湖南省长沙市长郡中学2021届高考数学(理)一轮复习：3.2 第1课时 导数的应用同步练习

3.2导数的应用 第1课时导数与函数的单调性同步练习 1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞)
答案 D
解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x ]′＝e x ＋(x －3)e x ＝(x －2)e x .由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2．已知函数f (x )＝1
2x 3＋ax ＋4，则“a >0”是“f (x )在R 上单调递增”
的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案 A
解析 f ′(x )＝32x 2
＋a ，当a ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，故“a >0”是
“f (x )在R 上单调递增”的充分不必要条件．
3．已知f (x )＝1＋x －sin x ，则f (2)，f (3)，f (π)的大小关系正确的是( )
A ．f (2)>f (3)>f (π)
B ．f (3)>f (2)>f (π)
C ．f (2)>f (π)>f (3)
D ．f (π)>f (3)>f (2) 答案 D
解析 因为f (x )＝1＋x －sin x ，所以f ′(x )＝1－cos x ，当x ∈(0，π]时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，π]上是增函数，所以
f (π)>f (3)>f (2)．
故选D.
4．已知函数f (x )＝x ＋1
ax
在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取
值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，0)∪(0,1] C ．(0,1] D ．(－∞，0)∪[1，＋∞)
答案 D
解析 函数f (x )＝x ＋
1
ax
的导数为f ′(x )＝1－
1
ax 2
，
由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增， 则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立， 即1a
≤x 2
在(－∞，－1)上恒成立，
由于当x <－1时，x 2>1， 则有1
a
≤1，解得a ≥1或a <0.
5．(2020·中山模拟)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )
A ．f (b )>f (c )>f (d )
B ．f (b )>f (a )>f (e )
C ．f (c )>f (b )>f (a )
D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C
解析 依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0， 所以函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，
因为a <b <c ，所以f (c )>f (b )>f (a )，因此C 正确．
6．(2020·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，
f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x
的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0) D ．(0,1)∪(1，＋∞) 答案 A
解析 因为f (x )(x ∈R )为奇函数，f (－1)＝0， 所以f (1)＝－f (－1)＝0.
当x ≠0时，令g (x )＝f x x
，
则g (x )为偶函数，g (1)＝g (－1)＝0.
则当x ＞0时，g ′(x )＝[f x
x ]′
＝xf ′x －f x x 2
＜0，
故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数． 所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0
⇔f x x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－
1)＝0⇔f x
x
＜0⇔f (x )＞0.
综上，知使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
7．(2020·青岛模拟)若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＋c ＝________. 答案 －12
解析 f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1<x <3是不等式3x 2＋2bx ＋
c <0的解集，
∴－1,3是f ′(x )＝0的两个根， ∴b ＝－3，c ＝－9，b ＋c ＝－12.
8．(2020·衡水中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )
的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2
)<x 2
2＋12
的解集为________________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 设F (x )＝f (x )－1
2x ，
∴F ′(x )＝f ′(x )－1
2
，
∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－1
2<0，
即函数F (x )在R 上单调递减， ∵f (x 2)<x 22＋12， ∴f (x 2
)－x 2
2<f (1)－1
2
，
∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减， ∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在[2
3，＋∞)上存在单调递增区间，
则a 的取值范围是________． 答案 (－1
9
，＋∞)
解析 对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋1
4
＋2a .
当x ∈[23，＋∞)时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝2
9＋2a .
令29＋2a >0，解得a >－1
9
， 所以a 的取值范围是(－1
9
，＋∞)．
10．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为________． 答案 (－∞，5
2
]
解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立， 即x 2
－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1
x
恒成立．
令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1
x
2，
∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，
∴m ≤2＋12＝5
2
.
11．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －3
2
，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在
点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝1
2x .
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间．
解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1
x
(x >0)，
由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－3
4－
a ＝－2，解得a ＝5
4
.
(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －3
2，
则f ′(x )＝x 2－4x －5
4x 2
(x >0)．
令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．
综上，f (x )的单调增区间为(5，＋∞)，单调减区间为(0,5)． 12．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝1
2
ax ＋b .
(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式；
(2)若φ(x )＝m x －1
x ＋1
－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，求实数m 的
取值范围．
解 (1)由已知得f ′(x )＝1
x
，
∴f ′(1)＝1＝1
2
a ，∴a ＝2.
又∵g (1)＝0＝1
2a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.
(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1
x ＋1
－ln x 在[1，＋∞)上是
减函数．
∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1
x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．
即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1
x
，x ∈[1，＋∞)，
∵x ＋1
x
∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.
故实数m 的取值范围是(－∞，2]．
*13.(2020·辽宁鞍山一中高三月考)已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2
.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，求实数a 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝x 2－ax ＝x (x －a )， ①当a ＝0时，f ′(x )＝x 2≥0恒成立， ∴f (x )在R 上单调递增．
②当a >0时，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0；
当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，0)，(a ，＋∞)，减区间为(0，a )． ③当a <0时，当x ∈(－∞，a )时，f ′(x )>0；
当x ∈(a,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )的增区间为(－∞，a )，(0，＋∞)，减区间为(a,0)． (2)g ′(x )＝x 2－ax ＋2，依题意，存在x ∈(－2，－1)， 使不等式g ′(x )＝x 2－ax ＋2<0成立，
即当x ∈(－2，－1)时，a <(x ＋2
x
)max ＝－22即可．
所以满足要求的a 的取值范围是(－∞，－22)．。