江西省六校2020届高三数学上学期第五次联考试题 理(含解析)

江西省六校2020届高三数学上学期第五次联考试题 理（含解析）
第I 卷（选择题）
一、本大题共12小题，每题5分，共60分
1.集合1{|()1},{|lg(2)}2
x
M x N x y x =≥==+，则M N ⋂等于（ ） A. [)0,+∞
B. (]2,0-
C. ()2,-+∞
D.
()[),20,-∞-+∞U
【答案】B 【解析】
试题分析：Q 集合0
111|1|222x x M x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≥=≥⎨⎬⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭
，{}|0M x x ∴=≤,
(){}{}|lg 2|2N x y x x x ==+=>-，
{}{}{}|0|2|20A B x x x x x x ∴⋂=≤⋂>-=-<≤，故选B.
考点：指数函数、对数函数的性质及集合的运算.
2.已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时为减函数，且(2)0f =，则{}
(2)0x f x -<=（ ）
A. {}
024x x x <或 B. {}
04x x x 或
C. {}022x x x <或
D. {}
0224x x x <<<<或
【答案】A 【解析】
∵奇函数满足f (2)=0, ∴f (−2)=−f (2)=0.
对于{x |f (x −2)>0},当x −2>0时,f (x −2)>0=f (2)， ∵x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴0<x −2<2， ∴2<x <4.
当x −2<0时,不等式化为f (x −2)<0=f (−2)，
∵当x ∈(0,+∞)时,f (x )为减函数， ∴函数f (x )在(−∞,0)上单调递减， ∴−2<x −2<0，∴0<x <2.
综上可得：不等式的解集为{x ∣∣0<x <2或2<x <4} 故选D.
3.
给出下列四个命题:
①“若0x 为()y f x =的极值点，则()'
00f x =”的逆命题为真命题;
②“平面向量a r ，b r 的夹角是钝角”的充分不必要条件是0a b r r
g <
③若命题1:
01p x >-，则1
:01
p x ⌝≤- ④命题“0x R ∃∈,使得210x x ++≤”的
否定是:“x R ∀∈均有012≥++x x ”. 其中不正确的个数是 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】 【分析】
①先写出原命题的逆命题，再判真假；②向量点积小于零，夹角为钝角或平角；③先求出命
题p 所对应的x 的取值范围，再求它相对于R 的补集，即为命题p ⌝所对应x 的范围；④特称命题的否定为全称命题。

【详解】①“若0x 为()y f x = 的极值点,则()'00f x = ”的逆命题为:“若()'
00f x =,则
0x 为()y f x =的极值点”为假命题,只有当0x 是导函数的变号零点时，0x 才是原函数的极值
点，即①不正确；
②“平面向量a r ，b r 的夹角是钝角”的必要不充分条件是0a b r r
g <正确，两向量点积小于零，夹
角为钝角或平角，夹角是钝角必然有两向量点积小于零，故②正确； ③命题1:
01p x >- 等价于1>x ，则命题p ⌝1≤x ，而1
01
x ≤-解得1x < 即③不正确； ④特称命题的否定为全称命题, 命题“0x R ∃∈,使得210x x ++≤”的否定是:“x R ∀∈均
有012>++x x ”即④不正确.即不正确的个数是3.选C.
【点睛】本题考查四种命题，充要条件，以及命题的否定，考查分式不等式的求解，含量词的命题的否定，比较综合。

4.设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x =log(1),(),0x x x
g x x +≥⎧⎨<⎩
，则()8g f ⎡⎤-=⎣⎦（ ） A. ﹣1 B. ﹣2
C. 1
D. 2
【答案】A 【解析】
∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）=，
∴f（﹣8）=﹣f （8）=﹣log 39=﹣2，
∴g[f（﹣8）]=g （﹣2）=f （﹣2）=﹣f （2）=﹣log 33=﹣1． 故选：A ．
5.函数()2a
f x x x
=+
（其中a R ∈）的图象不可能是( ) A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
试题分析：当0a =时，图象为
B.当1a =时，若
0x >，
()233222111
3322222x x x x f x x x x x
-=+=++≥⋅⋅=⋅当且仅当321,22x x x ==时，等号成立，
即函数有最小值，故A 选项正确.当1a =-时，若0x >，()2
1
f x x x =-在()0,+∞为增函数，故D 选项正确.所以图象不可能为C.
考点：函数图象与性质.
6.设0ω>，函数sin 13y x πω⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭的图象向左平移23
π
个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A.
2
3
B.
43
C.
2
3 D. 3
【答案】D 【解析】 ∵图象向左平移个单位后与原图象重合∴是一个周期
∴ω≥3 所以最小是3故选D ．
7.高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的)15,,2,1(Λ=i a i 分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（ ）
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D 【解析】
由框图功能可知,它的作用是统计出分数大于或等于110分的人数n.所以9n =.选D.
8.已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=．若(1)m
x -展开式中2x 项的系数等于数列
{}n a 的第三项，则m 的值为（
）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】D 【解析】 由题意153904522
a a a +=
==，(1)m x -展开式中2x 的为2
m C ，所以245m C =，10m =． 点睛：本题考查二项式定理的应用及等差数列的性质
9.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点.一只小蜜蜂在几何体ADF —BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F —AMCD 内的概率为( )
A.
34
B.
23
C.
12
D.
13
【答案】C 【解析】 因为311,34F AMCD AMCD V S DF a -=
⨯⨯=31
,2
ASF BCE V a -=,所以它飞入几何体内的概率为3
3114122
a
a =,所以D 选项是正确的. 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
10.已知关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则b
a
的取值范围（ ） A. (1,0)- B. )2
1,1(-- C. 1(2,)2
-- D. (2,)-+∞
【答案】C 【解析】
令f （x ）=x 3+ax 2+bx+c
∵抛物线的离心率为1，∴1是方程f （x ）=x 3+ax 2
+bx+c=0的一个实根∴a+b+c=﹣1 ∴c=﹣1﹣a ﹣b 代入f （x ）=x 3
+ax 2
+bx+c ，
可得f （x ）=x 3
+ax 2
+bx ﹣1﹣a ﹣b=（x ﹣1）（x 2
+x+1）+a （x+1）（x ﹣1）+b （x ﹣1）=（x ﹣1） 设g （x ）=x 2+（a+1）x+1+a+b ，则g （x ）=0的两根满足0＜x 1＜1，x 2＞1 ∴g（0）=1+a+b ＞0，g （1）=3+2a+b ＜0 作出可行域，如图所示
的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，∴故答案为：C
11.定义在
上的偶函数()f x ，其导函数为()f x ，
，若对任意的实数x ，都有
,2()()2f x xf x +<恒成立，则使1)1()(22-<-x f x f x 成立的实数x 的取值范围为（ ）
A. {}
1x x ≠± B. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） C. （﹣1，1） D. （﹣1，0）∪（0，1）
【答案】B 【解析】
当x ＞0时，由2f （x ）+xf′（x ）﹣2＜0可知：两边同乘以x 得： 2xf （x ）+x 2f′（x ）﹣2x ＜0 设：g （x ）=x 2
f （x ）﹣x 2
则g′（x ）=2xf （x ）+x 2f′（x ）﹣2x ＜0，恒成立：∴g（x ）在（0，+∞）单调递减， 由x 2f （x ）﹣f （1）＜x 2﹣1∴x 2f （x ）﹣x 2＜f （1）﹣1 即g （x ）＜g （1）即x ＞1；
当x ＜0时，函数是偶函数，同理得：x ＜﹣1
综上可知：实数x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B
12.设函数()f x ，若对于在定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”．若函数2
()423x
x
f x m m =-⋅+-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的
取值范围是（ ） A. [1﹣，1+
）
B. [﹣1，2]
C. [﹣2
，2
]
D. [﹣2
，
1﹣
]
【答案】B 【解析】
根据“局部奇函数”的定义可知，函数f （﹣x ）=﹣f （x ）有解即可， 即f （﹣x ）=4﹣x ﹣m•2﹣x +m 2﹣3=﹣（4x ﹣m2x +m 2﹣3）， ∴4x +4﹣x ﹣m （2x +2﹣x ）+2m 2﹣6=0，
即（2x
+2﹣x
）2
﹣m ⋅（2x
+2﹣x
）+2m 2
﹣8=0有解即可． 设t=2x +2﹣x ，则t=2x +2﹣x ≥2，
∴方程等价为t 2
﹣m ⋅t+2m 2
﹣8=0在t≥2时有解， 设g （t ）=t 2
﹣m ⋅t+2m 2
﹣8，对称轴x=， ①若m≥4，则△=m 2﹣4（2m 2﹣8）≥0， 即7m 2≤32，此时m 不存在；
②若m ＜4，要使t 2﹣m ⋅t+2m 2﹣8=0在t≥2时有解，
则，解得﹣1≤m＜2，综上：﹣1≤m≤2，故选B
第II 卷（非选择题）
二、填空题，本大题共4小题，每题5分，共20分
13.设向量,a b r r 满足2,3a b a b ==+=u u v v v v ，则2a b +=r r __．
【答案】24 【解析】
∵||=2，||=|+|=3，∴=4， =9，∴+2•+=9，故2•=﹣4，
故+4•+4
=4+36﹣8=32，故|+2|=4，故答案为：4
．
14.过函数()3
2
325f x x x x =-++图象上一个动点作函数的切线，则切线的倾斜角的范围是
__________. 【答案】30,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
【解析】
试题分析：()2
2
'3623(1)11f x x x x =-+=--≥-⇒切线倾斜角的取值范围
30,,24πππ⎡⎫⎡⎫
⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭
． 考点：1、导数的几何意义；2、直线的斜率与倾斜角.
15.在三棱锥ABC P -中，PA ,PB ，PC 两两互相垂直，且4=AB ，5AC =，则BC 的取值范围是__________. 【答案】41) 【解析】
解：如图所示，问题等价于长方体中，棱长分别为,,x y z ，且：2
2
2
2
16,25x y x z +=+= ，
22y z + 的取值范围.
转化为：()2
2
2
4129,41y z x +=-∈ ， (2241y z + ，
即BC 的取值范围是(41.
16.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2
x x f x f x x π⎧∈⎪
=⎨-∈+∞⎪⎩，下列5个结论正确的是__________（把你认
为正确的答案全部写上）．
（1）任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； （2）函数()y f x =在[]4,5上单调递增； （3）()()(
)22f x kf x k K N
+
=+∈，对一切[)+∞∈,0x 恒成立；
（4）函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；
（5）若关于x 的方程()()0f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ，2x ，则123x x +=. 【答案】（1）（4）（5） 【解析】
由题意，得
()[]()()
,0,2{1
2,2,2
sin x x f x f x x π∈=-∈+∞的图象如图所示，
由图象max min ()1,()1f x f x ==- ，则任取1x ，[
)20,x ∈+∞,都有 ()()12f x f x -≤max min ()()2f x f x -=，故（1）正确；函数()y f x =在[]4,5上先增后
减，故（2）错误；当]2,0[∈x 时，211
(2)(22)(24)22
f x k f x k f x k +=
+-=+- 1
()2
k f x =⋅⋅⋅=
，即*()2(2),N k f x f x k x =+∈，故（3）错误；在同一坐标系中作出()f x 和ln(1)y x =-的图象，可知两函数图象有三个不同公共点，即函数()()ln 1y f x x =--有3
个零点，故（4）正确；
在同一坐标系中作出()f x 和y m =的图象，由图象可知当且仅当1
12m -<<-
时，关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同的实根1x ,2x ，且1x ,2x 关于3
2
x =对称，即
123x x +=；故（5）正确；故填（1）、（4）、（5）.
点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往将问题转化为两个基本函数图象的交点个数问题，体现了“方程的根”、“函数的零点”、“图象的交点”之间的等价关系.
三、解答题，本大题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分
17.已知2
()2cos sin()3sin cos sin 6
f x x x x x x π
=⋅++⋅-，
（1）求函数()y f x =的单调递增区间；
（2）设△ABC 的内角A 满足()2f A =，而3AB AC ⋅=uu u r uuu r
，求边BC 的最小值．
【答案】（1）,()3
6k k k z π
πππ⎡
⎤
-+
∈⎢⎥⎣
⎦
;（2）min
42331a
=-=-
【解析】
试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得)6
2sin(2)(π
+=x x f
（1）令
，解不等式可得答案；（2）由()2sin(2)6
f A A π
=+
及0＜A ＜π可得，利用向量数量积的定义可得，bc=2，利用余弦定理可得可得又△ABC
中
，从而可求
试题解析：（1）
=
由
得
，
故所求单调递增区间为．
（2）由得
，
∵
，即
，∴bc=2，
又△ABC 中，
=， ∴
18.已知命题p ：函数32()f x x ax x =++在R 上是增函数；命题：若函数()x
g x e x a
=-+
在区间[0，+∞）没有零点．
（1）如果命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．
【答案】
(1) ⎡⎣
;(2))
1∞⎡⎤-⋃+⎣⎦
【解析】 试题分析：
本题主要考查逻辑联结词、导数与函数的性质、零点，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)由题意()2
3210f x x ax =++≥'对(),x ∞∞∈-+恒成立,则0∆≤，结论易得；
(2)()e 1x
g x '=-，判断单调性并求出()g x 的最小值，即可求出命题q ，易得,p q 一真一假，
再分p 真q 假与p 假q 真两种情况计算求解即可. 试题解析：
(1)()2
3210f x x ax =++≥'对(),x ∞∞∈-+恒成立
∴2
4120a a ⎡∆=-≤⇒∈⎣
(2)()e 10x g x ='-≥对任意的[)0,x ∞∈+恒成立,∴()g x 在区间[
)0,∞+递增
命题q 为真命题()0101g a a =+>⇒>-
由命题“p q ∨”为真命题,“p q ∧”为假命题知,p q 一真一假
若p 真q 假,
则11a a a ⎧≤≤⎪⎡⎤⇒∈-⎨⎣⎦≤-⎪⎩
若p 假q 真,
则)
1a a a ∞⎧⎪⇒∈
+⎨
>-⎪⎩
综上所述
,)
1a ∞⎡⎤∈-⋃
+⎣⎦
19.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：
23123456(),(),(),()sin ,()cos ,()2f x x f x x f x x f x x f x x f x ======
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片
则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数 的分布列和数学期望．
【答案】（1）1
5
;（2）ξ的数学期望为
7
4
【解析】
试题分析：（1）由任意两个奇函数的和为奇函数，而原来的六个函数中奇函数有三个，故可用古典概型求解；（2）ξ可取1，2，3，4，ξ=k的含义为前k-1次取出的均为奇函数，第k 次取出的是偶函数，分别求概率，列出分布列，再求期望即可．
试题解析：（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知．
（2）ξ可取1，2，3，4，
；
故ξ的分布列为
ξ的数学期望为．
20.在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD=AB=DC=1
2
BC=1，E是PC的中点，面PAC⊥面ABCD．
（1）证明：ED∥面PAB；
（2）若PC=2，PA=3，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明过程如解析；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB的中点F，连接AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形．得到DE∥AF，再由线面平行的判定可得ED∥面PAB；（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，由题意证得A在以BC为直径的圆上，可得AB⊥AC，找出二面角A-PC-D的平面角．求解三角形可得二面角A-PC-D的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：取PB的中点F，连接AF，EF．
∵EF是△PBC的中位线，∴EF∥BC，且EF=．
又AD=BC，且AD=，∴AD∥EF且AD=EF，
则四边形ADEF是平行四边形．
∴DE∥AF，又DE⊄面ABP，AF⊂面ABP，∴ED∥面PAB
（Ⅱ）法一、取BC的中点M，连接AM，则AD∥MC且AD=MC，
∴四边形ADCM是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上．∴AB⊥AC，可得．
过D作DG⊥AC于G，
∵平面PAC⊥平面ABCD，且平面PAC∩平面ABCD=AC，
∴DG⊥平面PAC，则DG⊥PC．
过G作GH⊥PC于H，则PC⊥面GHD，连接DH，则PC⊥DH，
∴∠GHD是二面角A﹣PC﹣D平面角．
在△ADC中，，连接AE，．
在Rt△GDH中，，
∴，
即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值
法二、取BC 的中点M ，连接AM ，则AD∥MC，且AD=MC ． ∴四边形ADCM 是平行四边形，
∴AM=MC=MB，则A 在以BC 为直径的圆上， ∴AB⊥AC．
∵面PAC⊥平面ABCD ，且平面PAC∩平面ABCD=AC ，∴AB⊥面PAC ． 如图以A 为原点，方向分别为x 轴正方向，y 轴正方向建立空间直角坐标系．
可得
，
．
设P （x ，0，z ），（z ＞0），依题意有
，
，
解得． 则
，
，．
设面PDC 的一个法向量为
，
由，取x 0=1，得．
为面PAC 的一个法向量，且，
设二面角A ﹣PC ﹣D 的大小为θ， 则有，即二面角A ﹣PC ﹣D 的余弦值．
21.已知二次函数2
()1f x x ax b =+++，关于x 的不等式2
()(21)1f x b x b --+<的解集为
(,1)b b +，其中
a
b
b a +．
（1）求a的值；
（2）令
()
()
1
f x
g x
x
=
-
，若函数()()ln(1)
x g x k x
φ=--存在极值点，求实数k的取值范围，
并求出极值点．
【答案】（I）a=﹣2；（II）解题过程如解析所示
【解析】
试题分析：（1）令f（b）-（2b-1）b+b2=1即可解出a；（2）求出φ′（x），令φ′（x）=0，讨论b的符号得出两根与区间（0，1）的关系，从而得出φ（x）的单调性，得出极值的情形．试题解析：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），
即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集为（b，b+1），
∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，
∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．
（II）φ（x）得定义域为（1，+∞）．
由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，
∴φ′（x）=1﹣﹣=，
∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，
∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根，
∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．
解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=
（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1，
∴当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴φ（x）极小值点为
（2）当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，
若k ＜﹣2，则x 1＜1，x 2＜1，
∴当x ＞1时，φ′（x ）＞0，∴φ（x ）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意； 若k ＞2
，则x 1＞1，x 2＞1，
∴φ（x ）在（1，
）上单调递增，在（
，
）上单
调递减，在（，+∞）单调递增，
∴φ（x ）的极大值点为，极小值点为．
综上，当b ＞0时，k 取任意实数，函数φ（x ）极小值点为；
当b ＜0时，k ＞2，函数φ（x ）极小值点为，极大值点为
22.如图，已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为3
2
e =，P 为椭圆E 上的动点，P
到点()0,2M 的距离的最大值为
213
2
，直线l 交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点.
(1)求椭圆E 的方程； (2)若以P 为圆心的圆的半径为
5
5
2，且圆P 与OA 、OB 相切.
(i)是否存在常数λ，使12120x x y y λ+=恒成立？若存在，求出常数λ；若不存在，说明理由；
(ii)求OAB △面积.
【答案】（1）2
4x +y2=1；（2）（i ）4λ=；(ii) 12212
AOB S ∆=⋅⋅=
【解析】
试题分析：（1）a 2
=b 2
+c 2
，可得a=2b ，c =√3b ．可得椭圆的标准方程为：x24+y 2=b 2
．设P （x ，y ），（-b≤y≤b）．P 到点M （0，2）的距离d=√x2+(y −2)2=√4b2+163−3(y+23)2．当0＜b ＜23时，y=-b 时，d 取得最大值，舍去．
当23≤b 时，y=-23时，d 取得最大值，可得√4b2+163=23√21，解得b 即可得出． （2）（i ）设P （m ，n ），则m24+n2=1．⊙P 的方程为：（x-m ）2+（y-n ）2=45，设经过原点O 的⊙P 的切线方程为：y=kx ，不妨设OA 的方程为：y=k 1x ，OB 的方程为：y=k 2x ．则|km −n |√1+k2=2√55，化为：（5m 2-4）k 2-10mnk+5n 2-4=0，联立{y=k1xx2+4y2=4，解得x 1，y 1．同理可得：x 2，y 2．假设存在常数λ，使x 1x 2+λy 1y 2=0恒成立，代入即可得出．
（ii ）由（i ）可得：OA ⊥OB ，|OA|2
=x21+y21=4，|OA|=2，同理可得：|OB|=2．即可得出S △OAB =12|OA|∙|OB|． 试题解析：（1）∵
，a 2=b 2+c 2，可得a=2b ，．∴椭圆的标准方程为： +y 2=b 2，
设P （x ，y ），（﹣b≤y≤b）． P 到点M （0，2）的距离d=
=
=
，
当0＜b ＜时，y=﹣b 时，d 取得最大值，∴b+2=，解得b=﹣2
，舍去．
当≤b 时，y=﹣时，d 取得最大值，∴=
，解得b=1，满足条件．
∴椭圆E 的方程为：
+y 2=1．
（2）（i ）设P （m ，n ），则=1．⊙P 的方程为：（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2=，
设经过原点O 的⊙P 的切线方程为：y=kx ，不妨设OA 的方程为：y=k 1x ，OB 的方程为：y=k 2x ． 则
=
，化为：（5m 2﹣4）k 2﹣10mnk+5n 2﹣4=0，
∴k 1+k 2=，k 1k 2=，
假设存在常数λ，使x 1x 2+λy 1y 2=0恒成立，则121212
1
x x y y k k λ=-
-,
12k k =﹣
=﹣
=-, 故4λ=为常数．
(ii)当l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 联立
{
2244
y kx b x y =++=，得(
)2
2
2148440k
x
kbx b +++-=
2121222844
,1414kb b x x x x k k -+=-=
++， ()()22
12122
414b k y y kx b kx b k
-=++=+， 由（i ）知，x 1x 2+4y 1y 2=0，化简可得22142k b +=，
(
)
2222
2
122
2
641616
211114k b AB k x k
k b
k -+=+-=+=++ O 到l 的距离为2
1b d k =
+1
12
AOB S AB d ∆=
= 当l 斜率不存在时，易得l 的方程为2x =±2AB =
1
2212
AOB S ∆==。