解析数学归纳法思想
嘉兴教育学院吴明华
从数学和思想的含义去理解，所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果．数学思想是人们对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识（文①第1页）．数学思想广泛存在于数学的概念、方法和过程之中，具有奠基性、总结性和广泛性的特征．与数学方法相比，数学思想具有更高的概括抽象水平，因而更本质、更深刻．可以这么说，数学思想是数学方法的精神实质与理论基础，而数学方法则是实施有关数学思想的技术与操作程式．
数学归纳法是一种特殊的证明方法，它的基本形式是：对于一个与自然数（此处约定最小的自然数为1，即正整数）有关的命题
，如果①当
时命题成立；②假设当时命题
成立，则当时命题也成立，那么命题
对一切自然数n都成立．
在“中学数学核心概念、思想方法体系及其教学设计”课题第8次活动中，围绕两位教师的课堂展示，课题组对数学归纳法及其教学进行了广泛和深入的讨论，涉及到一些本质性的问题但尚未达成统一的认识．本文阐述笔者对数学归纳法所蕴涵的数学思想的一些认识，试图从本质上去理解数学归纳法．
1．数学归纳法中的归纳思想
对于一个与自然数有关的命题，数
学归纳法将命题理解为一系列命题：
，
，
，…，即N}．然后由命题
，
，，…都成立去下结论“命题成立”，这就是笔者重点所指的数学归纳法
中的归纳思想．
所谓归纳，是指从特殊到一般，从局部到整体的推理．命题
是一般的、整体的，而命题
，
，
，…中的每一个都是特殊的、局部的，即使从所有命题，
，，…都成立去概括得出命题成立，其思想也是归纳的思想（完全归纳）．
让我们想想，对于一个与自然数有关的命题
，我们是否有过不用归纳法去处理的经历？譬如说，求证，我们曾经这样做过：
设，则
，
所以
，故．
我们的证明只是“就一般的自然数n而言”，也就是说，我们并没有逐个地去考察
，
，…命题是否成立，而只是把n当作“某个”（当然是任意一个）自然数直接去考察命题是否成立，这在数学上叫做“不失一般性”．其实，这样的例子在数学中比比皆是．
让我们从更一般的情形来阐述归纳思想．对于一个数学对象P，如果P可以分解为
若干个种类，
，
，…，那么从研究
，
，，…入手，概括得到对象P的属性的思想，
就是归纳的思想．这与分类讨论有点相似，但分类讨论常常是获得对象P在各种情况下的不同结果，而归纳则取向于获得，
，
，…的共性，以及由这些共性所反映的对象P的本质．
有几个问题是必须讲清楚的．首先，数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”工作，实际上是两个命题的证明，即证明①命题
“”成立，②命题“若
，则
”成立，而这两个命题自身的证明常常用的是“演绎法”．其次，以“归纳递推”为大前提，以命题
成立为小前提，得出命题
成立，等等的推理过程也是演绎的．还有，若将自然数公理中的归纳公理（见本文后述）理解为大前提，将数学归纳法中的“归纳奠基”与“归纳递推”理解为小前提，那么得出命题
成立的推理过程也是演绎的（文①第110页）．但这些都不妨碍数学归纳法在处理与自然数有关的命题时所体现出来的归纳思想．2．数学归纳法中的递推思想
在数学归纳法中，除了命题是直接
证明的以外，我们通常不直接去证明命题，
，…成立（除非有必要），而是采用了递推的思想．
，
，…如此循环往复递推，命题，
，…都成立．
简单地说就是，由推得
，由推得…，即
…．这个过程类似于多米诺骨牌，其中归纳递推：
起着至关重要的作用．正因为如此，在用数学归纳法证明命题时，有一点是不可回避的，即找出命题
与命题的联系．
例如，在数列中，已知
，用数学归纳法证明
．
证明：①因为，令
，得
，即
，所以，又
，所以当
时
成立．
②假设当时
成立，即
．
因为，所以
，而
，
所以，即
．
所以
，从而．
所以当时
也成立．
综合①②得，．
请注意，本例在“假设当时
成立”之后，我们不急于去考虑“当
时
是否成立”（当然这也是应该考虑的），而
是先从去寻找
与
的关系，这种欲擒故纵的考虑正是把握了数
学归纳法之递推的本质．当我们得到了递推关系
之后，剩下的证明工作只是将“归纳假设”简单代入并略作计算而已．
3．数学归纳法中的无穷思想
数学归纳法将命题等价转化为一个
无穷命题序列：，
，
，…，并依据归纳奠基和归纳递推演绎出
…的事实．当我们想要知道对某一个自然数，命题
是否成立时，只需做次递推
…
就能清晰地得到一个肯定的答案．然而，对于无穷命题序列：，
，
，…，我们不可能用一一呈现的方式来说明其中每一个命题都成立的事实，我们终究要在“…”中的某个地方停下来，说“如此这般一直下去”之类的话，这就是有限与无限的本质区别，也是数学归纳法得名“归纳”的原因之一（文②）．
然而，我们为什么说经过数学归纳法证明的命题一定是正确的呢？这其实是数学中约定的一个事实，即由皮亚诺（Peano）首先提出的关于自然数的第五条公理——数学归纳法公理：若一个由自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a 的后继者，则S就含有全部自然数．（文③第四册第53页）
由此我们看到，证明与自然数有关的命题的数学归纳法，几乎就是数学归纳法公理的“直译”．因此，数学归纳法的正确性的依据就是“自然数公理”．正是自然数既存在“最小的一个起始数”又是“一个接一个地、有序地排着”，所以由归纳奠基与归纳递推构成的“反复递推”得以遍及“所有的自然数”，从而实现从有限到无穷的跨越．
4．数学归纳法中的模式思想
所谓模式，其实就是解决某一类问题的方法论，当你把解决某类问题的方法总结归纳到理论高度，那就是模式．
