江西省新余市第四中学2019届高三数学10月月考试题 理

江西省新余市第四中学2019届高三数学10月月考试题 理
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题：共60分）
一、选择题（每题5分，共计60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1.已知{}
213A x x =+>，{}
260B x x x =+-≤，则A B =I （ ）
A.(]()3,21,--+∞U
B.(][)3,21,2--U
C.[)(]3,21,2--U
D.(](],31,2-∞-U
2.设命题:P x ∀∈R ，使得2
0x ≥，则P ⌝
为（ ）
A.x R ∃∈，使得2
0x <
B.x R ∃∈，使得2
0x ≤
C.x R ∀∈，使得2
0x < D.x R ∀∈，使得2
0x ≤ 3.把sin 2y x =的图像向左平移
π
3
个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，所得的图像的解析式为（ ） A.πsin 3y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
B.2πsin 3y x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭ C.πsin 43y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
D.2πsin 43y x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
4．函数2
()2(1)f x x a x =-+-与1
()1
a g x x -=+这两个函数在区间[1,2]上都是减函数的一个充分不必要条件是实数a ∈( ) A. (2,1)
(1,2)-- B ．(1,0)(0,2)- C ．(1,2) D ．(1,2]
5.在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 已知85,2a c C A ==，则cosC =（ ）
A.
725 B.725- C.725± D.2425
6.若定义在R 上的偶函数()f x ，满足(+1)()f x f x =-且[0,1]x ∈时，()f x x =，则方程3()log f x x =的实根个数是（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D.6个
7.已知ABC ∆中，tan (sin sin )cos cos A C B B C -=-，则ABC ∆为（ ） A ．等腰三角形
B ．60A ∠=︒的三角形
C ．等腰三角形或60A ∠=︒的三角形
D ．等腰直角三角形
8.一个容器装有细沙3
acm ，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为
3()bt y ae cm -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（ ）min ，容器中的沙子只有开
始时的八分之一.
A ． 8
B ．16
C ．24
D ．32
9.已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总
有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为( ) A ．
π
2018
B ．
π1009 C ．2π1009 D ．π4036
10.已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，若()
f x y x
=在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比 增函数”；若()
2
f x y x =
在()0,+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”。

我们把所有“一阶 比增函数”组成的集合记为1Ω，所有“二阶比增函数”组成的集合记为2Ω．若函数()3
2
2f x x hx hx =--，且()1f x ∈Ω，()2f x ∉Ω，则实数h 的取值范围是（ ） A.()0,+∞
B.[)0,+∞
C.(),0-∞
D.(],0-∞
11.已知函数()21lg ,10,102,0
x x f x x x x ⎧
≤≤⎪
=⎨⎪--≤⎩
,若11,11,a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩,则方程()()20f x af x b -+=⎡⎤⎣⎦
有五个不同根的概率为（ ） A.
13
B.
38
C.
25
D.
112
12．已知函数()f x 错误！未找到引用源。

的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有5()(2)()
2
x
f x e x f x -'=+-
（e 是自然对数的底数），且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有唯一一个整数，则实数m 的取值范围是（ ） A.(,0)2e -
B. (,0]2e - C ．3(,0]4e - D ．39
(,]42e e
- 第II 卷（非选择题：共90分）
二、填空题（每题5分，共计20分。

请将正确答案直接填在答题卡的相应位置） 13. 由3
x π
=-
，3
x π
=
，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．
14. 已知曲线()32ln 3x
f x x x
=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+=
15. 已知函数()32331f x x ax x =-++在区间()2,3上至少有一个极值点，则a 的取值范围为 16.已知△ABC 的三个内角的正弦值分别与111C B A ∆的三个内角的余弦值相等,且△ABC 的最长边的边
长为6,则△ABC 面积的最大值为_____________.
三、解答题：(本大题共6小题．共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，且关于x 的不等式2
130a x dx --<的解集为
(1,3)-，
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若1
2
2n a n n b a +=+，求数列{}n b 前n 项和n S .
18．（本小题满分12分） 在四棱锥P ABCD -中,平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD ==,四边形ABCD 是边长为2的菱形，60A ∠=︒,E 是AD 的中点. (1)求证: BE ⊥平面PAD ；
(2)求平面PAB 与平面PBC 所成的锐二面角的余弦值.
19．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布
直方图如图．
（1）求获得复赛资格的人数； （2）从初赛得分在区间
(]110,150的参赛者中，利用分
层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间
(]110,130与(]130,150各抽取多少人?
（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望EX
．
20．（本小题满分12分） 已知F 为椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>
的右焦点，点(P 在C 上，且
PF x ⊥轴。

（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）过F 的直线l 交C 于,A B
两点，交直线
差数列？请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数(f （1）求函数()f x 在[1,)+∞上的值域；
（2）若x ∀∈[1,)+∞，ln (ln 4)24x x ax +≤+恒成立，求实数a 的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：cos sin 10ρθρθ++=． （1）将曲线C 的参数方程与直线l 的极坐标方程化为普通方程； （2）P 是曲线C 上一动点，求P 到直线l 的距离的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数|1||12|)(-++=x x x f . （1）解不等式3)(≥x f ；
（2）记函数)(x f 的最小值为m ，若c b a ,,均为正实数，且
m c b a =++22
1，求222
c b à
++的最小值
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．
14.
87； 15.55,43⎛⎫
⎪⎝⎭
16.9 三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）由题意，得1
1
2,33,d
a a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得121.d a =⎧⎨=⎩, ┄┄┄┄┄┄4分
故数列{}n a 的通项公式为12(1)n a n =+-，即21n a n =-. ┄┄┄┄┄┄6分 （2）据（1）求解知21n a n =-，所以1
()2
22(21)+=+=+-n a n n n b a n ，┄┄┄┄┄┄8分
所以(2482)(13521)=+++
++++++-n n S n
1222
+=+-n n ┄┄┄┄┄┄12分
18. 解：（1）连接BD ，由2PA PD ==，E 是AD 的中点，得PE AD ⊥， 由平面⊥P A D 平面A B C
，可得PE ⊥平面ABCD ，PE BE ⊥，又由于四边形 ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠A ，所以BE AD ⊥，从而⊥BE 平面PAD . ┄┄┄┄┄┄6分 （2）以E 为原点，,,EA EB EP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，
P
，(1,0,0),(A B C -，
有(1,0,3),(0,3,PA PB =
-=
，(PC =-，
令平面PAB 的法向量为n ，由00
PA n PB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得一个(3,1,1)n =， ┄┄┄┄┄┄9分
同理可得平面PBC 的一个法向量为(0,1,1)m =， 所以平面PAB 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为
||10
||||
m n m n ⋅=┄┄┄┄┄┄12分
19.（1）由题意知
[)90,110之间的频率为：
()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，···········2分 ()0.30.01250.0050200.65++⨯=，
∴获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=···········4分 （2）在区间
(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层
抽样的方法随机抽取7人分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5，2．
·········6分
（3）X 的可能取值为0，1，2，则：
()30
52
37C C 20C 7P X ===；
···········7分 ()215237C C 4
1C 7P X ===；
···········8分 ()1252
37C C 12C 7
P X ===；
···········9分 故X 的分布列为：
··········10分
2416
0127777
EX =⨯+⨯+⨯=·
·········12分 20．(Ⅰ) 因为点(P 在C 上，且PF x
⊥轴，所以2c =． -------------2分
设椭圆C 左焦点为E
，则24EF c ==，
PF =
Rt EFP △中，2
2
2
18PE PF EF =+=，所以PE =．
所以2+a PE PF ==a =------------ 4分
又222
4b a c =-=，
故椭圆C 的方程为22
=184
x y +。

--------5分 (Ⅱ) 由题意可设直线AB 的方程为(2)y k x =-，
令4x =得，M 的坐标为()4,2k ．----------6分
由22
=1,84(2)x y y k x ⎧+⎪⎨⎪=-⎩
得，2222(21)88(1)0k x k x k +-+-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有2122821k x x k +=+，21228(1)
21
k x x k -=+…①．-----------8分
记直线,,PA PB PM 的斜率分别为123,,k k k ，
从而1112y k x =
-
，2222
y k x =-
，32422k k k ==--．--------------9分
因为直线AB 的方程为(2)y k x =-，所以11(2)y k x =-，22(2)y k x =-
所以12121212121211222222y y y y k k x x x x x x ⎫
+=
+=++⎪------⎭
1212124
22()4
x x k x x x x +-=-++…②．------------10分
①代入②得2
2
122
2
228421228(1)164
2121
k k k k k k k k k k -++==--+++，------------11分
又32
k k =-
，所以1232k k k +=， 故直线，，PA PM PB 的斜率成等差数列．--------------- 12分
21．解析：（1）易知2
1ln ()0 (1)x
f x x x --'=
<≥，………………………………………… 1分 ()f x ∴在[1,)+∞上单调递减，max ()2f x =， ………………………………………… 3分
1x ≥时，()0f x >， ………………………………………… 4分
()f x ∴在[1,)+∞上的值域为(0,2]． ………………………………………… 5分
（2）令()()ln ln 424g x x x ax =+--，
则ln 2()2x g x a x +⎛⎫
'=-
⎪⎝⎭
，…………………… 6分
①若0a ≤，则由（1）可知，()0g x '>，()g x 在[1,)+∞上单调递增，
(e)12e>0g a =-，与题设矛盾，0a ∴≤不符合要求； ……………… 7分
②若2a ≥，则由（1）可知，()0g x '≤，()g x 在[1,)+∞上单调递减，
()()1240g x g a ≤=--<，2a ∴≥符合要求； ………………………………… 8分
③若02a <<，则0(1,)x ∃∈+∞，使得
00
ln 2
x a x +=， 且()g x 在0(1,)x 上单调递增，在0(,)x +∞上单调递减，
()()()0000max ln ln 424g x g x x x ax ∴==+--，………………………………………… 9分
00ln 2x ax =-，
()()()()()()000000max =222424g x g x ax ax ax ax ax ∴=-+--=+-．
由题：()max 0g x ≤，即()()00240ax ax +-≤，024ax -≤≤，
即2
002ln 2 4 1e x x -≤+≤⇒<≤． ………………………………………… 10分
00ln 2x a x +=
，且由（1）可知ln 2
x y x
+=在(1,)+∞上单调递减， 24
2e
a ∴
≤<． ………………………………………… 11分 综上，24
e
a ≥
． ………………………………………… 12分 22. （1）将曲线C 的参数方程2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）化为普通方程为2
214x y +=，·······3分
直线l 的极坐标方程为：cos sin 10ρθρθ++=，化为普通方程为10x y ++=．······5分 （2）设P 到直线l 的距离为
d ，
d
=
2
=
，·······7分
∴P 到直线l
的距离的最大值为
2
．·······10分 23.解：（1）⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-≤-<<-+≥=21,3121,21,3)(x x x x x x x f ··········2分
所以3)(≥x f 等价于⎩⎨⎧≥≥331x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<-32121x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≥--
≤3
321x x x ·
·········4分 解得1≥x 或1-≤x ，所以不等式的解集为1|{≥x x 或}1-≤x ·········5分 （2）由（1）可知，当21-
=x 时，)(x f 取得最小值2
3
，··········6分
所以23=
m ，即2
3221=++c b a 由柯西不等式4
9)22
1()21)2
1
)(((2
2
222
2
2
=++≥++++c b a c b a ，··········8分 整理得732
22≥
++c b a ，当且仅当22c b a ==时，即7
4
,72,71===c b a 时等号成立，·········9分 所以2
2
2
c b a ++的最小值为7
3
.··········10分。