1.6 集合对等
习题1.6
1.证明: 任意无限集合均存在可数子集.
证 设A 是无限集合，取A a ∈0，则}{0a A -是无限集合. 取A a ∈1，则},{10a a A -是无限集合. 一直下去，即可得到无限集合A 的可数子集,...},...,{10n a a a .
2.证明: ]1,0[~)1,0(.
证 由于(0,1)是无限集合，而任意无限集合均存在可数子集，设,...},...,{10n a a a 是(0,1)开区间的一个可数子集合，令]1,0[)1,0(:→f ，满足下面的条件
1)(,0)(10==a f a f , 2,)(2≥=-i a a f i i ;
,...},...,,{,)(10n a a a x x x f ∉=.
显然，f 是(0,1)到[0, 1]的一个双射. 故]1,0[~)1,0(.
3.证明: b a b a <],,[~]1,0[.
证 令],[]1,0[:b a f →，x a b a x f )()(-+=，容易证明f 是一个双射，进而],[~]1,0[b a .
4.有理数集合Q 是可数集合.
证 由于正有理数集合Q + = ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈互素与n m m n m m n ,0,N ,，令N N Q :⨯→+f ，
),(n m m n f =⎪⎭
⎫ ⎝⎛， 则f 是单射，所以|Q +| |N N |⨯≤. 由于N N ~N ⨯，于是|Q +| =≤|N |ℵ0. 而Q +是无限集合，所以|Q +| =≥|N |ℵ0. 于是|Q +| = ℵ0. 所以正有理数集合Q +是可数集合. 显然Q +与所有负有理数集合Q -对等，而Q = Q +⋃Q -⋃{0}，所有Q 是可数集合.
5.证明: 全体无理数组成的集合R – Q 与R 有相同的基数.
证 在全体无理数集合R – Q 中选取可数子集,...},...,{10n a a a ，因为Q 可
数，设Q = ,...},...,{10n b b b . 构造映射R Q R :→-f 如下
,...2,1,0,)(,)(122===+i b a f a a f i i i i ；
,...},...,,{,)(10n a a a x x x f ∉=.
则R Q R :→-f 是双射，所以R – Q 与R 有相同的基数.
6.对于任意集合A ，)(A P 是A 的幂集，证明: |)(|||A P A <.
证 令}{)(),(:x x g A P A g =→，则g 是A 到)(A P 的单射，所以|)(|||A P A ≤.
假设|)(|||A P A =，则存在A 到)(A P 的双射f . 令
)}(|{x f x x S ∉=，
则A S ⊆. 因为f 是A 到)(A P 的双射，必存在A y ∈是得S y f =)(. 考虑是否S y ∈. 由于
S y y f y x f x x y S y ∉⇔∉⇔∉∈⇔∈)()}(|{，
这是一个矛盾. 于是|)(|||A P A =不成立，因此有|)(|||A P A <.
