人教版八年级上册13.4课题学习最短路径问题课件[1]

A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，
向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方， 才能使从A、B到它的距离之和最短．
请你自己动手 试一试！
(Ⅲ)一点在两直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点， 在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， C，组成三角形，使三角形周长最小.
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
AC′+BC′
= AC′+B′C′．
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.
作法：1.作点C关于直线 ∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
由轴对称的性质知，
OA 的 对称点点D, = AC′+B′C′．
AB′＜AC′+B′C′，
D G MO
A
则CG+GH+DH最短
2. 作点C关于直线 OB C 不重合）与A，B 两点的距离
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，
则CG+GH+DH最短
最短路线：A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接…
∵点F,点C关于直线OA对称，点G.M在OA上， ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE，ND=NE,
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
பைடு நூலகம்
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
P
思考？？？
为什么这样做就能得到最短距 离呢？
根据：两点之间线段最短.
如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别 向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地 方，可使所用的输气管线最短？
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
探索新知
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久
∴ 负AC盛+BC名= AC的+B′C学= A者B′，，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访
在四边形EFGH中，
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE＞FE（两点之间，线段最短），
即CG+GH+HD＞CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
的对称点点E, （2）连接AB′，与直线l 相交
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然
H
Ｃ .
N
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N， . E 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
点A′，A″；连接A′，A″，分别交
OM，ON于点B、点C，则点B、 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这
一天的最短路线。
处，满足直线l 上的任意一点
点C即为所求
3.某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO， BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了 糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果， 然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路 线，使其所走的总路程最短？
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
C，组成三角形，使三角形周长最小. ∵点F,点C关于直线OA对称，点G.
+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 同理HD=HE，ND=NE,
分别作点A关于OM，ON的对称
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 在△AB′C′中，
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？
C 不海重合伦）与，A，求B 两点教的距一离 个百思不得其解的问题：
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 CG+GH+HD=FG+GH+HE,
证明：在直线OA 上另外任取一点G，连接… 问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示，从A地到B地有三条路 可供选择，你会选走哪条路最近？ 你的理由是什么？
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知：如图，A，B在直线L的两 侧，在L上求一点P，使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
则CM+MN+CN最短
B
• 4. 如图：C为马厩，D为帐篷，牧马人某一天要
从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到
河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一
天的最短路线。
F
作法：1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H，
在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时，三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B， ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′，
最短路线：A P Q B 分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；
连AC接后′+DBEC分′到别交B直线地OA. ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
最短？ 的对称点点E,
并把它抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·