高等数学 常微分方程

高等数学常微分方程讲义,试题,答案常微分方程§4.1 基本概念和一阶微分方程（甲）内容要点一、基本概念1、常微分方程和阶2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程二、变量可分离方程及其推广1、dyp(x)Q(y)dx(Q(y) 0) 2、齐次方程：dy dxy f x三、一阶线性方程及其推广1、dydyP(x)y Q(x) 2、P(x)y Q(x)y dxdx( 0,1)四、全微分方程及其推广（数学一）1、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,满足Q P2、P(x,y)dx Q(x,y)dy 0,五、差分方程（数学三）（乙）典型例题例1、求y x22Q p (RQ) (RP)但存在R(x,y)，使x y x ydydyxy的通解。

dxdx解：y (x xy)22dy0dxydyy2 x d__y x2 y1 x2yduu2令u,则u x udx x(1 u)du 0xdxu 11 udxdu u x C1 ln|xu| u C1例2C1 uce, y cedyy的通解d__ y4uyx求微分方程d__ y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即x y3是一阶dyydyy11dy 14 dy 133yydy C y Cy 线性方程P(y) ,Q(y) y x e yey 3例3设y e是xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足yx ln2 0的特解xx解：将y e代入微分方程求出P(x) xe先求出对应齐次方程x,方程化为dy(e x 1)y 1 dxx xdy(e x 1)y 0的通解y cex e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y ex cex e dx再由yx ln2 0得2 2ec 0,c e例4设1212故所求解y e exx e x12满足以下件F(x) f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在( , )内f (x) g(x),g (x) f(x),且f(0) 0,f(x) g(x) 2ex（1）求F(x)所满足的一阶微分方程（2）求出F(x)的表达式解：（1）由F (x) f (x)g(x) f(x)g (x) g2(x) f2(x) [f(x) g(x)]2 2f(x)g(x) (2ex)2 2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F (x) 2F(x) 4e2x （2）F(x) e2dx4e2xe 2dxdx c e 2x 4e4xdx c e2x ce 2x将F(0) f(0)g(0) 0代入，可知c 1 于是例52F(x) e2x e 2xdy2(1 y)的通解求微分方程(y x) xdxsec2udusec3u 解：令y tanu,x tanv, 原方程化为(tanu tanv)secv2secvdv化简为sin(u v)dudzdudz 1 再令z u v,则1,方程化为sinz 1 sinz dvdvdvdv sinz(sinz 1) 1dz dv c, 1 sinz 1 sinzdz v c,1 sinzv c21 sinz1 sinz z v c 2coszz tanz secz v c z最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。

授课11单元教案第一节微分方程的基本概念教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。

它表达了未知量所必须满足的某种条件。

根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

引例1二、新授课1、微分方程的定义：含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程如果未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。

一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '= 例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。

二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。

类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。

其中F 是n +2个变量的函数。

这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。

例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 ．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x y xy y -==++=+=+==+-=2、微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d y x dx =的解。

高等数学中的常微分方程与系统动力学在高等数学的学习中，常微分方程与系统动力学是一个非常重要的分支。

它们不仅在数学领域有着广泛的应用，还在物理学、生物学、经济学等多个学科中发挥着重要的作用。

本文将介绍常微分方程与系统动力学的基本概念和应用。

一、常微分方程的基本概念常微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中变量的导数与变量本身的函数关系被称为常微分方程。

常微分方程的求解可以得到关于变量的具体函数形式，从而可以预测和分析系统的行为。

常微分方程可以分为一阶和高阶两类。

一阶常微分方程只涉及到变量的一阶导数，而高阶常微分方程则涉及到变量的高阶导数。

常见的一阶常微分方程包括线性方程、非线性方程和常系数方程等。

二、常微分方程的应用常微分方程在物理学中有着广泛的应用。

以牛顿第二定律为例，可以将物体的运动状态描述为一个二阶常微分方程。

通过求解这个方程，我们可以得到物体的位置、速度和加速度随时间的变化规律。

在生物学中，常微分方程可以用来描述生物体内的生物化学反应、种群动态等。

通过建立适当的方程模型，可以研究生物体的生长、衰老和疾病传播等问题。

在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统中的供求关系、投资决策等。

通过求解这些方程，可以预测经济的发展趋势，为经济政策的制定提供依据。

三、系统动力学的基本概念系统动力学是一种研究动态系统行为的数学方法。

它通过建立动态系统的数学模型，研究系统的稳定性、周期性和混沌性等特性。

系统动力学的核心概念是状态变量和状态方程。

状态变量是描述系统状态的变量，状态方程是描述状态变量之间关系的方程。

通过求解状态方程，可以得到系统的演化规律。

四、系统动力学的应用系统动力学在管理学、环境科学和社会科学等领域中有着广泛的应用。

以管理学为例，系统动力学可以用来分析企业的运营过程、市场竞争和人力资源管理等。

通过建立适当的模型，可以预测企业的发展趋势，为决策提供支持。

在环境科学中，系统动力学可以用来研究环境系统的演化和变化。

高等数学微分公式大全微分作为高等数学中的基础概念之一，是描述函数变化率的重要工具。

微分公式是微分学的核心内容，掌握了微分公式，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

本文将介绍高等数学中常见的微分公式，以帮助读者更好地掌握微分的基本知识。

1. 基本微分公式•常数函数的微分公式：若y=y（C为常数），则yy/yy=0。

•幂函数的微分公式：若y=y y（n为常数），则yy/yy=yy y−1。

•指数函数的微分公式：若y=y y（a>0且不等于1），则 $dy/dx = a^x\\ln{a}$。

•对数函数的微分公式：若 $y = \\log_a{x}$（a>0且不等于1），则 $dy/dx = \\frac{1}{x\\ln{a}}$。

2. 基本函数的微分公式•和差函数的微分公式：若 $y = u \\pm v$，则$dy/dx = du/dx \\pm dv/dx$。

•积函数的微分公式：若y=yy，则 $dy/dx = u \\cdot dv/dx + v \\cdot du/dx$。

•商函数的微分公式：若y=y/y，则 $dy/dx = (v \\cdot du/dx - u \\cdot dv/dx)/v^2$。

3. 高阶微分公式•高阶微分：对于函数 y=f(x)，它的n阶导数记作y y y/yy y。

•高阶微分公式：–若y=y y，则y y y/yy y=y(y−1)(y−2)...(y−(y−1))y=y!–若y=y y，则y y y/yy y=y y–若 $y = \\sin{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\sin{(x + n\\pi/2)}$–若 $y = \\cos{x}$，则 $d^ny/dx^n = \\cos{(x + n\\pi/2)}$4. 典型微分方程的通解•一阶微分方程：一阶微分方程是只含有一阶导数的方程，通常可以表示为 $\\frac{dy}{dx} = f(x, y)$。

高等数学中的常微分方程及其应用随着科学技术的发展，数学的应用范围也越来越广泛。

其中，微积分作为现代数学的核心和基石，发挥着至关重要的作用。

微积分包括微分学和积分学两大部分，其中微分学是研究变化率和斜率等问题的数学分支。

而常微分方程就是微分学中最基础的理论之一，它既是数学基础理论的重要组成部分，也是实际问题求解的重要工具。

一、常微分方程常微分方程是研究变化的数学模型，是微分学的重要组成部分。

在数学中，对于一个未知函数y=f(x)，如果该函数的导数y’只是关于x的函数，则称该函数是一个一阶常微分方程。

一阶常微分方程可以表示为dy/dx=f(x)，其中f(x)是已知的函数。

相应地，二阶、三阶、n阶常微分方程可以表示为：d²y/dx²=f(x,y,dy/dx)d³y/dx³=f(x,y,dy/dx,d²y/dx²)dn/dx=f(x,y,dy/dx,...,y(n-1))其中，y、y’、y’’，..., y(n-1)都是未知函数。

常微分方程广泛应用于各个领域，如物理、化学、生物学、经济学等。

例如，牛顿第二定律F=ma就是一个二阶变量加速度的常微分方程，其中a是速度的导数。

又如，放射性衰变的实验数据可以用一阶常微分方程来描述，物体受到的空气阻力也可以用一阶常微分方程来表示。

二、常微分方程的初值问题对于一阶常微分方程dy/dx=f(x)，我们可以通过求解初值问题来确定未知函数y的具体形式。

常微分方程的初值问题是指，给定常微分方程的初始状态y(x0)=y0，求出相应的解y(x)。

这个初始状态就相当于一个起点，解y(x)就是连接这个起点和各个点的曲线路径。

因此，常微分方程的初值问题可以形式表示为：dy/dx=f(x), y(x0)=y0为了解决常微分方程的初值问题，可以使用解析解、数值解等方法。

解析解是指通过使用数学公式求出未知函数y在每一个时间点的具体值的解法，这种方法只适用于具有简单形式的常微分方程。

高等数学慕课版常微分方程xx年xx月xx日•常微分方程的基本概念•常微分方程的解法•常微分方程的定性理论•常微分方程的数值解法目•常微分方程的应用实例•常微分方程与慕课教学的思考与展望录01常微分方程的基本概念常微分方程是描述一个或多个变量变化的导数与自变量之间的关系的等式。

通常表示为 y' = f(x,y) 或 f(x,y') = 0 的形式。

常微分方程的定义常微分方程的分类方程中未知函数的项为一次或多次的线性组合。

线性常微分方程非线性常微分方程一阶常微分方程高阶常微分方程方程中未知函数的项为一次或多次的非线性组合。

只含有一个自变量的一阶导数。

含有两个或两个以上自变量的一阶或高阶导数。

常微分方程的应用如牛顿第二定律、电磁学中的麦克斯韦方程等。

物理中的应用如价格变化、供需关系等。

经济学中的应用如人口增长、传染病模型等。

生物医学中的应用如数值计算、算法优化等。

计算机科学中的应用02常微分方程的解法分离变量的方法是求解常微分方程的一种重要方法，适用于具有某些特定形式的方程组。

详细描述分离变量的方法是将两个或多个变量的微分方程简化成只含有一个变量的常微分方程，从而更容易求解。

通常，这种方法的步骤是先将方程组化简为形式简单的方程组，然后将各个方程中相同的未知数分离出来，最后对每个方程分别求解。

总结词分离变量的方法VS线性微分方程的解法总结词线性微分方程是一类常见的微分方程，它的解法相对比较简单。

详细描述线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间存在线性关系。

这类方程的解法通常是通过求解特征方程或使用待定系数法来得到通解，然后再根据初始条件求出特解。

求解线性微分方程时需要注意初始条件的设定和求解方法的适用性。

非线性微分方程的解法相对复杂，需要针对不同类型的方程采用不同的方法。

总结词非线性微分方程的特点是未知函数和它的导数之间不存在线性关系。

这类方程的解法通常需要采用数值方法和解析方法相结合的方式，如幂级数法、摄动法、迭代法等。

第7章 微分方程一、本章提要1． 基本概念微分方程，常微分方程(未知函数为一元函数)，偏微分方程（未知函数为多元函数），微分方程的阶数（填空题）.齐次方程 ：()dy y dxx ϕ=或者()dxxdy yϕ=（计算） 一阶线性微分方程：()()y P x y Q x '+=或者()()x P y x Q y '+=通解公式()d ()d ()e d e P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 或者用常数变异法求解.（计算或者填空） 线性相关，线性无关（选择） 可降解（不显含x 或y ）的（计算）齐次常系数线性微分方程：特征根法（填空）非齐次常系数线性微分方程：特接用待定系数法. (计算) 微分方程解的结构定理（选择或填空）． 换元法也是求解微分方程的重要方法之一. 二、要点解析问题1 常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析 常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章 我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1 求微分方程 '+=y y 0 的通解．解一 因为 0y y '+= 所对应的特征方程为10r +=，特征根1r =-，所以e xy C -=（C 为任意常数）为所求通解．解二 因为0=+'y y ，所以)0(d d ≠-=y y xy ，分离变量x y y d d -=，两边积分⎰⎰-=x yy d d ，1ln ln y x C =-+， 所以exy C -= （C 为任意常数）三、例题精解例3 求''=y y 4满足初始条件01,2x x yy =='== 的特解．解一 令'=y p ，则d d d d d d d d p p y py pxy x y''==⋅=．将其代入原方程''=y y 4得 y yp p4d d =，分离变量 y y p p d 4d =， 两边积分⎰⎰=y y p p d 4d ，22111422p y C =⋅+， 2224p y C =+，因为001,2x x yp y =='===，所以222241C =⨯+，可得C 2=0．故224p y =，即 p y =±2．这里'=-y y 2 应舍去，因为此时'y 与y 异号，不能够满足初始条件．将2y y '=分离变量便得其解y =23exC +．再由y x ==01，得30C =，于是所求解为2e xy =．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C 1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二 因为''=y y 4，所以40y y ''-=，特征方程 240r -=， 特征根 122,2r r =-=， 于是其通解为2212e e x x y C C -=+， 由初始条件可得C 1=0 ，C 2=1 ，所求特解为 2e x y =．例4 求方程''+=y y x sin 的通解．解一 该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为 ''+=y y 0， 特征方程为 210r +=， 特征根12i,=i r r =-，齐次方程的通解为12cos sin Y C x C x =+，由于方程0sin e sin y y x x ''+==，i i αβ+=(其中0,1αβ==) 恰是特征单根，故设特解为(c o s s i n y x a xb x *=+，代入原方程，可得1,02a b =-= 所以1cos 2y x x *=-，于是所求通解为y C x C x x x =+-1212c o ss i n c o s ．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程 ''+'+=y py qy f x ()中的非齐次项[]()e()c o s ()s i nxnh f x P x x P xx αββ=+，那么该微分方程的特解可设为[]e()c o s ()s i n kxp mm y x P x x Q xx αββ=+，其中(), ()m m P x Q x 均为 m 次待定多项式 {}m h n =m ax ,．如果非齐次项中的αβ,使i αβ±不是特征方程的根，则设0k =；如果i αβ±是特征方程的单根，则取1k =． 例5 求解微分方程x xe y y y 42=+'-''。

同济大学高等数学上册第七章常微分方程同济大学高等数学上册是大多数理工科专业的学生必修的课程，第七章是关于常微分方程的内容。

常微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、化学、经济等领域。

掌握常微分方程的基本理论和解法对于理解和应用这些领域的知识具有重要意义。

本章内容主要包括：一阶常微分方程、高阶常微分方程、一阶线性微分方程、可分离变量的微分方程、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程、一阶齐次线性非齐次方程、二阶常系数齐次线性方程、常系数非齐次方程等。

一、一阶常微分方程一阶常微分方程是指未知函数的导数只包含一阶导数的方程。

例如，dy/dx = f(x)。

常微分方程的求解可以采用分离变量法、恰当方程、公式法等。

其中分离变量法是常用的解法之一。

分离变量法的基本思想是将方程两边的变量分离开来，从而达到求解的目的。

二、高阶常微分方程高阶常微分方程是未知函数的导数包含高于一阶导数的方程。

例如，d²y/dx² + p(x) dy/dx + q(x) y = f(x)。

高阶常微分方程的求解可以采用常系数线性微分方程的方法。

常系数线性微分方程是指系数为常数的微分方程，其求解方法相对简单。

三、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指未知函数的导数与未知函数本身之间线性相关的方程。

例如，dy/dx + p(x) y = q(x)。

一阶线性微分方程的求解可以借助于积分因子的方法。

积分因子的选择是使方程两边的未知函数系数相等，从而将方程转化为可积分的形式。

四、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是指未知函数和自变量可以在方程中分离的方程。

例如，dy/dx = f(x)/g(y)。

可分离变量的微分方程的求解可以通过对方程两边的变量分离，然后进行适当的积分得到。

这种方法常用于求解一些特殊形式的微分方程。

五、齐次线性微分方程和一阶齐次线性方程齐次线性微分方程是指未知函数的导数和未知函数本身之间构成齐次线性关系的微分方程。