成都市高三一诊性模拟数学(理科)试题

四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=≤-A x x {}1,,=≥-B x x 则()=U A BA.[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-∞--+∞ D.21(,)-2.复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误．．的是 A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关4.已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名着《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为6.若关于x 的不等式2210x ax ++≥在[)0+∞，上恒成立，则实数a 的取值范围为A.0+∞(,)B.[)1-+∞, C.[]11-, D.[)0+∞,[)[)[][)26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为x ax7．如图，已知双曲线2222100x y E a b a b-=:(,)>>，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上．若6AB =，52BC =，则此双曲线的离心率为A.2B.32 C.52D.522228100562.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且点在双曲线上若则双曲线的离心率为x y E a b a b>>8.已知3sin 0652ααππ-=∈(),(,)，则cos α的值为 A.43310- B.43310+ C.43310- D.33410- 9．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，1202BAC PA AB AC ︒∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.103πB.18πC.20πD.93π10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()()，且当[]01x ∈,时，2log 1f x x =+()().则下列不等式正确的是A. ()()()2log 756f f f <-<B. ()()()2log 765f f f <<-C. ()()()25log 76f f f -<<D. ()()()256log 7f f f -<< 11.设函数sin 23f x x π=+()()，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为 A.6π∞(,+)B.3π∞(,+) C.23π+∞(,)D.43π+∞(,)12.已知关于x 的方程e 0e exx x++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x <x <<，其中m ∈R ，e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.则1232312111e e e x x x ---()()()x x x 的值为 A.e B. 1 C. 1m + D. 1m -第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.52()y x+的展开式中的第三项系数为.14.若实数x y ,满足线性约束条件124+≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩x y y x x y ，则2+x y 的最大值为.15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知90ABD EDB ︒∠=∠=,C 是BD 上一点，315,AB ACB ︒=-∠=60,ECD ︒∠=45EAC ︒∠=，则线段DE 的长度为.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D的中点，12AD AA =,，点Q 是正方形ABCD 所在平面内．．．的一个动点，且=QC ，则线段BQ 的长度的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn，24316a S ==,,*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =,求数列{}n b 的前n 项和nT.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率； （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC ∆翻折到APC ∆的位置得到四面体P ABC -，如图②所示.已知PB =（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP ，求二面角Q BC A --的余弦值.图① 图②20.（本小题满分12分）已知椭圆222210x y C a b a b+=:()>>的右焦点0F )，长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数e xf x =()，其中e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.（1）若曲线()=y f x 在点00e xP x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；AA（2）当常数()2,+m ∈∞时，已知函数212g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214ln e<-<x x m .请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12222x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求MA MB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21f x x k x k =-++∈(),R .（1）当1k=时，若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<，求12x x +的值；（2）若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：(每小题5分，共60分)；；；；；；；；；；；.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：(每小题5分，共20分)；；；.三．解答题：(共70分)17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d .24316a S ==,，1134616a d a d ∴+=+=,.解得121d a ==,. ………4分21n a n ∴=-. ………6分（2）由题意，212n n b n =-⨯().1211232232212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().21212232212n n n T n n +=⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().由-，可得1231122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()().………9分311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---⨯=-+-+⨯()()().………11分16232n n T n +∴=+-⨯(). ………12分18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为 事件A .则123488331212C C C 16842C C 22055P A =+==(). ………4分 （2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为13.随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，∴X 的取值分别为：0123,,,. 易知3311230123333k k k XB P X kC k -===(,),()()(),,,,.则84210123279927P X P X P X P X ========()(),(),().， ………8分 ∴随机变量X 的分布列为………10分数学期望1313E X =⨯=(). ………12分19.解：（1）取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到∆PBO .ABCD 是菱形，∴=PA PC ，PO AC ⊥.5634DC AC OC PO OB ==∴===,,，,42PB =， 222PO OB PB ∴+=.PO OB ∴⊥.BOAC O =，∴⊥PO 平面ABC .⊂PO 平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分（2）AB BC BO AC =∴⊥.，易知,,OB OC OP 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OB OC OP ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z . 由13AQ AP =， 得4023Q -(,,).………6分 4430423BC BQ ∴=-=--(,,),(,,).设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量.X 01 2 3P827 49 29 127由111111143044203x yBCx y zBQ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩.=nn解得111134415x yy z⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.=取115z=，则13415 =(,,).n………8分取平面ABC的一个法向量2001 =(,,)n.121212cos,⋅===n nn nn n………11分∴二面角--Q BC A………12分20.解：（1）22232ac a b cb===+,，，∴21,==a b.∴椭圆的标准方程为2214xy+=.………4分（2）易知当直线l的斜率不存在时，不合题意.设直线l的方程为1)y kx m m=+≠(，点1122M x y N x y(,),(,).联立2244y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，消去y可得222418440k x kmx m+++-=().2212221224108414441k mkmx xkmx xk⎧⎪∆=+->⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.由2MN=BH，可知点B在以MN 为直径的圆上.BM BN∴⊥.0BM BN∴⋅=.………7分112211(,)(,)⋅=+-⋅+-BM BN x kx m x kx m2212121110k x x k m x x m=++-++-=()()()()，2222244811104141m kmk k m mk k--∴++-+-=++()()().整理，得25230m m --=. 解得35=-m 或1=m （舍去）. ∴直线l 的方程为35y kx =-. 故直线l 经过定点，且该定点的坐标为305-(,).………12分21.解：（1）曲线在点00e xP x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+.0000e e e x x x k b x ∴==-+,. 00e x k b x ∴-=.………3分设e x H x x =().由1e 0x H x x '=+=()()，解得1x =-.当x >-1时，0H x '()>，∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<()，∴H x ()单调递减.H x ∴()的极小值（也是最小值）为11eH -=-().∴-k b 的最小值为1e -.………5分（2）当0>x 时，由e 20x g x x m '=-=()()，解得ln 2.x m = 当ln 2x m >时，()0g x '>，∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增； 当0ln 2x m <<时，()0g x '<，∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减.∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>，(ln 2)0.g m ∴< 又010120(),(),=>=-<g g m ∴101(,),∃∈x 使得10g x =(). 2ln 2ln 4,x m >>214ln 41ln .e x x ∴->-=………9分当x m =时，31e 22m g m m m m =--+()(),.>2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()().设e 32m G m m m =-(),.>e 30m G m '=-(),>()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立.22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴∃∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-.>故214lne<-<x x m 成立. ………12分 22.解：（1）由12222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t可得22y x =-+). ∴直线l20y -+-=. ………2分2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=， 222sin ,y x y ρθρ==+，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………4分（2）将1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程24x y =，可得2124222t +=+()().即28160t t +--=(. ………8分 设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则12120,+8,16,∆>==-t t t t∴1216MA MB t t ==.………10分23.解：（1）由题意，得214x x -++<.i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴522x <<； ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴312-<<-x ；iii ()当2x -1≤≤时，原不等式即3<4.∴12x -≤≤.综上，原不等式的解集为3522x |x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即123522x x =-=,. 121x x ∴+=.………5分（2）由题意，得21x k x k -++≥. 当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i ()当2-≤x 或0≥x 时,11x +≥，∴不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立.ii ()当12-≤<-x 时,原不等式可化为2---≥x kx k k .可得241.22x k x x -≤=-+++ 3.k ∴≤iii ()当01<<-x 时,原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得21.k x ≤- 3.k ∴≤综上，可得03k ≤≤，即k 的最大值为3. ………10分。

数学（理）试题时间:120分钟 满分:150分一、选择题：每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． （1）已知集合2={1,},={2,1},{4},A a B a AB -=若则实数a 等于（A ）4 （B ）0或4 （C ）0或2 （D ）2 （2）若复数z 满足,21i iz=+ 则在复平面上复数z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知同时作用于某物体同一点的三个力对应向量分别为12(2,1),(3,2)=--=-f f ，3(4,3),=-f 为使该物体处于平衡状态，现需在该点加上一个力4,f 若54,f f 则5f 可为（A ）()2,4-- （B ）()2,4- （C ）()4,2-- （D ）()4,2- （4）函数2()x y xR 的反函数的大致图象为（5）已知αβ、为锐角，且αcos ＝71,)cos(βα+＝－1411,则β＝ （A ）3π （B ）4π（C ）512π （D ）以上答案都不对（6）已知命题:0p a b >>，命题:q a b a b +<+，则命题p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）设函数2,0()(),0x x f x g x x ⎧<=⎨>⎩，若()f x 为奇函数，则1()sin 390g ︒的值是 （A ）4 （B ）4- （C ）14（D ）14- （8）已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则231a a a += （A ）2 （B ）6 （C ）8 （D ）10（9）如图，单位正方体1111ABCD A B C D-中，下列说法错误的是（A）11BD B C⊥（B）若111,33DP DD DE DC==，则PE1A B（C）若点1B A D C、、、在球心为O的球面上，则点A C、在该球面上的球面距离为1arccos23（D）若111,33DP DD DE DC==，则1A P BE AD、、三线共点（10）在ABC∆中，若222sin sin5sinA B C+=，则cos C的最小值等于（A）45（B）45-（C）25（D）25-（11）假设编拟某种信号程序时准备使用,,,,,A B C a b c（大小写有区别），把这六个字母全部排到如图所示的表格中，每个字母必须使用且只使用一次，不同的排列方式表示不同的信号，如果恰有一对字母（同一个字母的大小写）排到同一列的上下格位置，那么称此信号为“微错号”，则不同的“微错号”总个数为（A）432个（B）288个（C）96个（D）48个（12）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b≤+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”．已知函数2()h x x=，()2ln(m x e x e=为自然对数的底数)，()2x xϕ=-，()1d x=-．有下列命题：①()()()f x h x m x=-在(x∈递减；②()h x和()d x存在唯一的“隔离直线”；③()h x和()xϕ存在“隔离直线”y kx b=+，且b的最大值为14-；④函数()h x和()m x存在唯一的隔离直线y e=-．其中真命题的个数（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在答题卡上．（13）5)1(xx-的二项展开式中第二项的系数是（用数字作答）.1ACAA（14）2241lim ()42x x x→--=-+ . （15）如图，90BAC ∠=︒的等腰直角三角形ABC 与 正三角形BCD 所在平面互相垂直，E 是线段BD 的中点， 则AE 与CD 所成角的大小为 .（16）已知数列{}n a 的前n 项和为14,1,8,nn n S a a S b q c ===+(0,1,0,q q bc ≠≠±≠0)b c +=，现把数列{}n a 的各项排成如图所示的三角形形状．记(,)A m n 为第m 行从左起第n 个数()m n *∈、N ．有下列命题： ①{}n a 为等比数列且其公比2q =±； ②当2(3)n m m =>时,(,)A m n 不存在；③10028(6,9),(11,1)2a A A ==；④假设m 为大于5的常数，且1(,1)m A m a =2(,2),,(,)k m m A m a A m k a ==，其中k m a 为(,)A m n 的最大值，从所有123,,m m m ，,k m 中任取一个数，若取得的数恰好为奇数的概率为121m m --，则m 必然为偶数．其中你认为正确的所有命题的序号是___________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知函数2()4cos sin ()42xf x x π=+2x 2cos x -. (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求()f x 的单调区间及值域. （18）（本小题满分12分）梯形ACPD 中，,,AD CP PD AD CB AD ⊥⊥，4DAC π∠=，PC =AC 2=，如图①；现将其沿BC 折成如图②的几何体，使得AD =（Ⅰ）求直线BP 与平面PAC 所成角的大小；（Ⅱ）求二面角C PA B --的余弦值.ADPCB图①PCBAD（19）（本小题满分12分）为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ 用户推出了多款QQ 应用，如“QQ 农场”、“QQ 音乐”、“QQ 读书”等.某校研究性学习小组准备举行一次“QQ 使用情况”调查，从高二年级的一、二、三、四班中抽取10名学生代表参加,抽取不同班级的学生人数如下表所示:(I)(Ⅱ) 假设在某时段，三名学生代表甲、乙、丙准备分别从QQ 农场、QQ 音乐、QQ 读书中任意选择一项，他们选择QQ 农场的概率都为16；选择QQ 音乐的概率都为13；选择QQ 读书的概率都为12；他们的选择相互独立.设在该时段这三名学生中选择QQ 读书的总人数为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（20）（本小题满分12分）已知函数2()(1)4f x x m x =-++.（Ⅰ）当(0,1]x ∈时，若0m >，求函数()()()1F x f x m x =--的最小值； （Ⅱ）若函数()()2f x G x =的图象与直线1y =恰有两个不同的交点12(,1),(,1)A x B x12(03)x x ≤<≤，求实数m 的取值范围.（21）（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =，前n 项和为n S ；{}n b 为等比数列,11b =，且226,b S = 3324b S =，n *∈N ．(Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(Ⅱ)令21n n n n n C b a a +=+•，123n n T C C C C =++++；①求n T ；②当3n ≥时，证明：4(2)15(1)n n T n +>+.（22）(本小题满分14分)设函数221()log (1)log x f x x x x-=--(1)x >. （I ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若,m t +∈R ，且111m t+=，求证：22log log t m m t mt +≤； （Ⅲ）若1232,,,...,a a a a +∈R n ，且12321111...1a a a a ++++=n， 求证：221222321232log log log log ...a a a a n a a a a ++++≤n n.成都七中高2012级高三一诊模拟考试 数学（理）参考答案及评分意见二、填空题： （13）5-；（14）14；（15）4π；（16三、解答题：（17）解:(Ⅰ)＝2cos (1x +22T ππ==(Ⅱ) 0,2x π⎛∈ ⎪⎝⎭，2333x <+<， 由2033212x x ππππ<+≤⇒<≤,42233122x x πππππ≤+<⇒≤< ()f x 的单调递增区间为0,12x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,122x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭由2sin(2)23x π+≤，域值为(⎤⎦（18）解：（Ⅰ）由题意，PC=AC=2,AB ∴=BD 在ABD ∆中，∵222AB DB AD +=，∴BD BA ⊥∴BD BA BC 、、两两垂直，分别以BC BA BD 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系B xyz -（如图）.(0,0,0),A B C P 设平面PAC 的法向量为(,,)x y z =n ，(CA =-，(0,0,2)CP =，0000CA x y z CP ⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩n n ，取(1,1,0)=n 设直线BP 与平面PAC 成的角为θ，则2sin 2BP BP θ===⨯nn直线BP 与平面PAC 成的角为(2,2,2),(2,0,0).AP BC =-=（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)x y z =m ，(0,2,0),(2,AB AP =-=0,0,0,.0.20.y AB x AP z ⎧⎧=⎧⋅==⎪⎪⎪∴∴∴⎨⎨=⎪⋅=-+=⎪⎩⎩m m令1,z =-∴=-m 由（Ⅰ）知平面PAC 的法向量为令(1,1,0)=n .cos ,⋅∴<>===m n m n m n 由图知二面角C PA B --为锐角， ∴二面角C PA B --大小的余弦值为3（19）解：(I)记这两名学生都来自第i 班为事件(1,2,3,4)i A i =则()221210145C P A C ==；()232210345C P A C ==；()243210645C P A C ==；()40P A =∴()()()()1234102459P P A P A P A P A =+++==（Ⅱ）ξ的取值为0,1,2,3．311(0)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；31313(1)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；32313(2)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；33311(3)28P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． ξ的分布列为：012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=或32E np ξ==．（20）解：（Ⅰ）()2()()124F xf x m x x mx=--=-+，(0,1]x ∈对称轴x m =()0m >①当01m <≤时，2min ()()4F x F m m ==-②当1m >时，min ()(1)52F x F m ==-∴min 252(1)()4(01)m m F x m m ->⎧=⎨-<≤⎩（Ⅱ）2()(1)4()22f x xm x G x -++==与直线012y ==恰有两个不同的交点12(,1),(,1)A x B x12(03)x x ≤<≤⇔关于x 的方程2(1)40x m x -++=在[]0,3上有两个不等的实数根 2()(1)4f x x m x =-++则2(1)1601032(0)40(3)93(1)40m m f f m ⎧∆=+->⎪+⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=-++≥⎪⎩解得1033m <≤, ∴103,3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．（21）解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为(0),d d >{}n b 的公比为q ；11(1),n n n a n d b q -=+-=，依题意有233221(33)242(2)6d S b d q q S b d q =⎧=+=⎧⇒⎨⎨==+=⎩⎩或124d q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩(舍去解得1,2d q =⎧⎨=⎩故n an =；12n n b -=()n *∈N （II ）由（I ）知11211111()2(2)222n n n n n n n n n C b a a n n n n --+=+=+=+-++, ①111111()222nnn i i i i T i i -===+-+∑∑ 112ni i i -=∑是一个典型的错位相减法模型，1112422ni n i i n --=+=-∑1111()22ni i i =-+∑是一个典型的裂项求和法模型， 111111111111()(1)222324352ni i i n n =-=-+-+-++-++∑ 11113(1)22124n n =+--=++ 112323192234242(1)(2)422(1)(2)n n n n n n n T n n n n --++++=-+-=--++++②当3n ≥时，112424242122n n n n n n n n n C C C n -+++-=-≥-=+++++11922319223422(1)(2)412(1)(2)n n n n n n T n n n n n -++++∴=--≥--+++++224(2)4619(1)(2)4(2)46419(1)(2)(1)(2)n n n n n n n T n n n n +++++-+--⇒≥-=++++215371615(1)(1)(2)(1)(2)2n n n n n n n n +++=>+++++∴当3n ≥()n *∈N 时，()15(1)44215(2n n n T n T n n +>⇒+>++（22）解：（I ）221()log (1)log x f x x x x-=--，'22222211111()log (1)log log log (1x f xx e e x xx x x x -=-+-=--令'()0f x ≥，得2x ≥，所以()f x 在(1,2]递减，在[2,)+∞递增所以min ()(2)1f x f ==-.（Ⅱ）2222221log log log log log 11(1)log (1)m t m m t m t m t m m m+=-=---{}2221log (1)log (1)log m m m m m⎡⎤=----⎣⎦ 222211log (1)log (1)log (1)log m m m m m m m m -⎡⎡⎤=---=---⎣⎦⎢⎥⎣⎦m 由（I ）知当1>x 时，221log (1)log 1x x x x---≥-， 又111m t+=，,m t +∈R ∴2222221log (1)log 1log log m m m t m m t mt m m t---⇒+≤. （Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当1n =时，由（Ⅱ）可知，不等式成立； 2°假设n k =(k *∈N )时不等式成立， 即若1232,,,...,a a a a +∈R k ，且12321111...1ka a a a ++++=时， 不等式221222321232log log log log ...a a a a k a a a a ++++≤k k成立 现需证当1n k =+(k *∈N )时不等式也成立， 即证：若11232,,,...,a a a a ++∈R k ，且112321111...1a a a a +++++=k 时，不等式 211122221222222212221222log log log log log log ......1a a k a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k aa a a a a a a 成立. 证明如下：设12321111...k x a a a a ++++=，则12321111...1xa xa xa xa ++++=k()()()()222122231232log log log log ...⇒++++≤k kxa xa xa xa k xa xa xa xa用心 爱心 专心 112222312212321111log log log log ...⇒++++≥-k kxa xa xa xa kx a a a a222122221212322111log log log 1111...(...)log log k ⇒+++≥-+++++=-+k k ka a a x x kx x x a a a a a a a ......①同理1122221222212222122111log log log 111...(1)(...)log (1)+++++++++++≥--++++-k k k k k k k k a a a k x x a a a a a2(1)(1)log (1=--+--k x x 由①+②得：112222221222122212221222111111log log log log log log ......+++++++++++++k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a 22[log (1)log (1)]≥-++--k x x x x又由（Ⅱ）令1x m =，则11x t=-，其中(0,1)x ∈， 则有2222log log 11log (1)log 11m t x x m t x x+=+-≤- ∴22log (1)log (1)1+--≥-x x x x ∴22[log (1)log (1)]1k x x x x k -++--≥--211122221222222212221222log log log log log log ......1a a a a a k a a a a a a +++++++++++++≤+k k k k k k k k a∴当1n k =+时，原不等式也成立.综上，由1°和2°可知，对任意的*n ∈N 原不等式均成立注：对于解答题的其它解法，根据小题的小分值适度合理给分.。

成都七中2022届高三数学一诊模拟考试(理科)一．1-12AABCC BADB A BD13.520x y −+=；14.18；15.12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦；16. 三、解答题 17．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由636S =，可得1656362⨯+=a d ，即12512a d +=，选①：由35a =，可得11251225a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， 所以数列{}n a 的通项公式为()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−．选②：由24621a a a ++=，可得4321a =，即47a =，所以11251237a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． 选③：由749=S ，因为636S =，可得77613a S S =−=，所以112512613a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以()()1111221n a a n d n n =+−=+−⨯=−． （2）由（1）可得2133−=n n n a n ，所以23135213333−=+++⋅⋅⋅+n n n T ， 所以234113521333313+−+++⋅⋅⋅+=n n T n ，两式相减得2341222221333233133+−+++⋅⋅⋅+−=+n n n n T 23411111112123333333+−⎛⎫=++++⋅⋅⋅+−− ⎪⎝⎭n n n 111111212223321333313++⎛⎫− ⎪−+⎝⎭=⨯−−=−−n n n n n 所以113n nn T +=−． 18.【解析】(1)由题意，知10122.00i i t ==∑,101230i i y ==∑,可得 2.20t =,23y =, 又由()()()112221110569.0010 2.20232550.9210ˆ 2.20 2.2010n ni i i ii i n n i i i i t t y y t y t y b t t t t ====−−−⋅−⨯⨯====−⨯⨯−−∑∑∑∑, 则23252ˆ.2032ˆay bt =−=−⨯=−（第17-21题必答题每题12分，第22、23题选考题每题10分）在BQN △中，BH BN ==所以sin BH BGH BG ∠===A MN B −−. 方法二：以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,0,0B，()A −，12N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,1M ，13,,122NM ⎛⎫=− ⎪ ⎪⎝⎭，()2,3,1AM =−，()1,0,1BM =. 设平面AMN 的法向量()1111,,n x y z =，平面BMN 的法向量()2222,,n x y z =.由1111111113022230x y z n NM n AM x y z ⎧⎧−+=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪−+=⎩，可取()11,3,1n =； 由2222222130220n NM x y z n BM x z ⎧⎧⊥−+=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⎪⎩⎪+=⎩，可取231,,13n ⎛⎫=−− ⎪ ⎪⎝⎭. 于是12121213cos,35753n n n n n n ⋅−===−⋅⨯， 所以二面角A MN B −−35=. 20．【解析】(1)由题意可知，圆1C 的圆心为(2,0)，半径为32 ； 圆2C 的圆心为(2,0)−，半径为2，设圆M 的半径为R ，则()()1212366264MC MC R R C C +=−++=>=，所以M 的轨迹是以1C ，2C 为焦点的椭圆，不妨设椭圆的标准方程为：22221x y a b +=(0)a b >>，且椭圆焦距为2c ，由椭圆定义可知，226a =，24c =，所以6a =，2c =，2222b a c =−=，故动圆圆心M 的轨迹方程C 为22162x y +=. (2)设AP AQ λ=()1λ>，即有()()11223,3,x y x y λ−=−，即()1233x x λ−=−，12y y λ=，设()10,M x y ，即有221036x y +=，则01=−y y ，又右焦点()2,0F ，则()112,x FM y −=−，()222,FQ x y =−，∴120y y λ+=， 由于1233x x λ−=−，112232032x x x x −−+=−−等价为()121221250x x x x +−+=， 由韦达定理代入可得222227618212501313k k k k−⋅+−⨯=++，则有()()12220x x λ−+−=， 故有FM FQ λ=−，∴Q ，F ，R 三点共线，∴ARQ △面积()221211122a S AF y y c y y c=⨯⨯−−=⨯−⨯+， ()()()211221113362261333123121323k x k x k x x k k k k k k k=⨯⨯−+−=⨯+−⎡⎤⎣⎦=⨯=≤=++⨯， 当且仅当13=k k ，即33k =±时取等号，满足6633k −<<， ∴ARQ △面积的最大值32． 21．【解析】（1）证明：当12a =时，设1()2x G x e =−21(0)x x x −−， ()1x G x e x '=−−，则()10x G x e ''=−，故()G x '在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G ''=，故()G x 在[0，)+∞上单调递增，故当0x 时，()(0)0G x G =，故当0x 时，()1f x x +恒成立．(2)设2()()()sin 21(0)x h x f x g x x e ax x x =−=+−−−，则()0min h x ，且(0)0h =，则()22cos (0)x h x e kx x x '=−−+，且(0)0h '=，()2sin x h x e k x ''=−−，(0)12h a ''=−， ()cos 0x h x e x '''=−，则()h x ''在[0，)+∞上单调递增，当12a 时，(0)120h a ''=−，由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增， 则当0x 时，()(0)0h x h ''''，则()h x '在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h ''=，则()h x 在[0，)+∞上单调递增，故()(0)0h x h =，符合题意，当12a >时，(0)120h a ''=−<， 利用（1）中已证结论可得由于()h x ''在[0，)+∞上单调递增，12(12)2sin(12)1(12)210a h a e a a a a +''+=−−+++−−>，故必然存在0(0,12)x a ∈+，使得0(0,)x x ∈时，(0)0h ''<，则()h x '在0(0,)x 上单调递减，故当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h '<'=，则()h x 在0(0,)x 上单调递减，则当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h <=，综上，a 的取值范围为(−∞，1]2． 22.【解析】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t ⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C的参数方程化为22cos (sin t t t==为参数）， 两式相加得曲线1C1+=，1=−1,01,01y x x y =−+≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ−+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y −+=，联立12,C C方程141630y x x y ⎧=−⎪⎨−+=⎪⎩，整理得12130x −+=12=136=（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 23.【解析】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=−−<<⎨⎪⎪−−≤−⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x −−=+−，解得76x =−． 所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫−∞− ⎪⎝⎭．。

2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷(选择题)1至2页，第II 卷(非选择题)3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若复数z 1与z 2＝－3－i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z 1＝ (A)－3－i (B)－3＋i (C)3＋i (D)3－i2.已知集合A ＝{－l ，0，m}，B ＝{l ，2}。

若A ∪B ＝{－l ，0，1，2}，则实数m 的值为 (A)－l 或0 (B)0或1 (C)－l 或2 (D)l 或23.若sin )θπθ=-，则tan2θ＝(A)3-3 (C)2- (D)24.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图。

则这100名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)805.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0，若a 5＝3a 3，则95S S = (A)95 (B)59 (C)53 (D)2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是 (A)若m ∥α，n ∥β，且α∥β，则m ∥n (B)若m ∥α，n ∥β，且α⊥β，则m ∥n (C)若m ⊥α，n ∥β，且α∥β，则m ⊥n (D)若m ⊥α，n ∥β且α⊥β，则m ⊥n7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为 (A)25 (B)－25 (C)5 (D)－5 8.将函数y ＝sin(4x －6π)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为 (A)f(x)＝sin(2x ＋6π) (B)f(x)＝sin(2x －3π)(C)f(x)＝sin(8x ＋6π) (D)f(x)＝sin(8x －3π)9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x∈N|-1≤x≤3}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A. {0，1，2，3}B. {1，2，3}C. [1，3]D. [0，3]2.己知点Z1，Z2的坐标分别为（1，0），（0，1），若向量对应复数z，则复数z对应点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对实数a，b，“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2a，且a，b，c成等差数列，则cos B=（）A. B. C. D.5.函数的大致图象为（）A. B.C. D.6.已知函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，将函数y=2sin（）（ω＞0）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，则函数f（x）在[-]的值城为（）A. [-]B. [-2，2]C. [-1，1]D. [-2，1]7.已知M是抛物线x2=4y上一点，F为其焦点，C为圆（x+1）2+（y-2）2=1的圆心，则|MF|+|MC|的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N=n（modm），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n等于（）A. 20B. 21C. 22D. 239. 已知函数f （x ）为R 上的奇函数，且在[0，+∞）上为增函数，从区间（-5，5）上任取一个数x ，则使不等式f （x 2-1）+f （2x -2）＜0成立的概率为（ ）A. B. C. D.10. 已知M 为双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的右支上一点，A ，F 分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA 的垂直平分线过M ，∠MFA =60°，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B. 2 C. 3 D. 4 11. 设函数的极值点的最大值为，若，则整数n 的值为 A.B. C. 0D. 112. 已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点，若点、是空间中的两动点，且，，则( )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 的始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则cos2α=______．14. 若变量x ，y 满足，则x 2+y 2的最大值是______．15. 若（+2x -2）n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是______．16.函数f（x）=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，则实数α的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等比数列{a n}的前n项和，其公比为q，且S n，S n+1，S n+2成等差数列．（1）求q的值；（2）若数列{b n}为递增数列，b1=q，且，又，数列{c n}的前n项和为T n，求T n．18.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这组数据中选取组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验．（1）若选取的3组数据恰好是连续ξ天的数据（ξ=0表示数据来自互不相邻的三天），求ξ的分布列及期望；（2）根据12月2日至4日数据，求出发芽数y关于温差x的线性回归方程=x+．由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=，=-．19.如图，菱形ABCD与正△BCE所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，BC=2，FD=．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）若∠CBA=60°，求直线EF与平面AFB所成角的正弦值．20.已知O为坐标原点，椭圆E：（a＞b＞0）的焦距为，直线y＝x截圆O：x2＋y2＝a2与椭圆E所得的弦长之比为，圆O、椭圆E与y轴正半轴的交点分别为P，A．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）设点B（x0，y0）（y0≠0且y0≠±1）为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：tan∠OPM＝tan∠ONP．21.已知函数．（1）求函数f（x）在区间上的最大值；（2）证明：∀x∈（0，+∞），e x[（ln x）2+3ln x+3]-3x2＞0．22.在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，其中a为参数，以坐标原点O为点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）B为圆C上一点，且B点的极坐标为（ρ0，θ0），θ0∈（-），射线OB绕O点逆时针旋转，得射线OA，其中A也在圆C上，求|OA|+|OB|的最大值．23.已知函数f（x）=|x-1|+|x-3|的最小值为m．（1）求m的值并指出此时x的取值集合；（2）求不等式f（x）≤4的解集．答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为A={x∈N|-1≤x≤3}={0，1，2，3}，B={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，所以A∩B={0，1，2，3}，故选：A．对集合A用列举法进行表示，对集合B用不等式描述集合元素特征，然后根据集合交集的运算法则，求出A∩B．本题考查了集合交集的运算、集合的表示方法．本题易错的地方是认为自然数集不包括零．解决集合问题的关键是对集合元素属性特征的认识．2.【答案】B【解析】解：∵点Z1，Z2的坐标分别为（1，0），（0，1），∴，∴复数z对应点位于第二象限，故选：B．求出向量的坐标表示，然后确定复数z对应点的位置．本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．根据函数奇偶性和单调性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴若a＞|b|，则f（a）＞f（|b|）=f（b），即充分性成立，若f（a）＞f（b），则等价为f（|a|）＞f（|b|），即|a|＞|b|，即a＞|b|或a＜-|b|，即必要性不成立则“a＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充分不必要条件，故选：A．4.【答案】D【解析】解：∵a，b，c成等差数列，∴2b=a+c，又c=2a，∴b=a，∴cos B===．故选：D．a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，又c=2a，b=a，再利用余弦定理即可得出．本题考查了余弦定理、等差中项、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】B【解析】解：∵函数，∴，故当x＜0时，f′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数为减函数，当x＞1时，f′（x）＞0，函数为增函数，故选：B．求导分析函数的单调性，比照后，可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，利用导数研究函数的单调性，难度中档．6.【答案】D【解析】解：因为函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，所以T==（ω＞0），解得：ω=2，函数y=2sin（2x+）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y=f（x）的图象，所以有y=f（x）=2sin[2（x-）+]=2sin（2x-），所以x∈[-，]，所以2x-∈[-，]，可得：sin（2x-）∈[-1，]，因此函数f（x）在[-，]的值城为[-2，1]，故选：D．由函数y=2tan（ωx+）的最小正周期为，可以求出ω，由已知条件，可以求出y=f（x）的解析式，然后利用正弦函数的单调性，求出函数f（x）在[-，]的值城．本题考查了正切函数的周期公式、正弦型函数的图象变换、正弦型函数的值域问题．7.【答案】B【解析】解：设抛物线x2=4y的准线方程为l：y=-1，C为圆（x+1）2+（y-2）2=1的圆心，所以C的坐标为（-1，2），过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|=|ME|，所以问题求|MF|+|MC|的最小值，就转化为求|MF|+|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|+|MC|有最小值，最小值为CE=2-（-1）=3，故选：B．设出抛物线的准线方程，问题求|MF|+|MC|的最小值，结合抛物线的定义，就转化为，在抛物线上找一点M，使M到C点、到抛物线准线距离之和最小，利用平面几何的知识可以求解出来．本题考查了抛物线的定义，以及动点到两点定点距离之和最小问题．解决本题的关键是利用抛物线的定义把问题进行转化．8.【答案】C【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被3除余2，②被5除余2，最小两位数，故输出的n为22，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．9.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）为R上的奇函数，又在[0，+∞）上为增函数，∴f（0）=0，由奇函数的性质可知，函数f（x）为R上的增函数，∴f（x2-1）+f（2x-2）＜0⇒f（x2-1）＜-f（2x-2）⇒f（x2-1）＜f（2-2x）⇒x2-1＜2-2x，解得-3＜x＜1，从区间（-5，5）上任取一个数x，则使不等式f（x2-1）+f（2x-2）＜0成立的概率为．故选：A．利用奇函数的性质，可以解出不等式f（x2-1）+f（2x-2）＜0的解集，然后利用几何概型公式，进行求解．本题考查了几何概型，考查函数奇函数与单调性的性质，考查数学转化思想方法，是中档题．10.【答案】D【解析】解：设双曲线另一个焦点为F′，如下图所示：因为线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA=60°，所以△MFA是等边三角形，边长为a+c，M为双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右支上一点，所以有MF′-MF=2a，可得MF′=3a+c，在△MFF′中，由余弦定理可得：MF′2=MF2+FF′2-2MF•FF′cos60°，即4a2+3ac-c2=0，解得4a=c，即，双曲线的离心率为4，故选：D．设双曲线另一个焦点为F′，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA=60°，由此可以判断△MFA是等边三角形，边长为a+c，这样利用双曲线的定义可以求出MF′的大小，在△MFF′中，利用余弦定理可以列出等式，最后可以求出双曲线C的离心率．本题考查了双曲线的定义、离心率，考查了转化思想、数形结合思想．11.【答案】C【解析】解：函数f（x）=（x2-2x+2）e x--x2，可得f（x）=x2e x-x2-x，令x2e x-x2-x=0，可得x（xe x-x-1）=0，解得x=0，或xe x-x-1=0，令g（x）=xe x-x-1，函数是连续函数，g（1）=e-2＞0；g（0）=-1＜0，所以方程xe x-x-1=0的根在（0，1）之间，导函数由两个零点，也就是函数有两个极值点，x0∈（n，n+1），则整数n的值为：0．故选：C．求出函数的导数，得到函数的极值点，然后通过x0∈（n，n+1），判断整数n的值．本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，零点问题的应用，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的性质及其应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属难题．由题意画出图形，建立空间直角坐标系，由已知说明点M，N在以（0，0，0）为球心，以1为半径的球上，结合MN=2，得MN为球的直径，则答案可求．【解答】解：设A在底面BCD的投影为O,∵AB=AC=AD=3，底面BCD为等边三角形，且BC=2，∴OD=2，AO=，建立如图所示空间直角坐标系．则B（，-1，0），D（0，2，0），C（），又E为CD的中点，∴E（），点F为BE的中点，F（，，0），设M（x，y，z），由==2，得,∴x2+y2+z2=1，∴点M在以（0，0，0）为球心，以1为半径的球上，同理N也在这个球上，且MN=2，∴MN为球的直径，则===．故选：B．13.【答案】【解析】解：设角α的终边与单位圆交点的横坐标为x，因为角α的终边与单位圆交点的纵坐标为-，所以x2+（-）2=1，可得：x=±，当角α的终边与单位圆交点的坐标为（，-）时，α=2kπ-，k∈Z，cos2α=cos[2（2kπ-）]=cos（-）=cos=-；当角α的终边与单位圆交点的坐标为（-，-）时，α=2kπ+，k∈Z，cos2α=cos[2（2kπ+）]=cos（）=cos=-；综上所述cos2α=-．故答案为：-．角α的终边与单位圆交点的纵坐标为-，可以求出终边与单位圆交点的横坐标，这样可以求出角α，也就能求出cos2α的值．本题考查了通过求一个角的终边与单位圆的交点的坐标，求此角二倍角的余弦值问题，考查了分类讨论思想、数形结合思想．14.【答案】10【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，再由x2+y2的几何意义，即可行域内动点与原点距离的平方求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，-1），x2+y2的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值|OB|2=32+（-1）2=10，故答案为：10．15.【答案】180【解析】解：因为（+2x-2）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n=10，展开式的通项公式为T r+1=•2r•，令5-=0，解得r=2，所以展开式的常数项为•22=180．故答案为：180．根据（+2x-2）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，可以求出n的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是第几项，最后求出常数项．本题考查了二项式的系数和展开式的通项公式的应用问题，考查了运算能力，属于基础题．16.【答案】[，+∞）【解析】【分析】本题考查三角函数与导数的综合，利用导数研究函数的单调性是导数的主要功能，与单调性有关的问题，当不方便用相应函数的性质进行进行研究时，应转化为利用导数进行研究，本题通过导数工具把研究研究三角函数单调的问题转化为三角函数的最值，大大方便了问题的解决．由题意，函数f（x）=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，可转化为f′（x）=-2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立，进而转化为在区间上恒成立，求出在区间上的最大值即可得出答案【解答】解：函数f(x)=cos2x+α（sin x-cos x）在区间上单调递增，∴f′（x）=-2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立∴在区间上恒成立即，令∈[1，]所以问题转化为，t∈[1，]．当t=时，取到最大值，取到最大值．∴t≥故答案为：17.【答案】解：（1）S n，S n+1，S n+2成等差数列，可得2S n+1=S n+S n+2⇒S n+1-S n=S n+2-S n+1⇒a n+1=a n+2，可得q=1；（2）由，数列{b n}为递增数列，可得，∴，∴，又，∴．【解析】（1）运用等差数列的中项性质和等比数列的定义，可得公比q；（2）由题意可得，由等差数列的定义和通项公式，可得b n，又，运用裂项相消求和，可得所求和．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）由题意知，ξ=0，2，3；则P（ξ=0）==，P（ξ=3）==，∴P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=3）=，数学期望为Eξ=0×+2×+3×=2.1；（2）由题意，计算=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27，（x i-）（y i-）=-1×（-2）+1×3+0×（-1）=5，=（-1）2+12+02=2，∴==，=-=27-×12=-3，∴y关于x的线性回归方程为=x-3；当x=10时，y=×10-3=22，且|22-23|＜2，当x=8时，y=×8-3=17，且|17-16|＜2；∴所求得线性回归方程是可靠的．【解析】本题考查了线性回归方程与离散型随机变量的分布列问题，是中档题．（1）由题意知ξ的可能取值，计算对应的概率值，写出ξ的分布列，求出期望值；（2）由题意计算、，求出回归系数，写出线性回归方程，利用方程验证所求得线性回归方程是否可靠．19.【答案】证明：（1）∵菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，∴作EO⊥BC，交BC于O，且EO=，∵FD⊥平面ABCD，且FD=，∴FD EO，∴四边形EODF是平行四边形，∴EF∥DO，∵EF⊄平面ABCD，OD⊂平面ABCD，∴EF∥平面ABCD．解：（2）∵∠CBA=60°，∴OA⊥OB，以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，，0），B（1，0，0），E（0，0，），F（-2，，），=（-2，，0），=（-1，，0），=（-3，），设平面AFB的法向量为=（x，y，z），则，取x=，得=（，1，2），设直线EF与平面AFB所成角为θ，则sinθ===．∴直线EF与平面AFB所成角的正弦值为．【解析】（1）作EO⊥BC，交BC于O，推导出四边形EODF是平行四边形，由此能证明EF∥平面ABCD．（2）以O为原点，OB为x轴，OA为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AF与平面BEF所成角的正弦值．本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意可得c=，a2-b2=3．因为直线y=x截圆O：x2+y2=a2所得的弦长为2a，直线y=x截椭圆E所得的弦长为2•，故2a=．⇒a2=4b2⇒a2=4，b2=1．故椭圆E的标准方程为：．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A（0，1），点P（0，2）．直线AB的方程为，令y=0，得M（）．因为点B关于x轴的对称点为C，所以C（x0，-y0），所以直线AC的方程为，令y=0，得N（）．∴|OM|•|ON|=．∵，∴．∴|OM|•|ON|=4=|OP|2，即．∴tan∠OPM=tan∠ONP．【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．（Ⅰ）由弦长之比求得a，b，椭圆方程可求；（Ⅱ）点B关于x轴的对称点为C，所以C（x0，-y0），分别写出直线AC与AB的方程，得到M，N的坐标，再根据点B在椭圆上，即可证明．21.【答案】解：（1）f（x）=，f′（x）=，…………………………（2分）f′（x）＞0，解得：＜x＜1，知：f（x）在（0，）和（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，当≤a≤1时，f（x）max=f（1）=3；当a＞1时，f（x）max=f（a）=，故f（x）max=…（5分）（2）证明：由（1）知f（x）在（0，）和（1，+∞）上递减，在（，1）上递增，①当x∈（0，1）时，f（x）≥f（）=e，而=，故y=在（0，1）上递增，∴＜＜e，∴f（x）＞，e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0；②当x∈[1，+∞）时，ln2x+3ln x+3≥3，令g（x）=，则g′（x）=，故g（x）在[1，2）上递增，（2，+∞）上递减，∴g（x）≤g（2）=＜3，∴ln2x+3ln x+3＞，即e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0，综上，∀x＞0，e x（ln2x+3ln x+3）-3x2＞0．…………………………（12分）【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可；（2）当x∈（0，1）时，得到=，故y=在（0，1）上递增，根据函数的单调性证明即可；②当x∈[1，+∞）时，ln2x+3ln x+3≥3，令g（x）=，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）⇒（x-1）2+y2=1⇒x2+y2-2x=0，由ρ2=x2+y2，x=ρcosα，可得圆C的极坐标方程ρ=2cosα．（2）由题意可知：A（ρ1，θ0+），所以|OA|+|OB|=2cosθ0+2cos（θ0+）=2cos（θ0+）θ0∈（-，），所以θ0+∈（-，）⇒cos（θ0+）∈（，1]，从而|OA|+|OB|最大值为2．【解析】（1）通过sin2α+cos2α=1进行消参，然后利用公式ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，把普通方程化为极坐标方程；（2）由已知可以求出A的极坐标，然后用两角和的余弦公式及辅助角公式化简|OA|+|OB|，最后求出它的最大值．本题考查了把圆的参数方程化成普通方程再化为极坐标方程问题．考查了在极坐标下，利用三角恒等变换求两极径之和最大值问题，考查了运算能力．属中档题．23.【答案】解：（1）f（x）=|x-1|+|x-3|≥|（x-1）-（x-3）|=4，当且仅当（x-1）（x-3）≤0，即1≤x≤3，时取等号，∴m的最小值为4，此时x的取值集合为{x|1≤x≤3}．（2）f（x）=|x-1|+|x-3|=，∵f（x）≤4，∴或或，∴0≤x≤4，∴不等式的解集为{x|0≤x≤4}．【解析】（1）利用绝对值三角不等式求解即可；（2）将f（x）写为分段函数的形式，然后分段解不等式即可．本题考查了绝对值三角不等式和绝对值不等式的解法，属基础题．。

2021年四川省成都市高三高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+28．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25二、填空题（共3小题）.13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于．14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．15．的展开式中x2y2项的系数是三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1，2}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0}解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：A．2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴，则+2对应点为（2，1），在第一象限．故选：A．3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）解：整理抛物线方程得x2＝y∴焦点在y轴，p＝∴焦点坐标为（0，）故选：D．4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a 解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，b＝0.32＝0.09，∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，∴c＞b＞a，故选：C．5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A 错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（）A．B．1C．2D．﹣解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，所以sin2α＝＝＝＝．故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2C．y＝2x D．y＝﹣4x+2解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故选：B．8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（）A．y＝sin（2x+）B．y＝sin（2x+）C．y＝sin（4x+）D．y＝sin（4x+）解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），故选：B．9．下列命题中的真命题有（）A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）e x≤1C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）e x＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．故选：D．10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（）A．16﹣2πB．16+πC．16﹣πD．16+2π解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．故选：B．11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（）A．km B．km C．km D．km 解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，又∵，即，解得：sin∠DBC＝，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，即A，D间的距离为km，故选：A．12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ 面积的最小值为（）A．20B．15C．30D．25解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，且P在第一象限内，代入双曲线＝1，可得P（，k），由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，可得Q（k，﹣），所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．二、填空题13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于12．解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），又∵•（2﹣）＝0，∴2×5+1×（2﹣k）＝0，解得k＝12故答案为：1214．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为01．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．15．的展开式中x2y2项的系数是420解：∵表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，故答案为：420．三、解答题（共1小题，满分0分）16．函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是（0，]．解：函数f（x）＝e x﹣1﹣e﹣x+1+a sinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，等价于函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，∵φ（1）＝0，g（1）＝0，∴函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1唯一交点为（1，0），又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1，且e1﹣x＞0，e x﹣1＞0，∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣e x﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1在R上为单调递减函数，又∵φ（x）＝a sinπx（a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1的大致图象如图：∴要使函数φ（x）＝a sinπx与函数g（x）＝e1﹣x﹣e x﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），∵φ′（1）＝πa cosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．故答案为：（0，]．三、解答题17．已知等比数列{a n}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和S n．解：（Ⅰ）由题意可得：，∴2q2﹣5q+2＝0，∵q＞1，∴，∴数列{a n}的通项公式为．（Ⅱ），∴，＝，上述两式相减可得∴＝．18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．所以X的分布列为：X0123P所以数学期望E（X）＝．（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD ＝2，所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，由余弦定理可得，BC＝，所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；（2）设E为BD的中点，连结PE，因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），因为，所以，所以，平面PBD的一个法向量为，设平面ABM的法向量为，因为，，则有，即，令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，所以，故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．（1）求椭圆C1的方程；（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C1的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，所以x，所以y，所以P（﹣），代入①得，②代入③得，t≠±1，t≠0，因为（），（）2++1≠3，所以λ2∈（0，．21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x ＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x ＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，即在（1，+∞）上恒成立，此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，∵＝，令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，此时，所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．从而可得a＜2x0＜2e，所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；故有实数a的最大值为4．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，由，即，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为；（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，得，＞0，＜0，∴＝＝＝．[选修4-5，不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，等价为或或或，解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，可得m≤f（x）min，由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．。

2019届高三第一次诊断性检测数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,,则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用集合并集的定义求解即可.【详解】因为,,所以，根据集合并集的定义可得，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合或属于集合的元素的集合.2.复数为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内对应点的坐标即可得结果.【详解】,复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限，故选D .【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（）A. 4B. 8C. 16D. 24【答案】B【解析】【分析】根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可.【详解】由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4，，棱锥的体积，故选B.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.设实数满足约束条件,则的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】作出实数满足约束条件表示的平面区域（如图所示：阴影部分），由得，由得，平移，直线过点时，直线在轴上截距最小，，故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5.执行如图所示的程序框图,则输出的值是（）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值. 【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.6.设为等差数列的前项和,且,则（）A. 28B. 14C. 7D. 2【答案】B【解析】【分析】由等差数列的性质求得，利用等差数列的前项和公式结合等差的性质可得结果.【详解】因为，所以，故选B.【点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前项和公式，属于中档题.求解等差数列有关问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前项和的关系.7.下列判断正确的是（）A. “”是“”的充分不必要条件B. 函数的最小值为2C. 当时，命题“若,则”的逆否命题为真命题D. 命题“,”的否定是“,”【答案】C【解析】【分析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.8.已知函数,若,,,则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数的导数,由导函数的符号可得在上为增函数，由，利用单调性可得结果. 【详解】因为函数，所以导数函数，可得在上恒成立，所以在上为增函数，又因为，所以，故选D.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及利用单调性比较函数值的大小.函数的单调性常用判断方法有定义法，求导法，基本函数的单调性法，复合函数的单调性法，图象法等.9.在各棱长均相等的直三棱柱中,已知M是棱的中点,是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A. B. 1 C. D.【答案】C【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的正切值．【详解】解：各棱长均相等的直三棱柱中,棱长为 2,以为原点,为轴,为轴,建立空间直角坐标系，则，，，，,，,设异面直线与所成角为，则，．异面直线与所成角的正切值为．故选：．【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法,考查空间中线线、线面,面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题．10.齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛 ,利用列举法求出基本事件有9种，齐王的马获胜包含的基本事件有6种，利用古典概型概率公式可求出齐王的马获胜的概率.【详解】设齐王上等、中等、下等马分別为，田忌上等、中等、下等马分别为，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,基本事件有：，共9种，有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有：，共 6种,齐王的马获胜的概率为，故选C.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.11.已知定义在上的函数的图像关于直线对称，且当时,。

1 高2023届高三一诊模拟考试数学参考答案（理科）一．选择题二．填空题13、-14 14、4 15、2 16、-2,16][三．解答题17. 解：（1）因为==A B B B sin sin22sin cos ， 所以⨯====B b B A a 2sin 2255cos sin 63，因为⎝⎭⎪∈⎛⎫πB 20,，所以=B 5sin 4， 又===A B B B 25sin sin22sin cos 24，且A 为锐角，所以=A 25cos 7，所以=-+=-=C A B A B A B 5cos cossin sin cos cos 3)(． 因为=C B cos cos ．所以=C B ．所以==c b 5．…………………………………………5分（2）设=AMm ，=AN n ，根据题设有△△=S S AMN ABC 21， 所以=⨯mn A bc A 222sin sin 111，可得=mn 225， …………………………………………7分 所以=+-≥-=MN m n mn A mn mn 252cos 21814222，当且仅当==m n 所以MN 的最小值为 ……………………………………………………………12分18.解：（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为⨯===⨯P C 509933307014C C 1002307011. ……………………………………………………………5分 （2）因为该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布N (64,225)，所以=μ64，所以>=P X 2(64)1，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为21，所以随机变量⎝⎭⎪⎛⎫ξB 2~4,1， 所以⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪====⎛⎫⎛⎫⎛⎫-ξP k k kk k k 222()C C (0,1,2,3,4)1114444， 所以⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 216(0)C 11404，⎝⎭⎪===⎛⎫ξP 24(1)C 11414， ⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 28(2)C 13424，⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 24(3)C 11434，⎝⎭ ⎪===⎛⎫ξP 216(4)C 11444， ………………………………………………………7分 ξ 10分所以=⨯=ξE 2()421. …………………………………………………………………12分 19. 解：(1)证明：△ABC 是边长为6的等边三角形，点M ，N 分别是边AB ，AC 的三等分点，且=AM AB 31，3有=-+->⇔+>∆k t k t k t 644(14)(416)0164222222，++=-k x x kt 148212，+=-k x x t 144162122， 因︒∠=AOB 90，则⋅=+=+++=++++OA OB x x y y x x kx t kx t k x x kt x x t ()()(1)()12121212121222++=-+==+---k k t k t k t t k 14140(1)(416)8516162222222222，整理得=+t k 5(1)1622，满足∆>0， 原点O 到直线l的距离===d 5， 综上得：原点O 到直线l ，即直线l 与圆+=x y 51622相切， 所以直线l 与定圆+=>O x y r r :(0)222相切，=r ………………………………12分 21.解：（1）由已知=-'xu x a (),1 当≤a 0时，≥'x f ()0在+∞(0,)恒成立，f x ()在+∞(0,)上单调递增；……………………2分 当>a 0时，由x f x a ()01得=a x 1， 若<<a x 01时，>'f x ()0,f x ()在⎝⎭ ⎪⎛⎫a 0,1上单调递增， 若>a x 1时，<'f x ()0,f x ()在⎝⎭⎪+∞⎛⎫a ,1上单调递减； 综上，当≤a 0时，f x ()的单调递增区间为+∞(0,)，无单调递减区间； 当>a 0时，f x ()的单调递增区间为a(0,)1，单调递减区间为+∞a (,)1；…………5分 （2）解：由题意得：（∈+=-+>f x x ax ax x a R x 21ln 0),12)()()(==+--=-->'+x xg x f x x a a x x a x x ax ()()ln ln (0),11 =+-=>'-+x x xg x x a x ax ()1(0)11222 令=-+>∆=-h x x ax x a ()1(0),422 当-≤≤a 22时，≥h x ()0，≥'g x ()0，g x ()在+∞(0,)上递增；不满足=='g x f x ()()0有三个不同实根；当<-a 2时，∵=-+>h x x ax x ()1(0),2 ∴>h x ()0，>'g x ()0，g x ()在+∞(0,)上递增；也不满足=='g x f x ()()0有三个不同实根；当>a 2时，由=h x()0得==x x45， ∴g x ()在⎝⎭ ⎛上递增，在⎝⎭上递减，在⎝⎭⎪⎪+∞⎫上递增. ∵=='g x f x ()()0有三个不同实根<<x x x x x x ,,()123123 ， …………7分 显然=g (1)0>1， ∴=<<>x x x 1,01,1213. 由=--=x g x x a x ()ln 01的结构特征得=-m g m g ()()1,∴=-x g x g ()()111 ∴==x g x g ()()0113，即=x x 113，即=x x 113 由g x ()的单调性可知， 当<<x x x 12时，>g x ()0，f x ()递增； 当<<x x x 23时，>g x ()0，f x ()递减.∴<<f x f x f x f x ()(),()()1232 . …………………………………………8分由得=--=-x x x g x x a x a x ln ()ln 1133333332 ， 又=-+-f x x x a x x x 2ln (ln )12)(，4 ∴-=-=--+--+x x x x x f x f x f x f x x a x x x 2()()()()()2ln (ln ln )111111333332313333332， ∴--+=---x x x x x x a x x x x x ln (ln ln )111(1)13333332233333224， ⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪∴-=+----⎛⎫⎛⎫x x x f x f x x x x x 2ln ()()[2ln 4ln 4]11133322313333222， 令=>x t t (1)32,则⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+----+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫x x t t x x x x t t t t 2ln 4ln 4]=42ln 2ln 1111332233332222， 令⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪=+---->⎛⎫⎛⎫t t G t t t t t t ()42ln 2ln (1)112， ∴='--++tG t t t t t ()3(1)(41)ln 222, 令=--++>ϕt t t t t t ()3(1)(41)ln (1)22,=--+-'ϕt t t t t ()52(2)ln 41，=--+''ϕt t t t ()2ln 3142，=<'''-ϕt t t ()02(1)32, ∴''ϕt ()在+∞(1,)上递减， ∴<=''''ϕϕt ()(1)0， ∴'ϕt ()在+∞(1,)上递减， ∴<=''ϕϕt ()(1)0， ∴ϕt ()'在+∞(1,)上递减， ∴<=ϕϕt ()(1)0，则<'G t ()0，∴G t ()在+∞(1,)上递减 , ∴<=G t G ()(1)0,∴<f x f x ()()31 , ∴<<f x f x f x 312)()()(,综上：f x f x f x (),(),()123的大小关系为：<<f x f x f x 312)()()(. ……………………12分 22. 解：（1）曲线C 的平面直角坐标系方程为-+=x y (1)422，故曲线C 的极坐标方程为--=ρρθ2cos 302． ……………………………………4分 （2）设直线l 的倾斜角为α，则ραραE F (,),(,)12，∵--=ρρα2cos 302，由韦达定理可知=-ρρ312．由余弦定理可知=AE ||=ρ21,==AF ||=ρ22, ∴⋅==ρρAE AF |412|||12．………………………………………………………………10分 23.解：（1）因为x x x x 12121，所以++≥a b c 1，因为+≥a b ab 222，+≥b c bc 222，+≥c a ac 222，所以++++≥a b c ab bc ac 222222222，所以a b c a b c ab bc ac a b c 333222()12222222， 故++≥a b c 31222.……………………………………………………………………………5分（2）因为+≥a b ab 222，所以+≥++=+a b a b ab a b 2222222)()(， 即+≥+a b a b 2222)(，两边开平方得a b a b a b 22()2222，同理可得（c bc b 2)222+c a 2)， 三式相加，得a b b c c a a b c 2()2222222.…………………10分。

四川省成都市2021届高中毕业班第一次诊断性检测 数学试题（理科）【试卷综述】本试卷是高三理科试卷，以基础学问和基本技能为载体，以力量测试为主导，在留意考查学科核心学问的同时，突出考查考纲要求的基本力量，重视同学科学素养的考查.学问考查留意基础、留意常规、留意主干学问，兼顾掩盖面.试题重点考查：集合、不等式、向量、三视图、导数、简洁的线性规划、直线与圆、数列、充要条件等；考查同学解决实际问题的综合力量，是份较好的试卷。

【题文】一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设全集{|0}=≥U x x ，集合{1}=P ，则UP =（A ）[0,1)(1,)+∞ （B ）(,1)-∞ （C ）(,1)(1,)-∞+∞ （D ）(1,)+∞【学问点】集合的补集 A1【答案】【解析】A 解析：由于{|0}=≥U x x ，{1}=P ，所以U P =[0,1)(1,)+∞,故选A.【思路点拨】由补集运算直接计算可得.【题文】2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不行能是（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】三视图 G2 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，A 是正方体，B 是三棱柱，C 是半个圆柱，D 是圆柱，C 不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C. 【思路点拨】由三视图的基本概念即可推断.【题文】3．已知复数z 43i =--（i 是虚数单位），则下列说法正确的是（A ）复数z 的虚部为3i - （B ）复数z 的虚部为3 （C ）复数z 的共轭复数为z 43i =+ （D ）复数z 的模为5 【学问点】复数运算 L4【答案】【解析】D 解析：由复数概念可知虚部为-3，其共轭为43i -+，故选D. 【思路点拨】由复数概念直接可得.【题文】4．函数31,0()1(),03xx x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩的图象大致为（A ） （B ） （C ） （D ） 【学问点】函数的图像 B6 B8【答案】【解析】A 解析：当0x <时，将3y x =的图像向上平移一个单位即可；当0x ≥时，取1()3xy =的图像即可，故选A.【思路点拨】由基本函数3y x =和1()3xy =的图像即可求得分段函数的图像. 【题文】5．已知命题p ：“若22≥+x a b ，则2≥x ab ”，则下列说法正确的是（ ） （A ）命题p 的逆命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （B ）命题p 的逆命题是“若2<x ab ，则22<+x a b ”（C ）命题p 的否命题是“若22<+x a b ，则2<x ab ” （D ）命题p 的否命题是“若22x a b ≥+，则2<x ab ”【学问点】四种命题 A2【答案】【解析】C 解析：“若p 则q ”的逆命题是“若q 则p ”，否命题是“若p ⌝则q ⌝”，故选C. 【思路点拨】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题，分别写出条件和结论的否定为否命题. 【题文】6．若关于x 的方程240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(3,)-+∞ （B ）[3,0]- （C ）(0,)+∞ （D ）[0,3]【学问点】二次函数 B5【答案】【解析】B 解析：由于240+-=x ax 在区间[2,4]上有实数根，令2(x)4f x ax =+-所以(2)(4)0f f ≤ ，即()21240a x +≤，30a ∴-≤≤ ，故选B.【思路点拨】二次函数在给定区间上根的分布问题，只需找准条件即可，不能丢解.yx OxyOx y Ox yO【题文】7．已知F是椭圆22221+=x y a b （0>>a b ）的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，⊥PF x 轴.若14=PF AF ，则该椭圆的离心率是（ ）（A ）14 （B ）34 （C ）12 （D ）32【学问点】椭圆的几何性质 H5【答案】【解析】B 解析：Rt PFA 中，222|PF ||FA ||PA |+=，||c FA a =+，2|PF |b a =， 又14=PF AF ，21(c)4b a a =+，得22430c ac a +-=,34c a ∴=,故选B.【思路点拨】Rt PFA 中, ||c FA a =+，2|PF |b a =，且14=PF AF，得22430c ac a +-=，可求离心率.【题文】8．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且//m α，n ⊂β，则下列叙述正确的是（A ）若//αβ，则//m n （B ）若//m n ，则//αβ （C ）若n α⊥，则m β⊥ （D ）若m β⊥，则αβ⊥ 【学问点】线线关系，线面关系 G4 G5【答案】【解析】D 解析：A 中m ，n 可能异面；B 中α，β可能相交；C 中可能m β⊂或//m β，故选D. 【思路点拨】生疏空间中线线，线面关系的推断，逐一排解即可.【题文】9．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且],4[ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π【学问点】两角和与差的正弦、余弦 C7【答案】【解析】A 解析：()2αββαα+=-+，552sin =α，],4[ππα∈25cos 25α∴=-且[,]42ππα∈，又1010)sin(=-αβ，[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈， 310cos()10βα∴-=-，因此sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-102531052()()1051052=⨯-+-⨯=-，又5[,2]4παβπ+∈，所以74παβ+=，故选A. 【思路点拨】利用角的变换()2αββαα+=-+，得sin()sin[()2]αββαα+=-+sin()cos 2cos()sin 2βααβαα=-+-即可求解.【题文】10．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =．在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDDC 距离等于线段PF 的长.则当点P 运动时，2HP最小值是（ ）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）25 【学问点】点、线、面间的距离计算 G11 【答案】【解析】B 解析：点P 到平面11CDDC 距离就是点P 到直线1CC 的距离，所以点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，因此点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在面11A ABB 中作1HK BB ⊥于K ，连接KP ，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可，由题意易求得min2|K |6P =，所以2|HP |最小值为22，故选B. 【思路点拨】留意到点P 到点F 的距离等于点P 到直线1CC 的距离，即点P 的轨迹是以F 为焦点，以1CC 为准线的抛物线，在Rt HKP 中，222|HK ||PK ||HP |+=，而|HK |4=，要想2|HP |最小，只要|K |P 最小即可.【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11．若非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则a ，b 的夹角的大小为__________．【学问点】向量的夹角 F3【答案】【解析】090解析：a b a b +=-22||||a b a b ∴+=-，即0a b =，所以a b ⊥，a ，b 的夹角为090，故答案为090.【思路点拨】由a b a b +=-可得0a b =，所以夹角为090.【题文】12．二项式261()x x -的开放式中含3x 的项的系数是__________．（用数字作答）【学问点】二项式定理 J3【答案】【解析】-20解析：2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C x x ---+=-=-，求开放式中含3x 的项的系数，此时3633r r -=∴=，因此系数为6r 366(1)120r C C --=-⨯=-，故答案为-20.【思路点拨】利用通项2r 6r 6r 361661()()(1)r r r r T C x C xx ---+=-=-，可求r,即可求出系数.【题文】13．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2=c a ，4=b ，1cos 4=B ，则∆ABC 的面积=S __________．【学问点】余弦定理，正弦定理 C8【答案】152222cos b a c ac B =+-，得222116444a a a =+-⨯，2,4a c ∴==.面积1115sin 241522S ac B ==⨯⨯=15【思路点拨】【思路点拨】由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求24a =，再利用1sin 2S ac B =即可.【题文】14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是__________．【学问点】充分、必要条件 A2【答案】【解析】[2,0]-解析：由于0x ≥时，奇函数3()log (1)=+f x x ，所以函数()f x 在R 上为增函数，2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+，2(2)22x a a ax x ∴++≤+，即()222(2)0x a x a a -+++≤，2a x a ∴≤≤+，{|2}A x a x a =≤≤+，{|22}B x x =-≤≤,由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，即22022a a a ≥-⎧∴-≤≤⎨+≤⎩，故答案为[2,0]-.【思路点拨】由于“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，所以A B ⊄，然后依据题意分别求出集合,A B 即可.【题文】15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (2)n n a +（0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y ，且00=x y ．给出以下结论：①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54；③当*n ∈N 时，221n k n <+；④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则2(11)<+n S n ．其中，正确的结论有 （写出全部正确结论的序号）【学问点】命题的真假推断A2 【答案】【解析】①③④解于曲线C ：析：由22y x a =+，所以()2'2'2y yy ==，即1'y k y ===，n k =，点nP (n （0,a n >∈N ）处的切线n l为)y x n =-，,n n x n a y ∴=--=， ①00|x ||y |=，0,||1n a a ∴=-=∴= ，正确；②1122n y ===12=112≥⨯=，所以n y 的最小值为1,错误；③1012n <≤，sin ∴><亦即n k<，正确；④n k==121n n n<++=+，22(2n 1)<+，<，<=，由于n k =，所以122(21321)n n S kk k n n =+++<-+-+++- 1)=， 故正确.【思路点拨】依题意，分别求出n k =,n n x n a y =--=，依次进行推断即可.【题文】三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（本小题满分12分）口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球． （Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望()E X ． 【学问点】古典概型，分布列 K2 K6【答案】【解析】（Ⅰ）15 （Ⅱ）X 的分布列为:X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为大事A ，则21243641()205⋅===C C P A C ．……………………………………………………4分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2，则343641(0)205====C P X C ………………………………………………………2分122436123(1)205⋅====C C P X C …………………………………………………2分1(2)()5===P X P A ……………………………………………………2分∴X 的分布列为∴X 的数学期望1310121555=⨯+⨯+⨯=EX ．………………………………2分【思路点拨】）X 的可能取值为0,1,2，再分别求出(0)P X =，(1)P X =，(2)P X = 即可.【题文】17．（本小题满分12分）如图，ABC ∆为正三角形，EC ⊥平面ABC ，//DB EC ，F 为EA 的中点，2EC AC ==，1BD =． （Ⅰ）求证：DF //平面ABC ；（Ⅱ）求平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．DBCAFE【学问点】线面平行，空间向量解决线面位置关系 G4 G10【答案】【解析】（Ⅰ）略（Ⅱ）22（Ⅰ）证明：作AC 的中点O ，连结BO ． 在∆AEC 中，//=FO 12EC ，又据题意知，//=BD 12EC ．∴//=FO BD ，∴四边形FOBD 为平行四边形． ∴//DF OB ，又⊄DF 平面ABC ，⊂OB 平面ABC ． ∴//DF 平面ABC ．……………………………………4分 （Ⅱ）∵//FO EC ，∴⊥FO 平面ABC ．在正∆ABC 中，⊥BO AC ，∴,,OA OB OF 三线两两垂直． 分别以,,OA OB OF 为,,z x y 轴，建系如图．则(1,0,0)A ，(1,0,2)-E ，3,1)D ． ∴(2,0,2)=-AE ，(13,1)=-AD ． 设平面ADE 的一个法向量为1(,,z)=x y n ，则1100⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩AE AD n n ，即22030-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩x z x z ，令1=x ，则1,0==z y ． ∴平面ADE 的一个法向量为1(1,0,1)=n ． 又平面ABC 的一个法向量为2(0,0,1)=n ．∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ．∴平面DEA 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值2．…………………………8分【思路点拨】（Ⅰ）求证线面平行，可以利用线线平行，本题很简洁找出//DF OB ； （Ⅱ）分别求平面DEA 与平面ABC 的法向量1(1,0,1)=n 2(0,0,1)=n ，∴1212122,22⋅>===cos <n n n n n n ，即可求出余弦值．【题文】18．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，且22n n S a =-；数列{}n b 满足11b =，12n n b b +=+.*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n nc a b =，*n ∈N ．求数列{}n c 的前n 项和nT ．【学问点】等差数列，等比数列 【答案】【解析】（Ⅰ）2n n a =,21n b n =-（Ⅱ）1(23)24+=-+n n T n（Ⅰ）∵22n n S a =- ①当2≥n 时，1122--=-n n S a ②①-②得，122-=-n n n a a a ，即12-=n n a a （2≥n ）．又当1≥n 时，1122=-S a ，得12=a ．∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，∴数列{}n a 的通项公式为1222-=⋅=n nn a ．…………………………………4分又由题意知，11b =，12n n b b +=+，即12+-=n n b b∴数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列，∴数列{}n b 的通项公式为1(1)221=+-⨯=-n b n n ．………………………2分（Ⅱ）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，(21)2=-nn c n …………………………………………1分∴231123252(23)2(21)2-=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅n nn T n n231121232(25)2(23)2(21)2-+=⨯+⨯++-⋅+-⋅+-⋅n n n n T n n n ④由-④得2311222222222(21)2-+-=+⨯+⨯++⋅+⋅--⋅n n n n T n ……………1分23112(12222)(21)2-+-=++++--⋅n n n n T n∴12222(21)212+-⋅-=⨯--⋅-n n n T n ……………………………………………1分∴111224222+++-=⋅--⋅+n n n n T n 即1(32)24+-=-⋅-n n T n∴1(23)24+=-+n n T n∴数列{}n c 的前n 项和1(23)24+=-+n n T n …………………………………3分【思路点拨】（Ⅰ）由条件直接求解即可； （Ⅱ）数列(21)2=-nn c n ，为差比数列，利用错位相减法直接求解.【题文】19．（本小题满分12分）某大型企业一天中不同时刻的用电量y （单位：万千瓦时）关于时间t （024t ≤≤，单位：小时）的函数()y f t =近似地满足()sin()(0,0,0)f t A t B A ωϕωϕπ=++>><<，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量y 与时间t 的大致图象．（Ⅰ）依据图象，求A ，ω，ϕ，B 的值；（Ⅱ）若某日的供电量()g t （万千瓦时）与时间t （小时）近似满足函数关系式205.1)(+-=t t g （012t ≤≤）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必需停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）. 参考数据:【学问点】函数模型及其应用B10【答案】【解析】（Ⅰ）1,22A B == ,12T =，6πω=（Ⅱ）11．625时 （Ⅰ）由图知12T =，6πω=．………………………………………………1分2125.15.22min max =-=-=y y A ，225.15.22min max =+=+=y y B ．……………2分∴0.5sin()26y x πϕ=++．又函数0.5sin()26y x πϕ=++过点(0,2.5)．代入，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，∴2πϕ=．…………………………………2分综上，21=A ，6πω=，2πϕ=，21=B ． ………………………………………1分 即2)26sin(21)(++=ππt t f ．（Ⅱ）令)()()(t g t f t h -=，设0)(0=t h ，则0t 为该企业的停产时间．t （时）101112 11.5 11.25 11.75 11.625 11.6875 ()f t （万千瓦时） 2．25 2.433 2.5 2.48 2.462 2.496 2.490 2.493 ()g t （万千瓦时） 5 3.522.753.1252.3752.5632.469由0)11()11()11(<-=g f h ，0)12()12()12(>-=g f h ，则)12,11(0∈t ． 又0)5.11()5.11()5.11(<-=g f h ，则)12,5.11(0∈t ． 又0)75.11()75.11()75.11(>-=g f h ，则)75.11,5.11(0∈t ． 又0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，则)75.11,625.11(0∈t ．又0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，则)6875.11,625.11(0∈t ．…4分∵1.00625.0625.116875.11<=-． ……………………………………………1分∴应当在11．625时停产．……………………………………………………………1分（也可直接由0)625.11()625.11()625.11(<-=g f h ，0)6875.11()6875.11()6875.11(>-=g f h ，得出)6875.11,625.11(0∈t ；答案在11．625—11．6875之间都是正确的；若换算成时间应为11点37分到11点41分停产）.【思路点拨】（Ⅰ）由三角函数图像可直接求）1,22A B == ,12T =，6πω=，代点(0,2.5)可求2πϕ=；（Ⅱ）理解二分法定义即可求解本题.【题文】20．（本小题满分13分）已知椭圆Γ：12222=+b ya x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ上一点M 到其两焦点12,F F 的距离之和为43．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线:(l y x m m =+∈R)与椭圆Γ交于不同两点A ，B ，且32AB =．若点0(,2)P x 满足=PA PB，求x 的值．【学问点】直线与椭圆H8【答案】【解析】（Ⅰ）141222=+yx （Ⅱ）0x 的值为3-或1-（Ⅰ）由已知243=a 得23=a ，又22=c ． ∴2224=-=b a c ．∴椭圆Γ的方程为141222=+y x ．…………………………………………………4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1412,22y x m x y 得01236422=-++m mx x ① ………………………1分∵直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，∴△0)123(163622>--=m m ， 得216<m ．设),(11y x A ，),(22y x B ，则1x ，2x 是方程①的两根，则2321mx x -=+， 2123124-⋅=m x x ．∴2222129312(312)21244=+-=⨯--=⨯-+AB k x x m m m ．又由32AB =，得231294-+=m ，解之2m =±．……………………………3分据题意知，点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点．设AB 的中点为),(00y x E ，则432210m x x x -=+=，400mm x y =+=，当2m =时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x -=-+，即1y x =--．令2=y ，得03x =-．…………………………………………………………………2分当2m =-时，31(,)22E - ∴此时，线段AB 的中垂线方程为13()22y x +=--，即1y x =-+．令2=y ，得01x =-．………………………………………………………………2分综上所述，0x 的值为3-或1-．【思路点拨】联立直线与椭圆，可得2m =±，由于=PA PB，所以点P 为线段AB 的中垂线与直线2=y 的交点，分状况争辩即可求0x .【题文】21．（本小题满分14分）已知函数2()ln mx f x x =-，2()e mxmx g x m =-，其中m ∈R 且0m ≠．e 2.71828=为自然对数的底数．（Ⅰ）当0m <时，求函数()f x 的单调区间和微小值；（Ⅱ）当0m >时，若函数()g x 存在,,a b c 三个零点，且a b c <<，试证明：10e a b c -<<<<<；（Ⅲ）是否存在负数m ，对1(1,)x ∀∈+∞，2(,0)x ∀∈-∞，都有12()()f xg x >成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【学问点】函数综合B14【答案】【解析】（Ⅰ）()2f x me=-极小值（Ⅱ）略（Ⅲ）(,(21)∈-∞-+m e e解：（Ⅰ）2222)(ln )ln 21()(ln ln 2)(ln 1ln 2)(x x mx x x x x m x x x x x mx f -⋅=-=⋅--='（0>x 且1≠x ）．∴由0)(>'x f ，得21e x >；由0)(<'xf ，得210e x <<，且1≠x ．…………………1分∴函数)(x f的单调递减区间是(0,1),(1，单调递增区间是),(+∞e ．……………2分 ∴mee f x f 2)()(-==极小值.……………………………………………………………1分（Ⅱ）222(2)(),(0)mx mx mx mxmxe mx e m mx mx g x m e e --'=-=>．∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增．∵函数()g x 存在三个零点．∴20(0)02402()00>⎧>⎧⎪⎪⎪⇒⇒<<⎨⎨<⎪⎪-<⎩⎪⎩m g m e g m m m e ．∴02<<me …………………………………………………………………………………3分由(1)(1)0-=-=-<m mg m me m e ． ∴22()(1)0=-=-<em em me e g e m m e e ．……………………………………………………1分综上可知，()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得：(1,0),(0,),(,)a b e c e ∈-∈∈+∞．即10a b e c -<<<<<，得证．…………………………………………………………1分 （III ）由题意，只需min max()()>f x g x∵2(12ln )()(ln )-'=mx x f x x由0<m ，∴函数()f x 在12(1,)e 上单调递减，在12(,)e +∞上单调递增． ∴12min ()()2==-f x f e me ．………………………………………………………………2分∵(2)()-'=mx mx mx g x e由0<m ，∴函数()g x 在2(,)m -∞上单调递增，2(,0)m 上单调递减．∴max 224()()==-g x g m m e m ．…………………………………………………………2分 ∴242->-me m e m ，不等式两边同乘以负数m ，得22242-<-m e m e ．∴224(21)e m e +>，即224(21)m e e >+． 由0<m，解得m <．综上所述，存在这样的负数(,∈-∞m 满足题意．……………………………1分【思路点拨】（Ⅰ）2(12ln )()(ln )mx x f x x ⋅-'=，由0)(>'x f 和0)(<'x f ，求得其单调区间，进而可求极值 ；（Ⅱ）(2)(),(0)mx mx mx g x m e -'=>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增，2(0,)m 上单调递减，2(,)m +∞上单调递增，得()0,(0)0,(1)0<>-<g e g g ，结合函数()g x 单调性及a b c <<可得10a b e c -<<<<<．（III ）由题意，只需min max()()>f x g x ，12min()()2==-f x f e me ，max 224()()==-g x g m m e m ，求解即可.。

高2023届高三一诊模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈+-≤，{|1}B x x =≥-，则集合A B ⋂的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“17m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原△ABC 的面积是（ ）AB ．CD 5．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（ ） A ．4 B ．8 C ．10 D ．166．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301≈，结果精确到0.1）（ ）A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.37．如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x 在区间[2,2]-内，则输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ．[2,4]-C ．[1,2]-D ．[1,4]-15．为了测量成都七中曦园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______百米.16. 已知()2cos15,2sin15A ︒︒，()0,0O ，且2OB OC ==,则AB AC ⋅的取值范围是_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分，每题12分.17.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足6a =，5b =，且sin sin2A B =．(1)求边c ；(2)若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且MN 将△ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值．18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。

绝密☆启封并使用完毕前高2023届四川省成都七中高三一诊-----数学模拟卷（一）数 学（理工类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共12小题。

一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{(x ，y)|(x ＋y ＋1)(2x －y ＋1)＝0}，则集合A 中元素的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2.若复数(4＋ai)(1＋i)(i 为虚数单位，a ∈R )为纯虚数，则a 的值为( )A ．－4B ．3C ．4D ．53.若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．B ．C ．D ．552553554554．已知(x －m)(x ＋2)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，其中m 为常数，若a 4＝30，则a 0＝( )A ．－32B ．32C ．64D ．－645．已知a ＝tan (－)，b ＝cos ()，c ＝sin (－)，则a ，b ，c 的大小关系为( )7π623π433π4A ．a>b>c B ．b>a>c C ．b>c>aD ．a>c>b6．已知A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O)，且＝m ＋2n (m ＞0，n ＞0)，则＋的最小OA → OB → OC→2m 1n 值为( )A ．10B ．9C ．8D ．47.设函数f(x)的定义域为R ，f(x ＋1)为奇函数，f(x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f ＝( )(92)A ．－B ．－C ．D ．943274528．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1为偶函数，记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则( )A ．a<b<c B ．a<c<b C ．c<a<bD ．c<b<a9.考拉兹猜想又名3n ＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1，阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．910.如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从A 点出发，沿几何体表面爬行，首先到达C 点，然后沿凸起部分的表面到达B 点，则小蚂蚁走过的最短距离为( )A ．4＋2B ．4＋22＋10π149541149C ．4＋42D ．122＋10π20511．已知椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)和点M(，0).若存在过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，满x2a2y2b2a2－b2a足＝λ(0＜λ＜)，则椭圆C 的离心率取值范围是( )PM → MQ→12A ．(0，)B ．(，)223322C ．(，1)D ．(，1)332212.已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)<0，且f(2)＝2，则f(e x )－e x >0的解集是( )A ．(－∞，ln 2) B ．(ln 2，＋∞)C ．(0，e 2)D ．(e 2，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

一、单选题1. 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F 1上，片门位于另一个焦点F 2上．由椭圆一个焦点F 1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F 2．已知BC ⊥F 1F 2，，，则截口BAC 所在椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2. 若则下列结论正确的有（ ）①②③④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3. 若复数，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．74. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ）A ．0.495%B ．0.9405%C ．0.99%D ．0.9995%5.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上恰有2个零点，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．6. 函数在的图象大致为（ ）A．B．C．D．7. 空间中两条直线和平面，在下列条件中，能得到的是（ ）A ．与所成角相等B．在内的射影分别为且C．D．8.若直线的倾斜角为，则的值为A．B．C．D．四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题四川省成都市高新区2023届高三一诊模拟理科数学试题二、多选题三、填空题四、解答题9. 已知正三棱柱的底面边长为，高为，记异面直线与所成角为，则（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则10. 关于函数，下列说法正确的是（ ）A．最小正周期为B ．关于点中心对称C．最大值为D ．在区间上单调递减11. 已知抛物线的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过A ，B 点作准线的垂线，垂足分别为．设直线l 的倾斜角为，当时，．则下列说法正确的是（ ）A ．有可能为直角B．C ．Q 为抛物线C上一个动点，为定点，的最小值为D ．过F 点作倾斜角的角平分线FP 交抛物线C 于P 点（点P 在第一象限），则存在，使12. 已知正项数列，对任意的正整数m 、n 都有，则下列结论可能成立的是（ ）A．B．C．D．13. 已知，，则______.14. 已知，数列的前项和，则______.15. 已知函数若方程有四个解，且，则的取值范围为_________.16. 已知函数f （x ）＝﹣αx 2+（α﹣2）x +ln x .（1）当α＝1时，求函数f （x ）的单调区间；（2）若在当x ∈（0，+∞）时恒成立，求实数α的取值范围.17.已知椭圆的离心率为，是椭圆上的两个不同点.(1)若，且点所在直线方程为，求的值；(2)若直线的斜率之积为，线段上有一点满足，连接并延长交椭圆于点，求的值.18. 央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.19. 近几年，在缺“芯”困局之下，国产替代的呼声愈发高涨，在国家的政策扶持下，国产芯片厂商呈爆发式增长．为估计某地芯片企业的营业收入，随机选取了10家芯片企业，统计了每家企业的研发投入（单位：亿）和营业收入（单位：亿），得到如下数据：样本号i12345678910研发投入224681014161820营业收入1416303850607090102130并计算得，，，，．(1)求该地芯片企业的研发投入与营业收入的样本相关系数r，并判断这两个变量的相关性强弱（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，r精确到0.01）；(2)现统计了该地所有芯片企业的研发投入，并得到所有芯片企业的研发投入总和为268亿，已知芯片企业的研发投入与营业收入近似成正比．利用以上数据给出该地芯片企业的总营业收入的估计值．附：相关系数，．20. 2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．开学后，某中学团委在高二年级（其中男生150名，女生150名）中，对是否喜欢观看该世界杯进行了问卷调查，各班男生喜欢观看的人数统计分别为6，7，8，8，6，5，14，14，12，10，各班女生喜欢观看的人数统计分别为4，4，4，5，5，6，7，7，8，10．喜欢观看不喜欢观看合计男生150女生150合计300(1)根据题意补全2×2列联表；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校学生喜欢观看世界杯与性别有关？参考临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.841 6.6357.87910.828，．21. 已知函数的图象上两个相邻的最高点之间的距离为.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值.。

一、单选题二、多选题1.已知集合，，，则（ ）A．B．C．D．2. 椭圆：的左、右焦点分别为，，直线过与交于，两点，为直角三角形，且，，成等差数列，则的离心率为（ ）A．B．C．D．3. 已知为实数，函数是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A．B．C．D．4. 已知函数；现给出如下结论：①是奇函数；②是周期函数；③在区间上有三个零点；④的最大值为2.其中所有正确结论的编号为（ ）A ．①③B ．①②③C ．②④D ．①④5. 数学与建筑的结合造就建筑艺术品，如吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，如图.若将该大学的校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线的一部分，且点在该抛物线上，则该抛物线的焦点坐标是（）A．B ．（0，－1）C．D．6. 已知双曲线的一条渐近线过点，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．7. 下图揭示了一个由区间到实数集上的对应过程：区间内的任意实数与数轴上的线段（不包括端点）上的点一一对应（图一），将线段围成一个圆，使两端、恰好重合（图二），再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为（图三）.图三中直线与轴交于点，由此得到一个函数，则下列命题中正确的序号是 （）（1）；（2）是偶函数；（3）在其定义域上是增函数；（4）的图像关于点对称.A ．（1）（3）（4）.B ．（1）（2）（3）.C ．（1）（2）（4）.D ．（1）（2）（3）（4）.8. 若双曲线的实轴的两个端点与抛物线的焦点是一个直角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C ．2D．四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学（理科）试题(1)四川省成都市2023届高三第一次诊断性检测数学（理科）试题(1)三、填空题四、解答题9. 已知，则（ ）A．B．C．D．10. 如图，已知正六边形ABCDEF 的边长为1，记，则（）A．B．C．D ．在方向上的投影向量为11. 如图，棱长为2的正方体中，点E ，F ，G 分别是棱的中点，则（）A ．直线为异面直线B．C ．直线与平面所成角的正切值为D ．过点B ，E ，F 的平面截正方体的截面面积为912. 已知复数均不为0，则（ ）A．B．C．D．13.如图，在正方体中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于_________．14. 若对任意，，恒有，则正整数的最大值为______.15.设向量，，，且，则__________．16.已知直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ，当直线轴时，．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求的最小值．17. 已知函数同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③最大值为2；④最小正周期为.(1)给出函数的解析式，并说明理由；(2)求函数的单调递减区间.18. 已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由19. 如图，在四棱锥中，，平面，，点为线段的中点.（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的体积.20. 已知都是正数，求证：（1）；（2）.21. 为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第年需要付出的超市维护和工人工资等费用为万元，已知为等差数列，相关信息如图所示.（Ⅰ）求；（Ⅱ）该超市第几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（Ⅲ）该超市经营多少年，其年平均获利最大？最大值是多少？（年平均获利）。