第三章课后作业

第三章课后作业 1． 多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无 偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？ 答：多元线性回归模型的基本假定有： （1） 解释变量是非随机的或固定的，且相互之间互不相关（不存在多重共 线性） ； （2） 随机扰动项具有 0 均值、同方差以及不存在序列相关（不存在自相 关） ； （3） 解释变量与随机扰动项不相关； （4） 随机扰动项服从正态分布； （5） 样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数； （6） 回归模型的设定是正确的。 在证明最小二乘估计量的无偏性中， 利用了解释变量与随机误差项不相 关的假定。
ˆ ∗ = Xβ ˆ + e − Xβ ˆ ∗ = e − X (β ˆ∗ − β ˆ) e∗ = Y − Xβ
所以
ˆ * −β ˆ )′X ′X(β ˆ * −β ˆ ) ′ e′ * e * = e e + (β
于是
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′ e′ *e* ≥ e e
4． 在一项调查大学生一学期平时成绩（Y）与每周在学习（X1） 、睡觉（X2） 、 娱乐（X3）与其它（X4）各种活动所用的时间的关系的研究中，建立如下的 回归模型： Yi = β 0 + β 1 X 1i + β 2 X 2i + β 3 X 3i + β 4 X 4i + μ i 如果这些活动所用时间的总和为一周的总小时数 168。问：保持其它条件不 变，改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否违背基本假设的情 况？如何修改此模型以使其更加合理？
（2） ˆ0 = Y − α ˆ1 X 1 − α ˆ 2 X 2 = (Y − X 1 ) − (α ˆ1 − 1) X 1 − α ˆ2 X 2 α ˆ X −β ˆ X = (Y − X ) − β
1 1 1 2 2
ˆ =β
0
证毕。
（3）设： Z i = Yi − X 1i （a）式的拟合优度为：
11.下表给出了中国 2000 年 30 个省级单位（西藏自治区没被纳入）GDP 总值 Y （亿元） 、资本存量 K（亿元）以及劳动力人数 L（万人）的数据。
地 区 北京 天津 河北 山西 内蒙古 辽宁 吉林 黑龙江 上海 江苏 浙江 安徽 福建 江西 山东 河南 湖北 湖南 广东 广西 海南 重庆 四川 贵州 云南 陕西 甘肃 青海 宁夏 新疆 GDP 2479 1639 5089 1644 1401 4669 1821 3253 4551 8583 6036 3038 3920 2003 8542 5138 4276 3692 9662 2050 518 1589 4010 994 1955 1661 983 264 266 1364 K 7041 3846 9486 3205 2461 7597 3372 5755 10809 15642 10798 5391 6281 3281 14694 8625 5185 5722 16084 3405 1275 2910 7344 2282 4133 4249 1680 739 820 3673 L 622 407 3441 1419 1017 1813 1079 1635 673 3559 2700 3373 1660 1935 4662 5572 2508 3462 3861 2530 334 1636 4436 2046 2295 1813 1182 239 274 672
ˆ = β 1
=
& & x & ∑x ∑x & x & & ∑x ∑x & y & ∑x & x & & & x & ∑x ∑x ∑x & y & & & x & & ∑x ∑x ∑x ∑x − & & x & & & x & ∑x ∑x ∑x ∑x & x & & & x & & ∑x ∑x ∑x ∑x
解： 保持其它条件不变，改变其中一个变量的说法没有意义； 该模型违背了解释变量间不存在多重共线性的基本假设； 不能将四个解释变量同时纳入回归模型。
5． 考虑如下两个模型： （a） Yi = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + μ i （b） Yi − X 1i = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + ν i
证明： 根据 OLS 估计原理依次求解上述待估参数可证明。 或
ˆi 为： 由回归方程（2）可得残差ν ˆ0 − α ˆ1 X 2i ，将其带入回归方程（3）可得： νˆi = X 1i − α ˆ0 − α ˆ1 X 2i ) + γ 2 X 2i + wi Yi = γ 0 + γ 1 ( X 1i − α ˆ 0 ) + γ 1 X 1i + (γ 2 − γ 1α ˆ1 ) X 2i + wi = (γ 0 − γ 1α
∑e
解：
i
= 0 ； ∑ ei X 1i = 0 ； ∑ ei X 2i = 0
ˆ X −β ˆ X )2 （1） Q = ∑ ei2 = ∑ (Yi − β 1 1i 2 2i
所以 OLS 估计的正规方程组为：
⎧ ∂Q ˆ X −β ˆ X )(− X ) = 0 ⇒ e X = 0 = 2∑ (Yi − β ∑ i 1i 1 1i 2 2i 1i ⎪ ∂β ˆ ⎪ 1 ⎨ ˆ X −β ˆ X ) − (X ) = 0 ⇒ e X = 0 ⎪ ∂Q = 2∑ (Y − β ∑ i 2i i 1 1i 2 2i 2i ˆ ⎪ ⎩ ∂β 2
设定生产函数为 Y = AK α Lβ e μ （1） 利用上述资料，进行回归。 （2） 回答：中国 2000 年各地区的生产呈现规模报酬不变状态吗？
此时，正规方程组仅包含两个正规方程。
∑e
i
= 0 将不再成立，而 ∑ ei X 1i = 0 和 ∑ ei X 2i = 0 仍然成立。
8． 对下列模型： （a） y i = α + βxi + 2 z i + u i （b） y i = α + βxi − βz i + u i 求出 β 的最小二乘估计值；并将结果与下面的三变量回归方程的最小二乘估计 值作比较： （c） y i = α + βxi − γz i + u i ，你认为哪一个估计值更好？
2 i 3i 2 3i
2 i 3i 2 3i
2 i 3i 2 3i
ˆ1 − 1 =α & & (y & −x & ) ∑x ∑x & x & & (y & −x & ) x ∑x ˆ = ∑ β & & x & ∑x ∑x & x & & ∑x ∑x & & y & & & ∑x ∑x ∑x ∑x & x & & y & & x & & x & ∑x ∑x ∑x ∑x = − & & x & & & x & ∑x ∑x ∑x ∑x & x & & & x & & ∑x ∑x ∑x ∑x
ˆ =α ˆ =α ˆ =α ˆ0 ， β ˆ2 ˆ1 − 1 ， β 要求： （1）证明： β 0 1 2
ˆi ˆi = ν （2）证明：残差的最小二乘估计量相同，即： u
2 （3）在何种情况下，模型（b）的拟合优度 R2 会小于模型（a）拟合
优度 R12 。 解： （1）根据 OLS 估计原理可得：
2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2i 3i i i 2 i 3i 2 3i 2 2i 2 i 3i 2 2i 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 i 3i
& ∑x & ∑x
&i − x &2i ) (y & & 3 i ( yi − x2 i )
2i
& x & ∑x & ∑x
3． 为什么说对模型参数施加约束条件后， 其回归的残差平方和一定不比未施加 约束的残差平方和小？在什么样的条件下，受约束回归和不受约束回归的结 果相同？ 解：假设无约束样本回归的矩阵表达式为：
ˆ +e Y = Xβ
受约束样本回归的矩阵表达式为：
ˆ +e Y = Xβ ∗ ∗
则受约束样本回归的残差平方和 RSSR 为：
将上式与回归方程（1）比较，可得到：
ˆ = (γ − γ α ˆ β 0 0 1 0) ˆ = γˆ β 1 1 ˆ = (γ − γ α ˆ β 2 2 1 1)
∧ ∧
7． 考虑如下过原点回归：
ˆ X +β ˆ X +e Yi = β 1 1i 2 2i i
（1） 求参数的 OLS 估计量； （2） 对该模型，是否仍然有结论
ˆi2 u ESS ∑ R =1− =1− TSS ∑ (Yi − Y )2
2 a
（b）式的拟合优度为：
ESS ∑ν i R = 1− = 1− TSS ∑ (Zi − Z )2
2 2 b
ˆi 成立，即二式分子相同，若要模型（b）的 ˆi = ν 在（2）中已经证得 u
2 拟合优度 Rb2 小于模型（a）的拟合优度 Ra ，必须满足：∑ ( Z i − Z ) 2 < ∑ (Yi − Y ) 2 。
将模型⑴改写成 ( y i − 2 zi ) = α + βxi + ui ，则 β 的估计值为：
ˆ= β
∑ ( x − x )( y − 2 z ) ∑(x − x)
i i i
2
i
将模型⑵改写成 yi = α + β ( xi − zi ) + ui ，则 β 的估计值为：
ˆ= β
∑(x − z − x + z) y ∑(x − z − x + z)
6． 考虑下列三个实验步骤： （1）对 Yi = β 0 + β1 X 1i + β 2 X 2i + μi 进行回归；
ˆi ； （2）对 X 1i = α 0 + α1 X 2i + ν i 进行回归，计算残差ν ˆi + γ 2 X 2i + wi 进行回归。 （3）对 Yi = γ 0 + γ 1ν ˆ = γˆ ，并直观的解释该结果。 试证明 β 1 1
2 2i 2i i 2i 2 i 3i 3i i 2i 2 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 2i 2i 3i i 2 2i 2 2i 2 i 3i 2 2i i 2 i 3i 2 2i 2 i 3i 2 i 3i 2 3i 2 i 3i
2 i 3i
2 i 3i 2 3i
ˆ2 =α
2
平方和（SS） 65965 — 66042
自由度（d.f.） — — 14
平方和的均值 — —
要求： （1）样本容量是多少？
R 2 = 1−
RSS /(n − k − 1) 77 (16 − 2 − 1) = 1− = 0.9987 TSS /(n − 1) 66042 (16 − 1)
（5） 检验假设：X 2 和 X 3 对 Y 无影响。 将用到方程总体线性显著性的 F 检验。 （6）不能确定。
i i
i
2
i
i
这两个模型都是三变量回归模型⑶在某种限制条件下的变形。如果限制条件 正确，则前两个回归参数会更有效；如果限制条件不正确则前两个回归参数 会有偏。
9． 下表给出三变量模型的回归结果： 方差来源 来自回归 来自残差 总离差(TSS) （2）求 RSS？ （3）ESS 和 RSS 的自由度各是多少？ （4）求 R 2 和 R ？ （5）检验假设： X 2 和 X 3 对 Y 无影响。你用什么假设检验？为什么？ （6）根据以上信息，你能否确定 X 2 和 X 3 各自对 Y 的贡献吗？ 解： （1）样本容量为 16。 （2）RSS=TSS-ESS=66042-65965=77 （3）ESS 的自由度为 2；RSS 的自由度为 13。 ESS RSS 77 （4） R 2 = = 1− = 1− = 0.9988 TSS TSS 66042
ˆ ) = E ((X′X) −1 X′Y) E (β = E ((X′X) −1 X′( Xβ + μ )) = β + (X′X) −1 E (X′μ ) =β
在有效性的证明中，利用了随机项独立同方差假定。
2． 在多元线性回归分析中，t 检验和 F 检验有何不同？在一元线性回归中，二 者是否具有等价的作用？ 解：多元回归中，t 检验是针对某一个偏回归系数的显著性检验，而 F 检验 则是针对回归方程总体线性关系的显著性检验。 在一元线性回归中，二者具有等价的作用。实际上，在一元线性回归中二 者存在如下的关系： F = t 2 。