人教A版高中数学选修2-2备课资料-基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1.2
导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数
1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运
算法则(一)
学 习 目 标
核 心 素 养
1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1
x ，y ＝x 的导数．(难点)
2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)
3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)
1.通过基本初等函数的导数公式、导数运算法则的学习，体现数学运
算的核心素养. 2.借助导数运算法则的应用，提升
学生的逻辑推理核心素养.
1．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln a (a ＞0)
f (x )＝e x f ′(x )＝e x
f (x )＝lo
g a x f ′(x )＝1
x ln a (a ＞0，且a ≠1)
f (x )＝ln x
f ′(x )＝1x
(1)和差的导数
[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)积的导数
①[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ②[cf (x )]′＝cf ′(x )． (3)商的导数
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．
1.⎝ ⎛⎭⎪⎫12′
等于( ) A ．
1
2
B ．1
C ．0
D ．
122
C [因常数的导数等于0，故选C.] 2．若函数y ＝10x ，则y ′|x ＝1等于( ) A ．110 B ．10 C ．10ln 10
D ．110ln 10
C [∵y ′＝10x ln 10，∴y ′|x ＝1＝10ln 10.] 3．(1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2x ′
＝________；(2)(x e x )′＝________.
(1)1－x ln 22x (2)(1＋x )e x
[(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ′＝2x －x 2x
ln 2(2x )2
＝1－x ln 22x ；
(2)(x e x )′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x .]
4．函数f (x )＝sin x ，则f ′(6π)＝________. 1 [f ′(x )＝cos x ，所以f ′(6π)＝1.]
利用导数公式求函数的导数
(1)y＝cos
π
6；(2)y＝
1
x5
；(3)y＝
x2
x
；
(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2－x.
[解](1)∵y＝cos
π
6＝
3
2，∴y′＝0.
(2)∵y＝
1
x5＝x
－5，∴y′＝－5x－6.
(3)∵y＝
x2
x
＝
x2
x
1
2
＝x
3
2，∴y′＝3
2x
1
2.
(4)∵y＝lg x，∴y′＝
1
x ln 10.
(5)∵y＝5x，∴y′＝5x ln 5.
(6)y＝cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
2－x＝sin x，∴y′＝cos x.
1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．
3．要特别注意“
1
x与ln x”，“a
x与log a x”，“sin x与cos x”的导数区别．
[跟进训练]
1．下列结论，
①(sin x)′＝cos x；②
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
x
5
3
′
＝x
2
3；
③ (log3x)′＝
1
3ln x；④(ln x)′＝
1
x.
其中正确的有()
A．0个B．1个C．2个D．3个
C[①(sin x)′＝cos x，正确；
②(x 5
3)′＝5
3x
2
3，错误；
③(log3x)′＝
1
x ln 3，错误；
④(ln x)′＝1
x，正确；所以①④正确，故选C.]
利用导数的运算法则求导数
1．如何求函数y＝tan x的导数？
[提示]y＝tan x＝sin x cos x，
故y′＝(sin x)′cos x－(cos x)′sin x
(cos x)2
＝
cos2x＋sin2x
cos2x
＝
1 cos2x.
2．如何求函数y＝2sin x
2cos
x
2的导数？
[提示]y＝2sin x
2cos
x
2＝sin x，故y′＝cos x.
【例2】求下列函数的导数．
(1)y＝x－2＋x2；
(2)y＝3x e x－2x＋e；
(3)y＝
ln x
x2＋1
；
(4)y＝x2－sin x
2cos
x
2.
[解](1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2x ln 2.
(3)y′＝x2＋1－2x2·ln x x(x2＋1)2
.
(4)∵y＝x2－sin x
2cos x
2＝x
2－
1
2sin x，
∴y′＝2x－1
2cos x.
1．(变条件)把例2(4)的函数换成“y ＝x tan x ”，求其导数． [解] y ′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′
＝
(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′
cos 2x
＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x cos 2x
＝
sin x cos x ＋x
cos 2x
.
2．(变结论)求例2(3)中的函数在点(1,0)处的切线方程． [解] ∵y ′|x ＝1＝1
2，
∴函数y ＝ln x x 2＋1在点(1,0)处的切线方程为y －0＝1
2(x －1)，即x －2y －1＝0.
利用导数公式求曲线的切线方程
【例3】 求过曲线y ＝sin x 上点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．
[解] ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ， 曲线在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6，12处的切线斜率是：
y ′|x ＝π6
＝cos π6＝32. ∴过点P 且与过这点的切线垂直的直线的斜率为－2
3，
故所求的直线方程为y －12＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －π6，
即2x ＋3y －32－π
3＝0.
导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于－1是解题的关键．
[跟进训练]
2．曲线y＝e x在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．1
2e
2[∵y′＝(e x)′＝e x，∴k＝e2，
∴曲线在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)，
即y＝e2x－e2.当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时，x＝1.
∴切线与坐标轴所围成三角形的面积为：S＝1
2×1×|－e
2|＝
1
2e
2.]
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．
2．有些函数可先化简再应用公式求导，如求y＝1－2sin2x
2的导数，因为y＝1
－2sin2x
2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.
3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．
1．给出下列命题：
①y＝ln 2，则y′＝1 2；
②y＝1
x2，则y′|x＝3＝－
2
27；
③y＝2x，则y′＝2x ln 2；
④y＝log2x，则y′＝
1
x ln 2.
其中正确命题的个数为()
A．1B．2C．3D．4
C[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－2
x3，∴y′|x＝3＝－
2
27，故②正确；
显然③，④正确，故选C.]
2．已知f (x )＝x α(α∈Q *)，若f ′(1)＝1
4，则α等于( ) A.13 B ．12 C ．18 D ．14 D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1，∴f ′(1)＝α＝1
4.] 3．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin x
D ．－2e x (sin x ＋cos x )
D [∵y ＝－2e x sin x ，∴y ′＝－2e x sin x －2e x cos x ＝－2e x (sin x ＋cos x )．] 4．曲线y ＝9
x 在点M (3,3)处的切线方程是________． x ＋y －6＝0 [∵y ′＝－9
x 2，∴y ′|x ＝3＝－1，
∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y －3＝－(x －3)，即x ＋y －6＝0.] 5．求下列函数的导数： (1)y ＝5
x 3；(2)y ＝log 2x 2－log 2x ； (3)y ＝cos x x
；
(4)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－2cos 2x 4.
[解] (1)y ′＝(5
x 3)′＝(x 35)′＝35x 35－1＝35x －2
5＝35 5x 2.
(2)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1
x ln 2.
(3)法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·cos x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′cos x ＋1x (cos x )′＝(x －1
2)′cos x －1x sin x ＝－12
x －3
2cos x －1x sin x ＝－cos x 2x 3－1x sin x ＝－cos x 2x x －1x sin x ＝－cos x ＋2x sin x 2x x
.
法二：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝()cos x ′x －cos x (x )′
(x )2
＝－sin x·x－cos x·
1
2·x
－
1
2
x＝－
x sin x＋
cos x
2x
x
＝－cos x＋2x sin x
2x x
.
(4)∵y＝－2sin x
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1－2cos2
x
4
＝2sin x
2⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
2cos2
x
4－1＝2sin
x
2cos
x
2＝sin x，
∴y′＝(sin x)′＝cos x.。