福建省莆田市高二数学下学期期初考试试题 文

莆田一中2017-2018学年下学期期初考试试卷
高二数学文科 选修1-1 1-2 4-5
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．双曲线2
2
28x y -=的实轴长是( )
A. 2．下列命题中，真命题是（ ） A ．,sin 1x R x ∀∈< B ．,20x
x R ∃∈<
C ．若a b >，则ac bc >
D ．若1x >且2y >，则3x y +>
3.若函数3
/21()(1)3
f x x f x x =
--g ，则/(1)f 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-
4．命题0,:22≥++∈∀a ax x R x p ；命题2cos sin ,:=+∈∃x x R x q ， 则下列命题中为真命题的是（ ）
A ．q p ∨
B ．q p ∧
C ．q p ∨⌝)(
D ．)()(q p ⌝∧⌝
5．过抛物线2
4y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，如果1210x x +=，
那么||AB = （ ）
A ．11
B ．12
C ．13
D ．14
6．设条件:|2|3p x -<，条件:0q x a <<，其中a 为正常数，若p 是q 的必要不充分条件， 则a 的取值范围是（ ） A ．(0,5]
B ．(0,5)
C ．[5,)+∞
D ．(5,)+∞
7．设a R ∈，若函数x
y e ax =+有大于零的极值点，则（ ）
A ．1a <-
B ．1a >-
C ．1a e -<
D ．1
a e
-> 8．在直角坐标系中，函数x
x x f 1
sin )(-=的图像可能是（ ）
9．已知函数()sin f x x x =在0x x =处取得极值，则02
0(1)(1cos2)x x ++的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2-
D ．2
10．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，当0x >时，有/2
()()
0xf x f x x
->恒成立， 则不等式()0f x >的解集是（ ）
A ．(,2)(2,)-∞-+∞U
B ．(2,0)(0,2)-U
C ．(2,0)(2,)-+∞U
D ．(,2)(0,2)-∞-U
11．设过曲线()2cos g x ax x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()x
f x e x =--上一点处的切线2l ，使得1l ∥2l ，则实数a 的取值范围为（ ）
A.[)∞+，1
B.[)∞+，1
C. (]3-∞-，
D. ()3-∞-，
12．在研究直线(3)y k x =-与双曲线
22
127
x y m -=是否有公共点的过程中，某学生做了如下演算：由方程组22(3)127
y k x x y m =-⎧⎪⎨-
=⎪⎩消去y 得到形如2
0Ax Bx C ++=的方程，当0A =时，方
程恒有一解；当0A ≠时，2
40B AC ∆=-≥恒成立。

若该学生的演算过程是正确的，则双曲线离心率e 的取值范围是( ) A ．[9,)+∞ B ．(1,9] C ．(1,2] D ．[2,)+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为______ ．
14．在数列{a n }中，a 1＝1，且S n 、S n ＋1、2S 1成等差数列(S n 表示数列{a n }的前n 项和)，通过计算S 2、S 3、S 4，猜想S n ＝
__________.
15．已知点A (x 1，lg x 1)，B (x 2，lg x 2)是函数f (x )＝lg x 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB 总是位于A ，B 两点之间函数图象的下方，因此有结论lg x 1＋lg x 22＜lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立．
运用类比思想方法可知，若点A (x 1,2x 1
)，B (x 2,2x 2
) 是函数g (x )＝2x
的图象上的不同两点，则类似地有__________成立．
16.对于三次函数，定义：设
是函数
的导数
的导
数，若方程
有实数解，则称点
为函数
的“拐点”有同学发现“任何
一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心”设函数
，
请
你
根
据
这
一
发
现
，
计
算
______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本小题满分10分）
设函数f （x ）=|x ﹣4|，g （x ）=|2x+1|． （1）解不等式f （x ）＜g （x ）；
（2）若2f （x ）+g （x ）＞ax 对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围．
18.（本小题满分12分）
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）, 其频率分布直方图如下：
旧养殖法
箱产量/kg
（1）记A 表示事件 “旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
（3
附：
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）
已知函数()()ln f x x x a x =+-，其中a 为常数． （1）当1a =-时，求()f x 的极值；
（2）若()f x 是区间1,1
2⎛⎫
⎪⎝⎭
内的单调递减函数，求实数a 的取值范围．
箱产量/kg
新养殖法
20．已知点P 是⊙O ：229x y +=上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ,动点Q 满足
23
DQ DP =uuu r uuu r 。

（1）求动点Q 的轨迹方程；
（2）已知点(1,1)E ，在动点Q 的轨迹上是否存在两个不重合的两点M 、N ，使
1()2
OE OM ON =+uu u r uuu r uuu r ，
若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由。

21.（本小题满分12分）
已知点F 为抛物线的焦点2
:2(0)E y px p =>，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；
（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，
证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．
22.（本小题满分12分）
已知函数b ax x f -=)(，()ln g x x =．
（Ⅰ）若函数()x
y f x e =-在1=x 处的切线方程为2)1(--=x y e ，求b a ,的值； （Ⅱ）当0b =时，若不等式()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）当b a =时，若方程()()(01)f x g x t t -=<≤在(0,]x ∈e 上总有两个不等的实根， 求a 的最小值．
答案
1.D
2.D
3.A
4.A
5.B
6. A
7.A
8.A
9.D 10. C 11.D 12.D
9.D 依题得：/
0000()s i n c o s 0f x x x x =+=即
00
sin cos x x x =-，由二倍角公式得
00222
00(1)(1cos2)2cos (1)x x x x ++=+，代入得答案为2.
10. C 解：当x ＞0时，有＞0，即有y=在区间（0．+∞）上
单调递增，且=0，所以当0＜x ＜2时，f （x ）＜0，当x ＞2时，f （x ）＞0，根据函
数f （x ）是奇函数，
得到x ＜﹣2时，f （x ）＜0，﹣2＜x ＜0时，f （x ）＞0． 综上所述，当x ＞2或者﹣2＜x ＜0时，f （x ）＞0．
11.D 设()g x 上切点为11(,())x g x ，()f x 上切点为22(,())x f x ，依题得12,x R x R ∀∈∃∈，有212sin 1x
a x e -=--，易得(),3a ∈-∞-
12.D 依题得直线恒过定点（3，0），且定点（3，0
）在双曲线右顶点或右顶点的右边，即
3，所以09m <≤
，又因为c =
2c e a =
== 13.
14. S n ＝2n
－1
2n －1.15.
2
2
12
12
2
22x x x x
++ 16. 2012
17.【解析】（1）f （x ）＜g （x ）等价于（x ﹣4）2
＜（2x+1）2
，∴x 2
+4x ﹣5＞0， ∴x ＜﹣5或x ＞1，∴不等式的解集为{x|x ＜﹣5或x ＞1}；…………………5分
（2）令H （x ）=2f （x ）+g （x ）
=，G （x ）=ax ，
2f （x ）+g （x ）＞ax 对任意的实数x 恒成立，即H （x ）的图象恒在直线G （x ）=ax 的上方． 故直线G （x ）=ax 的斜率a 满足﹣4≤a
＜，即a 的范围为[﹣4
，）．…………………10分
18．解：旧养殖法箱产量低于50kg 的频率为5×(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)
=0.62，因此，事件A 的概率估计值为0.62 .…………………4分 （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
2=
15.70510010096104
≈K ⨯⨯⨯
由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.…………………8分 （3）箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg 到50kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.…………………12分
19. 解析：（1）当1a =-时，()()()()2211121'210x x x x f x x x x x x
+---=--==>， 所以()f x 在区间 ()0,1 内单调递减， 在()1,+∞内单调递增
，于是 ()f x 有极小值
()10f =， 无极大值.…………………6分
（2）易知()1'2f x x a x =+-
在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内小于等于0即()'10f ≤，解得实数a 的取值范围是(],1-∞-.…………………12分
20．解：（1）设()00(,),,P x y Q x y ，依题意，则点D 的坐标为0(,0)D x
∴00(,),(0,)DQ x x y DP y =-= ………………………1分
又 23DQ DP = ∴ 000002332x x x x
y y y y -==⎧⎧⎪⎪
⎨⎨==⎪⎪⎩⎩
即 ………………………2分
∵ P 在⊙O 上，故2
2
009x y += ∴ 22
194
x y += ………………………3分
∴ 点Q 的轨迹方程为22
194
x y += ………………………4分
（2）假设椭圆22
194
x y +=上存在两个不重合的两点()1122(,),,M x y N x y 满足
1
()2
OE OM ON =+，则(1,1)E 是线段MN 的中点，
且有12
12121
2122212
x x x x y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⎨⎨++=⎩⎪=⎪⎩即…7分 又 ()1122(,),,M x y N x y 在椭圆22
194x y +=上
∴ 22
112222194
19
4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减，得 ()()()()1
2121212094x x x x y y y y -+-++=……10分 ∴ 12124
9
MN y y k x x -=
=-- ∴ 直线MN 的方程为 49130x y +-=
∴ 椭圆上存在点M ．N 满足1
()2
OE OM ON =
+，此时直线MN 的方程为 49130x y +-=……12分
21.解析：（I ）由抛物线的定义得F 22
p
A =+． 因为F 3A =，即232
p
+
=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 2
4y x =上，
所以m =±
(A ．
由(A ，()F 1,0可得直线F A
的方程为)1y x =-．
由)214y x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =
，从而1,2⎛B ⎝．
又()G 1,0-，
所以(
)G 0213k A =
=
--
，(
)G 01312
k B ==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 22．解：（Ⅰ） 1=a ，2=b ． ……3分
（Ⅱ）当0=b 时，()f x ax =． ()ln g x x =（0>x ）．所以()()f x g x >即ln ax x >. 又因为0>x ，所以ln ax x >等价于
a x
x
<ln ． …………4分
令ln ()x k x x =
，则2
1ln '()x
k x x -=.解'()0k x =，得e =x ；解'()0k x >，得0x e <<；解'()0k x <，得e x >．
所以()k x 在),0(e 单调递增，在),(+∞e 单调递减，所以1
()()e e
k x k ≤=，……6分 故实数a 的取值范围是1(,)e
+∞.……7分
（Ⅲ）当b a =时，()()(01)f x g x t t -=<≤即ln ax a x t --=，ln 0ax a x t ---=．
令()ln m x ax a x t =---，则11
'()ax m x a x x
-=-
=
. 方程()()f x g x t -=在(0,]x ∈e 上总有两个不等的实根等价于
函数()y m x =的图象与x 轴在],0(e 上有两个不同的交点． ……8分
（ⅰ）当0≤a 时，因为(0,]e x ∈，所以1
'()0m x a x
=-<，所以函数()y m x =在],0(e 单调递减，
从而函数()y m x =在],0(e 内的零点最多一个，不符合题意. …9分
（ⅱ）当0>a 时，因为0x >，
解11'()0ax m x a x x -=-
==，得a x 1=；解'()0m x >，得1x a
>；解'()0m x <，得1
0x a
<<
. 所以函数()y m x =在)1,0(a 单调递减，在),1(+∞a
单调递增.
○
1当e ≥a
1
时，()y m x =在],0(e 单调递减，函数()y m x =在区间],0(e 内的零点最多一个，不符…10分
②当e <<
a
1
0时，因为当x 趋于0时，()y m x =的值趋于正无穷大， 所以当且仅当11
,()0,()0a m m e e a
><≥时函数()y m x =在],0(e 有两个零点．
由1
()0m a
<得1ln 0a a t -+-<，即1l n a a t -+<对(0,1]t ∈恒成立. 等价于
1l n 0
a a -+≤. 再令()1ln y n a a a ==-+，则'
1
'()1y n a a
==-. 解1
'()10n a a
=
-=得1=a ；解'()0n a >得01a <<；解'()0n a <得1a >.
所以函数()y n a =在)1,0(单调递增，在),1(+∞单调递减. 所以()1ln (1)0n a a a n =-+≤=，故1()0m a
<的解为0a >．
由()0e m ≥得10ae a t ---≥即1ae a t --≥对(0,1]t ∈恒成立.所以11≥--a ae ，
所以()0e m ≥的解为12-≥e a ．所以1,1
()0,()0a e m a
m e ⎧≥⎪⎪
⎪<⎨⎪≥⎪⎪⎩的解为12-≥e a .…13分 综合①②得
1
2
-≥
e a . 综合（ⅰ）（ⅱ）得满足题意要求的实数a 的最小值为
1
2
-e ． …………12分。