知识导图
第一讲：三角形
概述教学内容
本讲内容涉及三角形角度计算的知识点，在人教版课本第十一章中学习，在本系列教材初二第1册第一节中已学习过．专题1 三角形角度转换基本图形的应用
专题2 三角形角平分线基本模型
专题3 三角形内、外角度转换
专题4 角度转换基本模型与平面直角坐标系综合应用
专题讲解
专题1：角形角度转换基本图形的应用
【例1】如图所示，已知∠C＝54°，∠E＝30°，∠BDF＝130°，求∠A的度数．
A
E
C
F
B D
（2012，江岸区期末）
【解析】
【归纳总结】
①题型特征： ②方法与技巧：
练1．1：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 为线段AD 上的一个动点，PE ⊥AD 交直线BC 于点E ． （1）若∠B ＝35°，∠ACB ＝85°，求∠E 的度数；
（2）当P 点在线段AD 上运动时，猜想∠E 与∠B 、∠ACB 的数量关系，写出结论无需证明．
B
C A
D P
练1．2：如图，已知∠CGE ＝120°，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．
αB
C
G
E
A
F
D
练1．3：如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝ 度．
A C
D E
F B P
I
专题2：三角形角平分线的基本模型
【例2】如图，△ABC 中，∠A ＝50°，点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点．
A
C B P
A
C B
D
E
P A
C B F
P
图1 图2 图3
（1）求∠P 的度数；
（2）猜想∠P 与∠A 有怎样的大小关系？
（3）若点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ （4）若点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点，∠P 与∠A 又有怎样的大小关系？ 【解析】
【归纳总结】
①题型特征： ②方法与技巧：
练2．1：如图，BE 是∠ABD 的角平分线，CF 是∠ACD 的角平分线，BE 与CF 交于点G ，∠BDC ＝140°，∠BGC ＝110°，求∠A 的度数．
D B
A C
G
E
F
练2．2：
（1）如图1，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B 、C ．△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ ，∠XBC ＋∠XCB ＝ ．
B X Z
Y
A
C
图1
（2）如图2，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 仍然分别经过B 、C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．
B X Z
Y
A
C
图2
练2．3：
（1）如图1，求证：∠CDB ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．
C A
B
D
图1
（2）如图2，∠ACD 的平分线与∠ABD 的平分线交于点E ．试问∠A ，∠CEB 和∠CDB 有何数量关系？为什么？
C A
B
D E
图2
（3）如图3，若∠ACE＝1
3
∠ACD，∠ABE＝
1
3
∠ABD，猜想∠A，∠CEB和∠CDB之间的数量关系
为．（写出结论，不必证明）
E C
D 图3
【变式】
已知△ABC中，∠BAC＝100°．
B A
O
B
A
O1
O
图1 图2 图3
（1）若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
（2）若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O1，如图2所示，试求∠BOC的大小；
（3）如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O1，O2，…，如图3所示，试探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC＝170°时，是几等分线的交线所成的角．
（2014，光谷实验10月月考）
专题3：三角形内、外角度的转换
【例3】将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处．
（1）如图1，试问∠1，∠2与∠C之间有何关系？为什么？
（2）若点C′在△ABC的外部，如图2所示，试问∠1，∠2与∠C之间又有何关系？为什么？
2
1A
C F
B
E
C'21A
C
F
B
E C'
图1 图2
（2014，江汉区期末）
【解析】
【归纳总结】
①题型特征： ②方法与技巧：
练3．1：如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ，D 为BC 边上一点，E 为直线AC 上一点，且∠ADE ＝∠AED ； （1）求证：∠BAD ＝2∠CDE ；
B
A
C
D
E
（2）如图，若D 在BC 的反向延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论．
B
A
C
D
E
【例4】如图，BP 是∠ABC 的平分线，DP 是∠CDA 的平分线，BP 与DP 交于P ，右∠A ＝40°，∠C ＝76°，求∠P 的大小．
