专题07 手拉手模型(知识解读)(学生版)

专题07手拉手模型（知识解读）
【专题说明】
手拉手模型是指有共同顶点的两个等腰三角形，顶角相等。

因为过共同顶点的四条边，像人的两双手，所以通常称为手拉手模型。

手拉手模型常和旋转结合,在考试中作为几何综合题目出现。

【方法技巧】
类型一：等边三角形手拉手
（1）如图，B、C、D三点共线，▲ABC和▲CDE是等边三角形，连接AD、BE，交于点P
（2）记AC、BE交点为M，AD、CE交点为N
（2）连接MN
（4）记AD、BE交点为P，连接PC：
（5）结论五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°
（6）连AE:
结论六：P点是▲ACE的费马点（PA+PC+PE值最小）
类型二：正方形手拉手
如图，四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，连接BE、DG
【类型一：等边三角形手拉手】
【典例1】（2021春•西安期末）如图，在△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD，以AB为边向外作等边△ABE，连接CE、BD．
（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．
【变式1-1】（2021九上·吉林期末）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，点D，E分别在边AC，BC上，且CD=CE=2，此时AD=BE，AD⊥BE成立．
（1）将△CDE绕点C逆时针旋转90°时，在图②中补充图形，并直接写出BE的长度；
（2）当△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，AD与BE的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；
（3）将△CDE绕点C逆时针旋转一周的过程中，当A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出AD的长度．
【变式1-2】（2021九上·宜春期末）如图
（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：
①∠ACB的度数为；
②线段BE，CE与AE之间的数量关系是．
（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上．若CE=2，BE=2，求AB的长度．
（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【变式1-3】（2021春•金牛区校级期中）类比探究：
（1）如图1，等边△ABC内有一点P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：将△ABP绕顶点A 旋转到△ACP′处）
（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°．求证：EF2＝BE2+FC2；（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点O为△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB ＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．
【典例2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD∽△BCE；
（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积．
【变式2-1】如图1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的顶点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转，记旋转角为α（0°≤α＜360°）．
（1）问题发现
当α＝0°时，的值为，直线AE，CD相交形成的较小角的度数为；
（2）拓展探究
试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明：
（3）问题解决
当△BDE旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出△ACD的面积．
【类型二：正方形手拉手】
【典例3】【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．
【初步探究】
（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；
【类比探究】
（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．
①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；
②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF 2
+BE
2
的值．
【变式3】（2021秋•荔湾区校级期中）以△ABC的AB，AC为边分别作正方形ADEB，正方形ACGF，连接DC，BF．（1）CD与BF有什么数量与位置关系？说明理由．
（2）利用旋转的观点，在此题中，△ADC可看成由哪个三角形绕哪点旋转多少角度得到的．。