人教A版选修2-2第二学期高二数学(理)第一次段考试题.docx

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
吉安一中2010—2011学年第二学期高二数学（理）第一次段考试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若复数2
)(i a z -=是纯虚数，则实数a 为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．1±
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度” 时，正确的反设是（ ）
A ．假设三内角都不大于60度
B ．假设三内角至多有一个大于60度
C ．假设三内角都大于60度
D ．假设三内角至多有两个大于60度 3．用数学归纳法证明111
123
21
n n ++++
<- （,1n N n +∈>）时，第一步应验证不等式（ ）
A ．1122+
< B ．11
1223++< C ．111323++< D ．11113234
+++<
4.与直线250x y -+=平行的抛物线2
y x =的切线方程为（ ）
A.210x y --=
B.230x y --=
C.210x y -+=
D.230x y -+= 5．设0()sin f x x =，10()()f x f x '=，21()()f x f x '=，…，1()()n n f x f x +'=，n ∈N ，
则)(2011x f ＝（ ）
A ．－cos x
B ．cos x
C ．－sin x
D ．sin x
6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则 ( )
A ．f (x )=g (x )
B ．f (x )－g (x )为常数函数
C ．f (x )=g (x )=0
D ．f (x )+g (x )为常数函数 7.函数1
2
)(+⋅=x e
x x f ,[]1,2-∈x 的最大值为( )
A.1
4e - B.1 C. 2
e D. 2
3e 8．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足(1)()0x f x '-≥，则必有（ ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ． (0)(2)2(1)f f f +>
9．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形
1 3 6 10 15 则第n 个三角形数为（ ） A ．n B ．
2)1(+n n C ．12
-n D ．2
)1(-n n 10.若函数2
()3sin (2)53f x x π
=+
+,则)12
(/π
f 的值为（ ） A ．1- B ．11 C ．5 D ．8 11．设f (x )，
g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，f ′(x )g (x )＋
f (x )
g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是（ ）
A ．(－3，0)∪(3，+∞)
B ．(－3，0)∪(0，3)
C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)
D ．(－∞，－3)∪(0，3)
12．若函数)1,1(12)(3
+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ）
A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或
B ．3113<<-<<-k k 或
C ．22<<-k
D ．不存在这样的实数k
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．若复数z 满足i z i +=-3)1(，则z = 14．若1
2)2x k dx k +=-⎰
（，则实常数k 为
15．设函数()m f x x ax =+的导数为12)('
+=x x f ，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧)(1n f )(+∈N n 的前n 项和是
16．在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222
111h a b =+，由此类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则
三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．(本小题满分12分) 求抛物线
232y x x =--与x 轴围成的封闭图形的面积.
18．（本小题满分12分）
若a 、b 、c 均为实数，且2
22
a x y π
=-+，2
23
b y z π
=-+
，2
26
c z x π
=-+
.
求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0．
19．（本小题满分12分） 已知函数4
4()ln f x ax
x bx c =+-⋅在1x =处取得极值c --3，
(1)试求实数,a b 的值； (2)试求函数()f x 的单调区间；
(3)若对任意0x >,不等式2
2)(c x f -≥恒成立,求实数c 的取值范围.
20. （本小题满分12分）
在直线2y x =-上是否存在点P ,使得经过点P 能作出抛物线
2
12
y x =
的两条互相垂直的切线？若存在,求点P 的坐标；
若不存在,请说明理由.
21. （本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意的*
n N ∈都有2n n S a n =-,
(1)求数列{}n a 的前三项123,,a a a ；
(2)猜想数列{}n a 的通项公式n a ,并用数学归纳法证明； (3)求证：对任意*
n N ∈都有213243
1111
1
1n n
a a a a a a a a +++++
<----.
22．（本小题满分14分） 已知()ln f x x =，217
()(0)22
g x x mx m =
++<，直线l 与函数()f x 的图象相切，切点的横坐标为1，且直线l 与函数()g x 的图象也相切． (1)求直线l 的方程及实数m 的值；
(2)若()(1)()h x f x g x '=+-(其中()g x '是()g x 的导函数)，求函数()h x 的最大值； (3)当0b a <<时，求证：()(2)2b a
f a b f a a
-+-<
． y
x
O
吉安一中2010—2011学年第二学期高二数学（理）第一次段考试题答案
一、选择题
1、D
2、C
3、B
4、A
5、A
6、B
7、C
8、D
9、B 10、C 11、D 12、B
二、填空题 13、i 21+ 14、21 15、1+n n 16、22221111
h a b c
=++
三、解答题
17、解：由
2
320,x x --=得3,1x x =-=…………2分 1
23
(32)S x x dx
-∴=--⎰2313
112732
(3)
(31)(99)3
333
x x x -=--=-----+=……12分
18． 证明：假设a 、b 、c 都不大于0，即0a ≤，、0b ≤、0c ≤，…………2分 由此可得，0a b c ++≤，而a b c ++=2
22x y π
-+
+2
23
y z π
-+
+2
26
z x π
-+
222
(2)(2)(2)x x y y z z π=-+-+-+ 2
2
2
1)1)1)3x y z π=
-+--+-（（+（…………10分
∴0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾，所以a 、b 、c 中至少有一个大于0. …12分 19．解：(1)由题意知(1)3f c =--⇒3b c c -=--，∴3b =-；对()f x 求导可得：
3431
'()4ln 4f x ax x ax bx x
=⋅+⋅+3(4ln 4)x a x a b =++．由题意,得(1)0f '=，即
40a b +=， ∴12a =；即实数12a =，3b =-.…………4分
(2)由(1)知3
()48ln f x x x '=(0)x >，令()0f x '=，解得 1x =，
当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．
∴函数()f x 的单调递减区间为(01)，
，()f x 的单调递增区间为(1)+，∞；…………8分
(3)由(2)知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值，要使
2()2f x c ≥-（0x >）恒成立，只需232c c --≥-，
即2
230c c --≥⇔(1)(23)0c c +-≥，解得1c ≤-， 或 32
c ≥． ∴实数c 的取值范围为3(1][)2
-∞-+∞，，．…………12分
20. 解:假设这样的点P 存在,由题意可设点P 坐标为(,2)P m m -,又设所作的两条切线为PA,PB,其中A,B 为切点,且点A,B 的坐标分别为:21(,)2A a a ,21
(,)2
B b b . …………2分 因为函数2
12
y x =
的导函数为'y x =, 所以由两切线垂直可得1ab =-,…………4分
且:2
21(2)
21(2)2a m a a m
b m b b m ⎧--⎪=⎪⎪-⎨⎪--⎪=⎪-⎩
即,2222(2)022(2)0
a ma m
b mb m ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩. 故,a b 是方程2
22(2)0x mx m -+-=的两实数
根, …………9分
从而有:2(2)1ab m =-=-. 解得:3
2
m =
. 所以,存在这样的点P,其坐标为31
(,)22
P -.…………12分 21.解: (1)令1n =得,11121S a a =-=,故11a =；
令2n =得,22122221S a a a a =-=+=+,故23a =；
令3n =得,3312332313S a a a a a =-=++=++,故37a =；…………3分
(2)由(1)可以猜想21n
n a =-,下面用数学归纳法进行证明:
①当1n =时,结论显然成立；
②假设当n k =时结论成立,即21k
k a =-,从而由已知2n n S a n =-可得：
122(21)22k k k k S a k k k +=-=--=--.故2123k k S k ++=--.
∴211
11(23)(22)21k k k k k k a S S k k +++++=-=-----=-.
即,当1n k =+时结论成立.
综合①②可知,猜想21n n a =-成立.即,数列{}n a 的通项为21n
n a =-.……8分 (3)∵21n n a =-,∴11(21)(21)2n n n
n n a a ++-=---=,
∴
23213243
1111
1111
1111222
22
n n n n a a a a a a a a +++++
=+++
+
=-<---- ∴对任意*
n N ∈都有
2132431111
1
1n n
a a a a a a a a +++++
<----.…………12分
22．解：(1)
1
()f x x
'=
，(1)1f '∴=.∴直线l 的斜率为1，且与函数()f x 的图象的切点 坐标为(1,0). ∴直线l 的方程为1y x =-. …………2分 又∵直线l 与函数()y g x =的图象相切,
∴方程组211722
y x y x mx =-⎧⎪
⎨=++⎪⎩有一解. 由上述方程消去y ，并整理得
22(1)90x m x +-+= ①
依题意，方程①有两个相等的实数根，[]2
2(1)490m ∴∆=--⨯=
解得4m =或2m =-
0m < 2m ∴=- . …………5分
(2)由(1)可知217
()222
g x x x =-+，()2g x x '∴=-
()ln(1)2(1)h x x x x ∴=+-+>- . 1()111
x
h x x x -'∴=-=
++ . ∴当(1,0)x ∈-时，()0h x '>，当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<.
∴当0x =时，()h x 取最大值，其最大值为2. …………10分 (3) ()(2)ln()ln 2ln
ln(1)22a b b a
f a b f a a b a a a +-+-=+-==+. 0b a <<， 0a b a ∴-<-< ， 1022b a
a
-∴-<<.
由(2)知当(1,0)x ∈-时，()(0)h x h < ∴当(1,0)x ∈-时，l n (1)x x +<，
ln(1)22b a b a a a --∴+
<. ∴()(2)
2b a
f a b f a a -+-<
…………14分。