数学练习题编选的几点策略

12-102020年第12期数学练习题编选的几点策略
谢玉兰
(江西省赣州中学，江西赣州341000)
苏步青教授曾说过:“多演算习题，第一是为了加深基础概念、定义、定理(包括证明)的理解;第二是为了训练我们的运算技巧和逻辑思维•”数学练习题一方面可以帮助学生正确理解和内化数学知识，提高学生对数学内容掌握的熟练和自动化程度；另一方面，习题也为教师提供了教学效果的反馈信息，是了解学生学习情况的重要手段.因此，练习题在数学教学和学习中有极其重要的作用，合理的选编练习题是保障数学教学质量的必要途径.那么，在教学中如何科学、合理地选编高质量的数学练习题，这是摆在我们每位数学教师面前的一道课题.为此，本文结合笔者的教学实践，谈谈对这个问题的思考.
1编选恰当的练习题在教学中的必要性和重要性
众所周知，教材中的典型练习题和习题为学生理解教学内容，巩固新知发挥了重要的作用，然而，尽管教材中的练习题和习题具有范例的作用,但一本教材也难以满足不同层次学生的具体要求以及教学中的不同需要.如在人教版高一数学必修1的代数这一章中，在教材的练习题中仅仅有一个小题提到了求1的立方虚根这个问题,学生也不难利用复数三角式
求得其结果为-y+yi,-y-yi-但是1的立方虚根在复数中占有特殊地位，仅通过一二道练习题很难让学生掌握它的一些性质•像这样的问题就必须及时补充一些练习题，以便于学生掌握.
有时教师针对学生的具体情况，把书上的题目作引伸，起到了原题难以起到的作用.例如,人教版高一数学必修2上的原题为：“已知两点M(2,2)和N(5,-2),点P在％轴上，且厶MPN为直角，求点P的坐标•”根据自己的教学经验，我校学生基础较好，利用两点间距离公式和勾股定理能很快地求得结果,教师在此基础上，附加这样一个思考题:“对于任意两点M、N,这样的点P—定存在吗？在什么条件下，这样的点P有两个？在什么条件下，点P 不存在?”把这道题目作了引伸后，由于此题的外延性和可拓展性，能够引起学生的争论和思考,进一步挖掘了教材习题的内蕴功能，使学生更加明确解析几何这一学科的数学思想和方法的实质.
因此，教师根据教学的实际情况，适当调整、删减和补充一定数量的习题以更好地完成教学任务是十分必要的.鉴于数学练习题在数学教学中的重要地位，确保所编选练习题的质量就显得尤为关键，同时面对海量的数学习题资源,要避免让学生陷入“题海”的怪圈，所以教师必须要掌握一些科学的选编习题的方式方法.
2编选数学练习题的几点策略
选编数学习题的关键是教师要认真解读数学课程标准和实验教材，充分了解学生的数学认知水平，在此基础上，笔者认为科学编选数学练习题还要注意以下几点.
2.1习题的编选必须要有明确的目的意识
目的意识是编选数学练习题的重要目标导向.为此，教师在编选每一道练习题的过程中，都必须带有明确的目的性，同时尽可能了解每一道题的知识功能、能力功能以及情感态度上的功能，减少随意性，以提高教学效率.
例如，“二次算术根”是初中代数教学过程中的一个重点和难点问题，尽管学生基本上能够记住其结论：
2020年第12期欽学救学12-11
1a,a>0,
0,a=0,
-a,a<0,
但是，利用上面结论解决实际问题时，总有学生会感到较为困难，处理不好符号问题，非常容易产生错误.因此，为了加强学生对二次算术根的符号处理能力，掌握其中变化的技巧，老师可以适当编选一组具有典型性的练习题，如：
（1）化简：点产；（编选此练习题的意图在于可以帮助学生正确认识z的符号包含确定性,而％、y的符号却呈现出不确定性,需要特别加以注意）
（2）化简：y（x+i）2（x-1）；（编选此练习题的意图在于帮助学生认识到由于（％-1）>0必然成立，所以（X+I）2在去符号的过程中无需加以特别考虑）
（3）当m<0时，把mja中的m移入二次根号内.（编选此练习题的意图在于引导学生认识到由于m<0的特殊性，所以在将m移入二次根号内的过程中，必须特别注意符号的处理）
这些题目从不同的角度围绕符号问题作文章，由于选题的目的十分明确，针对性也比较强，所以学生通过这一组练习后的收效比较明显，有助于加深学生对二次算术根符号意义的理解.
当然，不同的教学阶段和不同的教学目的，选编的习题也有所不同，习题的设置是为了预习新课还是巩固新知，抑或是突破难点，或是综合复习等，出发点不同，我们选编的习题也有所不同.明确了选题目的之后，我们还需根据目的确定习题的类型、难度、题量，了解每道习题涉及了哪些知识点，难点在哪里，这些习题可能对学生哪些知识、能力或数学素养的形成构成帮助,然后才能有的放矢地进行选择，以提高教学效益.
2.2练习题类型安排的合理性
针对不同的教学目标以及不同的教学阶段需要选择不同的数学练习题问题类型.我们从不同的维度可以对数学习题进行不同的划分.
从习题结果是否有确定形式的角度，我们可以把数学问题分为客观性问题和主观性问题•其中常见的客观性问题为选择题、填空题和简答题；主观性问题为解答题.以上几种题型都可以出现在各个场合中，但它们各自有优势和不足，使用时需要注意.比如选择题教师批改比较容易，从学生的错误信息的统计中容易找到教学线索,但学生可能凭猜测得到正确结果,而且选择题无法提供学生思维过程的信息,对学生数学交流和表达能力的培养没有帮助.因此，教学中客观题和主观题要合理搭配，尤其在练习题涉及的知识点或者数学方法比较多，需要学生运用高层次思维能力时，笔者认为要少用客观性问题.
从习题与例题的相似性的角度，我们可以把习题分为同一式和变式.•所谓同一式是指问题的类型与例子基本保持不变的安排形式;所谓变式是指问题的本质属性不变，而变换问题的非本质属性，以实现对问题的多角度和完整理解.以巩固新知为例，在新授课阶段，所设置的练习题主要为了让学生及时巩固新知，因此需要围绕新课的教学目标和教学重点、难点来选择相应的练习题.同一式的安排可以保证学生对知识、技能的充分练习，提高熟练程度；变化式的安排可使学生接触大量变式，有利于学生把握概念的关键特征，加深对知识的理解，也可提高学生的兴趣.认知心理学认为：“在概念和规则习得的最初阶段，宜设置与原先学习情境相似的问题情境进行练习，练习课题之间要保持一定的同一性.随着知识的渐趋稳定和巩固，问题类型要有变化•”也就是说，学习新知时最初的练习题设置最好为同一式练习题，在此基础上，需要增加一些变式问题.既要保证学生对同一式问题的充分练习，又要让他们接触尽量多的题型，而题型的多样性应以不牺牲学生对同一题型的巩固和熟练为前提.
从问题解决模式的不同，我们还可以把习题分为传统型习题和创新性习题•传统型习题一般是经过历史检验不断筛选出的经典数学问题，在数学教学过程中承担了巩固知识、培养能力的巨大作用•但是，传统习题也有一定的局限性，对学生实际应用、探索创新、动手实验等能力培养不足，因此，我们在教学中也要
12-12裁学款学2020年第12期
搭配一定数量的应用性问题、开放性问题、探究性问题作为补充，以更好地适应新课程标准的要求•
2.3练习题的编选必须要确保数量相宜与合
理的层次性
要想确保练习题发挥作用，很大程度上取决于编选练习题的基本数量、难易系数及其层次性.可以说，数量相宜与难易适当的层次性是保证练习题编选能否成功的关键•倘若数量太多或太少，难度太高或者太低，层次区分度不明显，势必都会影响教学目标的达成，严重的还会挫伤学生学习数学的兴趣与积极性.
数学习题针对不同的教学目标以及不同的教学阶段和不同的学生需要选择不同层次的习题•新课、习题课或者综合复习课,不同的课我们选编的习题层次也有所不同，通常教材中设置了课堂练习、课后习题以及带有一定综合性的复习题，教材的习题设置已经为教学提供了一个比较规范和标准的训练系统.教学中，我们在遵循教材安排的基础上，教师们都会根据具体情况做适当的调整，但也同样需要保持一定的层次性.
有的老师在教学中存在轻视基础题，重视综合题和拓展题的倾向，学生的基础练习还没有训练到位，在基础概念模糊不清，基本技能掌握得不扎实的情况下，就盲目地对学生进行综合练习，甚至学生刚学完某个知识点，就急不可待地把中考或者高考的原题以及压轴题让学生完成，这不仅增加了学生的负担和挫折感，而且实际教学效果并不理想，教学效益较低,这种情况是当前中学数学课堂教学中需要加以警惕的.
一般用于巩固新知或者突破难点的练习题，开始阶段难度切不可太大，问题涉及的知识点不宜太多，这样有利于学生打好基本功，而到了综合复习阶段的练习题,对练习题的实践性、综合性、知识的掌握程度都有较高的要求，从而练习题的难度也随之增加.要根据学生的认知水平来选择难题的数量和难度，适当的难度可以培养学生学习数学的自信心，不适当的难度可能会打击学生学习数学的自信心和学习兴趣.2.4练习题的编选必须要注重挖掘现有教材
上习题的潜在功能
客观地说，现有教材上练习题的科学性和典型性不容置疑,其中往往隐含着一些学生尚未发现的“奥秘”，而这些“奥秘”又是学生对所学知识拓展引伸的关键,也是编选数学练习题时必须要注意的策略之一.因此，教师要注重挖掘现有教材上习题的潜在功能，在编选练习题时针对教材中现有的例题、习题来选配适量的练习题，以求达到因本拓新之用.
例如,人教版高中数学必修4(3.1.2)两角和与差的正弦余弦正切公式这一章节中有:
"求证:sin(a+)8)sin(a-/3)=sin2a-sin%”,此题揭示了两角和差的正弦和两角正弦平方差的一种关系，它的形式结构酷像代数中的平方差公式，因此有人称它为三角中的平方差公式•掌握好它，必然会对三角恒等变形及其解题应用带来诸多方便.因此，为强化此知识，可编选如下一组练习题：
采用sin(a+/3)sin(a-/3)=sin2a-si『0,解决下列问题：
(1)求值sin20°cos70°+cos50°cos10°；
(2)解三角方程：sin
*。

+—j-sin2e-1)4
(3)在厶ABC中，求证：asin(B-C)+ bsin(C-A)+csin(A-B)=0；
(4)在中，若；、b\c2成等差数列,则cot A、cot B y cot C也成等差数列.
当学生做完这一组练习题后，不仅有助于学生熟悉教材习题的结论，而且在思想上给学生带来了全新的思维方式，增强了学生知识应用的能力.
3结语
编选好恰当的数学练习题无疑是一项系统性工程，不仅要充分体现数学学科的严谨性和科学性，也要切实遵循好学生自身的实际情况和学习水平,有梯度、有层次性地选择适宜恰当的数学练习题，以期通过学生的练习，帮助学生巩固理解所学数学知识,进而提升数学课堂教学的有效性，并发挥好教师在教学中的主导作用.
(下转第12-39页)
2020年第12期欽学裁学12-39
x
2
+ /
+ y
1
x 2 + y 2x 2 + 2y 2 - J3xy
x + y 2若 y = 0,则久=土 1 , / + 犷=］；
若y # 0,则/
设 t = —, m = x 2 + y 2,则有 m =
y 1 + t 2
…
" l
-----------，艮卩(m _ 1)Z 2 - mt + 2m -1=0.
i 2 - -/3~t + 2
若 m = 1,则 t =晋;若 m M 1,则△二 3m -
4(m - 1)(2m - 1) MO.
2
解得 g W m W 2,且 m H 1.
=(cos 9 + —sin 0
\ 75 ,
i 2 . 2 2^3 .
=1 + —sin 20 +-----sin 0cos 0
5 751 - cos 20 /3 .=1 +------------- + —sin 20
5 75
6 4“ 、 2=y + ysin(20 + 炉)y,
其中 sin (p =-
综上可知,m 的最小值为m ，此时t =--^-
即 y =- a /3x =
方法3(三角换元)：注意到条件式/ +
2y 2 - /3xy = 1(%、y e R)可配方成完全平方
之和等于1的形式，适合三角换元的方法.
将/ +2y 2 -V3xy= l(x,y e R)配方得
2+
%2/3 )x ------y
2 J
设％-弓y = cos 0,各y = sin &,贝！］
2
=1.
(上接第12-12页)
选编什么样的习题也是教师教育理念的 一种体现，因此，掌握基本的教育学心理学知
识,拥有正确的教育理念是教师合理选编习题
的关键•数学练习题的选编是教学中的重要一 环•本文抛砖引玉，希望引来更多人对此问题
的关注和研究.
参考文献
[1]胡晓苹•发掘例习题的潜在功能 培
+(—sin 6
175 ,
1 /15
-,CO S (P =—.
2
可计算得当sin(2& + 4)=- 1时的％、y 值 (略)•
数学的教与学，如科学研究，亦如文化表
达，既需像“横看成岭侧成峰，远近高低各不
同”(苏轼诗)那样，善于从不同的角度不同
的层次去分析探究，以品味其中所蕴含的味
道，更应该秉持“素心正如此，开径望三益”
(陶渊明诗)那种精神，回归数学最本质，最
朴素的东西，方能以不变应万变，以其宗驭
其形.
参考文献
[1] 何建东•课堂关注——教学有效性的 “催化剂” [J].数学通报,2012(6)： 11-13.
[2] 何建东•基于本质找视角，一题多解 得方法[J].数理化解题研究,2017(7)： 27- 28.
[3] 何建东•例析范围问题的解题策略 [J].上海中学数学,2017(1-2)： 37-39.
养学生的探究、创新意识[J].中学教研(数 学),2004(5)： 13-14.
[2] 朱军华.谈课堂练习题的精选[J].中 学教研(数学),2004(12)： 3-5.
[3] 董香焕•如何培养学生快速准确的解 题能力[J]•希望月报,2005(20)： 63-63.
[4] 施良方，崔允潮•教学理论：课堂教 学的原理、策略与研究[M].上海：华东师范大 学出版社
,1999.。