专题03曲线运动与天体运动(讲义)(原卷版)

专题03 曲线运动与天体运动
01专题网络·思维脑图 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法 04核心素养·难点突破 05创新好题·轻松练
考点内容 学习目标
运动的合成与分解
1.掌握质点曲线运动的条件，掌握运动的合成与分解方法；
2.掌握平抛运动的特点与规律；
3.掌握圆周运动的特点与应用，会计算圆周运动的临界情况；
4.掌握天体运动的特点、掌握变轨问题
平抛运动 圆周运动 天体运动
一、运动的合成与分解
1．判断两个直线运动的合运动性质，关键看合初速度方向与合加速度方向是否共线．
2解．常见的模型如图所示．
二、平抛运动
平抛运动问题的求解方法 从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面.
从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方
向沿该点圆弧的切线方向.
从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下.
在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面.
从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R
从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图所示，已知水
平位移x 与R 的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝R ＋R cos θ
x ＝v 0
t
y ＝R sin θ＝12
gt
2
x －R 2
＋y 2
＝R
2
1．圆周运动的三种临界情况
① 接触面滑动临界：摩擦力达到最大值． ② 接触面分离临界：F N ＝0.
③ 绳恰好绷紧：F T ＝0；绳恰好断裂：F T 达到绳子最大承受拉力． 2．常见的圆周运动及临界条件
① 水平面内的圆周运动
水平转盘上的物体
圆锥摆模型
② 竖直面及倾斜面内的圆周运动
轻杆模型
带电小球在叠加场中的圆周运动
等效法 倾斜转盘上的物体
3．变速圆周运动中向心力来源
如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，F n ＝F T －mg cos θ＝m v 2
R
，如图所示．
四、天体的运动
1．卫星的发射、运行及变轨
2
3．双星问题
412
轨道半径为r3.
考向一：曲线运动及运动的分解
【探究重点】
1．曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
①速度方向与运动轨迹相切；
②合力方向指向曲线的“凹”侧；
③运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间．
2．速率变化的判断
3．明确合速度与分速度
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v→平行四边形对角线
【高考解密】
1.(2023·江苏)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子。

若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是()
A ．
B ．
C ．
D ．
【考向预测】
2. (2023·福建龙岩市才溪中学月考)如图所示，河的宽度为L ，河水流速为u ，甲、乙两船均以在静水中的速度v 同时渡河．出发时两船相距2L ，甲、乙两船头均与岸边成60°角，且乙船恰好能直达正对岸的A 点．则下列判断正确的是( )
A ．甲船在A 点右侧靠岸
B ．甲船在A 点靠岸
C ．甲、乙两船到达对岸的时间相等
D ．甲、乙两船可能在未到达对岸前相遇 考向二：平抛运动 【探究重点】
1．平抛运动的两个推论
① 设做平抛运动的物体在任意时刻的速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ，如图甲所示．
② 做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图乙所示． 2．以斜抛运动的抛出点为坐标原点O ，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .
初速度可以分解为v 0x ＝v 0cos θ，v 0y ＝v 0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x ＝v 0x t ＝(v 0cos θ)t ∝ v x ＝v 0x ＝v 0cos θ∝
在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y ＝v 0y t －12gt 2＝(v 0sin θ)t －1
2gt 2∝
v y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gt ∝ 【高考解密】
3. (2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L .当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t .不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )
A ．将击中P 点，t 大于L
v
B ．将击中P 点，t 等于L
v
C ．将击中P 点上方，t 大于L
v
D ．将击中P 点下方，t 等于L
v
【考向预测】
4. (2021·山东泰安市高三一模)如图5所示，a 、b 两小球分别从半圆轨道MNO 顶端和斜面顶端O 点以大小相等的初速度v 0同时水平抛出，不计空气阻力，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，斜面底边长是其竖直高度的2倍，若小球a 能落到半圆轨道上，小球b 能落到斜面上，则( )
图5
A ．b 球一定先落在斜面上
B ．a 球一定先落在半圆轨道上
C ．a 、b 两球可能同时落在半圆轨道和斜面上
D ．b 球落到斜面底端时，a 球恰好落在半圆轨道上最低点 考向三：圆周运动
【探究重点】
1．匀速圆周运动与变速圆周运动中合力、向心力的特点 (1)匀速圆周运动的合力：提供向心力． (2)变速圆周运动的合力(如图)
∝与圆周相切的分力F t 产生切向加速度a t ，改变线速度的大小，当a t 与v 同向时，速度增大，做加速圆周运动，反向时做减速圆周运动．
∝指向圆心的分力F n 提供向心力，产生向心加速度a n ，改变线速度的方向． 2．圆周运动的三种临界情况
(1)接触面滑动临界：摩擦力达到最大值． (2)接触面分离临界：F N ＝0.
(3)绳恰好绷紧：F T ＝0；绳恰好断裂：F T 达到绳子能承受的最大拉力． 【高考解密】
5. (2022·全国甲卷·14)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a 处由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a 、b 之间的最低点，a 、c 两处的高度差为h .要求运动员经过c 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( ) A.h k ＋1 B.h k C.2h k D.2h k －1
【考向预测】
6. （2023·浙江·模拟预测）在东北严寒的冬天，人们经常玩一项“泼水成冰”的游戏，具体操作是把一杯开水沿弧线均匀快速地泼向空中。

图甲所示是某人玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。

泼水过程中杯子的运动可
看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了210°，人的臂长约为0.6 m。

下列说法正确的是（）
考向四：临界、极值问题
【探究重点】
【高考解密】
7.(2018·浙江11月选考·9)如图所示，一质量为2.0×103 kg的汽车在水平公路上行驶，路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104 N，当汽车经过半径为80 m的弯道时，下列判断正确的是()
A．汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力
B．汽车转弯的速度为20 m/s时所需的向心力为1.4×104 N
C．汽车转弯的速度为20 m/s时汽车会发生侧滑
D．汽车能安全转弯的向心加速度不超过7.0 m/s2
【考向预测】
8.（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上
==，现通过转动竖直杆，使水平O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA OB AB
杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程中OB、AB两绳始终处于拉直状态，重力加速度为g，则下列说法正确的是（）
3
mg
3
323
mg mg
33
323
mg mg
33
剪断，小球一定会偏离原来位置
考向四：天体运动 【探究重点】
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
① 地球表面附近的重力加速度大小g (不考虑地球自转)：有mg ＝G Mm R 2，得g ＝GM
R 2.
② 地球上空的重力加速度大小g ′
地球上空距离地球中心r ＝R ＋h 处的重力加速度大小为g ′，则有mg ′＝GMm R ＋h
2，得g ′＝
GM R ＋h 2.所以g g ′
＝R ＋h
2
R 2
.
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解
① 两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ② 地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)星体内部万有引力的两个推论
① 推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F 引＝0. ② 推论2：在匀质球体内部距离球心r 处的质点(m )受到的万有引力等于球体内半径为r 的同心球体(M ′)对它的万有引力，即F ＝G M ′m
r
2.
3．“黄金代换式”的应用：忽略中心天体自转影响，则有mg ＝G Mm
R 2，整理可得GM ＝gR 2.在引力常量G 和中心天体
质量M 未知时，可用gR 2替换GM .
4．人造卫星：卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是 赤道轨道．
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖． (2)同步卫星
∝轨道平面与赤道平面共面，且与地球自转的方向相同． ∝周期与地球自转周期相等，T ＝24_h. ∝高度固定不变，h ＝3.6×107 m. ∝运行速率约为v ＝3.1 km/s.
(3)近地卫星：轨道在地球表面附近的卫星，其轨道半径r ＝R (地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v ＝7.9 km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T ＝85 min(人造地球卫星的最小周期)． 注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星． 5．天体“追及”问题的处理方法
① 相距最近：两同心转动的卫星(r A <r B )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的同侧时，相距最近．从相距最近到再次相距最近，两卫星的运动关系满足：(ωA －ωB )t ＝2π或t T A －t
T B
＝1.
② 相距最远：两同心转动的卫星(r A <r B )同向转动时，位于同一直径上且在圆心的异侧时，相距最远．从相距最近到第一次相距最远，两卫星的运动关系满足：(ωA －ωB )t ′＝π或t ′T A －t ′T B ＝1
2.
【高考解密】
9.(2021·河北卷·4)“祝融号”火星车登陆火星之前，“天问一号”探测器沿椭圆形的停泊轨道绕火星飞行，其周期为2个火星日，假设某飞船沿圆轨道绕火星飞行，其周期也为2个火星日，已知一个火星日的时长约为一个地球日，火星质量约为地球质量的0.1倍，则该飞船的轨道半径与地球同步卫星的轨道半径的比值约为()
A.34
B.31 4
C.35
2 D.
32
5
【考向预测】
10.(2021·江苏苏锡常镇一模)2020年11月28日，嫦娥五号在距月面约200公里的A处成功实施变轨进入环月椭圆轨道∝.绕月三圈后进行第二次近月变轨，进入环月圆轨道∝，如图7所示，则嫦娥五号()
图7
A．在轨道∝的运行周期小于在轨道∝的运行周期
B．在轨道∝上的速度小于月球的第一宇宙速度
C．在轨道∝上A点的加速度小于轨道∝上B点的加速度
D．在轨道∝上B点的机械能大于轨道∝上C点的机械能
11.如图，在万有引力作用下，a、b两卫星在同一平面内绕某一行星c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为r a∝r b＝1∝4，则下列说法中正确的有()
A．a、b运动的周期之比为T a∝T b＝1∝16
B．a、b运动的周期之比为T a∝T b＝1∝4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
1.(2023·北京市育才学校月考)某质点在Oxy平面内运动的轨迹如图所示，则该质点在x、y两个正方向上的运动状况可能是()
A．质点在x、y两方向上都匀速运动
B．质点在x方向上匀速运动，在y方向上先加速后减速
C．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先加速后减速
D．质点在y方向上匀速运动，在x方向上先减速后加速
2.（2023秋·辽宁沈阳·高三校联考期中）如图，有一条宽为100m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。

已知小船在静水中的速度大小为4m/s，水流速度大小为3m/s。

下列说法正确的是（）
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线B．小船渡河过程中的位移大小为100m
C．小船在河水中的速度是7m/s D．小船渡河的时间是25s
3.（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车的运动在同一竖直平面内，拖车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v沿水面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的阻力保持不变．则在上述运动过程中（）
A ．当拉船的轻绳与水平面的夹角为θ时，拖车运动的速度为sin v θ
B ．小船受到绳的拉力不断减小
C ．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D ．拖车的动能不断减小
4. (2021·东北三省四市教研联合体3月模拟)如图6所示，两小球a 、b 分别从斜面顶端和斜面中点沿水平方向抛出，均落在斜面底端．不计空气阻力，关于两小球在平抛过程中的说法正确的是( )
图6
A ．小球a 、b 到达斜面底端时的速度方向不同
B ．小球a 、b 在空中飞行时间之比为2∝1
C ．小球a 、b 抛出时的初速度之比为1∝1
D ．小球a 、b 离斜面的最大距离之比为2∝1
5. (2022·江苏扬州市高三期末)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A 点滑出，均落至B 点，第二次的滞空时间比第一次长，则( ) A ．两次滑出速度方向相同 B ．两次腾空最大高度相同 C ．第二次滑出速度一定大 D ．第二次在最高点速度小
6. （2023·全国·二模）在2022年北京冬奥会短道速滑项目男子1000米决赛中，中国选手任子威夺得冠军。

如图所示，A 、B 、A '、B '在同一直线上，O '为AA '中点，运动员由直线AB 经弯道到达直线A B ''，若有如图所示的∝∝两条路线可选择，其中路线∝中的半圆以O 为圆心，半径为8m ，路线∝是以O '为圆心，半径为15m 的半圆．若运动员在沿两圆弧路线运动的过程中，冰面与冰刀之间的径向作用力的最大值相等，运动员均以不打滑的最大速率通过两条路线中的弯道（所选路线内运动员的速率不变），则下列说法正确的是（ ） A ．在∝∝两条路线上，运动员的向心加速度大小不相等 B ．沿∝∝两条路线运动时，运动员的速度大小相等 C ．选择路线∝，路程最短，运动员所用时间较短 D ．选择路线∝，路程不是最短，但运动员所用时间较短
7. (2021·江苏海安市高三期末)如图8，“食双星”是指在相互引力作用下绕连线上O 点做匀速圆周运动，彼此掩食(像月亮挡住太阳)而造成亮度发生周期性变化的两颗恒星．在地球上通过望远镜观察这种双星，视线与双星轨道共面．观测发现每隔时间T 两颗恒星与望远镜共线一次，已知两颗恒星A 、B 间距为d ，引力常量为G ，忽略地球的自转，则可推算出双星的总质量为( )
图8
A.π2d 2GT 2
B.π2d 3GT 2
C.2π2d 2GT 2
D.4π2d 3GT 2
8. (2021·华大新高考联盟1月联考)2020年7月23日，我国成功发射了“天问一号”火星探测器．如图11所示，已知火星与天问一号、地球均绕太阳在同一平面内沿同一方向做匀速圆周运动，火星绕太阳的公转轨道半径是地球的1.5倍．为了节省燃料，通常选择地球与火星最近时(地球位于太阳与火星之间，且三者共线)为最佳发射期．则下一个
火星探测器的最佳发射期至少要经过约()
图11
A．1.2年B．1.8年C．2.2年D．2.8年
9.（2023·天津宝坻·天津市宝坻区第一中学校联考二模）航员在月球表面附近自高h处以初速度0v水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L。

已知月球半径为R，万有引力常量为G。

则下列说法正确的是（）。