高等数学 常微分方程

, , y ( n1) ( x0 ) y0( n1) y( x0 ) y0 , y( x0 ) y0 dy d2 y 2x 0.4 2 引例1 d x 引例2 d x y x 1 2 s t 0 0 , d s t 0 20 dt 2 2 s 0 . 2 t C1t C 2 通解: y x C 2 2 s 0 . 2 t 20 t 特解: y x 1
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( 2 ) x y
离变量方程.
x2 y2 y
令 y = u x ,化为分
方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,
y y 1 x

2
y x
2
x u 1 u2 x u 1 u2
y x 0 时， y 1 x 1 ( 3 ) y 2 x y2
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【解】 ① 可分离变量的微分方程
② 一阶线性非齐次微分方程
所求通解为 y C sin x 5.
4) x 2 y xy y 2
【解】①齐次方程 ② 贝努里方程
y 2x 通解为 Cx 2 y
[作业: P268; 同济p304、p309、 同济p315]
2x 或 y 2. 1 Cx
当Q( x ) 0,
dy 【例如】 y x2 , dx
线性的; 非线性的.
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yy 2 xy 3,
y cos y 1,
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一阶线性微分方程的解法
dy P( x) y 0 1）. 解齐次方程 dx
分离变量 两边积分得 故通解为 2）. 解非齐次方程
2）. y f ( x , y ) 型的微分方程 .
【方程特点】方程右端不显含未知函数 y
【解法】令 y p( x ) ,则 y p( x ) 代入方程
得 p( x) f ( x, p( x ))
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p( x ) 的一阶微分方程,
若 可以 求出 其通解 p ( x , C1 ) , 则 y ( x , C1 ) 再 积分一次就能得原方程的通解.
1
第十二章
习题课
微分方程
一、微分方程的概念 二、一阶微分方程求解 三、可降阶的高阶微分方程求解 四、常系数齐次线性微分方程求解
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2
一、微分方程的概念
含有自变量、未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程 【例】 y xy ,
【分类3】线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ),
x( y)2 2 yy x 0;
【分类4】单个微分方程与微分方程组. dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
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微分方程的解 ---使方程成为恒等式的函数. 通解 --- 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相等. 特解 --- 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 --- 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件):
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பைடு நூலகம்
三、可降阶的高阶微分方程求解
1). y( n) f ( x)型的微分方程
【特点】 方程右端仅含有自变量 x. 【解法】 连续积分 n 次就可得到方程的通解
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【例 1】求方程 y ( 3 ) cos x 的通解 .
【解】 因为 y ( 3 ) cos x ,所以 ,
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【分类1】常微分方程, 偏微分方程.
【分类2】 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
3
y f ( x , y );
( n) 高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ) 0,
y ( n ) f ( x , y, y,, y ( n1) ).

y x
调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 .
dx 化为 2x y2 , dy
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( 4 ) y
6x 3x y 3x 2 y 2 y3
3
2
y ［方法 1］ 这是一个齐次方程 .令 u x
［方法 2］ 化为微分形式
可分离变量的方程
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当 f ( u) u 0时,
即 x Ce
( u)
得
du ln C1 x , f ( u) u
,
（ ( u)
du ） f ( u) u
( )
y x
y 将 u 代入 , x
得通解 x Ce
,
当 u0 , 使 f (u0 ) u0 0,
u e
即
P ( x )d x
P( x) u e
P ( x )d x
u e P( x)
P ( x )d x
非齐次方程
u Q( x ) e dx C 两端积分得 P ( x )dx 对应齐次方程通解 y C e
故原方程的通解


dy P ( x ) y Q( x ) d x P ( x )d x
［提示］(1) 原方程化为 令 u = x y , 得 du (2) 将方程改写为
u ln u (分离变量方程) dx x
dy 1 y3 y (贝努里方程) 令 z y 2 d x 2 x ln x 2x
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【例3】 识别下列一阶微分方程的类型，并求解 y 1) y x 【解】 ①可分离变量的微分方程 ② 齐次方程
二、一阶微分方程求解
1、可分离变量微分方程
可分离变量方程
dy f1 ( x ) f 2 ( y ) dx
M1 ( x ) M 2 ( y )d x N1 ( x ) N 2 ( y ) d y 0 g ( y )dy f ( x )dx 转化
解分离变量方程
两边积分, 得 则有
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2 【例 2】求方程 2 xy y 1 ( y ) 的通解.
【解】
因 2 xyy 1 ( y )2 不显含未知函数 y,则令 y p( x ) , 故 y( x ) p( x ) ，将其代入所给方程,得
2 2 xpp 1 p
y cos xdx sin x C
y (sin x C )dx cos x Cx C 2
y ( cos x Cx C 2 )dx sin x C1 x C 2 x C 3
2
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定理1;定理2 定理3;定理4
7.伯努利方程
欧拉方程
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微分方程解题思路
作变换
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程 特征方程法 幂级数解法 待定系数法
高阶方程
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ln y P ( x )d x ln C
y C e P ( x )d x
dy P ( x ) y Q( x ) dx
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y ( x ) u ( x ) e 用常数变易法: 作变换
P ( x )d x
, 则
Q( x )
( 6x 3 3x y 2 )d x ( 3x 2 y 2 y 3 )d y 0
P Q 6x y y x
故这是一个全微分方程 .
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【例2】求下列方程的通解:
( 1) x y y y ( ln x ln y )
( 2) 2 x ln x d y y ( y 2 ln x 1 ) d x 0
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3）、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y ( n 0,1) dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程.
当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
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【解法】需经过变量代换化为一阶线性微分方程.
［提示］(1) 因 e
y3 x y3
( 2 ) x y
x2 y2 y ;
6x 3 3x y2 ( 4 ) y 2 3. 3x y 2 y
e e x , 故为分离变量方程: d y e x dx
ye
通解
2 y3
1 y3 e ex C 3
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ye
P ( x )d x
Q( x ) e P ( x ) d x d x C
即
y Ce
P ( x )d x
e
P ( x )d x
对应齐次 方程通解

P ( x )d x Q( x ) e dx
非齐次方程特解
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则 u u0是新方程的解,
代回原方程 , 得齐次方程的解 y u0 x.
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3、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0,
上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的.
dx x si nt t 2 , dt
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0 或
y ( n ) f ( x , y , y,, y ( n1) ) ( n 阶显式微分方程)
除方程两边 , 得 n d y y P ( x ) y1 n Q( x ) dx
令 z y1 n , 则
dz n d y (1 n) y dx dx
dz (1 n) P ( x ) z (1 n) Q( x ) (关于z , x的一阶线性方程) dx
求出此方程通解后,
y
1 n
换回原变量即得伯努利方程的通解.
(1 n ) P ( x ) dx ( (1 n)Q( x )e dx C ).
ze
(1 n ) P ( x ) dx
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【例1】求下列方程的通解
1 y3 x (1) y 2 e 0; y 1 ( 3 ) y 2 ; 2x y
③ 一阶线性齐次方程 C 通解为 y . x ④全微分方程
2)
( y sin x 1)dx cos xdy 0
【解】 ① 全微分方程 所求通解为
② 一阶线性非齐次微分方程
y cos x x C .
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3)
dy tan x y 5 dx
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主要内容
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 定 系 数 法
特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 特解形式
线性方程 解的结构
f ( x)dx
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2、齐次方程
属于一阶微分方程 y f ( x , y )
dy y 形如 f ( ) 的微分方程称为齐次方程. 1）.【定义】 dx x y 2）. 【解法】 作变量代换 u , 即 y xu, x dy du u x , dx dx du u x f ( u), 代入原式 dx du f ( u) u 即 . dx x