2018年四川省内江市中考数学试卷

2018年四川省内江市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. （3.00分）-3的绝对值是（）
A. - 3
B. 3
C.
D.
3 3
2. （
3.00分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用
科学记数法表示为（）
A. 3.26X 10「4毫米
B. 0.326X 10「4毫米
C. 3.26X 10「4厘米
D. 32.6X 10「4厘米
3. （3.00分）如图是正方体的表面展开图，则与前”字相对的字是（）
A.认
B.真
C.复
D.习
4. （3.00分）下列计算正确的是（）
A. a+a=a2
B. （2a）3=6a3
C. （a- 1）2=a2- 1
D. a3十a=X
5. （3.00分）已知函数y=汀-，则自变量x的取值范围是（）
x-1
A. - 1< x v 1
B. x>- 1 且X M 1
C. x>- 1
D. X M 1
6. （3.00分）已知：「- 1 =「，则二的值是（）
a b 3 b-a
A. g
B.-吉
C. 3
D.- 3
3 3
7. （3.00分）已知O O1的半径为3cm，O O2的半径为2cm,圆心距O1O2=4cm, 则。

O1与。

O2的位置关系是（）
A.外高
B.外切C•相交D.内切
8. （3.00分）已知△ABC与△ A1B1C1相似，且相似比为1: 3,则厶ABC与厶A1B1C1的面积比为（）
A. 1: 1
B. 1: 3
C. 1: 6
D. 1: 9
9. （3.00分）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从
中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（ ）
A. 400
B. 被抽取的400名考生
C. 被抽取的400名考生的中考数学成绩
D. 内江市2018年中考数学成绩
10. （3.00分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中， 然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读
数y （单位：N ）与铁块被提起的高度 x （单位：cm ）之间的函数关系的大致图
AD 于点F ,已知/ BDC=62,则/ DFE 的度数为（ ）
12. （3.00分）如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 的顶点A 在第一象限，点B ， C 的坐标分别为（2，1），（6，1），/ BAC=90, AB=AC 直线AB 交y 轴于点P , 若△ABC 与△ A B'关于点P 成中心对称，则点A 的坐标为（ ）
是（ ）
11. （3.00分）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，点
A. ( —4,—5)
B. (—5,—4)
C. ( —3,—4)
D. ( —4,—3)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. _________________________________ （5.00分）分解因式：a3b —ab3=
____________________________________ .
14. （5.00分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是___________ .
15. （5.00分）关于x的一元二次方程X2+4X-k=0有实数根，则k的取值范围
是______ .
16. （5.00分）已知，A、B、C D是反比例函数y= （x>0）图象上四个整数点
x
（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是_________________ （用含n的代数式表示）.
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17. （7.00分）计算：「—| —匚|+ （—2 二）2—（ n—3.14）°X（= ）—2
18. （9.00分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E, F分别是AB, BC 上的点，AE=CF并且/ AED=Z CFD
求证：（〔）△ AED^A CFD
（2）四边形ABCD是菱形.
D
B
19. （9.00分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理
分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：
组别成绩分组频数频率
147.5 〜59.520.05
259.5 〜71.540.10
371.5 〜83.5a0.2
483.5 〜95.5100.25
595.5 〜107.5b c
6107.5 〜12060.15
合计40 1.00
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1） _______________________ 频数分布表中的a= ____ ，b= ，c= ;
（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108
分及以上为优秀，预计优秀的人数约为_______ ，72分及以上为及格，预计及格
的人数约为_______ ，及格的百分比约为______ ;
（3）补充完整频数分布直方图.
某班数学成绩分布直方图
刪（人）
20. （9.00分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC的夹角/A=120°,路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D, E两处测得路灯B的仰角分别为a和B,且tan a =6 tan p.=,
求灯杆AB的长度.
21. （10.00分）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元.
（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍.
①该商场有哪几种进货方式？
②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
22. （6.00分）已知关于x的方程ax2+bx+仁0的两根为X1=1,x2=2,则方程a（x+1）
2+b （x+1）+仁0的两根之和为_____ .
23. （6.00分）如图，以AB为直径的。

O的圆心O到直线I的距离OE=3, O O
的半径r=2,直线AB不垂直于直线I，过点A, B分别作直线I的垂线，垂足分别为点D, C,贝U四边形ABCD的面积的最大值为 __________ .
DEC I
24. （6.00 分）已知△ ABC的三边a, b, c,满足a+b2+|c- 6|+28=4 一+10b,
则厶ABC的外接圆半径= ______ .
25. _______________________________________________________ （6.00分）如图，直线y=- x+1与两坐标轴分别交于A, B两点，将线段OA 分成n等份，分点分别为已，P2, P3,…，P n-1,过每个分点作X轴的垂线分别交直线AB于点T1, T2, T3,…，T n-1,用S, S2, Q,…，S-1 分别表示Rt A T1OP1, Rt A T2P1P2,…，Rt A T n- 1P n-2P n-1 的
面积，贝U ^+怎+^+…+S -1= ___________________________________ .
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26. （12.00分）如图，以Rt A ABC的直角边AB为直径作O O交斜边AC于点D, 过圆心O作OE// AC,交BC于点E,连接DE.
（1）判断DE与O O的位置关系并说明理由；（2）求证：2D^=CD?OE
27. (12.00分)对于三个数a , b , c ,用M{a , b , c}表示这三个数的中位数,
用max{a , b , c}表示这三个数中最大数，例如：M{ - 2,
解决问题: (1) 填空：M{sin45 ° cos60°, tan60 °= _____ ,如果 max{3, 5-3x , 2x- 6} =3 , 则x 的取值范围为 _______；
(2) 如果 2?M{2, x+2 , x+4} =max{ 2 , x+2 , x+4},求 x 的值； (3) 如果 M{9, x 2 , 3x - 2} =max{9 , x 2 , 3x - 2},求 x 的值.
28. (12.00分)如图,已知抛物线 y=ax ?+bx -3与x 轴交于点A (-3 , 0)和点 B (1, 0),交y 轴于点C,过点C 作CD// x 轴，交抛物线于点D . (1) 求抛物线的解析式；
(2) 若直线y=m (- 3v m v 0)与线段AD 、BD 分别交于G 、H 两点，过G 点作 EG 丄x 轴于点E ,过点H 作HF 丄x 轴于点F ,求矩形GEFH 的最大面积；
(3) 若直线y=kx+1将四边形ABCD 分成左、右两个部分,面积分别为 S , & ,
2018年四川省内江市中考数学试卷
参考答案与试题解析
-1, 0} =- 1, max{-
,求AD 的长.
2,- 1, 0} =0, max{ — 2,
—
1 （且＜ -1）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1. （3.00分）-3的绝对值是（）
A.—3
B. 3
C.
D.
3 3
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解. 第一步列出绝对值的表达式；第
二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号.
【解答】解: | -3|=3.
故-3的绝对值是3.
故选：B.
【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
2. （
3.00分）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用
科学记数法表示为（）
A. 3.26X 10「4毫米
B. 0.326X 10「4毫米
C. 3.26X 10「4厘米
D. 32.6X 10「4厘米
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a x i0", 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为 3.26X 10「4毫米.
故选：A.
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a x 10「n,其中K
|a| v 10, n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
3. （3.00分）如图是正方体的表面展开图，则与前”字相对的字是（）
D•习
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题. 对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.
【解答】解：由图形可知，与前”字相对的字是真”. 故选：B.
【点评】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题.
4. （3.00分）下列计算正确的是（）
A. a+a=a
B. （2a）3=6a3
C. （a- 1）2=a2- 1
D. a3*a=X
【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幕的除法法则逐项计算即可.
【解答】解：A，a+a=2a^a2，故该选项错误；
B，（2a）3=8a3工6a3,故该选项错误
C, （a- 1）2=a2- 2a+l M a2- 1，故该选项错误；
D，a3*a=a2,故该选项正确，
故选：D.
【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幕的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则.
5. （3,00分）已知函数y=「，则自变量x的取值范围是（）
A. - 1< x v 1
B. x>- 1 且X M 1
C. x>- 1
D. X M 1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0,就可以求解.
【解答】解：根据题意得：严，
解得：x>- 1且X M 1 .
故选：B.
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑:
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数.
6. （3.00分）已知：'—1，则二的值是（）
a b 3 b-a
A.丄
B.-丄
C. 3
D.- 3 3 3
【分析】由I - -1知口=，据此可得答案.
a b 3 ab 3
【解答】解：：I -】」，
a b 3
.：一 _ _ = _
…•：=■，
则二^=3，
b-a
故选：C.
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分
式的性质.
7. （3.00分）已知O O i的半径为3cm，O O2的半径为2cm,圆心距O i O2=4cm, 则。

O i与。

O2的位置关系是（）
A.外高
B.外切C•相交D.内切
【分析】由O O i的半径为3cm，O O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R, r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 【解答】解：tO O i的半径为3cm，O O2的半径为2cm，圆心距O i O2为4cm，又••• 2+3=5，3- 2=1，1v 4V 5，
•••O O1与O O2的位置关系是相交.
故选：C.
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系•注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两
圆半径R，r 的数量关系间的联系是解此题的关键．
8. （3.00分）已知△ABC与△ A i B i C i相似，且相似比为1：3,则厶ABC与厶A1B1C1 的面积比为（）
A. i：i
B. i：3
C. i：6
D. i：9
【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可.
【解答】解：已知厶ABC与厶A i B i C i相似，且相似比为1: 3,
则△ABC与△ A i B i C i的面积比为i: 9,
故选：D.
【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键.
9. （3.00分）为了了解内江市20i8年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）A. 400 B•被抽取的400名考生
C. 被抽取的400名考生的中考数学成绩
D. 内江市20i8年中考数学成绩
【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案.
【解答】解：为了了解内江市20i8年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400 名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩.
故选：C.
【点评】此题主要考查了样本的定义，正确把握定义是解题关键.
10. （3.00分）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读
数y （单位：N）与铁块被提起的高度x （单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理和称重法可知y的变化，注意铁块露出水面前读数y不变，离开水面后y不变，即可得出答案.
【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知
y不变；
铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到的浮力变小，根据称重法可知y变大；
铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变.
故选：C.
【点评】本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随时间的变化，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决.
11. （3.00分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交
AD于点F,已知/ BDC=62,则/ DFE的度数为（）
A. 310
B. 28°
C. 620
D. 56
【分析】先利用互余计算出/ FDB=28,再根据平行线的性质得/ CBDK FDB=28 , 接着根据折叠的性质得/ FBD=Z CBD=28,然后利用三角形外角性质计算/ DFE 的度数. 【解答】解：•••四边形ABCD为矩形，
••• AD// BC,Z ADC=90 ,
vZ FDB=90 -Z BDC=90 - 62°=28°,
••• AD// BC,
•••Z CBD=/ FDB=28,
v矩形ABCD沿对角线BD折叠，
•Z FBD=/ CBD=28,
•Z DFE=/ FBD F Z FDB=28+28°=56°.
故选：D.
【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.
12. (3.00分)如图，在平面直角坐标系中，△ ABC的顶点A在第一象限，点B,
C的坐标分别为(2, 1), (6, 1), Z BAC=90, AB=AC直线AB交y轴于点P, 若△ABC 与△ A B'关于点P成中心对称，则点A的坐标为( )
A. (- 4,- 5)
B. (- 5,- 4)
C. (- 3,- 4)
D. (- 4,- 3)
【分析】先求得直线AB解析式为y=x- 1,即可得出P (0,- 1),再根据点A 与点A'
关于点P成中心对称，利用中点公式，即可得到点A的坐标.
【解答】解：v点B, C的坐标分别为(2, 1), (6, 1),Z BAC=90, AB=AC
•△ ABC是等腰直角三角形，
•-A (4, 3),
设直线AB解析式为y=kx+b，则
：3=4k+b
l=2k+b
解得卩二1 ,
lb二-1
•••直线AB解析式为y=x- 1,
令x=0,则y=- 1,
•- P (0,- 1),
又•••点A与点A'关于点P成中心对称,
•••点P为AA'的中点，
设A' (m, n),则型左=o, 土卫=-1 ,
2 2
• m=-4 , n=_5 ,
•- A' (-4, - 5),
故选：A.
【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB的解析式是解题的关键.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. (5.00分)分解因式：a3b - ab3= ab (a+b) (a - b) .
【分析】0
【解答】解: a3b - ab3,
=ab (a2- b2),
=ab (a+b) (a- b).
【点评】0
14. （5.00分）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：
①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.
将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心
对称图形的概率是_ .
—色—
【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案. 【解答】解：•••五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤ 圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，
•••从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率
是：.
5
故答案为：.
5
【点评】此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15. （5.00分）关于x的一元二次方程X2+4X- k=0有实数根，则k的取值范围是k》—4 .
【分析】根据方程的系数结合根的判别式0,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论.
【解答】解：•••关于X的一元二次方程X2+4X— k=0有实数根，
=42—4X 1X（—k）=16+4k> 0，
解得：k> —4.
故答案为：k> —4.
【点评】本题考查了根的判别式，牢记当0时，方程有实数根”是解题的关键. 16. （5.00分）已知，A B、C D是反比例函数心（x>0）图象上四个整数点
x
（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），
则这四个橄榄形的面积总和是5n—10 （用含n的代数式表示）.
【分析】通过观察可知每个橄榄形的阴影面积都是一个圆的面积的四分之一减去一个直角三角形的面积再乘以2,分别计算这5个阴影部分的面积相加即可表示.
【解答】解：：A B、C D、E是反比例函数y=:（x>0）图象上五个整数点,
x=1，y=8;
x=2, y=4;
x=4，y=2;
x=8, y=1;
•••一个顶点是A、D的正方形的边长为1，橄榄形的面积为:
一个顶点是B、C的正方形的边长为2,橄榄形的面积为:
.•.这四个橄榄形的面积总和是：（冗-2）+2 X 2 （冗-2）=5 n_10. 故答案为：5n- 10.
【点评】本题主要通过考查橄榄形的面积的计算来考查反比例函数图象的应用, 关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答.
三、解答题（本大题共5小题，共44分）
17. （7.00分）计算：「- | -匚|+ （- 2 二）2-（ n- 3.14）°X（= ）-2.
【分析】直接利用零指数幕的性质以及负整数指数幕的性质、绝对值的性质、二
次根式的性质分别化简得出答案.
【解答】解：原式=2匚-匚+12 - 1X 4
=+8.
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.
18. （9.00分）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E, F分别是AB, BC 上的点，AE=CF并且/ AED=Z CFD
求证：（〔）△ AED^A CFD
（2）四边形ABCD是菱形.
【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论;
（2）由邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论.
【解答】（1）证明：•••四边形ABCD是平行四边形，•••/ A=Z C.
在CFD中，
r ZA=ZC
ZAED=ZCFD
L
•••△AED^A CFD（ ASA）;
（2）由（1）知，△ AED^A CFD 则AD=CD
又•••四边形ABCD是平行四边形，
•••四边形ABCD是菱形.
【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质, 解题的关键是掌握相关的性质与定理.
19. （9.00分）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师 赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，
将考试成绩分布情况进行处理
分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）： 组别 成绩分组 频数 频率 1 47.5 〜59.5 2 0.05 2 59.5 〜71.5 4 0.10 3 71.5 〜83.5 a 0.2 4 83.5 〜95.5 10 0.25 5 95.5 〜107.5 b c 6
107.5 〜120
6 0.15 合计
40
1.00
根据表中提供的信息解答下列问题: （1）
频数分布表中的a= 8
，b= 10 ，c= 0.25
；
（2） 已知全区八年级共有 200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108 分及以上为优秀，预计优秀的人数约为
1200人，72分及以上为及格，预计
及格的人数约为 6800人 ，及格的百分比约为
85% ；
（3） 补充完整频数分布直方图.
频数
，可求出总数，继而可分
(2) 根据频率=f 二 的关系可分别求出各空的答
案.
某班数学成绩分布直方图
(3)根据(1)中a、b的值即可补全图形.
【解答】解：(1)v被调查的总人数为2-0.05=40人，
••• a=40X 0.2=8, b=40-( 2+4+8+10+6) =10, c=10-40=0.25, 故答案为：8、10、0.25;
(2)v全区八年级学生总人数为200 X 40=8000人，
•••预计优秀的人数约为8000 X 0.15=1200人，预计及格的人数约为8000X (0.2+0.25+0.25+0.15) =6800 人，及格的百分比约为「X 100%=85%
200
故答案为：1200人、6800人、85%;
(3)补全频数分布直方图如下:
某班数学成绩分布直方圉
频数(人)
难度不大，解答本【点评】本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识, 题的关键是掌握频率
20. (9.00分)如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角/A=120°,路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE长为18米，从D，E两处测得路灯B的仰角分别为a和B,且tan a =6 tan p-=，
4 求灯杆AB的长度.
B
【分析】过点B作BF丄CE交CE于点F,过点A作AG丄AF,交BF于点G,贝U
FG=AC=11 设BF=3x知EF=4x DF= ' ，由DE=18求得x=4,据此知BG=BF
tan/BDF
-GF=1,再求得/ BAG=Z BAC-Z CAG=30可得AB=2BG=2
【解答】解：过点B作BF丄CE交CE于点F,过点A作AG丄AF,交BF于点G, 则FG=AC=11
由题意得Z BDE a, tan Z B=.
4
设BF=3x 则EF=4x
在Rt A BDF中, v tan Z BDF=,
DF
DF= ：= —x,
t anZ BDF 6 2
v DE=18
•••丄x+4x=18.
2
•x=4.
•BF=12
•BG=B- GF=12- 11=1 ,
vZ BAC=120 ,
•Z BAG=Z BAC-Z CAG=120 - 90°30°.
•AB=2BG=2
答：灯杆AB 的长度为2米.
【点评】本题主要考查解直角三角形-仰角俯角问题， 解题的关键是结合题意构 建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力.
21. （10.00分）某商场计划购进A , B 两种型号的手机，已知每部 A 型号手机的 进价比每部B 型号手机进价多500元，每部A 型号手机的售价是2500元，每部 B 型号手机的售价是2100元.
（1） 若商场用50000元共购进A 型号手机10部，B 型号手机20部，求A 、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？
（2） 为了满足市场需求，商场决定用不超过 7.5万元采购A 、B 两种型号的手机 共40部，且A 型号手机的数量不少于B 型号手机数量的2倍. ① 该商场有哪几种进货方式？
② 该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？
【分析】（1）设A 、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、y 元，根据每部A 型 号手机的进价比每部B 型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A 型 号手机10部，B 型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）①设A 种型号的手机购进a 部，则B 种型号的手机购进（40 - a ）部，根据 花费的钱数不超过7.5万元以及A 型号手机的数量不少于B 型号手机数量的2倍 列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；
②设A 种型号的手机购进a 部时，获得的利润为w 元.列出w 关于a 的函数解 析式，根据一次函数的性质即可求解.
答：A 、B 两种型号的手机每部进价各是 2000元、1500元;
（2）①设A 种型号的手机购进a 部，则B 种型号的手机购进（40 - a ）部, r
2000a+1500（40-a ）<7500C
【解答】解：（1）设A 、B 两种型号的手机每部进价各是 x 元、 y 元, 根据题意得：｛;囂爲。

解得:
fx=2000
（尸
1500
根据题意得:
a>2（40-a）
第25页(共32页)
第26页(共32页)
解得：二冬a < 30,
3
••• a 为解集内的正整数, ••• a=27, 28, 29, 30,
.•.有4种购机方案：
②设A 种型号的手机购进a 部时，获得的利润为w 元.
根据题意，得 w=500a+600 (40- a ) =- 100a+24000,
•••- 10v 0,
.w 随a 的增大而减小，
•••当a=27时，能获得最大利润.此时 w=- 100X 27+24000=21300 (元). 因此，购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时，获利最大. 答：购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时获利最大.
【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式 组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键.
四、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分) 22.
(6.00分)已知关于x 的方程ax 2+bx+1=0的两根
为X 1=1,x 2=2,则方程a(x+1) 2+b (x+1) +仁0的两根之和为 1 . 【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案.
【解答】解：设x+仁t ,方程a (x+1) 2+b (x+1) +1=0的两根分别是x 3, x 4, • at 2+bt+仁0,
由题意可知：t 1=1 , t 2=2, --t [ +上2=3, • x 3+X 4+2=3 故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系， 本 题
方案一：A 种型号的部，则B 种型号的手机购进13部; 部，则B 种型号的手机购进12部; 部，则B 种型号的手机购进11 部;
部，则B 种型号的手机购进10部;
属于基础题型.
23. (6.00分)如图，以AB为直径的。

O的圆心O到直线I的距离OE=3, O O 的半径r=2,直线AB不垂直于直线I，过点A, B分别作直线I的垂线，垂足分别为点D，C,贝U四边形ABCD的面积的最大值为12 .
【分析】先判断OE为直角梯形ADCB的中位线，则OE丄(AD+BC，所以S四边
2
=OE?CD=3CD只有当CD=AB=4寸，CD最大，从而得到S四边形ABCD最大值.
形ABCD
【解答】解：：OE11，AD丄I，BC丄I，
而OA=OB
•••OE为直角梯形ADCB的中位线，
••• OE= (AD+BC)，
二S四边形ABCD= I (AD+BC) ?CD=OE?CD=3C,D
当CD=AB=4寸，CD最大，S四边形ABCD最大，最大值为12.
【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.
24. (6.00分)已知△ABC的三边a, b, c,满足a+b2+|c-6|+28=4 一+10b, 则厶ABC
的外接圆半径=_ ^ _.
O
【分析】根据题目中的式子可以求得a、b、c的值，从而可以求得厶ABC的外接圆半径的长.
【解答】解：：a+b2+|c-6|+28=4 —+10b,
•( a- 1 - 4 +4) + (b2- 10b+25) +|c-6| =0,
•(—- 2) 2+ ( b- 5) 2+|c- 6|=0,
•° i- I'二,b - 5=0, c—6=0,
第27页(共32页)
解得，a=5, b=5, c=6,
•AC=BC=5 AB=6,
作CD丄AB于点D,
贝U AD=3, CD=4,
设厶ABC的外接圆的半径为r,
则OC=r, OD=4- r, OA=r,
•32+ (4 - r) 2=r2,
解得，r= ,
□
故答案为：二.
8
【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，禾用数形结合的思想解答.
25. （6.00分）如图，直线y=- x+1与两坐标轴分别交于A, B两点，将线段OA 分成n等份，分点分别为P i, P2, P3,…，P n-1 ,过每个分点作X轴的垂线分别交直线AB 于点T i , T2 , T3 ,…，T-1 ,用S , S, S,…，S-1分别表示Rt A T1OP1 ,
Rt A T2P1P2 ,…,Rt A T n- 1P n-2P n-1 的面积，贝U S+S+S3+，•+S-1=_ 一 - ■
4 4n
第28页（共32页）
【分析】如图，作T i M丄OB于M , T2N丄P i T i •由题意可知：△ BT1M◎△ T1T2N ◎△ T n-i A,四边形OMT i P i是矩形，四边形P1NT2P2是矩形，推出-「”= x ' nBr i m 2 n 乂丄=1 S1
- .，S=.，S2=厂「，.，
可得S+S2+S+・+Si-1 二書（S XAOB— n
乙L
【解答】解：如图，作T i M丄OB于M ， T2N丄P i T i.
由题意可知：△ BT i MT i T2N^^T n-i A，四边形OMT i P i是矩形，四边形P i NTzR 是矩形，ci _ 1 \/ 1 \/ 1 —一1 Q 1 O Q _ 1 Q
…S^BT』p X石-2/，矩形。

町厲，dp'拒形戸］叫比，
二Sl+S?+S3+・・+S i-〔二〒（S^AOB—n” . ）=7 X（亍—n X^_）=T _ +
匚】」
故答案为I -丄
第29页（共32页）
4 伽
【点评】本题考查一次函数的应用，规律型-点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积.
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
26. （12.00分）如图，以Rt A ABC的直角边AB为直径作。

O交斜边AC于点D，过圆心O作OE// AC,交BC于点E,连接DE.
（1）判断DE与。

O的位置关系并说明理由;
求AD的长.
（2）求证：2D^=CD?OE
【分析】（1）先判断出DE=BE=CE得出/ DBE=Z BDE进而判断出/ ODE=90，即可得出结论；
（2）先判断出厶ACB得出B&=CD?AC再判断出DE= BC, AC=2OE
2
即可得出结论；
（3）先求出BC,进而求出BD, CD,再借助（2）的结论求出AC,即可得出结论. 【解答】解：（1）DE是。

O的切线，理由：如图，
连接OD, BD,v AB是。

O的直径，
•••/ ADB=Z BDC=90,
••• OE// AC, OA=OB
••• BE=CE
••• DE=BE=CE
•••/ DBE=/ BDE,
第30页（共32页）
••• OB=OD
•••/ OBD=Z ODB, •••/ ODE=/ OBE=90,
•••点 D 在。

O上,
••• DE是。

O的切线；
(2)v/ BCD=/ ABC=90,/ C=/ C,
•••△ACB
•匚：1>
(3)
••• BC f=CD?AC
由( 1) 知DE=BE=CE=BC,
2
••• 4D^=CD?AC
由(1)知,。

丘是厶ABC是中位线,
••• AC=2OE
••• 4D^=CD?2OE
••• 2D良CD?OE
（3）g,
• BC=5
在Rt A BCD中,tanC「二二,
3 CD
设CD=3x BD=4x 根据勾股定理得,(3x) 2+ (4x) 2=25 ,•- x=- 1 (舍)或x=1 , • BD=4, CD=3
由（2）知，B6=CD?AC
AC=
• AD=AC- CD4"- 3芍■
25
第32页（共32页）
形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出厶 ACB 是解本题的关键. 27. （12.00分）对于三个数a , b , c ,用M{a , b , c}表示这三个数的中位数， 用max{a , b , c}表示这三个数中最大数，例如： M{ — 2, — 1, 0} = — 1, max{— —1 （且< -1） 解决问题: (1) 填空:M{sin45；cos60°tan60}= 琴 ，如果 max{3, 5 — 3x, 2x- 6} =3, 2 则x 的取值范围为— (2) 如果 2?M{2, x+2, x+4}=max{2, x+2, x+4}，求 x 的值; (3) 如果 M{9, x 2 3, 3x — 2} =max{9, x 2, 3x — 2}，求 x 的值. 【分析】（1）根据定义写出sin45 ； cos60° tan60的值，确定其中位数；根据 max{a , b , c}表示这三个数中最大数，对于 2 根据新定义和已知分情况讨论：①2最大时，X+4W 2时，②2是中间的数 时，X+2W 2<x+4，③2最小时，x+2>2,分别解出即可；
3 不妨设 y 1=9, y 2=x , y 3=3x — 2,画出图象，根据 M{9, x 2, 3x — 2} =max{9, x 2, 3x — 2}，可知：三个函数的中间的值与最大值相等，即有两个函数相交时对 应的x 的值符合条件，结合图象可得结论.
【解答】 解：（1）v sin45=¥，cos60°斗,tan60 ；兀,
M -w-
••• M{sin45 } cos60} tan60}玄,
I max{3, 5 — 3x , 2x — 6} =3,
2,— 1, 0}=0, max{ - 2,— 1, a}= max{3, 5— 3x , 2x — 6} =3,可得不 等式组：则 陰寫可得结论
;
则(3A5-3 囂,
l3>2x-6，
••• x的取值范围为：—一「，
3 2
故答案为：匚—
2 3 乂2
(2)2?M{2, x+2, x+4}=max{2, x+2, x+4},
分三种情况：①当x+4<2时，即x<- 2,
原等式变为：2 (x+4) =2, x=- 3,
②x+2W 2< x+4 时，即-2<x< 0,
原等式变为：2X2=x+4, x=0,
③当x+2>2时，即x> 0,
原等式变为：2 (x+2) =x+4, x=0,
综上所述，x的值为-3或0;
(3)不妨设y i=9, y2=x , y3=3x- 2,画出图象，如图所示：
结合图象，不难得出，在图象中的交点A、B点时，满足条件且M{9, x2, 3x-
2
2} =max[9, x , 3x- 2} =y A=y B,
【点评】本题考查了方程和不等式的应用及新定义问题，理解新定义，并能结合图象，可以很轻松将抽象题或难题破解，由此看出，图象在函数相关问题的作用是何等重要.
28. (12.00分)如图，已知抛物线y=ax^+bx-3与x轴交于点A (-3, 0)和点。