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A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
追问2 回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的?
A
·
C′ C
B
·
l
B′
练习
问题:如图所示,要在街道旁修建一个奶站,
向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方, 才能使从A、B到它的距离之和最短.
请你自己动手 试一试!
(Ⅲ)一点在两直线内部
已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点, 在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, C,组成三角形,使三角形周长最小.
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
证明:如图,在直线l 上任取一点C′(与点C 不
重合),连接AC′,BC′,B′C′.
由轴对称的性质知,
BC =B′C,BC′=B′C′. ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′,
AC′+BC′
= AC′+B′C′.
∵点F,点C关于直线OA对称,点G.
作法:1.作点C关于直线 ∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短),
由轴对称的性质知,
OA 的 对称点点D, = AC′+B′C′.
AB′<AC′+B′C′,
D G MO
A
则CG+GH+DH最短
2. 作点C关于直线 OB C 不重合)与A,B 两点的距离
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思,
则CG+GH+DH最短
最短路线:A P Q B
N
A/
P
Q
B/
A
M
B
l
证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接…
∵点F,点C关于直线OA对称,点G.M在OA上, ∴GF=GC,FM=CM,
同理HD=HE,ND=NE,
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
பைடு நூலகம்
CG+GH+HD=FG+GH+HE,
A
P
思考???
为什么这样做就能得到最短距 离呢?
根据:两点之间线段最短.
如图,要在燃气管道L上修建一个泵站,分别 向A、B两镇供气,泵站修在管道的什么地 方,可使所用的输气管线最短?
所以泵站建在点P可使输气管线最短
应用
P
探索新知
问题1 相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久
∴ 负AC盛+BC名= AC的+B′C学= A者B′,,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访
在四边形EFGH中,
F M
·C
GO
H N
∵FG+GH+HE>FE(两点之间,线段最短),
即CG+GH+HD>CM+MN+ND
D·
E
即CM+MN+ND最短
B
的对称点点E, (2)连接AB′,与直线l 相交
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然
H
C .
N
已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.
3.连接DE分别交直线OA.OB于点M.N, . E 问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
点A′,A″;连接A′,A″,分别交
OM,ON于点B、点C,则点B、 如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这
一天的最短路线。
处,满足直线l 上的任意一点
点C即为所求
3.某班举行晚会,桌子摆成两直条(如图中的AO, BO),AO桌面上摆满了桔子,OB桌面上摆满了 糖果,坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果, 然后回到座位,请你帮助他设计一条行走路 线,使其所走的总路程最短?
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
(1)从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,
B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地 到饮马地点,再回到B 地的路程之和;
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上
面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,
AC 与CB 的和最小(如图).
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
C,组成三角形,使三角形周长最小. ∵点F,点C关于直线OA对称,点G.
+BC′?这里的“C′”的作用是什么? 连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思, 同理HD=HE,ND=NE,
分别作点A关于OM,ON的对称
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 在△AB′C′中,
追问1 对于问题2,如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处,满足直线l 上的任意一点
C,都保持CB 与CB′的长度
相等?
B
·
l
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识,找到上问中符合条
件的点B′吗?
B
·
l
探索新知
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直 线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
作法: (1)作点B 关于直线l 的对称
点B′; (2)连接AB′,与直线l 相交
于点C. 则点C 即为所求.
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?
C 不海重合伦)与,A,求B 两点教的距一离 个百思不得其解的问题:
∴CM+MN+ND=FM+MN+NE=FE,
从图中的A 地出发,到一条笔直的河边l 饮马,然 CG+GH+HD=FG+GH+HE,
证明:在直线OA 上另外任取一点G,连接… 问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直
13.4 课题学习 最短路径问题
如图所示,从A地到B地有三条路 可供选择,你会选走哪条路最近? 你的理由是什么?
C ①D E
A
②
B
两点之间,线段最短
③
F
(Ⅰ)两点在一条直线异侧
已知:如图,A,B在直线L的两 侧,在L上求一点P,使得 PA+PB最小。
连接AB,线段AB与直线L的交点P ,就是所求。
则CM+MN+CN最短
B
• 4. 如图:C为马厩,D为帐篷,牧马人某一天要
从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到
河边饮马,然后回到帐篷,请你帮他确定这一
天的最短路线。
F
作法:1.作点C关于直线 A OA 的 对称点点F,
2. 作点D关于直线 OB 的对称点点E,
G
O
·C
H
D·
E
B
3.连接EF分别交直线OA.OB于点G.H,
在△AB′C′中, AB′<AC′+B′C′,
∴ AC +BC<AC′+BC′. 即 AC +BC 最短.
A
·
C′ C
B
·
l B′
探索新知
追问1 证明AC +BC 最短时,为什么要在直线l 上 任取一点C′(与点C 不重合),证明AC +BC <AC′ +BC′?这里的“C′”的作用是什么?
若直线l 上任意一点(与点 C 不重合)与A,B 两点的距离 和都大于AC +BC,就说明AC + BC 最小.
分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在 一条直线上时,三角形的周长最小
D
B
C
E
(Ⅲ)一点在两相交直线内部
已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,
在∠MON的两边OM,ON上各取一点B, ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′,
最短路线:A P Q B 分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;
连AC接后′+DBEC分′到别交B直线地OA. .到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
最短? 的对称点点E,
并把它抽象为数学问题吗?
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题,你打算首先做什么?
将A,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线.
·B A·