【60天冲刺】2012年高考二轮三轮总复习专题学案课件专题1-集合与简易逻辑、函数、导数(大纲文科专用)

第1讲 │ 要点热点探究
【分析】 首先理解“a 与 b 互补”的意义：实数 a，b 满 足 a≥0，b≥0，且 ab＝0；然后对命题进行推理，判断它是否 满足充分、必要条件．
C 【解析】 若 φ(a，b)＝0，则 a2＋b2＝a＋b，两边平方整 理得 ab＝0，且 a≥0，b≥0，所以 a，b 互补；若 a，b 互补，则 a≥0， b≥0，且 ab＝0，所以 a＋b≥0，此时有 φa，b＝ a＋b2－2ab－ a＋b＝ a＋b2－a＋b＝a＋b－a＋b＝0，所以“φ(a，b)＝0” 是 a 与 b 互补的充要条件．
【分析】 理解题中给出的“单函数”的意义，然后 对每一个命题进行逐一判断，注意利用相应的函数性质进 行推理判断．
②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义 概念的理解．对于①，如－2,2∈A，f(－2)＝f(2)，则①错误； 对于②，当 2x1＝2x2 时，总有 x1＝x2，故为单函数；对于③ 根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所 以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对 于④，函数 f(x)在定义域上具有单调性，则函数为一一映射 确定的函数关系，所以④正确．
x∈R}，N＝xx－1i ＜ 2，i 为虚数单位，x∈R，则 M∩N 为( )
A．(0,1) C．[0,1)B．(0,1] D．[源自,1]第1讲 │ 要点热点探究
【分析】 集合 M 是函数 y＝cos2x－sin2x的值域，集合 N 是 不等式x－1i < 2的解集，先求出这两个集合，再根据集合的交集 运算法则进行计算．
第1讲 │ 要点热点探究
(1)15 (2)①5 ②(n－1)2n＋1 【解析】 (1)由“亲密组合”集合的定义可知，该集 合中可以含有元素－1,1，13和 3，12和 2，所以共有“亲密 组合”集合的个数为 24－1＝15. (2)因为 Xn 的集合{1,2}的非空子集为{1}，{2}，{1,2}， 所以 S2＝2×2＋1＝5. 因为 Xn 的最大元素为 n 的非空子集有 2n－1 个，最 大元素为 n－1 的非空子集有 2n－2 个，…，最大元素为 2 的非空子集有 2 个，最大元素为 1 的非空子集有 1 个． 所以 Sn＝n·2n－1＋(n－1)·2n－2＋…＋2×2＋1＝(n－ 1)2n＋1.
专题一│ 近年高考纵览
专题一 集合与简易逻辑、函数、导数
第1讲 集合与简易逻辑
第1讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．集合
(1)集合中元素的三要素：集合中的元素必须具有确定 性、互异性和无序性，要特别注意互异性在求解含参数的集 合问题中的理解．
(2)元素与集合、集合与集合的关系：元素与集合之间 用符号∈、∉表示；集合与集合的关系是子集、相等集合和 真子集．理解空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真 子集．
第1讲 │ 要点热点探究
设全集 U 为实数集 R，M＝{x|(x－1)(x＋2)<0} 与 N＝{x||x－2|<3}都是 U 的子集(如图 1－1 所示)， 则阴影部分所表示的集合为( )
图 1－1 A．{x|x≤－2 或 x≥1} B．{x|1≤x<5} C．{x|x≤－2 或 x>5} D．{x|－1<x<1}
第1讲 │ 要点热点探究
(1)若 x∈A，1x∈A，就称 A 是“亲密组合”集合， 集合 M＝－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空 子集中，是“亲密组合”集合的个数为________．
(2) 设 Xn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，对 Xn 的任 意非空子集 A，定义 f(A)为 A 中的最大元素，当 A 取遍 Xn 的所有非空子集时，对应的 f(A)的和为 Sn， 则①S2＝__________；②Sn＝________.
第1讲 │ 要点热点探究
例 4[2011·福建卷] 在整数集 Z 中，被 5 除所得 余数为 k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数 a，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4
(2)四种命题：四种命题中研究的是“若 p 则 q”的形式．把一个 命题改写成“若 p 则 q”的形式的关键是找出条件和结论．一个命题的 原命题与其逆否命题同为真假；原命题的逆命题与否命题互为逆否关 系，也同为真假．有时一个命题的真假不易被判断时，可以通过判断 它的逆否命题的真假，从而得知原命题的真假．
B 【解析】 ∵M＝{x|－2<x<1}，N＝{x|－1<x<5}．图 中阴影部分表示 N∩(∁UM)，而∁UM＝{x|x≤－2 或 x≥1}，∴ N∩(∁UM)＝{x|1≤x<5}．
第1讲 │ 要点热点探究
例 2[2011·四川卷] 函数 f(x)的定义域为 A，若 x1，x2∈A 且 f(x1)＝f(x2)时总有 x1＝x2，则称 f(x)为单函数，例如，函 数 f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数．下列命题：
► 热点链接1 集合中的新定义问题
以集合为背景的新定义问题，历来是高考 题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新 等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的 解决问题的能力．
求解集合中的新定义问题，主要抓两点：( 1紧) 扣新定 义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述 弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中， 义 型 集 合 问 题 难 点 的 关( 2键用) 所好 在集 ．合 的 性 质 ． 集 性质(概 念 、 元 素 的 性 质 、 运)是算破性解质新等定 义 型 集 合 题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试 使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集
第1讲 │ 要点热点探究
【分析】 根据新定义，就是要判断“所有被 5 除所得余数相同的 数构成同一个集合”，满足此条件的命题是正确的，否则是错误的．
【解析】 C 因为 2011＝5×402＋1，则 2011∈[1]，结论①正确； 因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确； 因 为 所 有 的 整 数 被 5 除 的 余 数 为 0,1,2,3,4 五 类 ， 则 Z ＝ [0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确； 若整数 a，b 属于同一“类”[k]，可设 a＝5n1＋k，b＝5n2＋k(n1，n2∈Z)， 则 a－b＝5(n1－n2)∈[0]； 反之，若 a－b∈[0]，可设 a＝5n1＋k1，b＝5n2＋k2(n1，n2∈Z)，则 a－b＝5(n1－n2)＋(k1－k2)∈[0]； ∴k1＝k2，则整数 a，b 属于同一“类”，结论④正确，故选 C.
C 【解析】 对于 M，由二倍角公式得 y＝|cos2x－sin2x|＝|cos2x|， 故 0≤y≤1.对于 N，因为 x－1i ＝x＋i，由x－1i < 2，得 x2＋1< 2，所 以－1<x<1，故 M∩N＝[0,1)，故答案为 C.
【点评】 本题需要注意两个问题：一是理解两个集合的含义； 二是要注意集合 N 中的不等式是一个复数模的实数不等式，不要根据 实数的绝对值求解．高考考查集合的关系及其运算，命题背景一般是 以集合的形式表示函数的定义域、值域或方程、不等式(组)的解集等．
第1讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题是一道新定义题，通过定义“在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个‘类’”为载体，讨论元素与 集合、集合与集合的关系．对于集合的创新问题，通常需要弄清题 目临时给出的新定义、新概念、新法则与教材上的知识间的联系， 将新的定义、概念、法则转化为“常规数学”问题，然后求解．
第1讲 │ 要点热点探究
► 探究点三 充要条件与判定
例 3[ 2 0 湖1 北1 卷·] 若实数 a，b 满足 a≥0，b≥0， 且 ab＝0， 则 称a 与 b 互 补 ． φ记(a，b)＝ a2＋b2－a －b，那么 φ(a，b)＝0 是 a 与 b 互补的( )
A． 必 要 而 不 充 分 的 条 件 B． 充 分 而 不 必 要 的 条 件 C． 充 要 条 件 D． 既 不 充 分 也 不 必 要 的 条 件
A．a2＋b2＝0 B．ab＝0
C.ba＝0 D．a2－b2＝0
A 【解析】 由 f(0)＝0 得 b＝0，由 f－π2
＝
－
f
π 2
得
－
π 2
－1＋a
＝
－
π 2
1＋a

，
即
a－1

＝
a＋1，解得 a＝0.故 a2＋b2＝0.
第1讲 │ 要点热点探究
3．充分条件与必要条件的判断，有下列几种常见的 方法．(1)定义法：判断 p⇒q 及 q⇒p 的真假，然后写出结 论；(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又容易判断真 假的命题；(3)集合法：写出集合 A＝{x|p(x)}及 B＝{x|q(x)}， 利用集合之间的包含关系加以判断．
(3)集合的交、并、补运算：交、并、补运算是集合间 的基本运算，为了使集合的运算得到形象、直观的表示，且 利于运算的实施，要重视以形助数的解题方法的运用，这种 方法通常借助数轴、坐标系或韦恩图来进行．
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2．简易逻辑
(1) 逻 辑 联 结 词 ： 逻 辑 联 结 词 中 的 “ 或 ” 相 当 于 集 合 中 的 “ 并 集”；“且”相当于集合中的“交集”；“非”相当于集合中的“补 集”．
(3)充分、必要条件：可以从集合的角度理解充分条件与必要条 件．p⇒q，相当于 P⊆Q，即要使 x∈Q，只要 x∈P 就可以了；p⇔q， 相当于 P＝Q，即互为充要的两个条件刻画的是同一事实．
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要点热点探究 ► 探究点一 集合的关系及其运算
例 1[2011·陕西卷] 设集合 M＝{y|y＝|cos2x－sin2x|，
第1讲 │ 规律技巧提炼
1．解答集合有关的问题，关键是对集合意义的准确 理解，其次是要注意集合中元素的互异性、空集是任何集 合的子集等问题．处理集合问题时，要学会灵活地运用数 形结合、分类与整合、等价与化归等数学思想方法．
2．真假命题的判断，应先分清所给命题是简单命题 还是复合命题，若是复合命题则要依据复合命题的真值表 来判定．
已知命题 p：x∈[1,2]，x2－a≥0 恒成立，命题 q：x2＋2ax＋2－a＝0 有实数根．若命题“p 且 q”是 真命题，则实数 a 的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[－2,1] C．(－∞，－2]∪{1} D．(－∞，－2]∪[1,2]
C 【解析】 由“p 且 q”是真命题，则 p 是真命题， q 也是真命题．若 p 是真命题，则 a≤x2 恒成立，∵x∈[1,2]， ∴a≤1.若 q 是真命题，即 x2＋2ax＋2－a＝0 有实数根，由 Δ＝4a2－4(2－a)≥0，求得 a≤－2 或 a≥1.综合得实数 a 的取 值范围是 a≤－2 或 a＝1.
①函数 f(x)＝x2(x∈R)是单函数； ②指数函数 f(x)＝2x(x∈R)是单函数； ③若 f(x)为单函数，x1，x2∈A 且 x1≠x2，则 f(x1)≠f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
第1讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题是新概念题，通过给出“单函数”的定义，考查学生 应用新知识分析问题、解决问题的能力及逻辑思维能力．理解“单函数” 的意义是解题的关键，其次是需要熟练掌握初等函数的基本性质．对于 命题及命题真假的判断，判断一个命题为真，需要做出证明，判断一个 命题为假，只需要给出反例即可．
第1讲 │ 要点热点探究
【点评】 本题求解关键是理解新定义“a 与 b 互补”的实际意义，然 后进行推理判断．对于命题的充分、必要条件的判定，最容易出现的错 误是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条 件、必要条件的递推方向作出正确的判断．
第1讲 │ 要点热点探究
设 a，b∈R，则 f(x)＝x|sin x＋a|－b 是奇 函数的充要条件是( )