2020版高中数学高二选修2-3教案及练习归纳整理讲义05知识讲解组合理(基础)

组 合
【学习目标】
1.理解组合的概念.
2.能利用计数原理推导组合数公式.
3.能解决简单的实际问题.
4.理解组合与排列之间的联系与区别. 【要点梳理】 要点一:组合 1.定义:
一般地,从n 个不同元素中取出m (m n ≤)个元素并成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. 要点诠释:
① 从排列与组合的定义可知,一是“取出元素”；二是“并成一组”,“并成一组”即表示与顺序无关.
排列与元素的顺序有关,而组合与元素的顺序无关,这是它们的根本区别.
② 如果两个组合中的元素相同,那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时,才是不同的组合.因此组合问题的本质是分组问题,它主要涉及元素被取到或未被取到.
要点二:组合数及其公式 1.组合数的定义:
从n 个不同元素中取出m (n m ≤)个元素的所有组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数.记作m
n C . 要点诠释:
“组合”与“组合数”是两个不同的概念:
一个组合是指“从n 个不同的元素中取出m(m ≤n)个元素并成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事；组合数是指“从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数”,它是一个数. 例如,从3个不同元素a,b,c 中取出2个元素的组合为ab,ac,bc,其中每一种都叫做一个组合,而数字3就是组合数. 2.组合数的公式及推导
求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数m
n A ,可以按以下两步来考虑: 第一步,先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数m
n C ； 第二步,求每一个组合中m 个元素的全排列数m
m A .
根据分步计数原理,得到m m m n n m A C A =⋅.
因此
这里n,m ∈N +,且m ≤n,这个公式叫做组合数公式.因为!
()!
m
n n A n m =
-,所以组合数公式还可表示
为:!
!()!
m
n n C m n m =
-.
要点诠释:
组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时,一般都是按先取后排(先组合后排列)的顺序解决问题。

3.组合数公式:
(1)(-1)(-2)(-1)
!m m
n n
m m
A n n n n m C m A +==( m 、+∈N n ,且n m ≤)
(2)!
!(-)!
m
n n C m n m =
( m 、+∈N n ,且n m ≤)
要点诠释:
上面第一个公式一般用于计算,但当数值m 、
n 较大时,利用第二个式子计算组合数较为方便,在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时,常用第二个公式.
要点三:组合数的性质
性质1:m
n n m n C C -=(m 、+∈N n ,且n m ≤) 性质2:1
1-++=m n m n m n C C C (m 、+∈N n ,且n m ≤)
要点诠释:
规定:10
=n C .
要点四、纯组合问题常见题型
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:
“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足；“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
如:现从5位男同学、4位女同学中选出5名代表,若男甲、女A 都必须当选,有多少种不同的选法?由
于男甲、女A 必须当选,只需从剩下7人中任选3人即可满足题目的要求,故有3
735C =种不同的选法.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型:
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,但通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
如(1)中,将问题改为至少有一名女同学当选,有多少种不同的选法?则在全部的选法中,排除全部男生
当选的情况即可,故有55
95125C C -=种不同的选法.
(3)分堆问题
①平均分堆,其分法数为:
平分到指定位置堆数的阶乘
.
例如 将6本不同的书平均分成三份,每份两本,求不同的分法数.
依据上述公式,其分法为
222
642
153!
C C C =(种). ②分堆但不平均,其分法数为
分到指定位置相同数量的堆数阶乘之积
.
例如,将12本不同的书分成五份,分别为2本、2本、2本、3本、3本,求不同的分法数. 依据上述公式,分到指定位置数为2
2
2
2
3
1210863C C C C C .
其中两本的有三堆,故除以3！；3本的有两堆,要除以2！,故分法数为222231210863
3!2!
C C C C C ⋅.
(4)定序问题.
对于某些元素的顺序固定的排列问题,可先全排,再除以定序元素的全排,或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列,然后对其他元素进行排列.
例:5人站成一排,如果甲必须站在乙的左边,则不同的排法有多少种？
法一: 5人不加限制的排列方法有5
5A 种,“甲在乙的左边”和“甲在乙的右边”的排法是相对的,所以甲必须在乙的左边的排法有
5
51602
A =(种). 法二: 第一步,在5个位置中选2个位置给甲、乙二人有2
5C 种选法；
第二步,剩下三个位置由剩下三人全排,有33A 种排法,共有23
5360C A ⋅=(种)；
法三: 从5个位置选3个位置由除甲、乙两人之外的三人排列有3
560A =种(剩下两个位置,甲、乙随
之确定).
(5)指标问题用“隔板法”:
如,将10个保送生预选指标分配给某重点中学高三年级六个班,每班至少一名,共有多少种分配方案？ 将10个名额并成一排,名额之间有9个空,用5块隔板插入9个空,就可将10个名额分为6部分,每一种插法就对应一种分配法,故有5
9C 种方案.
注意:隔板法与插空法是不同的,要予以“区分”.隔板法只适用于相同元素的分配问题. 要点五、组合组合的综合应用
处理排列、组合综合题时,应遵循四大原则: （1） 先特殊后一般的原则
（2） 先取后排的原则 （3） 先分类后分步的原则 （4） 正难则反、等价转化原则. 【典型例题】
类型一、 组合概念及组合数公式
例1. 判断下列问题是组合问题还是排列问题.
(1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A 的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站,则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作,每人干一种,有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生,每人最多得1本,有几种分配方法？ 【思路点拨】 排列与顺序有关,组合与顺序无关. 【试题解析】
(1)因为本问题与元素顺序无关,故是组合问题.
(2)因为甲站到乙站车票与乙站到甲站车票是不同的,故是排列问题,但票价与顺序无关,甲站到乙站
与乙站到甲站是同一种票价,故是组合问题.
(3)因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种,按一定次序分给3个人去干,故是排列问题. (4)因为3本书是相同的,无论把3本书分给哪三人,都不需考虑他们的顺序,故是组合问题. 【总结升华】
区分排列与组合问题,关键是利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、并成一组,与顺序无关”. 举一反三:
【变式1】平面内有10个点,
(1)以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ (2)以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？
【试题解析】线段不考虑线段两个端点的顺序,是组合问题；有向线段考虑线段两个端点的顺序,是排列问题.
(1)以每2个点为端点的线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数,
即以其中每2个点为端点的线段共有452
9
10210=⨯=
C (条) (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点,一个是终点,
以每2个点为端点的有向线段的条数,就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数,
即以其中每2个点为端点的有向线段共909102
10=⨯=A (条)
【变式2】计算:(1)4
7C ； (2)7
10C ；
【参考答案】(1) 4
77654
4!
C ⨯⨯⨯=
＝35；
(2)解法1:7
10109876547!
C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
＝120.
解法2:7
1010!1098
7!3!3!
C ⨯⨯=
=
＝120. 类型二、 组合应用题
例2.某医院有内科医生12名,外科医生8名,现要选派5名参加赈灾医疗队,则 (1) 某内科医生必须参加,某外科医生不能参加,有几种选法? (2) 至少有一名内科医生和至少有一名外科医生参加,有几种选法?
【思路点拨】要正确理解题意中的关键性词语, 从“在”与“不在”“至少”中寻求解题思路. 【试题解析】
(1) 某内科医生参加,某外科医生不参加,只需从剩下的18名医生中选4名即可,故有4
18C =3 060种. (2)方法一(直接法):
至少有一名内科医生和至少有一名外科医生当选可分为四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,共有C 1
12C 4
8+C 2
12C 3
8+C 3
12C 2
8+C 4
12C 1
8=14 656(种).
方法二(排除法):
事件“至少有一名内科医生和至少有一名外科医生”的反面是“全部为内科医生或外科医生”,共有C 5
12+C 5
8种选法,则C 5
20-(C 5
12+C 5
8)=14 656种. 【总结升华】
本题属有限制条件的组合问题,“含”与“不含”,“最多”与“至少”是常见题型.“含有”一般先将这些元素取出,不足部分由另外的元素补充,“不含”可将这些元素剔除,再从剩下的元素中去取.解“最多”与“至少”问题,是用直接法还是排除法,要具体问题具体分析,一般是正难则反. 举一反三:
【变式1】(2015 西宁校级模拟)某学校开设“蓝天工程博览课程”,组织6个年级的学生外出参观包括甲
博物馆在内的6个博物馆,每个年级任选一个博物馆参观,则有且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( )
A.2465A A ⨯种
B.2465A ⨯种
C.2465C A ⨯种
D.24
65C ⨯种
【参考答案】因为有且只有两个年级选择甲博物馆,
所以参观甲博物馆的年级有2
6C 种情况, 其余年级均有5种选择,所以共有54种情况,
根据乘法原理可得24
65C ⨯种情况,故选D 。

【变式2】男运动员6名,女运动员4名,其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少
种选派方法？
(1)男运动员3名,女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； (3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长,又要有女运动员. 【参考答案】
(1)第一步:选3名男运动员,有
种选法. 第二步:选2名女运动员,有
种选法.
共有种选法.
(2)方法一至少1名女运动员包括以下几种情况: 1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.
由分类加法计数原理可得总选法数为.
方法二“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解.
从10人中任选5人有种选法,其中全是男运动员的选法有种.
所以“至少有1名女运动员”的选法为.
(3)方法一:可分类求解: “只有男队长”的选法为；“只有女队长”的选法为；
“男、女队长都入选”的选法为；
所以共有种选法.
方法二:间接法:
从10人中任选5人有种选法.
其中不选队长的方法有种.所以“至少1名队长”的选法为种.
(4)当有女队长时,其他人任意选,共有种选法.不选女队长时,必选男队长,共有种选法.其中不含女
运动员的选法有种,所以不选女队长时的选法共有种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有种.
【变式3】(2016 南昌一模)甲乙两从4门课程中各选修两门,则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )种。

A.30
B.36
C.60
D.72
【参考答案】甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类:
1.甲、乙所选的课程中2门均不相同,甲先从4门中任选2门,乙选取剩下的2门,有22
426
C C=种。

2.甲、乙所选的课程中有且只有1门相同,分为2步:①从4门中先任选一门作为相同的课程,有1
44
C=
种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有11
326
C C=种选法,由分步计数原
理此时共有111
43224
C C C=种。

综上,由分类计数原理,甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种。

故选A。

【高清课堂:组合370707 例题6】
例3.有6本不同的书按下列分配方式分配,问各有多少种不同的分配方式？
(1)分成1本、2本、3本三组；(非均匀分组)
(2)分给甲、乙、丙三人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本；
(3)分成每组都是2本的三个组；(均匀分组)
(4)分给甲、乙、丙三人,每个人2本。

【思路点拨】本题是首先是要把六本不同的书分成3组,然后再分配到甲、乙、丙三人手中。

【试题解析】(1)先选出1本的方法有1
6C 种, 再由剩下的5本中选出2本的方法有2
5C 种, 剩下的3本为一组有3
3C 种,
依分步计数原理得分组的方法有123
65360C C C =种。

(2)把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有1233
6533360C C C A =种。

(3)选2本为一组有26C 种,剩下4本再选2本为另一组有24C 种,最后2本为一组有2
2C 种,
又每33A 种分法只能算一种,所以不同的分法有2223
6423/15C C C A =(种)。

(重复情况列举如下:记6本书为a 、b 、c 、d 、e 、f 。

以下3
3A 种分法只能算一种:ab / cd / ef ；ab / ef / cd ；cd / ef / ab ；cd / ab / ef ；ef / cd / ab ；ef / ab / cd 。

)
(4)把上面分好的三组分给甲、乙、丙三人有22233
64233(/)90C C C A A =种。

(或甲先选有26C 种,接着乙选有24C ,最后丙选有2
2C 种。

共22264290C C C =种。

)
【总结升华】 一般地,平均分成n 堆(组),必须除以n!；如若部分平均分成m 堆(组),必须除以m ！。

本类题是分组后分配问题,要将分组和分配分得很清楚。

举一反三:
【变式1】(1)4名乒乓球选手,分为两组举行双打比赛,共有多少种分组方法？ (2)10名篮球队员,分成两队各5人,有多少种分组方法？
(3)将1,2,3,4,5,6六个数字平分为3份,每份两个数字,共有多少种不同的分组方法？
【参考答案】(1)看似简单,容易认为有22
426C C ⋅=种分法.具体排一下:1、2～3、4,1、3～2、4,1、
4～2、3,2、3～1、4,2、4～1、3,3、4～1、2,即会发现各重复一次,总共
分组方法不是6种,而只有3种,一般规律是2242
2
2
C C A ⋅. (2)与(1)同理,共有551052
2
C C A 种分组方法.5
10C 种中含1,2,3,4,5,又含6,7,8,9,10. 当取1,2,3,4,5时,相应的另一组是6,7,8,9,10.当取6,7,8,9,10时,相应的另一组是1,2,3,4,5.显然也是各重复一次.
(3)此题易误认为有方法222
642C C C ⋅⋅种.分析一下下面的6种分组方法:1、2,3、4,5、6；
1、2,5、6,3、4；3、4,1、2,5、6；5、6,1、2,3、4；5、6,3、4,1、2.这实际上是同一种分组
法,即这中间各有3
3A
组是重复的同一种分组方法,所以,共有分组方法应是
222642
3
3
15C C C A ⋅⋅=种. 【变式2】6本不同的书全部送给5人,每人至少1本,有多少种不同的送书方法？
【参考答案】第一步:从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有2
6C 种方法；
第二步:将5个“不同元素(书)”分给5个人有5
5A 种方法.
根据分步计数原理,一共有26C 5
5A ＝1800种方法
【变式3】4个男同学和4个女同学各平均分成两组,每组2人,到4所不同的学校去学习.如果同样两人在不同的学校算作不同的情况,那么共有多少种不同的分配方法？
【参考答案】216； 分三步完成:
第一步:把4个男同学平均分成两组有2242
2
2C C A 种方法, 第二步:把4个女同学平均分成两组有2242
2
2
C C A 种方法, 第三步:把四个组分配到4所不同的学校去学习有4
4A 种方法.
根据分步计数原理,共有不同的方法222244242
42
222
C C C C A 216A A ⋅⋅=(种). 例4.甲乙丙丁戊站成一排照相,要求甲必须站在乙的左边,丙必须站在乙的右边,有多少种不同的排法？ 【思路点拨】本题是部分不同元素定序问题,可以用逐一插入法.
【试题解析】先把甲乙丙按指定顺序拍成一排只有1种排法,再在甲乙丙的两端和之间5个空档中选
1个位置让丁站有1
4C 种不同的方法, 再在这4人之间和两端5个空档中选1个位置让戊站有
15C 种不同的站法,根据分步计数原理,符合要求站法有1×14C ×1
5C =20种.
【总结升华】
对部分不同元素定序(或部分相同元素)排列的问题,常用逐一插入法,先将这些“特殊元素”按指定顺序排列,再将“普通元素”逐一插入其间或两端.注意定序的元素之间顺序一定、部分相同元素是组合问题. 举一反三:
【变式】在一个晚会上有相声、唱歌、诗歌朗诵、小品、小提琴独奏节目各一个,要求相声节目必须排在
小提琴独奏前,小品排在小提琴独奏后,这台晚会的节目有多少种不同的排法？
【参考答案】先把这5个节目排成一排占5个位置,先在这5个位置中选3个位置按从前到后为相声、小
提琴独奏、小品顺序安排这三个节目有3
5C 种不同方法,再在其余2个位置上安排唱歌和诗歌朗诵
有22A 种不同方法,根据分步计数原理,符合要求的节目排法有2
235A C =20种.
【高清课堂:组合370707 例题5】
例5.学校从8个班中选10名同学参加活动,每班至少一名.现在要将这10个名额分配到8个班,共有多少
种不同的分配方法？
【思路点拨】名额指标是相同的元素,分配的不同方法是指各班获得的数量不同。

【试题解析】方法一:
由班至少分到1个名额,可先给每班1个名额,只需考虑余下2个名额的分配方法有多少种不同情况。

第一类:将2个余额分给2所不同的班,共有2
8C 种方法； 第二类:将2个余额分给1个班,共有8种方法；
不同分配结果的总数为2
8836()N C =+=种
方法二:
可将10个名额分成非零的8份,将8所班看成是放置这8份名额的位置。

10个名额排一列,共有11个空档,去掉两端的空档,还有9个空档,
从中任取7个空档,则10个名额被取到的空档分成了8份,每一份对应地放在班的位置上,
即不同分配结果共有7
936()N C ==种
【总结升华】 名额与名额是没有差别的,而班级与班级是有差别的,故适合隔板法。

举一反三:
【变式】把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室,每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数,试求不同分法的种数。

【参考答案】
先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配,保证每个阅览室至少得一本书,这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”(一般可视为“隔板”)共有2
6C 种插法,即有15种分法。

类型三、 排列组合的综合应用
例6.由13个人组成的课外活动小组,其中5个人只会跳舞,5个人只会唱歌,3个人既会唱歌,也会跳舞,
若从中选出4个会跳舞和4个会唱歌的人去演节目,共有多少种不同的选法？
【思路点拨】
此类题目可按同一性质的对象选出的多少分类,应避免重复与遗漏.此题可从既会唱歌又会跳舞的3人进行分类.
【试题解析】分类进行:
第一类:若3人都不参加,共有C 0
3C 4
5C 4
5种； 第二类:若3人都跳舞或都唱歌,共有2C 3
3C 1
5C 4
5种；
第三类:若3人中有两人唱歌或跳舞,共有2C 23·C 25·C 4
5种；
第四类:若3人中有一人唱歌或跳舞,共有2C 1
3C 3
5C 4
5种；
第五类:若3人中有两人唱歌第三人跳舞或两人跳舞第三人唱歌,共有2C 2
3C 11C 25C 3
5种； 第六类:若3人中有一人唱歌,又有一人跳舞的情形有C 1
3C 12C 35C 3
5种.
【总结升华】对于有关元素为“多面手”的问题,应该按照“多面手”有没有被选入,选中的“多面手”作
何用,进行分类.
举一反三:
【变式】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选取会英语和日语的各一人,有多少种不同的选法?
【参考答案】如图,以会英语为基础分类,选取的一名会英语可从只会英语的人员中抽取,也可从既会英语
又会
日语的人员中抽取.
由题意可知,只会英语的有6人,只会日语的有2人,英语和日语都会的有1人.
以只会英语的人数分类,C 0
6·C 1
1·C 1
2+C 1
6·C 2
3=20.
例7.四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同取法共有( ) ( )
(A) 150种
(B) 147种
(C) 144种
(D) 141种
【思路点拨】
取出的四个点不共面的情况要比取出的四个点共面的情况复杂,可采用间接法,先不加限制任取四点,再减去四面共点的取法.
【试题解析】 在10个点中任取4点,有4
10C 种取法,取出的4点共面有三类(如图).
第一类:共四面体的某一个面,有446C 种取法；
第二类:过四面体的一条棱上的三点及对棱的中点,如图中的平面A BE,有6种取法； 第三类:过四面体的四条棱的中点,面与另外两条棱平行,如图中的平面E F GM,共有3个. 故取4个不共面的点的不同取法共有4
10C －(44
6C ＋6＋3)＝141(种) 因此选D
【总结升华】有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,
再从整体中淘汰.
由点组成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题,常见的附加条件是点共线与不
11 共线,点共面与不共面,线共面与不共面等.
举一反三:
【变式】求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。

【参考答案】从8个点中取4个点,共有C 84种方法,其中取出的4个点共面的有6612+=种,所以符合条
件的四面体的个数为C 8
41258-=个。

例8.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
【思路点拨】两个球的编号与盒子的编号相同即三个不同,可采用列表法。

【试题解析】从5个球中取出2个与盒子对号有2
5C 种还剩下3球3盒序号不能对应,利用实际操作法,如
果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时,则4,5号球有只有1种装法,同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有252C 种
3号盒 4号盒 5号盒
【总结升华】 对于条件比较复杂的排列组合问题,不易用公式进行运算,往往利用穷举法或画出树状图会收到意想不到的结果
举一反三:
【变式】a,b,c,d 排成一行,其中a 不排第一,b 不排第二,c 不排第三,d 不排第四的不同排法有___种.
【参考答案】9,可采用画出树状图的方法。