《任意角和弧度制》三角函数PPT教学课件(第1课时任意角)

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(2)[解] ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋ k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－ 30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－ 30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
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1．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？ [解] 在 0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界) 的角为 60°≤β＜105°与 240°≤β＜285°，所以所有满足题意的 角 β 为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋ 240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°， k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180° ＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角 β 的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．
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1．在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角 α 化成 k·360°＋β 的形式(其中 0°≤β＜ 360°，k∈Z)，其中的 β 就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给 角是负角时，采用连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到要求为止．
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是
第四象限的角．
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任意角终边位置的确定和表示 [探究问题] 1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋 转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表 示？ 提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋ 10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}．
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2．若将本例(2)改为如图所示的图形，那么阴影部 分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表 示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件 的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
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(1)① [①锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限，是第 一象限角，所以①正确；
②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以 ③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]
(2)① 观察图形 → 确定终边落在OA，OB位置上的角
②
由小到大分别标出起始 和终止边界对应的角
→
加上360°的整数 倍，得所求集合
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(1)D [因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以k·180°＜α2＜k·180°＋45°，k∈Z， 所以α2是第一、三象限角， 又因为－α2与α2的终边关于x轴对称， 所以－α2是第二、四象限角．]
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
第1课时 任意角
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学习目标
核心素养
1.理解任意角的概念． 1.通过终边相同角的计算，培养数学
2．掌握终边相同角的含义及其表 运算素养．
示．(重点、难点) 2．借助任意角的终边位置的确定，
3．掌握轴线角、象限角及区间角的 提升逻辑推理素养.
表示方法．(难点、易混点)
是第四象限角；②225°是第三象限 225°＜270°，
角；③475°是第二象限角；④－315° 360°＋90°＜475°＜360°＋
是第一象限角．其中正确的命题有 180°，－360°＜－315°＜－270°.所
() A．1 个
B．2 个
以这四个命题都是正确的．]
C．3 个
D．4 个
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B [与－850°12′终边相同的角
3．下面与－850°12′终边相同 可表示为 α＝－850°12′＋k·360°(k∈
的角是( ) A．230°12′ B．229°48′
Z)，当 k＝3 时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.]
C．129°48′
D．130°12′
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4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断
各角所在的象限．
①790°；②－20°. [解] ①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，
∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是
第一象限的角．
②∵－20°＝－360°＋340°，
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1．下列说法正确的是( ) A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第四象限的角一定是负角 C．60°角与 600°角是终边相同的角 D．将表的分针拨慢 10 分钟，则分针转过的角为 60°
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D [A 错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角； B 错误，280°角是第四象限角，但它不是负角； C 错误，600°－60°＝540°不是 360°的倍数； D 正确，分针转一周为 60 分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢 是逆时针旋转，拨慢 10 分钟转过的角为 360°×16＝60°.]
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2．象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将 α 写成 α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断 β 的终边所在的象限； 第三步，根据 β 的终边所在的象限，即可确定 α 的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正 负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
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D [由已知得B C，所以B∪C 1．已知集合 A＝{第一象限角}，＝C，故D正确．] B＝{锐角}，C＝{小于 90°的角}，则 下面关系正确的是( ) A．A＝B＝C B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C⊆C
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2．给出下列四个命题：①－75° D [－90°＜－75°＜0°，180°＜
A．第一象限角
B．第一、四象限角
C．第二象限角
D．第二、四象限角
(2)已知，如图所示．
①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合； ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
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[思路点拨]
(1)
由α的范围写 出α2的范围
→
确定α2是第 几象限角
→
源自文库
根据角终边的对称性确定－α2是第几象限角
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2．若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β 分别具有怎样的关系？
提示：(1)关于 x 轴对称：若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称，则角 α 与 β 的关系是 β＝－α＋k·360°，k∈Z.
(2)关于 y 轴对称：若角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则角 α 与 β 的关 系是 β＝180°－α＋k·360°，k∈Z.
它是第________象限角．
同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，
它是第三象限角．]
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合作探究 提素养
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角的有关概念的判断 【例 1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180° 的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出 下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°.②855°.③－510°.
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自主预习 探新知
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1．角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置 所形成的图形． 2．角的表示 如图，(1)始边：射线的起始位置 OA， (2)终边：射线的终止位置 OB， (3)顶点：射线的端点O. 这时，图中的角 α 可记为“角 α”或“∠α”或简记为“α”．
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2．50°角的始边与 x 轴的非负半 －670° [由题意知，所得角是 轴重合，把终边按顺时针方向旋转 2 50°－2×360°＝－670°.] 周，所得角是________．
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3．已知 0°≤α＜360°，且 α 与
240° 三 [因为600°＝360°＋
600°角终边相同，则 α＝________， 240°，所以240°角与600°角终边相
终边相同的角的表示及应用 【例 2】 (1)将－885°化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是 ________． (2)写出与 α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式 －720°≤β＜360°的元素 β 写出来． [思路点拨] (1)根据－885°与 k·360°，k∈Z 的关系确定 k. (2)先写出与 α 终边相同的角 k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定 k 的可能取值．
(3)关于原点对称：若角 α 与 β 的终边关于原点对称，则角 α 与 β 的关 系是 β＝180°＋α＋k·360°，k∈Z.
(4)关于直线 y＝x 对称：若角 α 与 β 的终边关于直线 y＝x 对称，则角 α 与 β 的关系是 β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z.
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【例3】 (1)若α是第一象限角，则－α2是( )
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(2)[解] 作出各角的终边，如图所示：
由图可知： ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角．
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1．理解角的概念的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
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1．表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360° 范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区 间角集合．
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2．运用终边相同的角的注意点 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z 表示，在运用时需注意以下四点： (1)k 是整数，这个条件不能漏掉． (2)α 是任意角． (3)k·360°与 α 之间用“＋”连接，如 k·360°－30°应看成 k·360°＋(－ 30°)，k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的 角有无数个，它们相差周角的整数倍． 提醒：表示终边相同的角，k∈Z 这一条件不能少．
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(1)(－3)×360°＋195° [－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋ 195°.]
(2)[解] 与α＝－1 910°终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴33116 ≤k＜63116(k∈Z)，故取k＝4,5,6. k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.
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3．任意角的分类 (1)按旋转方向分
逆时针
顺时针
没有 做任何
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(2)按角的终边位置分 ①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴 重合． ②分类：
象限角 坐标轴
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4．终边相同的角 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合 S＝{β|β ＝α__＋__k·_3_6_0_°，k∈Z}， 即任一与角 α 终边相同的角，都可以表示成角 α 与整数个周角的和． 思考：终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？ 提示：终边相同的角不一定相等，它们相差 360°的整数倍；相等的角， 终边相同．