2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程(思维导图+2知识点+4考点+过关检测)(解析版)

2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程（解析版）
模块一思维导图串知识
模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测
1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；
3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的
平行与垂直问题.
知识点1直线的点斜式方程
1、点斜式方程的推导
如图，直线l 经过点()000,P x y ，且斜率为k ．
设(),P x y 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0
y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-．2、直线的点斜式方程
方程()00-=-y y k x x 由直线上一个定点()00,x y 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．
【注意】对直线点斜式方程的理解
（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点()00,x y 和直线的斜率k ．（2）当k 任意实数时，方程()00-=-y y k x x 表示恒过定点()00,x y 的无数条直线．3、两种特殊的直线：
倾斜角
图象特征
斜率
直线方程
0°
tan 00= ，即0
k =00y y -=，即0
y y =90°
tan 90 无意义，
即k 不存在
00x x -=，即0
x x =4、求直线点斜式方程的一般步骤：
（1）求直线点斜式的步骤为：定点()00,→P x y 定斜率→k 写出方程()00-=-y y k x x （2）点斜式方程()00-=-y y k x x 可表示过点()00,P x y 的所有直线，但0=x x 除外．
知识点2直线的斜截式方程
1、斜截式方程的推导
如图，如果斜率为k 的直线l ()00,P b ，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得
()0y b k x -=-，即=+y kx b ．
2、直线的斜截式方程
我们把直线l 与y 轴的交点为()0,b 的纵坐标叫做直线l 在y 轴上的截距．这样，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距确定，我们把方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例
0=b =y kx 表示过原点的直线
0=k ，0≠b =y b 表示与x 轴平行的直线0=k ，0
=b 0=y 表示x 轴
考点一：直线的点斜式方程
例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）
A ．()52y x -=--
B ．()25y x -=--
C ．()25y x +=-+
D ．()
25y x +=--【答案】B
【解析】将()5,2P ，斜率为1-带入直线方程点斜式()00y y k x x -=-，得()25y x -=--.故选：B.
【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（
）
A ．1y x =-
B ．1
y x =+C ．3
y x =-+D ．=1
y x --【答案】B
【解析】过点()1,2M ，且倾斜角为45︒的直线斜率为1，则21y x -=-，即1y x =+．故选：B ．
【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y ＝k (x －1)(k ∈R)表示(
)
A ．过点(－1,0)的一切直线
B ．过点(1,0)的一切直线
C ．过点(1,0)且不垂直于x 轴的一切直线
D ．过点(1,0)且除x 轴外的一切直线【答案】C
【解析】直线的点斜式方程y ＝k (x －1)表示经过点(1,0)且斜率为k 的直线,
显然不垂直于x 轴,故选:C .
【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点为()2,4A ，
()1,2B -，()2,3C -，求：
(1)BC 所在直线的方程；
(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程.【答案】(1)5310x y ++=；(2)35140x y -+=.
【解析】（1）由()1,2B -，()2,3C -，得直线BC 的斜率为()235
123
BC k --=
=---，
所以BC 所在直线的方程为5
2(1)3y x +=--，即5310x y ++=.
（2）由（1）知，直线BC 的斜率为5
3
BC k =-，而AD BC ⊥，
则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35
AD k =，所以直线AD 的方程为()3
425
y x -=
-，即35140x y -+=.考点二：直线的斜截式方程
例2.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线61y x =-在y 轴上的截距b 是（）
A ．1b =-
B ．1
b =C ．6
b =D ．6
b =-【答案】A
【解析】由已知61y x =-，令0x =，得1y =-，
所以直线在y 轴上的截距为1b =-，故选：A.
【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为45︒且在y 轴上的截距是2-的直线方程是（
）
A ．2y x =+
B ．2y x =-
C ．
2y x =D ．2
y x =
【答案】B
【解析】 倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1，
在y 轴上的截距是2-，∴直线方程2y x =-.故选：B.
【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程
是.
【答案】1
42
y x =
+【解析】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得1
2
l k =
，所以直线l 的方程为()1
322y x -=
+，化简可得142y x =+.故答案为：142
y x =+【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是2-.
【答案】(1)25y x =+；(2)2y x =-.【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为25y x =+.
（2）因为直线的倾斜角150α=︒，则该直线的斜率tan1503
k =︒=.
所以该直线的斜截式方程为2y x =-.考点三：直线的图象特征问题
例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线35y x =-+不经过的象限为（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】画出直线方程得：
故直线不过第三象限，故选：C
【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线1
y ax a
=-
的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】由直线1y ax a =-
，得：0a ≠，直线的斜率k a =，直线在y 轴上的截距为1a
-，当0a >时，10a
-<，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；当a<0时，1
0a
-
>，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；只有B 选项的图象符合题意，故选：B.
【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-大致位置正确的是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】BC
【解析】因为1:l y ax b =+，2:l y bx a =-，
对于A ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故A 错误；
对于B ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b <；
而2l 的斜率0b <，在y 轴上的截距0a -<，即0a >，符合题意，故B 正确；对于C ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；
而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，符合题意，故C 正确．对于D ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故D 错误.故选：BC.
【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数2:l y kx b =+与1:(,l y kbx k b =为常数，且0)kb ≠，它们在同一坐标系内的图象可能为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】对于选项A 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb ><<∴A 错；
对于选项B 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb <><，∴B 错；对于选项C 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb <><∴C 对；
对于选项D 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb >>>∴D 错．故选：C ．
考点四：点斜式与斜截式的应用
例4.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线l 的方程为35
a
y ax -=+
.(1)证明：直线l 恒经过第一象限；
(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)3a <【解析】（1）313555-=+
=-⎛
⎫ ⎪⎝⎭+a y ax a x ，即直线一定过定点13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.
（2）由于直线经过第一象限的定点13,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，
只要该直线在y 轴上的截距大于0即可，而35
a y ax -=+
经过y 轴上的点30,5a -⎛⎫
⎪⎝⎭
，则
305a ->，解得3a <【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：()
2
22y a x =-+.
(1)平行；(2)垂直.
【答案】(1)1a =-；(2)3
a =±【解析】（1）要使12//l l ，则需满足221
122a a a ⎧-=-⇒=-⎨
≠⎩
.故当1a =-时，直线1l 与直线2l 平行.
（2）要使12l l ⊥，则需满足()()2211a -⨯-=-，∴3a =.故当3a =±时，直线1l 与直线2l 垂直.
【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线1l 的方程为y ＝－2x ＋3.(1)若直线2l 与1l 平行，且过点(1,3)-，求直线2l 的方程；
(2)若直线2l 与1l 垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．【答案】(1)21y x =-+；(2)122y x =
+或1
22
y x =-【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为2y x b =-+，
将1,3x y =-=代入，得3(2)(1)b =-⨯-+，即得1b =，所以直线2l 的方程为21
y x =-+
（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为1
2
y x m =+，令0y =，得2x m =-，令0x =，得y m =，故三角形面积1
|2|||42
S m m =
-⋅=，所以24m =，解得2m =±，所以直线2l 的方程是122y x =
+或1
22
y x =-【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．(1)求线段AB 的中垂线的方程；
(2)求以向量AB
为方向向量且过点()2,3P -的直线l 的方程．【答案】(1)32344y x =
-；(2)41
33
y x =--【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为()5,2-，其斜率624
823
AB k --=
=--，所以线段AB 的中垂线的斜率为
3
4
，由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为()()3
254
y x --=-，即32344
y x =
-.（2）由已知得()6,8AB =- ，则直线l 的斜率为43
-，
又过点()2,3P -，
由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()()4
323y x --=-
-，即4133
y x =--.
一、单选题
1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线方程为（）
A ．1y =-
B ．2
x =C ．2
y =D ．=1
x -【答案】B
【解析】过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线垂直于x 轴，其方程为2x =.故选：B
2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线43
y x =
+的倾斜角是（）
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．135︒
【答案】A
【解析】直线4y x =
+的斜率k =
30α=︒.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l 的方向向量()2,3a =
，且过点()1,1，则直线l 的方程为（）
A ．2350x y +-=
B ．3250x y +-=
C ．2310x y -+=
D ．3210
x y --=【答案】D
【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为
32
，所以直线l 的方程为3
1(1)2
y x -=
-，即3210x y --=．故选：D.
4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点(1,2)-且与直线2y x =+垂直的直线方程为（）
A ．2(1)3
y x -=+B ．21)y x -+
C ．
21)y x -=+D ．21)
y x -=+【答案】D
【解析】 直线23
y x =+
由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点(1,2)-，
∴垂线方程为21)y x -=+故选：D
5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线()()10y k x k =+>可能是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】因为0k >，所以A C 错；当=1x -时，0y =，故B 对；故选：B
6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.
当,0a b >时，1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.
故选：D
二、多选题
7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线123:52,:0.21,:51l y x l y x l y x =+=-+=-，则（）A ．1l 2
l B ．12l l ⊥C ．13l l ⊥D ．1l 3l 【答案】BD
【解析】设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，
结合题意易得：1235,0.2,5k k k ==-=，
因为()1250.21,k k ⋅=⨯-=-，所以12,
l l ⊥因为135,k k ==且21≠-，所以1l 3l .
故选：BD.
8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l ：8y x =-，则下列结论正确的是（）A ．点()2,6在直线l 上B ．直线l 的一个方向向量为()
1,1u = C ．直线l 在y 轴上的截距为8
D ．直线l 的倾斜角为π4【答案】BD
【解析】对于A 选项，把2x =代入到8y x =-得y =-6，所以点()2,6不在直线l 上，A 错误；
对于B 选项，因为直线l ：8y x =-，即为：80x y --=，直线的斜率为1，
所以()1,1u = 为直线的一个方向向量，B 正确；
对于C 选项，当0x =时，8y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为8-，C 错误；对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为
π4
，D 正确.故选：BD 三、填空题
9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是
.【答案】3
-【解析】由点斜式方程得()52y x +=--，转化为斜截式方程可得3y x =--，
所以该直线在y 轴上的截距为3-.故答案为：3-.
10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线
1l 的倾斜角比直线2l ：4y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为
.
【答案】100︒
【解析】由题意得直线2l ：4y =+的斜率为直线的倾斜角范围为大于等于0︒小于180︒，故2l 的倾斜角为120︒，
所以直线1l 的倾斜角为100︒，
故答案为：100︒
11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线l 过点()0,1P ，且斜率是倾斜角为π6的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为
【答案】330
y -+=
【解析】倾斜角为π6的直线的斜率1πtan 6k ==l 的斜率k =，
由点斜式方程可得)10y x -=-，整理可得：330y -+=.
故答案为：330y -+=.
四、解答题
12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：
(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；
(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；
(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.
【答案】(1)33y x =-；(2)5y =+；(3)122
y x =-【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为33y x =-.
（2）因为直线斜率为tan 60k =︒=，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：5y =+.（3）因为直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-，所以直线过点()4,0，()0,2-，根据两点可求直线斜率201042k --==-，所以直线的斜截式方程为122
y x =-.13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）ABC 的三个顶点分别是()30A -,
，()2,1B ，()2,3C -.(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；
(2)求ABC 内BC 边上中线AD 方程.
【答案】(1)220x y -+=；(2)()
236030x y x -+=-<<【解析】（1）由()2,1B ，()2,3C -可得线段BC 的中点为()0,2，()131222BC k -=
=---，因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以2DE k =，
则DE 所在直线方程：22y x -=即220
x y -+=（2）由（1）可得线段BC 的中点为()0,2，
故BC 边上中线AD 方程为132
x y +=-即2360x y -+=，所以ABC 内BC 边上中线AD 方程：()236030x y x -+=-<<。