要应用到前面的几何知识，如三角形全等，轴对称性质等．【设计意图】采用观察、发现、分析、交流的方法解决本节课重点和突破难点等问题．验证性质：（课本P118“思考”）【活动方略】教师活动：提出问题，并拓展解决问题的方法，要求学生用多种方法证明等腰梯形的两个性质．学生活动：分四人小组，进行合作交流，探讨不同的证明思路，踊跃上台演示．思路点拨：实际上可以通过辅助线把梯形切割成三角形和平行四边形问题去解决，做法如下：【设计意图】对课本P118“思考”的处理可以再大胆的拓展一些，把梯形转化成三角形和平行四边形的常见轴助线交到学生手上，丰富他们的想象力．三、范例点击，应用所学例1（课本P118）【活动方略】教师活动：操作投影仪，显示例1，指导学生阅读理解，从中领会几何思路．学生活动：在教师分析指导下，弄清等腰梯形性质的实际应用．【课堂演练】（投影显示）演结题1：等腰梯形的对角线互相垂直，高为10cm，求出它的中位线长．•（答案：10cm）思路点拨：由于等腰梯形对角线相等且互相垂直，因此用常见辅助线：平移对角线，将问题归结到Rt△和平行四边形问题去解决，就容易了．（如下图）演练题2：如图2，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=7cm ，BC=10，AB=8cm ，DC=9cm ，E 、F 、G 、H 分别是AD 、BC 、BD 、AC 的中点，求四边形EGFH 的周长．（答案：17cm ）思路点拨：应用三角形中位线定理来解决．EG=12AB ，EH=12DC ，GF=12DC ，HF=12AB ． 【活动方略】教师活动：操作投影仪，显示“演练题1，2”，组织学生演练，巡视、引导，•关注“学困生”．学生活动：先独立完成演练题，再争取上讲台“板演”．通过训练，学会梯形有关性质的应用．四、随堂练习，巩固深化1．课本P119 “练习”1 P120 习题19．3 2 2．【探研时空】已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD+BC ，E 为CD 的中点，求证：AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC ．思路点拨：在已知条件中有AB=AD+BC 这一条件，通常有下面两种思路．•其一是在较长的线段上截取，也就是说在AB 上取一点P ，使AP=AD ，则BP=BC ，然后去证明△ADE 与△APE 全等，本题在寻找全等的条件比较困难，其二是延长AD 到M ，•使AM=•AB ，•证明△ABE ≌△AME ．即，在已知AB=AD+BC 这一条件下或在AB 上取一条线段等于AD ，或在AD•上加上一段等于AB ，使得已知条件充分发挥作用． 证明：延长BE 交AD 延长线于F ．∵AD ∥BC ，∴∠C=∠EDF ，又CE=DE ，∠BEC=∠DEF ， ∴△BEC ≌△FED ，∴BC=FD ． ∴AB=AD+BC=AD+DF=AF ， 且BE=EF ，∴AE 平分∠DAB ． 同理，BE 平分∠ABC ． 五、课堂总结，发展潜能1．梯形定义：有一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形，•梯形也是一类特殊的四边形．2．等腰梯形：两条腰相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底的垂直平分线，它只有一条对称轴． 3．等腰梯形性质：（1）等腰梯形不平行的两边相等； （2）等腰梯形同一底上的两个角相等； （3）等腰梯形的两条对角线相等．4．直角梯形：有一条腰垂直于上下底，另一腰不垂直上下底边的梯形．研究直角梯形的性质与边角之间关系，常常可通过作辅助线把直角梯形分成一个矩形与一个直角三角形，或分成一个平行四边形与一个直角三角形去解决．5．凡是梯形问题通常可以转化成三角形和平行四边形问题去解决．六、布置作业，专题突破1．课本P120 习题19．3 1，4，5，92．选用课时作业优化设计七、课后反思第一课时作业优化设计【驻足“双基”】1．等腰梯形的腰长为2，下底长为6，腰与下底的夹角为45°，•则梯形的上底长为________．2．如图，梯形ABCD中，对角线AC交中位线EF于G，EG：GF=3：2，EF=15cm，则AD=_____．3．顺次连结等腰梯形各边中点所得的图形是_________．4．已知等腰梯形的腰等于它的中位线的长，周长为24cm，则腰长为（）．A．6cm B．7cm C．8cm D．以上结果都不对5．已知，直角梯形的一条腰长为5cm，这腰与底成30°的角，则这梯形另一腰的长为（）．A．10cm B．5cm C．2.5cm D．7.5cm6．已知直角梯形的高度是15cm，上底是3cm，下底为11cm，求此直角梯形的周长与面积．【提升“学力”】7．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，若，求：（1）对角线AC的长；（2）梯形ABCD的面积．【聚焦“中考”】8．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD，E、F、G、H分别是梯形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，•当梯形ABCD•满足什么条件时，•四边形EFGH是菱形．9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，E为BC•边上的点，将直角梯形ABCD 沿对角线BD折叠，使△ABD与△EBD重合，（如图中阴影所示），若∠A=120°，AB=4cm，求梯形ABCD的高CD的长．答案:1．．12cm 3．菱形 4．A 5．C 6．46cm，118cm 7．4cm，8cm2（提示：过D•作DF∥AC交BC延长线于F8．开放答案9．提示：证ABED，运用30•°角所对边等于斜边的一半来解决．。

授课时间：_____年_____月____日八年级数学下册教案备课人：课题：梯形（二）教学内容：梯形（二）教学目标1.能说出和证明等腰梯形的判定定理.2.能运用等腰梯形的判定定理进行有关的判定、论证和计算.3.会画出符合条件的等腰梯形.重点难点梯形的判定及应用解决梯形问题的基本方法教学准备教师准备是否需要课件学生准备教学过程设计一、创设问题情景,引入新课.上节课,我们研究了梯形,并且研究了特殊的梯形—等腰梯形的概念及其性质,请同学们说出什么样的梯形是等腰梯形?两腰梯形有什么性质?（学生讨论）等腰梯形是特殊的梯形,所以它具有梯形的性质,它还具有下列一般梯形所不具备的性质.同一底上两个内角相等；对角线相等；是轴对称图形.下面请同学们来做一做(老师播放课件,学生进行画、讨论、总结)在下图中的每个三角形中画一条线段.(1)怎样画才能得到一个梯形?(2)在哪些三角形中,能够得到一个等腰梯形呢?(1)因为梯形的上、下两底平行且不相等，所以只要在三角形的两边上各找一点，使这两点的连线平行于第三边即可得到梯形。

(2)第（2）（3）个三角形中能够得到一个等腰梯形。

在等腰三角形的两腰上分别找一点，使这两点的连线平形于等腰三角形的底边即可得到一个等腰梯形。

(3)说得太好了，这节课，我们就来探讨等腰梯形的判定。

二、讲授新课受刚才做图的启发：只有等腰三角形才能得到等腰梯形。

请同学们靠虑下面的问题。

议一议：“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”这个命题成立吗？能否加以证明。

学生活动：（通过想一想，试一试，议一议。

做一做的小活动，初步懂得添加辅助线的一般方法，学会将梯形问题转化为平行四边形、矩形、等腰三角形来处理）留白：（供教师个性化设计）证法一:如图延长BA.CD相交于点E.∵∠B＝∠C（三角形中等角对边等）∴BE＝CE.∵四边形ABCD是梯形,∴AD∥BC.∴∠EAD＝∠B,∠EDA＝∠C.即AB＝CD,∴梯形ABCD是等腰梯形.证法二: 如图将CD平移到AE位置.此时四边形AECD是平行四边形.则A E∥CD且AE＝CD,∴∠AEB＝∠C.又∵∠B＝∠C,∴∠B＝∠AEB.∴AB＝AE.（三角形等角对边等）∴AB＝CD.因此梯形ABCD是等腰梯形.证法三: 如图作梯形ABCD的高A E、DF分别交于BC于E、F.∵梯形上、下底平行,即AD∥BC,∴AE＝DF.（夹在平行线间的垂线段相等）又∵∠AEB＝∠DFC＝90°,∠B＝∠C,∴△ABE≌△DCF.∴AB＝DC∴梯形ABCD是等腰梯形.通过活动，同学的说理能力以有了很大提高。

八年级数学下册 19.3.1梯形导学案（1）人教新课标版19、3、1 梯形（1）导学案学习目标：1、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质和判定、2、能够运用等腰梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力、3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，体会图形变换的方法和转化的思想、重点、难点重点：等腰梯形的性质及判定的应用、难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用、【预习内容】（阅读教材第106至108页，并完成预习内容。

）探究1：（1）创设问题情境引出梯形概念、（图1）观察，图1中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？梯形:______________________________________________叫做梯形、（2）、画一个梯形，标出这个梯形的上底，下底，腰，高,、（3）结合上图写出梯形的面积公式：S=（_______+________）_____（4）、回顾一下所见过的梯形，你觉得梯形应该分几类？它们各有什么特点？（5）、你觉得平行四边形和梯形的区别是什么？_O_D_A_B_C探究2：如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB=DC,AC,BD是它的对角线。

这个图形是轴对称图形吗？对称轴在那里？图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？等腰梯形的性质：①___________________________________________________ _____、②、③、你能证明等腰梯形的上述性质吗？例1 如图，延长等腰梯形ABCD的腰BA与CD,使它们相交于点E、求证：△EBC 和△EAD都是等腰三角形。

探究3：你能证明“同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形吗？”等腰梯形判定定理：____________两个角_______的梯形是等腰梯形。

19．3 梯形（一）——人教版《数学》八年级下册吴忠一中马秀丽教学目标1、探索并掌握梯形的有关概念和基本性质，探索、了解并掌握等腰梯形的性质．2、能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析问题能力和计算能力．3、通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．重点等腰梯形的性质及其应用．难点添加辅助线，把梯形问题转化成平行四边形或三角形问题等；问题与情境师生行为设计意图1、创设问题情境——引出梯形概念．观察（教材观察）：有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？2．小学里学过梯形，请同学们举例生活中那些物体给我们以梯形的形象？3、什么是梯形？一些基本概念：底、腰、高．等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长学生积极参与举例生活中的梯形梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形情景引入，激发学生兴趣，吸引学生注意力。

使学生感到生活中时时处处都闪现着数学知识，激发学生学好数学的愿望，并用数学的角度去考察和解决身边的事物现象。

短来定义的，而并不是指位置来说的．4、做—做——探索等腰梯形的性质①在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．②思考：图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？结论：①边：等腰梯形的一组边平行，；另一组边相等；②角：等腰梯形同一底上的两个角相等；③对角线：等腰梯形的两条对角线相等．④轴对称性：等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．学生动手折叠观察发现结论分组讨论相互交流猜想得出：等腰梯形同一底上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．师生共同分析证明结论的正确性。

分析证角相等的方法。

动手证明，得出结论。

新课标人教版初中数学八年级下册第十九章《19.3梯形》精品教案梯形知识归纳1．梯形的定义及其有关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高．一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形．2．梯形的性质及其判定梯形是特殊的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．3．等腰梯形的性质和判定性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴．判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角钱相等的梯形是等腰梯形．梯形重难点分析本节的重点是等腰梯形的性质和判定.梯形仍是具有特殊条件的四边形，它与平行四边形同属于特殊的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行.而等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在认识和理解上有一定的基础，但还是容易同特殊的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注意.梯形的教学建议1.关于梯形的引入生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不陌生，梯形的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等；②从小学学习过的旧知识复习引入；③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究；④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质.2.关于梯形的概念梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：①一组对边平行的四边形是不是梯形？②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形？③一组对边相等的图形是不是梯形？④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形？⑤对角线相等的图形是不是梯形？⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形？⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形？⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形？一、教学目标1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念．2. 掌握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等.3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．4. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、教法设计小组讨论，引导发现、练习巩固三、重点、难点1．教学重点：等腰梯形性质．2．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体，小黑板，常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线七、教学步骤【复习提问】1．什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有什么性质？2．小学学过的梯形是什么样的四边形．（让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念）．【引入新课】（板书课题）梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个问题．1．梯形及梯形的有关概念（l）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（2）底：平行的一组对边叫做梯形的底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底）．（3）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰．（4）高：两底间的距离叫做梯形高．（5）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．（6）等腰梯形：两腰相等的梯形．（以上这一过程借助多媒体或投影仪演示）提醒学在注意：①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质．②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等（让学生想一想，为什么不能相等）．③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．2．等腰梯形的性质例1 如图，在梯形中，，，求证：．分析：我们学过“等腰三角形两底角相等”，如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了．证明：（略）由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等．例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等．已知：在梯形中，，，求证：．分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出，然后再利用，即可得出．证明过程：（略）．由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等．除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线．3．解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作交于，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之—（让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图）．（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．【总结、扩展】小结：（以提问的方式总结）（1）梯形的有关概念．（2）梯形性质（①－③）．（3）解决梯形问题的基本思想和方法．（4）解决梯形问题时，常用的几种辅助线．八、布置作业教材P179中2、3、4九、板书设计十、随堂练习教材P176中1、3。

课题：19.3 梯形（1）教学目标：1.知识与技能：探索梯形的有关概念与基本性质．2.过程与方法：经历探索梯形的有关概念、性质的过程，发展数学中的转换、化归思维方法，体会平移、轴对称的有关知识在探究梯形性质中的应用． 3.情感态度与价值观：增强主动探究意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的应用价值．教学重难点，关键：重点：理解并掌握梯形的性质，并学会应用．难点：梯形辅助线的各种添加方法．关键：把握三角形、平行四边形的概念、性质，通过辅助线将梯形问题转化到熟悉的三角形、平行四边形问题中去解决．教学过程：（一）创设情境，引入新课问：前面我们已研究了哪些四边形？（平行四边形、矩形、菱形、正方形）问：它们有什么共同特征？（它们都是平行四边形）问：我们是如何定义平行四边形的？（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）问：我们今天要研究的梯形是平行四边形吗？（不是，是梯形）问：为什么？（只有一组对边平行）师：我们就把“一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形”。

（进入新课，板书梯形的定义）（二）交流对话，探究新知1. 定义：我们把这种一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

介绍梯形的上底、下底、腰、高、概念：平行的两边称为底（较短的是上底，较长的是下底）； 不平行的两边称为两底间的距离称为 腰与底边的夹角称为底角。

2. 特殊的梯形：3. 在研究四边形时，我们往往研究特殊的四边形如平行四边形；在梯形中，我们也同样研究特殊的梯形：直角梯形与等腰梯形。

今天我们就来研究等腰梯形。

师：等腰梯形我们要研究什么？生：性质。

师：从哪几个角度来研究？生：边、角、对角线。

等腰梯形的性质：“边”①等腰梯形的两腰相等。

“角”②等腰梯形的同一底上．．．．的两个底角相等。

性质证明： 已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD 。

求证：∠B=∠C.方法一：过点A 作AE ⊥BC 于E ， 方法二：过点A 作AE ∥CD 交BC 于E ，过点D 作DF ⊥BC 于F ，∠A 和∠D 什么关系？基本辅助线：①作底边上的两条高；②平移一腰；解题思想：“对角线”③等腰梯形的对角线相等。

19．3 梯形（二）教学目标知识与技能1. 通过探究教学，使学生掌握“同一底上两底角相等的梯形是等腰梯形”这个判定方法，及其此判定方法的证明2．能够运用等腰梯形的性质和判定方法进行有关的论证和计算，体会转化的思想，数学建模的思想，会用分析法寻求证明题思路，从而进一步培养学生的分析能力和计算能力．3．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想过程与方法经历探索梯形的判定条件的过程，发展学生合情推理能力.情感态度与价值观增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值.重点掌握等腰梯形的判定方法并能运用．难点等腰梯形判定方法的运用教学过程备注教学过程与师生互动第一步：温习故知第二步：学习新知：【提出问题】：前面所学的特殊四边形的判定基本上是性质的逆命题．等腰梯形同一底上两个角相等的逆命题是什么？命题：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形问：这个命题是否成立？能否加以证明，引导学生写出已知、求证．启发：能否转化为特殊四边形或三角形，鼓励学生大胆猜想，和求证．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C．求证：AB=CD．分析：我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对的边相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，命题就容易证明了．图一证明方法一：过点D作DE∥AB交BC于点F，得到△DEC．∵AB∥DE，∴∠B=∠1，∵∠B=∠C，∴∠1=∠C．∴DE＝DC．又∵AD∥BC，∴DE＝A B=DC．证明时，可以仿照性质证明时的分析，来启发学生添加辅助线DE．证明方法二：用常见的梯形辅助线方法：过点A作AE⊥BC，过D作DF⊥BC，垂足分别为E、F（见图一）．图二证明方法三：延长BA、CD相交于点E（见图二）通过证明：验证了命题的正确性，从而得到：等腰梯形判定方法等腰梯形判定方法在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．几何表达式：梯形ABCD中，若∠B=∠C，则AB=DC．【注意】等腰梯形的判定方法：①先判定它是梯二形，②再用“两腰相等”“或同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．第三步：应用举例：例1（教材P119的例2）例2（补充）证明：对角线相等的梯形是等腰梯形．已知：如图，梯形ABCD中，对角线AC=BD．求证：梯形ABCD是等腰梯形．分析：证明本题的关键是如何利用对角线相等的条件来构造等腰三角形．在ΔABC和ΔDCB中，已有两边对应相等，要能证∠1=∠2，就可通过证ΔABC ≌ΔDCB得到AB=DC．证明：过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E，又AD∥BC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC ．∵AC=BD ，∴DE=BD ∴∠1=∠E∵∠2=∠E ，∴∠1=∠2又AC=DB，BC=CE，∴ΔABC≌ΔDCB．∴AB=CD．∴梯形ABCD是等腰梯形．说明：如果AC、BD交于点O，那么由∠1=∠2可得OB=OC，OA=OD ，即等腰梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路．问：能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，可证 Rt ΔABC ≌Rt ΔCAE ，得∠1=∠2．例3（补充） 已知：如图，点E 在正方形ABCD 的对角线AC 上，CF ⊥BE 交BD 于G ，F 是垂足．求证：四边形ABGE 是等腰梯形．分析：先证明OE ＝OG ，从而说明∠OEG ＝45°，得出EG ∥AB ，由AE ，BG 延长交于O ，显然EG≠AB ．得出四边形ABGE 是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形．例 4 （补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm 、12cm ，高为3cm ，并计算这个等腰梯形的周长和面积．分析：梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形．如图，先算出AB 长，可画等腰三角形ABE ，然后完成 AECD 的画图．画法：①画ΔAB E ，使BE=12—4=8cm ．.②延长BE 到C 使EC=4cm.③分别过A 、C 作AD ∥BC ，CD ∥AE ，AD 、CD 交于点D ．四边形ABCD 就是所求的等腰梯形．解：梯形AB CD 周长＝4＋12＋5×2＝26cm ．．）（梯形224312421cm S ABCD =⨯+⨯= 答：梯形周长为26cm ，面积为242cm ．例5：.如图4.9-4，已知等腰梯形ABCD 的腰长为5cm ，上、下底长分别是6cm 和12cm ，求梯形的面积. （方法一，过点C 作CE ∥AD ，再作等腰三角形BCE 的高CF ，可知CF=4cm.然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C 和D 分别作高CF 、DG ，可知，从而在Rt △AGD 中求出高DG=4cm. ）第四步：随堂练习1．下列说法中正确的是（ ）．（A ）等腰梯形两底角相等（B ）等腰梯形的一组对边相等且平行（C ）等腰梯形同一底上的两个角都等于90度（D ）等腰梯形的四个内角中不可能有直角2．已知等腰梯形的周长25cm,上、下底分别为7cm 、8cm ，则腰长为_______cm ．3．已知等腰梯形中的腰和上底相等，且一条对角线和一腰垂直，求这个梯形的各个角的度数．4．已知，如图，在四边形ABCD 中，AB ＞DC ，∠1=∠2，AC=BD ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．（略证 BCD ADC BDC ADC ∠=∠⇒∆≅∆，A D=BC ， CBA DAB ACB ADB ∠=∠⇒∆≅∆，∴AB ∥DC ）5．已知，如图，E、F分别是梯形ABCD的两底AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：梯形ABCD是等腰梯形．第五步：课后练习1．等腰梯形一底角60 ，上、下底分别为8，18，则它的腰长为______，高为______，面积是_________．2．梯形两条对角线分别为15，20，高为12，则此梯形面积为_________．3．已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB与CD不平行，且AB=CD．求证：四边形ABCD是等腰梯形．4．如图4.9-9，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，1CE⊥AB于E，若AC⊥BD于G．求证：CE=2（AB+CD）．第六步：课堂小结等腰梯形的判定方法：一般是先判定一个四边形是梯形，然后再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形．判定一个四边形是梯形时，根据梯形定义，判定另两边不平行比较困难，可以通过判定平行的两边不相等来说明．梯形的画图：一般先画出有关的三角形，在此基础上再画出有关的平行四边形，最后得到所求图形．（三角形奠基法）课后反思：19．3 梯形（一）教学目标知识与技能1. 知道梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念；能说出并证明等腰梯形的两个性质；等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等2. 会运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想过程与方法经历探索梯形的有关性质、概念的过程，发展学生学习数学中的转换、化归思维方法，体会平移，轴对称的有关知识在梯形中应用.情感态度与价值观增强主动探索意识，发展合情推理思维，体会逻辑思维训练在实际问题中的价值.重点等腰梯形的性质及其应用．难点解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线），及梯形有关知识的应用．教学过程备注教学设计与师生互动第一步：复习引导平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质边角对角线平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定平行四边形矩形菱形正方形第二步：课堂引入1．创设问题情境——引出梯形概念．【观察】（教材P117中的观察）右图中，有你熟悉的图形吗？它们有什么共同的特点？2．画一画：在下列所给图中的每个三角形中画一条线段，【思考】（1）怎样画才能得到一个梯形？（2）在哪些三角形中，能够得到一个等腰梯形？梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．）（1）一些基本概念（如图）：底、腰、高．底：平行的一组对边叫做梯形的底.（较短的底叫做上底，较长的底叫做下底）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰.高：两底间的距离叫做梯形的高.直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.（2）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．（3）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．3．做—做——探索等腰梯形的性质（引入用轴对称解决问题的思想）．在一张方格纸上作一个等腰梯形，连接两条对角线．【问题一】图中有哪些相等的线段？有哪些相等的角？这个图形是轴对称图形吗？学生画图并通过观察猜想；【问题二】这个等腰梯形的两条对角线的长度有什么关系？结论：①等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴．②等腰梯形同一底上的两个角相等．③等腰梯形的两条对角线相等．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图 1 图 2 图 3 图 4 图5综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．第三步；应用举例：例1（教材P118的例1）略．（延长两腰梯形辅助线添加方法三）例2（补充）如图，梯形ABC D中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．分析：设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题．其方法是：平移一腰，过点A作AE∥DC交BC于E，因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB），因此CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm．解（略）．例3 （补充）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠CAB＝∠ABC，BE⊥AC于E．求证：BE＝C D．分析：要证BE=CD，需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：平移一腰，过点D作DF∥AB交BC于F，因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB，由已知可导出∠DFC=∠BAE，因此Rt△ABE≌Rt△FDC（AAS），故可得出BE=CD．证明（略）另证：如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD，证明△ABE≌△FDC即可．例4：求证：等腰梯形的两条对角线相等已知：求证：例5：如图4.9-4，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm,求CD的长.例6：已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.已知：求证：例4：已知：如图4.9-5，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC.第四步：课堂练习1、填空（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= .（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和.（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= .2、如图4.9-6，等腰梯形ABCD中，AB=2CD，AC平分∠DAB，A B4，（1）求梯形的各角.（2）求梯形的面积.＝33、（1）在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=a，BC=b，,则DC= ．（2）直角梯形的高为6cm，有一个角是30°，则这个梯形的两腰分别是和．（3）等腰梯形ABCD中，AB∥DC，A C平分∠DAB，∠DAB=60°，若梯形周长为8cm，则AD= ．4．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，A B∥CD，AB＞CD，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°，梯形周长是20cm，求梯形的各边的长．（AD=DC=BC=4，AB=8）第五步：课后练习1．填空：已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角为，最小角为．2．已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长和面积．3．已知：如图，梯形ABCD中，CD//AB，∠=A40ο，∠=B70ο．求证：AD=AB—DC．4．已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，DE⊥CE，求证：AD+BC=DC．（延长DE交CB延长线于点F，由全等可得结论）第六步：课堂小结1、梯形的定义及分类2、等腰梯形的性质：（1）具有一般梯形的性质：AD∥BC.（2）两腰相等：AB=CD.（3）两底角相等：∠B=∠C，∠A=∠D.（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.（5）两条对角线相等：AC=BD.两条对角线的交点在对称轴上.两腰延长线的交点在对称轴上.课后反思：教学目标知识与技能使学生掌握梯形中位线定理，并能熟练地用它进行有关的论证和计算，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生具有“类比”和“转化”的数学思想和应用意识.过程与方法经历探索会运用梯形的中位线和性质进行有关问题的论证和计算.情感态度与价值观通过探索梯形的中位线的性质，提升学生的对知识的横向联系的素质重点梯形中位线性质及其证明．难点任意多边形面积的计算．教学过程备注教学设计与师生互动第一步：复习提问1．什么叫做三角形的中位线？它有什么性质？2．等边三角形各边中点的连线形成什么图形？，3.梯形也有中位线．那么梯形的中位线及性质是什么？第二步：讲授新课：1．梯形中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．强调：梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段．2．梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线．设法把梯形中位线转化为三角形中位线．3. 等腰梯形的常用辅助线的添加方法作法一：过点C作CF∥AD交AB延长线于F作法二：过A作AF⊥DC于F，BE⊥DC于E作法三：延长DA、CB交于点O作法四：过点B作BE∥AD，交DC于点作法五：过点B作BE∥AC交DC延长线于点EODCBA作法一作法二作法三作法四作法五4．梯形、多边形面积的计算小学学过的梯形面积S=(a＋b)h÷2 ，而l=(a＋b)÷2，推出S=lh(l 为梯形中位线长，h为梯形高)．多边形面积的求法，任意多边形面积可以通过辅助线，把它分割成三角形、平行四边形、梯形，就可以利用这些图形的面积公式计算任意多边形面积．第三步：应用举例：例1：课本P121习题第9题（让学生思考并寻求证明方法，教师加以巡视及点拨.）分析：如图，连AN并延长交BC延长线于E，这样可证△ADN≌△ECN,得AD=CE，MN变成△ABE的中位线，可得)(21)(2121BCADCEBCBEMN+=+==,且有MN∥BC∥AD小结：1.梯形中位线性质：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．该定理的证明关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线．例 2 有一块四边形的地ABCD，测得AB=26m，BC=10m，CD=5m，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积．分析：解题的关键是通过辅助线把多边形分割成面积可以计算的常见图形(三角形、平行四边形、梯形等)，至于解答程序可不作限制．可以先列出所求面积公式，再求公式中的未知项，最后代入公式求出结果；也可以先列出已知项，求出有关的未知项，再列出公式，将数值代入求出结果．ENMA DB CQNABCD第四步：课堂小结本节课主要讲了梯形中位线性质定理和证明，推出了梯形面积的又一计算公式．介绍了多边形面积计算原则(分割成四边形与三角形)，要求牢牢掌握.对三角形、梯形中位线知识进行归纳：1．三角形中位线定义、性质与判定．2．梯形中位线的定义、性质与判定．3．多边形面积的计算原则（分割）课后反思：。

初二数学上册教案：梯形(1)教学目标：情意目标：培养学生团结协作的精神，体验探究成功的乐趣。

能力目标：能利用等腰梯形的性质解简单的几何计算、证明题；培养学生探究问题、自主学习的能力。

认知目标：了解梯形的概念及其分类；掌握等腰梯形的性质。

教学重点、难点重点：等腰梯形性质的探索；难点：梯形中辅助线的添加。

教学课件：PowerPoint演示文稿教学方法：启发法、学习方法：讨论法、合作法、练习法教学过程：（一）导入1、出示图片，说出每辆汽车车窗形状（投影）2、板书课题：5梯形3、练习：下列图形中哪些图形是梯形？（投影）结梯形概念：只有4、总结梯形概念：一组对边平行另以组对边不平行的四边形是梯形。

5、指出图形中各部位的名称：上底、下底、腰、高、对角线。

（投影）6、特殊梯形的分类：（投影）（二）等腰梯形性质的探究【探究性质一】思考：在等腰梯形中，如果将一腰AB沿AD的方向平移到DE 的位置，那么所得的△DEC是怎样的三角形？（投影）猜想：由此你能得到等腰梯形的内角有什么样的性质？（学生操作、讨论、作答）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。

求证：∠B=∠C 想一想：等腰梯形ABCD中，∠A与∠D是否相等？为什么？等腰梯形性质：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。

【操练】（1）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60o，BC=10cm，AD=4cm，则腰AB=cm。

（投影）（2）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，CA平分∠BCD，求证：∠B=2∠E.（投影）【探究性质二】如果连接等腰梯形的两条对角线，图中有哪几对全等三角形？哪些线段相等？（学生操作、讨论、作答）如上图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，求证：AC=BD。

（投影）等腰梯形性质：等腰梯形的两条对角线相等。

【探究性质三】问题一：延长等腰梯形的两腰，哪些三角形是轴对称图形？为什么？对称轴呢？（学生操作、作答）问题二：等腰梯是否轴对称图形？为什么？对称轴是什么？（重点讨论）等腰梯形性质：同以底上的两个内角相等，对角线相等（三）质疑反思、小结让学生回顾本课教学内容，并提出尚存问题；学生小结，教师视具体情况给予提示：性质（从边、角、对角线、对称性等角度总结）、解题方法（化梯形问题为三角形及平行四边形问题）、梯形中辅助线的添加方法。

2021 2021学年八年级数学下册 19.3 梯形教案新人教版 doc 2021-2021学年八年级数学下册19.3梯形教案新人教版doc2021-2021学年八年级数学下册19.3梯形教案新人教版一、教学目标：1．科学知识目标：（1）（2）（3）理解梯形、等腰梯形、直角梯形的概念。

能够积极探索并掌控全等梯形的特征及识别方法，并能够有效率应用领域。

学会水解梯形为平行四边形与三角形的方法2．能力目标：（1）（2）（3）（4）培育学生观测、分析的能力，以及对尚无科学知识概括、总结的能力；提升学生的合作能力，增强团结意识；培育学生逻辑思维能力和对图形的心智能力；培育学生的表达能力。

3．情感目标：（1）体验。

（2）意识。

从学生尚无的科学知识和水平启程，唤起他们的求知欲，通过合作获得成功的创设问题情景，唤起学生观测、分析、探究的自学热情；强化学生的参予（3）引导学生通过测量、归纳与猜测，探索等腰梯形的性质，从而使学生体会科学发现的快乐。

二、重点和难点：（1）重点：等腰梯形的特征及识别方法；学会水解梯形为平行四边形与三角形的方法（2）难点：灵活应用等腰梯形的特征及识别方法解决问题。

三、教学准备工作：实物投影仪电脑四、教学课时：一课时五、教学过程：（一）观察与表达训练：1．动手画平行四边形，带出梯形。

（课前准备好存有平行线条的纸）。

2．概念的导入现在你能说出什么样的四边形是梯形了吗？学生发现：梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。

3．使学生列举生活中的梯形实例。

图形的展示（生活中的梯形）4．总结小学关于梯形面积的自学，带出梯形各部分名称。

了解梯形上底、下底、腰、同底上的两个角5．梯形的分类直角梯形：有一个角是直角的梯形等腰梯形：两腰相等的梯形（二）了解与探究：我们本节将主要研究全等梯形。

活动：再次应用平行线条的纸，画出等腰梯形，剪出等腰梯形。

引导学生采用创新方法剪出等腰梯形。

（学生利用裁剪出的等腰梯形，开始活动）除了两腰相等以外，还能发现它身上其它特征？学生动手观测后总结：1．全等梯形就是一个轴对称图形（对称轴是经过上、下两底中点的直线）2．等腰梯形同一底边上的两个内角相等3．等腰梯形的两条对角线相等练习：1．未知全等梯形一个内角等同于70度，谋其它三个内角的度数。